Matematikk 1, 1-7 Brøk på barnetrinnet

Transkript

1 Matematikk 1, 1-7 Brøk på barnetrinnet Et lite hefte om noen store ideer

2 Hva er det som gjør brøk så vanskelig? Det er veldig mange elever som sliter mye med brøk, og all forskning viser at det er mange som ikke utvikler sin matematiske forståelse innen dette temaet nok til å fortsette med matematikk i videre utdanning. Det første spørsmålet vi kan stille er hvorfor det er så viktig å ha brøk på skolen hvis man vet at det er vanskelig? Kan man ikke bare hoppe over det? Før vi kommer til det spørsmålet skal vi se litt på hva det er som er så utfordrende og nytt i matematikk når man begynner med brøk en gang på mellomtrinnet. Nye, mer komplekse enheter og ny notasjon: En har alltid vært et objekt før man kommer til brøk (selv om vi har at en gruppe består av flere objekter). Enheten kan nå bestå av flere objekter, eller av bare en del av et objekt, eller flere objekter pluss en del av ett objekt. I tillegg så deler man enheten i like store deler og en ny notasjon er introdusert for å referere til en del av enheten. Videre er det ikke en entydig måte å uttrykke denne delen av enheten. Samme størrelse kan uttrykkes ved forskjellige navn, for eksempel viser ½, 2/4, 6/12 og 9/18 til samme del av en gitt enhet. Nye operasjoner og størrelser: Mens elevene jobber med hele tall, bruker de i hovedsak additive strukturer (addisjon og subtraksjon). Før elevene begynner med brøk, utvikler de en veldig smal forståelse for multiplikative strukturer (det går helt fint å bruke gjentatt addisjon/subtraksjon for å løse multiplikasjons/divisjonsoppgaver). Grunnen til det er at dypere forståelse for multiplikasjon og divisjon kan utvikles først når eleven er i stand til å jobbe med sammensatte enheter, og brøknotasjonen er nødvendig da, for å presentere komplekse størrelser som kommer fram som resultater i multiplikasjon og divisjon. Dette er også den viktigste begrunnelsen for å arbeide med brøk i skolen utvikling av dypere forståelse for multiplikative strukturer. Når man jobber med hele tall, så er størrelser forholdsvis enkle og stammer fra telling eller måling, som for eksempel 5 drops eller 7 meter. I multiplikasjon og divisjon produseres det nye størrelser 24drops som er sammensatte av flere andre. Et eksempel er 24 drops fordelt på 4 poser, eller 4poser 6drops. Man får en ny størrelse, drops per pose, som ikke kan måles i drops eller poser hver for seg. 1pose En annen ting er at hele tall kan presenteres fysisk, med å tegne drops, eller bruke brikker og lignende, mens størrelsen av typen 2,5 barn per familie eller 12 km per time ikke kan presenteres så enkelt. Noe som gjør det hele enda mer komplisert er at noen størrelser som uttrykker et forhold mellom to andre størrelser har et nytt navn som ikke refererer til de to størrelsene. Betrakt for eksempel forholdet mellom avstand og tid det tar å reise. Denne størrelsen er så vanlig at den har fått et eget navn: fart. Det er viktig å diskutere med elevene de størrelsene fart er en kombinasjon av. Mange elever, selv høyt oppe i grunnskolen, er ikke klar over at fart er forhold mellom avstand og tid. 1

