Eksplorerende faktor-analyse.

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Eksplorerende faktor-analyse."

Transkript

1 Eksplorerende faktor-analyse.

2 Noen forutsetninger: Vi bruker alltid variabler som er standardiserte med gjennomsnitt=0 og standardavvik=1: obs Y X zy zx Regresjonsanalyser: Y avhengig av X ( Y = a + b*x + e) R R Square B SE Beta t p (Constant) X zy avhengig av zx ( zy = a + b*zx + e) R R Square B SE Beta t p (Constant) X Gjennomsnitt Standardavvik Merk også at ved to variabler eller ved ukorrelerte prediktorer i en multippel regresjonsanalyse, så er den standardiserte regresjonskoeffisienten og r identiske!

3 Refleksiv målemodell: Vi lager oss en situasjon hvor data er generert slik (perfekt en-dimensjonalitet): x1 =.632*F *u 1 og hvor: x2 =.632*F *u 2 x3 =.632*F *u 3 x4 =.632*F *u 4 x5 =.632*F *u 5 x6 =.632*F *u 6 Generelt: x1 = b 1 *F 1 + u 1 x2 = b 2 *F 1 + u 2 x3 = b 3 *F 1 + u 3 b 1 b 6 er standardiserte regresjonskoeffisienter og kalles her faktor-ladninger. x4 = b 4 *F 1 + u 4 x5 = b 5 *F 1 + u 5 x6 = b 6 *F 1 + u 6

4 Dersom vi beregner korrelasjoner mellom de seks variablene vi konstruerte, får vi følgende resultat: Korrelasjonsmatrise: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x x x x x x Hvorfor blir det slik? Husk det vi brukte da vi diskuterte reliabilitet:

5 Nå er jo vi heldige her siden vi kjenner fasiten. Men dersom vi ikke gjorde det ville det være mulig å rekonstruere den prosessen som har generert observerte data ut fra de data vi nå engang har? Det er selve poenget med faktor-analysen!

6 Faktor-analyse med SPSS. Når vi gjør en faktor-analyse vil vi først konstruere en ny faktor som en vektet sum av de opprinnelige variablene. Denne vil være konstruert og vektet slik at den forklarer så mye som mulig av variasjonen i de observerte variablene. F 1 = d 1 *x 1 + d 2 *x 2 + d 3 *x 3 + d 4 *x 4 + d 5 *x 5 + d 6 *x 6 hvor vektene d 1 d x kalles faktor-skåre koeffisienter Dette er som dere ser også en lineær regresjonsmodell. Regresjonsvektene er konstruert slik at F 1 forklarer så mye som mulig av variasjonen i de observerte variablene, og samtidig slik at F 1 blir standardisert. Deretter konstruerer vi en ny faktor F 2 på tilsvarende måte, men denne er konstruert slik at den forklarer så mye som mulig av den variasjonen i variablene som ikke lot seg forklare ved F 1. Denne prosessen fortsetter til vi har forklart ALL variasjon i de observerte variablene. Har vi data som oppfører seg ordentlig ( full-rank ), vil vi dermed alltid ende opp med like mange faktorer som vi har variabler i analysen. Det spørsmålet vi alltid stiller oss er imidlertid: trenger vi så mange faktorer? Her vet vi jo at svaret definitivt er NEI. Data er konstruert som funksjoner av kun en faktor, og resten er tilfeldig støy. Vil SPSS gjennomskue oss her?

7 Utskrift fra SPSS (litt pyntet på.): Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Denne viser oss hvor mye av variasjonen i variablene som kan forklares ved hver av faktorene. Eigenvalues summerer til antall variabler og % forklart varians kan beregnes som eigenvalue/sum av eigenvalues for eksempel:.604 / 6 =.1007*100 = Seks faktorer forklarer all variansen i variablene. En faktor forklarer 49.97% av variansen. Component Matrix b b 2 x x x x x x Og denne matrisen gir oss estimerte faktorladninger. Disse er standardiserte regresjonskoeffisienter, men i og med at vi her bare har en faktor, vil disse være identiske med korrelasjonen mellom variablene og faktoren. Vi vet at r 2 gir oss proporsjon forklart varians. Kvadrerer vi disse ladningen og summerer får vi dermed total forklart varians ved denne faktoren eller eigenvalue som det stod i tabellen over. Vi ser dermed at total forklart varians kan forstås som gjennomsnittlig forklart varians over alle variabler!

8 Communalities Initial Extraction x x x x x x Dette er en annen nyttig utskrift fra SPSS. Den sier oss hvor mye av variansen i hver variabel som kan forklares ved faktoren(e). Her er den ikke annet enn de kvadrerte ladningen fra forrige side. Men denne blir nyttig når vi bruker mer enn en faktor. Men her er det noe mystisk! Vi vet jo fra fasiten at data ble generert fra en systematisk faktor som forklarte 40% av variansen i variablene og hvor alle faktorladninger var.632. Hvorfor driver SPSS her og påstår at 50% av variansen kan forklares ved en faktor og at alle faktorladningene er.707? Det skyldes at jeg helt bevisstløst har trykket på OK knappen i SPSS. Da får man ikke en faktor-analyse man får en prinsipal komponent analyse (PCA). Det er dette som er standardvalg for faktoranalyse i SPSS.

9 De samme analysene men nå med faktor-analyse (Prinsipal Axis Factoranalysis): Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Factor Matrix b b 2 x x x x x x Communalities Initial Extraction x x x x x x PCA vil alltid overestimere faktorladninger og dermed forklart varians. I praksis har dette heldigvis liten betydning, men det kommer vi tilbake til etter hvert. I de følgende eksemplene bruker vi PAF. Da er det enklere å få beregningene til å stemme.

10 Nytt eksempel: To ukorrelerte faktorer. Vi lager oss en situasjon hvor data er generert slik (perfekt to-dimensjonalitet):.632*f *F *u 1 og hvor:.632*f *F *u 2.632*F *F *u 3.000*F *F *u 4.000*F *F *u 5.000*F *F *u 6 Generelt: x1 = b 11 *F 1 + b 21 *F 2 + u 1 x2 = b 12 *F 1 + b 22 *F 2 + u 2 x3 = b 13 *F 1 + b 23 *F 2 + u 3 x4 = b 14 *F 1 + b 24 *F 2 + u 4 x5 = b 15 *F 1 + b 25 *F 2 + u 5 x6 = b 16 *F 1 + b 26 *F 2 + u 6

11 Faktor-analyse med SPSS (Prinsipal Axis Factoranalysis): Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction SS Loadings Rotation SS Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Factor Matrix Factor Rotated Factor Matrix Factor b 1 b 2 h 2 b 1 b 2 h 2 x x x x x x x x x x x x Communalities Initial Extraction x x x x x x

