Fordypning i sentrale matematiske ideer som er relevant for matematikklærere i grunnskolen

Transkript

1 Fordypning i sentrale matematiske ideer som er relevant for matematikklærere i grunnskolen Bakgrunn Våren 2013 ble NRLU bedt av KD om å koordinere en prosess for å utarbeide forslag til tiltak for å styrke matematikkfaget i lærerutdanningen. Dette skjedde i dialog med Nettverk for matematikk i lærerutdanning, Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen og Norsk matematikkråd. Det ble foretatt en kartlegging av igangsatte og foreslåtte tiltak ved institusjonene. NRLU utarbeidet, i tett samarbeid med Nettverk for matematikk, ni tiltak for å styrke matematikkompetansen for lærerstudenter, lærere og faglig tilsatte i lærerutdanningene. Tiltaket vi har konkretisert i dette notatet er et nytt, felles matematikkurs for GLU 1-7. Dette tiltaket må sees i sammenheng med de øvrige tiltakene som skal bidra til å styrke lærerstudenters matematikkunnskaper: å innføre mer smågruppeundervisning, øke undervisningsomfanget og styrke grunnkursene, og å harmonisere og klargjøre arbeidskrav for lærerstudentene. Tiltak som er tenkt å styrke lærerutdannernes kompetanse er å øke deres digitale kompetanse, øke antall møtesteder for faglig samarbeid, styrke samarbeidet med praksisfeltet, og styrke matematikkfagets rolle i kommende forsknings, utviklings- og innovasjonssatsninger. I følge forslaget fra NRLU og Nettverk for matematikk som ble sendt til KD, skal det nye matematikkurset for GLU 1-7 være et 80 timers kurs som vektlegger matematikkunnskaper tilpasset for lærerstudenter og læreryrket. Hensikten med kurset er å styrke lærerstudenters matematikkunnskaper som er relevant for læreryrket, og bidra til nye og mer kreative måter å arbeide med faget på. Digitale verktøy skal tas i bruk. Den enkelte institusjon har frihet til å utvikle interne planer både for detaljert innhold og status, for eksempel med hensyn til arbeidskrav og plassering i studieløpet. Kurset bør evalueres etter et tre år og evalueringen må danne grunnlag for en eventuell videreføring av kurset. En må også vurdere om det bør innføres kurs etter samme mal for andre fag i lærerutdanningene. Hvis man vurderer at det er hensiktsmessig kan kurset forankres i de nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanning 1-7. Arbeidsgruppen som har utviklet innholdet i kurset er: Gry Tuset (sekretær, HSH) Ole Enge (HiST) Ida Heiberg Solem (HiOA) Toril Eskeland Rangnes (HiB) Ove Gunnar Drageset (UiT) 1

