Oppgave 1 (25 %) N = 0.95 = ( ) = a) Antall kontrakter som skal shortes er:

Transkript

1 Oppgave 1 (25 %) a) Antall kontrakter som skal shortes er: * 1 N =.95 = Vi avrunder til nærmeste hele tall og shorter dermed 188 kontrakter. b) Tabellen under viser at strategien sikrer en fortjeneste på rundt 1. V viser beregningene i den første kolonnen. Hvis indeksen er 18 er futuresprisen.25 % høyere, det vil si Gevinst på short futures er dermed: ( ) = Avkastning på indeksen er 2 % 2/12 =.33 % i form av dividende og 18/2 1 = - 1 % kapitalavkastning. Total avkastning er dermed 9.67 %. Risikofri rente er 5 % 2/12 =.83 % over 2 mnd. Avkastningen er dermed 1.5 % ut over risikofri rente, og med beta lik.95 blir avkastningen % = % ut over risikofri rente. Porteføljens avkastning er dermed lik % +.83 % = %. Tapet på porteføljen blir % 1 = Total gevinst = Indeks nå 2 Futures nå 22 Indeks opp,25 % Portefølje 1 Risikofri 5 %,83 % 2 mnd Yield 2 %,33 % 2 mnd Kontrakter nøyaktig 188,12 shortes Kontrakter avrundet 188 shortes Beta,95 Futures verdi 25 Indeks 2 mnd Futures 18,45 19,48 2,5 21,53 Gevinst futures Avkastning indeks -9,67% -4,67%,33 % 5,33 % Porteføljeavkastning -9,14% -4,39%,36 % 5,11 % Verdi portefølje Total verdi Gevinst Legg merke til at avkastningen blir nær risikofri rente men ikke helt identisk. Vår sikring er ikke perfekt siden det trengs kontrakter og det er basisrisiko pga ulik tidsdimensjon på indeksen og futures avtalen.

2 c) Reduksjon av beta til.8 oppnås gjennom å shorte: 1 N = (.95.8) = 29.7 eller 3 kontrakter Økning av beta til 1.25 oppnås ved å kjøpe: 1 N = ( ) = eller 59 kontrakter Oppgave 2 (15 %) a) Dette er et papir med kontinuerlig divdende (q), og vi bruker 5.3 i Hull for å verdsette terminkontrakten. F = 11e (.5 -.2)/2 = b) Hvis terminprisen er 1 12 er den for høy. Vi kjøper derfor det underliggende og shorter terminavtalen. Gevinsten blir = c) Hvis terminprisen er 1 11 er den for lav. Vi kjøper derfor terminavtalen og shorter underliggende. Salgssummen fra salget plasseres og vokser til og det oppstår en gevinst på = Bankrenten er riktignok 5 % her, men den som har solgt avtalen må også betale 2 % dividende til eieren slik at netto avkastning blir 3 %. Vi bruker 5.7 i Hull for å verdsette terminavtalen (long posisjon): qt rt f Se = Ke Dette gir at: f = e e =.2 4\12.5 4\ Siden vi har en short posisjon i oppgaven er verdien Legg merke til at når kontrakten inngås er forventet verdi : f = e e =.2 6\12.5 6\ Oppgave 3 (3 %) a) Vi beregner de aktuelle størrelsene:.3.5 u = e = d = 1/ u = 1/ = e p = =

3 b) Treet kan vises slik: 152, , , , , , , ,42511 Node Time:,,5 1, c) Som treet viser, har vi at: f uu = = f ud = 1 95 = 5 f du = 1 95 = 5 f dd = Vi starter bakerst og beregner verdien av kjøpsopsjonen på tidspunkt t =.5 år: (.5426 * (1.5426) * 5))e -.8/2 = (se også treet) (.5426 * 5) e -.8/2 = (se også treet) Verdien av kjøpsopsjonen på t = : (.5426 * (1.5426) * ))e -.8/2 = Om man verdsetter direkte uten å gå om verdiene i treet er det også fullgod løsning. d) Verdien på salgsopsjonen kan finnes ved hjelp av salg-kjøp-pariteten, men det kan være en fordel å bruke treet fordi man i oppgave e) skal verdsette en amerikansk opsjon. Treet med betingede pay off fra salgsopsjonen er slik:

4 152, , ,7186 8, , , ,57489 Node Time:,,5 1, Opsjonen blir bare ITM dersom aksjekursen faller. Vi ser at fuu = = Verdi på tidspunkt t =.5 er ( ) * )) e -.8/2 = Verdi på tidspunkt t = er ( ) * )) e -.8/2 = Vi kan selvsagt også ta beregningene i en operasjon: (1.5426) * )) 2 e -.8 = (se også treet) e) Vi tegner treet på nytt (ikke nødvendig, men gjøres for oversiktens skyld): 152, , , , , , ,57489 Node Time:,,5 1, En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall. Vi så foran at på tidspunkt t =.5 var opsjonsverdien lik En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall, og tidlig utøvelse gir en pay off på = Opsjonen utøves derfor tidlig. Opsjonsverdien blir: ( ) * )) e -.8/2 = 6.222

5 Oppgave 4 (3 %) Før vi kan beregne verdien av opsjonene, må vi trekke ut nåverdien av dividenden på 56 om 4 dager: 56e -.495*4/365 = 55.7 S = = Vi beregner d 1 og d 2 : 2 2 ln(119.3 / 125) + ( / 2) 8 / 365 d1 = = / 365 d = / 365 =.447 Vi finner N(d 1 ) og N(d 2 ) ved avlesning fra tabell og helst interpolering: N(d 1 ) =.3836 N(d 2 ) =.3428 a) Vi priser kjøpsopsjonen ved hjelp av BS: = =.495 8/365 c e b) Vi priser salgsopsjonen ved hjelp av BS:.495 8/365 p 125e = (1.3428) (1.3836) = c) Salgsopsjon = e-.495*8/ = En viss avrunding er ikke til å unngå og nøyaktige verdier finnes i regnearket under. d) Theta viser opsjonens time decay eller hvor mye opsjonsverdien faller for hver dag kortere gjenværende tid til bortfall. Opsjonens vega er økning i opsjonspris ved en 1 % økning i standardavviket på underliggende. e) For å bli delta nøytral kjøpes N(d 1 ) eller.3428 aksjer for hver opsjon man har skrevet. Øker aksjekursen med 1, øker verdien av aksjen med,3428 og den skrevne kjøpsopsjonen gir et tap på Nettoeffekten er.

6 Kurs - NV dividende 119,3 Innløsningskurs 125, Risikofri rente 4,95 % Standardavvik 23,22 % Tid til bortfall (dager) 8 Tid til bortfall (år),2 d1 -,296 d2 -,447 N(d1),3836 N(d2),3428 Verdi kjøpsopsjon 32,68 Verdi salgsopsjon 78,9