12 1. Antall faktorer? - Kaiser s kriterium - Scree-plot - Parallell-analyse (Horn) 2. Rotasjon og tolkning. - Ortogonal og oblique rotasjon, enkel struktur 3. Validering av løsning. - KMO og Bartlett - forklart varians - rekonstruerte korrelasjoner - og viktigst: tolkbar struktur? - validering mot eksterne kriterier 4. Estimering av faktorer. - eksakte faktorskårer - skårer vektet med 0 og 1 (sumskårer) Og (som vanlig) en veldig presis og god, men kortfattet, beskrivelse av faktoranalysen finner dere i Wikipedia:

13 Antall faktorer.

14 Valg av antall faktorer vil i noen tilfeller være gitt ut fra teori eller tidligere empiri. I slike situasjoner vil man foretrekke å benytte en konfirmerende faktoranalyse. Slike analyser kan ikke gjøres i SPSS. De krever annen programvare (Lisrel, Mplus, Amos, etc.). I andre situasjoner foreligger det ingen eller bare svake slike antagelser. Da vil en eksplorerende analyse være aktuell, og det er slike situasjoner vi ser på her. Tre kriterier for valg av antall faktorer ved eksplorerende faktor-analyse. 1. Beholde faktorer med Eigenvalues > 1 (Kaiser s kriterium). 2. Beholde faktorer over knekk i plot av Eigenvalues (Cattell s kriterium). 3. Beholde faktorer med Eigenvalues signifikant avvikende fra tilfeldig genererte Eigenvalues (Horn s kriterium).

15 Vi ser først på hva som skjer dersom vi faktor-analyserer variabler i en situasjon hvor det ikke finnes noen systematisk struktur. Data er generert ved å trekke 10 tilfeldige tall fra normalfordelinger dvs. at vi har 10 variabler. Vi bruker to forskjellige utvalgsstørrelser: n=100 og n=100000, og finner Eigenvalues for korrelasjonsmatrisene i begge tilfeller. Eigenvalue n=100 n= Faktor-analyserer vi data uten systematisk struktur vil alle egenverdier bli 1 (hver variabel er unik og må forklares ved en egen faktor), men dette vil vi observere empirisk bare dersom n er uendelig stor!

16 Kaiser s kriterium. Dette er det oftest anvendte kriteriet, og også standardvalg i SPSS. Kaiser argument var at dersom vi faktor-analyserer data uten struktur (tilfeldige tall), så vil alle eigenvalues bli 1. Dersom de observerte eigenvalues er 1 eller lavere tyder det på at den variasjonen vi analyserer like gjerne kan være tilfeldig støy. så: Behold bare faktorer med Eigenvalue > 1 Dette virker rimelig nok. Men vi så nettopp at selv om tall er tilfeldig generert, så vil noen eigenvalues bli større enn 1 og særlig da i små utvalg. Hvordan dette kriteriet fungerer som kriterium for riktig antall faktorer er studert gjentatte ganger i simuleringsstudier, og konklusjonen er rimelig entydig: bruker vi dette som kriterium for antall riktige faktorer får vi gjerne flere faktorer enn det egentlig er. Vi overestimerer antall faktorer! Og det er egentlig ikke så rart. Dette er et kriterium for antall mulige faktorer ikke det riktige antall faktorer. så: Bruk dette som et kriterium for det maksimale antall faktorer. Det er som regel ingen vits i å beholde faktorer med Eigenvalue <= 1, men det riktige antall faktorer kan godt være lavere.

17 Cattell s kriterium. Cattell tok utgangspunkt i det samme som vi observerte i vår lille simulering dersom vi faktor-analyserer data uten struktur, så vil eigenvalues blir lavere og lavere. Dersom vi plotter disse vil vi få en jevnt fallende kurve: Dersom det foreligger en genuin faktorstruktur, så vil det oppstå et knekk i denne kurven i det vi går over til å analysere bare tilfeldig støy. så: Behold bare faktorer med eigenvalues over knekk-punktet i kurven. Dette er et subjektivt kriterium basert på visuell inspeksjon av dette scree-plottet, men simuleringsstudier har vist at dette fungerer rimelig godt som kriterium for antall riktige faktorer.

18 Horn s kriterium. Horn tok utgangspunkt i de samme argumentene som Kaiser og Cattell fremførte, men han foreslo en løsning som var utenkelig på Kaisers og Cattells tid i og med at den krever tilgang til en datamaskin med stor regnekapasitet. Løsningen var: generer like mange variabler som man har observert og med samme antall observasjoner som i den aktuelle studien, men la tallene være uten struktur (tilfeldige tall). Finn egenverdier og lagre disse. Gjenta det hele et stort antall ganger. og: Behold bare faktorer med eigenvalues som sjelden vil forekomme som resultat av en slik tilfeldig prosess. Typisk beholder man faktorer med eigenvalues større enn hva som forekommer i 95% av slike tilfeldig genererte eigenvalues. Dette er et av de kriteriene som i simuleringsstudier er vist å fungere best som kriterium for det riktige antall faktorer.

19 En liten simulering og demonstrasjon av de tre kriteriene. Data er generert fra en litt mer komplisert (og mer realistisk) faktorstruktur. Vi tenker oss at 100 personer har besvart 12 tester. Responsene er en funksjon av i hovedsak 3 latente faktorer, men noen av leddene er komplekse det vil si at de måler mer enn en faktor. Variabel: x1 = 0.77 * F * F * F * u1 x2 = 0.71 * F * F * F * u2 x3 = 0.63 * F * F * F * u3 x4 = 0.45 * F * F * F * u4 x5 = 0.00 * F * F * F * u5 x6 = 0.32 * F * F * F * u6 x7 = 0.32 * F * F * F * u7 x8 = 0.45 * F * F * F * u8 x9 = 0.00 * F * F * F * u9 x10 = 0.00 * F * F * F * u10 x11 = 0.32 * F * F * F * u11 x12 = 0.45 * F * F * F * u12

20 Nå er det ikke så enkelt å finne den egentlige strukturen bare ved å visuelt inspisere korrelasjonsmatrisen. Korrelasjonsmatrise: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x x x x x x x x x x x x Men vi får se hva vi kan få til ved en faktor-analyse..

21 Total Variance Explained Factor Initial Eigenvalues Extraction SS Loadings Rotation SS Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Her vil vi konkludere med 3 faktorer uansett hvilket kriterium vi velger!

