1 Kvinner og matematikk 1. 2 Innledning til geometri 4

Transkript

1 Innhold Kapittel Side 1 Kvinner og matematikk 1 2 Innledning til geometri 4 Gresk geometri 4 Euklid 4 Elementer 4 Aksiom 4 Teorem 4 Setninger 4 Den deduktive metoden 4 Katedralbyggeren Jack 5 De 5 aksiomene og de 5 påstandene til Euklid 7 3 Geometri 9 Rektangler 10 Kvadrat 11 Trekanter 12 Parallellogram og romber 13 Trapes 14 Sirkler 17 Arealformlene 21 Mer om arealberegning 22 Areal mellom x-aksen og en graf 27 Linjer og vinkler 32 Vinkler med parvis normale ben 33 Vinkler med parvis parallelle ben 34 Summen av vinklene i en trekant er Likesidete trekanter 35 Likebente trekanter 36 INNHOLD side 1

2 Kongruente trekanter 36 Formlikhet 37 Formlike trekanter 38 Symmetri 40 Pytagoras setning 45 Trigonometri 48 Arealsetningen 61 Sinussetningen 63 Cosinussetningen 64 Miljøoppgave plangeometri 67 ABEL-oppgaver plangeometri 67 Volum 69 Terning 70 Sylinder 72 Kule 74 Kjegle 75 Pyramide 78 Overflate- og volumformler 82 Arkimedes siste dag 84 Miljøoppgave romgeometri 86 ABEL-oppgaver romgeometri 86 4 Tesselering 87 Tesselering 87 Tesselering med regulære mangekanter 88 Tesselering med ikkeregulære mangekanter 96 Tesselering i rommet 98 Tesselering i kunsten 99 5 Polyedre 100 De fem platonske legemene 101 En begrunnelse for at det bare er fem regulære polyedre 102 Eulers polyederligning 104 Keplerstjernen på Gardermoen 109 De 13 arkimediske legemene 110 INNHOLD side 2

3 6 Tall er kanskje mer enn du tror Tall og tallsystem 112 Titallsystemet 113 Totallsystemet 115 Sekstitallsystemet 118 Generelt om posisjonssystem 120 Romertall 121 De klassiske greske tallsystemene 124 Mayafolkets tallsystem 127 Det kinesisk-japanske tallsystemet 129 Egypternes tallsystem i oldtiden 131 Sekstentallsystemet 132 Litt dataterminologi Negative tall 138 Multiplikasjon og divisjon 138 Addisjon og subtraksjon Brøk 147 Brøk 147 Utvidelse 148 Forkorting 149 Addisjon og subtraksjon 152 Er musikk matematikk? 154 Brøk multiplisert med heltall 158 Brøk dividert på heltall 159 Brøk multiplisert med brøk 160 Brøk dividert på brøk 162 Brudden brøk 164 Å dele på null er tull Begrepet uendelig 165 Tallmengdene så langt i boka 167 Miljøoppgave 169 ABEL-oppgave 169 INNHOLD side 3

4 9 Prosent og promille 170 Prosent 170 Promille 174 Miljøoppgave Desimalbrøk 176 Desimalbrøk 176 Mer om posisjonssystem Irrasjonale tall 181 Irrasjonale tall 181 Pytagoras π (pi) 184 e 184 Φ (fi) 184 Fraktal geometri 185 Tallmengdene så langt i boka Benevnte tall og forholdstall 189 Benevninger og forholdstall 189 Todimensjonale benevninger og forholdstall 193 Tredimensjonale benevninger og forholdstall 194 Standarder 196 Historiske norske benevninger Algebra (bokstavtall bokstavregning) 198 Algebra 198 Addisjon 199 Multiplikasjon 199 Subtraksjon og divisjon 201 Multiplikasjon er distributiv over addisjon 201 Påstanden (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 203 INNHOLD side 4

