1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Transkript

1 1T kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 7.1 Vi vet t kokepunktet til vnn er 100 C (ve hvoverflten). Derfor vet vi på forhån t vnnet til Anres ikke vil koke ve re 50 C. The vil ikke vite på forhån resulttet v å kste en tikrone. Trekningen v lotteriet er tilfelig. Sr kn erfor ikke vite om hun kommer til å vinne. Innelingen i lg er eterministisk. Eivin kn erfor på forhån eregne (eller telle selv) hvilket lg hn kommer på (hn kommer på lg 1). Oppgve , Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,514. Vi hr regnet en reltive frekvensen utfr et velig stort ntll rn. D kn vi regne me t snnsynligheten er lik en reltive frekvensen. Snnsynligheten for t et nyføt rn er en gutt, er ltså 0,514 51,4 %. Oppgve 7.4 Snnsynligheten for å få mynt er 50 %. D er også snnsynligheten for å få krone 50 %. Det er ltså like snnsynlig å få krone som mynt. Påstnen er riktig. e Hvis u hr fått mynt i minre enn 50 % v e 95 første kstene, påvirker ikke et ntll mynt u vil få i e neste fem kstene. Påstnen er gl. Det er 50 % snnsynlig t vi får mynt og krone i hvert kst. Etter mnge kst vil vi erfor forvente å få omtrent like mnge mynt og krone. Påstnen er riktig. At snnsynligheten for å få mynt er 50 %, etyr t u vil få mynt i omtrent 50 % v kstene når u kster en tikrone mnge gnger. Det etyr ikke t u vil få mynt i nøyktig 50 % v kstene. Påstnen er gl. Snnsynligheten for å få mynt er lik en reltive frekvensen etter velig mnge kst. 1 Den reltive frekvensen vil erfor nærme seg 50 % etter mnge kst. Påstnen er riktig. Oppgve 7.6 Totlt le et føt rn i enne perioen ,5140 og 0, Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,5140, og en reltive frekvensen for jenteføsler er 0,4860. De reltive frekvensene stemmer helt nøyktig me t snnsynligheten er 51,4 % for gutt og 48,6 % for jente, kkurt som vi kn forvente når ntllet rn er så høyt. Ashehoug Sie 1 v 40

2 Oppgve 7.7 Vi hr ikke lært å regne ut isse snnsynlighetene ennå (et skl vi gjøre i oppgve 7.5). Men u kn kste to terninger mnge gnger, f.eks. 100 gnger, og telle opp hv u får flest gnger v «sum øyne lik sju» og «minst én ener». Oppgve , Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen er 0, , Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen er 0,0164. Den reltive frekvensen for tvillingføsler hr økt fr 0,0099 til 0,0164. Det er en etyelig økning, og når ntllet føsler vi ser på også er så høyt, tyer et på t snnsynligheten for å få tvillinger hr enret seg. Oppgve 7.9 Antll øyne på terningen er enten 1,, 3, 4, 5 eller 6. U 1,, 3, 4, 5, 6. Utfllsrommet er ltså De seks utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er erfor 1 P(1) P() P(3) P(4) P(5) P(6) 6 Oppgve 7.10 Det er fire mulige utfll i forsøket: røt, lått, gult og grått. U rø, lå, gul, grå. Utfllsrommet er ltså Det røe og et lå feltet ekker 1 3 v lykkehjulet hver. Altså er 1 P(rø) P(lå). 3 Det gule og et grå feltet ekker 1 6 v lykkehjulet. Altså er 1 P(gul) P(grå). 6 Oppgve P(lå eller gul) P(lå) P(gul) P(rø eller grønn) P(rø) P(grønn) P(ikke grå) P(grønn, rø, lå eller gul) P(grønn) P(rø) P(lå) P(gul) Ashehoug Sie v 40

3 Oppgve 7.1 Totlt er et fire utfll: KK, KM, MK og MM. Henelsen B = «nøyktig én krone» estår v utfllene KM og MK. Henelsen B estår v utfllene KK og MM. Henelsen kn ltså uttrykkes som «krone på egge eller mynt på egge». Henelsen B estår v utfllene KM og MK Derfor er P( B) P( KM ) P( MK ) Sien B og B er komplementære henelser, er PB ( ) 1. Oppgve 7.13 Utfllsrommet er e ti tllene på lppene: U 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Alle e ti utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er ltså 1 P(1) P() P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) P(10) 10 Oppgve 7.14 De mulige utfllene er e seks okstvene på lppene, ltså V, E, G, A, R og D. Alle e seks utfllene er like snnsynlige. En snnsynlighetsmoell for forsøket er ltså 1 P(V) P(E) P(G) P(A) P(R) P(D) 6 Det er to vokler lnt e seks utfllene, nemlig E og A. Derme er P(vokl) P(E eller A) P(E) P(A) Det er fire konsonnter: V, G, R og D. Derme er P(konsonnt) P(V, G, R eller D) P(V) P(G) P(R) P(D) Oppgve 7.15 Det er fire mulige utfll: A, B, AB og 0. P(A) 0, 48, P(B) 0,08, P(AB) 0,04 og P(0) 0,40. P(A eller AB) P(A) P(AB) 48 % 4 % 5 % P(ikke 0) P(A, B eller AB) P(A) P(B) P(AB) 48 % 8 % 4 % 60 % e Blogiveren må h lotype A eller lotype 0. P(A eller 0) P(A) P(0) 48 % 40 % 88 % Snnsynligheten er 88 % for t en psient me lotype A kn få overført lo fr en nye logiveren. Ashehoug Sie 3 v 40

4 Oppgve 7.16 Henelsen «minst 5 øyne» estår v utfllene 5 og 6. Henelsen A estår v utfllene 1,, 3 og 4. Henelsen kn ltså uttrykkes som «høyst 4 øyne» P( A) P(5 eller 6) P(5) P(6) Sien A og A er komplementære, er P( A) 1 P( A) Oppgve 7.17 P(oetll) P(1) P(3) 10 % 40 % 50 % P(prtll) P(4) P(6) 40 % 10 % 50 % P(høyst tre) P(1) P(3) 10 % 40 % 50 % P(minst tre) P(3) P(4) P(6) 40 % 40 % 10 % 90 % Oppgve 7.18 Snnsynlighetsmoellen for forsøket er gitt ve oppslutningen til prtiene ve vlget, ltså P(Røt) 1,1 %, P(SV) 4,1 %, P(Ap) 30,8 %, P(Sp) 5,5 %, P(KrF) 5,6 %, P(V) 5, %, P(H) 6,8 %, P(FrP) 16,3 %, P(MDG),8 % og P(Anre) 1,8 %. 1 P(orgerlig) P(KrF, V, H eller FrP) P(KrF) P(V) P(H) P(FrP) 5,6 % 5, % 6,8 % 16,3 % 53,9 % P(ikke orgerlig) 1 P(orgerlig) 100 % 53,9 % 46,1 % 3 P(røgrønt) P(SV, Ap eller Sp) P(SV) P(Ap) P(Sp) 4,1 % 30,8 % 5,5 % 40,4 % 4 P(ikke røgrønt) 1 P(røgrønt) 100 % 40,4 % 59,6 % Oppgve 7.19 For hvert v utfllene må snnsynligheten være et tll mellom 0 og 1. Summen v e fire snnsynlighetene skl være lik For lterntiv ser vi t P(1) P() P(3) P(4) 1, For lterntiv er P(3) For lterntiv er P(1) P() P(3) P(4) Det er ltså lterntivene og e som utgjør snnsynlighetsmoeller. Ashehoug Sie 4 v 40