22 Rotasjon og tolkning. Vi ser her på et eksempel fra den tidligere simuleringen med en perfekt to-dimensjonal struktur. Perfekt to-dimensjonal struktur. Urotert løsning: Factor Varimax rotert løsning: Factor 1 2 h h 2 x x x x x x x x x x x x

23 Den rotasjonsmetoden vi benyttet her kalles varimax. Og den kalles det fordi den roterer faktorene på en slik måte at variasjonen i kolonnene av kvadrerte faktorladninger maksimeres. Kvadrerte faktorladninger: Urotert løsning: Factor 1 2 x x x x x x Varians: Sd: Varimax rotert løsning: Factor 1 2 x x x x x x Denne rotasjonsmetoden er også en ortogonal rotasjon. Det vil si at faktorene som i utgangspunktet var matematisk holdt ukorrelerte også er ukorrelerte etter rotasjonen! De som liker å tenke geometrisk på dette kan tenke seg at vi roterer aksene på en slik måte at vinkelen mellom dem beholdes som En korrelasjon på 0 tilsvarer en vinkel mellom akser på Det finnes andre ortogonale rotasjonsmetoder, men disse er sjeldent brukte og vi diskuterer ikke disse videre her. Den andre hovedmetoden for rotasjon tillater faktorene å bli korrelerte etter rotasjon (oblique rotasjon).

24 Tiden er nå overmoden for å se på et eksempel med reelle data! Vi bruker data fra et gammelt spørreskjema som i sin tid ble sendt ut til alle norske psykologer og psykiatere. Her ble det blant annet spurt om hvilken psykologisk (terapeutisk) retning man følte seg tiltrukket av da man var ny-utdannet. Det ble spurt om hvor tiltrukket man var av 8 terapeutiske retninger, og respondentene ga disse en skåre fra 0 til 5 hvor 0 representerte lite tiltrukket og 5 representerte svært tiltrukket. Vi bruker her bare besvarelsene fra 260 psykologer som hadde vurdert alle retningene. Retning Navn N Mean Sd Atferdsanalyse atferd Eksistensiell psykologi eksist Gestalt teori gestalt Klientsentrert terapi klient Kognitiv terapi kogn Vegeto terapi vegeto Psykodynamisk terapi dynam Systemorientert terapi system Det er åpenbart at noen retninger var mer populære enn andre. Men det vi primært er interesserte i her er: trenger vi 8 dimensjoner for å forstå psykologers preferanserom eller kan vi kanskje greie oss med færre dimensjoner?

25 Er det slik at de som følte seg tiltrukket av det ene også følte seg tiltrukket av det andre osv? Vi kan jo korrelere besvarelsene. Korrelasjonsmatrise: atferd1 eksist1 gestalt1 klient1 kogn1 vegeto1 dynam1 system1 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system og som vanlig er det ikke lett å se noen tydelig struktur her.. så vi forsøker en eksplorerende faktor-analyse.

26 Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction SS Loadings Rotation SS Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Her ville nok de aller fleste gått for to faktorer (men merk subjektiviteten knyttet til Cattell s kriterium).

27 Så vi går for to faktorer! Men er disse tolkbare? Varimax rotert løsning: Factor 1 2 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Tja de var da det? I praksis vil man nok gå litt frem og tilbake mellom kvantitative kriterier for antall faktorer og tolkbarhetskriteriet, men mer om dette neste gang.

28 Videre: 3. Validering av løsning. - KMO og Bartlett - forklart varians - rekonstruerte korrelasjoner - og viktigst: tolkbar struktur? - validering mot eksterne kriterier 4. Estimering av faktorer. - eksakte faktorskårer - skårer vektet med 0 og 1 (sumskårer)

29 Og vi avsluttet med en to-dimensjonal beskrivelse av psykologers preferanserom når det gjelder terapeutiske retninger.. Total Variance Explained Initial Eigenvalues Extraction SS Loadings Rotation SS Loadings Total % of Var Cum % Total % of Var Cum % Total % of Var Cum %

30 To tolkbare faktorer. Varimax rotert løsning: Factor 1 2 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Men representerer dette en god løsning?

31 Validering av løsningen. Dette er kanskje den viktigste prosessen i en seriøs faktor-analyse. Her rekker vi bare å peke på noen enkle og relativt tekniske forhold.

32 KMO og Bartlett. Spss: The Kaiser-Meyer-Olkin measure of sampling adequacy tests whether the partial correlations among variables are small. Dette er en index som sier oss noe om hvovidt de partielle korrelasjonene mellom variablene, dvs. korrelasjoner mellom par av variabler når vi har kontrollert for alle de andre, er små. Og det ønsker vi her. Det betyr i så fall at variablene har mye til felles med andre variabler. For denne finnes det bare tommelfinger-regler: noen sier denne bør være >.60, andre >.70 og de strengeste >.80. Spss: Bartlett's test of sphericity tests whether the correlation matrix is an identity matrix, which would indicate that the factor model is inappropriate. En identitets-matrise ser slik ut: Her er dette en test på om variablene kan tenkes å være samplet fra en populasjon hvor alle korrelasjoner er 0 (dette er her 0 hypotesen), og denne ønsker vi definitivt å forkaste her. Denne testen er imidlertid så sensitiv at ved stor n vil H 0 kunne forkastes selv om alle korrelasjonene er svært lave. Anbefales ikke brukt når n > 5 antall variabler. og her ser begge disse kriteriene helt OK ut.

33 (kvadrerte korrelasjoner) KMO = (kvadrerte korrelasjoner)+ (kvadrerte partielle korrelasjoner) KMO-Value: 0.00 to 0.49 unacceptable 0.50 to 0.59 miserable 0.60 to 0.69 mediocre 0.70 to 0.79 middling 0.80 to 0.89 meritorious 0.90 to 1.00 marvellous As a rule of thumb, KMO should be 0.60 or higher in order to proceed with a factor analysis. Kaiser suggests 0.50 as a cut-off value, and a desirable value of 0.8 or higher. Kaiser H. (1970) "A second generation little jiffy," Psychometrika, Springer, vol. 35(4), pages , December.

34 Forklart varians. Vi vil selvsagt være interesserte i at de faktorene vi foreslår skal forklare en del av variansen i de observerte variablene. Men hvor mye? Tja, igjen blir jo dette en subjektiv vurdering. Vi vet jo at psykologiske målinger ofte har lav reliabilitet, så at latente faktorer skulle forklare mye av variansen, er jo helt urimelig å forvente. Jeg ville jo bli overrasket dersom latente faktorer kunne forklare mer enn 50% av variansen i psykologiske målinger. Men dette vil jo avhenge av hva vi har målt og med hvilken reliabilitet, så her er det til syvende og sist forskerens (deres) kunnskap om egne målinger som blir avgjørende. Rekonstruerte korrelasjoner. Ofte er vi mest interessert i om latente faktorer kan forklare den observerte samvariasjonen mellom variablene. Da blir det viktig at vi fra de estimerte faktorene kan rekonstruere de korrelasjonene vi faktisk har observert.