3 Kollisjon med ideer knyttet til hele tall: I arbeidet med hele tall, bruker mange elever gjentatt addisjon som modell for multiplikasjon, og fordeling mellom et viss antall personer som modell for divisjon. I brøkverden er disse modellene ubrukelige. Det er nødvendig å bygge opp nye måter å tenke på siden de gamle ikke fungerer lenger. Elevene opplever problemer i sitt møte med brøk fordi de prøver å knytte det nye til det de kan om hele tall og operasjonene på dem. Et eksempel på dette er en oppfatning om at multiplikasjon gir større tall og divisjon gir mindre tall som svar. Elevene blir overrasket og har vanskelig for å forstå det, når de opplever at det ikke stemmer med brøk. Det er flere andre problem. Multiplikasjon er kommutativ (3 4=4 3), men elevene (og mange voksne) begynner å være utrygge på dette når størrelsene blir mer komplekse. Å kjøre i 3 timer med fart på 60 km/t er en veldig annerledes tur enn det å kjøre 60 timer med en fart på 3 km/t, for å illustrere dette med et eksempel. Noen andre problem: - Selv om brøk skrives med to tall, så representerer den ett tall. - Selv om 7>3, så er 1/7 < 1/3. - Det er noen nye regler for addisjon og subtraksjon, - Men, regelen for multiplikasjon holder fremdeles, Går det an å gjøre noe med dette? Forskning viser at brøkundervisning i skolen i stor grad er basert på hel-del illustrasjoner som baserer seg på telling i starten, for så å gå over til bruk av regler for regning uten at elevene har fått tilstrekkelig forståelse for verken brøkbegrepet, de involverte operasjonene eller reglene man forventes å bruke. Det er mange forskjellige meninger/tolkninger som kan presenteres av en gitt brøk (for eksempel ¾, som vi skal se nedenfor). Undervisningen bør være slik at eleven blir kjent med mange tolkninger og sammenhenger mellom dem og utvikler en fleksibilitet i sitt arbeid der han kan velge en tolkning som gir mening i en gitt situasjon. Det er rett og slett ikke nok å ha bare hel-del tolkning i basisen. Brøkbegrepet er tett knyttet til multiplikativ (relativ) tenking og nåværende undervisningsmetode der man introduserer brøk som hel-del, for så å gå videre til regnealgoritmer og regler gir ikke nok tid til at mange elever rekker å utvikle de viktige ideene og måter å tenke på. Langvarige studier viser at undervisning og læring kan forbedres. I studier der elever har fått tid til utvikle resonnering og tenkning uten at standard algoritmer for regning med brøk har blitt presentert, viste elevene dramatisk framgang i sin evne til å resonnere, og mer spesifikt, i sin multiplikativ/relativ resonnering og tenkning. Det faktum at en stor del av den voksne befolkningen ikke klarer å resonnere multiplikativt peker mot at utvikling av slik resonnering ikke er noe som skjer spontant og at en lærer bør ta en aktiv rolle i denne prosessen. Det er estimert at over 90 % av elever som starter på videregående skole ikke klarer å resonnere på en måte som er nødvendig for å studere videre matematikk eller naturfag. Selv for elever som ikke kommer til å fortsette med matematikk og naturfag i sin utdanning, er resonnering viktig i mange hverdagslige kontekster for å delta i samfunnet, forstå avisartikler og lignende, bør man kunne forstå prosent, sannsynlighet, formlikhet, det å lese kart, økning og reduksjon, valutaomregning, beste kjøp, forbruk av gass, osv. Brøk er utfordrende og forutsetter en ny måte å tenke på, men samtidig er arbeid med brøk uunnværlig i utvikling av dypere multiplikativ tenkning som er en av de helt sentrale ideer i matematikk. Forskning viser at arbeid der det legges vekt på sentrale aspekter/ideer i brøkbegrepet,

4 samt resonnering, fremfor prosedyreregning gir gode resultater. Elevene blir ikke bare bedre til å resonnere og jobbe på uformelle måter, de blir bedre også på tradisjonell regning. I dette heftet skal vi se på noen utdrag fra boka til Susan Lamon, Teaching fractions and ratios for understanding, og fra Fosnot & Dolk sin bok Constructing Fractions, Decimals, and Percents. I begge bøkene er det konkrete eksempler fra arbeidet med brøk som går på utvikling av resonnering og forståelse. Med, før vi begynner å se på det, må vi tenke over: Hva kan symbolet 4 3 stå for? Tolkninger/interpretasjoner av brøk Det er mange mulige meninger bak et brøksymbol. Tradisjonelt har man i undervisningen fokusert på hel-del sammenligninger, og algoritmer for å regne har blitt introdusert nokså tidlig. Dette medførte at elevenes forståelse for en kompleks struktur (rasjonale tall) har basert seg på en veldig smal og ustabil grunnmur. Man kan dele tolkninger av brøksymbolet i fem kategorier, som i tabellen under ( med brøken 4 3 som eksempel): Tolkninger av 4 3 Betyr Klasseromsaktiviteter Hel-del sammenligninger (med forskjellige biter) 3 av 4 like store deler Måling ¾ er 3 (1/4- målenheten), for eksempel 3 kvarter er ¾ av en time. 3 betyr tre av fire like store deler (som enheten er 4 oppdelt i). Likeverdige brøker finnes ved å tenke enheten oppdelt i større eller mindre biter, som for eksempel 3 (av en kake)=3 av 4like store deler av en kake betyr en avstand av 3 ( av målenheten) fra på tallinja (målenhet på tallinja er tallet 1) Enhet (en hel) som deles opp i like store deler, tar noen av delene. Deler opp enheten på ulike måter for å sammenligne brøker, se på likeverdige brøker. Suksessiv oppdeling av tallinja, avlesing av diverse måling Operator 4 3 av noe 4 3 gir en regel som forteller oss hvordan vi skal operere på en enhet (eller på resultatet av en tidligere operasjon). Det betyr multipliser med 3 og del så resultatet med 4, eller del med 4 først og så gang med 3. Eksempel: ¾ av klassen er jenter, det er 24 elever i klassen. Forstørring/forminsking, endring i prisene. Kvotient 3 delt på 4 Proporsjon 3 til 4 3 er mengden som hver person får når 4 personer 4 deler 3 av noe, for eksempel 3 sjokolader som skal fordeles mellom 4 barn. 3:4 er en sammenheng der 3 A er sammenlignes, multiplikativt med 4 B er. For eksempel antall jenter og Fordeling Målestokk, forhold. 3

