1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 1T kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 7.1 Vi vet t kokepunktet til vnn er 100 C (ve hvoverflten). Derfor vet vi på forhån t vnnet til Anres ikke vil koke ve re 50 C. The vil ikke vite på forhån resulttet v å kste en tikrone. Trekningen v lotteriet er tilfelig. Sr kn erfor ikke vite om hun kommer til å vinne. Innelingen i lg er eterministisk. Eivin kn erfor på forhån eregne (eller telle selv) hvilket lg hn kommer på (hn kommer på lg 1). Oppgve , Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,514. Vi hr regnet en reltive frekvensen utfr et velig stort ntll rn. D kn vi regne me t snnsynligheten er lik en reltive frekvensen. Snnsynligheten for t et nyføt rn er en gutt, er ltså 0,514 51,4 %. Oppgve 7.4 Snnsynligheten for å få mynt er 50 %. D er også snnsynligheten for å få krone 50 %. Det er ltså like snnsynlig å få krone som mynt. Påstnen er riktig. e Hvis u hr fått mynt i minre enn 50 % v e 95 første kstene, påvirker ikke et ntll mynt u vil få i e neste fem kstene. Påstnen er gl. Det er 50 % snnsynlig t vi får mynt og krone i hvert kst. Etter mnge kst vil vi erfor forvente å få omtrent like mnge mynt og krone. Påstnen er riktig. At snnsynligheten for å få mynt er 50 %, etyr t u vil få mynt i omtrent 50 % v kstene når u kster en tikrone mnge gnger. Det etyr ikke t u vil få mynt i nøyktig 50 % v kstene. Påstnen er gl. Snnsynligheten for å få mynt er lik en reltive frekvensen etter velig mnge kst. 1 Den reltive frekvensen vil erfor nærme seg 50 % etter mnge kst. Påstnen er riktig. Oppgve 7.6 Totlt le et føt rn i enne perioen ,5140 og 0, Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,5140, og en reltive frekvensen for jenteføsler er 0,4860. De reltive frekvensene stemmer helt nøyktig me t snnsynligheten er 51,4 % for gutt og 48,6 % for jente, kkurt som vi kn forvente når ntllet rn er så høyt. Ashehoug Sie 1 v 40

2 Oppgve 7.7 Vi hr ikke lært å regne ut isse snnsynlighetene ennå (et skl vi gjøre i oppgve 7.5). Men u kn kste to terninger mnge gnger, f.eks. 100 gnger, og telle opp hv u får flest gnger v «sum øyne lik sju» og «minst én ener». Oppgve , Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen er 0, , Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen er 0,0164. Den reltive frekvensen for tvillingføsler hr økt fr 0,0099 til 0,0164. Det er en etyelig økning, og når ntllet føsler vi ser på også er så høyt, tyer et på t snnsynligheten for å få tvillinger hr enret seg. Oppgve 7.9 Antll øyne på terningen er enten 1,, 3, 4, 5 eller 6. U 1,, 3, 4, 5, 6. Utfllsrommet er ltså De seks utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er erfor 1 P(1) P() P(3) P(4) P(5) P(6) 6 Oppgve 7.10 Det er fire mulige utfll i forsøket: røt, lått, gult og grått. U rø, lå, gul, grå. Utfllsrommet er ltså Det røe og et lå feltet ekker 1 3 v lykkehjulet hver. Altså er 1 P(rø) P(lå). 3 Det gule og et grå feltet ekker 1 6 v lykkehjulet. Altså er 1 P(gul) P(grå). 6 Oppgve P(lå eller gul) P(lå) P(gul) P(rø eller grønn) P(rø) P(grønn) P(ikke grå) P(grønn, rø, lå eller gul) P(grønn) P(rø) P(lå) P(gul) Ashehoug Sie v 40

3 Oppgve 7.1 Totlt er et fire utfll: KK, KM, MK og MM. Henelsen B = «nøyktig én krone» estår v utfllene KM og MK. Henelsen B estår v utfllene KK og MM. Henelsen kn ltså uttrykkes som «krone på egge eller mynt på egge». Henelsen B estår v utfllene KM og MK Derfor er P( B) P( KM ) P( MK ) Sien B og B er komplementære henelser, er PB ( ) 1. Oppgve 7.13 Utfllsrommet er e ti tllene på lppene: U 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Alle e ti utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er ltså 1 P(1) P() P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(10) 10 Oppgve 7.14 De mulige utfllene er e seks okstvene på lppene, ltså V, E, G, A, R og D. Alle e seks utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er ltså 1 P(V) P(E) P(G) P(A) P(R) P(D) 6 Det er to vokler lnt e seks utfllene, nemlig E og A. Derme er P(vokl) P(E eller A) P(E) P(A) Det er fire konsonnter: V, G, R og D. Derme er P(konsonnt) P(V, G, R eller D) P(V) P(G) P(R) P(D) Oppgve 7.15 Det er fire mulige utfll: A, B, AB og 0. P(A) 0, 48, P(B) 0,08, P(AB) 0,04 og P(0) 0,40. P(A eller AB) P(A) P(AB) 48 % 4 % 5 % P(ikke 0) P(A, B eller AB) P(A) P(B) P(AB) 48 % 8 % 4 % 60 % e Blogiveren må h lotype A eller lotype 0. P(A eller 0) P(A) P(0) 48 % 40 % 88 % Snnsynligheten er 88 % for t en psient me lotype A kn få overført lo fr en nye logiveren. Ashehoug Sie 3 v 40

4 Oppgve 7.16 Henelsen «minst 5 øyne» estår v utfllene 5 og 6. Henelsen A estår v utfllene 1,, 3 og 4. Henelsen kn ltså uttrykkes som «høyst 4 øyne» P( A) P(5 eller 6) P(5) P(6) Sien A og A er komplementære, er P( A) 1 P( A) Oppgve 7.17 P(oetll) P(1) P(3) 10 % 40 % 50 % P(prtll) P(4) P(6) 40 % 10 % 50 % P(høyst tre) P(1) P(3) 10 % 40 % 50 % P(minst tre) P(3) P(4) P(6) 40 % 40 % 10 % 90 % Oppgve 7.18 Snnsynlighetsmoellen for forsøket er gitt ve oppslutningen til prtiene ve vlget, ltså P(Røt) 1,1 %, P(SV) 4,1 %, P(Ap) 30,8 %, P(Sp) 5,5 %, P(KrF) 5,6 %, P(V) 5, %, P(H) 6,8 %, P(FrP) 16,3 %, P(MDG),8 % og P(Anre) 1,8 %. 1 P(orgerlig) P(KrF, V, H eller FrP) P(KrF) P(V) P(H) P(FrP) 5,6 % 5, % 6,8 % 16,3 % 53,9 % P(ikke orgerlig) 1 P(orgerlig) 100 % 53,9 % 46,1 % 3 P(røgrønt) P(SV, Ap eller Sp) P(SV) P(Ap) P(Sp) 4,1 % 30,8 % 5,5 % 40,4 % 4 P(ikke røgrønt) 1 P(røgrønt) 100 % 40,4 % 59,6 % Oppgve 7.19 For hvert v utfllene må snnsynligheten være et tll mellom 0 og 1. Summen v e fire snnsynlighetene skl være lik For lterntiv ser vi t P(1) P() P(3) P(4) 1, For lterntiv er P(3) For lterntiv er P(1) P() P(3) P(4) Det er ltså lterntivene og e som utgjør snnsynlighetsmoeller. Ashehoug Sie 4 v 40

5 Oppgve 7.0 Vi vet t P(1) P() P(3) P(4) 1. Derme er P(4) 1 P(1) P() P(3) P( A) P(1) P() P(3) P( B) P() P(4) P( A) 1 P( A) P( B) 1 P( B) 1 Oppgve Den reltive frekvensen for tvillingføsler er 0, , og 01 en reltive frekvensen for trillingføsler er 0, Den reltive frekvensen for enkeltføsler er 1 0,0108 0,0001 0,9891. En snnsynlighetsmoell for ntll rn ve en føsel er erfor P(enkeltføsel) 98,91 %, P(tvillingføsel) 1,08 % og P(trillingføsel) 0,01 %. Oppgve 7. De gunstige utfllene er 1,, 3 og 4. Det er ltså g 4 gunstige utfll, og m 6 mulige utfll. Derme er g 4 P(høyst 4 øyne) m 6 3 Det er g 4 gunstige utfll, nemlig 3, 4, 5 og 6. Altså er 4 P(minst 3 øyne) 6 3 De gunstige utfllene er 1, 3 og 5. Derme er 3 1 P(oetll) De gunstige utfllene er, 4 og 6. Derme er P(prtll). 6 Ashehoug Sie 5 v 40