35 Rekonstruerte korrelasjoner. Vi bruker noe vi har brukt tidligere, både om reliabilitet og da vi startet med faktoranalysen, nemlig at: rr x1,x2 = b 11 *b 21 + b 12 *b 22 Dersom vi skulle rekonstruere korrelasjonen mellom atferd1 og vegeto1 kunne vi gjøre det slik: rr atferd1,vegeto1 =.653* *.201 = Varimax rotert løsning: Factor 1 2 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Med litt innsats kan vi gjøre denne beregningen for alle par av variabler, og da får vi: Rekonstruerte korrelasjoner: atferd1 eksist1 gestalt1 klient1 kogn1 vegeto1 dynam1 system1 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Nå kan vi beregne differansen mellom observerte korrelasjoner og rekonstruerte (estimerte) korrelasjoner, og forskjellene bør selvsagt ikke være for store

36 Eller vi kan være late (noe som ofte er lurt når man har en datamaskin tilgjengelig), og la SPSS foreta alle beregninger for oss. Da vil utskriften se omtrent slik ut: Correlation Matrix atferd1 eksist1 gestalt1 klient1 kogn1 vegeto1 dynam1 system1 Correlation atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Reproduced Correlations atferd1 eksist1 gestalt1 klient1 kogn1 vegeto1 dynam1 system1 Reproduced Correlation atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Residualb atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Extraction Method: Principal Axis Factoring. b Residuals are computed between observed and reproduced correlations.

37 Til syvende og sist vil det viktigste kriteriet for en god faktorstruktur være om den er tolkbar og vitenskapelig meningsfull. Den må ha en meningsfull indre struktur, og faktorene må samvariere på meningsfull måte med eksterne kriterier. Det rekker vi dessverre rett og slett ikke å gå nærmere inn på her. Da havner vi langt inn i diskusjonen av begrepsvaliditet. De som ikke bare leser med bestått kurs for øyet, men også for å få et rikere og mer fullendt liv, kan for eksempel starte her: Der er det sikkert masser av interessante referanser.

38 Faktor-skårer. Dersom vi bare er interesserte i å benytte faktor-analysen for å forstå variasjon i variabler og/eller samvariasjon mellom variabler, kan vi gi oss nå. Innenfor psykologien er imidlertid ofte formålet å utvikle et måleverktøy - intelligenstester, personlighetskartlegging, verktøy for kartlegging av egnethet, kartlegging av personlige problemer, osv. Da vil vi naturligvis gjerne vite hvordan ulike personer skårer på faktorene. Det er to hovedmåter å generere slike skårer på: - som Eksakte faktorskårer - som Sumskårer

39 Eksakte faktorskårer. Vi vet at variablene (x) kan beskrives slik som en lineær funksjon av faktorene: X 1 = b 11 *F1 + b 12 *F2 + b 13 *F3. + b 1t *Ft X 2 = b 21 *F1 + b 22 *F2 + b 23 *F3. + b 2t *Ft. X p = b p1 *F1 + b p2 *F2 + b p3 *F3. + b pt *Ft Hvor b ene kalles faktor-ladninger. Men vi vet også at faktorene selvsagt er en funksjon av variablene. Og når vi forutsetter at vi har standardisert variablene til z-skårer, kan de beskrives slik som en lineær funksjon av variablene: F1 = d 11 *zx 1 + d 21 *zx 2 + d 31 *zx 3. + d p1 *zx p F2 = d 12 *zx 1 + d 22 *zx 2 + d 32 *zx 3. + d p2 *zx p. Ft = d 1t *zx 1 + d 2t *zx 2 + d 2t *zx 3. + d pt *zx p Hvor d ene kalles faktorskåre-koeffisienter. og både b ene og d ene er da her standardiserte regresjonskoeffisienter.

40 Disse faktorskåre-koeffisientene kan dere få fra SPSS, og i vårt konkrete eksempel vil de se slik ut: Factor Score Coefficient Matrix Factor 1 2 atferd eksist gestalt klient kogn vegeto dynam system Extraction Method: PAF. og en persons skåre på F1 kan da beregnes slik ut fra personens standardiserte skåre på variablene: F1 =.291*zatferd *zeksist *zgestalt *zklient *zkogn *zvegeto *zdynam *zsystem1 Litt jobb det der, men SPSS kan heldigvis gjøre det for oss.

41 Sumskårer. Disse kalles ofte uvektede sumskårer. Men de burde kanskje heller kalles grovvektede sumskårer. Disse genereres ved å sette de høye vektene fra forrige ligning til 1 og de lave til 0. F1 = 1*atferd1 + 0*eksist1 + 0*gestalt1 + 0*klient1 + 1*kogn1 + 1*vegeto1 + 1*dynam1 + 1*system1 og da brukes det gjerne ustandardiserte variabler. Vær obs. på at dersom dere skal lage slike, så må alle variabler være positivt korrelerte. Dersom som i dette tilfellet noen er negativt korrelerte, som for eksempel atferd1 og dynam1, så må en av variablene reflekteres. Dersom variablene bare har relativt få hele tall (som her), kan dere gjøre det slik i SPSS: Recode dynam1 vegeto1 (0=5)(1=4)(2=3)(3=2)(4=1)(5=0). men dersom variablene har mange verdier eller desimaltall, kan dere heller gjøre det slik: Compute dynam1=dynam1* Compute vegeto1=vegeto1* En slik refleksjon betyr ingenting for faktorstrukturen. Det betyr bare at en skåre på 5 på variabelen dynam1 nå betyr lite orientert mot psykodynamisk i stedet for mye orientert mot psykodynamisk. Se plott på neste side

42 Når vi har faktorskårene, kan vi selvsagt plotte psykologene i det samme preferanserommet. Se om dere finner noen dere kjenner

43 Etter eventuell refleksjon, beregner dere dermed faktorskårene slik: F1 = atferd1 + kogn1 + vegeto1 + dynam1 + system1 F2 = eksist1 + gestalt1 + klient1 Og vil dere ha samme skalaen som opprinnelig (1 til 5), kan dere bare dividere summene med henholdsvis 5 og 3.

44 Noen fordeler og ulemper ved de to strategiene: Eksakte faktorskårer: Disse er en mest mulig eksakt (men kun egentlig eksakte dersom man benytter PCA) representasjon av faktorene, og dersom faktorene er ukorrelerte vil også de estimerte faktorskårene være det. De er enkle å beregne dersom vi har rådata og et program som SPSS. Ulempen er at skal vi få til det må disse vektene være svært nøyaktige, de er upraktiske i bruk og vanskelige å formidle. Mange vil også hevde at disse siden de er optimaliserte i et konkret utvalg, vil være lite generaliserbare og lite robuste. Sumskårer: Enkle å beregne. Beholder opprinnelig måleskala. Enkle å formidle. Siden de er mer omtrentlige, vil de også være mer robuste vil mange hevde. Ingen eksakt representasjon av faktorene fra faktoranalysen. Disse vil korrelere selv om vi benytter ukorrelerte faktorer i analysen.