5 antall gutter i en klasse er 3:4 (for hver 3-gruppe av jenter har man en 4-gruppe av gutter). Målestokk på kart er et annet eksempel. Det er naturlig å stille spørsmålet om hvilke undervisningserfaringer som vil gi den beste forståelse av rasjonale tall. Vi kan stille spørsmålet på ulike vis, en av dem er Skal vi gå i dybden på en av tolkningene eller skal undervisninga være innom alle tolkningene?. Ikke alle tolkningene gir samme tilgang til en dyp forståelse av rasjonale tall, og det er ikke en av tolkningene som er en universalmedisin. Tolkningene er knyttet nært sammen, og vokser sammen. Susan Lamon og hennes kolleger gjennomførte en studie over flere år på fem skoler. Elevene ble undervist i brøk gjennom 4 år, i 3., 4., 5. og 6. trinn, og i de forskjellige skolene ble det brukt de fem ulike interpretasjoner som introduksjon og hovedområde, men i alle tilnærminger hadde man fokus på multiplikativ tenkning og resonnering, utvikling av forståelse. En sjette skole som har jobbet med temaet på en mer tradisjonell måte (hel-del, for så å presentere måter å regne på) ble brukt i studien som en kontrollgruppe. Eksemplene på elevarbeid som Lamon tar opp i sin bok stammer fra denne studien. Etter fire år undersøkte man elevers forståelse innenfor alle fem tolkninger, samt deres ferdigheter i proporsjonal resonnering og regning. Forskerne konkluderte med at elever trenger en start i en av tolkningene av brøk. Uansett hva man starter med, bør ideen om enhet (hel) og ekvivalens av brøk utvikles. Elever bør utvikle måter for å sammenligne brøk, slik at de har en forståelse for den relative størrelsen av brøk. De trenger lang tid for å jobbe innenfor den gitte tolkningen, slik at de kan utvikle en rik oppfatning om brøk og fortrolighet og fleksibilitet i brøktenkning. Undervisningen bør samtidig utvikles mot andre sentrale strukturer (tolkninger). Uansett hvilken struktur man jobber innenfor, bør man ha fokus på resonnering (opp og ned), samvariasjon av størrelser (hvordan to størrelser varierer sammen i en multiplikativ relasjon), og relativ tenkning. Studien viser at det tar lang tid å bygge forståelsen, at det ikke var noe som kom over natta, men elever i alle fem skolene i Lamons studie overrasket lærere til slutt med sin fremgang og resultater. Dette heftet I denne omgang skal vi se på eksempler fra to tolkninger/interpretasjoner av brøk: hel-del og kvotient (fordeling). Disse to interpretasjonene er de to tolkningene elevene oftest møter i brøkundervisning, og vi skal se på eksempler på hva som kan være muligheter og utfordringer under arbeidet innen disse to tolkningene. Vi skal se på noen av de store ideene innen brøk, og hvordan vi som lærere kan fremme resonnering og forståelse. Del 1 i dette heftet er en kopi av kapittel 3 fra Lamon sin bok Teaching fractions and ratios for understanding. Kapittelet er om relativ og absolutt tenking, og relativ tenking er selve grunnmuren for arbeidet med brøk. Del 2 er om betydning av enheten i arbeidet med brøk og hvordan variasjon av type enheter fremhever forståelse og resonnering. Denne delen er også et sammendrag/oversettelse av deler av boka til Lamon. Del 3 er om resonnering opp og ned som er en av de viktigste strategiene i arbeidet med brøk, en strategi som fremhever relativ tenking og forståelse for hvordan to størrelser som er i et multiplikativt forhold endres sammen og hvordan vi kan bygge på det i arbeid med brøk. Denne delen er et sammendrag/oversettelse av deler av boka til Lamon. 4

