Kennsluleiðbeiningar. Geisli 3B Kennsluleiðbeiningar Námsgagnastofnun

Transkript

1 Kennsluleiðbeiningar 25. febrúar 2013

2 Efnisyfirlit Yfirlit yfir námsefni 7. bekkjar... 3 Geisli 3B... 4 Skýringar á táknum... 6 Brot... 7 Hlutföll... 8 Talnafræði Ekki er allt sem sýnist Mynstur og algebra Mælingar Prósentur Rökfræði Reikniaðgerðir Knattspyrna Geisli 3B Kennsluleiðbeiningar 2013 Gu björg Pálsdóttir, Guðný Helga Gunnarsdóttir, Gu rún Angant sdóttir og Jónína Vala Kristinsdóttir 2013 teikningar: Halla Sólveig fiorgeirsdóttir Ritstjóri: Hafdís Finnbogadóttir Öll réttindi áskilin 1. útgáfa útgáfa 2013 Námsgagnastofnun Kópavogi Umbrot og útlit: Námsgagnastofnun 2

3 Yfirlit yfir námsefni 7. bekkjar Kennsluleiðbeiningar Kennsluleiðbeiningar Geisli 3A Kennsluleiðbeiningar Námsgagnastofnun GEISLI VINNUBÓK GEISLI VINNUBÓK Verkefnamappa Yfirlit 3

4 Geisli 3B Um námsefnið Náms efn i er sami me hli sjón af A al námskrá grunn skóla stær fræ i. Einkum er stu st vi mark mi fyr ir mi stig. Geisli 3A og 3B Grunn náms efni 7. bekkj ar er sam sett af grunn bókum Geisla 3A og 3B, tveim ur vinnu bók um, flrem ur flema heft um, verk efna möppu og kennslu lei bein ing um. Kennslu lei bein ing ar og m iss kon ar ann a ít ar efni er á vef Náms gagna stofn un ar. Í Geisla 3A eru ellefu kafl ar en tíu í Geisla 3B. Kaflarnir fjalla ýmist um ein staka efn is flætti e a vi fangs efni dag legs lífs. Grunn bækurnar eru fjöl nota og er a jafn a i gert rá fyr ir a nem end ur skrái lausn ir í vinnu hefti. Kafl ar í vinnu bók um tengj ast köfl um í grunn bók og er gert rá fyr ir a nem end ur fá ist vi vi fangs efn in í fless um bók um sam hli a. Kennslu lei bein ingar Í kennslu lei bein ing un um er al menn ur inn gang ur um stær fræ i kennslu á mi stigi. Megin efni fleirra er fló um fjöll un og kennslu hug mynd ir fyr ir hvern kafla grunn bók ar. Fjall a er um meg in inn tak og á hersl ur í vi kom andi kafla og á hva a hug mynd um efn is val og fram setn ing byggj ast. Sett ar eru fram hug mynd ir a kveikju og sam an tekt og kynnt helstu vinnu brög sem henta vi lausn verkefna í hverj um kafla. Sjálft kennslu ferl i flarf hver kenn ari sí an a byggja upp í sam ræmi vi nem enda hóp og a stæ ur hverju sinni. Á vef Námsgagnastofnunar er a finna sér staka um fjöll un um náms mat. Hug mynd ir a náms mats verk efn um og mati á fleim er a finna í verk efna möppu. Auk fless eru í möpp unni m iss kon ar verk efni og hef ur sér stak lega ver i safn a sam an hug mynd um a verk leg um vi fangs efn um og spil um. Á heima sí unni eru einnig margs kon ar ey u blö sem n t ast vi lausn ir verk efna og yf ir lit yfir náms gögn. Kennsluleiðbeiningar fi e m ah e f ti fiema heft in flrjú eru fjöl nota bæk ur: Jöklar, Rökþrautir og Siglingar. fiau má nota hvenær vetr ar sem er. Verk efn in eru óhá yf ir fer á Geisla 3A og 3B. Vi lausn vi fangs efna í flema heft un um gefst nem end um tæki færi til a kynn ast n j um flátt um í stær fræ i og beina stær fræ i flekk ingu sinni á n svi. Verk efn in í heft un um eru mi u vi stær fræ i en au velt er a víkka flau svo flau spanni svi fleiri greina og henta flau flví vel vi sam flætt ingu náms greina. Kennslu lei bein ing ar fylgja hverju flema hefti. Yfirlit 4

5 Verkefnamappa Í verkefnamöppu eru mis verkleg vi fangsefni, spil og fleira ítarefni. Í kennslulei beiningum eru settar fram hugmyndir um notkun fleirra en kennurum er vitanlega í sjálfsvald sett hva a verkefni fleir n ta fyrir nemendur sína og á hva a hátt. msar lei ir má fara vi a skipuleggja stær fræ inám fyrir nemendur í 7. bekk. Námsefnispakkinn Geisli 3 er fjölbreyttur og gefur kennurum tækifæri til a skipuleggja kennslu mi a vi nemendahópa og a stæ ur á hverjum sta. Náms matsverkefni Yfirlit Hugmyndir að námsmatsverkefnum fylgja hverjum kafla. Þau er að finna í verkefnamöppu með Geisla 3A og 3B. Hlutföll Talnafræ i Dagblö Mynstur og algebra Mynstur og algebra Mynstur og algebra Í Englandi Prósentur Prósentur Rökfræ i Reiknia ger ir Hugtak Hópverkefni Einstaklingsverkefni Hópverkefni Einstaklingsverkefni Einstaklings- og paraverkefni Einstaklings- og paraverkefni Einstaklingsverkefni Sjálfsmat Einstaklingsverkefni Hópverkefni Hópvinna Hópverkefni Brot 5

6 Skýringar á táknum Í bók inni eru not u eft ir far andi tákn til lei bein ing ar fyr ir nem end ur. fiú skalt vinna verk efn i me ö rum. fietta tákn er vi verk efni sem nem end ur eru hvatt ir sér stak lega til a vinna me ö rum. E li legt er a nem end ur vinni einnig sam an a lausn ann arra verk efna og alltaf er nau syn legt a ræ a lausn ir sín ar vi a ra. Sam vinna get ur falist í stuttu spjalli e a nán ari sam vinnu flar sem nem end ur taka sam eig in lega ábyrg á lausn verk efn is. Nem end ur geta mist ver i tveir saman e a fleiri í hópi. fiú skalt skrá vinnu flína í vinnu hefti. fiau vi fangs efni sem fletta tákn er vi krefjast ann a hvort nán ari úr vinnslu á verk efn um sem nem end ur hafa á ur feng ist vi e a um er a ræ a fleiri verk efni af sama toga. Veldu flér hjálp ar gögn og skrá u lausn flína. Verk efni me flessu tákni eru flest fless e l is a tals ver a um hugs un flarf vi a leysa flau og nem end ur eru hvatt ir til a velja sér flau hjálp ar gögn sem fleir telja best henta hverju sinni. E li legt er a fleir noti flann skrán ing ar máta sem sk r ir best hvern ig fleir hugs u u lausn sína. fia geta ver i sk r ing ar mynd ir, texti og tákn mál stær fræ inn ar. Nem end ur læra flannig a skrá hugs un sína og fla hjálp ar fleim a skilja skrán ing ar kerfi stær fræ inn ar. Notaðu vasareikni. Hér er gert ráð fyrir að nemendur noti vasareikni við lausn verkefnanna, til dæmis þar sem fengist er við háar tölur. Yfirlit 6

7 Brot Markmið Að nemendur átti sig á að brot má skrá sem almenn brot, tugabrot og prósentur geti reiknað með ræðum tölum Umfjöllun Í þessum kafla er fjallað um brot. Áhersla er lögð á að brot geta verið almenn brot, tugabrot og prósentur. Nemendur þurfa að geta notað þessar þrjár gerðir brota jöfnum höndum. Almenn brot eru notuð á ýmsum umbúðum og stundum í uppskriftum. Tugabrot eru mikið notuð í mælingum og prósentur í tölfræði og ýmsum peningaútreikningum. Mikilvægt er að nemendur átti sig á því að í raun skiptir ekki máli hvaða gerð brota er notuð þó ákveðin hefð hafi skapast um það. Myndræn framsetning brota styður nemendur í að byggja upp skilning. Gott er að nota bæði lengdar- og svæðalíkön en líka talnahús. Í kaflanum er fyrst og fremst fjallað um brot milli 0 og 1 en vekja mætti athygli nemenda á að brot geta verið stærri en 1 og minni en 0. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls. 5 9, vinnubók bls. 1 3 Gott er að byrja með bekkjarumræður út frá dæmi 1 og 3. Skoða þarf vel rök barnanna og biðja nemendur að taka afstöðu og búa síðan til eigin röksemdarfærslu. Í framhaldi af umræðunum geta nemendur unnið dæmi 2 og bls. 1 í vinnubók. Á blaðsíðum 6 og 7 eru æfingadæmi þar sem nemendur nota þrjár gerðir brota saman eða á víxl. Dæmi gætu nemendur unnið í hópum og skráð rök fyrir svari sínu eða borið svör sín saman. Áherslu ber að leggja á að þeir geti rökstutt niðurstöður sínar. Gott er að fylgjast vel með nemendum þegar þeir vinna dæmi 17 og styðja þá í að vanda vinnu sína vel því þar reynir á grunnskilning. Á blaðsíðu 8 er unnið með hluta af fjölda. Þar er gott að nemendur noti kubba eða rúðunet við lausnirnar. Það gefur þeim aukin tækifæri til að prófa sig áfram við lausn með hlutbundinni vinnu og myndrænt. Í vinnubók 3B er síðan frekari vinna þar sem áhersla er lögð á prósentur sem nemendur ættu að geta unnið nokkuð sjálfstætt. Dæmi 25 og 26 er gott að nemendur vinni saman í litlum hópum samtímis eða að kennari vinni með nemendahópnum. Þá geta nemendur æft sig að orða hugsun sína um brot og kennari getur rætt við nemendur um almenn brot, tugabrot og prósentur. Dæmi 27 hentar vel sem námsmatsverkefni. Þar reynir á grunnskilning. Brot 7

8 Hlutföll M a r km i ð A nem end ur noti flekkt vi mi í um hverfi sínu til a á ætla stær ir ö list skiln ing á hlut falli sem marg feld is - sam bandi beri sam an hlut föll finni hlut fall milli gef inna stær a stækki og minnki gefn ar stær ir í rétt um hlut föll um U mf j ö l lu n Vi allt stær fræ i nám flró ast skiln ing ur á hlut föll um. fieg ar lít il börn skipta ein hverju jafnt á milli sín eru flau a skipta í réttu hlut falli. fieg ar finna flarf hve mik i fimm bl ant ar kosta ef vit a er hva einn bl ant ur kost ar flarf líka a finna hlut fall. Hlut falls leg hugs un flroskast fleg ar nem end ur ö l ast skiln ing á marg föld un og deil ingu. Hlut föll tengj ast líka rúm fræ i, mæl ing um, al menn um brot um, tuga brot um, pró sent um, al gebru, töl fræ i, lík ind um og mörgu fleiru. Skiln ing ur á tuga kerf inu bygg ist jafn framt á hlut falls legri hugs un flar sem tugakerf i er byggt á hlut falla sam bandi. Nem end ur hafa flví ver i a fást vi hlut föll al veg frá flví fleir byrj u u a beita stær fræ i legri hugs un. Skiln ing ur á hlut föll um fljálfast me al ann ars vi a fást vi verk efni sem reyna á hlut falls lega hugs un sem örva til finn ingu fyr ir hlut falla sam bandi um skipt ingu flar sem feng ist er vi raun veru leg ar a stæ ur um sam ein ingu hluta úr heild flar sem nota flarf ræ ar töl ur, bæ i heil ar töl ur og brot um breyt ingu á fjölda og magni Skiln ing ur á hlut föll um flró ast á löng um tíma. Hann kem ur ekki af sjálfu sér en me flví a glíma vi verk efni sem reyna á hlut falls lega hugs un styrk ist hann. A geta beitt hlut fallslegri hugs un fel ur ekki bara í sér a skilja hva hlut fall er, held ur líka a geta bor i sam an hlut föll, spá fyr ir um hvern ig eitt hva flró ast í réttu hlut falli og fund i stær ir í réttu hlutfalli. Mik il vægt er a vi fangs efn in hafi merk ingu fyr ir nem end ur og flau fjalli um eitt hva sem nem end ur eiga au velt me a gera sér mynd af. Nær tæk ast er a sko a hlut föll í um hverfi okk ar, bæ i í nátt úr unni og mann ger u um hverfi. Hvers kyns vi fangs efni sem nem end ur fást vi í dag legu lífi sínu eru líka gó rann sókn ar efni. firó un hlut falla skiln ings má l sa me eft ir far andi hætti: Ó form leg ur skiln ing ur á hlut falli (inn sæi). Nem end ur geta leyst ein föld hlut falla dæmi hlut bund i. Skiln ing ur á mis mun andi magni. Nem end ur nota sam lagn ingu í flrep um til a finna hlutfall. Skiln ing ur á marg feld is á hrif um. Nem end ur geta not a marg föld un og deil ingu til a finna hlut fall. Hlutföll 8