45 I praksis vil eksakte faktorskårer og sumskårer vanligvis korrelere svært høyt både med hverandre og med eksterne variabler, og de vil dermed ha samme tolkning. Jeg beregnet begge deler i vårt eksempel F1 og F2 er eksakte, mens SF1 og SF2 er sumskårene, og der ser det slik ut: Correlations F1 F2 SF1 SF2 F F SF SF Den observante vil se at heller ikke korrelasjonen mellom F1 og F2 er perfekt 0. Det skyldes at vi har brukt faktoranalyse og ikke prinsipal komponent analyse. Det spiller ingen særlig rolle for prinsippet akkurat nå, så jeg skal forsøke å rekke og si litt om forholdet mellom PCA og PAF til slutt i dag. Faktor-skårene er ikke bare nyttige i en test sammenheng. Når vi har generert disse så finnes de som variabler i data, og de kan benyttes for å studere samvariasjon med andre variabler enten i kausalmodeller eller for analyser av begrepsvaliditet.

46 Litt om ortogonal vs. oblique ( skjev ) rotasjon.

47 Eksplorerende faktoranalyse med ortogonal rotasjon. Samvariasjonen mellom grupper av variabler skyldes komplekse variabler. Konfirmerende faktoranalyse med to korrelerte faktorer. Samvariasjonen mellom grupper av variabler skyldes korrelerte faktorer. Eksplorerende faktoranalyse med skjev (oblique) rotasjon. Samvariasjonen mellom grupper av variabler skyldes komplekse variabler eller korrelerte faktorer eller noe sånt.

48 Som alltid dersom en skal finne ut hvordan noen fungerer lag en fasit! Jeg konstruerte 8 variabler som en funksjon av to faktorer som korrelerer.50. Variablene ble konstruert slik: Variabel: x1 = 0.77 * F * F * u1 x2 = 0.77 * F * F * u2 x3 = 0.77 * F * F * u3 x4 = 0.77 * F * F * u4 x5 = 0.00 * F * F * u5 x6 = 0.00 * F * F * u6 x7 = 0.00 * F * F * u7 x8 = 0.00 * F * F * u8 Disse 8 variablene analyserte jeg med alle tre metodene: Eksplorerende faktoranalyse med varimax rotasjon Konfirmerende faktoranalyse med to korrelerte faktorer Eksplorerende faktoranalyse med oblique ( skjev ) rotasjon

49 PAF med varimax rotasjon. Rotated Factor Matrix Factor 1 2 x x x x x x x x Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Dette gikk jo bra det. Analysen rekonstruerer ganske bra den egentlige prosessen. Komplekse ladninger gir imidlertid alltid et hint om at en modell med korrelerte faktorer kunne være verdt å tenke på. Konfirmerende faktoranalyse med to korrelerte faktorer. Og dette gikk jo veldig bra. Analysen rekonstruerer perfekt den egentlige prosessen! Dette kan dere ikke gjøre i SPSS. Jeg brukte programmet AMOS som inngår i SPSS lisensen.

50 PAF med Promax ( skjev ) rotasjon. Pattern Matrix Structure Matrix Factor 1 2 Factor 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x Rotation Method: Promax with Kaiser Normalization. Rotation Method: Promax with Kaiser Normalization. Factor Correlation Matrix - etter oblik rotasjon. Factor og denne fungerte jo utmerket. Vær oppmerksom på at nå er faktorene korrelerte, og da kan ikke de standardiserte regresjonskoeffisientene lenger tolkes som korrelasjoner. Derfor har vi to matriser her: Pattern Matrix inneholder de standardiserte regresjonskoeffisientene (faktorladningene), mens Structure Matrix inneholder korrelasjoner mellom variablene og faktorene. Vær også oppmerksomme på at dette ikke er samme modellen som vi analyserte ved den konfirmatoriske analysen. Dette er en blandingsmodell hvor man kan få både komplekse variabler og korrelerte faktorer.

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Christian Klöckner Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 8. desember 2016 Eksamenstid: 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Odin Hjemdal Tlf.: Psykologisk institutt 73 59 19 60 Eksamensdato: 23.5.2013 Eksamenstid (fra-til):

Detaljer

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Våren 2014

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Våren 2014 Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Våren 2014 Skriftlig skoleeksamen, onsdag 19. mars kl. 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker. Ingen hjelpemidler er tillatt under eksamen. Alle oppgavene skal besvares

Detaljer

Her ser vi på noen egenskaper ved denne metoden som kan være nyttig for oss psykologer.

Her ser vi på noen egenskaper ved denne metoden som kan være nyttig for oss psykologer. Prinsipal Component Analysis (PCA): Prinsipal komponent analysen ble (som mange andre metoder vi benytter) oppfunnet av Karl Pearson i 1901, men uavhengig av ham videreutviklet av Hotelling rundt 1930.

Detaljer

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2013

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2013 Psykologisk institutt Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2013 Skriftlig skoleeksamen, torsdag 17.oktober kl. 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker. Ingen hjelpemidler er tillatt under eksamen.

Detaljer

PSYC 3101 KVANTITATIV METODE II Eksamen høst 2008

PSYC 3101 KVANTITATIV METODE II Eksamen høst 2008 Eksamen 7. november kl. 0900 200 Sensur: 8.2. kl. 4 Alle oppgavene skal besvares. PSYC 30 KVANTITATIV METODE II Eksamen høst 2008 OPPGAVE Vurdering av personlige egenskaper Et selskap som driver en nettside

Detaljer

EKSAMEN I PSY3100 FORSKNINGSMETODE KVANTITATIV HØSTEN 2012

EKSAMEN I PSY3100 FORSKNINGSMETODE KVANTITATIV HØSTEN 2012 NTNU Fakultet for samfunnsvitenskap og teknologiledelse Psykologisk institutt EKSAMEN I PSY3100 FORSKNINGSMETODE KVANTITATIV HØSTEN 2012 DATO: 12.12.12 Studiepoeng: 7,5 Sidetall bokmål 4 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 forskningsmetoder kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 forskningsmetoder kvantitativ Institutt for psykologi Eksamensoppgave i PSY3100 forskningsmetoder kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Odin Hjemdal Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 15. mai 2017 Eksamenstid: 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019 Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019 Her er forslag til forhold som kunne vært med i en besvarelse. At man har fått med alt er selvsagt ikke nødvending for å bestå men jo mer jo bedre.. OPPGAVE

Detaljer

RELIABILITET : Pålitelighet? Troverdighet? Reproduserbarhet? Stabilitet? Konsistens?

RELIABILITET : Pålitelighet? Troverdighet? Reproduserbarhet? Stabilitet? Konsistens? RELIABILITET : Pålitelighet? Troverdighet? Reproduserbarhet? Stabilitet? Konsistens? I dagligtale og i ulike fremstillinger også innenfor psykologisk forskningsmetode, brukes slike begreper og reliabilitet

Detaljer

Gjør gjerne analysene under her selv, så blir dere mer fortrolige med utskriften fra Spss. Her har jeg sakset og klippet litt.