5 Oppgve 7.0 Vi vet t P(1) P() P(3) P(4) 1. Derme er P(4) 1 P(1) P() P(3) P( A) P(1) P() P(3) P( B) P() P(4) P( A) 1 P( A) P( B) 1 P( B) 1 Oppgve Den reltive frekvensen for tvillingføsler er 0, , og 01 en reltive frekvensen for trillingføsler er 0, Den reltive frekvensen for enkeltføsler er 1 0,0108 0,0001 0,9891. En snnsynlighetsmoell for ntll rn ve en føsel er erfor P(enkeltføsel) 98,91 %, P(tvillingføsel) 1,08 % og P(trillingføsel) 0,01 %. Oppgve 7. De gunstige utfllene er 1,, 3 og 4. Det er ltså g 4 gunstige utfll, og m 6 mulige utfll. Derme er g 4 P(høyst 4 øyne) m 6 3 Det er g 4 gunstige utfll, nemlig 3, 4, 5 og 6. Altså er 4 P(minst 3 øyne) 6 3 De gunstige utfllene er 1, 3 og 5. Derme er 3 1 P(oetll) De gunstige utfllene er, 4 og 6. Derme er P(prtll). 6 Ashehoug Sie 5 v 40

6 Oppgve 7.3 Det er elever i klssen. Det er erme 7 mulige utfll i lotrekningen. Det er 15 gutter i klssen. Altså er et 15 gunstige utfll for t en gutt lir trukket ut. Det er 15 gunstige utfll, og 7 mulige utfll. ntll gunstige utfll 15 5 P(gutt) ntll mulige utfll 7 9 Løsninger Snnsynligheten er 5 9 for t en gutt lir trukket ut. Oppgve 7.4 Det er 13 g hjerterkort i kortstokken, og m 5 kort totlt. Derfor er g 13 1 P(hjerter) m 5 4 Det er g 4 ess i kortstokken. Derfor er g 4 1 P(ess) m 5 13 Det er honnørkort i kortstokken. Derfor er 16 4 P(honnør) 5 13 Oppgve Henelsen «sum øyne lik sju» estår v utfllene (1, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) og (6,1). Henelsen «minst én ener» estår v utfllene (1, 6), (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, ), (1,1), (,1), (3,1), (4,1), (5,1) og (6,1). 3 Henelsen «pr» estår v utfllene (1,1), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5) og (6, 6). 1 3 Ashehoug Sie 6 v 40

7 1 Henelsen «sum øyne lik sju» estår v 6 gunstige utfll. Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 6 1 P(sum øyne lik sju) 36 6 Henelsen «minst én ener» estår v 11 gunstige utfll. 11 P(minst én ener) 36 3 Henelsen «pr» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P(pr) 36 6 Oppgve 7.6 Tenk t et er m seigmenn i skål. Det er g 5 seigmenn som er gule. Snnsynligheten for å trekke en gul seigmnn er 5 % 0,5. Det gir g P(gul) m 5 0,5 m 5 m 0,5 m 0 Det er 0 seigmenn i skål. Oppgve 7.7 Det er m 8 mulige utfll. Henelsen «tre krone» svrer til utfllet KKK. Altså er 1 1 P(tre krone) m 8 Henelsen «tre mynt» svrer til utfllet MMM. 1 P(tre mynt) 8 Det er tre utfll som er gunstige for henelsen «to krone og én mynt», nemlig KKM, KMK og MKK. Altså er g 3. Det gir g 3 P(to krone og én mynt) m 8 Ashehoug Sie 7 v 40

8 Oppgve 7.8 Du kn velge mellom tre forskjellige iter når u tr en første iten. Når u skl t en nre iten er et re to iter igjen. Hvis u f.eks. velger sjokoleiten (S) først, er et re krmell (K) og lkris (L) som er igjen. Det er ltså 6 forskjellige måter å velge e to itene på: SK, SL, KS, KL, LS og LK. Se figuren til høyre. Oppgve 7.9 Det er 5 forskjellige måter å velge melemmet på. For hvert v isse vlgene er et 4 forskjellige måter å velge vrmelem. Vi kn ltså velge melem og vrmelem på m måter. Vi kn velge en jente til melem på 15 måter. For hvert v isse vlgene kn vi velge en jente til vrmelem på 14 måter. Vi kn ltså velge en jente åe til melem og vrmelem på g måter. Alle e 600 utfllene er like snnsynlige. Derme er g 10 P(to jenter lir vlgt) 0,35 35 % m 600 Henelsene «minst én gutt lir vlgt» og «to jenter lir vlgt» er komplementære. P(minst én gutt lir vlgt) 1 P(to jenter lir vlgt) 1 0,35 0,65 65 % Snnsynligheten for t minst én gutt lir vlgt er 65 %. Oppgve 7.30 Vi kn trekke en første kul på 5 forskjellige måter. For hvert resultt v første trekning, kn vi trekke en nre kul på 4 forskjellige måter. Vi kn erfor trekke to kuler på m måter. Tilsvrene kn vi trekke to røe kuler på g 3 6 måter. Snnsynligheten for t vi trekker to røe kuler er erme gitt ve g 6 3 P(to røe kuler) m 0 10 Henelsene «minst én lå kule» og «to røe kuler» er komplementære. Derme er 3 7 P(minst én lå kule) 1 P(to røe kuler) Oppgve 7.31 Det er 10 lpper i esken, og erme 10 mulige utfll. Det er 10 mulige utfll, og lle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten er erfor 1 for t Ali får tllet Tllene fr og me 1 til og me 6 er minre enn 7. Det er ltså 6 gunstige utfll. g 6 3 P(minre enn 7) m 10 5 Snnsynligheten er 3 for t Ali får et tll som er minre enn 7. 5 Ashehoug Sie 8 v 40

9 Tllene 8, 9 og 10 er større enn 7. Det er ltså 3 gunstige utfll. Derme er 3 P(større enn 7) 10 Oppgve 7.3 Til smmen er et Non Stop i skål. Seks v em er lå. Derme er 6 1 P(lå) P(rø) P(ikke grønn) P(rø, gul eller lå) P(ikke gul) P(rø, grønn eller lå) Oppgve 7.33 Det er m 5 kort i kortstokken, og lle kortene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P(kløver sju) m 5 Det er g 4 ess i kortstokken. Derfor er Det er kort som ikke er ess. Altså er Det er 13 spr i kortstokken. Altså er g 4 1 P(ess). m P(spr). 5 4 e Det er kort som ikke er spr. Altså er 48 1 P(ikke ess) P(ikke spr). 5 4 Oppgve Ashehoug Sie 9 v 40

10 1 Henelsen «sum ntll øyne lik fem» estår v fire utfll, nemlig (1, 4), (, 3), (3, ) og (4,1). Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 4 1 P(sum ntll øyne lik fem) 36 9 Henelsen «minst én sekser» estår v 11 gunstige utfll. 11 P(minst én sekser) 36 3 Henelsen «sum ntll øyne høyst lik fire» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P(sum ntll øyne høyst lik fire) 36 6 Oppgve 7.35 Knut kn velge mellom to forskjellige ukser og tre forskjellige skjorter. Det totle ntllet utfll i et smmenstte forsøket er erfor m 3 6. Knut kn ltså velge ukse og skjorte på 6 måter. Se figuren til høyre. Alle e 6 utfllene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P( HG) m 6 Det er to utfll som er gunstige for henelsen «smme frge», nemlig BB og HH. Altså er 1 P(smme frge) 6 3 Oppgve 7.36 Det er 5 kort i kortstokken. Vi kn erfor trekke ett kort på 5 måter. Når vi skl trekke et nre kortet, er et 51 kort igjen i kortstokken. Det smmenstte forsøket hr ltså m mulige utfll. Det er 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på g måter. Alle e 65 utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke to spr er erfor g 156 P(to spr) 0,059 5,9 % m 65 Oppgve 7.37 Vi kn trekke e to melemmene v festkomiteen på m forskjellige måter. Blnt isse utfllene kn vi trekke ut to gutter på g forskjellige måter. Snnsynligheten for t egge melemmene v festkomiteen lir gutter er erfor g 40 P(to gutter) 0,317 31,7 % m 756 Henelsene «minst én jente» og «to gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(to gutter) 1 0,317 0,683 68,3 % Ashehoug Sie 10 v 40