9 Hér eru gef in dæmi um hugs an leg ar lausn ir nem enda á verk efni 24 á bls. 16. Í hvala sko un ar fer sáust 5 hnís ur og 15 hrefn ur. Gert er rá fyr ir a í næstu fer sjá ist sama hlut fall af hnís um og hrefn um. Hvert er hlutfallið milli hnísa og hrefna? Hva ver a hrefn urn ar marg ar ef 7 hnís ur sjást? En ef 12 hnís ur sjást? Nem endi sem hef ur ó form leg an skiln ing á hlut falli gæti hugs an lega leyst verk efn i me flví a gera sér lík an af flví, me teikn ingu e a hlut um. Hann gæti kom i auga á fla (t. d. me flví a para sam an) a 3 hrefn ur eru á móti hverri hnísu. Fyr ir hverja hnísu sem hann bæt ir vi, bæt ir hann flví vi 3 hrefn um. Nem andi sem skil ur hlut fall sem mis mun andi magn myndi vænt an lega leggja sam an í flrep um. Til a finna hve marg ar hrefn ur ver a á móti 12 hnís um gæti hann hugs an lega reikn a : = 36 Nem andi sem skil ur hlut fall sem marg feldi myndi skilja sam band i milli hlut fall anna flannig a hrefn urn ar séu flrisvar sinn um fleiri en hnís urn ar og flví marg falda fjölda hnísa me flrem ur til a finna fjölda hrefna. Mik il vægt er a örva nem end ur til um ræ na um rann sókn ir sín ar á hlut föll um. fieg ar fleir sko a til dæm is hvort tvær mynd ir eru teikn a ar í sömu hlut föll um er mik il vægt fyr ir nemend ur a ræ a hva a vi mi fleir sty j ast vi og rök sty ja hvern ig fleir komust a ni urstö u. Vi lausn á eft ir far andi verk efni myndi nem andi sem ekki hef ur ö l ast skiln ing á hlut föll um sem marg feld is sam bandi á lykta a lengja flyrfti bá ar hli arn ar um jafn marga senti metra, fl.e. 2 cm, og fá flví a lengd rétt hyrn ings ins ætti a vera 9 cm. Teikn a u ann an rétt hyrn ing í sama hlut falli og rétt hyrn ing inn á mynd inni. Breidd hans á a vera 6 cm. Hva flarf hann a vera lang ur til a hlut fall i hald ist? 4 cm Til a rök sty ja ni ur stö u sína flarf nem andi a út sk ra hva a vi mi hann nota i til a finna lausn sína. Hann myndi vænt an lega segja a fla ætti a bæta jafn miklu vi bá ar hli ar. Nem andi sem hef ur skil i a flarna er um marg feld is sam band a ræ a myndi nota ann an rök stu n ing. Hann gæti bent á a helm ing ur breidd ar innar bætt ist vi og flví ætti líka a bæt ast vi helm ing ur lengd ar inn ar. Hann gæti líka bent á a breiddd in væri marg föld u me og flví flyrfti a marg falda lengd ina me Um ræ ur um ólík vi mi hjálpa bá um til a skerpa skiln ing sinn á vi fangs efn inu. Sá sem ekki hef ur átt a sig á hlut fall inu gæti hugs an lega kom i auga á fla me flví a reyna 7 cm Hlutföll 9

10 a skilja rök stu n ing bekkj ar fé laga síns. Hinn nem and inn styrk ir skiln ing sinn me flví a flurfa a gera ö r um grein fyr ir hvern ig hann hugs a i. Verk efni um hlut föll geta reynst nem end um mis erf i eft ir flví hvert sam heng i er og hversu au velt er a gera sér mynd af hlut fall inu. fia sem hef ur á hrif á hversu au velt nem end um reyn ist a leysa verk efni um hlut föll er sam hengi í texta talna sam band fjöldi Inn byr is sam band flátta sem ver i er a leita a hef ur líka á hrif á hversu au velt vi ur eignar verk efn i reyn ist. Ef ann ar flátt ur inn er heil tölu marg feldi af hin um reyn ist nem end um au veld ara a leysa verk efn i en ef ekki er um heil tölu sam band a ræ a. Í eft ir far andi verk efni er heil tölu sam band bæ i inn an hlut falls og milli hlut falla (2 3 = 6, 2 5 = 10). Jónas bland ar á vaxta drykk. Í upp skrift inni eru 2 dl af mysu og 6 dl af app el sínusafa. Hann ætl ar a nota 10 dl af mysu. Hve mik inn app el sínusafa flarf hann? Hér er sam band i milli hlut falll anna heil tölu sam band (2 5 = 10) og flví au velt a margfalda sex me fimm. Hér er líka heil tölu sam band inn an hlut falls ins flar sem flrisvar sinn um meira flarf af app el sínusafa en mysu. fiess vegna er líka hægt a finna lausn ina me flví a marg falda tíu me flrem ur. Ef Jónas ætl a i a nota 7 dl af mysu er ekki leng ur heil tölusam band milli hlut fall anna. fiá er nær tæk ast a n ta sér sam band i inn an hlut falls ins og marg falda sjö me flrem ur. Sam bandi milli flátta í verk efn inu má l sa me eft ir far andi sk r ing ar mynd. Sam band milli hlut falla 5 Sam band inn an hlut falls = 10 x 3 Kafl inn byrj ar á verk efni um a á ætla stær ir út frá flekkt um vi mi um. Nem end ur vita nokkurn veg inn hve hár full or inn ma ur er og geta flví not a fla sem vi mi til a á ætla hæ mann ger ra hluta á mynd inni. Verk efni um A4 blö á bls. 12 er rann sókn sem hugs u er til a hjálpa nem end um a koma auga á rétt hlut fall og au velda fleim a leysa verk efn in sem á eft ir koma. Blö í A-stær um eru flannig ger a fleg ar flau eru helm ingu helst hlut fall i milli lengd ar og breidd ar og flví eru flau heppi leg til slíkr ar rann sókn ar. Hlutföll 10

11 Kennslu hug mynd ir Á ur en byrj a er á kafl an um get ur ver i gott a fara í göngu fer um ná grenni skólans og á ætla hæ mann virkja í nán asta um hverfi hans. fiá flarf a finna vi mi sem geta hjálp a til vi a á ætla stær ir. Hva er stö u mæl ir e a gir ingastaur hár? Get ég not a eigin lík ama til a giska á fla? Hva nær hann mér hátt? Hve stór hluti er fla af hæ minni? Á sama hátt má á ætla hæ skól ans. Hve mörg um sinnum hærri en ég er hann? Náms gagna stofn un hef ur gef i út mynd band sem nefn ist Undra heim ur stær fræ inn ar. fia get ur ver i gó kveikja a vinn unni vi flenn an kafla a sko a fla. fiar er um fjöll un um hlut föll í nátt úr unni og mann virkj um, tón list og mynd list. Á huga vert er a sko a fyrst hluta úr mynd band inu og ræ a fla sem flar er til um fjöll un ar. Seinna má svo taka annan hluta og ræ a efni hans og bera sam an vi fla sem nem end ur hafa ver i a fást vi. fia get ur líka ver i gagn legt a sko a mynd band i fleg ar nem end ur hafa lok i vi kafl ann og ræ a hvern ig fla teng ist efni hans. Vænt an lega ver a flá til hug mynd ir a spenn andi vi fangs efn um sem hægt væri a vinna til dæm is í sam rá i vi mynd- e a tón mennt arkenn ara. Verk efn in í kafl an um eru öll fless e l is a nau syn legt er fyr ir nem end ur a ræ a vi a ra um hvern ig fleir leysa flau. fia get ur hent a vel a vinna tveir til flrír saman. fiá geta nemend ur ef til vill skipt me sér verk um vi a finna lausn og bori svo lausn ir sín ar sam an. fietta á sér stak lega vi um verk efni um götu mynd sem er á bls og fána á bls fia á vi um verk efn in í fless um kafla, líkt og flest önn ur, a kenn ari flarf a ræ a efni hans vi nem end ur. fieir flurfa a fá tæki færi til a sk ra hvern ig fleir leystu verk efni sín og einnig hlusta á rök stu n ing ann arra. fietta get ur gerst í bekkj ar um ræ um og einnig í minni hóp um flar sem kenn ari ræ ir vi nokkra ein stak linga. fiá fær kenn ari líka tæki færi til a átta sig á hver skiln ing ur nem enda á vi fangs efn inu er og get ur flá tek i af stö u til fless hva a verk efni hent ar a leggja næst fyr ir nemend ur. Hér fylgja nokk ur verk efni um hlut föll sem hægt er a leggja fyr ir nem end ur. fiau fyrstu eru frek ar ein föld. Seinni li ur inn í sum um fleirra er erf i ur og ættu nem endur sem leysa verk efn in í kafl an um fyr ir hafn ar lít i a geta leyst flá á samt dæm un um í seinni hlut an um. 1. Hann es hef ur gam an af a lesa. Hann les einn kafla á um fla bil 30 mín út um. Hva er hann lengi a lesa bók me 14 köfl um ef gert er rá fyr ir a all ir kaflarnir séu á líka lang ir? 2. Bíll ey ir 10 lítr um af bens íni á 120 kíló metr um. Hva ey ir hann mörg um lítrum á 360 kíló metr um? Hva ey ir hann miklu á 100 km? 3. Sex menn byggja hús á flrem ur dög um. Hva flyrfti marga menn til a byggja hús i á ein um degi ef gert er rá fyr ir a all ir vinni á sama hra a? Hlutföll 11