Gjør gjerne analysene under her selv, så blir dere mer fortrolige med utskriften fra Spss. Her har jeg sakset og klippet litt. Gjør gjerne analysene under her selv, så blir dere mer fortrolige med utskriften fra Spss. Her har jeg sakset og klippet litt. Data fra likelonn.sav og vi ser på variablene Salnow, Edlevel og Sex (hvor

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317. Statistikk og kvantitative forskningsmetoder. Målform/språk: Bokmål Antall sider: 10. Psykologisk institutt

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317. Statistikk og kvantitative forskningsmetoder. Målform/språk: Bokmål Antall sider: 10. Psykologisk institutt 1 Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Faglig kontakt under eksamen: Christian Klöckner Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato:11.12.014 Eksamenstid

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Faglig kontakt under eksamen: Martin Rasmussen Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 12.12.13 Eksamenstid

Detaljer

Endring over tid. Endringsskårer eller Ancova? Data brukt i eksemplene finner dere som anova-4-1.sav, anova-4-2.sav og likelonn.sav.

Endring over tid. Endringsskårer eller Ancova? Data brukt i eksemplene finner dere som anova-4-1.sav, anova-4-2.sav og likelonn.sav. Endring over tid. Endringsskårer eller Ancova? Data brukt i eksemplene finner dere som anova-4-1.sav, anova-4-2.sav og likelonn.sav. Analyse av endringsskårer (change scores). Vi så forrige gang på analyser

Detaljer

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio)

Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Beskrive fordelinger (sentraltendens, variasjon og form): Observasjon y i Sentraltendens

Detaljer

Høsten Skriftlig skoleeksamen, 23. Oktober, kl. 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker.

Høsten Skriftlig skoleeksamen, 23. Oktober, kl. 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker. Psykologisk institutt Eksamen PSY4020 - Anvendt kvantitativ forskningsmetode Eksamen PSYC3101 - Kvantitativ metode II (3. Semester) Eksamen PSYC3101 - Kvantitativ metode II (6. Semester) Høsten 2015 Skriftlig

Detaljer

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Høst 2018

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Høst 2018 Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Høst 2018 Skriftlig skoleeksamen, 22. oktober (3 timer). Sensur etter tre uker. Ingen hjelpemidler er tillatt under eksamen. Alle oppgavene skal besvares OPPGAVE 1

Detaljer

a) Forklar hva som menes med faktorladning, kommunalitet og eigenvalue.

a) Forklar hva som menes med faktorladning, kommunalitet og eigenvalue. Psykologisk institutt - UiO Eksamen PSYC3101 Kvantitative metoder II Høsten 2012 Skriftlig skoleeksamen, 5.oktober kl. 09:00 (3 timer). Ingen hjelpemidler er tillatt under eksamen. Alle oppgaver skal besvares.

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Faglig kontakt under eksamen: Martin Rasmussen Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 04.06.2014 Eksamenstid

Detaljer

Repeated Measures Anova.

Repeated Measures Anova. Repeated Measures Anova. Vi bruker oppgave-5 som eksempel. I en evalueringsstudie av en terapeutisk intervensjon valgte man et pre-post med kontrollgruppe design. Alle personer ble undersøkt tre ganger

Detaljer

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Vår 2015

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Vår 2015 Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Vår 2015 Skriftlig skoleeksamen, fredag 27. mars kl. 09:00 (3 timer). Ingen hjelpemidler, utover forhåndsgodkjent ordbok, er tillatt under eksamen. Alle oppgavene

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 19.05.2015 Eksamenstid (fra-til): 09:00 13:00

Detaljer

PSY2012 Forskningsmetodologi III: Statistisk analyse, design og måling Eksamen vår 2014

PSY2012 Forskningsmetodologi III: Statistisk analyse, design og måling Eksamen vår 2014 Psykologisk institutt PSY2012 Forskningsmetodologi III: Statistisk analyse, design og måling Eksamen vår 2014 Skriftlig skoleeksamen fredag 2. mai, 09:00 (4 timer). Kalkulator uten grafisk display og tekstlagringsfunksjon

Detaljer

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019

Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019 Eksamen PSYC2104 Kvantitativ metode A Vår 2019 Skriftlig skoleeksamen, 3. april klokka 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker. Ingen hjelpemidler er tillatt under eksamen. Alle oppgavene skal besvares.

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

1. De fleste blir mer vennlige av å drikke alkohol Mange blir mer aggressive av å drikke alkohol

1. De fleste blir mer vennlige av å drikke alkohol Mange blir mer aggressive av å drikke alkohol EKSAMEN i PSYC3101/ PSY4510 Høst 2009 Kvantitative metoder II 15. desember kl. 09:00 (3 timer). Ingen hjelpemidler tillatt Alle oppgavene skal besvares OPPGAVE 1: a) Forklar hva som menes med begrepet

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011

EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 Løsningsforslag Oppgave 1 (Med referanse til Tabell 1) a) De 3 fiskene på 2 år hadde lengder på henholdsvis 48, 46 og 35 cm. Finn de manglende tallene i Tabell 1. Test

Detaljer

PSYC3101 Kvantitativ metode 2. Våren Skriftlig skoleeksamen Onsdag 30. mars, kl. 09:00 (3 timer)

PSYC3101 Kvantitativ metode 2. Våren Skriftlig skoleeksamen Onsdag 30. mars, kl. 09:00 (3 timer) PSYC3101 Kvantitativ metode 2 Våren 2016 Skriftlig skoleeksamen Onsdag 30. mars, kl. 09:00 (3 timer) Alle oppgavene skal besvares - men alle kan ikke regne med å greie alle. For de fleste oppgavene finnes

Detaljer

Høye skårer indikerer høye nivåer av selvkontroll.

Høye skårer indikerer høye nivåer av selvkontroll. Psykologisk institutt PSY2012 Forskningsmetodologi III: Statistisk analyse, design og måling Eksamen vår 2015 Skriftlig skoleeksamen tirsdag 19. mai, 09:00 (4 timer) Resultater publiseres 10. juni Kalkulator

Detaljer

Lærersamarbeid, Er det forskjell på hvordan mannlige og kvinnelige lærere samarbeider?

Lærersamarbeid, Er det forskjell på hvordan mannlige og kvinnelige lærere samarbeider? Monica Johannessen Lervik Forskningsmetode i profesjonsrettede lærerutdanningsfagkvantitativ metode, Høsten 2015 Lærersamarbeid, Er det forskjell på hvordan mannlige og kvinnelige lærere samarbeider? 1

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfunnsfag Institutt for økonomi og administrasjon Statistiske metoder Bokmål Dato: Torsdag 19. desember Tid: 4 timer / kl. 9-13 Antall sider (inkl. forside): 8 Antall oppgaver: 3 Oppsettet

Detaljer

Oppsummering & spørsmål 20. april Frode Svartdal

Oppsummering & spørsmål 20. april Frode Svartdal Oppsummering & spørsmål 20. april 2016 Frode Svartdal Nullhypotese og sånt 119 deltakere Folk som svarer på en test for prokrastinering 40 Histogram of IPS 35 30 25 No of obs 20 15 10 5 0 0.5 1.0 1.5 2.0

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

Multippel regresjon. Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p.