11 Oppgve 7.38 Oetllene er 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 og 19. Det er ltså 10 oetll og 0 lpper P(oetll) 0 Det er 10 prtll, nemlig, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18 og P(prtll) 0 Det er 8 primtll som er minre enn eller lik 0, nemlig, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og P(primtll) 0 5 Det er 4 kvrttll som er minre enn eller lik 0, nemlig 1, 4, 9 og P(kvrttll) 0 5 Oppgve 7.39 Tenk t Johnne liker g v twistitene. Totlt er et m 30 twistiter i posen. Snnsynligheten for t Johnne liker en tilfelig vlgt twistit er 1. Det gir 3 g P(liker) m 1 g g 3 g 10 Johnne liker 10 v twistitene i posen. Tenk t et er m twistiter i posen. Sigur liker g 8 v twistitene. Snnsynligheten for t hn liker en tilfelig vlgt twistit er 40 % 0,40. Det gir g P(liker) m 8 0,40 m 8 m 0,40 m 0 Det er 0 twistiter i posen. Løsninger Ashehoug Sie 11 v 40

12 Oppgve 7.40 I hvert v e fire kstene kn vi få enten krone eller mynt. Det er erfor totlt 16 mulige utfll: KKKK, KKKM, KKMK, KKMM, KMKK, KMKM, KMMK, KMMM, MKKK, MKKM, MKMK, MKMM, MMKK, MMKM, MMMK og MMMM. Se vlgtreet. Vi ser v vlgtreet t vi kn få én krone og tre mynt på fire forskjellige måter, nemlig KMMM, MKMM, MMKM og MMMK. Alle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å få én krone og tre mynt er erfor 4 1 P(én krone og tre mynt) 16 4 Vi ser v vlgtreet t vi kn få to krone og to mynt på seks forskjellige måter, nemlig KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK og MMKK. Snnsynligheten for å få to krone og to mynt er erfor 6 3 P(to krone og to mynt) 16 8 Oppgve 7.41 Det er 0 seigmenn i skål. Vi kn erfor trekke to seigmenn på m måter. Hvis seigmennene skl h smme frge, må vi trekke enten to røe eller to gule seigmenn. Vi kn trekke to røe seigmenn på forskjellige måter. Vi kn også trekke to gule seigmenn på forskjellige måter. Derme kn vi trekke to seigmenn me smme frge på g måter. Snnsynligheten for t seigmennene hr smme frge er ltså g 180 P(smme frge) 0, , 4 % m 380 Henelsene «ulik frge» og «smme frge» er komplementære. Derme er P(ulik frge) 1 P(smme frge) 1 0,474 0,56 5,6 % Oppgve 7.4 Kortstokken hr 5 kort. Vi kn erfor trekke to kort på måter. Det er f.eks. 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på måter. Sien et er like mnge kort v hver frge, etyr ette t et også er 156 måter å trekke to kløver, to hjerter eller to ruter. Vi kn ltså trekke to kort i smme frge på måter. Snnsynligheten for å trekke to kort i smme frge er erme 64 P(smme frge) 0, 35 3,5 % 65 Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derme er P(forskjellig frge) 1 P(smme frge) 1 0,35 0,765 76,5 % Ashehoug Sie 1 v 40

13 Oppgve 7.43 For hvert terningkst er et 6 mulige utfll. Det er erfor m mulige utfll når vi kster en terning tre gnger. Det er ett gunstig utfll for henelsen «tre seksere». Alle e mulige utfllene er like snnsynlige. Derme er 1 1 P(tre seksere) 0,0046 0, 46 % m 16 For hvert terningkst er et 5 gunstige utfll for henelsen «ingen seksere». Vi kn ltså få ingen seksere på totlt g forskjellige måter. Derme er g 15 P(ingen seksere) 0,579 57,9 % m 16 Henelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære. Derme er P(minst én sekser) 1 P(ingen seksere) 1 0,579 0,41 4,1 % Oppgve 7.44 Vi kn trekke en første lppen på tre forskjellige måter. For hvert v isse lterntivene kn vi trekke en nre lppen på tre forskjellige måter, og tilsvrene for en treje lppen, osv. Totlt kn vi erfor trekke 1 okstver på 1 m forskjellige måter. Alle e seriene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke én estemt serie er erfor 1 1 0, ,00019 % m Resulttet vi tipper i hver kmp svrer til e tre lppene vi kunne trekke i oppgve. Antll ulike rekker vi kn tippe me 1 kmper er erfor lik ntll ulike serier vi kn trekke me 1 okstver. Det er ikke tilfelig om et lir hjemmeseier, uvgjort eller orteseier i hver v kmpene. Derfor gir ikke svret i oppgve snnsynligheten for å få tolv rette Ashehoug Sie 13 v 40

14 Oppgve 7.45 Roinson Ikke Roinson Totlt Senkvel Ikke Senkvel Totlt Det er tre elever som hr sett egge progrmmene, og 7 elever totlt i klssen. Derme er 3 1 P(egge) 0,111 11,1 % 7 9 Det er 13 elever som ikke hr sett noen v progrmmene. 13 P(ingen) 0, ,1 % 7 e P(minst ett) 1 P(ingen) 1 0,481 0,519 51,9 % Oppgve 7.46 Vi setter først opp en krysstell for å få oversikten. Smfunnsøkonomi Ikke smfunnsøkonomi Totlt Mtemtikk Ikke mtemtikk Totlt Vi ser t et er 5 elever som hr vlgt åe mtemtikk og smfunnsøkonomi. 5 1 P(mtemtikk og smfunnsøkonomi) 0, 0 0 % 5 5 Det er 10 elever som hr vlgt mtemtikk men ikke smfunnsøkonomi, og 3 elever som hr vlgt smfunnsøkonomi men ikke mtemtikk. Det er ltså 13 elever som hr vlgt re ett v fgene. 13 P(nøyktig ett v fgene) 0,5 5 % 5 Det er 15 elever som hr mtemtikk, og 5 elever som hr egge fgene. Derfor er 5 1 P(elev me mtemtikk hr også smfunnsøkonomi) 0,333 33,3 % 15 3 Oppgve 7.47 Henelsen A = «høyst fire øyne» estår v utfllene 1,, 3 og 4. Henelsen B = «minst tre øyne» estår v utfllene 3, 4, 5 og 6. Ashehoug Sie 14 v 40

15 Henelsen A B estår v lle utfllene som er me i åe A og B. A B 3, 4. Altså er Henelsen A B estår v lle utfllene som er me i A eller B (eller egge). A B 1,, 3, 4, 5, 6. Altså er Oppgve 7.48 Henelsen A = «minst én sekser» estår v utfllene (1, 6), (, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6,1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5) og (6, 6). Henelsen B = «sum øyne lik sju» estår v utfllene (1, 6), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) og (6,1). A B estår v utfllene (1, 6) og (6,1). A B estår v utfllene (1, 6), (, 5), (, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (5, ), (5, 6), (6,1), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5) og (6, 6). Oppgve 7.49 Se figuren til høyre. Av figuren ser vi t A B estår v utfllene (1, 5), (, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 3), (5, ) og (5,1). Henelsen A B estår v lle utfll ortsett fr (4, 6), (6, 4) og (6, 6) P( A), P( B), P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) Vi ser t A B estår v 33 gunstige utfll. Altså er Oppgve 7.50 Det er 0 personer som spiller fotll og 0 som spiller hånll P( A B) P(fotll) P(hånll) 90 9 Det er ingen som spiller åe fotll og hånll. Aisjonssetningen gir erme P(fotll eller hånll) P(fotll) P(hånll) 4 0,444 44,4 % Ashehoug Sie 15 v 40