12 4. Hanna og fiór eiga sam tals 32 kubba. fiór á flrisvar sinn um fleiri kubba en Hanna. Hva á hvort fleirra marga kubba? 5. Ef flrjú súkkula i stykki kosta 75 krón ur, hva kosta flá 12 stykki? En 13 stykki? kubb um er skipt á milli tveggja barna í hlut fall inu 2:3. Hva fær hvert fleirra marga kubba? 7. Tveir krakk ar í flri ja bekk voru a bera fless ar mynd ir sam an. Sara sag i a 7 7 væri meira en 4 4 af flví a fla eru fleiri hlut ar. Sig ur flór sag i a 4 4 væri meira af flví a hlut arn ir eru stærri. Hva finnst flér? 8. Petra tók pakka af kókó mjólk (6 4 1 l) me sér í úti legu. Hún kom me 3 2 hluta af hon um til baka. Hve mikla kókó mjólk kom hún me heim? Hér sér u tvö ólík svör. Alda: lítra Björn: 4 pakka Hvort svar i tel ur flú vera betra? Rök styddu svar flitt. 9. Hvort er hag stæ ara a kaupa morg un korn í 200 g pökk um e a 500 g pökk um? Rök styddu svar flitt. 200g kosta 175 kr. 500g kosta 425 kr. Dag nokkurn var 10% af slátt ur af 200 g pökk um. Hvort var flá hag stæ ara a kaupa? 10. firír vin ir fóru í bíó. fieir borg u u sam tals 2250 krón ur. Hve mik i kosta flá átta mi ar? Hve mik i kost ar fyr ir alla krakk ana í bekkn um flín um a fara í bíó mi a vi fletta ver? Hva kost ar fla ef veitt ur er 10% hóp af slátt ur? Hlutföll 12

13 11. Björg er a und ir búa af mæl is veislu. Hún ætl ar a blanda á vaxta drykk og mi ar vi a tveir lítr ar dugi fyr ir 3 krakka. Hve mik i flarf hún a blanda af drykk fyr ir sig og 15 gesti? Björg not ar app el sínusafa, mysu og gos vatn í safann. Hún not ar 1 hluta af mysu á móti 2 hlut um af app el sínusafa og 2 hlut um af vatni. Hve mik i flarf hún af hverri teg und af vökva? Hún ætl ar a baka 6 pít s ur. Hve stór an hluta úr pít su fær flá hver krakki? Hva eru fla marg ar snei ar ef hver pítsa er skor in í 8 snei ar? Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls , vinnubók bls. 4 6 Gott er að byrja á að skoða hlutföll í umhverfinu bæði úti og inni. Eins og fram hefur komið er heppilegt að fara í gönguferð um hverfið og áætla hæð húsa, ljósastaura, bíla og annars sem þar er að finna. Einnig er gott að áætla lofthæð, hæð hurða, borða, stóla og annars sem finna má innanhúss. Nemendur geta, í litlum hópum, unnið saman dæmi 1 8 en mikilvægt er að hópar geri síðan grein fyrir niðurstöðum sínum og fái tækifæri til að ræða þær. Dæmi á blaðsíðu 12 eru paraverkefni. Niðurstöður í dæmi 9 er gaman að nýta til að búa til listaverk og þá gefast ýmis ný tækifæri til að ræða um hlutföll. Í dæmi eru borin saman hlutföll rétthyrninga og er mikilvægt að nemendur klippi þá út og skoði. Í stað dæma á bls. 13 gætu nemendur unnið með eigin myndir og sett ramma utan um þær þannig að hlutföll haldist og annan af tiltekinni breidd. Þá myndu þeir finna hvert nýja hlutfallið er (sjá dæmi 15). Á blaðsíðum 5 6 í vinnubók er fengist við uppskriftir og væri gaman ef nemendur gætu bakað í tengslum við þessa umfjöllun. Einnig er kjörið að hvetja þá til að baka heima. Fánaverkefnið býður upp á margs konar athuganir. Á heimasíðu Sameinuðu þjóðanna og víða annars staðar má finna hlutföll í fánum heims. Hér eru nokkrir Evrópufánar skoðaðir og því kjörið að tengja þessa umfjöllun við vinnu nemenda um Evrópu í samfélagsfræði. Áhugavert er að skoða í hve ólíkum hlutföllum og stærðum fánar eru og gaman væri ef nemendur gætu fengið svigrúm til að teikna upp eins marga fána og þeir vilja og jafnvel sauma þá í réttum hlutföllum. Grunnbók bls , vinnubók bls. 7 Mataruppskriftir þarf oft að stækka eða minnka. Nemendur hafa prófað það. Sambærileg dæmi eru verkefni þar sem skoðað er hlutfall hjá selum og hvölum. Gott er þá að skoða hvernig skrá má hlutföllin og hvernig margföldunarsamband má finna milli stærða. Í grunnbók og vinnubók er síðan fengist við með skiptingar í hlutföllum. Gaman er að taka nokkur verkefni þar sem nemendur eru með kennslupeninga og prófa að skipta ólíkum upphæðum í hlutföllum. Einnig er gott fyrir nemendur að hafa kennslupeninga við höndina þegar þeir vinna dæmin í bókunum. Hlutföll 13

14 Fjögur vinnuspjöld fylgja kaflanum. Þar er að finna verkefni sem styrkja brotaskilning. Nemendur gætu valið sér verkefni eða allir unnið Vinnuspjald 39. Hlutföll. Kaflanum fylgir Námsmatsverkefni: Hlutföll sem er hópverkefni. Gert er ráð fyrir að allur nemendahópurinn vinni að verkefninu í einu í 3 4 manna hópum. Kennari gengur á milli, hlustar og ræðir við hópana. Bent er á að skoða Vinnuspjald 90. Til kennara Hópverkefni um hlutföll þar sem kennara fá leiðbeiningar og hugmyndir um dæmin. Vinnuspjald 37. Hlutföll í mynstri Vinnuspjald 38. Ferningsþrautir Vinnuspjald 39. Hlutföll Vinnuspjald 40. Að skipta í hluta Hlutföll Þemahefti Jöklar Að vetrarlagi er oft fallegt á fjöllum og þá er gaman að vinna verkefni um jökla. Í þemaheftinu eru fjölbreytt verkefni og gefa nemendum tækifæri til að skoða hvernig stærðfræði er notuð í daglegu lífi. Sérstakar kennsluleiðbeiningar fylgja heftinu. Hlutföll 14

15 Talnafræði M a r km i ð A nem end ur geti greint mynst ur og reglu leika s ni út hald og ein beit ingu vi rann sókn ir á töl um og skrán ingu á ni ur stö um flekki hug tök in frum tala, fern ings tala og flátt ur og geti sett fram skil grein ing ar á fleim nái valdi á a flátta tölu s ni gott vald á deil ingu og skilji hva felst í deil an leika U mf j ö l lu n Í fless um kafla er feng ist vi nokk ur stær fræ i leg at ri i sem eru n fyr ir flest um nem endum. Meg in vi fangs efni eru frum töl ur, flætt ir talna, fern ings töl ur, fern ings rætur og deil anleiki. Nem end ur flurfa a fá tæki færi til a rann saka töl ur, velta fyr ir sér sam bandi fleirra og gera grein fyr ir ni ur stö um sín um. Hlut bund in nálg un gefur nem end um mögu leika á a dvelja vi vi fangs efn in og au veld ar um ræ ur um flau hug tök og hug mynd ir sem unn i er me. Mik il væg ur flátt ur stær fræ i er a sko a mynst ur og reglu leika. Nem end ur flurfa a rækta me sér flann eig in leika a r na í töl ur og greina sam hengi fleirra. fia krefst oft flol in mæ i og út halds a leita. Sumum hent ar vel a vinna me ö r um en a r ir vilja frek ar vinna út af fyr ir sig. fiví flarf a skapa tæki færi fyr ir hvort tveggja. Frum töl ur eru töl ur sem hafa a eins tvo flætti, t.d. hef ur tal an sjö 1 og 7 sem flætti. Tal an einn er ekki frum tala flví hún hef ur a eins einn flátt, fl.e. töl una 1. Ef frum flætt ir tölu eru marg fald a ir sam an fæst tal an sjálf. Oft má búa til n j ar töl ur me flví a marg falda hluta af frum flátt un um sam an. Frum flætt ir töl unn ar tólf eru 2, 2 og 3 flví ef fless ar töl ur eru marg fald a ar sam an fæst 12. Töl urn ar 4 og 6 ganga líka upp í 12 og eru flví líka flætt ir í 12. Ekki er gert rá fyr ir a nem end ur nái fullu valdi á fless um hug tök um en kynn ist fleim og geti á kvar a hvort tveggja stafa tala er frum tala og fund i nokkra flætti í tölu. Fern ings töl ur má sko a me flví a prófa a ra a fjölda og finna út hva a fjölda má ra a í fern ing. Ein göngu er not a hug tak i fern ings tala og tala um a finna hli ar lengd ir í fern ingi. Hug tak i fern ings rót er ekki not a en kenn ar ar geta val i a nota fla sjálf ir. Mik il vægt er a nem end ur læri a nota flá mögu leika sem vasa reikn ar bjó a upp á. Einn af fleim er a finna fern ings rót. fia get ur ver i breyti legt eft ir vasa reikn um hvort tt er á fern ings rót ar takk ann á und an e a eft ir töl unni Talnafræði 15

16 Deil an leiki talna er mjög mis mun andi og oft kem ur sér vel a flekkja lei ir til a greina hann. fiátt un er ein lei til a átta sig á hva a töl ur ganga upp í ein hverja til tekna tölu. Heppi legt get ur ver i a búa til flátta tré og gó æf ing er a skrá all ar flær töl ur sem mynda má út frá flví. Á huga vert verk efni gæti ver i a finna út upp í hva a tveggja stafa tölu flest ar töl ur ganga. Á ur hafa nem end ur sko a hvern ig nota má flversummu til a greina hvort töl ur eru í flrí-, sex- e a níu-töfl unni. fieir flekkja líka a töl ur í tví-, fjór-, sex- og átta töfl unni eru alltaf slétt ar og a töl urn ar í fimmtöfl unni enda alltaf á núll e a fimm. Á gætt get ur ver i a rifja fletta upp og ann a sem nem end ur flekkja á flessu svi i. Í grunn bók inni á bls. 23 er leit a sk r inga á flví hvers vegna flversumma talna í níu töfl unni er alltaf níu. Sko u eru tvö dæmi en gott get ur ver i a sko a fleiri. Hér fylg ir eitt dæmi til vi bót ar. Ó laf ía sko ar töl una 483. fiversumm an er 15 og 9 geng ur ekki upp í 15. Hún próf ar a deila me níu í Hún deil ir í á föng um og byrj ar á fieg ar deilt er me 9 í 100 ver ur af gang ur 1, flví 9 11 = 99 fieg ar deilt er me 9 í 400 ver ur af gang ur flví 4 Næst deil ir hún í fieg ar deilt er me 9 í 10 ver ur af gang ur 1, flví 9 1 = 9 fieg ar deilt er me 9 í 80 ver ur af gang ur flví 8 fiá eru flrír eft ir í ein inga sæt inu. Af gang ur af tug um var 8 og hund ru um 4. Alls á flví eft ir a deila = 15 fia má flví taka 9 einu sinni enn af og af gang ur ver ur 6. Kennslu hug mynd ir Náms bók in hef ur a geyma mörg rann sókn ar verk efni sem mik il vægt er a nem end ur fái gó an tíma til a glíma vi. Gott er a hvetja flá til a sko a meira en lagt er til í verk efnun um flannig a fleir fái betri yf ir s n. Ni ur stö ur flarf a ræ a og megin ni ur stö um má safna sam an og setja á vegg spjald flannig a nem end ur séu minnt ir á flær á fram. Í upp hafi gæti ver i gam an a ræ a hva a hug mynd ir nem end ur gera sér um hug tak i talna fræ i. Verk efn in í kafl an um ættu a fylla inn í mynd nem enda af flessu hug taki og flví gott a þeir skrifi vi upp haf og lok kafl ans um skiln ing sinn á hug tak inu. Verk efn in á bla sí um henta á gæt lega til sjálf stæ r ar vinnu í pör um e a sem einstaklingsverkefni. Á bla sí u 20 er fjall a um fern ings töl ur. Hug tak i fern ings tala má ræ a í byrj un me hópn um. Hægt er a sko a sam an hvern ig ra a má fjöld an um 16 í fern ing me hli ar lengd ina 4. Nem end ur geta sí an unn i sjálf stætt a könn un á töl un um upp í 100 og jafn vel far i hærra. Fern ings rót ar takk ann má kynna fyr ir nem end um eft ir flví sem fleir ljúka rann sókn um sín um á fern ings töl un um. fiá gefst tæki færi til a kanna ó form lega skiln ing fleirra á flessu hug taki. Í um fjöll un um flætti talna get ur ver i gott a bi ja nem end ur a finna flætti nokkurra talna. Velja má mis mun andi töl ur e a láta flá draga og sko a sí an ni ur stö ur. Í fram haldi af fless ari vinnu má sko a flátta tré sem lei til a sko a skipu lega hvern ig finna má alla flætti sér hverr ar tölu. Hvetja má nem end ur til a búa til fleiri sams kon ar verk efni og prófa fleiri töl ur í dæm um Talnafræði 16