Multippel regresjon. Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p. Multippel regresjon Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable x 1, x 2,, x p. Det er fortsatt en responsvariabel y. Måten dette gjøre på er nokså

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 2009. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4260 INDUSTRIELL STATISTIKK Onsdag

Detaljer

Til bruk i metodeundervisningen ved Høyskolen i Oslo

Til bruk i metodeundervisningen ved Høyskolen i Oslo MINIMANUAL FOR SPSS Til bruk i metodeundervisningen ved Høyskolen i Oslo Denne minimanualen viser hvordan analyser i metodeundervisningen på masternivå (master i sosialt arbeid, master i familiebehandling

Detaljer

PSY Anvendt kvantitativ forskningsmetode

PSY Anvendt kvantitativ forskningsmetode PSY4020 1 Anvendt kvantitativ forskningsmetode Oppgaver Oppgavetype Vurdering Informasjon Dokument Automatisk poengsum 1 Oppg 1 a) Skriveoppgave Manuell poengsum 2 Oppg. 1 b) Skriveoppgave Manuell poengsum

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 SOS1120 Kvantitativ metode Regresjonsanalyse Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Lineær sammenheng I Lineær sammenheng II Ukelønn i kroner 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

Detaljer

Fra spørreskjema til skalaer og indekser

Fra spørreskjema til skalaer og indekser Fra spørreskjema til skalaer og indekser Forelesning 12 (1. time) 1 Måleprosessen Teoretisk definisjon Mål, skalaer Operasjonell definisjon Datamatrise Måleinstrument Virkligheten 2 Hva skal måles? Direkte

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 73 59 19 60 Eksamensdato: 11.12.2013 Eksamenstid (fra-til):09:00 13:00

Detaljer

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier og egenvektorer Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon

Detaljer

Kræsjkurs i STAT101. Noen anbefalinger Regn mange(5-10) oppgavesett til eksamen:

Kræsjkurs i STAT101. Noen anbefalinger Regn mange(5-10) oppgavesett til eksamen: Kræsjkurs i STAT101 Noen anbefalinger Regn mange(5-10) oppgavesett til eksamen: Legg vekt på å forstå hva formlene brukes til, det vil si når, og hvordan? Lær sammenhengen mellom fordelingene og tema i

Detaljer

6.2 Signifikanstester

6.2 Signifikanstester 6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon

Detaljer

I enkel lineær regresjon beskrev linja. μ y = β 0 + β 1 x

I enkel lineær regresjon beskrev linja. μ y = β 0 + β 1 x Multiple regresjon Her utvider vi perspektivet for enkel lineær regresjon til også å omfatte flere forklaringsvariable.det er fortsatt en responsvariabel. Måten dette gjøre på er nokså naturlig. Prediktoren

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler EKSAMENSOPPGAVER Institutt: Eksamen i: Tid: IKBM STAT100 Torsdag 13.des 2012 STATISTIKK 09.00-12.30 (3.5 timer) Emneansvarlig: Solve Sæbø ( 90065281) Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4255 FORSØKSPLANLEGGING OG ANVENDTE STATISTISKE METODER

EKSAMEN I FAG TMA4255 FORSØKSPLANLEGGING OG ANVENDTE STATISTISKE METODER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4255 FORSØKSPLANLEGGING OG ANVENDTE

Detaljer

Kapittel 1 Vitenskap: grunnleggende antakelser

Kapittel 1 Vitenskap: grunnleggende antakelser Innholdsfortegnelse Kapittel 1 Vitenskap: grunnleggende antakelser... 13 Hva er vitenskap?... 14 Psykologi som vitenskap: tre tradisjoner... 17 Forutsetninger vitenskap bygger på... 21 Siktemål med forskning...

Detaljer

Innhold. Del 1 Grunnleggende begreper og prinsipper... 39

Innhold. Del 1 Grunnleggende begreper og prinsipper... 39 Innhold Kapittel 1 Vitenskap: grunnleggende antakelser... 13 Hva er vitenskap?... 14 Psykologi som vitenskap: tre tradisjoner... 17 Forutsetninger vitenskap bygger på... 21 Siktemål med forsk ning... 22

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK 1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 1. juni 2006. Tid for eksamen: 09.00 12.00. Oppgavesettet er på

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet

Detaljer

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning

Vektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen gir testobservatoren t mer spredning enn testobservatoren

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

ME Vitenskapsteori og kvantitativ metode

ME Vitenskapsteori og kvantitativ metode KANDIDAT 2581 PRØVE ME-417 1 Vitenskapsteori og kvantitativ metode Emnekode ME-417 Vurderingsform Skriftlig eksamen Starttid 18.05.2018 09:00 Sluttid 18.05.2018 13:00 Sensurfrist 08.06.2018 02:00 PDF opprettet

Detaljer

Logistisk regresjon 2

Logistisk regresjon 2 Logistisk regresjon 2 SPSS Utskrift: Trivariat regresjon a KJONN UTDAAR Constant Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) -,536,3 84,56,000,25,84,08 09,956,000,202 -,469,083 35,7,000,230 a.

Detaljer

Mulige sammenhenger for plassering på samfunnsstigen

Mulige sammenhenger for plassering på samfunnsstigen Mulige sammenhenger for plassering på samfunnsstigen - blokkvis multippel regresjonsanalyse - Utarbeidet av Ronny Kleiven Antall ord (ekskludert forside og avsnitt 7) 2163 1. SAMMENDRAG Oppgaven starter

Detaljer

Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 ME-417, forside Flervalg Automatisk poengsum Levert. 2 ME-417, oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum Levert

Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 ME-417, forside Flervalg Automatisk poengsum Levert. 2 ME-417, oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum Levert ME-417 1 Vitenskapsteori og kvantitativ metode Kandidat 3704 Oppgaver Oppgavetype Vurdering Status 1 ME-417, forside Flervalg Automatisk poengsum Levert 2 ME-417, oppgave 1 Skriveoppgave Manuell poengsum

Detaljer

2. Hva er en sampelfordeling? Nevn tre eksempler på sampelfordelinger.

2. Hva er en sampelfordeling? Nevn tre eksempler på sampelfordelinger. H12 - Semesteroppgave i statistikk - sensurveiledning Del 1 - teori 1. Gjør rede for resonnementet bak ANOVA. Enveis ANOVA tester om det er forskjeller mellom gjennomsnittene i tre eller flere populasjoner.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 4. juni 2007. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Effektstørrelse. Tabell 1. Kritiske verdier for Pearson s produkt-moment-korrelasjon med 5% og 1% signifikansnivå. N 5% 1% N 5% 1%

Effektstørrelse. Tabell 1. Kritiske verdier for Pearson s produkt-moment-korrelasjon med 5% og 1% signifikansnivå. N 5% 1% N 5% 1% Thor Arnfinn Kleven Institutt for pedagogikk 19.09.2013 Effektstørrelse Tradisjonelt har signifikanstesting vært fremhevet som den viktigste statistiske analyseformen i pedagogisk og psykologisk forskning.

