Oppgave 3. Skisse til løsning Eksamen i Reservoarteknikk 14. desember, a) Se forelesningene. b) Fra Darcys lov,

Transkript

1 Skisse til løsning Eksamen i Reservoarteknikk 14 desember 2006 Oppgave 3 a) Se forelesningene b) Fra Darcys lov u = k dp µ dr Darcy-hastigheten u er uttrykt ved u r = q/a hvor tverrsnittsarealet A er gitt ved A = 2πrh og q er den konstante raten ved stasjonære forhold Da har vi q 2πh re dr r = k µ pe p w dp og siden (dr/r) = ln r pluss en konstant så får vi innsatt grenser c) q = 2πkh(p e p w ) µ ln(r e / ) [bbl] [cm3 ] [bbl] q [day]86400 [sec] [day] 2π k h[ft]3048 [cm] [ft] ( ) µ re ln 2 [atm] p[psi] [psi] som ordnet gir kh p q = 7082 ( ) re µ ln 1

2 d) Trykkfallet fra radius r inn mot en brønn er gitt ved (i Darcy-enheter): p = qµ 2πkh ln r med k lik permeabiliteten til uskadet formasjon Dersom en brønn er skadet ut til en radius r s med permeabilitet så defineres skinfaktoren S ved at p skin = S qµ 2πkh hvor p skin er det ekstra trykkfallet som ligger over den skadete sone p skin = qµ [ ln(rs / ) ln(r ] s/ ) 2πh k og altså S = k [ ln(rs / ) ln(r ] s/ ) k = k ln(r s / ) e) Vi finner først midlere permeabilitet k k = Videre er ln(r e /r s ) k ln(r e / ) + ln(r s/ ) p e = p w + qµ ln(r e/ ) 7082 kh S = k ln r s = = = 8388 = ln(330/05) ln(10/05) = +90 Vi kan også finne p e ved først å regne ut S = 90 og så bruke at p e = p w + qµ(ln(r e/ ) + S) 7082kh = 2273 psia hvor k = 200 md permeabilitet til uskadd formasjon Dette gir også at p e = 2273 psia selvfølgelig Oppgave 4 a) R s = V ogs / V oos ; B o = V or / V oos ; B g = V gr / V ggs ; r s = V gos / V ggs ; R = ( V ggs + V ogs )/( V oos + V gos ) 2

3 b) V or = B o V gr = (R R s )B g c) Vi uttrykker overflatevolumene N p og G p ved reservoarvolumene V or og V gr samt volumfaktorer og får N p = V gos + V oos = r s V ggs + V or /B o = r s V gr /B g + V or /B o G p = V ogs + V ggs = R s V oos + V gr /B g = R s V or /B o + V gr /B g Dette er to ligninger med to ukjente som gir og V or = N p r s G p B o V gr = G p R s N p B g Ved summasjon får en oppgitt uttrykk d) Standard oppskrift på materialbalanseligningen er å sette produsert volum lik ekspandert volum begge regnet i reservoarvolum ved trykk p Produksjonen er funnet under spm c) Ekspansjon av olje ned til trykk p er N(B o B oi ) (rb) og ekspansjon av oppløst gass er N(R si R s )B g (rb) Dermed får vi og ordnet = N(B o B oi ) + N(R si R s )B g ( )[(B o B oi ) + (R si R s )B g ] Merknad til oppg 4d) I uttrykkene for de ekspanderte volum av olje og gass ovenfor som også er oppgitt i oppgaveteksten er det ikke tatt hensyn til olje oppløst i gassen Det er altså antatt at r s kan settes lik 0 i ekspansjonsleddene Uten denne antagelsen kan ekspansjonen utledes på følgende måte Reservoarvolum olje ved p i V oi = N B oi Reservoarvolum gass ved p i V gi = 0 Ved ekspansjon ned til trykk p < p b er det blitt utviklet fri gass som opptar et reservoarvolum som vi kan kalle V g Oljefasen har avgitt gass og opptar nå et reservoarvolum som vi setter lik V o Overflatevolum olje opprinnelig tilstede OOIP betegnet med N befant seg opprinnelig i oljefasen siden det ikke var fri gass tilstede Ved trykk p < p b vil oljevolumet N være delt mellom gassfasen og oljefasen Overflatevolum 3

4 olje i V g er gitt ved (V g /B g )r s og overflatevolum gass i V o er (V o /B o )R s Da får vi følgende to ligninger V o = (N V g r s /B g )B o V g = (N R si V o R s /B o )B g Uttrykket for V g i den nedre ligningen setter vi inn i den øvre løser for V o og får V o = N B o 1 R si r s Denne verdien settes så inn i uttrykket for V g og vi får V g = N B g R si R s Ekspansjonen av olje og oppløst gass kan nå regnes ut som (V o + V g ) (V oi + V gi ) og med V oi = N B oi og V gi = 0 siden p i > p b får vi at ekspansjonen er lik 1 R si r s R si R s N B o + N B g N B oi N [ = (Bo B oi ) + (B oi R s B o R si )r s + B g (R si R s ) ] Materialbalanseligningen fås nå ved å sette produksjonen lik ekspansjonen N = [(B o B oi ) + (B oi R s B o R si )r s + B g (R si R s )] og dermed (B o B oi ) + (B oi R s B o R si )r s + B g (R si R s ) Denne materialbalanseligningen er tilsvarende utledet i disse artiklene Walsh MP: A Generalized Approach to Reservoir Material Balance Calculations The Journal of Canadian Petroleum Technology Volume 34 No 1 January 1995 pp Walsh MP Ansah J and Raghavan R: The New Generalized Material Balance as an Equation of a Straight Line: Part 1 Applications to Undersaturated Volumetric Reservoirs paper SPE presented at the 1994 SPE Permian Basin Oil and Gas Recovery Conference Midland Texas16 18 March 1994 Walsh MP Ansah J and Raghavan R: The New Generalized Material Balance as an Equation of a Straight Line: Part 2 Application to Saturated and Non-Volumetric Reservoirs paper SPE presented at the 1994 SPE Permian Basin Oil and Gas Recovery Conference Midland Texas16 18 March

5 e) Vi ser på de to tilfellene (1) med r s = og (2) med r s = 0: ( )[(B o B oi ) + (R si R s )B g ] = t/n t1 = ( ) ( ) n1 = ( )[( ) + ( ) ] N1 = t1/n1 = stb t2 = ( ) n2 = ( ) + ( ) N2 = t2/n2 = stb Og feilen er (N2 N1)/N1 100% = 21% Merknad til oppg 4e) Dersom vi tar hensyn til at olje også kan være oppløst i det ekspanderte volum av oppløst gass sliom beskrevet i Merknad til oppg 4d så blir t1 den samme mens n1 blir modifisert Revidert versjon n1 r blir n1 r = ( ) + ( ) ( ) ) og N1 r = t1/n1 r = stb Det gir en feil på (N2 N1 r )/N1 r 100% = -845% 5