6 5

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 Del 2 Enhet I oppgaven nedenfor ser vi på brøk som en del av en hel. Men, hva er en hel her? Og hvordan tenker elevene omkring en hel? Analyser elevers besvarelser. Nils kjøpte en Twins-sjokolade og den besto av to sjokoladestenger. Den skyggelagte delen viser hvor mye han spiste. Hvor mye av sjokoladen spiste han? Kristin: 4 5 fordi 5 små 4 1 stykker er skyggelagt Jan: 8 5 fordi det er 8 stykker og 5 er svarte. Ole: 1 og en bit. Kari: Det må være 8 5 fordi 4 5 er umulig. Du kan ikke ha mer enn en hel sjokolade. Enheten Skal vi diskutere problemer som involverer brøk så må vi først ha en enhet, altså, vi må ha en klarhet i hva som er en hel. Alle brøker er avhengige av en enhet. Hvis noen sier at du kan få halvparten av pengene hans så er det umulig å si hvor mye dette egentlig er. Når vi jobber med brøk så trenger ikke enheten å være ett enkelt objekt. Arbeider vi med hele tall vil en bety ett objekt. Arbeider vi med brøk så vil en (1) bety hele størrelsen du har før du har begynt å dele opp, en hel samling av objekter, en gruppe objekter betraktet som en enkel enhet og så videre. Alle brøker er relative størrelser, det vil si de forteller hvor mye du har i forhold til enheten. Eksempel 1

18 Hvis enheten er så vil representere 3 1. Eksempel 2 1 Hvis enheten er * *, så vil ***** så vil representere 2. 2 Elever trenger tidlig i brøkundervisinga å lære at enheten er noe som varierer i ulike situasjoner, og at det første spørsmålet de må stille seg er: Hva er enheten, hva er det som er en hel, hva er det man starter med, sammenligner med?. Løs følgende problem, analyser deretter elevsvarene. Hva er det som er enheten her og hvordan tenker elevene om enheten? Treneren tok seks av håndballspillerne sine med ut for å spise pizza. De bestilte 2 store pizzaer, en pepperoni og en skinke. Alle sju spiste ett stykke av hver pizza. Hvis hver pizza var delt i 12 like store stykker, hvor mye av pizzaen ble spist? 14 Jonny: De spiste av pizzaen Sara: av pizzaen. 12 Nils: 14 stykker. Det å bestemme enheten i et brøkproblem skal ikke være en personlig tolkning. Hver situasjon må, eksplisitt eller indirekte, definere hva enheten er. Betrakt følgende spørsmål: Hvilken brøk er representert? Finn fem svar. Hva er enheten i de ulike svarene? En enhet kan være eksplisitt eller indirekte gitt. Hvis den er eksplisitt definert så blir vi fortalt (tydelig) hva enheten er. I eksemplet med sjokoladen i starten av denne delen er det all sjokoladen til Nils, altså begge stengene som er en hel, enhet. I eksemplet med håndballspillerne og pizza referer pizzaen til all pizza de bestilte, altså enheten er 2 pizzaer.

19 Enhet indirekte definert I noen oppgaver kan enhet være indirekte definert, så blir vi ikke fortalt hva den er, men da får vi nok informasjon til at vi kan finne ut hva den er. Per og vennene hans bestilte 2 pizzaer. Hver pizza var delt i 8 stykker. De spiste 13 pizzastykker. Hvor mye av pizzaen var igjen? Randi har 4 drops igjen. Hvis disse dropsene er 3 2 av det hun hadde før hun begynte å spise, hvor mye hadde hun da til å begynne med? Se på brikkene nedenfor. 1. Hvis den røde brikken er 1, hva er da verdien på de andre brikkene? 2. Hvis 2 gule er 1, hva er da verdien på de andre brikkene? Prøv å lage flere spørsmål. Prøv å lage noen veldig vanskelige spørsmål. Løs oppgaven med drops og oppgaven med brikker ovenfor og tenk gjennom hvordan disse oppgavene kan fremme resonnering opp og ned. Ulike typer enheter Det er viktig at elevene får jobbe med enheter av ulik type. Det er veldig vanlig i skolen at man introduserer brøk gjennom hel-del-kontekster, og det er veldig ofte slik at enheten er hele tiden bare EN pizza eller EN kake. Vi bør presentere problemer som involverer ulike typer enheter for å fremme forståelsen av brøk som et forhold mellom to størrelser. Elever må lære, blant annet, at det er uviktig hvilken representasjon av enheten de velger, den vil ikke påvirke svaret. I noen situasjoner er det kanskje enklere å bruke et rektangel enn en sirkel (hvis man skal, for eksempel, dele i fem like store deler. Andre ganger kan det lønnes å tenke på 12 knapper som en enhet for eksempel hvis man skal sammenligne 1/2, 3/6 og 6/12.