17 Deil an leiki er vi fangs efni á bla sí um Reynt er a gefa nem end um tæki færi til a efla skiln ing sinn á töl um og reikni a ger inni deil ingu me flví a fleir rann saki og beiti ni - ur stö um sín um á næstu vi fangs efni og vi deil ingu. Meg in áhersl an ligg ur á rann sókn arnálg un og fyr ir suma nem end ur get ur ver i heppi legra a gera fleiri sams kon ar rann sókn ir en a fara í gegn um all ar flær rann sókn ir sem stung i er upp á. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls , vinnubók bls. 8 9 Megináhersla í þessum hluta er á frumtölur, samsettar tölur og ferningstölur. Þetta eru áhugaverð hugtök sem fela í sér marga möguleika til rannsókna. Gaman er að nemendur fái góð tækifæri og hvatningu til að hella sér í talnafræðirannsóknir. Í upphafi eru dæmi 1 2 þar sem leitað er að frumtölum á bilinu Gott er að nemendahópurinn fjalli um þetta samtímis en síðan er kjörið að skipta dæmum 3 7 milli minni hópa. Hver hópur vinnur eitt dæmi og greinir síðan öllum hópnum frá lausnaleit og niðurstöðum sínum. Vinnu með frumtölur má draga saman með því að leysa verkefni á bls. 8 í vinnubók og ræða um einkenni frumtalna. Nemendur gætu síðan haft gagn og gaman að því að spila Frumtöluspilið (Vinnuspjald 33. Frumtöluspil) og skoða samband frumtalna á Vinnuspjaldi 34. Talnaskoðun Næsta viðfangsefni er ferningstölur. Þar eru tvö rannsóknarverkefni, þ.e. dæmi 8 í grunnbók og dæmi 2 3 í vinnubók bls. 9. Gefa þarf nemendum tíma til að vinna þessi verkefni og ræða jafnframt einkenni ferningstalna. Þeir geta jafnframt glímt við Vinnuspjald 32. Ferningstölur þar sem settar eru fram þrautir þar sem reyna á talnaskilning nemenda. Skemmtilegir leikir eru í boði á dæmum í grunnbók og á Vinnuspjaldi 35: Hver er fyrstur að fá 0? Þar er gott að nemendur hafi vasareikna svo glíman snúist um ferningstölur en ekki útreikningana. Nemendur geta líka rannsakað hve marga ferninga afmarka má á taflborði. Í dæmi 12 er ferningsrótartakkinn á vasareikninum kynntur fyrir nemendum. Þar sjá þeir eitt dæmið enn um hvernig manninum hefur dottið í hug að finna upp tæki til að vinna fyrir sig. Grunnbók bls , vinnubók bls Í þessum hluta kaflans er unnið með þáttun og deilanleika. Mikilvægt er fyrir nemendur að efla talnaleikni sína og gefast hér mörg tækifæri til þess. Gott er að allir nemendur vinni dæmi 13, 14, 15 og 20. Síðan er kjörið að setja upp stöðvavinnu eða valsvæði þar sem nemendur geta valið að kafa dýpra. Stöð 1/valsvæði 1. Neikvæðar tölur. Nemendur vinna Vinnuspjald 30. Neikvæðar tölur og Vinnuspjald 36. Margföldun og deiling með neikvæðum tölum. Stöð 2/valsvæði 2. Þáttun. Nemendur nota dæmi sem viðmið í vinnu sinni. Þeir búa til veggspjald þar sem þeir sýna frumþáttun tölu, t.d. 210 og skrá síðan hvaða tölur ganga upp í hana. Stöð 3/valsvæði 3. Deilanleiki þversumman 9. Nemendur fá það verkefni að sýna skýringu Ólafíu á blaðsíðu 23 í grunnbók hlutbundið eða myndrænt. Gott er að þeir taki nokkrar tölur sem hafa þversummuna níu og sýni hvað gerist við deilingu með níu. Á þessu Talnafræði 17

18 svæði mætti líka skoða samhengi á milli talna í sextöflunni og tví- og þrítöflunni út frá dæmi 28 og 29. Stöð 4/valsvæði 4. Margfeldi talna. Nemendur vinna Vinnuspjald 31. Margfeldi talna. Þar eru skoðaðir möguleikar á að búa til dæmi með því að nota tiltekna tölustafi og skoða margfeldi og deilanleika þeirra. Stöð 5/valsvæði 5. Deiling afgangar. Nemendur vinna dæmi í grunnbók og síðan blaðsíðu 10 í vinnubók. Hvetja ætti þá til að ræða saman um hvaða afgangar gætu mögulega komið fram í hverju dæmi. Dæmi á blaðsíðu 25 í grunnbók og blaðsíðu 11 í vinnubók hafa að geyma nokkurs konar samantekt á efni kaflans. Nemendur gætu unnið þetta saman í litlum hópum og hjálpast að. Námsmatsverkefni Talnafræði 1 (85), Talnafræði 2 (86) henta vel sem heimapróf eða gagnapróf þar sem nemendur hafa námsefnið við höndina til fletta upp í. Vinnuspjald 30. Neikvæðar tölur Vinnuspjald 31. Margfeldi talna Vinnuspjald 32. Ferningstölur Vinnuspjald 33. Frumtöluspil Vinnuspjald 34. Talnaskoðun Vinnuspjald 35. Hver er fyrstur að fá 0? Vinnuspjald 36. Margföldun og deiling með neikvæðum tölum Talnafræði 18

19 Ekki er allt sem sýnist M a r km i ð A nem end ur geri sér grein fyr ir a inn byr is af sta a strika á teikn ingu get ur blekkt aug a kynn ist hug tök un um topphorn og grann horn kynn ist hug tak inu horn rétt á og viti a lína sem mynd ar 90 horn vi a ra línu er horn rétt á hana geti á ætl a flat ar mál hrings me flví a n ta sér flat ar mál um rit a s fern ings glími vi stær fræ i leg vi fangs efni sem geta or i upp spretta á nægju og vinn u gle i U mf j ö l lu m Marg ir lista menn hafa glímt vi a teikna mynd ir sem blekkja aug a. Skemmti legt er a sko a slík ar mynd ir og greina hva fla er sem veld ur blekk ing unni. Hol lend ing ur inn Escher og Sví inn Reutersvärd eru flekkt ir fyr ir mynd ir flar sem fleir n ta sér a ögra túlk un fólks á flví sem aug a sér. Ví a er a finna efni um verk fleirra á vef sí um sem at hygl is vert er a sko a. Dæmi um flær eru: los2/opt ical/ Artists/Reuter.htm og fiá er líka ví a a finna vef sí ur um skyn vill ur. Á vef sí un um usion/directory.html og er a finna fró leg ar upp l s ing ar um slík ar mynd ir og túlk un manns hug ans á fleim. fi sk ur stær fræ ing ur Möbi us, sem uppi var á 19. öld, upp götv a i a fla er hægt a gera flöt sem hef ur a eins eina hli og eina brún. fió a fla sé ekki au velt a gera sér í hug ar lund a slík ur flöt ur sé til er bæ i au velt og skemmti legt a gera Möbi us renn ing. Véla verk fræ ing ar not færa sér flessa tækni og færi bönd eru oft hönn u eins og Möbi us renn ing ur. Möbi us haf i mik inn á huga á grann mynstr um ( topology). Ári 1840 samdi hann eft ir farandi flraut sem marg ir nem end ur hafa vænt an lega gam an af a glíma vi og rök sty ja lausn sína. Einu sinni var kon ung ur sem átti fimm syni. Í erfða skrá sinni mælti hann svo fyrir að við dauða sinn ættu syn ir hans að skipta kon ungs dæm inu í fimm svæði þannig að hvert svæði lægi að hverju hinna fjög urra. Er hægt að uppfylla erfða skrána? fia er au velt a s na fram á a fletta er ekki hægt en full kom in sönn un á flví var fló ekki fund in fyrr en ári 1976 fleg ar sett var fram kenn ing um fjög urra lita svæ i. Upp l s ing ar um Möbi us og verk hans er a finna á vef sí unni: story/mathemat ici ans/mobius.html. fiar er einnig a finna upp l s ing ar um kenni setn ing una um fjög urra lita svæ i (the four color the or em). Í tengsl um vi rann sókn ir á mynd um sem blekkja er sjón um nem enda beint a horn um og hug tök in horn rétt á, topphorn og grann horn kynnt í flví sam hengi. Ekki er allt sem sýnist 19

20 Kennslu hug mynd ir Efni flessa kafla er fyrst og fremst hugs a til a gefa nem end um tæki færi til a víkka sjónar horn sitt á hva stær fræ i er. Mik il vægt er a fleir fái a njóta fless a glíma vi verkefn in og fái hvatn ingu til a skapa sjálf ir og gera til raun ir í fram haldi af rann sókn um sín um. Fyrsta verk efn i í kafl an um er hugs a sem kveikja a flví sem á eft ir kem ur. Um ræ ur um fla hvern ig nem end ur skynja fla sem fram kem ur á mynd un um ættu a geta or i lífleg ar og skemmti leg ar. Nau syn legt er a gefa fleim gott svig rúm. Hér eru kynnt n hug tök um horn og ekki ætl ast til a nem end ur geti skil greint flau held ur ein ung is a fleir flekki flau. Á bls. 29 eru nem end ur hvatt ir til a á ætla flat ar mál hrings me flví a not færa sér flat armál um rit a s fern ings og fern ing ana sem mynd ast af geisla hrings ins. fieir hafa ekki enn kynnst flví hvern ig flat ar mál hrings er reikn a. Me flví a rann saka flat ar mál hrings ins á flenn an máta ættu fleir a fá til finn ingu fyr ir flví hvern ig reikna má flat ar mál hrings. Til raun ir me Möbi us renn ing reyna bæ i á í mynd un ar afl og rök hugs un og ættu flví a vekja á huga flestra nem enda. fia sama má segja um verk efni á bls. 31 um fimm hyrn ing. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls , vinnubók bls Í þessum kafla eru mörg skemmtileg verkefni þar sem nemendur kynnast því hvernig stærðfræðin getur leynt á sér. Byrja mætti á að vinna saman, kennari og nemendur, dæmi á blaðsíðu 26 og 29 og síðan ættu nemendur að velja sér verkefni úr kaflanum, vinnubókinni og eða Vinnuspjald 58. Svifflugvél. Verkefnin eru mjög ólík og gefa færi á ólíkum vinnubrögðum við stærðfræðilegar rannsóknir. Í kaflanum er að finna mörg teikniverkefni (grunnbók dæmi 2 8 og vinnubók bls ), föndurverkefni (grunnbók dæmi 12 15, vinnubók blaðsíðu og vinnuspjald 58) og þraut (grunnbók blaðsíða 31). Setja má ramma um vinnu nemenda þannig að þeir eigi að velja sér að vinna a.m.k. tvö teikniverkefni og tvö föndurverkefni en megi gjarnan vinna meira. Þeir geta einnig leitað að fleiri skynvillumyndir á netslóðum. Þannig má gefa nemendum nokkuð frjálsar hendur en um leið þarf að gera kröfu til vinnu þeirra. Vinnuspjald 58. Svifflugvél Námsmatsverkefni: Dagblöð Dagblaðaverkefnið býður upp á fjölbreytta vinnu. Gaman gæti verið að vinna að því einn dag í viku í fjórar vikur eða jafnvel bara einn heilan skóladag. Verkefninu getur fylgt heilmikið umstang og því kjörið að vinna það á einum degi. Gott er að vinna það í litlum hópum og að allir vinni öll verkefni. Verkefninu lýkur með því að hver skrifar grein sem gefa má út í blaði eða á neti. Ekki er allt sem sýnist 20