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel

Detaljer

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018

7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018 7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Eksamensoppgave i ST3001

Eksamensoppgave i ST3001 Det medisinske fakultet Institutt for kreftforskning og molekylær medisin Eksamensoppgave i ST3001 fredag 25. mai 2012, kl. 9.00 13:00 Antall studiepoeng: 7.5 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator og alle

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Faglig kontakt under eksamen: Anna Marie Holand Tlf: 951 38 038 Eksamensdato: 30. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder

Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY2017/PSYPRO4317 Statistikk og kvantitative forskningsmetoder Faglig kontakt under eksamen: Eva Langvik Tlf.: Psykologisk institutt 73591960 Eksamensdato: 21.5.2013

Detaljer

Inferens i fordelinger

Inferens i fordelinger Inferens i fordelinger Modifiserer antagelsen om at standardavviket i populasjonen σ er kjent Mer kompleks systematisk del ( her forventningen i populasjonen). Skal se på en situasjon der populasjonsfordelingen

Detaljer

Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og (alle er basert på samme datasett).

Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og (alle er basert på samme datasett). Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og 10.37 (alle er basert på samme datasett). ############ OPPGAVE 10.32 # Vannkvalitet. n=49 målinger i ulike områder. # Forutsetter at datasettene til boka (i

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20). Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Bruk data fra tabellen over (utvalget) og opplysninger som blir gitt i oppgavene og svar på følgende spørsmål:

Bruk data fra tabellen over (utvalget) og opplysninger som blir gitt i oppgavene og svar på følgende spørsmål: Frafall fra videregende skole (VGS) er et stort problem. Bare ca 70% av elevene som begynner p VGS fullfører og bestr i løpet av 5 r. For noen elever er skolen s lite attraktiv at de velger slutte før

Detaljer

Del 1 og Del 2 vektes likt (50/50). Begge delene må være bestått.

Del 1 og Del 2 vektes likt (50/50). Begge delene må være bestått. Del 1 og Del 2 vektes likt (50/50). Begge delene må være bestått. DEL I: KVALITATIV METODE OPPGAVE 1 Relevant pensum for denne oppgaven er Ringdal (2013), kapitel 2. Dette er en noe åpen oppgave, hvor

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.

Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler EKSAMENSOPPGAVER Institutt: Eksamen i: Tid: Emneansvarlig: IKBM STAT100 Tirsdag 28.mai 2013 Solve Sæbø STATISTIKK 09.00-12.30 (3.5 timer) Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler

Detaljer

Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019

Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019 Forkurs i kvantitative metoder ILP 2019 Dag 2. Forkurs som arbeidskrav for kvantitativ deler av PED-3055 Gregor Maxwell og Bent-Cato Hustad Førsteamanuensis i spesialpedagogikk Hva lærte vi i går? Hva

Detaljer

Eksamensoppgave i (emnekode) (emnenavn)

Eksamensoppgave i (emnekode) (emnenavn) Institutt for (instituttnavn) Eksamensoppgave i (emnekode) (emnenavn) Faglig kontakt under eksamen: Tlf.: Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: Annen informasjon:

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STAT100 Høst 2010

Løsningsforslag eksamen STAT100 Høst 2010 Løsningsforslag eksamen STAT100 Høst 2010 Oppgave 1 a) To-utvalg, parvise data. La Y være tilfeldig variabel som angir antall drepte i periode 1 og tilsvarende X for periode 2. Vi antar parvise avhengigheter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet

Detaljer

Reelle tall på datamaskin

Reelle tall på datamaskin Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

Kan vi stole på resultater fra «liten N»?

Kan vi stole på resultater fra «liten N»? Kan vi stole på resultater fra «liten N»? Olav M. Kvalheim Universitetet i Bergen Plan for dette foredraget Hypotesetesting og p-verdier for å undersøke en variabel p-verdier når det er mange variabler

Detaljer

PSY Kvantitativ metode

PSY Kvantitativ metode PSY2014 - Kvantitativ metode Skriftlig skoleeksamen onsdag 21. mai, 09:00 (3 timer). Kalkulator uten grafisk display og tekstlagringsfunksjon er tillatt. En liste av relevante formler og en tabell av t-fordelingen

Detaljer

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2.

Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe a) Finn aritmetisk gjennomsnitt, median, modus og standardavvik for gruppe 2. Sensurveiledning Ped 3001 h12 Oppgave 1 Er det sammenheng mellom støtte fra venner og selvaktelse hos ungdom? Dette spørsmålet ønsket en forsker å undersøke. Han samlet data på 9. klassingers opplevde

Detaljer

Inferens i regresjon

Inferens i regresjon Strategi som er fulgt hittil: Inferens i regresjon Deskriptiv analyse og dataanalyse først. Analyse av en variabel før studie av samvariasjon. Emne for dette kapittel er inferens når det er en respons

Detaljer

Lineære modeller i praksis

Lineære modeller i praksis Lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y én eller flere uavhengige variabler:

Detaljer

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.

Kapittel 2. Utforske og beskrive data. Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2. Kapittel 2 Utforske og beskrive data Sammenhenger mellom variable Kap. 2.1 om assosiasjon og kryssplott forrige uke. Kap. 2.2, 2.3, 2.4 denne uken To kryssplott av samme datasett, men med forskjellig skala

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2014/2016 Individuell skriftlig eksamen i STA 400- Statistikk Fredag 13. mars 2015 kl. 10.00-12.00 Hjelpemidler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 10 sider inkludert forsiden

Detaljer

EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK

EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas (988 47 649) BOKMÅL EKSAMEN I TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Fredag 25.

Detaljer

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2014

Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2014 Eksamen PSYC3101 Kvantitativ metode II Høsten 2014 Skriftlig skoleeksamen, mandag 27.oktober - kl. 09:00 (3 timer). Sensur etter tre uker. Ingen hjelpemidler, utover forhåndsgodkjent ordbok, er tillatt

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk

Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4255 Anvendt statistikk Faglig kontakt under eksamen: Anna Marie Holand Tlf: 951 38 038 Eksamensdato: 3. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00

Detaljer

Generelle lineære modeller i praksis

Generelle lineære modeller i praksis Generelle lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y en eller flere uavhengige

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 73 59 1960 Eksamensdato: 23.05.2016 Eksamenstid (fra-til): 09:00-13:00

Detaljer