20 Drøft elevbesvarelser på følgende oppgave: Hvor stor del av hver figur er skravert, skriv svaret som brøk. Viser brøkene til samme størrelse? Hvordan kan du vite det? Mons: I sirkelen er 2 2 skravert. I boksen er 4 4 skravert. De kan ikke være det samme siden en er en boks og den andre er en sirkel. Arild: 2 1 er skravert i begge bildene. Det er samme brøk men ikke samme størrelse, det kan du finne ut slik Janne: 4 2 er skravert i sirkelen og 8 4 er skravert i rektangelet. De er det samme siden halve bildet er skravert. Arbeid med ulike enheter fremmer fleksibiliteten i valg av måter å tenke på i ulike situasjoner (elever kan velge det som passer til en gitt situasjon), og det fremmer tenking om brøk som et multiplikativt, relativ forhold, og ikke bare telling av delene. Ulike enheter kan være: Ett kontinuerlig objekt, for eksempel en kake Mer enn ett kontinuerlig objekt, for eksempel to kaker Ett eller flere kontinuerlige objekter som er delt i biter, for eksempel en sjokolade.

21 Diskrete objekter (separate ting, distinkte deler), som for eksempel en samling av klinkekuler. Diskrete objekter som er pakket på en spesiell måte, for eksempel en kartong egg, en bruskasse. Sammensatte enheter, det vil si enheter som består av enkle pakker som inneholder flere objekter, for eksempel en pakke tyggegummi. Det er vanlig å starte brøkundervisinga gjennom hel-del-kontekster, gjerne gjennom tegning og fargelegging. Som nevnt ovenfor kan lite variasjon i enhet, og lite fokus på at brøk er et forhold føre til at man baserer seg på telling, at det utvikles lite forståelse og at man etter hvert, når man kommer til regning, ikke har annet valg enn å prøve å huske noen prosedyrer og formler. Noen vanlige problemer som oppstår er i tillegg: Enheten er av og til ikke delt i deler som er like store. Avgjørelser om brøker er likeverdige og størrelse på brøker tas på bakgrunn av brøker som ikke refererer til sammen enhet, eller så er ikke enhetene like store (en liten pizza delt i 8 like store stykker og en større pizza delt i 8 like store stykker) Likeverdighet av brøker og sammenligninger av brøker tas på bakgrunn av tegninger Det er derfor viktig at man unngår for mye tegninger (ikke så lett å dele en sirkel i 3 like store deler), konsentrer undervisinga om resonnering og de viktige ting. Brøk som forhold mellom to størrelser. Relativ tenkning. Identifisere enheten, tolke og identifisere hver brøk i henhold til enheten. Være selv bevisst, og gjøre elevene bevisst, på betydning av enheten. Bruke kontinuerlige og diskrete enheter av ulik type, resonnere opp og ned, og finne enhet når den er implisitt definert. Jobbe med deling og sammenligninger, legge vekt på sammenhengen mellom størrelse og antall deler i stedet for telling.

22 Aktiviteter Aktivitet 1 Hvor mye er skyggelagt i dette bildet: a. når enheten er b. når enheten er c. når enheten er d. når enheten er Aktivitet 2 a. Hvor stor del av figurene over er smilefjes? b. Hva er enheten i oppgave a? c. Hvor stor del av smilefjesene er dette?

23 d. Hvor mange deler er det i enheten i oppgave c? e. Hvor stor del av firkantene er dette? f. Hvor mange deler er det i enheten i oppgave e? Aktivitet 3 Lag ei skisse for følgende forhold. a. Fem nideler av gruppen er jenter. 5 b. Jeg har 4 mål med jord, av disse er planta med korn. 6 2 c. Jeg har 10 mål med jord men av disse er et vatn. 5 5 d. Jeg hadde 2 kaker, men nå har jeg spist av de. 6 7 e. Jeg har 2 muffins, Jens har så mange som jeg. 4 Aktivitet a. Hva er størst, av et jordstykke eller av samme jordstykke? b. Hva er lengst, av ei mil eller av ei mil? c. Hva er størst, av ei sjokoladekake eller av samme kake? 4 10 Aktivitet 6 Bruk denne mengden av hjerter til å ordne disse brøkene etter størrelsen, fra minst til størst, 5 2 5,,

24 Del 3 Resonnering opp og ned Elevstrategier Simen, 3.klasse, Amanda, 4.klasse og Geir, 5.klasse fikk oppgaven under. Løs den først selv, analyser så elevenes løsninger. Hvis 3 pizzaer er nok til 9 personer, hvor mange pizzaer trenger jeg hvis jeg skal servere 108 personer? Simen Amanda 3 pizzaer for 9 personer pizzaer for 45 personer pizzaer for 90 personer pizzaer for 99 personer pizzaer for 108 personer Geir 3 p. for 9 pers. 30 p. for 90 pers. 6 p. for 18 pers. 36 p. for 108 pers. Merk at en måte å løse problemet ovenfor ville vært å gå veien om 1, dvs. å regne ut at en person spiser 1/3 av en pizza, for så å gange 1/3 med 108. Men, ingen av elevene tenker på denne måten. Strategien elevene bruker ovenfor (på litt ulike måter) kaller vi å resonnere opp og ned. Denne tenkeprosessen faller naturlig for elever. Gjentatt forskning dokumenterer barns bruk av en bygge opp strategi når de løser oppgaver om forhold. Ved å bruke denne strategien så finner de et forhold og utvider dette til et annet forhold ved å bruke addisjon. Et annet eksempel: 2 viskelær koster 6,40. Hva koster 6? 6,40 for 2 6,40 for 2 mer gir 12,80 for 4 6,40 for 2 mer gir 19,20 for 6 Denne bygge opp strategien bruker barn spontant og det er en intuitiv strategi som virker i mange situasjoner.

25 Vi ser på et eksempel til: er 5 4 av klinkekulene mine. Hvor mange eier jeg? Veien om 1 -måten som man ofte legger vekt på i skolen ville vært å dele 8 med 4, og så gange med 5. Men man kan også tenke slik: 8 kuler er 5 4. Fleksibilitet 1 1 Da må 2 kuler være. Som gir at er alle kulene mine. 5 5 Vi ønsker at våre elever skal kunne tenke fleksibelt om alle størrelser/mengder. En person som er fleksibel i sin tenkning vil kunne velge den beste måten å gjøre noe på, og det er klart at dette er en fordel sammenlignet med en som kan gjøre ting på bare en bestemt måte. Noen eksempler vil vise hva som menes med dette. Tenk deg at du går på butikken og ser et oppslag om at 3 kiwier koster 6,70 kr. Du ønsker å kjøpe 9 kiwier. Hvis du tenker i form av enkelte kiwier, veien om 1, vil du finne ut at en kiwi koster 2, kr. Nå trenger du å multiplisere med 9 for å få hva 9 kiwier koster. Dette innebærer også en avrunding av tallet. I dette tilfelle ville det vært enklere å resonnere opp, dvs. hvis vi ønsker å kjøpe 9 kiwier, så er det 3 (3-kiwier) og prisen er da 3 ganger 6,70 kr, altså 20,10 kr. Lærebøker oppfordrer sjeldent denne fleksibiliteten; det er heller slik at noen av prosedyrene motarbeider utviklingen av fleksibilitet og resonnering. La oss prøve et annet tankeeksperiment. Tenk deg at du er i følgende situasjon på butikken og du har ikke kalkulator for hånden og heller ikke penn og papir. Hva ville du gjort? Tenk på det før du fortsetter å lese. En pakke med Bites cereal som veier 1,6 kg koster 33,60 kr og en annen pakke (samme type frokostblanding) veier 1,2 kg og koster 26,40 kr. Noen lærebøker viser til elevene hvordan de kan bruke enhetsprising (veien om 1) metode i slike beste kjøp problemer. Elevene blir fortalt at de bør dele 33, 60 med 1, 6 for å finne prisen for 1 kg. Deretter skal man dele 26, 40 med 1,2 for å finne kiloprisen for den mindre pakningen. Blant voksne er det flere andre metoder å løse problemet. Den såkalte enhetsprising metoden, altså sammenligning av prisen for 1 kg i begge tilfeller, var sjeldent brukt i et utvalg på flere