21 Mynstur og algebra M a r km i ð A nem end ur geri sér grein fyr ir gildi jafn a ar merk is ins flekki merk in < og > gildi fleirra fljálf ist í a greina mynst ur og bæta vi flau hafi or a al menna reglu um vax andi mynst ur me fastri aukn ingu, skrá hana sem jöfnu og teikn a graf henn ar geri sér grein fyr ir hvern ig n ta má talna línu til a leysa jöfn ur U mf j ö l lu n Stær fræ i leg hugs un bygg ist á a geta sé mynst ur og skipu lag í raun veru leg um fyr ir brig - um og al hæft um flau. fia er nau syn legt a ræ a at hug an ir sín ar á reglu leika til a ver a sí ar fær um a skrá flær á tákn máli al gebrunn ar. Rann sókn ir á mynstr um og al hæf ing ar út frá fleim eru gó ur und ir bún ing ur fyr ir a nota bók stafi sem breyt ur. List ina a al hæfa, fl. e. a fara frá hinu sér tæka til hins al menna, læra börn smám sam an me mál tök unni. Bíll er al hæf ing fyr ir all ar ger ir af bíl um en ekki bara heiti á bíln um henn ar mömmu e a rau a leik fanga bíln um sem barn i leik ur sér a. Á sama hátt læra börn smám sam an ms ar al menn ar regl ur sem gilda í stær fræ i út frá rann sókn um á ein stök um tilvik um. fieg ar barn upp götv ar a = og a = ger ir fla sér grein fyr ir a ekki skipt ir máli í hva a rö töl ur eru lag ar sam an. End ur tek in slík reynsla hjálp ar flví a átta sig á a víxl regla gild ir al mennt um sam lagn ingu. Ef nem end um er ein ung is s nt eitt dæmi til a kynna fyr ir fleim al menna reglu er hætt vi a fleir geri sér ekki grein fyr ir a regl an gild ir ekki bara um fletta eina dæmi held ur al mennt um öll dæmi af sömu ger. Í um hverfi okk ar, bæ i nátt úru legu og mann ger u, má alls sta ar finna reglu leika. Ma urinn vir ist alltaf leit ast vi a skapa reglu leika á sam bæri leg an hátt og nátt úran. Rann sókn á mynstr um í um hverf inu er gó fljálf un í a greina reglu leika og setja fram al hæf ing ar um hann. Me flví a út sk ra mynst ur me or um fljálfast nem end ur enn frek ar í a greina flau og nota tungu mál i til a tjá skipu lag mynsturs ins stær fræ i lega. Börn búa sér til regl ur fleg ar flau leika sér, flau end ur taka hlut ina eft ir á kve nu mynstri, ra a perl um, byggja úr kubb um, sandi og fleiru eft ir eig in skipu lagi. fiau ö l ast flví snemma reynslu af al hæf ingu fló a flau geri sér ef til vill ekki grein fyr ir flví sjálf. Nem end ur flurfa a fá tæki færi til a byggja á fless ari reynslu sinni flegar fleir læra um tákn mál al gebrunn ar. Í kenn ara bók me Ein ingu 6 og kennslu lei bein ing um me Geisla 1A, Geisla 1B og Geisla 2 er um fjöll un um mynst ur og al gebru sem gagn legt get ur ver i a kynna sér. Meg in á hersl an í kafl an um er á a nem end ur fljálf ist í a greina mynst ur og skrá almenna reglu um flau. fieir hafa á ur kynnst hvern ig nota má bók stafi sem breytur og fljálfast í a greina mynst ur og skrá fla. Vi fangs efn in fel ast í a greina reglu sem gild ir um mynst ur, halda á fram me fla, or a regl una og skrá svo me tákn máli. fiá eru nem end ur hvatt ir til a skrá at hug an ir sín ar skipu lega í töflu og hnita kerfi. A lok um bera fleir skrán ingu sína sam an vi út reikn inga me eig in reglu. Me slík um rann sókn um og sam an bur i leggja nem end ur grund völl a skiln ingi sín um á fall hug tak inu og hvern ig skrá má jöfnu sem graf. Mynstur og algebra 21

22 fieg ar regla sem gild ir um mynst ur er fund in er mik il vægt a sko a hvert flrep í mynstr inu til a greina hver breyt ing in er. Fyrsta flrepi er grunn ein ing in og fla sem bæt ist vi í hverju flrepi fer eft ir ákve inni reglu sem erfitt get ur ver i a greina nema sko a hvert flrep fyr ir sig. Ef dæmi um blóma be á bls. 37 er sko a get ur ver i erfitt a átta sig á hver grunn ein ing in er. Á mynd inni sést a fla bæt ast tvær hell ur vi í hverju flrepi. Í be i 1 eru 12 hell ur, be i 2 eru 14, í be i 3 eru 16 o.s.frv. Grunn ein ing in er flví 10 hell ur. Ef n tákn ar núm er mynd ar ver ur regl an n e a 2n Verk efni í vinnu bók eru hugs u til a hjálpa nem end um a vinna skipu lega a flví a finna regl una og er flví æski legt a vinna flau sam hli a verk efn um í grunn bók inni. Í upp hafi kafl ans eru nokkr ar skála vog ir til a minna á a til a jafn vægi ná ist flarf a vera jöfn flyngd bá um meg in á vog inni en fla flurfa ekki endi lega a vera sömu hlut ir. fia gild ir einnig um jöfnu a sama stær flarf a vera bá um meg in vi jafn a ar merk i fló hún sé ekki tákn u á sama hátt. fiá eru merkin < og > kynnt. Nem end ur flekkja vel merk in < og > og hafa van ist notk un fleirra. Nem end ur flurfa a gera sér grein fyr ir mun in um á fless um merkj um. fieir flurfa líka a átta sig á a jafn a ar merk i er tákn um a jafn vægi sé milli beggja hli a jöfn unn ar. fia má flví ekki nota nema sama stær sé beggja meg in vi fla. Á bls. 33 eru fleiri verk efni um skála vog ir. Nem end ur flurfa a finna flyngd fleirra hluta sem eru á vog inni me flví a bera sam an vi ló in sem not u eru. Hér flarf líka a setja fram al menna reglu sem gild ir um jafn væg i, bæ i me or um og tákn máli. Á hersla er fyrst og fremst á a rann saka sam hengi og tákna fla á tákn máli stær - fræ inn ar. Nem end ur ættu a geta leyst jöfn urn ar me flví a rekja sig á fram a lausn fló ekki sé gert rá fyr ir a all ir geti fla. Verk efni um mynst ur í marg föld un art öfl un um eru ætl u til a hjálpa nem end um a átta sig á hvern ig fleir geta n tt sér ein falt mynst ur eins og kem ur fram í tíu sinn um töfl unni til a vera fljót ir a finna marg feldi af ö r um töl um. Hægt er a setja fram al menna reglu sem gild ir fyr ir marg feldi ann arra talna á sama hátt og reglu fyr ir marg feldi af 8 og 9. Dæmi: 9 12 = Á talna línu á bls. 34 má greina enn eitt mynstr i. fiar kem ur sk rt fram hvern ig sko a má marg föld un sem end ur tekna sam lagn ingu og deil ingu sem end ur tek inn frá drátt. Nem end ur flurfa hér a or a grein ingu sína á mynstr inu og sí an skrá dæm i sem jöfnu. Í verk efn um á bls. 35 eru gefn ar upp l s ing ar um sam band tveggja ein inga af sömu ger. Nem end ur flurfa a finna lausn og skrá svo dæm i sem jöfnu. Gert er rá fyrir a nemend ur byrji á a finna lausn á dæm inu og velti svo fyr ir sér hvern ig fleir geta skrá jöfn una. Nau syn legt er a hafa a gang a hjálp ar gögn um til a hlut gera lausn ina e a hvetja nemend ur til a skrá me teikn ingu flær upp l s ing ar sem eru gefn ar. fia au veld ar fleim a sjá tengslin milli vi fangs efn is ins og skrán ing ar á lausn inni á formi jöfnu. Mynstur og algebra 22

23 B og D eru líklega farsímar Sí asta verk efn i er um al genga út reikn inga í dag legu lífi flar sem bæ i flarf a reikna me föst um kostn a i og breyti leg um eft ir flví hve notk un er mik il. Í Geisla 2 kynnt ust nem end ur slík um út reikn ing um í tengsl um vi verk efni um kaup á konfekti. Hér flarf bæ i a lesa upp l s ing ar úr töflu og línu rit um (vinnu bók) til a geta reikn a kostn a. Kostna ur vi innanlandssímtöl kr. Hvert er upphafsgjald fyrir flessi símtöl? 3,5 kr. Hva er mínútugjaldi hátt? 2 kr. Hva kostar a tala í 5 mínútur? ,5 = 13,5 C A B kr mínútur 0 mínútur kr mínútur kr Hvert er upphafsgjald fyrir flessi símtöl? 4 kr. Hva er mínútugjaldi hátt? 10 kr. Hva kostar a tala í 3 mínútur? 3 10 krónur + 4 kr. = 34 kr. D 0 mínútur Hvert er upphafsgjald fyrir flessi símtöl? 6,5 kr. Hvert er upphafsgjald fyrir flessi símtöl? 7,5 kr. Hva er mínútugjaldi hátt? 4 kr. Hva er mínútugjaldi hátt? 8 kr. Hva kostar a tala í 5 mínútur? 26,5 kr. Hva kostar a tala í 3 mínútur? 31,5 kr. Hver flessara línurita telur flú a s ni kostna vi a hringja í heimilissíma? Línurit A og C gætu vel s nt kostna vi a hringja í heimilissíma. Hver fleirra heldur flú a s ni kostna vi a hringja í farsíma? 10 Kennslu hug mynd ir Til a rifja upp gildi jafn a ar merk is ins get ur ver i gott a gera nokkr ar til raun ir me skálavog. Finna má hluti í kennslu stof unni til a leggja á skála vog ina og nota sentikubba til a bæta á skál arn ar svo a vog in ver i í jafn vægi. Hva veg ur penna veski marga kubba? Hva veg ur reikni hefti marga kubba? Ef penna vesk i er lagt á a ra skál ina og reikni heft i á hina, hva flarf flá a bæta mörg um kubb um vi á a ra skál ina til a vog in ver i í jafn vægi? Tilraun irn ar má svo skrá ann ars veg ar me teikn ing um og hins veg ar me tákn máli. fiá gefst tæki færi til a ræ a notk un jafn a ar merk is ins. Hva a skil yr i flurfa a vera fyr ir hendi til a nota megi jafn a ar merk i? Hvern ig má skrá sam band i á milli flyngd ar penna veskis og reikni heft is? Dæmi: Tákna má flyngd penna vesk is ins me x og reikni heft is ins me y. Ef penna vesk i er flyngra en reikni heft i má skrá fla x > y e a y < x. Ef bæta flarf flrett án kubb um á skál ina me reikni heft inu til a vog in ver i í jafn vægi er hægt a skrá fla y + 13 = x. Til raun ina er hægt a gera sam eig in lega til dæm is í heima krók, flar sem kenn ari st rir umræ u, en nem end ur koma me hug mynd ir og hjálpa til vi a finna hluti og leggja á skálavog ina. Kenn ari e a nem andi skrá ir flær hug mynd ir sem koma fram. Nem end ur geta líka gert flessa rann sókn í litl um hópi (væri hægt a setja upp sem eina stö í svæ a vinnu). Mik il vægt er flá a kenn ari taki flátt í um ræ u nem enda um til raun ir fleirra, e a fái flá til a segja bekkj ar fé lög un um frá til raun um sín um. Verk efn in í kafl an um flarf ekki endi lega a taka fyr ir í fleirri rö sem flau eru í bók inni og ekki er nau syn legt a vinna flau öll. Kenn ari get ur val i hva a verk efni hann tel ur henta nem end um a vinna me til liti til hvers og eins. Hjálp ar gögn flurfa a vera til tæk fleg ar mynst ur eru rann sök u og get ur flví ver i heppi legt a skipu leggja lausn verk efna á sí u sem svæ a vinnu, e a a ein stak ir hóp ar leysi á kve in verk efni og all ir kynni svo ni ur stö ur sín ar í lok in. Æski legt er a vinna verk efni í vinnu bók sam hli a fless um vi - fangs efn um. Heppi legt er a nota töflu reikni fleg ar reikna flarf fjölda eft ir á kve inni reglu. Mik il vægt er a nem end ur kynn ist flví hve gagn legt fla er a n ta töflu reikni sem hjálp ar gagn og flví upp lagt tæki færi a skrá í töflu reikni regl una sem fleir hafa fund i. Til fless a töflu reikn ir Mynstur og algebra 23