6 Oppgve 7.3 Det er elever i klssen. Det er erme 7 mulige utfll i lotrekningen. Det er 15 gutter i klssen. Altså er et 15 gunstige utfll for t en gutt lir trukket ut. Det er 15 gunstige utfll, og 7 mulige utfll. ntll gunstige utfll 15 5 P(gutt) ntll mulige utfll 7 9 Løsninger Snnsynligheten er 5 9 for t en gutt lir trukket ut. Oppgve 7.4 Det er 13 g hjerterkort i kortstokken, og m 5 kort totlt. Derfor er g 13 1 P(hjerter) m 5 4 Det er g 4 ess i kortstokken. Derfor er g 4 1 P(ess) m 5 13 Det er honnørkort i kortstokken. Derfor er 16 4 P(honnør) 5 13 Oppgve Henelsen «sum øyne lik sju» estår v utfllene (1, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) og (6,1). Henelsen «minst én ener» estår v utfllene (1, 6), (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, ), (1,1), (,1), (3,1), (4,1), (5,1) og (6,1). 3 Henelsen «pr» estår v utfllene (1,1), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5) og (6, 6). 1 3 Ashehoug Sie 6 v 40

7 1 Henelsen «sum øyne lik sju» estår v 6 gunstige utfll. Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 6 1 P(sum øyne lik sju) 36 6 Henelsen «minst én ener» estår v 11 gunstige utfll. 11 P(minst én ener) 36 3 Henelsen «pr» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P(pr) 36 6 Oppgve 7.6 Tenk t et er m seigmenn i skål. Det er g 5 seigmenn som er gule. Snnsynligheten for å trekke en gul seigmnn er 5 % 0,5. Det gir g P(gul) m 5 0,5 m 5 m 0,5 m 0 Det er 0 seigmenn i skål. Oppgve 7.7 Det er m 8 mulige utfll. Henelsen «tre krone» svrer til utfllet KKK. Altså er 1 1 P(tre krone) m 8 Henelsen «tre mynt» svrer til utfllet MMM. 1 P(tre mynt) 8 Det er tre utfll som er gunstige for henelsen «to krone og én mynt», nemlig KKM, KMK og MKK. Altså er g 3. Det gir g 3 P(to krone og én mynt) m 8 Ashehoug Sie 7 v 40

8 Oppgve 7.8 Du kn velge mellom tre forskjellige iter når u tr en første iten. Når u skl t en nre iten er et re to iter igjen. Hvis u f.eks. velger sjokoleiten (S) først, er et re krmell (K) og lkris (L) som er igjen. Det er ltså 6 forskjellige måter å velge e to itene på: SK, SL, KS, KL, LS og LK. Se figuren til høyre. Oppgve 7.9 Det er 5 forskjellige måter å velge melemmet på. For hvert v isse vlgene er et 4 forskjellige måter å velge vrmelem. Vi kn ltså velge melem og vrmelem på m måter. Vi kn velge en jente til melem på 15 måter. For hvert v isse vlgene kn vi velge en jente til vrmelem på 14 måter. Vi kn ltså velge en jente åe til melem og vrmelem på g måter. Alle e 600 utfllene er like snnsynlige. Derme er g 10 P(to jenter lir vlgt) 0,35 35 % m 600 Henelsene «minst én gutt lir vlgt» og «to jenter lir vlgt» er komplementære. P(minst én gutt lir vlgt) 1 P(to jenter lir vlgt) 1 0,35 0,65 65 % Snnsynligheten for t minst én gutt lir vlgt er 65 %. Oppgve 7.30 Vi kn trekke en første kul på 5 forskjellige måter. For hvert resultt v første trekning, kn vi trekke en nre kul på 4 forskjellige måter. Vi kn erfor trekke to kuler på m måter. Tilsvrene kn vi trekke to røe kuler på g 3 6 måter. Snnsynligheten for t vi trekker to røe kuler er erme gitt ve g 6 3 P(to røe kuler) m 0 10 Henelsene «minst én lå kule» og «to røe kuler» er komplementære. Derme er 3 7 P(minst én lå kule) 1 P(to røe kuler) Oppgve 7.31 Det er 10 lpper i esken, og erme 10 mulige utfll. Det er 10 mulige utfll, og lle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten er erfor 1 for t Ali får tllet Tllene fr og me 1 til og me 6 er minre enn 7. Det er ltså 6 gunstige utfll. g 6 3 P(minre enn 7) m 10 5 Snnsynligheten er 3 for t Ali får et tll som er minre enn 7. 5 Ashehoug Sie 8 v 40

9 Tllene 8, 9 og 10 er større enn 7. Det er ltså 3 gunstige utfll. Derme er 3 P(større enn 7) 10 Oppgve 7.3 Til smmen er et Non Stop i skål. Seks v em er lå. Derme er 6 1 P(lå) P(rø) P(ikke grønn) P(rø, gul eller lå) P(ikke gul) P(rø, grønn eller lå) Oppgve 7.33 Det er m 5 kort i kortstokken, og lle kortene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P(kløver sju) m 5 Det er g 4 ess i kortstokken. Derfor er Det er kort som ikke er ess. Altså er Det er 13 spr i kortstokken. Altså er g 4 1 P(ess). m P(spr). 5 4 e Det er kort som ikke er spr. Altså er 48 1 P(ikke ess) P(ikke spr). 5 4 Oppgve Ashehoug Sie 9 v 40

10 1 Henelsen «sum ntll øyne lik fem» estår v fire utfll, nemlig (1, 4), (, 3), (3, ) og (4,1). Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 4 1 P(sum ntll øyne lik fem) 36 9 Henelsen «minst én sekser» estår v 11 gunstige utfll. 11 P(minst én sekser) 36 3 Henelsen «sum ntll øyne høyst lik fire» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P(sum ntll øyne høyst lik fire) 36 6 Oppgve 7.35 Knut kn velge mellom to forskjellige ukser og tre forskjellige skjorter. Det totle ntllet utfll i et smmenstte forsøket er erfor m 3 6. Knut kn ltså velge ukse og skjorte på 6 måter. Se figuren til høyre. Alle e 6 utfllene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P( HG) m 6 Det er to utfll som er gunstige for henelsen «smme frge», nemlig BB og HH. Altså er 1 P(smme frge) 6 3 Oppgve 7.36 Det er 5 kort i kortstokken. Vi kn erfor trekke ett kort på 5 måter. Når vi skl trekke et nre kortet, er et 51 kort igjen i kortstokken. Det smmenstte forsøket hr ltså m mulige utfll. Det er 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på g måter. Alle e 65 utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke to spr er erfor g 156 P(to spr) 0,059 5,9 % m 65 Oppgve 7.37 Vi kn trekke e to melemmene v festkomiteen på m forskjellige måter. Blnt isse utfllene kn vi trekke ut to gutter på g forskjellige måter. Snnsynligheten for t egge melemmene v festkomiteen lir gutter er erfor g 40 P(to gutter) 0,317 31,7 % m 756 Henelsene «minst én jente» og «to gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(to gutter) 1 0,317 0,683 68,3 % Ashehoug Sie 10 v 40