16 Det er 0 personer som løper orientering og 15 som river me friirett. 0 P(orientering) P(friirett) 90 6 P(orientering eller friirett) P(orientering) P(friirett) 1 7 0,389 38,9 % Det er 0 personer som spiller fotll, 0 som spiller hånll og 15 som spiller volleyll. 0 P(fotll) P(hånll) P(volleyll) 90 6 P(llspill) P(fotll) P(hånll) P(volleyll) ,611 61,1 % Oppgve 7.51 Vi får krysstellen: Høyehopp Ikke høyehopp Totlt Løpsøvelser Ikke løpsøvelser Totlt Det er 1 personer som konkurrerer i høyehopp, og 50 personer totlt. 1 P(høyehopp) 0,4 4 % 50 Det er 35 personer som konkurrerer i løpsøvelser. 35 P(løpsøvelser) 0,70 70 % 50 Det er 7 personer som konkurrerer i åe høyehopp og løpsøvelser. 7 P(høyehopp og løpsøvelser) 0,14 14 % 50 e Det er personer som konkurrerer i høyehopp eller løpsøvelser eller egge eler P(høyehopp eller løpsøvelser eller egge eler) 80 % 50 5 Ashehoug Sie 16 v 40

17 Oppgve 7.5 Vi får krysstellen: Senkvel Ikke Senkvel Totlt X Ftor Ikke X Ftor Totlt Det er 57 elever som hr sett X Ftor, og 80 elever totlt. Derme er 57 P(X Ftor) 0,713 71,3 % 80 Det er 35 elever som hr sett Senkvel. 35 P(Senkvel) 0,438 43,8 % 80 Det er 5 elever som hr sett egge progrmmene. 5 P(egge) 0,313 31,3 % 80 e Det er elever som hr sett minst ett v progrmmene. 67 P(minst ett v progrmmene) 0,838 83,8 % 80 f Det er 13 elever som hr sett ingen v progrmmene. 13 P(ingen) 0,163 16,3 % 80 Oppgve Det er 5 kort i kortstokken. 13 v kortene er hjerter. Derme er 13 1 P(hjerter) 5 4 Det er 13 kort som er ruter. Altså er 13 1 P(ruter). 5 4 Et kort kn ikke være åe ruter og hjerter. Henelsene «ruter» og «hjerter» er isjunkte Derfor er P(ruter eller hjerter) P(ruter) P(hjerter). 4 4 Oppgve 7.54 P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0, 0,18 0,03 0,37 Fr isjonssetningen er P( A B) P( A) P( B) P( A B). Derme er P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,45 0,35 0,65 0,15 Ashehoug Sie 17 v 40

18 Oppgve 7.55 Det er 5 kort i kortstokken. Fire v kortene er konge. Derme er 4 1 P(konge) 5 13 Det er 6 svrte kort i kortstokken (13 kløver og 13 spr). Altså er 6 1 P(svrt) 5 Det er ett kort som er kløver konge og ett kort som er spr konge. Derme er 1 P(svrt konge) 5 6 Fr isjonssetningen får vi P(svrt eller konge) P(svrt) P(konge) P(svrt konge) Oppgve 7.56 Vi lger en krysstell for å få oversikten. e f Ktt Ikke ktt Totlt Hun 8 10 Ikke hun Totlt P(verken hun eller ktt) 0,36 36 % 5 P(hun og ktt) 0,08 8 % 5 6 P(ktt, men ikke hun) 0, 4 4 % 5 8 P(hun, men ikke ktt) 0,3 3 % 5 Det er 10 elever som hr hun, og elever som hr åe hun og ktt. P(elev me hun hr også ktt) 0, 0 0 % 10 Det er 8 elever som hr ktt, og elever som hr åe hun og ktt. P(elev me ktt hr også hun) 0, 5 5 % 8 Ashehoug Sie 18 v 40

19 Oppgve 7.57 I ette tilfellet kjenner vi ikke ntllet iler, men vi kjenner prosentnelen me feil. Vi setter erfor opp en krysstell me prosenttll, er et totle ntllet er 100 %. Feil me remsene Bremsene i oren Totlt Feil me lysene 4 % 14 % 18 % Lysene i oren 8 % 74 % 8 % Totlt 1 % 88 % 100 % Løsninger Av krysstellen ser vi t 8 % v ilene he lysene i oren. Sien vi velger én ilfører tilfelig, er et også snnsynligheten for t ilføreren he lys som vr i oren. 88 % v ilene he remsene i oren. Det også snnsynligheten for t en tilfelig vlgt ilfører he remser som vr i oren. 4 % v ilene he verken lys eller remser i oren. Derfor er snnsynligheten 4 % for t en tilfelig vlgt ilfører verken he lys eller remser i oren. 8 % v ilene he lys, men ikke remser i oren. Det også snnsynligheten for t en tilfelig vlgt ilfører he lys, men ikke remser si oren. Oppgve 7.58 Henelsen «minst én feil» er et smme som «A eller B» (eller egge). Fr isjonssetningen får vi erme P(minst én feil) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,030 0,010 0,00 0,038 3,8 % Snnsynligheten er 3,8 % for t et TV-pprt hr minst én v e to feilene. Henelsene «minst én feil» og «ingen feil» er komplementære. Altså er P(ingen feil) 1 P(minst én feil) 1 0,038 0,96 96, % Oppgve 7.59 Ant t et er x elever i klssen. Av em hr 10 hr vlgt kjemi (K) og 0 mtemtikk (M). Derfor er PK ( ) 10 og x PM ( ) 0. x Det er 5 elever som hr vlgt ingen v e to fgene. Det følger t er et x 5 elever som hr vlgt minst ett v em Derfor er x 5 P( K M ) x Snnsynligheten er 5 % for t en elev hr vlgt åe kjemi og mtemtikk. Derfor er P( K M) 0,5. Ashehoug Sie 19 v 40

20 Aisjonssetningen gir nå en likning for x : P( K M ) P( K) P( M ) P( K M ) x ,5 x x x x , 5x 1, 5x 35 x 8 Det er 8 elever i klssen. Oppgve 7.60 For t vi skl kunne legge smmen snnsynlighetene for regn hver v gene, må e to henelsene «regn på lørg» og «regn på søng» være isjunkte. Men et er e ikke. Det kn nemlig regne egge gene. Vi må erfor ruke en generelle isjonssetningen i steet. Snnsynligheten for t et vil regne i løpet v helgen er erme minre enn 60 %. Oppgve 7.61 Sien vi legger en første kul tilke, er trekningen v e to kulene uvhengige henelser. Det er tre røe kuler, og fem kuler totlt. Det gir 3 P(første kule rø) P(nre kule rø) Derme er P(egge kulene er røe) P(første kule rø) P(nre kule rø) P(egge kulene er lå) P(første kule lå) P(nre kule lå) P(første rø og nre lå) P(første kule rø) P(nre kule lå) Oppgve 7.6 Vi kn nt t kjønnet til e to rn er uvhengige. Prouktsetningen gir P(egge gutter) P(elste gutt) P(yngste gutt) 0,514 0,514 0,64 6,4 % Snnsynligheten er 6,4 % for t ektepret hr to gutter. P(elste gutt og yngste jente) P(elste gutt) P(yngste jente) 0,514 0, 486 0, 50 5,0 % P(elste jente og yngste gutt) P(elste jente) P(yngste gutt) 0, 486 0,514 0, 50 5,0 % Ashehoug Sie 0 v 40