24 komi a not um flarf a kunna a skrá regl una sem not u er vi út reikn inga og sjá flá nemend ur aug ljós lega gildi fless a geta skrá hana á tákn máli stær fræ inn ar. Töflu reikn ir er mjög gagn leg ur til a sko a mynst ur í marg föld un art öfl un um. fieg ar búi er a skrá töl ur í A dálk má gefa skip an ir í næstu dálk um um a skrá marg feldi af fleim. A B C D E F 1 1 =A1*10 =A1*8 =A1*9 =A1*11 =A1* fiannig má á fljót leg an hátt kalla fram marg föld un art öfl ur og rann saka flær. Í verk efni á sí u 38 er nem end um bent á ein falda lei til a n ta sér flekk ingu sína á tíu sinn um töfl unni til a vera fljót ir a finna marg feldi af töl um sem eru a eins lægri e a hærri en tíu. fiessa reglu má líka skrá í töflu reikn inn og rann saka hvort sömu ni ur stö ur fást. A B C D E F 1 1 =A1*10 =B1 A1 =B1 A1*2 =B1+A1 =B1+A1* Töflu reikn inn má líka nota til a kanna kostn a vi sím töl á bls. 39. Nem end ur geta afl a upp l s inga um kostn a vi sím töl hjá ó lík um síma fyr ir tækj um og reikn a út hvar hag stæ - ast er a kaupa fljón ustu mi a vi ó líka notk un (fá og löng sím töl, mörg en stutt sím töl o.s.frv.). fiá er au velt a kalla fram línu rit en lest ur af flví au veld ar sam an bur á kostna in um. Verk efni á bls eru öll um grein ingu á regl um og skrán ingu fleirra. fiar flurfa nemend ur bæ i a skrá jöfn ur fyr ir at bur i og a finna hva a at bur i jöfn ur sem gefn ar eru geta tákn a. Gam an get ur ver i a spreyta sig á a túlka jöfn urn ar á ó líka vegu og einnig a bera túlk un sína sam an vi túlk un ann arra á sömu jöfnu. Nem end ur geta líka skrá n j ar jöfn ur og be i bekkj ar fé lag ana a leysa flær. fia get ur or i skemmti leg ur leik ur flar sem ef til vill er hægt a skipta í li og keppa um a finna sem fjöl breyttast ar og skemmti legast ar lausn ir. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls , vinnubók bls. 16 Mikilvægt er að nemendur þjálfist í að greina samband talna. Í upphafi er gott að leggja Vinnuspjald 41 fyrir nemendur. Heilabrot. Nemendur geta prófað sig áfram og nálgast þannig rétta lausn. Þeir geta síðan rannsakað samband talna. Gott er að þeir kynnist notkun skálavogar því oft er notuð mynd af skálavog þegar unnið er með jöfnur. Þeir geta valið sér tvo hluti og sett sinn í hvora skálina. Þá geta þeir giskað á hvað þarf marga kubba til að fá fram jafnvægi og síðan sett fram jöfnu með orðum og táknum, svipað og sagt er frá hér að framan. Þegar þeir hafa leikið sér með skálavog og búið þannig til eigin dæmi geta þeir leyst dæmi 1 9 í grunnbók. Þeir geta skipt dæmi 9 milli sín þannig að allir teikni vogir fyrir eitt dæmi og síðan séu myndirnar settar á vegg og jöfnur á miðar til hliðar. Bekkurinn getur síðan parað saman mynd og jöfnu. Mynstur og algebra 24

25 Á blaðsíðu 16 í vinnubók og Vinnuspjaldi 42. Talnagaldur eru verkefni sem reyna á og efla talnaleikni. Þessi verkefni eru kjörin til sjálfstæðrar vinnu nemenda áður en dæmi í grunnbók eru leyst. Gott er að kennari fjalli um fyrstu dæmin á töflu með nemendum en þeir halda áfram sjálfir. Ekki er nauðsynlegt að nemendur vinni öll dæmin en þeir þurfa að átta sig á hvernig bókstafur er notaður til að skrá óþekkta stærð. Gaman væri ef allir læsu sögur sínar við dæmi 19 upp fyrir nemendahópinn. Grunnbók bls , vinnubók bls Dæmi á blaðsíðu henta vel sem paraverkefni. Gert er ráð fyrir að dæmi í grunnbók séu unnin í vinnubók. Hér þurfa nemendur að hafa tannstöngla eða eldspýtur til að leggja mynstrin á blaðsíðu 36 og kubba eða spilapeninga til að leggja mynstrin sem eru sýnd á blaðsíðu 37. Kennari ætti að ræða við hvert par og leggja áherslu á að nemendur geti skráð regluna í orðum og styðja þá í að skrá með táknum. Á Vinnuspjaldi 43. Algebra er dæmi þar sem nemendur eru studdir í að skrá dæmi sem talnadæmi og algebrudæmi. Á Vinnuspjaldi 45. Þríhyrningstölur er rannsakað samband þríhyrningstalna. Nemendur gætu haft gaman að því að leita að því og einnig að finna samband talna í verkefnum á Vinnuspjaldi 44. Hvað eiga tölurnar sameiginlegt? Það er góður undirbúningur fyrir dæmin þar sem fengist er við samband talna í margföldunartöflunum. Gaman getur verið að skoða þennan regluleika og samband í töflureikni. Á blaðsíðu 39 í grunnbók, á blaðsíðu 20 í vinnubók og í námsmatsverkefninu Mynstur og algebra Bílaleiga er skoðað hvernig nota má jöfnur til að reikna ýmislegt sem tengist daglegu lífi. Töflur og línurit eru gerðar út frá jöfnum og nemendur þurfa að setja fram stæður. Þessi verkefni eru jafngild og gætu nemendur sem best valið á milli þeirra. Kaflanum fylgir langt námsmatsverkefni. Gert er ráð fyrir að nemendur vinni það einstaklingslega. Þeir þurfa að leysa sum verkefnin á sérstakt blað. Kennari getur valið dæmi sem honum finnast henta eða nemendur geta leyst allt prófið. Þeir eru væntanlega misfljótir og líta má á dæmi 7 sem aukadæmi. Vinnuspjald 41. Heilabrot Vinnuspjald 42. Talnagaldur Vinnuspjald 43. Algebra Vinnuspjald 44. Hvað eiga tölurnar sameiginlegt? Vinnuspjald 45. Þríhyrningstölur Mynstur og algebra 25

26 Mælingar Markmið Að nemendur geti mælt ólíka mælieiginleika þekki uppbyggingu metrakerfisins þekki helstu mælieiningar og geti notað þær þekki hefðir um notkun mælieininga Umfjöllun Í Geisla 3A er kafli um mælingar þar sem nemendur mæla ólíka mælieiginleika og skoða uppbyggingu metrakerfisins. Hér er aftur komið að þeim þáttum og rifjað upp. Meginviðfangsefni kaflans eru mælingar í gráðum og tímamælingar. Þessar mælingar kalla á nákvæmni og færni í útreikningum. Hornamælingar krefjast mikillar nákvæmni og ástæða til að ræða það við nemendur um notkun gráðuboga. Sérstakt er að bæði horn og hiti skuli verða mælt í gráðum. Það gefur tilefni til að ræða hvað sé verið að mæla þegar horn er mælt og skoða hvernig horn með mislanga ása geta verið jafnstór. Nemendur þurfa líka að æfa leikni sína í að lesa úr mælingum og draga ályktanir út frá þeim. Í fjölmiðlum er oft greint frá mælingum og er gott að draga athygli nemenda að því að margar fréttir er erfitt að skilja ef maður skilur ekki mælinganiðurstöður. Þetta á til dæmis við í íþróttum, kynningum á nýjum byggingum og virkjunarkostum. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls Þennan kafla geta nemendur unnið í litlum hópum, þannig að þeir fái tvöfaldan stærðfræðitíma til að vinna hverja blaðsíðu í grunnbók. Þeir geta unnið verkefnin í sérstaka heimagerða verkefnabók. Verkefnin eru þannig að hóparnir ættu að geta unnið þau nokkuð sjálfstætt en gott er að kennari ræði við hópana og hjálpi þeim að skerpa skilning sinn. Dæmi 17 er svo unnið í lokin af öllum nemendahópnum. Allir setja eina eða fleiri mælieiningar upp á vegg og síðan er skrifaðar sögur í verkefnabókina. Sögurnar geta nemendur unnið í pörum. Skemmtilegur endir á þessari vinnu væri að nemendur læsu eða léku sögur sínar og þannig gæfist tækifæri til að ræða um samband mælieininga og metrakerfið. Námsmatsverkefnið Í Englandi gætu nemendur unnið í tengslum við þennan kafla. Þar er ekki unnið með metrakerfið heldur mælikerfi Breta. Þar reynir á grunnskilning á hverju mælingar byggjast og útreikningar verða fljótt flóknir. Kannski má segja að þetta verkefni henti betur sem æfingaverkefni en námsmatsverkefni. Mælingar 26