11 Oppgve 7.38 Oetllene er 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 og 19. Det er ltså 10 oetll og 0 lpper P(oetll) 0 Det er 10 prtll, nemlig, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18 og P(prtll) 0 Det er 8 primtll som er minre enn eller lik 0, nemlig, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og P(primtll) 0 5 Det er 4 kvrttll som er minre enn eller lik 0, nemlig 1, 4, 9 og P(kvrttll) 0 5 Oppgve 7.39 Tenk t Johnne liker g v twistitene. Totlt er et m 30 twistiter i posen. Snnsynligheten for t Johnne liker en tilfelig vlgt twistit er 1. Det gir 3 g P(liker) m 1 g g 3 g 10 Johnne liker 10 v twistitene i posen. Tenk t et er m twistiter i posen. Sigur liker g 8 v twistitene. Snnsynligheten for t hn liker en tilfelig vlgt twistit er 40 % 0,40. Det gir g P(liker) m 8 0,40 m 8 m 0,40 m 0 Det er 0 twistiter i posen. Løsninger Ashehoug Sie 11 v 40

12 Oppgve 7.40 I hvert v e fire kstene kn vi få enten krone eller mynt. Det er erfor totlt 16 mulige utfll: KKKK, KKKM, KKMK, KKMM, KMKK, KMKM, KMMK, KMMM, MKKK, MKKM, MKMK, MKMM, MMKK, MMKM, MMMK og MMMM. Se vlgtreet. Vi ser v vlgtreet t vi kn få én krone og tre mynt på fire forskjellige måter, nemlig KMMM, MKMM, MMKM og MMMK. Alle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å få én krone og tre mynt er erfor 4 1 P(én krone og tre mynt) 16 4 Vi ser v vlgtreet t vi kn få to krone og to mynt på seks forskjellige måter, nemlig KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK og MMKK. Snnsynligheten for å få to krone og to mynt er erfor 6 3 P(to krone og to mynt) 16 8 Oppgve 7.41 Det er 0 seigmenn i skål. Vi kn erfor trekke to seigmenn på m måter. Hvis seigmennene skl h smme frge, må vi trekke enten to røe eller to gule seigmenn. Vi kn trekke to røe seigmenn på forskjellige måter. Vi kn også trekke to gule seigmenn på forskjellige måter. Derme kn vi trekke to seigmenn me smme frge på g måter. Snnsynligheten for t seigmennene hr smme frge er ltså g 180 P(smme frge) 0, , 4 % m 380 Henelsene «ulik frge» og «smme frge» er komplementære. Derme er P(ulik frge) 1 P(smme frge) 1 0,474 0,56 5,6 % Oppgve 7.4 Kortstokken hr 5 kort. Vi kn erfor trekke to kort på måter. Det er f.eks. 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på måter. Sien et er like mnge kort v hver frge, etyr ette t et også er 156 måter å trekke to kløver, to hjerter eller to ruter. Vi kn ltså trekke to kort i smme frge på måter. Snnsynligheten for å trekke to kort i smme frge er erme 64 P(smme frge) 0, 35 3,5 % 65 Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derme er P(forskjellig frge) 1 P(smme frge) 1 0,35 0,765 76,5 % Ashehoug Sie 1 v 40

13 Oppgve 7.43 For hvert terningkst er et 6 mulige utfll. Det er erfor m mulige utfll når vi kster en terning tre gnger. Det er ett gunstig utfll for henelsen «tre seksere». Alle e mulige utfllene er like snnsynlige. Derme er 1 1 P(tre seksere) 0,0046 0, 46 % m 16 For hvert terningkst er et 5 gunstige utfll for henelsen «ingen seksere». Vi kn ltså få ingen seksere på totlt g forskjellige måter. Derme er g 15 P(ingen seksere) 0,579 57,9 % m 16 Henelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære. Derme er P(minst én sekser) 1 P(ingen seksere) 1 0,579 0,41 4,1 % Oppgve 7.44 Vi kn trekke en første lppen på tre forskjellige måter. For hvert v isse lterntivene kn vi trekke en nre lppen på tre forskjellige måter, og tilsvrene for en treje lppen, osv. Totlt kn vi erfor trekke 1 okstver på 1 m forskjellige måter. Alle e seriene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke én estemt serie er erfor 1 1 0, ,00019 % m Resulttet vi tipper i hver kmp svrer til e tre lppene vi kunne trekke i oppgve. Antll ulike rekker vi kn tippe me 1 kmper er erfor lik ntll ulike serier vi kn trekke me 1 okstver. Det er ikke tilfelig om et lir hjemmeseier, uvgjort eller orteseier i hver v kmpene. Derfor gir ikke svret i oppgve snnsynligheten for å få tolv rette Ashehoug Sie 13 v 40

14 Oppgve 7.45 Roinson Ikke Roinson Totlt Senkvel Ikke Senkvel Totlt Det er tre elever som hr sett egge progrmmene, og 7 elever totlt i klssen. Derme er 3 1 P(egge) 0,111 11,1 % 7 9 Det er 13 elever som ikke hr sett noen v progrmmene. 13 P(ingen) 0, ,1 % 7 e P(minst ett) 1 P(ingen) 1 0,481 0,519 51,9 % Oppgve 7.46 Vi setter først opp en krysstell for å få oversikten. Smfunnsøkonomi Ikke smfunnsøkonomi Totlt Mtemtikk Ikke mtemtikk Totlt Vi ser t et er 5 elever som hr vlgt åe mtemtikk og smfunnsøkonomi. 5 1 P(mtemtikk og smfunnsøkonomi) 0, 0 0 % 5 5 Det er 10 elever som hr vlgt mtemtikk men ikke smfunnsøkonomi, og 3 elever som hr vlgt smfunnsøkonomi men ikke mtemtikk. Det er ltså 13 elever som hr vlgt re ett v fgene. 13 P(nøyktig ett v fgene) 0,5 5 % 5 Det er 15 elever som hr mtemtikk, og 5 elever som hr egge fgene. Derfor er 5 1 P(elev me mtemtikk hr også smfunnsøkonomi) 0,333 33,3 % 15 3 Oppgve 7.47 Henelsen A = «høyst fire øyne» estår v utfllene 1,, 3 og 4. Henelsen B = «minst tre øyne» estår v utfllene 3, 4, 5 og 6. Ashehoug Sie 14 v 40

15 Henelsen A B estår v lle utfllene som er me i åe A og B. A B 3, 4. Altså er Henelsen A B estår v lle utfllene som er me i A eller B (eller egge). A B 1,, 3, 4, 5, 6. Altså er Oppgve 7.48 Henelsen A = «minst én sekser» estår v utfllene (1, 6), (, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6,1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5) og (6, 6). Henelsen B = «sum øyne lik sju» estår v utfllene (1, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) og (6,1). A B estår v utfllene (1, 6) og (6,1). A B estår v utfllene (1, 6), (, 5), (, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (5, ), (5, 6), (6,1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5) og (6, 6). Oppgve 7.49 Se figuren til høyre. Av figuren ser vi t A B estår v utfllene (1, 5), (, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, ) og (5,1). Henelsen A B estår v lle utfll ortsett fr (4, 6), (6, 4) og (6, 6) P( A), P( B), P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) Vi ser t A B estår v 33 gunstige utfll. Altså er Oppgve 7.50 Det er 0 personer som spiller fotll og 0 som spiller hånll P( A B) P(fotll) P(hånll) 90 9 Det er ingen som spiller åe fotll og hånll. Aisjonssetningen gir erme P(fotll eller hånll) P(fotll) P(hånll) 4 0,444 44,4 % Ashehoug Sie 15 v 40

16 Det er 0 personer som løper orientering og 15 som river me friirett. 0 P(orientering) P(friirett) 90 6 P(orientering eller friirett) P(orientering) P(friirett) 1 7 0,389 38,9 % Det er 0 personer som spiller fotll, 0 som spiller hånll og 15 som spiller volleyll. 0 P(fotll) P(hånll) P(volleyll) 90 6 P(llspill) P(fotll) P(hånll) P(volleyll) ,611 61,1 % Oppgve 7.51 Vi får krysstellen: Høyehopp Ikke høyehopp Totlt Løpsøvelser Ikke løpsøvelser Totlt Det er 1 personer som konkurrerer i høyehopp, og 50 personer totlt. 1 P(høyehopp) 0,4 4 % 50 Det er 35 personer som konkurrerer i løpsøvelser. 35 P(løpsøvelser) 0,70 70 % 50 Det er 7 personer som konkurrerer i åe høyehopp og løpsøvelser. 7 P(høyehopp og løpsøvelser) 0,14 14 % 50 e Det er personer som konkurrerer i høyehopp eller løpsøvelser eller egge eler P(høyehopp eller løpsøvelser eller egge eler) 80 % 50 5 Ashehoug Sie 16 v 40

