Binomisk fordeling. Hypergeometrisk fordeling. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi har følgende situasjon: = = 2

Transkript

1 MAT0100V Sannsynlighetsregning og kobinatorikk Oppgaver o Binoisk og hypergeoetrisk fordeling Forventning varians og standardavvik Tilnæring av binoiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Mateatisk institutt Universitetet i Oslo 1 Hypergeoetrisk fordeling Vi har følgende situasjon: Vi har en engde ed N eleenter Eleentene i engden kan deles inn i to delengder D og D Det er eleenter i D og N eleenter i Vi trekker tilfeldig n eleenter fra engden uten tilbakelegging La X være antall eleenter vi trekker fra D D Binoisk fordeling Vi har følgende situasjon: Vi gjør n forsøk I hvert forsøk er det to uligheter: Enten inntreffer en bestet begivenhet S ellers så gjør den ikke det I hvert forsøk er sannsynligheten lik p for at S skal inntreffe Forsøkene er uavhengige X er antall ganger S inntreffer i de n forsøkene (1 ) 3 a) b) Trekning uten tilbakelegging: hypergeoetrisk Trekning ed tilbakelegging: binoisk Uten tilbakelegging: Med tilbakelegging: k 0 1 Uten P(X = k ) Med P(X = k )

2 c) Uten tilbakelegging: Med tilbakelegging: d) Utvalget vi trekker er lite i forhold til hele populasjonen. Derfor er det rielig å anta at X er binoisk fordelt. Uten (b) P(X = k ) Uten (c) P(X = k ) Med P(X = k ) En tilfeldig variabel X har ulige verdier x 1 x x. Da er forventningsverdien µ = E( X ) = x P( X = x ) x P( X = x ) 1 1 a) Jf. forrige oppgave. b) c) En tilfeldig variabel X har ulige verdier x 1 x x og forventningsverdi Da er variansen σ =Var( X ) = ( x µ ) P( X = x ) ( x µ ) P( X = x ) µ 1 1 Standardavviket til en tilfeldig variabel X er gitt ved σ = SD( X ) = Var( X )

3 Tilnæring av binoiske sannsynligheter X er erstatning for en tilfeldig valgt sykkeleier kroner Var kroner &' kroner 9 Tidligere var det vanskelig å bruke forelen for binoisk fordeling til å regne ut sannsynligheter når n er stor Alt i 1733 viste Abraha de Moivre hvordan en kan finne tilnæringsverdier for binoiske sannsynligheter Selv o det nå er enklere å bestee binoiske sannsynligheter er denne tilnærelsen fortsatt viktig ( 10 Binoisk fordeling for p = 0.5 og n = For å finne en tilnæring «forskyver» vi fordelingene slik at de får «tyngdepunktet» i origo og vi «skalerer» de slik at de får sae spredning Vi ser derfor på den standardiserte variabelen Z X E( X ) X np SD( X ) np(1 p) Vi har at E(Z) = 0 og SD(Z) = 1 Vi erker oss at hvis X = k så er Z = k np np(1 p) Fordelingen forskyves ot høyre og blir er «spredt ut» når n øker 11 Vi får derfor fordelingen til Z av fordelingen til X 1

4 Stolpediagra for fordelingen til Z Arealet av en stolpe svarer til sannsynligheten for at Z får den aktuelle verdien Stolpediagraene nærer seg standardnoralfordelingsfunksjonen f ( x) = 1 π e x / 13 Vil bruke de Moivres tilnæring til å finne P( X 33) når n = 100 og p = 0.5 Vi erker oss at P( X 33) Vi skal egentlig suere arealene av alle søylene til venstre for 1.85 X ( ) = P = P( Z 1.85) Suen av arealene av søylene er otrent like stor so arealet under f(x) til venstre for Arealet under standardnoralfordelingsfunksjonen til venstre for 1.85 finner vi av tabellen bak i kopendiet: De Moivres tilnæring gir at P( X 33) = P( Z 1.85) La X være antall so ville ha stet på Ap X er binoisk fordelt ed n = 5000 og p = a) Ved de Moivres tilnæring finner vi at P( X 1500) X = P b) P( X 1600) = P ( Z 1.3) X = P = ( 1.84) P Z =

5 Estiering og konfidensintervall Vi er interessert i å anslå («estiere») verdien av p ut fra resultatet av et forsøk og også å si noe o hvor presist anslaget er Vi ser på en stor populasjon der en ukjent andel p har et bestet «kjennetegn» Til å anslå («estiere») p bruker vi andelen i utvalget so har kjennetegnet pˆ = X / n Av de Moivres resultat finner vi at X np P np(1 p).5% 95%.5% Vi trekker et tilfeldig utvalg på n individer fra populasjonen. Størrelsen av utvalget er liten i forhold til størrelsen av hele populasjonen La X være antall i utvalget so har kjennetegnet Vi kan regne so o X er binoisk fordelt ed p lik den ukjente andelen i populasjonen so har kjennetegnet Nå er X np pˆ p = np(1 p) p p (1 ) Det følger at pˆ p P p(1 p) n n 18 Kan vise at vi kan erstatte p ed ˆp i nevneren: 1.96 pˆ p P pˆ (1 pˆ ) n Ulikhetene kan ofores slik at vi får p alene i idten: ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) p(1 p) ˆ p(1 p) n n P p 1.96 p p Det er altså tilnæret 95% sannsynlig at undersøkelsen vil gi et resultat so er slik at p blir liggende i konfidensintervallet: ˆ (1 ˆ ) ˆ (1 ˆ ) ˆ 1.96 p p ˆ 1.96 p p p + p n n 19 a) Hvis det produseres frø på flere jorder bør produsenten velge frø fra tilfeldige steder på alle jordene og blande de godt før de 500 frøene velges ut b) Vi har n = 500 og pˆ = 337 / 500 = Et 95% konfidensintervall for spireevnen er ( ) ( ) [ ] 0

6 010: Vi har n = og pˆ = 100 / = Et 95% konfidensintervall er [ ] : Vi har n = og pˆ = 599 / = [ ] 1 Vi lager et 95% konfidensintervall for sannsynligheten for sekser Vi har n = 04 og Et 95% konfidensintervall er pˆ = 54 / 04 = [ ]