27 Prósentur M a r km i ð Að nemendur skilji hva or i pró senta fl ir geti fund i 1%, 5%, 10%, 25% og 50% af heild og geti n tt sér fla til a finna a r ar heil tölu pró sent ur af heild skilji hva pró sentu hækk un og pró sentu lækk un fl ir og geti reikn a dæmi flar sem finna á af slátt af vöruver i flekki tengsl pró sentu vi al menn brot og tuga brot og geti n tt sér al menn brot og tuga brot sem vi mi un fleg ar finna á ein fald ar pró sent ur eins og 10%, 20%, 25%, 50% og 75% U mf j ö l lu n Pró sent ur eru not a ar ví a í sam fé lag inu og nem end ur hafa flest ir ein hverj ar hug mynd ir um hva átt er vi fleg ar tal a er um pró sent ur. Í Geisla námsefninu hefur áður verið feng ist vi pró sent ur. fiar er í flest um til fell um um a ræ a verk efni flar sem beita má námund un og vel flekkt um vi mi un ar pró sent um eins og 10%, 50% og 25% vi a finna pró sent ur af til tek inni heild e a fjölda. Or i pró sent kem ur úr lat ínu og merk ir af hundra i og hafa nem end ur lit a hundra reita töflu til a gera sér grein fyr ir hva átt er vi me t.d. 45%. Í fless um kafla, sem er fyrsti heild stæ i kafl inn um pró sent ur, er hald i á fram á svipa ri braut og áður í Geisla. Verk efn un um á fyrstu tveim ur sí un um er ætl a a beina sjón um nem enda og kenn ara a flví hva a hug mynd ir nem end ur hafa um pró sent ur nú fleg ar. Mik il vægt er a nem end ur fái a koma hug mynd um sín um á fram færi og ekki er gert rá fyr ir a kenn ar ar leggi á herslu á réttu svör in. Ætla má a fram komi mis mun andi hug mynd ir og æski legt er a ræ a flær í nem enda hópnum. Sjálf sagt hafa marg ir fleirra nokk u gó an grunn en skiln ing ur get ur einnig ver i tak mark a ur og er verk efn um ætl a a varpa ljósi á fla. Kenn ar ar geta flá haft fla til hli sjón ar vi skipu lagn ingu kennsl unn ar. Ekki eru kynnt ar á kve n ar regl ur til a fara eft ir fleg ar finna á pró sent ur en frem ur reynt a leggja fyr ir nem end ur verk efni flannig a skiln ing ur fleirra á pró sentu hug tak inu eflist. Nemend ur kom ast a raun um a me flví a nota á kve n ar vi mi un ar pró sent ur má finna nán ast hva pró sentu sem er af heild e a fjölda. fió svo a ekki fá ist alltaf hár ná kvæm svör á flenn an hátt er í flest um til vik um um nægj an lega ná kvæmni a ræ a. Pró sentu reit ur er kynnt ur til sög unn ar en hann er ein falt og gott hjálp ar tæki vi prósentureikn ing. Prósentureitur % Í fyrstu má nota pró sentu reit inn til a s na á kve n ar pró sent ur og til a átta sig á tengslum al mennra brota og pró senta líkt og gert er í verk efni 17. Á stæ a er til a leggja mikla á herslu á tengsl 10%, 20%, 25%, 50%, 75% vi al mennu brot in 1 10, 1 5, 1 4, 1 2, 3 4. Prósentur 27

28 fia má til dæm is gera me flví a láta nem end ur skrá flessi brot og jafn vel fleiri á talnalínu og tengja sí an vi eig andi pró sent ur vi og jafn vel tuga brot. Einnig er gott a nota brota renn inga sem finna má á ey u blö um á Geisla vefn um og merkja inn á flá hve marg ar pró sent ur til tek in brot eru % 50% 60% 100% 1 0,6 Me pró sentu reitn um má einnig me nokk urri ná kvæmni finna pró sent ur af til tek inni upphæ e a fjölda. Heild ar fjöld inn er 100% og me flví a hluta pró sentu reit inn ni ur má fá nokk u ná kvæmt svar % 50% 60% 100% Pró sentu reit inn má líka nota fleg ar finna á hve mörg pró sent til tek inn fjöldi er af heild arfjölda e a fleg ar vit a er t.d. hve 60% eru mik i % 100% Hve mörg pró sent eru 80 af 400? 60% af tölu er 300. Hver er tal an? Rétt er a ít reka a í mörg um verk efn anna er ekki ver i a leita a ná kvæmu svari held ur er gert rá fyr ir a nem end ur noti námund un og reyni a kom ast sem næst réttu svari. fia fer bæ i eft ir pró sent un um sem feng ist er vi hverju sinni og fleim upp hæ um e a fjölda sem um er a ræ a hve ná kvæm svör in ver a. Kennslu hug mynd ir Nem end ur byrja á a leysa verk efn in á bls upp á eig in sp t ur. Æski legt er a nemend ur vinni tveir og tveir sam an. Eins og fram hef ur kom i er mik il væg ast hér a kenn ari fylgist me vinnu nem enda og reyni a átta sig á hva a skiln ing nem end ur hafa á prósent um. Gera má rá fyr ir a vinna nem enda vi flessi vi fangs efni taki a minnsta kosti tvær kennslu stund ir. Sí an flarf a gera rá fyr ir einni kennslu stund í um ræ ur og saman tekt og flá er mik il vægt a ræ a hvar og hvenær pró sent ur eru not a ar í sam fé lag inu. Gott heima verk efni væri a sko a dag blö og aug l s inga bæklinga sem ber ast inn á heim ili nem enda og safna dæm um um notk un pró senta í sam fé lag inu. fietta mætti sí an setja upp á vegg spjöld. Prósentur 28

29 Ef kenn ara finnst grunn ur nem enda veik ur flarf a gefa vi fangs efn um á bla sí u 47 gó - an gaum. Leggja flarf á herslu á pró sentu reit inn sam an ber fla sem sagt var hér a fram an. Verk efn in um í flrótta hús i er hægt a vinna í hóp- e a para vinnu. Ví ast hvar eru samkomu hús og/e a í flrótta hús sem nem end ur flekkja og mætti hefja vinn una me flví a kanna hve mörg sæti hægt er a hafa flar mi a vi mis mun andi a stæ ur og velta fyr ir sér sæta n t ingu vi msa at bur i í sveit ar fé lag inu. Einnig get ur ver i for vitni legt a kanna á horf enda fjölda á stærstu í flrótta vi bur um og tón leik um hér á landi og bera sam an mismun andi fjölda. Í verk efn un um á bla sí u 50 er gef i upp hvert hlut fall i er á milli stu n ings manna tveggja li a á hand bolta leik. Hér eiga nem end ur af finna fjöld ann í hvor um hópi fyrir sig ef mi a er vi 100 á horf end ur. fietta get ur ver i gott a setja upp í töflu. Stuðn ings menn Hóla liðs Stuðn ings menn Vík ur liðs Á horf end ur alls fieg ar búi er a finna fjöld ann mi a vi hund ra er í raun búi a finna pró sentu töl ur og flær má sí an nota til a finna fjölda mi a vi 600 á horf end ur. Einnig er ein falt a finna hann me flví a halda á fram me töfl una. Verk efn in á bla sí u 52 eru hugs u sem sam an tekt og mat. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls Nemendur byrja á því að ræða í pörum um dæmi 1 9. Nota má dæmi 10 fyrir þá sem eru fljótir með verkefnin. Kennari fer síðan yfir dæmin með hópnum og velur nokkur pör til að segja frá hverju dæmi. Í lokin finna kennari og nemendur saman fleiri dæmi um hvernig prósentur eru notaðar í samfélaginu og ræða hvað hugtakið prósenta þýði og hvernig finna má 50%, 5%, 10% og 1%. Nemendur hafa lítillega unnið með prósentur áður og því gott að skerpa hugtakaskilning. Þessi vinna er ágætur undirbúningur fyrir dæmi á blaðsíðu 46 og á vinnuspjaldi 47. Í dæmum12 13 er gert ráð fyrir að nemendur meti fullyrðingar og setji fram fleiri og andsvör. Á Vinnuspjaldi 47. Prósentur eru dæmi sem henta ágætlega til að rifja upp þekkingu á prósentum. Einnig eru upprifjunardæmi á Vinnuspjaldi 48. Í frímínútum. Grunnbók bls , vinnubók bls Prósentureitur er notaður í þessum kafla til að styðja við hugsun nemenda og auðvelda þeim útreikninga. Heildin er allur reiturinn og síðan má afmarka hluta bæði í prósentum og tölum. Kynna þarf prósentureitinn vel fyrir nemendum og þeir þurfa að nota hann við lausn dæma sinna. Gott er því að kennari og nemendur taki nokkur dæmi saman og ræði hvernig reiturinn styður í lausnaleit. Mikilvægt er að nemendur hugsi skrefin í lausnaleit Prósentur 29

30 sinni sjálfir og því gott að fá fram ólíkar lausnaleiðir í dæmum sem kennari og nemendur vinna saman. Ágæt æfingadæmi eru á blaðsíðu 21 í vinnubók og blaðsíðu 48 í grunnbók en kennari þarf að hjálpa nemendum að nýta sér prósentureitinn. Á blaðsíðum í grunnbók er unnið út frá sögu af íþróttaliðum. Þau verkefni henta vel til paravinnu. Í vinnubók á bls eru fleiri sambærileg verkefni. Þar eiga nemendur að greina frá lausnaleiðum og gaman er fyrir þá að bera saman lausnir sínar. Á blaðsíðu 51, vinnubók blaðsíðu 25, á Vinnuspjaldi 49. Vetrarútsala og á Vinnuspjaldi 50. Rýmingarsala eru verkefni þar sem unnið er með verslun, afslátt og útsölu. Nýta má þessi verkefni í stöðvavinnu en ekki er síðra að nemendur setji upp verslanir þar sem haldnar eru útsölur og verðhækkanir að þeim loknum. Þeir geta sett upp fataverslun með því að nota óskilamuni, bókaverslun með bókum af skólasafninu, ritfangaverslun, matvöruverslun eða veitingahús. Nota má hugmyndir úr dæmum en nemendur þurfa að skrá vörur, verð, verðútreikninga og sölu. Gott er að nota kennslupeninga til að gera upplifun raunverulegri og má úthluta nemendum tiltekinni upphæð og skapa möguleika á að eignast meiri peninga t.d. í gegnum teningakast. Kaflanum fylgja tvö námsmatsverkefni, Prósentur Sjálfsmat og Prósentureikningur. Gott er að þeir leysi sjálfsmatsverkefnið fyrst og vinni síðan prósentureikninginn næsta dag. Vinnuspjald 47. Prósentur Vinnuspjald 48. Í frímínútum Vinnuspjald 49. Vetrarútsala Vinnuspjald 50. Rýmingarsala Prósentur 30