17 Oppgve 7.5 Vi får krysstellen: Senkvel Ikke Senkvel Totlt X Ftor Ikke X Ftor Totlt Det er 57 elever som hr sett X Ftor, og 80 elever totlt. Derme er 57 P(X Ftor) 0,713 71,3 % 80 Det er 35 elever som hr sett Senkvel. 35 P(Senkvel) 0,438 43,8 % 80 Det er 5 elever som hr sett egge progrmmene. 5 P(egge) 0,313 31,3 % 80 e Det er elever som hr sett minst ett v progrmmene. 67 P(minst ett v progrmmene) 0,838 83,8 % 80 f Det er 13 elever som hr sett ingen v progrmmene. 13 P(ingen) 0,163 16,3 % 80 Oppgve Det er 5 kort i kortstokken. 13 v kortene er hjerter. Derme er 13 1 P(hjerter) 5 4 Det er 13 kort som er ruter. Altså er 13 1 P(ruter). 5 4 Et kort kn ikke være åe ruter og hjerter. Henelsene «ruter» og «hjerter» er isjunkte Derfor er P(ruter eller hjerter) P(ruter) P(hjerter). 4 4 Oppgve 7.54 P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0, 0,18 0,03 0,37 Fr isjonssetningen er P( A B) P( A) P( B) P( A B). Derme er P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,45 0,35 0,65 0,15 Ashehoug Sie 17 v 40

18 Oppgve 7.55 Det er 5 kort i kortstokken. Fire v kortene er konge. Derme er 4 1 P(konge) 5 13 Det er 6 svrte kort i kortstokken (13 kløver og 13 spr). Altså er 6 1 P(svrt) 5 Det er ett kort som er kløver konge og ett kort som er spr konge. Derme er 1 P(svrt konge) 5 6 Fr isjonssetningen får vi P(svrt eller konge) P(svrt) P(konge) P(svrt konge) Oppgve 7.56 Vi lger en krysstell for å få oversikten. e f Ktt Ikke ktt Totlt Hun 8 10 Ikke hun Totlt P(verken hun eller ktt) 0,36 36 % 5 P(hun og ktt) 0,08 8 % 5 6 P(ktt, men ikke hun) 0, 4 4 % 5 8 P(hun, men ikke ktt) 0,3 3 % 5 Det er 10 elever som hr hun, og elever som hr åe hun og ktt. P(elev me hun hr også ktt) 0, 0 0 % 10 Det er 8 elever som hr ktt, og elever som hr åe hun og ktt. P(elev me ktt hr også hun) 0, 5 5 % 8 Ashehoug Sie 18 v 40

19 Oppgve 7.57 I ette tilfellet kjenner vi ikke ntllet iler, men vi kjenner prosentnelen me feil. Vi setter erfor opp en krysstell me prosenttll, er et totle ntllet er 100 %. Feil me remsene Bremsene i oren Totlt Feil me lysene 4 % 14 % 18 % Lysene i oren 8 % 74 % 8 % Totlt 1 % 88 % 100 % Løsninger Av krysstellen ser vi t 8 % v ilene he lysene i oren. Sien vi velger én ilfører tilfelig, er et også snnsynligheten for t ilføreren he lys som vr i oren. 88 % v ilene he remsene i oren. Det også snnsynligheten for t en tilfelig vlgt ilfører he remser som vr i oren. 4 % v ilene he verken lys eller remser i oren. Derfor er snnsynligheten 4 % for t en tilfelig vlgt ilfører verken he lys eller remser i oren. 8 % v ilene he lys, men ikke remser i oren. Det også snnsynligheten for t en tilfelig vlgt ilfører he lys, men ikke remser si oren. Oppgve 7.58 Henelsen «minst én feil» er et smme som «A eller B» (eller egge). Fr isjonssetningen får vi erme P(minst én feil) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,030 0,010 0,00 0,038 3,8 % Snnsynligheten er 3,8 % for t et TV-pprt hr minst én v e to feilene. Henelsene «minst én feil» og «ingen feil» er komplementære. Altså er P(ingen feil) 1 P(minst én feil) 1 0,038 0,96 96, % Oppgve 7.59 Ant t et er x elever i klssen. Av em hr 10 hr vlgt kjemi (K) og 0 mtemtikk (M). Derfor er PK ( ) 10 og x PM ( ) 0. x Det er 5 elever som hr vlgt ingen v e to fgene. Det følger t er et x 5 elever som hr vlgt minst ett v em Derfor er x 5 P( K M ) x Snnsynligheten er 5 % for t en elev hr vlgt åe kjemi og mtemtikk. Derfor er P( K M) 0,5. Ashehoug Sie 19 v 40

20 Aisjonssetningen gir nå en likning for x : P( K M ) P( K) P( M ) P( K M ) x ,5 x x x x , 5x 1, 5x 35 x 8 Det er 8 elever i klssen. Oppgve 7.60 For t vi skl kunne legge smmen snnsynlighetene for regn hver v gene, må e to henelsene «regn på lørg» og «regn på søng» være isjunkte. Men et er e ikke. Det kn nemlig regne egge gene. Vi må erfor ruke en generelle isjonssetningen i steet. Snnsynligheten for t et vil regne i løpet v helgen er erme minre enn 60 %. Oppgve 7.61 Sien vi legger en første kul tilke, er trekningen v e to kulene uvhengige henelser. Det er tre røe kuler, og fem kuler totlt. Det gir 3 P(første kule rø) P(nre kule rø) Derme er P(egge kulene er røe) P(første kule rø) P(nre kule rø) P(egge kulene er lå) P(første kule lå) P(nre kule lå) P(første rø og nre lå) P(første kule rø) P(nre kule lå) Oppgve 7.6 Vi kn nt t kjønnet til e to rn er uvhengige. Prouktsetningen gir P(egge gutter) P(elste gutt) P(yngste gutt) 0,514 0,514 0,64 6,4 % Snnsynligheten er 6,4 % for t ektepret hr to gutter. P(elste gutt og yngste jente) P(elste gutt) P(yngste jente) 0,514 0, 486 0, 50 5,0 % P(elste jente og yngste gutt) P(elste jente) P(yngste gutt) 0, 486 0,514 0, 50 5,0 % Ashehoug Sie 0 v 40

21 Oppgve 7.63 Det røe feltet ekker 1 3 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et røe feltet er erfor 1 3. Sien to trekningene me lykkehjulet er uvhengige, gir prouktsetningen t P(røt egge gngene) P(røt første gng) P(røt nre gng) Det gule feltet ekker 1 6 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et gule feltet er erfor 1 6. Derme er P(røt og så gult) P(røt første gng) P(gult nre gng) Oppgve 7.64 Vi kn nt t kjønnet til e tre rn er uvhengige. D er 3 P(lle er jenter) 0,486 0,486 0,486 0,486 0,115 11,5 % Snnsynligheten er 11,5 % for t lle e tre rn er jenter. Henelsene «lle er jenter» og «minst én gutt» er komplementære. Derfor er P(minst én gutt) 1 P(lle er jenter) 1 0,115 0,885 88,5 % Snnsynligheten er 88,5 % for t minst ett v rn er en gutt. P(gutt, jente, jente) 0,514 0, 486 0, 486 0,514 0, 486 0,11 1,1 % P(jente, jente, gutt) 0, 486 0, 486 0,514 0,514 0, 486 0,11 1,1 % Oppgve 7.65 For hver v guttene er snnsynligheten 9 % for t hn ikke er røgrønn frgelin. Snnsynligheten for t ingen v e 1 guttene er røgrønn frgelin er erfor 1 P(ingen frgelin) 0,9 0,368 36,8 % Henelsene «minst én frgelin» og «ingen frgelin» er komplementære. P(minst én frgelin) 1 P(ingen frgelin) 1 0,368 0,63 63, % Røgrønn frgelinhet er rvelig. Hvis én v guttene i en søskenflokk eller lnt nre nære slektninger er røgrønn frgelin, er et erfor større snnsynlighet for t også nre i fmilien er frgeline. Og kn vi ikke ruke prouktsetningen for uvhengige henelser. Ashehoug Sie 1 v 40