21 Oppgve 7.63 Det røe feltet ekker 1 3 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et røe feltet er erfor 1 3. Sien to trekningene me lykkehjulet er uvhengige, gir prouktsetningen t P(røt egge gngene) P(røt første gng) P(røt nre gng) Det gule feltet ekker 1 6 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et gule feltet er erfor 1 6. Derme er P(røt og så gult) P(røt første gng) P(gult nre gng) Oppgve 7.64 Vi kn nt t kjønnet til e tre rn er uvhengige. D er 3 P(lle er jenter) 0,486 0,486 0,486 0,486 0,115 11,5 % Snnsynligheten er 11,5 % for t lle e tre rn er jenter. Henelsene «lle er jenter» og «minst én gutt» er komplementære. Derfor er P(minst én gutt) 1 P(lle er jenter) 1 0,115 0,885 88,5 % Snnsynligheten er 88,5 % for t minst ett v rn er en gutt. P(gutt, jente, jente) 0,514 0, 486 0, 486 0,514 0, 486 0,11 1,1 % P(jente, jente, gutt) 0, 486 0, 486 0,514 0,514 0, 486 0,11 1,1 % Oppgve 7.65 For hver v guttene er snnsynligheten 9 % for t hn ikke er røgrønn frgelin. Snnsynligheten for t ingen v e 1 guttene er røgrønn frgelin er erfor 1 P(ingen frgelin) 0,9 0,368 36,8 % Henelsene «minst én frgelin» og «ingen frgelin» er komplementære. P(minst én frgelin) 1 P(ingen frgelin) 1 0,368 0,63 63, % Røgrønn frgelinhet er rvelig. Hvis én v guttene i en søskenflokk eller lnt nre nære slektninger er røgrønn frgelin, er et erfor større snnsynlighet for t også nre i fmilien er frgeline. Og kn vi ikke ruke prouktsetningen for uvhengige henelser. Ashehoug Sie 1 v 40

22 Oppgve 7.66 Trekningen v en seigmnn og en seigme er uvhengige henelser. Derfor er P(rø seigmnn og ornsje seigme) P(rø seigmnn) P(ornsje seigme) ,185 18,5 % P(rø seigmnn og grønn seigme) P(rø seigmnn) P(grønn seigme) ,370 37,0 % P(gul seigmnn og ornsje seigme) P(gul seigmnn) P(ornsje seigme) ,148 14,8 % P(gul seigmnn og grønn seigme) P(gul seigmnn) P(grønn seigme) ,96 9,6 % Oppgve 7.67 Tippingen v e to svrene er uvhengige henelser. Derfor er P(riktig på egge) P(riktig på første) P(riktig på nre) P(glt på egge) P(glt på første) P(glt på nre) Henelsene «minst ett riktig svr» og «glt på egge» er komplementære. Derme er 8 7 P(minst ett riktig svr) 1 P(glt på egge) Løsninger Oppgve 7.68 Trekningen v forrett, hoverett og essert er tre uvhengige henelser. Det gir P(suppe, fisk og is) P(suppe) P(fisk) P(is) 0,057 5,7 % Snnsynligheten for t migen estår v suppe, fisk og is er 5,7 %. Oppgve 7.69 Sien personene ikke er i følge, kn vi nt t e estemmer seg for om e vil hnle uvhengig v hvernre. Derme er 3 P(lle tre hnler) 0,60 0,60 0,60 0,60 0, 16 1,6 % 3 P(ingen hnler) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,064 6,4 % Henelsene «minst én hnler» og «ingen hnler» er komplementære. Derme er P(minst én hnler) 1 P(ingen hnler) 1 0,064 0,936 93,6 % Ashehoug Sie v 40

23 Oppgve 7.70 Vi kn nt t kjønnet til e fire rn er uvhengige. D er 4 P(fire gutter) 0,514 0,070 7,0 % Henelsene «minst én jente» og «fire gutter» er komplementære. Derme er P(minst én jente) 1 P(fire gutter) 1 0,070 0,930 93,0 % 3 P(storeror me tre småsøstre) 0,514 0, 486 0,059 5,9 % Oppgve 7.71 For hver føsel er snnsynligheten 99 % for t et ikke lir tvillinger. De 00 føslene er uvhengige. Derme er 00 P(ingen tvillingpr) 0,99 0,134 13, 4 % P(minst ett tvillingpr) 1 P(ingen tvillingpr) 1 0,134 0,866 86,6 % Oppgve 7.7 Hvis A og B er isjunkte, er P( A B) 0. D gir isjonssetningen P( A B) P( A) P( B) Hvis A og B er uvhengige, er P( A B) P( A) P( B). Aisjonssetningen gir erme P( A B) P( A) P( B) P( A B) Oppgve 7.73 Sien henelsene A og B er uvhengige, er P( A B) P( A) P( B) 0,95 0,95 0,905 90,5 % Aisjonssetningen gir P(fungerer) P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,95 0,95 0,905 0, ,75 % Henelsene «fungerer ikke» og «fungerer» er komplementære. P(fungerer ikke) 1 0,9975 0,005 0, 5 % Snnsynligheten for t systemet ikke fungerer er 0,5 %.Denne snnsynligheten er vesentlig lvere enn snnsynligheten på 5 % for t hver v enkeltkomponentene ikke fungerer. Ashehoug Sie 3 v 40

24 Oppgve 7.74 Snnsynligheten for t en gutt er røgrønn frgelin er 8 %. Snnsynligheten for t hn ikke er røgrønn frgelin er erfor 9 %. Vi kn nt t e tre guttene er røgrønn frgelin uvhengig v hvernre. 3 0,9 0,779 77,9 % Snnsynligheten er 77,9 % for t ingen v guttene er røgrønn frgelin. Løsninger Sien Per, Pål og Espen er røre, er ikke henelsene «røgrønn frgelin» for hver v e tre guttene uvhengige henelser. Derfor kn vi ikke ruke frmgngsmåten i oppgve til å finne snnsynligheten for t ingen v em er røgrønn frgelin. 0,08 0,08 0,0064 0,64 % Snnsynligheten er 0,64 % for t en jente er røgrønn frgelin. e Snnsynligheten for t en jente ikke er røgrønn frgelin er 100 % 0,64 % 99,36 %. f De tre jentene er røgrønn frgelin uvhengig v hvernre. 3 0,9936 0,981 98,1 % Snnsynligheten er 98,1 % for t ingen v jentene er røgrønn frgelin. Oppgve 7.75 Når Mons skl trekke en første knppen, er et to lå og tre røe knpper i syskrinet. 3 Derfor er P(første knpp rø). 5 Hvis hn først trekker en rø knpp, er et igjen to lå og to røe knpper. Snnsynligheten for t en nre knppen også skl li rø er erme P(nre knpp rø gitt t første knpp er rø) 4 Fr prouktsetningen for vhengige henelser er erfor P(egge knppene er røe) Snnsynligheten for t første knpp er lå, er P(første knpp lå). 5 Nå er et igjen én lå og tre røe knpper. Altså er 1 P(nre knpp lå gitt t første knpp er lå) 4 Derme lir 1 1 P(egge knppene er lå) P(første knpp rø) 5 P(nre knpp lå gitt t første knpp er rø) P(første knpp rø og nre knpp lå) Ashehoug Sie 4 v 40

25 Oppgve 7.76 Til å egynne me er et 7 lå og 4 røe kuler i esken. Hvis vi trekker en lå kule, er et igjen 6 lå og 4 røe kuler. Derme er P(egge kulene er lå) 0,38 38, % P(egge kulene er røe) 0,109 10,9 % P(første kule rø og nre kule lå) 0, 55 5,5 % P(første kule lå og nre kule rø) 0, 55 5,5 % Oppgve 7.77 Snnsynligheten for t melemmet til elevrået lir en gutt, er Hvis en gutt er vlgt til melem, er et igjen 9 gutter lnt e 4 elevene som kn li vrmelem. Den etingee snnsynligheten for t vrmelemmet lir en gutt er ltså 9 4. Fr prouktsetningen får vi erme 10 9 P(egge er gutter) 0,15 15 % 5 4 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(egge er gutter) 1 0,15 0,85 85 % Oppgve 7.78 Snnsynligheten for t en første krmellen er en NOX, er Hvis Signe først trekker en NOX, er et 15 FOX og 9 NOX igjen i skål. Den etingee snnsynligheten for t en nre krmellen er en NOX er erfor 9 4. Til slutt er et igjen 15 FOX og 8 NOX i skål. Den etingee snnsynligheten for t en treje krmellen er en NOX er erfor 8 3. Til smmen gir ette P(tre NOX) 0,05 5, % Henelsene «minst én FOX» og «tre NOX» er komplementære. Derfor er P(minst én FOX) 1 P(tre NOX) 1 0,05 0,948 94,8 % Ashehoug Sie 5 v 40

26 Oppgve 7.79 Snnsynligheten for t en første kul er hvit, er 5 8. Hvis vi først trekker en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul også er hvit er erfor 4 7. Fr prouktsetningen får vi erme P(egge kulene er hvite) 0,357 35,7 % Etter å h trukket en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul er svrt er erfor 3. Det gir P(første kule hvit og nre kule svrt) 0, 68 6,8 % P(første kule svrt og nre kule hvit) 0, 68 6,8 % P(egge kulene er svrte) 0,107 10,7 % Oppgve 7.80 Snnsynligheten for t en første eleven er en gutt, er 1 1. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven også er en gutt er erfor Fr prouktsetningen får vi erme 1 11 P(egge er gutter) 0,314 31, 4 % 1 0 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) 1 P(egge er gutter) 1 0,314 0,686 68,6 % Oppgve 7.81 Når vi skl trekke et første kortet, er 39 v e 5 kortene i kortstokken ikke spr. Hvis vi først trekker noe nnet enn spr, er erfor 38 v 51 kort ikke spr når vi skl trekke et nre kortet. Det gir P(ingen spr) 0,559 55,9 % 5 51 P(minst én spr) 1 P(ingen spr) 1 0,559 0,441 44,1 % Til å egynne me er 48 v 5 kort noe nnet enn ess. Hvis vi først trekker noe nnet enn ess, er 47 v 51 kort noe nnet enn ess når vi skl trekke et nre kortet. Det gir P(ingen ess) 0,851 85,1 % 5 51 P(minst ett ess) 1 P(ingen ess) 1 0,851 0,149 14,9 % Ashehoug Sie 6 v 40

27 Oppgve 7.8 Snnsynligheten for t første okstv lir P, er 1. Når hn skl trekke nre okstv, er et 9 8 okstver igjen. Snnsynligheten for t nre okstv lir E er erfor 1. Til slutt er 8 snnsynligheten 1 7 for t treje okstv lir R. Snnsynligheten for å trekke oret PER er ltså , ,0046 % Oppgve 7.83 Når vi skl trekke første kloss, er 5 v 8 klosser hvite. Hvis vi først trekker en hvit kloss, er 4 v e 7 gjenværene klossene hvite. Hvis vi hr trukket to hvite klosser, er til slutt 3 v 6 klosser hvite. Fr prouktsetningen får vi erme P(lle hvite) 0,179 17,9 % Henelsene «lle hvite» og «minst én svrt» er komplementære. Derfor er P(minst én svrt) 1 P(lle hvite) 1 0,179 0,81 8,1 % Først er et 5 hvite klosser som utgjør e gunstige utfllene, eretter er et 4 hvite klosser (sien vi lleree hr trukket en hvit kloss), og til slutt er et 3 svrte klosser. Derme er P(hvit, hvit, svrt) 0,179 17,9 % P(svrt, hvit, hvit) 0,179 17,9 % Oppgve 7.84 Det er 14 jenter og 4 elever totlt i klssen. Derme er P(fire jenter) 0,094 9, 4 % P(minst én gutt) 1 P(fire jenter) 1 0,094 0,906 90,6 % Oppgve 7.85 Det er 0 konsonnter og 9 vokler lnt e 9 lppene. Det gir P(re konsonnter) 0, 04 0, 4 % P(minst én vokl) 1 P(re konsonnter) 1 0,04 0,796 79,6 % P(re vokler) 0, 005 0,5 % Ashehoug Sie 7 v 40

28 Oppgve 7.86 Det er 13 spr i kortstokken, og 5 kort totlt. Først er et ltså 13 gunstige utfll (spr), eretter er 1 v e 51 mulige utfllene gunstige, osv. Fr prouktsetningen er erme P(fem spr) 0, , 05 % P(minst ett kort ikke spr) 1 P(fem spr) 1 0, , ,95 % Oppgve 7.87 Løsninger Når et første tllet lir trukket, er snnsynligheten 7 for t et lir ett v e sju tllene u hr 34 tippet. Hvis et første tllet vr riktig, er et igjen 6 tll som u hr tippet lnt e 33 gjenværene tllene totlt. Den etingee snnsynligheten for t et nre tllet også lir riktig, er erfor Tilsvrene finner vi en etingee snnsynligheten for resten v tllene. Til smmen lir erme snnsynligheten for å vinne førstepremien , , % Oppgve 7.88 Vi ntr t lle ukeger er like snnsynlige. Vi kn så tenke oss t vi «trekker» e tre ukegene én etter én, og ser om enne gen lleree er vlgt. Når vi trekker en første gen, er lle 7 gene «leige». Snnsynligheten for t en første gen er leig, er erfor 7 7. Når vi trekker en nre gen, er et 6 leige ger igjen. Snnsynligheten for t en nre gen er leig, er erfor 6 7. Hvis vi først trkk to ulike ger, er et igjen 5 leige ger når en siste gen skl trekkes. Den etingee snnsynligheten for t også en siste gen er leig, er erfor 5 7. Til smmen er ltså snnsynligheten for t rn er føt på hver sin ukeg gitt ve P(forskjellige ger) Henelsene «forskjellige ger» og «minst to like ger» er komplementære. Derfor er P(minst to like ger) 1 P(forskjellige ger) 1 0,388 38,8 % Ashehoug Sie 8 v 40

29 Oppgve 7.89 Vi ser ort fr skuårsgen og regner t e nre 365 gene er like snnsynlige. Vi tenker oss t vi trekker 5 ger lnt e 365 gene på kleneren, og ser om lle gene lir forskjellige. Først er lle e 365 gene «leige». Når en nre gen skl trekkes, er et 364 leige ger. Hvis e to første gene er ulike, er et 363 leige ger når en treje gen skl trekkes. Slik fortsetter vi til vi hr trukket 5 ger. Snnsynligheten for t lle e 5 gene er forskjellige er erfor gitt ve ,431 43,1 % Snnsynligheten for t ingen v elevene hr smme føselsg er 43,1 %. Henelsene «ingen like ger» og «minst to like ger» er komplementære. P(minst to like ger) 1 P(ingen like ger) 1 0,431 0,569 56,9 % Snnsynligheten for t minst to v elevene hr smme føselsg er 56,9 %. Oppgve 7.90 Se figuren til høyre. Vegr kn få nøyktig én lå sokk på to måter, nemlig ve først å trekke en lå og så en svrt sokk, eller først å trekke en svrt og så en lå sokk. Fr prouktsetningen får vi P( BS) P( SB) Aisjonssetningen gir erme P(nøyktig én lå sokk) P( BS) P( SB) ,509 50,9 % Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» = «nøyktig én lå sokk» er komplementære. Altså er P(smme frge) 1 P(nøyktig én lå sokk) 1 0,509 0,491 49,1 % Ashehoug Sie 9 v 40

30 Oppgve 7.91 Vi ruker vlgtreet fr eksempel 19. P( GJ ) 0,514 0, 486 0, 50 P( JG) 0, 486 0,514 0, 50 Derme er P(én gutt og én jente) P( GJ eller JG) P( GJ ) P( JG) 0,50 0,50 0,500 50,0 % P(minst én gutt) 1 P(to jenter) 1 P( JJ ) 1 0, 486 0,764 76, 4 % P(minst én jente) 1 P(to gutter) 1 P( GG) Oppgve 7.9 Se figuren til høyre. 1 0,514 0,736 73,6 % P(to FOX) P( FF) 0,35 35 % P(to NOX) P( NN) 0,15 15 % 5 4 P(nøyktig én FOX) P( FN eller NF) P( FN) P( NF) ,50 50 % 5 4 e P(minst én FOX) 1 P(ingen FOX) 1 P( NN) 1 0,15 0,85 85 % Ashehoug Sie 30 v 40

31 Oppgve 7.93 Vi ruker vlgtreet fr eksempel 0. e P( FFF) 0,579 57,9 % Snnsynligheten for å få ingen seksere er 57,9 %. Henelsen «to seksere» omftter e tre isjunkte henelsene FSS, SFS og SSF. Derme er P(to seksere) P( FSS) P( SFS) P( SSF) ,069 6,9 % P( SSS) 0,0046 0,46 % I oppgve fnt vi t 3 5 P(ingen seksere) 6, 1 5 og i eksempel 0 fnt vi t P(én sekser) 3. Derme er 6 6 P(høyst én sekser) P(ingen seksere) P(én sekser) ,96 9,6 % Henelsene «høyst én sekser» og «minst to seksere» er komplementære. Derme er P(minst to seksere) 1 P(høyst én sekser) 1 0,96 0,074 7,4 % Oppgve 7.94 Se figuren til høyre. Her etyr S «spr» og A «nnen frge». Det er 13 spr og 39 nre kort i kortstokken. Etter å h trukket en spr, er et igjen 1 spr og 39 nre. Hvis vi trekker et nnet kort, er et til slutt igjen 1 spr og 38 nre. Det gir P( SAA) 0,145 14,5 % Henelsen «nøyktig én spr» omftter e tre isjunkte henelsene SAA, ASA og AAS. Vi ser t P( ASA) og P( AAS) som etyr t P(nøyktig én spr) P( SAA) P( ASA) P( AAS) ,436 43,6 % Snnsynligheten for t nøyktig ett v e tre kortene er en spr, er 43,6 %. Ashehoug Sie 31 v 40 3

32 Oppgve 7.95 Se figuren til høyre. 1 Det er to måter vi kn få én kule i hver frge, nemlig ve først å trekke en lå og så en gul kule, eller ve først å trekke en gul og så en lå kule. Fr prouktsetningen får vi P( BG) og P( GB) Aisjonssetningen gir erme P(én v hver) P( BG eller GB) P( BG) P( GB) ,536 53,6 % P(smme frge) 1 P(forskjellig frge) Oppgve 7.96 Se figuren til høyre. 1 P(én v hver) 1 0,536 0, , 4 % 1 11 P(to seigmer) P( DD) 0,347 34,7 % P(to seigmenn) P( MM ) 0,147 14,7 % 0 19 P(én v hver) P( MD eller DM ) P( MD) P( DM ) ,505 50,5 % e P(minst én seigmnn) 1 P(to seigmer) 1 0,347 0,653 65,3 % Ashehoug Sie 3 v 40

33 Oppgve 7.97 Det røe feltet ekker 1 3 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t et stopper på et røe feltet er erfor 1 3. Tilsvrene er snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et gule feltet 1 6. Prouktsetningen for uvhengige henelser gir erme P( RG) P( R) P( G) P( GR) P( G) P( R) Fr isjonssetningen får vi P(én rø og én gul) P( RG eller GR) P( RG) P( GR) Oppgve 7.98 Se figuren til høyre. e Av vlgtreet ser vi t et er fire måter vi kn få nøyktig én rø kule på, nemlig RB, RG, BR og GR. Aisjonssetningen gir erme P(én rø kule) P( RB) P( RG) P( BR) P( GR) ,530 53,0 % Henelsen «nøyktig én lå kule» omftter e isjunkte henelsene RB, BR, BG og GB. Derme er P(én lå kule) P( RB) P( BR) P( BG) P( GB) ,485 48,5 % Henelsen «nøyktig én gul kule» omftter e isjunkte henelsene RG, BG, GR og GB. Derme er P(én gul kule) P( RG) P( BG) P( GR) P( GB) ,409 40,9 % Vi ser t henelsen «forskjellig frge» omftter e isjunkte henelsene RB, RG, BR, BG, GR og GB. Det gir P(forskjellig frge) P( RB) P( RG) P( BR) P( BG) P( GR) P( GB) ,71 71, % Ashehoug Sie 33 v 40

34 Oppgve 7.99 Se figuren til høyre. Henelsen «én hvit legokloss» omftter e isjunkte henelsene HSS, SHS og SSH. Prouktsetningen gir P( HSS), P( SHS), P( SSH ) Aisjonssetningen gir erme P(én hvit) P( HSS) P( SHS) P( SSH ) ,68 6,8 % Henelsen «to hvite legoklosser» omftter e isjunkte HHS, HSH og SHH. Nå er P( HHS ), P( HSH ), P( SHH ) Aisjonssetningen gir erme P(to hvite) P( HHS) P( HSH ) P( SHH ) Oppgve e ,536 53,6 % Det er 4 lå (B), grå (G) og 6 svrte (S) sokker i skuffen, til smmen 1 sokker. Fr prouktsetningen får vi P( BB) 0,091 9,1 % P( GG) 0,015 1,5 % P( SS) 0, 7,7 % 1 11 Henelsen «smme frge» omftter e tre isjunkte henelsene BB, GG og SS. Aisjonssetningen gir t P(smme frge) P( BB) P( GG) P( SS) 0,333 33,3 % Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derfor er 1 P(forskjellig frge) 1 P(smme frge) 1 0,667 66,7 % 3 3 Ashehoug Sie 34 v 40

35 Oppgve Vi kn nt t kjønnet til e tre rn er uvhengig v hvernre. For hvert v e tre rn er PJ ( ) 0,486 og PG ( ) 0,514. Altså er P(tre gutter) P( GGG) P( G) P( G) P( G) Snnsynligheten for t lle rn er gutter er 13,6 %. 3 0,514 0,514 0,514 0,514 0,136 13,6 % Løsninger Det er tre måter et kn være nøyktig én jente i søskenflokken, nemlig t enten en elste, en mellomste eller en yngste er jente, mens e to nre er gutter. Altså er P(én jente og to gutter) P( JGG) P( GJG) P( GGJ ) Vi får P( JGG) P( J ) P( G) P( G) 0,486 0,514 0,514 0,486 0,514 P( GJG) P( G) P( J) P( G) 0,514 0,486 0,514 0,486 0,514 P( GGJ ) P( G) P( G) P( J) 0,514 0,514 0,486 0,486 0,514 Snnsynligheten for t et er én jente og to gutter i søskenflokken er erfor P(én jente og to gutter) 3 0,486 0,514 0,385 38,5 % Det er tre måter et kn være nøyktig én gutt i søskenflokken, nemlig JJG, JGJ og GJJ. På tilsvrene måte som i oppgve får vi P( JJG) P( JGJ ) P( GJJ ) P( J) P( J) P( G) 0,486 0,514 Snnsynligheten for t et er to jenter og én gutt i søskenflokken er erfor P(to jenter og én gutt) 3 0, 486 0,514 0,364 36, 4 % Snnsynligheten for t lle rn er jenter er 3 3 P(tre jenter) P( JJJ ) P( J) 0, 486 0,115 11,5 % Oppgve 7.10 Vi kn nt t lotypen til e tre personene er uvhengige v hvernre. For hver v em er snnsynligheten for lotype 0 lik 40 %. Derme er P(lle lotype 0) P(000) P(0) P(0) P(0) 0,40 0,40 0,40 0,40 0,064 6,4 % Henelsene «lle hr lotype 0» og «minst én hr ikke lotype 0» er komplementære. Altså er P(minst én ikkelotype 0) 1 P(lle lotype 0) 1 0,064 0,936 93,6 % Henelsen «én lotype A og to lotype 0» omftter e isjunkte henelsene A00, 0A0 og 00A. (Her etyr for eksempel A00 t en første hr lotype A og e to nre lotype 0.) Prouktsetningen for uvhengige henelser gir P(A00) P(0A0) P(00A) P(A) P(0) 0, 48 0, 40 Snnsynligheten for t én hr lotype A og to hr lotype 0 er erfor P( én lo type A og to lotype 0) P(A00) P(0A0) P(00A) 3 3 0,48 0,40 0, 30 3, 0 % Hvis e tre personene er slektninger, er ikke lotypene uvhengige v hvernre. Vi må erfor forutsette t personene ikke er slektninger for å kunne ruke prouktsetningen for uvhengige henelser. Ashehoug Sie 35 v 40