31 Rökfræði M a r km i ð Að nemendur geti próf a til gát ur og met i sann gildi fleirra sett ein fald ar rök semda færsl ur fram skilj an lega og sk rt í mæltu og rit u u máli tengt sam an vís bend ing ar og kom ist a rök réttri ni ur stö u met i for send ur og á lykt an ir sem draga má af fleim les i úr gagna safni U mf j ö l lu n Rök fræ i hef ur lengi ver i stund u af mann kyn inu. Sókrates, Aristótel es og Platón eru all ir fræg ir fyr ir rök ræ u list sína. Rök fræ i fjall ar um fla hvenær unnt er a draga á lykt an ir af til tekn um for send um sem eru jafn rétt ar og for send urn ar. Í rök fræ inni er geng i út frá a for send ur sem gefn ar eru séu sann ar og met i út frá fleim grunni hvort á lykt un sé sönn. Rök fræ in fjall ar um form ekki inni hald. Í bók Gu mund ar Arn laugs son ar, Rök fræ in, er ágæt um fjöll un um rök fræ i sem gef ur kenn ur um gó an grunn (sjá Gu mund ur Arnlaugs son Rök fræ i, I nú, Reykja vík). Í fless um kafla er nem end um ætl a a beina sjón um a for send um og binda sig vi a á lykta ein göngu á grund velli fleirra. Einnig flurfa fleir a meta hvort næg ar for send ur séu gefn ar til a hægt sé a á lykta. Í sum um verk efnun um flarf a bæta vi for send um. Mik il vægt er a nem end ur átti sig á a hugs un get ur ver i rök rétt án fless a vera sönn ef og a eins ef for send ur sem gefn ar eru í upp hafi eru ekki sann ar e a næg ar. Dæmi um slíkt má finna í kafl an um. Nem end ur geta spunn i upp skemmti leg ar rök semda færsl ur og æft sig a flytja flær. fieir geta sett fram for send ur hver fyr ir ann an svip a og gert er á bla sí u 55. fieg ar leit a er n rr ar flekk ing ar eru oft sett ar fram til gát ur. fiess ar til gát ur flarf a sko a og meta hvort raun hæft sé a prófa flær. Oft er flá leit a a rétt læt ingu e a hvort finna megi mót dæmi sem s ni a til gáta geti ekki sta ist. Í upp hafi kafl ans eru sett ar fram flrjár til gát ur á svi i talna fræ i. Ekki er hægt a ætl ast til a nem end ur á mi stigi geti sett fram haldgó a sönn un en gott er fyr ir flá a æfa sig í a setja fram rétt læt ing ar á a til gáta geti ver i sönn. Gagn legt get ur ver i fyr ir nem end ur a finna sjálf ir stær fræ i legt vi fangs efni sem fleir geta sett fram á sama hátt og sko a hvern ig fleir gætu rök stutt e a hafn a til gátu. Í kafl an um eru nokkr ar flraut ir sem reyna á a greina for send ur og beita flarf rök hugsun vi lausn fleirra. firaut ir ganga oft milli manna og jafn vel leik ir flar sem greina flarf reglu og flær for send ur sem gefn ar eru. Kenn ar ar flurfa a vera vak andi fyr ir flví a taka slík vi fangs efni til um ræ u í skóla stof unni. Sem dæmi um flraut ir má nefna flraut ina um ís birn ina og vakirn ar, flraut ir flar sem sum ir segja satt og a r ir ósatt og msa landamæra leiki. Í spil um reyn ir oft á rök hugs un. Á und an förn um árum hafa spil eins og firenna og Mastermind ver i tölu vert not u í grunn skól um. Skák og mylla hafa lengi ver i spil u. N spil koma líka á mark a inn og má flar nefna Tantrix. fia efl ir rök hugs un a spila slík spil og bein ir at hygli nem enda a sam hengi milli or saka og af lei ing ar. Gott er a nem end ur greini orsaka sam hengi og skrái gang leiks t.d. í Myllu. fiá eru fleir komn ir me efni í rök semda færslu fyr ir úr slit um leiks ins. Rökfræði 31

32 Kennslu hug mynd ir Í upp hafi er gott a ræ a vi nem end ur um hug tak i til gáta. Kenn ari get ur sett fram nokkr ar til gát ur úr dag legu lífi og stær fræ i. Hann bi ur nem end ur a finna mótrök e a rétt lætingu. Sem dæmi um til gát ur má nefna: Í mars eru 28 dag ar (sem er satt fló fla séu enn flá fleiri dag ar). Kenn ar inn seg ir alltaf gó an dag inn fleg ar hann kem ur inn í skóla stof una á morgn ana. fia eru jafn marg ir stól ar og bor í skóla stof unni. fia eru fleiri nem end ur í skól an um en starfs fólk. fia kem ur alltaf upp sex á ten ingi ef hann er lát inn snú ast mik i. firí hyrn ing ar eru alltaf jafn arma. Sjöhyrn ing ur hef ur sex horn. Eng inn nem andi í fless um bekk á af mæli 29. febr ú ar. Bein lína er stysta fjar læg milli tveggja punkta. Nem end ur geta sett fram fleiri til gát ur hver fyr ir ann an til a rétt læta e a hrekja. fieir geta sí an unn i verk efni 1 3 og rætt sam an um lausn ir. Leik ir geta ver i gó ir til a hóp ur sam ein ist um a finna for send ur. Fara má í landamæraleik. Ein ger af slík um leik er a or i gangi og all ir segi eitt or. Stjórn and inn er bú inn a á kve a reglu sem flátt tak end ur eiga a greina. Sem dæmi um reglu má nefna, fyrsti staf ur í or i á a vera sá sami og er fyrsti staf ur í nafni vi kom andi. Stjórn and inn byrj ar og seg ir sí an vi hvern og einn hvort hann hafi komist yfir landa mær in fleg ar fleir segja eitt hvert or sem fleim dett ur í hug. Reglan gæti líka ver i ann ar staf ur í fö ur nafni e a fyrsti staf ur í lit á sokk um hvers og eins. Áherslu ber a leggja á rök studd ar lausn ir vi verk efn um á bla sí u 100. Gagn legt er fyr ir nem end ur a heyra rök stu n ing frá nokkrum og bera saman vi eig in rök stu n ing. Ni ur stö ur er oft sett ar fram á grund velli fless a for send ur eru tengd ar sam an. Í dæmi 9 eru sett ar fram for send ur og hug mynd a ni ur stö u. Í fyrstu tveim ur til vik un um eru for send ur ekki næg ar en í flri ja til fell inu er á lykt un rök rétt. Me flví a breyta fyrstu forsendu í Sig ur björn hef ur les i all ar saka mála sög ur, ver ur ni ur sta a rök rétt. Einnig flurfa nem end ur a æfa sig í a finna hva a rök gætu leg i a baki full yr ing um. Spyrja má t.d. hva a rök má finna fyr ir flví a hærra hlut fall af fleim sem ganga í skóm núm er 34 gangi í skóla en fleim sem nota skó núm er 44. Dæmi 11 og 12 sty ja vi fla. Í lok kafl ans er unn i me gagna safn. fieg ar nem end ur hafa lok i vi a vinna verk efn i er kjör i a fleir sko i fleiri gagna söfn, t.d. frá Hag stofu Ís lands. Hugmynd að kennsluferli Grunnbók bls , vinnubók bls Rökfræði er mikilvæg undirgrein stærðfræðinnar. Nemendur hafa ekki fengist beint við rökfræði áður en unnið hefur verið með rökhugsun og röksemdafærslu. Gott er að byrja með þrautir á Vinnuspjaldi 51. Hver er ég?, Vinnuspjaldi 52. Bókstafir og tölur og í vinnubók bls þar sem nemendur fá tækifæri til ögrandi glímu þar sem þeir þurfa að tengja saman vísbendingar og draga ályktanir. Nemendur geta valið sér viðfangsefni en einnig má setja upp stöðvavinnu. Rökfræði 32

33 Í grunnbókinni er fyrst unnið með tilgátur og röksemdafærslu sem leiðir til að tilgáta er talin standast eða vera röng. Þetta er skemmtileg glíma og gaman er að skoða hvernig hægt er að færa óyggjandi rök fyrir því sem allir vita að er ósatt. Verkefnin í grunnbók reyna mjög á rökhugsun og því er mikilvægt að nemendur fái tækifæri til að ræða í stórum og litlum hópum um hvernig þeir hugsa um dæmin og hvernig forsendur sem gengið er út frá ráða hver niðurstaðan verður. Kaflanum fylgir námsmatsverkefnið Rökfræði þar sem gert er ráð fyrir að nemendur velji eina af þremur þrautum og leysi í litlum hópum. Gott er að nemendur taki upp samræður sínar og útskýri niðurstöðu sína. Kennari getur síðan hlustað á upptökuna og metið bæði stöðu nemenda í að vinna með öðrum, að tjá sig og færa rök fyrir máli sínu. Vinnuspjald 51. Hver er ég? Vinnuspjald 52. Bókstafir og tölur Námsmatsverkefni: Rökfræði (100) Þemahefti Siglingar Margir siglingarklúbbar starfa á Íslandi og margir Íslendingar þekkja til sjómennsku. Þegar fer að vora fara margir að huga að bátum sínum og starfið í siglingarklúbbum fer að glæðast. Gaman er að fara með nemendur í heimsókn eða fá í heimsókn einhvern sem þekkir til siglinga. Einnig eru oft á söfnum ýmsar minjar frá siglingum. Í þemaheftinu eru fjölbreytt verkefni sem nánar er gerð fyrir í kennsluleiðbeiningum þess. Rökfræði 33

34 Reikniaðgerðir M a r km i ð Að nemendur s ni skiln ing á reikni a ger un um sam lagn ingu, frá drætti, marg föld un og deil ingu beiti mis mun andi lei um vi út reikn inga noti stær fræ i hug tök vi út sk r ing ar og rök stu n ing flekki nokkr ar reikni regl ur reikni me heil um töl um og brot um í hug an um, á bla i og me vasa reikni U mf j ö l lu n Nem end ur hafa lengi feng ist vi út reikn inga og m iss kon ar talna me fer. Reikni a ger irnar, sam lagn ing, frá drátt ur, marg föld un og deil ing, eru vi fangs efni flessa kafla auk fless sem veldi eru kynnt. Mik il vægt er a nem end ur séu me vit a ir um hva felst í reikni a ger og geti tjá sig um fla. fia vir ist au velt a svara spurn ingu um hva felist í sam lagn ingu en fla reyn ir tölu vert á yf ir s n og me vit a an skiln ing. Lík legt er a nem end ur vilji koma me dæmi og get ur fla ver i ágæt byrj un. Gagn legt er fyr ir flá a fá hvatn ingu til a l sa sam lagn ingu me al menn um or um og flá get ur ver i gott a fá stu n ing frá bekkj ar fé laga. Nem end ur flurfa a gera sér grein fyr ir tengsl um reikni a ger anna. Sam lagn ing og frádrátt ur eru and hverfar a ger ir og fla sama má segja um marg föld un og deil ingu. fiessi tengsl má oft n ta til a létta sér út reikn inga. fia er a margra mati oft au veld ara a marg falda held ur en deila, fless vegna er heppi legt a vera me vit a ur um a í sta fless a deila me 1 2 má marg falda me tveim ur e a marg falda me 5 í sta fless a deila me 0,2. fiessi flekk ing kem ur ekki a raun veru legu gagni nema nem end ur rann saki sjálf ir tengsl milli marg föld un ar og deil ing ar. Sam lagn ing og marg föld un tengj ast líka flví líta má á marg föld un sem end ur tekna sam lagn ingu. Deil ingu má bæ i líta á sem skipt ingu og endur tek inn frá drátt. Nem end ur flurfa a hafa yf ir s n yfir flessi tengsl og geta n tt sér flau vi út reikn inga. Nem end ur flurfa a vera me vit a ir um a til tekn ar reikni regl ur gilda vi út reikn inga, t.d. a rö li a vi sam lagn ingu skipt ir ekki máli e a rö flátta vi marg föld un. fieir geta n tt sér a koma me mót dæmi til a hrekja full yr ing ar. Ekki er hægt a ætl ast til a fleir geti kom i me sönn un en gera má kröfu um rétt læt ingu. fieir hafa m.a. kynnst slík um rétt læting um í kafl an um um rök fræ i. Reikn ing ur me heil um töl um og brot um bygg ist á sömu reikni regl um. Gott get ur ver i a ræ a fla og bera sam an, t.d. frá drátt me heil um töl um og brot um. Brota bút ar eru gagn leg ir og reikn ing ur á talna línu get ur stutt vi a nem end ur skilji hva ger ist og geti flví bet ur rök stutt lausn ir sín ar. Reikni a ger irn ar fjór ar eru mik i not a ar í sam fé lag inu. Sí fellt fær ist í vöxt a nota ar séu reikni vél ar vi út reikn inga og flá flarf fólk fyrst og fremst a átta sig á hvort rétt ar tölur og reikni a ger ir séu not a ar. Slíkt reyn ir mik i á skiln ing og yf ir s n og einnig flarf fólk a til einka sér gagn r na hugs un og grein ingu á ni ur stö um. fiá sn st vi fangs efn i ekki um hvort rétt sé reikn a held ur hvort hugs un in á bak vi dæm in sé rök rétt. Oft kem ur sér Reikniaðgerðir 34