5 Kvadratsetningene og konjugatsetningen 204 Prioritetsreglene 207 Utledning av en formel for brøkdivisjon 209 Brøkreglene med algebra 211 Utledning av renteformelen 212 Renteberegning for hele år 213 Miljøoppgaver 217 ABEL-oppgave Ligning av første grad med én ukjent 219 Ligning 219 Fire ungdommer og én pizza 223 To gårdbrukere 225 Oppsummering 227 Regula falsi 228 Per vil ha egen leilighet 228 Det fine med ligning 233 Diofantos 233 Avsluttende eksempler Ligningssett av første grad med to og tre ukjente 237 Mannen som var så vrang 237 Addisjonsmetoden 238 Algoritme for addisjonsmetoden 242 Innsettingsmetoden 246 Algoritme for innsettingsmetoden 247 Miljøoppgaver 249 Ligningssett av første grad med tre ukjente 250 Algoritme for løsning av ligningssett av første grad med tre ukjente Potenser 255 Innledning til potenser 255 Potens 257 INNHOLD side 5

6 Standardform 258 Renteformelen 261 Befolkningsformelen 262 Elgene på Isle Royale 263 Utledning av potensformler 265 Potensreglene 270 Mer om standardform 271 Miljøoppgaver Kvadratrot 275 Innledning til kvadratrøtter 275 Kvadratrot 277 Kvadrattall 278 Kvadratrotreglene 282 Er ei kvadratrot egentlig en potens? 283 Minst mulig tall under rottegnet Kubikkrot, n-te-rot og n-te-gradsligning 285 Kubikkrot 285 Kubikkrotreglene 286 Kubikktall 287 Røtter av høyere orden / n-te-røtter 288 Generelle rotregler 288 Musikk og tolvterota av to 289 n-te-gradsligninger på formen ax n = b 291 Miljøoppgaver Andregradsligninger 295 Innledning til andregradsligninger 295 Fullstendige kvadrat 301 Utledning av en formel for å løse andregradsligninger 303 Standardformel for andregradsligninger 308 Algoritme for å løse andregradsligninger 310 Andregradsligninger uten førstegradsledd 313 INNHOLD side 6

7 Andregradsligninger uten konstantledd 314 Det gylne snittet 315 Fibonacci-følgen Faktorisering av andregradspolynom 323 Faktorisering 323 Faktoriseringsformel 324 Algoritme for faktorisering av andregradspolynom 327 Andregradsligninger sammenhengen mellom røttene og koeffisientene Tredjegradsligninger og polynomdivisjon 332 Faktorisering av tredjegradspolynom 333 Polynomdivisjon 334 Slik kan du løse tredjegradsligninger med regning 329 n-te-gradspolynom 342 Indekserte variabler Ulikheter av første og andre grad 344 Ulikheter av første grad 344 Algoritme for løsning av ulikheter av første grad 347 Ulikheter av andre grad 348 Fortegnslinjer 349 Ulikheter på brøkform 354 OG og ELLER Rekker 362 Rekke 362 Aritmetiske rekker 365 Geometriske rekker 370 INNHOLD side 7

8 Annuitetslån 374 Konvergente og divergente geometriske rekker Proporsjoner og proporsjonalitet 380 Proporsjonal og omvendt proporsjonal 380 Proporsjonale størrelser 381 Omvendt proporsjonale størrelser 383 Forhold og proporsjoner Indeks og lønn 387 Indeks 387 Konsumprisindeks 387 Nominell lønn og reallønn 390 Poeng og prosent 393 Konsumprisindeks Lønn, skatt og feriepenger 396 Lønn 396 Skatt 399 Andre trekk 399 Feriepenger Funksjoner 401 Hva er en funksjon? 401 Det norske oljeeventyret 403 Anvendt matematikk og ren matematikk 405 Lineære funksjoner 408 Oppsummering lineære funksjoner 414 Ligningen eller linjen y = ax + b når to punkt er kjent 415 Algoritme for å finne ligningen y = ax + b når to punkt er kjent 419 Ligningen eller linjen y = ax + b når stigningstallet og ett punkt er kjent 421 Ettpunktsformelen 421 INNHOLD side 8