36 Oppgve Snnsynligheten er 99,0 % for t testen viser t hun er grvi. Snnsynligheten for t testen viser t hun ikke er grvi er erfor 100 % 99,0 % 1,0 %. 1 De tre testene er uvhengige v hvernre. Snnsynligheten for t lle testene viser grviitet (G) er erfor 3 3 P( GGG) P( G) 0,990 0,970 97,0 % Henelsene «lle viser grviitet» og «minst én viser ikke grviitet» er komplementære. Derme er P(minst én viser ikke grviitet) 1 P(lle viser grviitet) 1 P( GGG) 1 0,970 0,030 3,0 % Det er to måter nøyktig én v testene kn vise feil resultt, nemlig t Tuppen sin test viser feil mens Lillemor sin test viser riktig, eller omvent. Testene til Tuppen og Lillemor er uvhengige v hvernre. Sien Tuppen er grvi og Lillemor ikke er grvi, får vi P(Tuppen feil, Lillemor riktig) P(grvi feil) P(ikke grvi riktig) 0,010 0,995 P(Tuppen riktig, Lillemor feil) P(grvi riktig) P(ikke grvi feil) 0,990 0,005 Snnsynligheten for t nøyktig én v testene viser feil resultt er erme P(nøyktig én feil) 0,010 0,995 0,990 0,005 0,015 1,5 % Oppgve For å kunne strte etter første kst, må u kste en sekser (S) på ett terningkst. Snnsynligheten for ette er 1 P(ett kst) P( S) 6 Snnsynligheten for å strte etter første kst er 1 6. For å strte etter nre kst, må u først kste fem eller lvere (F), og eretter en sekser P(to kst) P( FS) P( F) P( S) Snnsynligheten for å strte etter nre kst er For å strte etter treje kst, må u først kste fem eller lvere på e to første kstene, og eretter kste en sekser på treje kst P(tre kst) P( FFS) P( F) P( F) P( S) Snnsynligheten for å strte etter treje kst er Hvis u må kste fire eller flere gnger for å strte, etyr et t u hr kstet fem eller lvere på lle e tre første kstene. Snnsynligheten for ette er P(minst fire kst) P( FFF) Snnsynligheten for t u må kste minst fire gnger for å strte er Ashehoug Sie 36 v 40

37 Oppgve De fem terningkstene er uvhengige v hvernre. For hver terning er snnsynligheten 1 for å få ener. 6 Snnsynligheten for å få fem enere er erfor 5 1 P(fem enere) 0, ,013 % 6 Det er like snnsynlig å få Ytzy på enere, toere, treere, firere, femmere og seksere. 1 Hver v isse snnsynlighetene er gitt ve. Snnsynligheten for å få Ytzy er erfor P(Ytzy) 6 0, ,077 % Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemiler Oppgve 1 De mulige utfllene er frgene på lykkehjulet, ltså lå, ornsje, grønn, gul, rø, svrt og hvit. Det lå feltet ekker 1 4 v lykkehjulet. Snnsynligheten for lått er erfor 1. Tilsvrene er 4 snnsynligheten for ornsje 1 1, sien et ornsje feltet ekker v hjulet, osv. 1 1 En snnsynlighetsmoell for forsøket er erfor P(lå), P(ornsje), P(grønn), P(gul), P(rø), P(svrt) og P(hvit) P(gul, rø eller ornsje) P(gul) P(rø) P(ornsje) Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på gul, rø eller ornsje er 5 1. Henelsene «lå» og «ikke lå» er komplementære. Derfor er 1 3 P(ikke lå) 1 P(lå) Snnsynligheten for t lykkehjulet ikke stopper på lå er 3 4. Ashehoug Sie 37 v 40

38 e f De to trekningene me lykkehjulet er uvhengige henelser. Hver v gngene er snnsynligheten 1 for t lykkehjulet stopper på lå. 4 Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på lå egge gngene er erfor P(lå, lå) Vi finner først snnsynligheten for t lykkehjulet ikke stopper på lå i et hele ttt P(ingen lå) P(ikke lå) P(ikke lå) Sien henelsene «ingen lå» og «minst én lå» er komplementære, gir ette 9 7 P(minst én lå) 1 P(ingen lå) Henelsen «én lå og én gul» inntreffer hvis vi først får lå og så gul, eller hvis vi først får gul og så lå P(lå, så gul) P(gul, så lå) Snnsynligheten for t lykkehjulet stopper én gng på lå og én gng på gul er erfor P(én lå og én gul) P(lå, så gul) P(gul, så lå) Oppgve Vi får krysstellen: Tysk Ikke tysk Totlt Spnsk 8 10 Ikke spnsk Totlt Det er 6 elever som verken hr spnsk eller tysk ,30 30 % 0 10 Snnsynligheten for t reiseleeren verken hr spnsk eller tysk er 30 %. Det er 8 elever som hr spnsk, men ikke tysk ,40 40 % 0 10 Snnsynligheten for t reiseleeren hr spnsk, men ikke tysk, er 40 %. Ashehoug Sie 38 v 40

39 Del Me hjelpemiler Oppgve 3 Det er 4 elever som røyker og 1 elever som ikke røyker i klssen. Snnsynligheten for t en første eleven ikke røyker er erfor 1 5. Hvis vi først trekker en elev som ikke røyker, er et igjen 4 røykere og 0 ikke-røykere. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven heller ikke røyker er erfor 0 4. Til slutt er et igjen 4 røykere og 19 ikke-røykere. Den etingee snnsynligheten for t en siste eleven ikke røyker er erfor Fr prouktsetningen får vi P(ingen røyker) 0,578 57,8 % Snnsynligheten for t ingen v e tre elevene røyker er 57,8 %. Henelsene «ingen røyker» og «minst én røyker» er komplementære. Derme er P(minst én røyker) 1 P(ingen røyker) 1 0,578 0,4 4, % Henelsen «nøyktig én røyker» omftter e isjunkte henelsene RII, IRI og IIR, er R «røyker» og I «røyker ikke». Prouktsetningen gir P( RII ), P( IRI ) og P( IIR) Fr isjonssetningen er erme P(nøyktig én røyker) P( RII, IRI eller IIR) P( RII ) P( IRI ) P( IIR) 0,365 36,5 % Snnsynligheten for t nøyktig én v e tre elevene røyker er 36,5 %. Ashehoug Sie 39 v 40