2 Innledning Forskere har slått fast at lærerens tilrettelegging av læringsmiljø og individuell læring er avgjørende for elevers læring (Nordenbo mfl, 2008). Det er likevel vanskelig å avgjøre hvilke egenskaper som er avgjørende hos den enkelte lærer. Det synes å være opplagt at matematikklærere må kunne matematikk for å undervise på en slik måte at elever lærer matematikk. Hodgen (2011) viser til studier hvor svake kunnskaper i matematikk hos læreren har negativ effekt på matematikkundervisningen. Han viser også til studier hvor en forbedring av kunnskaper i matematikk, ikke i seg selv førte til bedre undervisning. Mosvold & Fauskanger (2010) henviser til studier hvor en ser at selv om lærere har gode karakterer fra sin utdanning i matematikk på universitetsnivå, mangler de forståelse for skolens matematikk. En kan derfor ikke ta for gitt at lærere med god formalkompetanse i matematikk har den forståelsen som er nødvendig for å undervise i matematikk. Lærerkunnskap i matematikk inneholder noe mer enn generell kunnskap i matematikkfaget. I dag pågår det omfattende forskning både nasjonalt og internasjonalt hvor en prøver å identifisere kunnskaper lærere trenger. Mye av denne forskningen er inspirert av Shulmans (1987) kategorisering av lærerkunnskap. Blant annet har Ball og hennes kollegaer (2005;2008) gjort et omfattende forsknings- og utviklingsarbeid hvor de har videreutviklet Shulmans kunnskapsområder til å gjelde matematikkundervisning. Andre internasjonale forskere som har studert lærerkunnskap og undervisning av matematikk er Blömeke (2014), Löen mfl (2013), Ruthven & Rowland (2011), Hill mfl., (2007;2008), Ma (1999) og Fennema mfl (1992). Norske forskere som har arbeidet med dette er blant andre Fauskanger & Mosvold (2013), Hole & Kleve (2012), Solem & Hovik (2012), Fauskanger, Bjuland & Mosvold (2010), Kleve (2010a,b) og Enge & Valenta (2010). Disse studiene synliggjør ulike aspekt ved læreres kunnskaper, og de beskriver en lærerkunnskap som er kompleks og omfattende. Det å være lærer i matematikk i grunnskolen er både faglig og fagdidaktisk krevende. Flere studier som TEDS-M, PISA, TIMSS og Norsk matematikkråds forkunnskapstest, viser at norske elever på alle nivå, samt lærerstudenter, har mangelfulle kunnskaper i matematikk. Kunnskapsministerens bekymring for lærerstudenters svake matematikkunnskaper er derfor berettiget. Fagmiljøet ser også med bekymring på det voksende gapet mellom studentenes kunnskaper og holdninger når de kommer inn i utdanningen, og det de trenger for å bli gode matematikklærere. Det oppleves for stort til at lærerstudenter kan nyttiggjøre seg undervisningen i lærerutdanningen innenfor de rammer som er i det obligatoriske grunnkurset for GLU 1-7 studentene. Arbeidsgruppen har ikke tro på intensivkurs eller korte repetisjonskurs hvor det gjøres mer av det samme som studentene har vært eksponert for i tidligere skolegang. Det bidrar ikke nødvendigvis til utvikling av den nødvendige dybdeforståelsen i matematikk læreren trenger. Det å utvikle dyp forståelse for grunnleggende matematikk og kunnskap om hvordan slik forståelse utvikles hos barn, er for våre studenter krevende og en ny måte å møte matematikk på. Sowder (2007) fant, i en omfattende metareview, to sentrale fellestrekk ved gode lærerutdanninger i matematikk: at studentene selv får mulighet til å lære grunnleggende matematikk, og at utdanningen vektlegger utvikling av en undersøkende, problemløsende 2