22 Oppgve 7.66 Trekningen v en seigmnn og en seigme er uvhengige henelser. Derfor er P(rø seigmnn og ornsje seigme) P(rø seigmnn) P(ornsje seigme) ,185 18,5 % P(rø seigmnn og grønn seigme) P(rø seigmnn) P(grønn seigme) ,370 37,0 % P(gul seigmnn og ornsje seigme) P(gul seigmnn) P(ornsje seigme) ,148 14,8 % P(gul seigmnn og grønn seigme) P(gul seigmnn) P(grønn seigme) ,96 9,6 % Oppgve 7.67 Tippingen v e to svrene er uvhengige henelser. Derfor er P(riktig på egge) P(riktig på første) P(riktig på nre) P(glt på egge) P(glt på første) P(glt på nre) Henelsene «minst ett riktig svr» og «glt på egge» er komplementære. Derme er 8 7 P(minst ett riktig svr) 1 P(glt på egge) Løsninger Oppgve 7.68 Trekningen v forrett, hoverett og essert er tre uvhengige henelser. Det gir P(suppe, fisk og is) P(suppe) P(fisk) P(is) 0,057 5,7 % Snnsynligheten for t migen estår v suppe, fisk og is er 5,7 %. Oppgve 7.69 Sien personene ikke er i følge, kn vi nt t e estemmer seg for om e vil hnle uvhengig v hvernre. Derme er 3 P(lle tre hnler) 0,60 0,60 0,60 0,60 0, 16 1,6 % 3 P(ingen hnler) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,064 6,4 % Henelsene «minst én hnler» og «ingen hnler» er komplementære. Derme er P(minst én hnler) 1 P(ingen hnler) 1 0,064 0,936 93,6 % Ashehoug Sie v 40

23 Oppgve 7.70 Vi kn nt t kjønnet til e fire rn er uvhengige. D er 4 P(fire gutter) 0,514 0,070 7,0 % Henelsene «minst én jente» og «fire gutter» er komplementære. Derme er P(minst én jente) 1 P(fire gutter) 1 0,070 0,930 93,0 % 3 P(storeror me tre småsøstre) 0,514 0, 486 0,059 5,9 % Oppgve 7.71 For hver føsel er snnsynligheten 99 % for t et ikke lir tvillinger. De 00 føslene er uvhengige. Derme er 00 P(ingen tvillingpr) 0,99 0,134 13, 4 % P(minst ett tvillingpr) 1 P(ingen tvillingpr) 1 0,134 0,866 86,6 % Oppgve 7.7 Hvis A og B er isjunkte, er P( A B) 0. D gir isjonssetningen P( A B) P( A) P( B) Hvis A og B er uvhengige, er P( A B) P( A) P( B). Aisjonssetningen gir erme P( A B) P( A) P( B) P( A B) Oppgve 7.73 Sien henelsene A og B er uvhengige, er P( A B) P( A) P( B) 0,95 0,95 0,905 90,5 % Aisjonssetningen gir P(fungerer) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,95 0,95 0,905 0, ,75 % Henelsene «fungerer ikke» og «fungerer» er komplementære. P(fungerer ikke) 1 0,9975 0,005 0, 5 % Snnsynligheten for t systemet ikke fungerer er 0,5 %.Denne snnsynligheten er vesentlig lvere enn snnsynligheten på 5 % for t hver v enkeltkomponentene ikke fungerer. Ashehoug Sie 3 v 40

24 Oppgve 7.74 Snnsynligheten for t en gutt er røgrønn frgelin er 8 %. Snnsynligheten for t hn ikke er røgrønn frgelin er erfor 9 %. Vi kn nt t e tre guttene er røgrønn frgelin uvhengig v hvernre. 3 0,9 0,779 77,9 % Snnsynligheten er 77,9 % for t ingen v guttene er røgrønn frgelin. Løsninger Sien Per, Pål og Espen er røre, er ikke henelsene «røgrønn frgelin» for hver v e tre guttene uvhengige henelser. Derfor kn vi ikke ruke frmgngsmåten i oppgve til å finne snnsynligheten for t ingen v em er røgrønn frgelin. 0,08 0,08 0,0064 0,64 % Snnsynligheten er 0,64 % for t en jente er røgrønn frgelin. e Snnsynligheten for t en jente ikke er røgrønn frgelin er 100 % 0,64 % 99,36 %. f De tre jentene er røgrønn frgelin uvhengig v hvernre. 3 0,9936 0,981 98,1 % Snnsynligheten er 98,1 % for t ingen v jentene er røgrønn frgelin. Oppgve 7.75 Når Mons skl trekke en første knppen, er et to lå og tre røe knpper i syskrinet. 3 Derfor er P(første knpp rø). 5 Hvis hn først trekker en rø knpp, er et igjen to lå og to røe knpper. Snnsynligheten for t en nre knppen også skl li rø er erme P(nre knpp rø gitt t første knpp er rø) 4 Fr prouktsetningen for vhengige henelser er erfor P(egge knppene er røe) Snnsynligheten for t første knpp er lå, er P(første knpp lå). 5 Nå er et igjen én lå og tre røe knpper. Altså er 1 P(nre knpp lå gitt t første knpp er lå) 4 Derme lir 1 1 P(egge knppene er lå) P(første knpp rø) 5 P(nre knpp lå gitt t første knpp er rø) P(første knpp rø og nre knpp lå) Ashehoug Sie 4 v 40

25 Oppgve 7.76 Til å egynne me er et 7 lå og 4 røe kuler i esken. Hvis vi trekker en lå kule, er et igjen 6 lå og 4 røe kuler. Derme er P(egge kulene er lå) 0,38 38, % P(egge kulene er røe) 0,109 10,9 % P(første kule rø og nre kule lå) 0, 55 5,5 % P(første kule lå og nre kule rø) 0, 55 5,5 % Oppgve 7.77 Snnsynligheten for t melemmet til elevrået lir en gutt, er Hvis en gutt er vlgt til melem, er et igjen 9 gutter lnt e 4 elevene som kn li vrmelem. Den etingee snnsynligheten for t vrmelemmet lir en gutt er ltså 9 4. Fr prouktsetningen får vi erme 10 9 P(egge er gutter) 0,15 15 % 5 4 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(egge er gutter) 1 0,15 0,85 85 % Oppgve 7.78 Snnsynligheten for t en første krmellen er en NOX, er Hvis Signe først trekker en NOX, er et 15 FOX og 9 NOX igjen i skål. Den etingee snnsynligheten for t en nre krmellen er en NOX er erfor 9 4. Til slutt er et igjen 15 FOX og 8 NOX i skål. Den etingee snnsynligheten for t en treje krmellen er en NOX er erfor 8 3. Til smmen gir ette P(tre NOX) 0,05 5, % Henelsene «minst én FOX» og «tre NOX» er komplementære. Derfor er P(minst én FOX) 1 P(tre NOX) 1 0,05 0,948 94,8 % Ashehoug Sie 5 v 40

26 Oppgve 7.79 Snnsynligheten for t en første kul er hvit, er 5 8. Hvis vi først trekker en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul også er hvit er erfor 4 7. Fr prouktsetningen får vi erme P(egge kulene er hvite) 0,357 35,7 % Etter å h trukket en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul er svrt er erfor 3. Det gir P(første kule hvit og nre kule svrt) 0, 68 6,8 % P(første kule svrt og nre kule hvit) 0, 68 6,8 % P(egge kulene er svrte) 0,107 10,7 % Oppgve 7.80 Snnsynligheten for t en første eleven er en gutt, er 1 1. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven også er en gutt er erfor Fr prouktsetningen får vi erme 1 11 P(egge er gutter) 0,314 31, 4 % 1 0 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(egge er gutter) 1 0,314 0,686 68,6 % Oppgve 7.81 Når vi skl trekke et første kortet, er 39 v e 5 kortene i kortstokken ikke spr. Hvis vi først trekker noe nnet enn spr, er erfor 38 v 51 kort ikke spr når vi skl trekke et nre kortet. Det gir P(ingen spr) 0,559 55,9 % 5 51 P(minst én spr) 1 P(ingen spr) 1 0,559 0,441 44,1 % Til å egynne me er 48 v 5 kort noe nnet enn ess. Hvis vi først trekker noe nnet enn ess, er 47 v 51 kort noe nnet enn ess når vi skl trekke et nre kortet. Det gir P(ingen ess) 0,851 85,1 % 5 51 P(minst ett ess) 1 P(ingen ess) 1 0,851 0,149 14,9 % Ashehoug Sie 6 v 40