9 Omvendte (inverse) funksjoner 424 Flerleddsfunksjoner (polynomfunksjoner) 426 Oppsummering parabler 433 Begrepet uendelig 434 Brøkfunksjoner (hyperbler) 437 Loddrett (vertikal) asymptote 445 Vannrett (horisontal) asymptote 447 Asymptoteformler 449 Lineære brøkfunksjoner 450 Ungdom og inntekt 452 Formuleringen y = f(x) 455 Definisjonsmengde og verdimengde 456 En funksjon som beregner dato for påskesøndag Grafisk løsning av ligninger 459 Grafisk løsning av andregradsligninger 459 Andregradsligninger og parabler 463 Grafisk løsning av førstegradsligninger med én ukjent 463 Grafisk løsning av en vilkårlig ligning 466 Grafisk løsning av ligningssett av første grad med to ukjente 471 Algoritme for grafisk løsning av ligningssett med to ukjente Grafisk løsning av ulikheter 475 Et praktisk eksempel 475 Slik kan ulikheter løses grafisk 477 OG og ELLER Derivasjon 485 Galileo Galilei triller kuler 485 Isaac Newton vil finne hastigheten til kulene 485 En generell metode for å finne hastighet 489 Vi prøver Cauchys metode 492 INNHOLD side 9

10 Fra hastighet til stigning 499 Derivasjon 505 Kjerneregelen 511 Derivasjonsreglene 516 Derivasjon i økonomifaget 517 Vi utleder leddvis derivasjon, produktregelen og brøkregelen 525 To nøtter Mer om tangent 530 Tangent 530 Utledning av tangentligningen 532 Ettpunktsformelen 533 Tangentligningen Funksjonsdrøfting 536 Den deriverte forteller oss stigning 536 Faktorisering 536 Fortegnslinjer 538 Topp- og bunnpunkt 539 Grafisk kontroll 541 Brudd 543 Skrå asymptoter 544 Vendepunkt Integrasjon 551 Integrasjon 551 Antiderivasjon 556 Hvorfor kaller vi denne matematikken integrasjon? 560 Antiderivasjonsregler 562 Mer om arealet mellom x-aksen og grafen til y = f(x) 563 Arealet mellom grafer 565 Hva kan vi bruke integrasjon til? 566 INNHOLD side 10

11 34 Statistikk 574 Frekvenstabell 574 Variasjonsbredde 576 Grafiske framstillinger 577 Søylediagram 577 Sektordiagram (Kakediagram) 577 Linjediagram (kurvediagram) 578 Gjennomsnitt 579 Ungdom og video 581 Klassemidtpunkt 583 Mannlige rekrutter 585 Beregning av klassemidtpunkt 587 Median 591 Avvik, varians og standardavvik 595 Søylediagram og histogram 606 Misbruk av statistikk Sannsynlighetsregning 610 Er tilfeldigheter tilfeldige? 610 Sannsynlighet 611 Mengdelære 613 Forsøk, utfall og utfallsrom 616 Hending 617 Hendinger og sannsynlighet 618 Addisjonssetningen 620 Uavhengige og avhengige hendinger 622 Betinget sannsynlighet 628 Mer om uavhengige og avhengige hendinger 631 Produktsetningen 631 Valgtrær 632 Hva hvis utfallsrommet er stort? 636 Kombinatorikk 636 Multiplikasjonsformelen 636 Ordnete utvalg når vi trekker med tilbakelegging 639 Ordnete utvalg når vi trekker uten tilbakelegging 642 Fakultet 644 INNHOLD side 11

12 Uordnete utvalg når vi trekker uten tilbakelegging 645 Uordnete utvalg når vi trekker med tilbakelegging 649 Kombinatorikk og sannsynlighetsregning 650 Hypergeometriske forsøk 651 Introduksjon til binomiske forsøk 655 Binomiske forsøk 656 Fødselsdag på samme dato Et løst og et par uløste matematiske problem for spesielt interesserte 669 Et løst problem Fermats siste teorem 669 Et bevis som ikke holder 672 Primtall 673 Euklid beviser at det finnes uendelig mange primtall 674 Tvillingprimtall 675 Perfekte tall Arven fra Pytagoras Glimt fra matematikkens historie 677 INNHOLD side 12