3 tilnærming til undervisning og læring av matematikk. Fordypningskurset på 80 timer må derfor gi tid og mulighet til å utvikle dybdeforståelse i grunnleggende matematikk. Arbeidsgruppen har tro på at lærerutdannere i matematikk har nødvendig kompetanse til å gjennomføre og tilpasse kurset til aktiviteten på den enkelte lærerutdanning. Det innebærer at den enkelte institusjon utvikler interne planer både for innhold, deltakelse, arbeidskrav, godkjenningsordninger, og plassering i studieløpet. Vår anbefaling er at godkjent kurs blir et arbeidskrav i det obligatoriske grunnkurset i matematikk. Kurset prøves ut i en 3-årsperiode hvor en institusjon får et spesielt ansvar for å følge opp og evaluere prosjektet. Et slikt følgeprosjekt vil være et viktig bidrag i lærerprofesjonsforskningen i Norge. Formål og omfang Formålet med kurset er å styrke grunnskolelærerstudenters matematikkunnskap. Kurset skal bidra til at lærerstudenters kunnskaper oppfyller kravene de Nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningen trinn har til hva de skal kunne etter endt utdanning. Solid og reflektert forståelse i den matematikken elever skal lære, gir beredskap til å kunne analysere, vurdere og møte elevers ulike presentasjoner, ideer og løsninger. En slik dybdeforståelse i matematikk er avgjørende for å utvikle det Nasjonale retningslinjer for grunnskolelærerutdanningen trinn kaller undervisningskunnskap i matematikk. Solid undervisningskunnskap gir lærere mulighet til å gi elever gode og nøyaktige forklaringer og begrunnelser, analysere elevers matematiske ideer, bruke et presist språk, og velge og planlegge oppgaver og aktiviteter ut fra et matematisk perspektiv. Dyp forståelse og solid undervisningskunnskap bedrer kvaliteten i matematikkundervisningen i grunnskolen og elevers læring i matematikk. Solid og reflektert forståelse i matematikk er krevende å opparbeide og tar lang tid å utvikle. Det kan innebære å endre forståelse for hva det vil si å gjøre og kunne matematikk, og hva det innebærer å legge til rette for en matematikkundervisning som vektlegger en slik forståelse. Intensjonen med kurset er derfor å bidra til en slik utvikling og endring, ved å gi rom og tid til relevante læringsaktiviteter i matematikk som vektlegger eksperimentering, drøfting og refleksjon. Kurset er tenkt å være eksemplarisk for å bidra til nye og kreative måter å arbeide med faget på. Målgruppe: Alle studenter på GLU 1-7 Omfang: 80 timer Innhold Kurset er en sammenfletting av en faglig matematisk komponent og en profesjonsmatematisk komponent. Den faglig matematiske komponenten innebærer matematisk kunnskap og ferdigheter i og om matematikk. Den profesjonsmatematiske komponenten består av spesialisert fagkunnskap og ferdigheter som er unik for matematikklærere. Utvikling av en dybdeforståelse i grunnleggende matematiske ideer, er den sentrale aktiviteten i kurset. Det innebærer tilrettelegging av relevante aktiviteter som innebærer å 3

4 pakke ut matematikk og gjøre den synlig og tilgjengelig for læring, sette seg inn i og diskutere ulike perspektiv og tenkemåter, og reflektere over hva som skal til for å forstå en matematisk idé for første gang. Sentrale aktiviteter vil derfor være å velge, lage og bruke ulike representasjonsformer effektivt, å forklare og rettferdiggjøre matematiske ideer, gjennomføre og forstå matematiske prosesser og argumenter, og å forstå og ta stilling til andres ideer og argumenter på en kvalifisert måte. Aktiviteter i kurset er sentrert om tall og tallregning og er eksemplariske for andre matematiske tema. Viktige matematiske ideer er eksempelvis: Brøk 1. Modeller for brøkbegrepet som areal, lengde og mengde. 2. Enhet, gruppering og oppdeling i ulike modeller. 3. Likeverdige brøker knyttet til modeller. 4. Regnestrategier med brøk. Tallforståelse 1. Tallenes oppbygging, regularitet og mønster. 2. Regneoperasjoner og regnelovenes betydning for algoritmer, hoderegning og overslag. 3. Tidlig algebra som generalisert aritmetikk. 4. Utvidelse av tallområdet. Arbeidsformer og vurdering Kurset baserer seg på en aktiv og dynamisk samhandling mellom deltakerne med rikelig rom for eksperimentering, drøfting og refleksjon. For å oppnå dette er deltakelse på kurset obligatorisk. Kurset er godkjent dersom obligatorisk deltakelse og arbeidskrav er gjennomført. Kurset gjennomføres lokalt og tilpasses aktiviteten på den enkelte lærerutdanning. Det innebærer at den enkelte institusjon utvikler interne planer både for innhold, deltakelse, arbeidskrav, godkjenningsordninger, og plassering i studieløpet. Eksempler på aktiviteter med brøk 1. Modeller for brøkbegrepet som areal, lengde og mengde. a. Hvordan kan vi illustrere 3/7? b. Hvordan viser ulike modeller samme brøk på ulike måter? c. Hvilke muligheter og begrensinger har ulike modeller i ulike kontekster/situasjoner og hvorfor er alle sentrale i brøkforståelsen? d. Vurdere valg av modell i samtalen mellom lærer og elever i transkripsjonen fra artikkelen: Kleve, B. (2010). Brøkundervisning på barnetrinnet - aspekter av en lærers matematikkunnskap. Acta Didactica Norge, 4(1), Art Enhet, gruppering og oppdeling innenfor ulike modeller. 4

5 a. Hvis du har 6 kuler hvorav 4 er svarte og 2 hvite, hvilke brøker ser du? Hvordan kan du se brøkene Er det brøker du ikke kan få? 3. Likeverdige brøker knyttet til modeller. a. Diskutere og avgjøre hvilke egenskaper i ulike modeller kan være viktige for likeverdighet og hvilke som ikke er viktige. b. Sammenligne brøker ved for eksempel bruk av benchmarks som ½, 1, osv. c. Det å finne nye brøker som er likeverdige når du har en brøk. d. Ta stilling til følgende elevsvar på oppgaven: Finn 3 brøker mellom brøkene. Hvor eleven skriver, og da er det lett å finne brøker mellom 1 og. 4. Regnestrategier med brøk. a. Hvordan kan ulike modeller hjelpe oss å forstå regnestrategier? b. Respondere når en elev spør hvor de fire andre rutene er blitt av i figuren nedenfor som er tenkt å være en illustrasjon på regnestykket + = c. Hvilke verdier kan stå på de tomme plassene slik at regnestykkene nedenfor blir riktige? d. Hva er likt og forskjellig med regnestykkene? e. Filmer hvor elever arbeider med brøk i Boaler, J., & Humphreys, C. (2005). Connecting Mathematical Ideas: Middle School Video Cases to Support Teaching and Learning. Portsmouth, NH: Heinemann. f. Elevspørsmål til divisjon med brøk: Hvorfor snur du ikke den første brøken? g. Elever i en femte trinn jobber med brøkoppgaver i læreboka. En av elevene har et typisk feilmønster i addisjon av brøk (bilde 1). Hva går feilen ut på? Hvorfor blir det feil å gjøre det slik? Prøv å beskrive elevens forståelse for brøk, både ut fra det hun gjør i boka og ut fra samtalen med læreren. 5

6 Læreren kommer bort til eleven og følgende samtale om den første oppgaven på siden finner sted. Lærer: Hvis du prøver å forklare meg hva en fjerdedel er? Elev: En fjerdedel er. Det er fire biter og så er en fargelagt. Lærer: Mmm. Hvis du nå skal forklare meg hva en fjerdedel pluss en fjerdedel er? Elev: Det er du får åttendedeler. Lærer: Mmm. Kan du vise meg med en tegning? Elev: Ja. Da skal vi plusse der (skriver plusstegnet mellom sirklene). Er lik (likhetstegnet under). Og så kan du ta en firkant, for eksempel. En, to, tre, fire, fem, seks, sju. Åtte! (deler firkanten i åtte deler). Og så fargelegger du to av dem.. Slik de der er fargelagt (viser på sirklene) Eksempler på aktiviteter med tallforståelse 1. Tallenes oppbygging, regularitet og mønster. a. Juniper green rules faktorer og multipler Eks: b. Utforske hundrekvadratet c. Pakking av drops i dropsfabrikken d. Respondere på elevspørsmålene: Hva er tallet rett foran uendelig? Er 0 et tall? Kan vi skrive åtte som 008? Feltkode endret 2. Regneoperasjoner og regnelovenes betydning for algoritmer, hoderegning og overslag. a. Argumentasjon og begrunnelser av operasjoner ved bruk av modeller som tallinjer, rutenett, grupperinger, osv. b. Elevspørsmål: Hvorfor kan vi ikke dele på null? Hvorfor gange med null? c. Når 6 2 er lik 2 6. Hvorfor er ikke 6:2 det samme som 2:6? d. Parentesregning 6

7 3. Tidlig algebra som generalisert aritmetikk. 4. Utvidelse av tallområdet. a. Sammenhenger mellom desimaltall, prosent og brøk. Referanser Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), Blömeke, S. (2014). Framing the enterprise: benefits and challenges of international studies on teacher knowledge and teacher beliefs modeling missing links. In International Perspectives on Teacher Knowledge, Beliefs and Opportunities to Learn (pp. 3-17). Springer Netherlands. Enge, O., & Valenta, A. (2010). Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i allmennlærerutdanning. Forskning og utvikling i praksis. Fauskanger, J. (2012). «For norske lærere har stort sett en algoritme» om undervisningskunnskap i matematikk. I F. Rønning, R. Diesen, H. Hoveid & I. Pareliussen (Red.), FoU i Praksis Rapport fra konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning (s ). Trondheim, Norway: Tapir Akademisk Forlag. Fauskanger, J. & Mosvold,R. (2013). «Det ligger jo i bunn for alt» - Om læreres oppfatning av om undervisningskunnskap knyttet til posisjonssystemet.. I Pareliussen,I., Moen,B.B.,Reinertsen,A.B. & Solhaug,T. (Red.), FoU i Praksis Rapport fra konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning (s ). Trondheim, Norway: Akademika Forlag. Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (2010). «Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?» det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. I T. Løkensgard Hoel, G. Engvik & B. Hanssen (Red.), Ny som lærer sjansespill og samspill (s ). Trondheim: Tapir akademisk forlag. Fennema, E., & Franke, M. L. (1992). Teachers' knowledge and its impact. Grønmo, L. S., & Onstad, T. (2012). Mange og store utfordringer.oslo:unipub Hodgen, J. (2011). Knowing and identity: A situated theory of mathematics knowledge in teaching, Mathematical knowledge in teaching (pp ). Springer Netherlands. Hole, A., & Kleve, B. (2012). The need for horizon content knowledge: examplified by work with fractions in Norway. I G. Gunnarsdottir, F. Hreinsdottir, G. Palsdottir, M. Hannula, M. Hannula-Sormunen, E. Jablonka, U. T. Jankvist, A. Ryve, P. Valero & K. Wæge (Red.), Proceedings of Norma 11, The sixth nordic conference on mathematics education. Reykjavik: University of Iceland Press. 7

8 Kleve, B. (2010a). Brøkundervisning på barnetrinnet - aspekter av en lærers matematikkunnskap. Acta Didactica Norge, 4(1, Art 5), 14. Kleve, B. (2010b). Contingent Moments in a lesson on fractions. [Current Report]. Research in Mathematics Education, 12(2), Lie S., Kjærnsli M., Roe A., & Turmoe A., (2001). Godt rustet for framtida? Norske elevers kompetanse i lesing og realfag i et internasjonalt perspektiv. Universitetet i Oslo. Löwen, K., Baumert, J., Kunter, M., Krauss, S., & Brunner, M. (2013). The COACTIV research program: Methodological framework. In Cognitive Activation in the Mathematics Classroom and Professional Competence of Teachers (pp ). Springer US. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Lawrence Erlbaum. Formatert: Engelsk (USA) Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2010) Undervisningskunnskap i matematikk: Tilpasning av en amerikansk undersøkelse til norsk, og lærernes opplevelse av undersøkelsen. Nordenbo,,S.E.,Larsen,M.S.,Yifticki,N.,Wendt,R.E. & Østergaard,S.(2008). Lærekompetencer og elevers læring i førskole og skole. Aarhus:Universitetet i Aarhus Nortvedt, G. A. (2012). Rapport. Norsk matematikkråds forkunnskapstest Ruthven, K., & Rowland, T. (2011). Mathematical knowledge in teaching. US. Springer. Shulman, L. (1987). Knowledge and teaching: Foundation of the new reform. Harvard Educational Review, 57(1), 1-22 Solem, I.H. & Hovik, E. (2012) «36 er et oddetall» - Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet. Tidsskriftet FOU i praksis, 6 (1),47-60 Formatert: Engelsk (USA) Formatert: Engelsk (USA) Sowder, J. (2007). The mathematical education and development of teachers. I F. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. NCTM 8