27 Oppgve 7.8 Snnsynligheten for t første okstv lir P, er 1. Når hn skl trekke nre okstv, er et 9 8 okstver igjen. Snnsynligheten for t nre okstv lir E er erfor 1. Til slutt er 8 snnsynligheten 1 7 for t treje okstv lir R. Snnsynligheten for å trekke oret PER er ltså , ,0046 % Oppgve 7.83 Når vi skl trekke første kloss, er 5 v 8 klosser hvite. Hvis vi først trekker en hvit kloss, er 4 v e 7 gjenværene klossene hvite. Hvis vi hr trukket to hvite klosser, er til slutt 3 v 6 klosser hvite. Fr prouktsetningen får vi erme P(lle hvite) 0,179 17,9 % Henelsene «lle hvite» og «minst én svrt» er komplementære. Derfor er P(minst én svrt) 1 P(lle hvite) 1 0,179 0,81 8,1 % Først er et 5 hvite klosser som utgjør e gunstige utfllene, eretter er et 4 hvite klosser (sien vi lleree hr trukket en hvit kloss), og til slutt er et 3 svrte klosser. Derme er P(hvit, hvit, svrt) 0,179 17,9 % P(svrt, hvit, hvit) 0,179 17,9 % Oppgve 7.84 Det er 14 jenter og 4 elever totlt i klssen. Derme er P(fire jenter) 0,094 9, 4 % P(minst én gutt) 1 P(fire jenter) 1 0,094 0,906 90,6 % Oppgve 7.85 Det er 0 konsonnter og 9 vokler lnt e 9 lppene. Det gir P(re konsonnter) 0, 04 0, 4 % P(minst én vokl) 1 P(re konsonnter) 1 0,04 0,796 79,6 % P(re vokler) 0, 005 0,5 % Ashehoug Sie 7 v 40

28 Oppgve 7.86 Det er 13 spr i kortstokken, og 5 kort totlt. Først er et ltså 13 gunstige utfll (spr), eretter er 1 v e 51 mulige utfllene gunstige, osv. Fr prouktsetningen er erme P(fem spr) 0, , 05 % P(minst ett kort ikke spr) 1 P(fem spr) 1 0, , ,95 % Oppgve 7.87 Løsninger Når et første tllet lir trukket, er snnsynligheten 7 for t et lir ett v e sju tllene u hr 34 tippet. Hvis et første tllet vr riktig, er et igjen 6 tll som u hr tippet lnt e 33 gjenværene tllene totlt. Den etingee snnsynligheten for t et nre tllet også lir riktig, er erfor Tilsvrene finner vi en etingee snnsynligheten for resten v tllene. Til smmen lir erme snnsynligheten for å vinne førstepremien , , % Oppgve 7.88 Vi ntr t lle ukeger er like snnsynlige. Vi kn så tenke oss t vi «trekker» e tre ukegene én etter én, og ser om enne gen lleree er vlgt. Når vi trekker en første gen, er lle 7 gene «leige». Snnsynligheten for t en første gen er leig, er erfor 7 7. Når vi trekker en nre gen, er et 6 leige ger igjen. Snnsynligheten for t en nre gen er leig, er erfor 6 7. Hvis vi først trkk to ulike ger, er et igjen 5 leige ger når en siste gen skl trekkes. Den etingee snnsynligheten for t også en siste gen er leig, er erfor 5 7. Til smmen er ltså snnsynligheten for t rn er føt på hver sin ukeg gitt ve P(forskjellige ger) Henelsene «forskjellige ger» og «minst to like ger» er komplementære. Derfor er P(minst to like ger) 1 P(forskjellige ger) 1 0,388 38,8 % Ashehoug Sie 8 v 40

29 Oppgve 7.89 Vi ser ort fr skuårsgen og regner t e nre 365 gene er like snnsynlige. Vi tenker oss t vi trekker 5 ger lnt e 365 gene på kleneren, og ser om lle gene lir forskjellige. Først er lle e 365 gene «leige». Når en nre gen skl trekkes, er et 364 leige ger. Hvis e to første gene er ulike, er et 363 leige ger når en treje gen skl trekkes. Slik fortsetter vi til vi hr trukket 5 ger. Snnsynligheten for t lle e 5 gene er forskjellige er erfor gitt ve ,431 43,1 % Snnsynligheten for t ingen v elevene hr smme føselsg er 43,1 %. Henelsene «ingen like ger» og «minst to like ger» er komplementære. P(minst to like ger) 1 P(ingen like ger) 1 0,431 0,569 56,9 % Snnsynligheten for t minst to v elevene hr smme føselsg er 56,9 %. Oppgve 7.90 Se figuren til høyre. Vegr kn få nøyktig én lå sokk på to måter, nemlig ve først å trekke en lå og så en svrt sokk, eller først å trekke en svrt og så en lå sokk. Fr prouktsetningen får vi P( BS) P( SB) Aisjonssetningen gir erme P(nøyktig én lå sokk) P( BS) P( SB) ,509 50,9 % Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» = «nøyktig én lå sokk» er komplementære. Altså er P(smme frge) 1 P(nøyktig én lå sokk) 1 0,509 0,491 49,1 % Ashehoug Sie 9 v 40

30 Oppgve 7.91 Vi ruker vlgtreet fr eksempel 19. P( GJ ) 0,514 0, 486 0, 50 P( JG) 0, 486 0,514 0, 50 Derme er P(én gutt og én jente) P( GJ eller JG) P( GJ ) P( JG) 0,50 0,50 0,500 50,0 % P(minst én gutt) 1 P(to jenter) 1 P( JJ ) 1 0, 486 0,764 76, 4 % P(minst én jente) 1 P(to gutter) 1 P( GG) Oppgve 7.9 Se figuren til høyre. 1 0,514 0,736 73,6 % P(to FOX) P( FF) 0,35 35 % P(to NOX) P( NN) 0,15 15 % 5 4 P(nøyktig én FOX) P( FN eller NF) P( FN) P( NF) ,50 50 % 5 4 e P(minst én FOX) 1 P(ingen FOX) 1 P( NN) 1 0,15 0,85 85 % Ashehoug Sie 30 v 40

31 Oppgve 7.93 Vi ruker vlgtreet fr eksempel 0. e P( FFF) 0,579 57,9 % Snnsynligheten for å få ingen seksere er 57,9 %. Henelsen «to seksere» omftter e tre isjunkte henelsene FSS, SFS og SSF. Derme er P(to seksere) P( FSS) P( SFS) P( SSF) ,069 6,9 % P( SSS) 0,0046 0,46 % I oppgve fnt vi t 3 5 P(ingen seksere) 6, 1 5 og i eksempel 0 fnt vi t P(én sekser) 3. Derme er 6 6 P(høyst én sekser) P(ingen seksere) P(én sekser) ,96 9,6 % Henelsene «høyst én sekser» og «minst to seksere» er komplementære. Derme er P(minst to seksere) 1 P(høyst én sekser) 1 0,96 0,074 7,4 % Oppgve 7.94 Se figuren til høyre. Her etyr S «spr» og A «nnen frge». Det er 13 spr og 39 nre kort i kortstokken. Etter å h trukket en spr, er et igjen 1 spr og 39 nre. Hvis vi trekker et nnet kort, er et til slutt igjen 1 spr og 38 nre. Det gir P( SAA) 0,145 14,5 % Henelsen «nøyktig én spr» omftter e tre isjunkte henelsene SAA, ASA og AAS. Vi ser t P( ASA) og P( AAS) som etyr t P(nøyktig én spr) P( SAA) P( ASA) P( AAS) ,436 43,6 % Snnsynligheten for t nøyktig ett v e tre kortene er en spr, er 43,6 %. Ashehoug Sie 31 v 40 3