26 hundre voksne i en ekte butikk. De fleste synes at det er vanskelig å dele slike tall i hodet, så man utvikler andre metoder uten bruk av kalkulator, penn og papir. Den mest brukte metoden blant voksne var å sammenligne 0,4-kg-pakker, sannsynligvis fordi man får enklere tall å dele med. Altså, de fleste voksne tenkte på 1,6 kg som 4 (0,4-kg-pakker) og 1,2 kg som 3 (0,4-kg-pakker). Dermed blir det slik at, for pakken på 1, 6 kg, er prisen for 0,4 kg lik 33,60:4=8,40 kr. For pakken på 1, 2 kg er prisen for 0,4 kg lik 26,40:3=8,80 kr. Altså, resonnerer man ned for å komme til en felles mengde slik at man kan sammenligne prisen enklere. Hvis vi virkelig er interessert i å hjelpe barn i utviklingen av resonerings evne, og ikke deres ferdigheter i å følge blindt visse prosedyrer, så nytter det ikke å øve seg på enhetsprising metoden. For å hjelpe elever i utvikling av fleksibiliteten i situasjoner som best kjøp - problemet, bør man oppfordre til arbeid med mange forskjellige løsningsstrategier og diskutere hvilke strategier som er enklere, raskere eller mer fornuftige i visse situasjoner. Hvis det er slik at du ikke har kalkulator og ikke penn og papir, tenkning i form av 0,4-kg-pakker gjør problemet ovenfor enklere å regne ut i hodet. I problemet med kiwi, bruk av 3-pakker av kiwi er mer elegant fordi man unngår problemet med uendelig mange desimaler og avrunding. En annen overbevisende grunn til oppfordring av fleksible omgrupperinger er at barn tenker i ulike pakker og de resonnerer opp og ned, naturlig og lett, lenge før de begynner med det på skolen. Elevarbeidene vi hadde i starten av denne delen er et godt eksempel på dette. Her skal vi se på et eksempel på hvordan noen elever på et 4. trinn løser en oppgave om beste kjøp. Oppgaven var: Jeg vil kjøpe juice til sykkelturen. Jeg liker både appelsinjuice og eplejuice. Appelsinjuicen er større og koster 17,10 kr. Eple koster 11,20 kr. Hva er beste kjøpet? Appelsin 12 dl Eple 8 dl Og her er noen av strategiene elevene har brukt:

27 Maren: Hver liten slurk koster 112 : : Eple er litt mindre penger. Arild: Du kan tømme elpleboksen inn i appelsinboksen. Det passer 1 hel gang + 1 halv. 112 : = 16,80 mindre enn appelsin Janne: Hver slurk av epla koster 112 : Hver slurk av appelsinen koster 171: rest 3 Janne brukte enhetsprisingsmetoden: dvs. hun fant prisen for 1 dl for hver av drikkene. Disse elevene har ikke blitt undervist i noen metode for å sammenligne priser, så Jannes metode er noe hun kom frem til selv. Maren og Arild brukte også intuitive, og enda mer sofistikerte metoder. Maren la merke til at hver drikke kunne presenteres som et multiplum av 4 dl. Hennes lille slurk var åpenbart på 4 dl. Hun så at det var 2 biter på 4 dl i en juicepakke på 8 dl, og at det var 3 biter på 4 dl i en pakke på 12 dl. Hun brukte altså metoden som blir brukt av voksne i 1 ekte situasjoner, som beskrevet ovenfor. Arild la merke til at appelsinjuicepakken var 1 av 2

28 eplejuicepakken. Dette ledet ham videre til å regne ut av prisen for appelsinjuice. Strategien til Maren og Arild er nyttige og korrekte intuitive strategier. Mer resonnering opp og ned Alle brøker presenterer et multiplikativt forhold mellom to størrelser antall pizza i forhold til antall personer (1/3, dvs. en pizza på 3 personer i det første eksemplet), antall stykker som er spist i forhold til antall stykker i en pizza totalt (i vanlige kontekster med hel-del av pizza), prisen av noe i forhold til mengden (i beste kjøp oppgaver), osv. Resonnering opp og ned er ikke bare en intuitiv og fleksibel strategi, den er også en strategi som fremmer relativ, multiplikativ tenking i større grad enn en for eksempel telling eller fokus på noen faste metoder (som veien om 1 eller regler for likeverdige brøker/forkorting, for eksempel). Den første oppgaven i denne delen, oppgaven med pizza og personer, er en oppgave med fordelingstolkning av brøk og skriver vi ned alle forhold elevene bruker i regningen, får vi likeverdige brøker: En vanlig måte som brukes ofte i skolen (hel-del tolkning) ville vært å dele en pizza i 3 deler og skyggelegge en av dem; dele den så i 12 deler og skyggelegge 6 av dem osv., for så å diskutere at det blir det samme. En ting er at denne fremgangsmåten baserer seg på telling og det visuelle i et bilde, uten å fremheve relativ tenkning, et annet problem er at det kan være vanskelig (umulig?) å tegne et bilde med store og vanskelige tall for å se for eksempel at 21/28 er det samme som 4 3. I eksemplene vi har sett ovenfor, resonnerer de fleste elevene opp og ned i de gitte oppgavene. Denne fremgangsmåten involverer en del additive strategier (se på løsningsforslagene i oppgaven om antall pizza og antall personer). Det et spørsmål om noen barn ser de multiplikative relasjoner når de velger å fortsette med additive strategier som gir korrekte svar. Fokuserer de på sammenhengen mellom de to mengdene? Ser de at de korresponderende antallene av pizzaer og personer har det samme forholdet? Ganske ofte vil intervju med barna avsløre at de ikke gjør det. Med bygge opp -strategien er det slik at de ser separat på hver mengde. Suksess med additive strategier oppmuntrer ikke nødvendigvis til utforskning av mer effektive strategier, og vi skal nå se på de neste stegene, steg som vil bygge barnas tenkeevner lenge etter den første undervisninga i brøk. I stedet for å lære elevene en algoritme for å løse oppgaver om proporsjoner, noe som dramatisk minsker sjansen for at elevene vil engasjere seg i slike problemer, så må lærere ha tiltro til at å oppmuntre til å resonnere opp og ned vil gi kraftige og meget effektive tenkestrategier. Med tida så vil til slutt elever som starter med å resonnere opp og ned komme fram til algoritmen. Selv om sluttresultatet er det samme så er forskjellen at elever som har jobbet med resonnering har utviklet strategisk planlegging, tallforståelse, og tiltro til egne evner til å løse oppgaver. Først så vil mange barn bruke halvering og dobling, og de kan bruke mange steg for å løse et problem. Mens de utvikler strategier så vil antallet slike steg minske. Se tilbake på startproblemet for denne, se hvordan antallet steg i løsningene minsker etter hvert som elevene blir eldre. Når elevene får mer erfaring med å resonnere, så blir de flinkere til å tenke ut hvor

29 store sprang de kan gjøre (doble, multiplum av 5, 10, 30 50? Etc.). Det er lurt å variere spørsmålene, hvilke mengder en bruker, og hvilke tall en bruker, slik at elevene tvinges til å tenke på sammenhenger og utvikle stadig mer effektive strategier. Dette kan gjøres på flere vis: - gi oppgaver der begge mengder minsker - gi oppgaver der begge mengder øker - gi oppgaver der det er umulig å unngå brøk, slik at elevene ikke kun kan bruke heltallige operasjoner - gi oppgaver der løsningene tillater kombinasjoner av multiplikasjon/divisjon og addisjon/subtraksjon - gi oppgaver som ikke kan løses ved halvering/dobling.

30 Aktiviteter som kan brukes med elevene for å fremme resonnering opp og ned. Prøv deg på dem selv. Aktivitet 1 a. Hvis samlingen under er ? 3 Hvor mange hjerter er da b. Hvis dette er 3 1. Da er hvor mange rundinger? 5 2 c. Hvis antallet piler under er Hvor mange piler er da? 3 9 Aktivitet 2 Frank spiste 12 kakestykker og Daniel spiste 15. Jeg spiste 1 mindre sa Frank. Er det noen av dem som har rett? mer sa Daniel. Nei, jeg spiste 4

31 Aktivitet 3 Løs oppgavene under ved å resonnere opp og ned. Hvis skolen tjener $1,15 per billett, hvor mye tjener den om en selger 128 billetter? Hvis en bøtte med tennisballer koster $4,49, hvor mange bøtter kan en da kjøpe hvis en har $70? Mari springer 10km på 45min. Med denne farten hvor lang tid ville hun ha brukt på 6,25 km? Tre bokser med korn er på salg for $6,88, hvor mye koster da 17 bokser? Hvis 1 cm på ett kart representerer 195 km, hvor langt fra hverandre er da to byer som på kartet er 2,125 cm fra hverandre? For hver $3 som Max sparer så vil faren bidra med $5. Hvor mye må Max spare før han kan kjøpe en sykkel til $120? Aktivitet 4 Ved bord A sitter det 3 barn. Ved bord B sitter det 4 barn. Under får dere opplysninger om hvor mange kaker som skal deles ved hvert bord. Bestem i hver oppgave om barna ved de to bordene får like mye. Hvis ikke, hvem får mest, et barn ved bord A eller et barn ved bord B? Hvor mye mer? Ikke lag tegninger. Tenk høyt. a. b. c. d. e. f. g. BORD A 3 barn deler BORD B 4 barn deler 3 kaker 5 kaker 7 kaker 8 kaker 8 kaker 10 kaker 9 kaker 12 kaker 1 kake 1 kake 4 kaker 5 kaker 2 kaker 5 kaker