Den mest fundamentale ligningen som beskriver tidsvarierende magnetiske felter er Faradays lov,

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Den mest fundamentale ligningen som beskriver tidsvarierende magnetiske felter er Faradays lov,"

Transkript

1 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER induserte strømmer og spenninger 6.. Tidsvarierende magnetiske felter 6. I elektrisk energiteknikk utnyttes ofte det tidsvarierende magnetiske FARADAYS LOV feltet. Ved de frekvenser som normalt brukes vil ikke forskyvningleddet ha stor betydning, og blir derfor ofte neglisjert. Slike felter kalles kvasistasjonære magnetiske felter. Klassiske konstruksjoner som transformator, roterende elektriske mas- Figur 6 : Strøm i spole kiner og induksjonsoppvarmingsanlegg baserer seg på denne type mag- hvor det flyter en fluks Φ netfelter. Typiske frekvenser er fra 0Hz til 500kHz. Φ ++ Den mest fundamentale ligningen som beskriver tidsvarierende magnetiske felter er Faradays lov, u N Φ t (6-) - der u er den induserte spenningen, mens N er spolens vindingstall, se fig.6. I denne figuren er det valgt motoriske referanseretninger.

2 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger Figur 6 : En permanentmagnet skyves inn og ut av en spole. Legg merke til at en i fig.6 antar at spolen består av mange tynne tråder. Strømtettheten innen hver delleder antas konstant. I det følgende skal vi studere hvordan feltet oppfører seg dynamisk når vi beveger en permanentmagnet i nærheten av en spole. Vi kan enkelt måle den spenningen som blir indusert. Et slikt måleoppsett er vist i fig fig.6 Dersom magneten trekkes ut av spolen vil denne prøve å unngå at fluksen endres gjennom spolen ved å lage strømmer som setter opp et motfelt. I fig.6 3 og fig.6 4a) vises hvordan feltet holdes tilbake av spolen idet magneten trekkes ut. Figur 6 3: Magneten trekkes ut av spolen a) Magneten trekkes ut av spolen b) Magneten presses inn i spolen Figur 6 4: Respons på en bevegelig magnet I fig.6 4b ser vi hvordan spolen hindrer feltet å komme inn i denne.

3 Seksjon 6. Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende Dersom en magnet raskt beveges gjennom en kortsluttet ring vil det oppstå induserte strømmer i denne. Hvis en ikke har motstand i ringen (superledende) vil det lett kunne oppstå store strømmer og magneten trykkes da kraftig tilbake og kan sveve over ringen, se fig.6 5 Figur 6 5: Permanentmagnet over en superledende ring Magneten kan også henge under en slik superledende kortsluttet ring, som vist i fig.6 6. Legg merke til at flukslinjene strekker seg langt for å unngå fluksendringer inne i ringen. Det kan oppstå store strømmer i en slik ring for å oppnå dette! Hva tror du skjer dersom en har endelig motstand i spolen? Figur 6 6: Permanentmagnet hengende under en superledende ring. 6.. Virvelstrømmer I praksis vil det magnetiske feltet også treffe andre elektriske ledende materialer enn spolen. Generelt kan en forvente at det tidsvarierende feltet vil treffe et materiale med tilfeldig geometrisk utforming, en ledningsevne σ og magnetisk permeabilitet µ, se fig Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende legeme m s Figur 6 7: Et tilfeldig ledende medium plassert i et magnetfelt. Når det tidsvarierende feltet trenger ned i materialet, vil det på samme måte som for spolen i fig.6 bli indusert strømmer. Disse induserte strømmene vil lage et magnetfelt som motvirker det påtrykte feltet. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 3

4 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger En kan tenke seg materialet som oppdelt i mange strømsløyfer, se fig.6 8, der en har en spenning e. Når materialet er ledende vil strømmene som induseres på denne måten vil sette opp et magnetisk felt som prøver å motvirke det påtrykte feltet. Påtrykt magnetfelt Indusert strøm Figur 6 8: Fig. 3 Induserte strømmer i det ledende materialet Det vil bli størst strøm ute ved kanten fordi det flyter mer fluks gjennom de ytre strømslyfene enn de indre. Ligningene som beskriver de induserte strømmene er igjen Maxwells ligninger. Figur 6 9: Påtrykt magnetfelt gir strømrespons i jernet. Påtrykt B-felt Tar nå i bruk Faradays lov på differensialform E B t : (6-) og når en innfører J σ E a Indusert strøm J --- σ B t Intergralformen av ligningen er kanskje mer kjent (6-3) Edl J - dl σ Φ B d S t t (6-4) b c 6.. Motfelt og feltfortrengning I fig.6 9 er det skissert et elektrisk ledende objekt som påtrykkes et B- felt. Figuren viser også hvor det som følge av det påtrykte feltet vil oppstå induserte strømmer. I fig.6 9b vises det magnetiske feltet som oppstår på grunn av de induserte strømmene alene. Legg merke til at dette feltet virker i motsatt retning av det påtrykte feltet. 4

5 Seksjon 6. Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende I fig.6 9c vises det resulterende feltet. Her ser en at fluksen fortrenges ut mot overflaten av materialet. De induserte strømmene vil ved høye frekvenser ofte kunne betraktes som overflatestrømmer Feltimpuls - korresponderende transient respons i ledende metall Induserte strømmer oppstår kun i den grad det magnetiske feltet er tidsvarierende. Imidlertid finnes det tilfeller der en kun har en kortere transient i feltet. Ved kraftelektronisk utstyr har en for eksempel ofte korte pulser i feltet, noe som kan gi både støy og ødeleggende effekter på annet nærliggende utstyr. I fig.6 0 er responsen vist nå en påtrykker et felt som slås på som et sprang. a) b) c) d) Figur 6 0: a) Stor variasjon i magnetfeltet gir kraftig indusert strøm og kraftig fluksfortrengning. b) Magnetfeltet varierer ikke lenger. Reststrømmer i røret fortrenger fremdeles feltet mye. c) Induserte strømmer dør ut. Permeabiliteteten begynner å få stor betydning. d) Statisk situasjon. Jernet suger til seg magnetfeltet. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 5

6 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger 6..4 Overflateeffekten - gir økte tap og økt totaltmotstand ved vekselstrøm Når det går strøm i en leder fokuserer en ofte på virkningen det tidsvarierende magnetfeltet har på lederen selv og den virkning den har på eventuelle andre strømførene naboledere. Oveflateeffekten (skin-effect) i en ledere skyldes strømmen i lederen selv. Figur 6 : R ac som funksjon av frekvens. R dc er tilfeldig valgt til 0.0. Denne effekten fører først og fremst til at lederene utnyttes dårlig fordi lite strøm går i senter av lederen mens stor strømtetthet oppstår på overflaten. Dette gir økte tap i forhold til likestømstilfellet og dermed en økt vekselstrømsmotstand R ac. I fig.6 presenteres R ac som funksjon av frekvensen for en kvadratiske leder (strømskinne x0cm). Dimensjonen er valgt slik at motstanden er 0.0x0 3 ved 50 Hz. I fig.6 vises hvordan fordeling av fluks og strømtetthet endres ved økende frekvens i strømskinnen. Ved lave frekvenser trenger mye fluks gjennom skinnen, mens ved høye frekvenser vil fluksen flyte på og langs overflatene. Figuren viser også at ved likestrøm er strømtettheten jevnt fordelt over lederen. Når frekvensen øker vil strømmen tyngden av strømmen gå mot topp og bunn av skinnen. Ved videre frekvensøkning går strømmen mer over til å være en ren overflatestrøm Tallene angir strømtettheten i senter og på toppen av skinnen. Figur 6 : Fluks og strømtetthetsfordeling ved varierende frekvens 6..5 Nærhetseffekten - naboledere påvirker hverandre og fører 6

7 Seksjon 6. Tidsvarierende magnetfelt gjennom et elektrisk ledende til tap i tillegg til overflatefenomenet. Nærhetseffekten (proximity effect) oppstår når en strømførende leder kommer i nærheten av en annen leder. Den induserte strømmen som da oppstår vil komme i tillegg til eventuelle strømmer som den påvirkede nabolederen selv har skapt. Et enkelt eksempel på dette finner en ved oppbygging av skap og andre konstruksjonsdetaljer i nærheten av strømskinner. En kan i slike tilfeller lett få indusert så store strømmer i stålplater og lignende at disse blir svært varme og ødelegges. Mer komplisert er forholdene i viklinger der mange ledere ligger i nærheten av hverandre. Når slike viklinger skal lages må en være klar over at lederne påvirker hverandre, slik at R ac øker mer en overflateeffekten skulle tilsi. Dette er illustrert i fig.6 3 som viser et spor i en elektrisk maskin der det ligger to leder overfor hverandre. I fig.6 3a ser vi at strøm kun går inn i den nederste lederen. I fig.6 3b er det indikert at det blir en skinn effekt som fører til at vi får en strømøkning på toppen av nedre leder. Når en inkluderer topplederen (som det nå ikke går strøm i), ser vi at det induseres strømmer i denne på grunn av det feltet som er satt opp av lederen i bunnen av sporet. Dersom vi i tillegg påtrykker en strøm i øvre leder vil denne danne sin egen skinneffekt som dermed kommer i tillegg. NB Den øvre lederen gir ikke samme virkning på lederen i bunnen av sporet!! Figur 6 3: To ledere i et spor. Kun nederste delleder fører strøm! a) b) c) 6..6 Ulineære forhold Ulineære forhold har en hovedsaklig på grunn av at jernets permeabilitet er svært feltstyrkeavhengig. En typisk karakteristikk som viser forholdet mellom B og H er gitt i fig.6 4 I praksis er det vanskelig å ta hensyn til denne ulineariteten når induserte strømmer skal beregnes. Dersom dette skal gjøres skikkelig må en simulere det tidsvarierende feltet i tidsplanet, noe som gir svært tunge beregninger. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 7

8 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger B Jernet går i metning Svært stor µ r H Ved svake felter er µ svært liten r Figur 6 4: Jernets metningskarakteristikk Ofte tar en hensyn til de ulineære egenskapene ved at en innfører en ekvivalent µ r for materialet. I dette sammenheng skal en være oppmerksom på at jernet ikke har nevneverdig permeabilitet (liten µ r ) for svært lave feltstyrker. I problemstillinger der en har svært lave feltstyrker kan dette gi overraskende effekter. Skal en eksempelvis benytte jernet i en magnetisk skjerm får dette den konsekvens at jernet ikke har bedre magnetiske egenskaper enn f eks kopper. Jernet er dårligere elektrisk ledende og gir dermed dårligere skjermingseffekt når en ønsker å utnytte virkningen av induserte strømmer. Når en har store feltstyrker i jernet (B > T), så begynner jernet å gå i metning. Virkningen av dette er at inntrengningsdybden øker, noe som kan ekvivaleres med en tilhørende redusert permeabilitetskonstant. NB! I det virkelige forløpet finner en at µ r varierer over perioden. 8

9 Seksjon 6.3 PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE 6.3. Transformator I elektriske maskiner brukes tidsvarierende felter til å få maskinene til å rotere. En lager et roterende magnetfelt som drar eller skyver maskinen rundt. I transformatorer utnyttes et tidsvarierende magnetfeltet som flyter gjennom en jernkjerne. Magnetfeltet er laget av en (primær) spole. Dette magnetfeltet indusere så spenninger i den andre spolen. Med forskjellige turntall kan vi på denne måte transformere spenningen opp eller ned. Gjensidig fluks 6.3 PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE MAGNETFELTER HAR STOR BETYDNING Lekkfelt Figur 6 5: En toviklings-/ enfasetransformator. I fig.6 5 ser vi at vi i tillegg til det gjensidige feltet som flyter i kjernen og oppstår lekkfelt som ikke går fra den ene spole til den andre. Dette lekkfeltet fører til reaktivt spenningsfall gjennom transformatoren og til at det eksempelvis oppstår virvelstrømstap i tanken(boksen) rundt transformatoren Induserte tap og skjerming er aktuelle problestillinger i elektrisk energiteknikk. Induserte strømmer har eksempelvis stor betydning ved strømskinnefordelinger der en har ledende metall-legemer i nærheten. Ved høg- GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 9

10 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger strøms-nærføringer til f eks vegger i stålskap ser en til tider at det blir betydelige tap på grunn av virvelstrømmer.. Figur 6 6: En strømskinnefordeling som ligger over en ledende plate. Dette kan føre til overoppheting og behov for kjøling Legg merke til at de induserte strømmene i platen i fig.6 6 i dette tilfellet fører til at fluksen kun går et lite stykke inn i platen. De induserte strømmene i platen vil da også virke skjermende. På baksiden av platen vil en få et sterkt redusert felt, og slike stålplater brukes derfor til tider i taket over strømskinnene i transformatorstasjoner inne i bygninger. Kan du tenke deg hvor de induserte strømmen oppstår i platen Induktanser i overføringslinjer Rundt hver leder i en overføringlinjer går det magnetisk felt. Dette medfører at det lagres store mengder magnetisk energi som igjen gir et reaktivt spenningsfall. Av linjens impedans er den induktive delen dominerende, og det er nødvendig å kunne beregne induktansen avhengig av trådenes plassering. Det er også betydelig magnetisk kopling mellom lederne, slik at den spenning som induseres i en tråd ikke kun skyldes magnetfelt fra entråd. 30

11 Seksjon 6.3 PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE I fig.6 7 er det skissert en enkel kraftlinje. Det indikert at det går magnetfelt rundt den enkelte tråden(mørk blå), samt at magnetfeltet også omslutter andre ledere (gul flukslinje) Figur 6 7: Trefase kraftlinje - der det går magnetfelt rundt strømførende tråd Induksjonsoppvarming Induserte strømmen kan brukes til å varme opp det aktuelle objektet. Med moderne energielektronikk kan en påtrykke et magnetfelt med høgfrekvens og få svært lokal oppvarming som eksempelvis kan benyttes ved herding og lodding. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 3

12 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger a) b) c) d) Figur 6 8: a) Induksjonsspole som ligger rundt et tannhjul b) Tennene blir varme i oveflaten og vil herdes ved brå nedkjøling (senkes ned i vann) c) Tannhjulmed indre og ytre tannkrans som er blitt herdet (mørkere stål der det har vært varmt) d) Lite tannhjul der hele tannen er herdet Indusert støy i kraftelektronikk I energielektronikk (kraftelektronikk) finner en mange situasjoner der tidsvarierende magnetfelt påvirker andre komponenter og kretser. Eksempelvis kan en ofte se at induserte spenninger oppstår ved raske endringer i strømmen - ved eksempelvis av og påslag av strømmen i omformere Figur 6 9: Transistor med snubber krets rundt seg. Fysisk realisering vist i fig.6 0. I fig.6 0a er det vist en enkel krets med en transistor, en motstand og en kondensator. b viser hvor strømmen går når transistoren slås på. I c vises magnetfeltet som oppstår. Hvilke problemer tror du kan oppstå på grunn av dette høgfrekvente magnetfeltet? Tr R B C 3

13 Seksjon 6.3 PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE R C Tr B Figur 6 0: Kretskort der den store strømmen lager magnetfelt som igjen kan indusere spenninger i andre deler av kretsen Platesveising ved hjelp av induksjonsoppvarming Svært krevende sveising i bilindustrien utføres ved hjelp av induksjonsoppvarming. Plater av forskjellig tykkelse stukes ende mot ende, samtidig som kantene oppvarmes. Plater med varierende platetykkelse GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 33

14 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger blir presset til avanserte karoseriformer og sveifugene utsettes for stor belastning Figur 6 : To plater som ligger på et bord presses mot hverandre. Spole (4) legges deretter ned mot skjøtefugen. a) b) Figur 6 : a) Når det går strøm i spolen blir plate varm. b) Ferdig sveis mellom to plater med forskjellig tykkelse. 34

15 Seksjon 6.3 PROBLEM- STILLINGER DER TIDSVARIERENDE. Figur 6 3: Ferdig presset del av et bilkarroseri. Den brune stripen viser hvor sveisen går Induksjonsovner og røring av metall. Figur 6 4: Induksjonsoven med vannkjølte viklinger GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 35

16 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger I fig fig.6 4 er det vist en induksjonsovn for smelting og røring av metall. Spolen ligger på utsiden av en ildfast potte, og magnetfeltet trenger inn i det metallet som skal smeltets/holdes varmt. Figur 6 5: Magnetfelt i en enkel enfase induksjonsoven Som vist i fig.6 5 trenger ikke magnetfeltet langt inn i smelten. Det vil oppstå strømmer og krefter i metallet som gir strømning/virvling i smelten som vist på figuren. 36

17 Seksjon 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser 6.4. Statisk magnetisk kopling (uten bevegelse) Magnetisk kopling mellom elektriske kretser oppstår ofte i elektrisk energiteknikk. Ved overføring av energi vil eksempelvis strøm i en leder indusere spenninger i andre. Videre er alle elektriske maskiner beskrevet av slike koplede kretser der en inkluderer lineær bevegelse eller rotasjon. Viklingene i en elektrisk maskin har ofte sterk magnetisk kopling til hverandre. Både gjensidig induktans og selvinduktans vil da variere som funksjon av tiden. 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser I fig.6 6 vises to spoler som er magnetiske koplet sammen. Spolene har ikke relativ bevegelse i forhold til hverandre. Fluksen som flyter fra den ene spolen til den andre er markert rød, og kalles gjensidig fluks. De blå flukslinjene går kun rundt de enkelte spolene og kalles lekkfelt fordi de ikke når frem til den andre spolen. Figur 6 6: Magnetisk koplede spoler Ligningene som beskriver to slike magnetisk koplede elektriske kretser er gitt ved eller på matriseform u di R i L di + + L dt dt u di R i L di + + L dt dt (6-5) (6-6) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 37

18 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger u R 0 i L L + u 0 R i L L di dt d Ri + L i dt di dt (6-7) Dette systemet av ordinære differensialligninger løses ofte ved hjelp numerisk integrasjon (Eulers metode, Runge Kuttas metode etc.). En viktig variant av dette er kraftlinjer der den magnetiske koplingen mellom linjene virker sterkt inn, se også fig.6 7. Ved beregning av spenningsfall U i linjen kan vi benytte modellen som er beskrevet i (6 7). Figur 6 7: Modell for mangetisk kopling i en trefase kraftlinje Kan her definere U som U - U og likeledes for de to andre fasene. Ligningen for trefaselinjen blir da: 38

19 Seksjon 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser u u u 3 R R R 3 i L L L 3 i + L L L 3 L 3 L 3 L 33 di dt di dt Ri + L d i dt (6-8) di 3 dt I svært mange tilfeller kan vi anta at vi har sinusformet spenning og strøm, slik at vi kan innføre komplekse tall. Induktansmatrisen omformes da til en reaktansmatrise jx u u R R 0 I I + j X X X 3 X X X 3 I I (6-9) u R 3 I 3 X 3 X 3 X 33 I 3 Dette er en forholdsvis generell beskrivelse av et treafaselinje. Imidlertid er det ofte ønskelig å bruke enfaserepresentsasjon av linjen. En innfører da det faktum at i praksis (med transponerte linjer etc), vil selvinduktansene og koplingsinduktansene være noenlunde like. I tillegg benyttes: For fase får vi da: i + i + i 3 0 (6-0) u R I + jx I + jx I 3 + jx 3 I 3 R I + jx I + jx M ( I + I 3 ) eller (6-) u R I + jx ( X M )I (6-) Ligning (6-) gir spenningsfall i fasespenningen. Dersom en skal studere linjespenninger må en multiplisere med faktoren 3. Hvordan en skal beregne induktanser for linjer blir behandlet senere i kapittelet Tidsvarierende kopling Magnetisk koplede kretser uten bevegelse/ulineariteter beskrives ofte i grunnleggende kretsanalyse. Vi skal imdlertid her videreføre problemstillinger der spolene beveger seg i forhold til hverandre, og eksempelvis beregne de krefter som da kan oppstå. Dette er det teoretiske GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 39

20 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger grunnlaget for elektriske maskiner, releer og andre elektromekaniske energiomformere. Spolen roterer rundt denne aksen Figur 6 8: To magnetisk koplede spoler der den ene roterer rundt den markerte aksen For å beskrive dette systemet dynamisk kan vi ta benytte i Faradays lov: u Φ d d d d N ( ψ) ( Li ) i ( L) + L () i t dt dt dt dt (6-3) Kretsligningene for et system av spoler (her er for enkelhets skyld valgt to spoler) blir på matriseform u + di dt + u 0 R i L L di dt dl dt dl dt dl dt i dl (6-4) Første ledd i ligningen beskriver det omske spenningsfallet. Det andre leddet beskriver transformatorisk induserte spenninger, mens det tredje leddet gir oss de spenningene som induseres på grunn av rotasjon. Ved en enkel omskriving får vi rotasjonen klarere frem: dt d dl Ri + L i + i i dt dt u d dl Ri + L i + i d dl θ Ri + L i + i d dl Ri + L i + i ω u dt dt dt dθ t dt dθ (6-5) Når en etterhvert skal lære om de forskjellige elektriske maskiner som beskrives av ligningene, så blir hovedutfordringen å få en god fysikalsk forståelse for hvordan induktansene varierer og hvordan spolene koples magnetisk. 40

21 Seksjon 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser Legg altså merke til at vi her påstår at ved å inkludere bevegelse i ligning (6-4), så kan alle kjente elektriske maskiner beskrives Kraftberegning i et system med to elektriske terminaler (to spoler) og lineær bevegelse Vi ønsker å modellere elektriske maskiner for å beskrive deres dynamiske oppførsel både elektrisk og mekanisk. Ligningene presentert over er tilstrekkelig til å beskrive de elektriske størrelsene, men de inkluderer ikke krefter og viser ikke hvordan turtall og posisjon utvikler seg dynamisk. Vi skal derfor i dette avsnittet vise hvordan kreftene kan beregnes, slik at en simultant med de elektriske ligningene kan løse den mekaniske differensialligningen. For lineær bevegelse i x-retningen vil den mekaniske differensialligningen være: (6-6) der M er legemets masse, v er hastighet, F el er den kraften som systemet produserer og F mek er den ytre kraften som skal overvinnes (lasten). Antar nå at vi har et spolesystem med to spoler. Vi overser eventuelle resistive tap (fordi vi senere lett kan knytte disse til diskrete motstander i modellen). Modellen inkluderer bevegelse og kraft, som vi beskriver som en mekanisk terminal. dv M x F el F mek dt x Elektromekanisk system x Figur 6 9: En magnetisk koplet elektrisk krets som kan omforme elektriske energi til mekanisk energi Effektbalansen for et generelt kretssystem er gitt ved: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 4

22 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger n i v i i i dw m dt + fv (6-7) I et tilfelle der det til terminalene er koplet til viklinger vet en at spenningen i terminal i er gitt ved v i dψ i dt (6-8) Settes dette inn i ligning (6-7) samtidig som en multipliserer med dt får en for systemet som er skissert i fig.6 9: i dψ + i dψ dw m + fdx (6-9) Ligningen sier at energien tilført i de to terminalene er lik den energien som lagres pluss den energi som systemet avgir i form av mekanisk arbeid. Dersom vi har beskrevet fluksforslyngningene ved hjelp av induktanser kan vi bruke: ψ L L i ψ L L i (6-0) I ligning (6-9) har vi behov for å sette inn for strømmene når energien skal beregnes. Dette innebærer en inversering av matrisen i (6-0), noe som er enkelt når vi har lineære forhold. Ved ulineære forhold er dette imidlertid vanskelig og en foretrekker ofte å omformulere ligningene slik at en skifter fra å ha fluksforslyngningene ψ som variabel til å benytte strømmen i ved integrasjonen. Vi kan skrive om til: Setter vi dette inn i ligning (6-9) får vi: og (6-) i dψ di ( ψ ) ψ di i dψ di ( ψ ) ψ di di ( ψ ) ψ di + di ( ψ ) ψ di dw m + fdx som med litt opprydding gir: (6-) di ( ψ + i ψ ) dw m fdx + ψ di + ψ di (6-3) En finner mange steder i litteraturen at en for venstre side av denne ligningen innfører en størrelse som kalles koenergi. Dette gjøres kun for å forenkle beregningene, men skaper til tider forvirring fordi en prøver å knytte dette til det vanlige energibegrepet. Tenk kun på koenergien som en hjelpestørrelse som viser seg å være enkel å beregne. Koenergien er den samme som energien ved lineære system. 4

23 Seksjon 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser Da begge leddene på høyresiden av ligning (6-3) er et differensial kan vi definere koenergien: W' m i ψ + i ψ W m og ligning (6-3) kan omskrives til: dw' m fdx + ψ di + ψ di et slikt differensial kan skrives på partiell differensiell form: (6-4) (6-5) dw' m W' m dx x W' + m di i + W' m di i (6-6) Det første leddet i ligningen over er bemerkelsesverdig fordi en direkte kan se at kraften kan beregnes som: W' m f x (6-7) Hva har vi oppnår med dette!!! -- En kan beregne koenergien uten å gå via den inverse induktans ma trisen --Så snart en har beregnet koenergien, så kan en beregne kraften som den deriverte av denne med hensyn på beveglesen. For å beregne kraften må vi nå først finne koenergien. Vi tar da igjen utgangspunkt i definisjonen av koenergi: og integrerer dette: dw' m fdx + ψ di + ψ di (6-8) W' m fdx + ψ di + ψ di ( ) (6-9) Denne integrasjonen synes for mange vanskelig å forstå. Imidlertid ligger nå poenget i at vi ikke trenger å vite hva kraften er for å gjennomføre integralet. Under forutsetning av at kraften er null når strømmene er null kan vi nemlig først integrere over variabelen ξ (mens strømmene er lik null), se fig For det enkle systemet med to spoler få vi da Figur 6 30: Integrasjonsveie n som benyttes ved beregning av W W' m ( fdx + ψdi + ψ di ) + ( fdx + ψ di + ψ di ) + ( fdx + ψ di + ψ di ) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 43

24 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger 3 W' m 0 + ( ψ di ) + ( ψ di ) 4 3 (6-30) 3 W' m 0 + ( L i di ) + (( L i + L i )di ) 4 3 Kraften kan nå beregnes ved å derivere (6-3) med hensyn på x - L i + - L i + L i i (6-3) f - i ( L ) + - i d x ( L ) + i dx i d ( L ) dx Dette uttrykket kan også skrives på matriseform (6-3) L f - x i i dl dx dl dx i dl dx L - i T x i dl dx dl dx i dl dx (6-33) Dette er et generelt uttrykk som benyttes i de fleste analyser av denne type. Legg igjen merke til at utfordringen nå ligger i få bestemt induktansene for den konkrete maskinen en ønsker å analysere Momentberegning i et system med to elektriske terminaler (to spoler) og rotasjonsbevegelse Dersom vi har rotasjonsbevegelse må vi inkludere følgende mekaniske differensialligning: J dω dt T el T mek (6-34) der ω er den mekaniske vinkelhastigheten, J er treghetsmomentet, T el er det momentet maskinen produserer og T mek er det mekaniske momentet som lasten trenger(dersom vi hadde tenkt på en generator ville T mek være det momentet som turbinen gav). Beregning av moment utføres på samme måte som for kraft. Vi tar da utgangspunkt i fdx Tdθ der θ angir mekanisk vinkel (rad) og T moment (Nm). (6-35) Momentet kan da for et tospolesystem beregnes fra uttrykket 44

25 Seksjon 6.4 Magnetisk koplede elektriske kretser T eller på matriseformen - i ( L ) + - i d θ ( L ) + i dθ i d ( L ) dθ (6-36) L f - θ i i dl dθ dl dθ i dl dθ L - i T θ i dl dθ dl dθ i dl dθ (6-37) Et enkelt eksempel på en slikt system er en synkronmaskin med to viklinger θ I rotor og stator ligger viklingene i spor. Vi kan her anta maskinen er laget slik at når det går strøm kun i rotor så blir flukstettheten i luftgapet sinusformet. På samme måte lager viklingen i stator en sinusformet flukstetthet. Fluksforslyngningene for en slik maskin er gitt ved ligningene λ L L ( θ) i λ L ( θ) L i L s M cos( θ ) i M cos( θ) L r i (6-38) hvor selvinduktans for stator L s, selvinduktans for rotor R s og maksimal gjensidig induktans M er konstanter. Fra ligning (6-36) får vi da: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 45

26 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger T i i d Mcos( θ) dθ i i M sinθ (6-39) 6.5 POTENSIAL- LIGNINGER FOR INDUSERTE STRØMMER 6.5. Innledning - ligninger Dette teorikapittelet viser på samme måte som tidligere de ligningene som vanligvis løses når en benytter et moderne feltberegningsverktøy. Det vil også fokuseres på hvordan en tar hensyn til tilleggsinformasjon om totalstøm i ledere etc Vektorpotensial og skalarpotensial - differensialligninger Når en skal beregne elektrisk og magnetiske felter ved hjelp av datamaskin innfører en ofte elektrisk (V) og magnetisk (A) potensial. Det elektriske potensialet har vært behandlet i kapitellet om elektrostatikk, mens vektorpotensialet ble innført i magnetostatikkkapittelet. Det nye i dette kapitellet er at en bruker begge potensialformene samtidig. Som vist tidligere kan en for det statiske magnetiske feltet bruke: - ( A ) J µ (6-40) problemet er imidlertid at vi ikke vet J i alle tilfeller. Når magnetfeltet blir tidsavhengig vil dette indusere strømmer og spenninger, og E og J blir størrelser som blir avhengig av A. Maxwells ligninger gir oss for tidsvarierende magnetfelt: E B t Faradays induksjonslov (6-4) NB Vektor feltet E er ikke lenger konservativt (curlfritt). Dersom vi nå bruker definisjonen for vektorpotensial får vi: E A E t A t eller + 0 (6-4) som viser at summen av E og den tidsderiverte av A er curlfritt. Velger derfor å innføre et nytt skalarpotensial (elektrisk) 46

27 Seksjon 6.5 POTENSIAL-LIGNINGER FOR INDUSERTE STRØMMER A V E + t eller (6-43) E A V J σ A t t og V (6-44) Innfører vi dette i lign (6-40) får vi: - ( A) σ A V µ t (6-45) eller - ( A) + σ A σ( V) µ t (6-46) V er den elektriske feltstyrke knyttet de elektriske ladningene i problemet. Når en vet spenningsfallet over en leder beregnes V som V U lengde (6-47) Grensebetingler for A behandles på samme måte som beskrevet under mangetostatikk Påtrykk av totalstrøm Ligningene over forutsetter at en kjenner påtrykt spenning eller strømtettheten for de strømførende delene av problemet. Imidlertid er det i mange praktiske problemer kun den totale strømmen som er kjent i lederne. I dette tilfellet må programmene "påtrykke" den spenningen som er nødvendig for å oppnå den angitte strømmen og implisitt beregne strømtetthet som en del av løsningen. For å beregne den totale strømmen som flyter i en aktuell leder benytter en da: I leder Jn( ds) S l (6-48) En kan da systematisk påtrykke spenninger og deretter bestemme korresponderende strøm. Ved lineære systemer kan vi etterpå justere spenningen slik at den riktige strømmen vil flyte. Ved problemer med mange ledere vil en slik metode ble noe arbeidskrevende. Ofte infører en da et integrodifferensielt ligningsystem og løser dette under ett. Dette betyr at en samtidig løser ligningene: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 47

28 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger - ( A) + σ A µ t σ( V) I leder - ( A) V σ t ds S l (6-49) (6-50) 6.6 Elektriske og magnetiske materialers påvirkning på feltet Det er viktig å være observant på materialenes innvirkning på induserte strømmer. Dette delkapittelet vil en kort kommentere i hvilken grad materialenes ledningsevne og permeabilitet (µ) påvirker induksjonen av strømmer Ledningsevne Ledningsevnen er avgjørende for om at det i det hele tatt vil flyte strømmer når et tidsvarierende felt påtrykkes. Koplingen mellom den induserte spenningen E og strømtetthet J er gitt ved J σe (6-5) der σ er materialets ledningsevne. Ut fra dette ser en at ved økende ledningsevne σ vil en få økende evne til å sette opp induserte strømmer. Dette fører til at det magnetiske feltet vil trenge kortere inn i materielet når σ øker. Koplingen mellom inntrengningsdybde og ledningsevne behandles senere i notatet Magnetisk permeabilitet Det ledende materialets magnetiske egenskaper vil også påvirke feltforholdene når en har tidsvarierende felter. H-feltet som oppstår vil være avhengig av strømmene som flyter og det felt som påtrykkes. Korresponderende flukstettheter, B, er proporsjonale med permeabiliteten µ r. Induserte strømmer i et materiale med høy permeabilitet vil dermed lettere sette opp motfluks enn materialer med lav permeabilitet. 48

29 Seksjon 6.6 Elektriske og magnetiske materialers påvirkning på feltet Inntrengningsdybde Når en skal studere induserte strømmer er en viktig del av dette å avklare hvordan strøm og magnetfelt fordeles i det aktuelle materialet. En typisk effekt er at det magnetiske feltet kun trenger et stykke inne i materialet. For å karakterisere dette fenomenet har en innført begrepet inntrengningsdybde. Begrepet er knyttet til en en-dimensjonal betraktning der en antar at det flyter en strøm J 0 inn i overflaten av en uendelig lang plate. På overflaten vil det være et korresponderende tangensielt H-felt. Ved sinusvarierende felter kan en da vise at feltet (både J og H) vil avta eksponensielt nedover i den lendende platen, se fig.6 3 Figur 6 3: Strømtetthet innover i et ledende medium. δ er inntrengningsdybden beregnes da med δ ωµσ (6-5) ω πf der f frekvensen. Inntrengningsdybden er den avstand innover i skjermen der feltet er redusert med faktoren e - 0,3678. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 49

30 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger Totalstrøm som flyter i flaten når inntrengningsdybden er kjent Det kan være interessant å avklare hvor stor strøm som vil flyte i skjermen totalt, når en vet strømtettheten på overflaten. Ved å integrere ligningen for strømtetthet innover i skjermens dybde finner en I tot J 0 w δ (6-53) der w er bredden av skjermen. Dette tilsier at en kan betrakte totalstrømmen som lik den strømmen en ville fått dersom overflatestrømtetheten hadde vært jevnt fordelt i en dybde lik δ Induserte tap På samme måte kan en for tapene pr m i overflaten bruke uttrykket: I P ind J w δ σ - (6-54) Dette medfører at tapene er ekvivalente med de en ville fått dersom strømtettheten J 0 hadde vært konstant fordelt i et sjikt med dybde δ/. 6.7 ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER) 6.7. Innledning - forutsetninger Med utgangspunkt i de elektromagnetiske feltligninger som er presentert så langt, kan det videreutvikles analytiske uttrykk for beregning av virvelstrømmer og tap i strømførende ledere. De analytiske uttrykkene er her begrenset til et fåtall geometrier. For endimensjonale geometrier begrenses disse beregningene til å omfatte konfigurasjoner med uendelig store plater. Dessuten må det magnetiske feltet antas å være homogent langs overflaten. I de analytiske metodene forutsettes det lineære magnetiske materialegenskaper (µ r er konstant). For beregninger på todimensjonale geometrier benyttes i dag ofte en numerisk løsning. 50

31 Seksjon 6.7 ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER) I praksis kan en ha nytte av disse beregningene også på kompliserte konfigurasjoner der det er områder i konstruksjonen hvor feltet er homogent Plateformet leder med endelig tykkelse. Utledning av ligninger. I fig.6 3 vises en plateformet leder. Platetykkelsen er b og platen har uendelig utstrekning i y- og z-retning. Det magnetiske feltet H z, (kun z-komponent), varierer kun som funksjon av x-koordinaten. H H z ( x) (6-55) På samme måte har strømtettheten J kun y-komponent og variere kun som funksjon av x-koordinaten. J J y ( x) (6-56) En stor plate med magnetfelt og strømtetthet er vist i fig.6 3 b Figur 6 3: Uendelig stor plate med tykkelse d. Det magnetiske feltet er rettet langs overflaten. Fra maxwells ligninger har vi at: E B t Faradays induksjonslov (6-57) H J Ampères lov (6-58) I dette reduserte tilfellet får vi at E blir: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 5

32 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger og lign (6-58) gir oss: Ey Bz µ H ( Jy ) µ H x t t σ x t eller - (6-59) Hz x Kombineres lign (6-59) og (6-60) J y (6-60) H z x H µσ z t (6-6) Da H har bare komponenter i z-retning, sløyfer en indeksen i den videre behandlingen. Ved løsning av ligning (6-6) i frekvensplanet, får en: For å få en enkel behandling videre innføres: H x H jωµσ t (6-6) α ( + j) δ δ σωµ og (6-63) Dette kan da brukes i standardløsningen for lign (6-63): H H e αx + H e α der H og H finnes fra grensebetingelser. x (6-64) Beregning av magnetisk feltstyrke H. Den magnetiske feltstyrken H kan finnes av ligning (6-64). Antar at H-feltet er lik H 0 i overflatene på begge sider av platen (x+d og x-d). Tar her for enkelhets skyld også i bruk det at H-feltet har et minimum midt i plata (x0), som medfører at: H ( 0) 0 x (6-65) 0 αh e α0 + αh e α0 H H Setter vi inn for xd og utnytter ligning (6-66) får vi: dvs (6-66) 5

33 Seksjon 6.7 ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER) som igjen gir: H 0 H e αd + H e αd (6-67) H H e αx e αx H cosh αx e αd + e αd 0 cosh αd (6-68) Beregning av strømtetthet i platen. I og med at J kun er den x-deriverte av H får vi: J αh asinhαx cosh αd (6-69) Beregning av effektutviklingen i plata. Effektutviklingen, P, pr. enhetslengde og enhetsbredde, er gitt av: b P - ( Jx ( )) sinh b H dx 0 δ sin b δ σ σδ b b cosh δ cos b δ (6-70) Denne ligningen kan gi oss grunnlag for en optimalisering slik at vi får størst mulig effektomsetning. Dersom en eksempelvis skal varme en plate ved induksjonsoppvarmingsutstyr så kan en variere frekvens og justere inntrengningsdybde slik at P blir størst mulig. Derivasjonen av effektfunksjonen med hensyn på (b/δ), gir en funksjon med mange nullpunkt, dvs det finnes maksima for d nπ δ (6-7) der det største maksimum oppnås ved n, dvs største effekten blir: (NB H 0 er effektivverdi). 8H, P 0 max σδ (6-7) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 53

34 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger Tynn skinne med uendelig lengde. I fig.6 33 er vist en skinne med høyde lik a og tykkelse lik d. Skinnen har rektangulært tverrsnitt og har uendelig utstrekning i z-retningen. Høyde er stor sammenlignet med tykkelsen, dvs: a >>d d a a) b) Figur 6 33: Skinne med rektangulært tverrsnitt. Det påtrykkes en strøm, I, i z-retningen. Det magnetiske feltet i skinneoverflaten antas konstant, dvs. H 0 H 0 (6-73) se betydningen av H 0 og H 0 fig.6 33b. Feltet i overflaten er gitt av Ampéres lov: av ligning (6-73) og (6-74) bestemmes H-feltet i overflaten: Hds I c (6-74) H o I H 4a 0 H og (6-75) 0 Innsettes disse uttrykkene for feltet i overflaten i (6-64)), finnes H og H.Uttrykket for strømtettheten i skinnen kan bestemmes: (6-76) NB Dette uttrykket gjelder for en leder som "ligger langt unna de andre lederne". Dette presiseres fordi en alltid må forvente at det går en tur og returleder. Strømmen i uttrykket er effektivverdi. Effektutviklingen bestemmes av: α I cosh ( αx) Jx ( ) ( H) x 4a sinh ( αd ) 54

35 Seksjon 6.7 ANALYTISKE BEREGNINGS - METODER (FORMLER) P ρi aδ sinh d δ - + sin d δ cosh d δ - d cos δ - (6-77) To skinner som frem og tilbake leder av strøm Dersom en har et frem- og tilbakeledersystem som vist på fig.6 34, vil magnetfeltet ved x>d kunne antas å være lik null. Lederne på fig.6 34 er lange og parallelle. a x-akse d Figur 6 34: Frem og tilbakeledersystem med parallelle ledere. Den magnetiske feltstyrken mellom lederne er gitt av: og strømfordelingen blir H 0 I - a (6-78) Jx ( ) H x Effektutviklingen, P, finnes av αi - a cosh[ α( x d) ] sinh ( α d) (6-79) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 55

36 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger P I σaδ sinh 4d - δ 4d + sin δ cosh 4d δ 4d cos δ (6-80) Sammenlignes uttrykket for effektutviklingen for tilfellet med nærføring, ligning (6-80), med uttrykket for effekttapet for en skinne som er magnetisk isolert fra andre strømledere, ligning (6-77), ser en at effekttapet øker ved nærføring. Figur 6 35: Tykk plate med uendelig utstrekning Tykk plate med uendelig utstrekning. I fig.6 35 vises en plate med uendelig tykkelse. Ved å ta utgangspunkt i ligning (6-64) finnes den magnetiske feltstyrken som er rettet langs overflaten i z-retningen og som kun varierer i y-retning. NB H er lik null fordi H er null når x går mot uendelig. Uttrykket for H-feltet blir da: x Strømtettheten finnes av: H H 0 e αx ( ) : (6-8) Jx ( ) dh αh0 e ( αx) J dx 0 e αx ( ) (6-8) J 0 er strømtettheten i overflaten. Totalstrømmen pr. enhetsbredde, I, i plata finnes av I Jx ( ) dx σ + j 0 Effektuviklingen pr enhetsbredde og enhetslengde finnes av: J 0 σ - J 0 j π e (6-83) P 0 Jx ( ) σ --- x J δ d σ (6-84) Effekten pr. enhetsbredde kan da uttrykkes ved totalstrømmen pr enhetsbredde: P I σδ Totalstrømmen er her gitt i effektivverdi. (6-85) 56

37 Seksjon 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer Dette gir følgende tolkning av inntrengningsdybde, δ: Effektutviklingen er lik effekttapet i et sjikt lik inntrengningsdybden, d, som fører totalstrømmen, I. 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer Figur 6 36: Massiv strømførende leder med radius r Beregning av magnetfelt inne i og utenfor en rundt massiv leder. Ved overføring av elektrisk energi benytter en enten kabler eller kraftlinjer (luftspenn). Det er i prinsippet ingen forskjell på disse to "transporformene", men de karakteristiske paramtrene som beskriver disse elektriske komponentene kan være svært forskjellige. Enkelt sakt vil kabler typisk ha stor kapasitet mot jord og lagre mye elektrisk energi. Luftspenn vil derimot karakteriseres ved at magnetfeltet spres langt bort fra linjen og at vi dermed får et relativt stort induktivt spenningsfall. I dette avsnittet vil vi fokusere på de induktive linjeparamtrene knyttet til det tidsavhengige magnetiske feltet. Vi antar at lederne er tynne og vi har konstant strømtetthet over disse. Først vil vi studere magnetfeltet rundt en rund massiv leder,se fig.. Dersom vi benytter Amperes lov finner vi det magnetiske feltet inne i lederen fra følgende betraktning: C Hdl πxh I (6-86) Innenfor lederen er den strømmen som ligger innenfor integrasjonsflaten gitt av: i leder I πx i x πr leder -- r (6-87) Dette medfører at vi får C Hdl πxh i x leder -- r og feltet inne i lederen er dermed gitt av ligningen: (6-88) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 57

38 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger H i leder eller for flukstettheten x (6-89) x B πr µ 0 i leder π r Utenfor lederen finner vi at strømmen innenfor integrasjonssløyfen er konstant lik i leder. Vi får da magnetisk feltstyrke og flukstetthet utenfor lederen: C Hdl πxh i leder (6-90). H i leder B πx µ 0 i leder πx og (6-9) H,B x Figur 6 37: Magnefeltet inne og utenfor lederen Beregning av induktans Når en skal beregne induktansen deler en ofte denne opp i en indre og en ytre del. Dette er kun et regneteknisk valg. Anta nå: L L indre + L ytre (6-9) Dersom en vil beregne induktansen ut fra fluksforslyngninger ψ, bruker vi at fluksen i et skall definert av dx blir: µ dϕ 0 x Idx πr (6-93) disse flukslinjen omslutter (forslynger) kun det arealet som ligger innenfor sylinderen beskrevet av dx. Dvs at N x blir: 58

39 Seksjon 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer N x πx πr x - r (6-94) Dette er en slags veiefaktor som forteller i hvor stor grad flukslinjene er effektive. Flukslinjer i overflaten og utenfor lederen er mye mer effektive en de som flyter inne i lederen. Tar så utgangspunkt i definisjonen av fluksforslyngninger: x dψ N x dϕ -- r µ x µ Idx 0 x Idx πr πr 4 (6-95) integrering med grensene x 0 til r gir oss da totale fluksforslyngninger: Indre induktans blir da: r µ ψ 0 x 3 µ int Idx 0 I πr 4 8π 0 (6-96) L int ψ int I µ π Dersom vi heller vil benytte energibetraktning: (6-97) W indre - BHdv - BHπxdx V der denne energien er pr meter kabel. Setter vi inn for B og H får vi r 0 (6-98) W indre - BHdv V r µ 0 i leder x i leder xπxdx πr πr i leer d µ π (6-99) og den indre induktansen blir da: L indre W indre i leder som blir (6-00) µ L 0 indre 8π For ytre delen kan vi også velge enten å bruke fluksforslyngninger eller energi betraktning. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 59

40 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger dϕ µ Idx πx (6-0) men N er konstant lik.fluksforslyngningenen blir gitt ved: og ytre induktans blir dermed: R µ ψ 0 µ int Idx 0 I R πx π ln r r (6-0) R µ L 0 ytre π ln r (6-03) Med energibetraktning finner vi: W ytre - BHdv V r - BHπxdx 0 (6-04) der denne energien er pr meter kabel. Setter vi inn for B og H får vi W ytre - BHdv V µ r i i leder leder πxd x πx π x 0 i leder µ π r ytre r - dx x (6-05) W ytre - BHdv V i leder µ 0 r ytre π ln r (6-06) og den indre induktansen blir da: L ytre W ytre i leder som blir (6-07) µ L 0 ytre π ln r NB Dette gir en induktans som går mot uendelig fordi en lar returlederen gå tilbake uendelig langt borte. Dette viser at denne betraktningen er ufysikalsk. Vi må alltid ta med i betraktningen at returleder kommer tilbake i en endelig avstand. r ytre µ L 0 µ r ytre 8π π ln r (6-08) Det er noe kompliserende å ta hensyn til den indre energi/fluksforslyningene. Vi kan finne den lederradius som ville gitt samme induktans 60

41 Seksjon 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer selv om vi ikke tar med de indre forholdene. Den ekvivalente radius bestemmes ut fra: µ π µ ln π r ytre - r µ 0 π r ytre + ln r µ 0 r ytre ln π - 4 re µ ln π r ytre - r' (6-09) der den ekvivalente r er gitt som r' 07788r, (6-0) Induktans i et system med to parallelle leder I dette tilfellet kan vi også bruke energibetraktning. Det er imidlertid nå enklere å bruke fluksforslynginger direkte. En kan heller finne hvor mye fluks som går mellom de aktuelle lederne pluss de interne fluksforslyngingene en har direkte. D r r Figur 6 38: To leder som fører strøm frem og tilbake. Det grønne området viser hvor fluksforslyngningene beregnes i sløyfen som de to lederen utgjør per meter. Neglisjerer i denne betraktningen indre fluksforslyngninger (korrigere for dette med å benytte en juster ytre radius). Flusken gjennom sløyfen som defineres av disse to lederne kan deles i bedragene fra hver leder. Regner fra starten av med forskjellige lederradius. Fluksforslyngningen fra en leder er gitt ved: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 6

42 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger µ ψ 0 ytre D r ln π r' D er mye større enn lederradiusen og vi kan derfor sette (6-) µ ψ 0 ytre ln----- D π r' (6-) på samme måte får vi mellom lederne fluksbidrag fra den andre lederen gitt av: µ ψ 0 ytre D ln----- π r' De totale fluksforslyngningen er da gitt ved: (6-3) ψ ytre + ψ ytre µ 0 µ 0 µ ln D ln D ln π r' π r' π D r' r' (6-4) L µ 0 D ln ln D π r' r' r' r' Dersom radiusene for lederne er like får vi: (6-5) L ln D r' - (6-6) Induktans i et system med mange parallelle ledere Vil også her anta at summen av strømmene i lederne er null: 0 N i i i (6-7) 6

43 Seksjon 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer Figur 6 39: Gruppe av ledere med sum strøm 0 n D np P Når vi har mange ledere defineres for enkelhets skyld et felles returpunkt, P. Dette punktet ligger langt bort så vi kan i alle sammenhenger neglisjere flusen som er utenfor punktet. I P blir også summene av strømmen lik null. D P 3 D 3P D P Fluksforslyngningene som leder selv setter opp blir: ψ 0 7 I ln D P r' (6-8) Når vi skal bestemme hvilken kopling vi har fra leder, så må integrere flukstettheten fra xd til xd P. De fluksforslyngningene vil gå gjennom sløyfen som punkt og P definerer, og er gitt ved Figur 6 40: ψ P P D P µ ψ 0 P πx I dx µ 0 I D P π ln 0 7 I ln D P D Generelt får vi da at fluksforslyngningene mellom leder og P: D D (6-9) D ψ P n ψ Pi 0 7 i I D D ln P I P D + r' ln I np D n ln D n (6-0) dette uttrykket kan skrives om til: ψ P 0 7 I ln I ln I n ln - r' D D n + ved å bruke at I n 0 7 ( I lnd P + I ln D P + + I n lnd np ) I I I n (6-) kan ligningens siste del omskrives til: 0 7 I D D ln P I P D + ln I n P n ln D np D np D np (6-) der hvert av leddene går mot null når P går mot uendelig. Teller og nevner i brøkene blir da mer og mer like slik at brøkene går mot. Lign (6-) kan da omskrives til: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 63

44 Kapittel 6 TIDSVARIERENDE MAGNETISKE FELTER - induserte strømmer og spenninger ψ P 0 7 I ln I r' ln I D n ln - D n (6-3) At summen av strømmen er lik null brukes også for å omskrive overstående uttrykk til: ψ P 0 7 I D D ln n I n D + r' ln I n D n ln D n Generelt kan vi altså nå skrive for leder i (6-4) ψ i 0 7 I ln I i r' j ln i D ij j i (6-5) Figur 6 4: Trefase overføring med symmetrisk oppheng R Induktanser i et symmetrisk trefasesystem Skal her kun studere enkle symmetriske oppheng. I første omgangs skal vi analysere opphenget som vist i fig.6 4. D D Dersom vi bruker (6-5) direkte får vi for fase R T D S ψ R 0 7 I R ln I S ln - + I T ln - r' R D D (6-6) trekker vi igjen inn det faktum at summen av strømmene er lik null får vi: ψ R 0 7 I R ln r' R I R ln - D (6-7) og induktansen for leder R blir: L R 0 7 I ln D R r' R (6-8) Dette blir likedan for alle fasene Induktanser i et symmetrisk trefasesystem Trefaseoppheng er som oftest ikke symmetriske. For fremdeles oppnå symmetriske data for linjen revoveres trådene, slik at hver tråd i gjennomsnitt har vært i samme posisjon like lenge. I praksis skjer slik revolvering ved at lederne bytter posisjon i det de passerer en stolpe, se fig

45 Seksjon 6.8 Induktive parametre for luftledninger og linjer Figur 6 4: Revolvering av trefase overføringslinje I prinsippet er det tre posisjoner en leder kan ha i et slikt oppheng. Hver leder ligger i denne posisjonen i en tredjedel av linjens lengde. I posisjon får fase R følgende fluksforslyngninger ψ R 0 7 I ln - + I R r' S ln I R D T ln D 3 (6-9) I posisjon og 3 får R et annet sett av fluksforslyngninger: ψ R 0 7 I ln - + I R r' S ln I R D T ln D ψ R I ln - + I R r' S ln I R D T ln D 3 (6-30) (6-3) De gjennomsnittlige fluksforslyngningene over hele linje blir da for fase R ψ ψ + R ψ + R ψ R3 R (6-3) Dersom vi igjen benytter det faktum at summen av strømmene er null får vi for fluksforslyngningene: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 65

Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer. Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L

Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer. Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L Forelesning nr.7 IN 1080 Elektroniske systemer Spoler og induksjon Praktiske anvendelser Nøyaktigere modeller for R, C og L Dagens temaer Induksjon og spoler RL-kretser og anvendelser Fysiske versus ideelle

Detaljer

Laboratorieoppgave 8: Induksjon

Laboratorieoppgave 8: Induksjon NTNU i Gjøvik Elektro Laboratorieoppgave 8: Induksjon Hensikt med oppgaven: Å forstå magnetisk induksjon og prinsipp for transformator Å forstå prinsippene for produksjon av elektrisk effekt fra en elektrisk

Detaljer

Forelesning nr.7 INF 1410. Kondensatorer og spoler

Forelesning nr.7 INF 1410. Kondensatorer og spoler Forelesning nr.7 IF 4 Kondensatorer og spoler Oversikt dagens temaer Funksjonell virkemåte til kondensatorer og spoler Konstruksjon Modeller og fysisk virkemåte for kondensatorer og spoler Analyse av kretser

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl K. Rottmann: Matematisk formelsamling (eller tilsvarende).

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl K. Rottmann: Matematisk formelsamling (eller tilsvarende). NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 17. desember

Detaljer

INF L4: Utfordringer ved RF kretsdesign

INF L4: Utfordringer ved RF kretsdesign INF 5490 L4: Utfordringer ved RF kretsdesign 1 Kjøreplan INF5490 L1: Introduksjon. MEMS i RF L2: Fremstilling og virkemåte L3: Modellering, design og analyse Dagens forelesning: Noen typiske trekk og utfordringer

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 4. desember

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY003 ELEKTRISITET

Detaljer

Mandag 7. mai. Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT ; YF ; TM ; AF ; LHL 24.1; DJG 7.

Mandag 7. mai. Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT ; YF ; TM ; AF ; LHL 24.1; DJG 7. Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke19 Mandag 7. mai Elektromagnetisk induksjon (fortsatt) [FGT 30.1-30.6; YF 29.1-29.5; TM 28.2-28.3; AF 27.1-27.3; LHL 24.1;

Detaljer

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene.

a) Bruk en passende Gaussflate og bestem feltstyrken E i rommet mellom de 2 kuleskallene. Oppgave 1 Bestem løsningen av differensialligningen Oppgave 2 dy dx + y = e x, y(1) = 1 e Du skal beregne en kulekondensator som består av 2 kuleskall av metall med samme sentrum. Det indre skallet har

Detaljer

Bølgeledere. Figur 1: Eksempler på bølgeledere. (a) parallell to-leder (b) koaksial (c) hul rektangulær (d) hul sirkulær (e) hul, generell form

Bølgeledere. Figur 1: Eksempler på bølgeledere. (a) parallell to-leder (b) koaksial (c) hul rektangulær (d) hul sirkulær (e) hul, generell form Bølgeledere Vi skal se hvordan elektromagnetiske bølger forplanter seg gjennom såkalte bølgeledere. Eksempel på bølgeledere vi kjenner fra tidligere som transportrerer elektromagnetiske bølger er fiberoptiske

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PRØVE 2 I FYS135 - ELEKTRO- MAGNETISME, 2004.

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PRØVE 2 I FYS135 - ELEKTRO- MAGNETISME, 2004. NOGES LANDBUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi LØSNING TIL PØVE 2 I FYS3 - ELEKTO- MAGNETISME, 2004. Dato: 20. oktober 2004. Prøvens varighet: 08:4-09:4 ( time) Informasjon: Alle

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: 26. september 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne

Detaljer

Kapittel 5 MAGNETOSTATISKE FEL- TER

Kapittel 5 MAGNETOSTATISKE FEL- TER MAGNETOSTATISKE FEL- TER At et magnetisk feltproblem er statisk tilsier at eventuell tidsvariasjon er liten nok til at den ikke får betydning for løsningen. Det forutsetter da at eventuelle forskyvningstrømmer

Detaljer

7.1 RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR TILKOPLET ENKELTVIS 7.1 RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR TILKOPLET VEKSELSTRØM ENKELTVIS

7.1 RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR TILKOPLET ENKELTVIS 7.1 RESISTANS - SPOLE - KONDENSATOR TILKOPLET VEKSELSTRØM ENKELTVIS 7. ESSTANS - SPOLE - KONDENSATO TLKOPLET ENKELTVS 7. ESSTANS - SPOLE - KONDENSATO TLKOPLET VEKSELSTØM ENKELTVS DEELL ESSTANS TLKOPLET VEKSELSTØM Når en motstandstråd blir brettet i to og de to delene av

Detaljer

Kondensator. Symbol. Lindem 22. jan. 2012

Kondensator. Symbol. Lindem 22. jan. 2012 UKE 5 Kondensatorer, kap. 12, s. 364-382 RC kretser, kap. 13, s. 389-413 Frekvensfilter, kap. 15, s. 462-500 og kap. 16, s. 510-528 Spoler, kap. 10, s. 289-304 1 Kondensator Lindem 22. jan. 2012 Kondensator

Detaljer

LABORATORIEØVING 8 3-FASE OG TRANSFORMATOR INTRODUKSJON TIL LABØVINGEN

LABORATORIEØVING 8 3-FASE OG TRANSFORMATOR INTRODUKSJON TIL LABØVINGEN LABORATORIEØVING 8 3-FASE OG TRANSFORMATOR INTRODKSJON TIL LABØVINGEN Begrepet vekselstrøm er en felles betegnelse for strømmer og spenninger med periodisk veksling mellom positive og negative halvperioder.

Detaljer

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm]. Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: FYS- 1002 Elektromagnetisme Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: FYS- 1002 Elektromagnetisme Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154 side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS- 1002 Elektromagnetisme Dato: Tid: Sted: Fredag 31. august 2012 Kl 09:00 13:00 adm. Bygget, rom B154 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 KONTNUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTOMAGNETSME Fredag 11.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 ØSNINGSFOSAG TI EKSAMEN I FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME

Detaljer

grunnlaget for hele elektroteknikken. På litt mer generell form ser den slik ut:

grunnlaget for hele elektroteknikken. På litt mer generell form ser den slik ut: HØGKOLEN AGDER Fakultet for teknologi Elkraftteknikk 1, løsningsforslag øving 4, høst 004 Oppgave 1 Faradays lov er: dλ e dt Den sier at den induserte spenningen i en spole er lik den tidsderiverte av

Detaljer

EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl

EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF 4012 ELEKTROMAGNETISME (SIF 4012 FYSIKK 2) Onsdag 11. desember kl Bokmål

EKSAMEN I FAG SIF 4012 ELEKTROMAGNETISME (SIF 4012 FYSIKK 2) Onsdag 11. desember kl Bokmål Side av 6 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 4 43 39 3 EKSAMEN I FAG SIF 42 ELEKTROMAGNETISME

Detaljer

Forelesning nr.6 INF 1411 Elektroniske systemer. Anvendelser av RC-krester Spoler og RL-kretser

Forelesning nr.6 INF 1411 Elektroniske systemer. Anvendelser av RC-krester Spoler og RL-kretser Forelesning nr.6 INF 1411 Elektroniske systemer Anvendelser av RC-krester Spoler og RL-kretser Dagens temaer Mer om ac-signaler og sinussignaler Filtre Bruk av RC-kretser Induktorer (spoler) Sinusrespons

Detaljer

William Gullvik, Rom E428 Fritz Ove Larsen, Rom F452 Robert Nilssen, Rom E418 miranda.elkraft.ntnu.no/~kvitass SIE1040/

William Gullvik, Rom E428 Fritz Ove Larsen, Rom F452 Robert Nilssen, Rom E418 miranda.elkraft.ntnu.no/~kvitass SIE1040/ 4 INDUSERTE STRØMMER Denne casen skulle gi innblikk i fenomenet skin effekt i strømskinner og andre ledere. Samt et innblikk i hvordan man kan kombinere MATLA og FEMLA. LØSNINGS FORSLAG CASE 4 Utarbeidet

Detaljer

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. Kap29 17.03.2015

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. Kap29 17.03.2015 Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder B/ t = 0 Hvilke er rett, a,b,c eller d? Elektrodynamikk: Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30:

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME TFY4155

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Tirsdag 27. mai 2008 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Tirsdag 27. mai 2008 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: Prøveeksamen 2017 Oppgavesettet er på 9 sider Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Formelark

Detaljer

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 29. mai 2017

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 29. mai 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektroniske systemer Side 1 av 6 Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 29. mai 2017 Oppgave 1 a) Start med å tegne figur! Tegn inn en Gauss-flate

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Fys-1002 Elektromagnetisme. Adm.bygget B154 Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling

EKSAMENSOPPGAVE. Fys-1002 Elektromagnetisme. Adm.bygget B154 Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Elektromagnetisme Dato: Onsdag 26. september 2018 Klokkeslett: Kl. 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget B154 Kalkulator

Detaljer

Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk

Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Side 1 av 10 Bokmål Institutt for fysikk Kontinuasjonseksamensoppgave i TFY4120 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ragnvald Mathiesen Tlf.: 97692132 Eksamensdato: 13.08.2014 Eksamenstid (fra-til): 09:00-13:00

Detaljer

Forelesning nr.8 INF 1410

Forelesning nr.8 INF 1410 Forelesning nr.8 INF 4 C og kretser 2.3. INF 4 Oversikt dagens temaer inearitet Opampkretser i C- og -kretser med kondensatorer Naturlig respons for - og C-kretser Eksponensiell respons 2.3. INF 4 2 Node

Detaljer

En ideell resistans som tilkoples en vekselspenning utvikler arbeid i form av varme.

En ideell resistans som tilkoples en vekselspenning utvikler arbeid i form av varme. 7. EFFEK YER OG ARBED VEKSELSRØM 1 7. EFFEK YER OG ARBED VEKSELSRØM AKV EFFEK OG ARBED EN DEELL RESSANS En ideell resistans som tilkoples en vekselspenning utvikler arbeid i form av varme. Det er bare

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTOMAGNETISME

Detaljer

Øving 13. Induksjon. Forskyvningsstrøm. Vekselstrømskretser.

Øving 13. Induksjon. Forskyvningsstrøm. Vekselstrømskretser. Inst for fysikk 2017 FY1003 Elektr & magnetisme Øving 13 Induksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser Denne siste øvingen innholder ganske mye, for å få dekket opp siste del av pensum Den godkjennes

Detaljer

41307 Kraftelektroniske motordrifter Løsningsforslag Kapittel 4 Roterende elektriske maskiner

41307 Kraftelektroniske motordrifter Løsningsforslag Kapittel 4 Roterende elektriske maskiner 47 Kraftelektroniske motordrifter Løsningsforslag Kapittel 4 Roterende elektriske maskiner OPPGAVE. Den magnetiske ekvivalenten for den roterande maskina i figur. på oppgåve arket, er vist på figuren under.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVESITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: 29. November 2016 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 3 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne Rottmann: Matematisk Formelsamling A.T. Surenovna: Norsk russisk ordbok

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne Rottmann: Matematisk Formelsamling A.T. Surenovna: Norsk russisk ordbok EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1002 Dato: Fredag 12.juni 2015 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne Rottmann: Matematisk Formelsamling A.T. Surenovna:

Detaljer

Statiske magnetfelt. Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 19. mars 2012

Statiske magnetfelt. Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 19. mars 2012 Statiske magnetfelt Thomas Grønli og Lars A. Kristiansen Institutt for fysikk, NTNU, N-79 Trondheim, Norge 9. mars Sammendrag I dette eksperimentet målte vi med en aksial halleffektprobe de statiske magnetfeltene

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, Aud.max. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

EKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, Aud.max. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Dato: 30. september 2016 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, Aud.max ü Kalkulator med tomt dataminne

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017

Fysikkolympiaden Norsk finale 2017 Norsk fysikklærerforening Fysikkolympiaden Norsk finale 7 Fredag. mars kl. 8. til. Hjelpemidler: abell/formelsamling, lommeregner og utdelt formelark Oppgavesettet består av 6 oppgaver på sider Lykke til!

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Løsningsforslag til eksamen i FYS35, ELEKTROMAGNETISME, høst 004. (med forbehold om feil) Oppgave a) Dersom vi hadde hatt magnetiske

Detaljer

EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl

EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 30. mai 2006 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I TFY4155 EEKTROMAGNETISME

Detaljer

Jordelektroder utforming og egenskaper

Jordelektroder utforming og egenskaper Jordelektroder utforming og egenskaper Anngjerd Pleym 1 Innhold Overgangsmotstand for en elektrode Jordsmonn, jordresistivitet Ulike elektrodetyper, egenskaper Vertikal Horisontal Fundamentjording Ringjord

Detaljer

Øving 15. H j B j M j

Øving 15. H j B j M j Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007 Veiledning: Uke 17 Innleveringsfrist: Mandag 30. april Øving 15 Oppgave 1 H j j M j H 0 0 M 0 I En sylinderformet jernstav

Detaljer

Løsningsforslag til øving 14

Løsningsforslag til øving 14 Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY13 Elektromagnetisme Vår 29 Løsningsforslag til øving 14 Oppgave 1 Den påtrykte strømmen I genererer et H-felt H ni på langs overalt inne i spolen (pga Amperes lov

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTISITET OG

Detaljer

Løsningsskisse EKSAMEN i FYSIKK, 30. mai 2006

Løsningsskisse EKSAMEN i FYSIKK, 30. mai 2006 Løsningsskisse EKSAMEN i FYSIKK, 30. mai 2006 Oppgave 1. Flervalgsspørsmål Fasit 1. C 2. D 3. D 4. B 5. C 6. E 7. E 8. B 9. E 10. D 11. B 12. D Løsningsforslag Oppgave 2 a) Reversibel prosess: En prosess

Detaljer

3. Hvilken av Maxwells ligninger beskriver hvordan en leder som fører en jevn strøm genererer et magnetisk felt?

3. Hvilken av Maxwells ligninger beskriver hvordan en leder som fører en jevn strøm genererer et magnetisk felt? Flervalgsoppgaver 1. En stavmagnet slippes gjennom ei strømsløyfe som vist i venstre del av figuren under. Pilene i sløyfa viser valgt positiv strømretning. Husk at magnetiske feltlinjer går ut fra nordpol

Detaljer

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004

Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004 Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004 Oppgae 1 a) Speilladningsmetoden gir at potensialet for z > 0 er summen a potensialet pga ladningen Q i posisjon z = h og potensialet pga en speillanding

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME Eksamensdag: 10. desember 2004 Tid for eksamen: Kl. 09:00-12:30 (3,5 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. E = - dφ B /dt, der Φ B = B da. Kap29

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. E = - dφ B /dt, der Φ B = B da. Kap29 Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder B/ t = 0 Hvilke er rett, a,b,c eller d? Elektrodynamikk: Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30:

Detaljer

Sammendrag, uke 13 (30. mars)

Sammendrag, uke 13 (30. mars) nstitutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005 Sammendrag, uke 13 (30. mars) Likestrømkretser [FGT 27; YF 26; TM 25; AF 24.7; LHL 22] Eksempel: lommelykt + a d b c + m Spenningskilde

Detaljer

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. Kap29

Faradays lov: Flere muligheter for induksjon: Magnetisme. Kap29 Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder B/ t = 0 Hvilke er rett, a,b,c eller d? Elektrodynamikk: Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30:

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE SIE 4010 ELEKTROMAGNETISME

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE SIE 4010 ELEKTROMAGNETISME NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Side 1 av 6 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016 Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 13/6 2016 Oppgave 1 a) Sola skinner både på snøen og på treet. Men snøen er hvit og reflekterer det meste av sollyset. Derfor varmes den ikke så mye opp. Treet er

Detaljer

1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?

1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven? Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per

Detaljer

Magnetisme. Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder

Magnetisme. Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder Magnetisme Magnetostatikk (ingen tidsvariasjon): Kap 27. Magnetiske krefter Kap 28: Magnetiske kilder B/ t = 0 Elektrodynamikk (tidsvariasjon): Kap 29: Elektromagnetisk induksjon Kap 30: Induktans Kap

Detaljer

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 7 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Institutt for fysikk, Realfagbygget Professor Catharina Davies 73593688 BOKMÅL EKSAMEN I EMNE

Detaljer

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl

Mandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to

Detaljer

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014

FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han

Detaljer

Forelesning nr.12 INF 1410

Forelesning nr.12 INF 1410 Forelesning nr.12 INF 1410 Komplekse frekvenser analyse i frekvensdomenet 20.04. INF 1410 1 Oversikt dagens temaer Intro Komplekse tall Komplekse signaler Analyse i frekvensdomenet 20.04. INF 1410 2 Intro

Detaljer

Oppfinnelsens område. Bakgrunn for oppfinnelsen

Oppfinnelsens område. Bakgrunn for oppfinnelsen 1 Oppfinnelsens område Oppfinnelsen vedrører smelting av metall i en metallsmelteovn for støping. Oppfinnelsen er nyttig ved smelting av flere metaller og er særlig nyttig ved smelting av aluminium. Bakgrunn

Detaljer

Forelesning nr.5 IN 1080 Mekatronikk. RC-kretser

Forelesning nr.5 IN 1080 Mekatronikk. RC-kretser Forelesning nr.5 IN 080 Mekatronikk R-kretser Dagens temaer Ulike typer impedans og konduktans Kondensatorer i serie og parallell Ulike typer respons R-kretser Impedans og fasevinkler Serielle R-kretser

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015

Løsningsforslag til eksamen i FYS1000, 14/8 2015 Løsningsforslag til eksamen i FYS000, 4/8 205 Oppgave a) For den første: t = 4 km 0 km/t For den andre: t 2 = = 0.4 t. 2 km 5 km/t + 2 km 5 km/t Den første kommer fortest fram. = 0.53 t. b) Dette er en

Detaljer

KONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME

KONTIUNASJONSEKSAMEN I EMNE TFE 4120 ELEKTROMAGNETISME NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet ide 1 av 7 Fakultet for informatikk, matematikk og elektroteknikk Institutt for fysikalsk elektronikk Bokmål/Nynorsk Faglig/fagleg kontakt under eksamen:

Detaljer

Onsdag og fredag

Onsdag og fredag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 7 Onsdag 11.02.09 og fredag 13.02.09 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Gauss

Detaljer

Mandag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke12

Mandag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke12 nstitutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke12 Mandag 19.03.07 Likestrømkretser [FGT 27; YF 26; TM 25; AF 24.7; LHL 22] Eksempel: lommelykt + a d b c + m Likespenningskilde

Detaljer

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer. RC-kretser

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer. RC-kretser Forelesning nr.5 INF 4 Elektroniske systemer R-kretser Dagens temaer Ulike typer respons Ulike typer impedans og konduktans Kondensatorer i serie og parallell Bruk av kondensator R-kretser Impedans og

Detaljer

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl

EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTISITET OG MAGNETISME I TFY4155

Detaljer

Elektronikk. Elektromagnetiske effekter. Elektronikk Knut Harald Nygaard 1

Elektronikk. Elektromagnetiske effekter. Elektronikk Knut Harald Nygaard 1 Elektronikk Elektromagnetiske effekter Elektronikk Knut Harald Nygaard 1 Parasittiske effekter Oppførselen til mange elektroniske kretser kan påvirkes av elektriske og elektromagnetiske effekter som kan

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag

Fysikkolympiaden Norsk finale 2018 Løsningsforslag Fysikkolympiaden Norsk finale 018 øsningsforslag Oppgave 1 Det virker tre krefter: Tyngden G = mg, normalkrafta fra veggen, som må være sentripetalkrafta N = mv /R og friksjonskrafta F oppover parallelt

Detaljer

Oppgave 4 : FYS linjespesifikk del

Oppgave 4 : FYS linjespesifikk del Oppgave 4 : FYS 10 - linjespesifikk del Fysiske konstanter og definisjoner: Vakuumpermittiviteten: = 8,854 10 1 C /Nm a) Hva er det elektriske potensialet i sentrum av kvadratet (punktet P)? Anta at q

Detaljer

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer. RC-kretser

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer. RC-kretser Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer R-kretser Dagens temaer Ulike typer impedans og konduktans Kondensatorer i serie og parallell Bruk av kondensator R-kretser Impedans og fasevinkler Serielle

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Øving 11. Veiledning: 9. - 13. november.

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2015. Øving 11. Veiledning: 9. - 13. november. TFY0 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 05. Øving. Veiledning: 9. -. november. Opplysninger: Noe av dette kan du få bruk for: /πε 0 = 9 0 9 Nm /, e =.6 0 9, m e = 9. 0 kg, m p =.67 0 7 kg, g =

Detaljer

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120

Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Oppsummering om kretser med R, L og C FYS1120 Likestrømskretser med motstander Strøm og spenning er alltid i fase. Ohms lov: V = RI Effekt er gitt ved: P = VI = RI 2 = V 2 /R Kirchoffs lover: Summen av

Detaljer

b) Vi legger en uendelig lang, rett stav langs y-aksen. Staven har linjeladningen λ = [C/m].

b) Vi legger en uendelig lang, rett stav langs y-aksen. Staven har linjeladningen λ = [C/m]. Oppgave 1 a) Punktladningen q 1 = 1.0 10 9 [C] ligger fast i punktet (2.0, 0, 0) [m]. Punktladningen q 2 = 4.0 10 9 [C] ligger i punktet ( 1.0, 0, 0) [m]. I) Finnes det punkt(er) i rommet med elektrisk

Detaljer

Onsdag og fredag

Onsdag og fredag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromagnetisme Vår 2009, uke17 Onsdag 22.04.09 og fredag 24.04.09 Energi i magnetfelt [FGT 32.2, 32.3; YF 30.3; TM 28.7; AF 26.8, 27.11; LHL 25.3; DJG 7.2.4]

Detaljer

Tirsdag 15. april. et stykke materie er bygd opp av atomer, dvs av atomære magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment j = 1...n. m j. m

Tirsdag 15. april. et stykke materie er bygd opp av atomer, dvs av atomære magnetiske dipoler med magnetisk dipolmoment j = 1...n. m j. m Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 16 Tirsdag 15. april agnetisme [FGT 31.1-31.4; YF 28.8; T 27.5; AF 26.3; LHL 26.1-26.5; DJG 6.4] Atomer er små magnetiske

Detaljer

Elektrisitetslære TELE1002-A 13H HiST-AFT-EDT

Elektrisitetslære TELE1002-A 13H HiST-AFT-EDT Elektrisitetslære TEE100-13H HiST-FT-EDT Øving 3; løysing Oppgave 1 Figuren under viser et likestrømsnettverk med resistanser og ideelle spenningskilder. Her er: 4,50 Ω ; 3,75 Ω ; 3 5,00 Ω ; 4 6,00 Ω ;

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. 7 (6 sider med oppgaver + 1 side med formler)

EKSAMENSOPPGAVE. 7 (6 sider med oppgaver + 1 side med formler) Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 (elektromagnetisme) Dato: 9. juni 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

Kap. 22. Gauss lov. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov. Elektrisk ledere. Integralform og differensialform

Kap. 22. Gauss lov. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov. Elektrisk ledere. Integralform og differensialform Kap. 22. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. E-felt fra Coulombs lov: E k q r 2 r E k n q r n 2 0n r 0n dq E k r 2 r tot.

Detaljer

Den franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov.

Den franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov. 4.5 KREFTER I ET ELEKTRISK FELT ELEKTRISK FELT - COLOMBS LOV Den franske fysikeren Charles de Columb er opphavet til Colombs lov. Kraften mellom to punktladninger er proporsjonal med produktet av kulenes

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling.

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling. EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: Mandag 4. juni, 2018 Klokkeslett: 9:00 13:00 Sted: ADM B154 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling. Eksamenoppgaven

Detaljer

Tolkning av måledata betinger kunnskap om egenskaper ved elektriske apparater. en kort innføring i disse for enkelte utbredte apparater

Tolkning av måledata betinger kunnskap om egenskaper ved elektriske apparater. en kort innføring i disse for enkelte utbredte apparater Tolkning av måledata betinger kunnskap om egenskaper ved elektriske apparater en kort innføring i disse for enkelte utbredte apparater Helge Seljeseth helge.seljeseth@sintef.no www.energy.sintef.no 1 Typer

Detaljer

Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering

Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering Hans Fredrik Nordhaug Matematisk institutt Faglig-pedagogisk dag, 01.02.2000. Oversikt 1 Oversikt Introduksjon. Hva er

Detaljer

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.5 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesning nr.5 INF 4 Elektroniske systemer R-kretser Dagens temaer Ulike Kondensatorer typer impedans og konduktans i serie og parallell Bruk R-kretser av kondensator Temaene Impedans og fasevinkler

Detaljer

Elektrisk immittans. Ørjan G. Martinsen 13.11.2006

Elektrisk immittans. Ørjan G. Martinsen 13.11.2006 Elektrisk immittans Ørjan G. Martinsen 3..6 Ved analyse av likestrømskretser har vi tidligere lært at hvis vi har to eller flere motstander koblet i serie, så finner vi den totale resistansen ved følgende

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Onsdag og fredag

Onsdag og fredag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 13 Onsdag 25.03.09 og fredag 27.03.09 Amperes lov [FGT 30.1, 30.3; YF 28.6, 28.7; AF 26.2; H 23.6; G 5.3] B dl = µ 0

Detaljer

Onsdag isolator => I=0

Onsdag isolator => I=0 Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 13 Onsdag 26.03.08 RC-kretser [FGT 27.5; YF 26.4; TM 25.6; AF Note 25.1; LHL 22.4; DJG Problem 7.2] Rommet mellom de

Detaljer