32 Oppgve 7.95 Se figuren til høyre. 1 Det er to måter vi kn få én kule i hver frge, nemlig ve først å trekke en lå og så en gul kule, eller ve først å trekke en gul og så en lå kule. Fr prouktsetningen får vi P( BG) og P( GB) Aisjonssetningen gir erme P(én v hver) P( BG eller GB) P( BG) P( GB) ,536 53,6 % P(smme frge) 1 P(forskjellig frge) Oppgve 7.96 Se figuren til høyre. 1 P(én v hver) 1 0,536 0, , 4 % 1 11 P(to seigmer) P( DD) 0,347 34,7 % P(to seigmenn) P( MM ) 0,147 14,7 % 0 19 P(én v hver) P( MD eller DM ) P( MD) P( DM ) ,505 50,5 % e P(minst én seigmnn) 1 P(to seigmer) 1 0,347 0,653 65,3 % Ashehoug Sie 3 v 40

33 Oppgve 7.97 Det røe feltet ekker 1 3 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t et stopper på et røe feltet er erfor 1 3. Tilsvrene er snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et gule feltet 1 6. Prouktsetningen for uvhengige henelser gir erme P( RG) P( R) P( G) P( GR) P( G) P( R) Fr isjonssetningen får vi P(én rø og én gul) P( RG eller GR) P( RG) P( GR) Oppgve 7.98 Se figuren til høyre. e Av vlgtreet ser vi t et er fire måter vi kn få nøyktig én rø kule på, nemlig RB, RG, BR og GR. Aisjonssetningen gir erme P(én rø kule) P( RB) P( RG) P( BR) P( GR) ,530 53,0 % Henelsen «nøyktig én lå kule» omftter e isjunkte henelsene RB, BR, BG og GB. Derme er P(én lå kule) P( RB) P( BR) P( BG) P( GB) ,485 48,5 % Henelsen «nøyktig én gul kule» omftter e isjunkte henelsene RG, BG, GR og GB. Derme er P(én gul kule) P( RG) P( BG) P( GR) P( GB) ,409 40,9 % Vi ser t henelsen «forskjellig frge» omftter e isjunkte henelsene RB, RG, BR, BG, GR og GB. Det gir P(forskjellig frge) P( RB) P( RG) P( BR) P( BG) P( GR) P( GB) ,71 71, % Ashehoug Sie 33 v 40

34 Oppgve 7.99 Se figuren til høyre. Henelsen «én hvit legokloss» omftter e isjunkte henelsene HSS, SHS og SSH. Prouktsetningen gir P( HSS), P( SHS), P( SSH ) Aisjonssetningen gir erme P(én hvit) P( HSS) P( SHS) P( SSH ) ,68 6,8 % Henelsen «to hvite legoklosser» omftter e isjunkte HHS, HSH og SHH. Nå er P( HHS ), P( HSH ), P( SHH ) Aisjonssetningen gir erme P(to hvite) P( HHS) P( HSH ) P( SHH ) Oppgve e ,536 53,6 % Det er 4 lå (B), grå (G) og 6 svrte (S) sokker i skuffen, til smmen 1 sokker. Fr prouktsetningen får vi P( BB) 0,091 9,1 % P( GG) 0,015 1,5 % P( SS) 0, 7,7 % 1 11 Henelsen «smme frge» omftter e tre isjunkte henelsene BB, GG og SS. Aisjonssetningen gir t P(smme frge) P( BB) P( GG) P( SS) 0,333 33,3 % Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derfor er 1 P(forskjellig frge) 1 P(smme frge) 1 0,667 66,7 % 3 3 Ashehoug Sie 34 v 40

35 Oppgve Vi kn nt t kjønnet til e tre rn er uvhengig v hvernre. For hvert v e tre rn er PJ ( ) 0,486 og PG ( ) 0,514. Altså er P(tre gutter) P( GGG) P( G) P( G) P( G) Snnsynligheten for t lle rn er gutter er 13,6 %. 3 0,514 0,514 0,514 0,514 0,136 13,6 % Løsninger Det er tre måter et kn være nøyktig én jente i søskenflokken, nemlig t enten en elste, en mellomste eller en yngste er jente, mens e to nre er gutter. Altså er P(én jente og to gutter) P( JGG) P( GJG) P( GGJ ) Vi får P( JGG) P( J ) P( G) P( G) 0,486 0,514 0,514 0,486 0,514 P( GJG) P( G) P( J) P( G) 0,514 0,486 0,514 0,486 0,514 P( GGJ ) P( G) P( G) P( J) 0,514 0,514 0,486 0,486 0,514 Snnsynligheten for t et er én jente og to gutter i søskenflokken er erfor P(én jente og to gutter) 3 0,486 0,514 0,385 38,5 % Det er tre måter et kn være nøyktig én gutt i søskenflokken, nemlig JJG, JGJ og GJJ. På tilsvrene måte som i oppgve får vi P( JJG) P( JGJ ) P( GJJ ) P( J) P( J) P( G) 0,486 0,514 Snnsynligheten for t et er to jenter og én gutt i søskenflokken er erfor P(to jenter og én gutt) 3 0, 486 0,514 0,364 36, 4 % Snnsynligheten for t lle rn er jenter er 3 3 P(tre jenter) P( JJJ ) P( J) 0, 486 0,115 11,5 % Oppgve 7.10 Vi kn nt t lotypen til e tre personene er uvhengige v hvernre. For hver v em er snnsynligheten for lotype 0 lik 40 %. Derme er P(lle lotype 0) P(000) P(0) P(0) P(0) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,064 6,4 % Henelsene «lle hr lotype 0» og «minst én hr ikke lotype 0» er komplementære. Altså er P(minst én ikkelotype 0) 1 P(lle lotype 0) 1 0,064 0,936 93,6 % Henelsen «én lotype A og to lotype 0» omftter e isjunkte henelsene A00, 0A0 og 00A. (Her etyr for eksempel A00 t en første hr lotype A og e to nre lotype 0.) Prouktsetningen for uvhengige henelser gir P(A00) P(0A0) P(00A) P(A) P(0) 0, 48 0, 40 Snnsynligheten for t én hr lotype A og to hr lotype 0 er erfor P( én lo type A og to lotype 0) P(A00) P(0A0) P(00A) 3 3 0,48 0,40 0, 30 3, 0 % Hvis e tre personene er slektninger, er ikke lotypene uvhengige v hvernre. Vi må erfor forutsette t personene ikke er slektninger for å kunne ruke prouktsetningen for uvhengige henelser. Ashehoug Sie 35 v 40

36 Oppgve Snnsynligheten er 99,0 % for t testen viser t hun er grvi. Snnsynligheten for t testen viser t hun ikke er grvi er erfor 100 % 99,0 % 1,0 %. 1 De tre testene er uvhengige v hvernre. Snnsynligheten for t lle testene viser grviitet (G) er erfor 3 3 P( GGG) P( G) 0,990 0,970 97,0 % Henelsene «lle viser grviitet» og «minst én viser ikke grviitet» er komplementære. Derme er P(minst én viser ikke grviitet) 1 P(lle viser grviitet) 1 P( GGG) 1 0,970 0,030 3,0 % Det er to måter nøyktig én v testene kn vise feil resultt, nemlig t Tuppen sin test viser feil mens Lillemor sin test viser riktig, eller omvent. Testene til Tuppen og Lillemor er uvhengige v hvernre. Sien Tuppen er grvi og Lillemor ikke er grvi, får vi P(Tuppen feil, Lillemor riktig) P(grvi feil) P(ikke grvi riktig) 0,010 0,995 P(Tuppen riktig, Lillemor feil) P(grvi riktig) P(ikke grvi feil) 0,990 0,005 Snnsynligheten for t nøyktig én v testene viser feil resultt er erme P(nøyktig én feil) 0,010 0,995 0,990 0,005 0,015 1,5 % Oppgve For å kunne strte etter første kst, må u kste en sekser (S) på ett terningkst. Snnsynligheten for ette er 1 P(ett kst) P( S) 6 Snnsynligheten for å strte etter første kst er 1 6. For å strte etter nre kst, må u først kste fem eller lvere (F), og eretter en sekser P(to kst) P( FS) P( F) P( S) Snnsynligheten for å strte etter nre kst er For å strte etter treje kst, må u først kste fem eller lvere på e to første kstene, og eretter kste en sekser på treje kst P(tre kst) P( FFS) P( F) P( F) P( S) Snnsynligheten for å strte etter treje kst er Hvis u må kste fire eller flere gnger for å strte, etyr et t u hr kstet fem eller lvere på lle e tre første kstene. Snnsynligheten for ette er P(minst fire kst) P( FFF) Snnsynligheten for t u må kste minst fire gnger for å strte er Ashehoug Sie 36 v 40

37 Oppgve De fem terningkstene er uvhengige v hvernre. For hver terning er snnsynligheten 1 for å få ener. 6 Snnsynligheten for å få fem enere er erfor 5 1 P(fem enere) 0, ,013 % 6 Det er like snnsynlig å få Ytzy på enere, toere, treere, firere, femmere og seksere. 1 Hver v isse snnsynlighetene er gitt ve. Snnsynligheten for å få Ytzy er erfor P(Ytzy) 6 0, ,077 % Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemiler Oppgve 1 De mulige utfllene er frgene på lykkehjulet, ltså lå, ornsje, grønn, gul, rø, svrt og hvit. Det lå feltet ekker 1 4 v lykkehjulet. Snnsynligheten for lått er erfor 1. Tilsvrene er 4 snnsynligheten for ornsje 1 1, sien et ornsje feltet ekker v hjulet, osv. 1 1 En snnsynlighetsmoell for forsøket er erfor P(lå), P(ornsje), P(grønn), P(gul), P(rø), P(svrt) og P(hvit) P(gul, rø eller ornsje) P(gul) P(rø) P(ornsje) Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på gul, rø eller ornsje er 5 1. Henelsene «lå» og «ikke lå» er komplementære. Derfor er 1 3 P(ikke lå) 1 P(lå) Snnsynligheten for t lykkehjulet ikke stopper på lå er 3 4. Ashehoug Sie 37 v 40

38 e f De to trekningene me lykkehjulet er uvhengige henelser. Hver v gngene er snnsynligheten 1 for t lykkehjulet stopper på lå. 4 Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på lå egge gngene er erfor P(lå, lå) Vi finner først snnsynligheten for t lykkehjulet ikke stopper på lå i et hele ttt P(ingen lå) P(ikke lå) P(ikke lå) Sien henelsene «ingen lå» og «minst én lå» er komplementære, gir ette 9 7 P(minst én lå) 1 P(ingen lå) Henelsen «én lå og én gul» inntreffer hvis vi først får lå og så gul, eller hvis vi først får gul og så lå P(lå, så gul) P(gul, så lå) Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper én gng på lå og én gng på gul er erfor P(én lå og én gul) P(lå, så gul) P(gul, så lå) Oppgve Vi får krysstellen: Tysk Ikke tysk Totlt Spnsk 8 10 Ikke spnsk Totlt Det er 6 elever som verken hr spnsk eller tysk ,30 30 % 0 10 Snnsynligheten for t reiseleeren verken hr spnsk eller tysk er 30 %. Det er 8 elever som hr spnsk, men ikke tysk ,40 40 % 0 10 Snnsynligheten for t reiseleeren hr spnsk, men ikke tysk, er 40 %. Ashehoug Sie 38 v 40

39 Del Me hjelpemiler Oppgve 3 Det er 4 elever som røyker og 1 elever som ikke røyker i klssen. Snnsynligheten for t en første eleven ikke røyker er erfor 1 5. Hvis vi først trekker en elev som ikke røyker, er et igjen 4 røykere og 0 ikke-røykere. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven heller ikke røyker er erfor 0 4. Til slutt er et igjen 4 røykere og 19 ikke-røykere. Den etingee snnsynligheten for t en siste eleven ikke røyker er erfor Fr prouktsetningen får vi P(ingen røyker) 0,578 57,8 % Snnsynligheten for t ingen v e tre elevene røyker er 57,8 %. Henelsene «ingen røyker» og «minst én røyker» er komplementære. Derme er P(minst én røyker) 1 P(ingen røyker) 1 0,578 0,4 4, % Henelsen «nøyktig én røyker» omftter e isjunkte henelsene RII, IRI og IIR, er R «røyker» og I «røyker ikke». Prouktsetningen gir P( RII ), P( IRI ) og P( IIR) Fr isjonssetningen er erme P(nøyktig én røyker) P( RII, IRI eller IIR) P( RII ) P( IRI ) P( IIR) 0,365 36,5 % Snnsynligheten for t nøyktig én v e tre elevene røyker er 36,5 %. Ashehoug Sie 39 v 40

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

S1 kapittel 3 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

S1 kapittel 3 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene S kapittel Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene. a Utfallsrom U KK, KM, MK, MM Sannsynlighetsmoell P( KK) P ( KM) P ( MK) P ( MM) Sannsynlighetsmoellen er uniform fori alle utfallene har samme

Detaljer

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks

Detaljer

S2 kapittel 6 Sannsynlighet

S2 kapittel 6 Sannsynlighet S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 6 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 6 6 6 1 P(sum antall øyne lir høyst 4) = = 6 6 11 P(minst

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

LØSNINGER UKE 6, STK1100. Ekstraoppgave 5 a) Sannsynligheten for at en 75 år gammel kvinne skal bli minst 80 år

LØSNINGER UKE 6, STK1100. Ekstraoppgave 5 a) Sannsynligheten for at en 75 år gammel kvinne skal bli minst 80 år LØSNINGER UKE 6, STK1100 Sammendrag. Løsningsforslag for noen av de oppgavene jeg ikke rakk igjennom på plenumen. Originalt skrevet av Ingunn Fride Tvete. Send mail til steffeng@math.uio.no hvis du ser

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss

Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss Matematikksenterets 10-årsjubileumskviss 1. Selv-beskrivende nummer. Finn et ti-sifret tall der det første sifferet forteller hvor mange 1ere det er i tallet, det andre sifferet forteller hvor mange 2ere,

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år

BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Foreldreundersøkelsen, 1-12 år BARN og DIGITALE MEDIER 2012 Forelreunersøkelsen, 1-12 år Weunersøkelse 1500 forelre me rn i leren 1-12 år Bkgrunnsinformsjon Kjønn Mnn Kvinne Aler (netrekksmeny?) Hr u rn i leren mellom 1-12 år? (FILTER:

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fsit Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Enkle snnsynligheter. For eksempel: Hvordn blir været? Kommer vi til å vinne kmpen? Får jeg lt rett på prøven? osv... b Meteorolog, ksjemegler, geolog, politiker osv...

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

1P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel 1 Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene 1.1 a 10 8 10 + ( ) 10 8 10 1 10 ( ) 10 + 1 1. a Temperaturen er C. Så reuseres en me 11 C. Da lir temperaturen C 11 C 8 C Temperaturen er

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i INF2270

Løsningsforslag til eksamen i INF2270 Løsningsforslg til eksmen i INF2270 Omi Mirmothri (oppgve 1 4) Dg Lngmyhr (oppgve 5 6) 13. juni 2014 Eksmen 2270 V2013 - Fsit 1) Konverter følgene tll til inært. Vis utregning (5%). (43)es 43 / 2 = 21

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 6. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 6. Bokmål Fsit Oppgveok Kpittel 6 Bokmål Kpittel 6 Oppgver uten ruk v hjelpemidler 6.1 965 d 178 848 76 e 47 c 10,6 f 45 6. 1, km d 40 d 100 cm e 1 000 000 mg c 155 min f 0 dm 6. 5 4 5 c 8 e 1 8 d 11 10 f 6 6.4

Detaljer

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir

Andre funksjoner som NAND, NOR, XOR og XNOR avledes fra AND, To funksjoner er ekvivalente hvis de for alle input-kombinasjoner gir 2 1 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion n Arhiteture Kort repetisjon fr forrige gng Komintorisk logikk Anlyse v kretser Eksempler på yggelokker Forenkling vh. Krnugh-igrm

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen Loklt gitt eksmen 2011 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: sommerskolen Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer