Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria)

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Elastsusõpetus. (Lineaarne elastsusteooria)"

Transkript

1 Tallnna Tehnkaülkool Mehaankansttuut Rakendusmehaanka õppetool ndrus Salupere Elastsusõpetus (Lneaarne elastsusteoora) Loengukonspekt Tallnn Eessõna Käesolev loengukonspekt on eeskätt mõeldud kasutamseks Tallnna Tehnkaülkool ehtusteaduskonna ülõplastele elastsusõpetuse kursuse (EMD0020) õppmsel aastal õpetat sama koodga anet lneaarse elastsusteoora nme all. Õppeane laendatud programm, Elastsusõpetus, EMD0020 programm (vt. kujutab endast antud loengukonspekt lahutamatut lsa. Seal on estatud õppeane eesmärgd, maht, eeldusaned ja soovtatav krjandus nng krjeldatud antud ane õppmsel kehtvat töökorraldust. Märkused: 1. Loengukonspekt on nternets aadressl 2. Loengukonspekt pole mõeldud kasutamseks sesesva õpkuna. Seetõttu on õptavast

2 anest tervklku ülevaate saamseks loengute külastamne ja vajalkus ulatuses konspekteermne hädavajalk. 3. Tekst paremas servas olevad märgd (,, jne.) tähstavad koht, kus loengus estatakse oluls selgtavad märkus. 4. Loengukonspekt psut ebaharlk väljanägemne (kaks 5 lehekülge on pagutatud ühele 4 lehele) on tngtud praktlstest kaalutlustest. Loengutel nädatakse materjal 5 lehekülgede kaupa. 5. Vabandan juba ette teksts esneda võvate trükvgade pärast. Vastavassulsed märkused on teretulnud n loengutes ku e-krjade kujul aadressl salupere@oc.ee. ndrus Salupere 2 3 Peatükk 1 Sssejuhatus

3 1.1. Elastsusteoora ehk elastsusõpetus Elastsusteoora ehk elastsusõpetus Katsed on nädanud, välsmõjude (pndkoormused, massjõud, soojendamne, jahutamne) tomel võvad tahked kehad deformeeruda. Ku deformatsoond e ületa teatud pr, ss välsmõjude kõrvaldamsel keha taastab oma esalgse kuju. Sellst tahke keha omadust nmetatakse elastsuseks. Elastsusteoora ehk elastsusõpetus uurb elastsete kehade deformatsoone ja lkumst. Sõltuvalt välsmõjude kõrvaldamse krusest võvad sn kaasneda teatud võnkumsed. Ku deformatsoond aga ületavad teatava pr, ss keha algne kuju e taastu täelkult osa deformatsoone sälb. Ned jäävad deformatsoone nmetatakse plastseteks deformatsoondeks. Elastsusteoora ülesandeks on määrata ja hnnata geomeetrls suurus, ms seloomustavad keha deformatsoon: läbpanded, srded jne.; ssejõude ja pnged, ms lmnevad deformatsoonprotsesss. Selleks rakendatakse matemaatls meetoded (matemaatlne analüüs, dferentsaalvõrrandte teoora jne.) Elastsusteoora ehk elastsusõpetus 5 Elastsusteoora põhneb pdeva keskkonna mehaankal 1. Seega on vaja ssse tuua võ määrata: Pdeva keskkonna mõste. Ssejõudude ja deformatsoonde vahelsed seosed ehk olekuvõrrandd (vmased määratakse ekspermentdest). Geomeetrlsed suurused, ms krjeldavad keha deformatsoone. Ssejõud ja nende seos välsmõjudega. Käesoleva kursuse raames kästletakse lneaarset elastsusteoorat. 1 Pdeva keskkonna mehaanka uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel.

4 1.2. Mehaanka harud Mehaanka harud Mehaanka on teadus, ms uurb tahkete kehade, vedelke ja gaasde lkumst, selle lkumse põhjus ja tagajärg. Joons 1.1: Mehaanka harud 1.2. Mehaanka harud Jäga keha mehaanka Teoreetlne mehaanka ehk absoluutselt jäga keha mehaanka uurb absoluutselt jäkade kehade lkumst ja pagalsesu nele rakendatud jõudude tomel. bsoluutselt jäga keha mstahes kahe punkt vahelne kaugus on konstantne. Laas laastus võb teoreetlse mehaanka jagada staatkaks, knemaatkaks ja dünaamkaks. Staatka uurb: 1. kehade tasakaalu (täpsemalt öeldes kehadele rakendatud jõusüsteemde tasakaalu) ja 2. jõusüsteemde lhtsustamst ehk taandamst. Knemaatka uurb lkumse geomeetrls seaduspärasus. Klasskalne dünaamka uurb punktmassde ja jäkade kehade lkumst nele mõjuvate jõudude tomel.

5 1.2. Mehaanka harud 8 Lkumsena ehk mehaankalse lkumsena mõstetakse vaadeldava keha asend muutust teste kehade suhtes. Selleks valtakse tavalselt üks keha, mlle suhtes uurtakse lkumst ja seotakse sellega jägalt koordnaatsüsteem. Tulemust nmetatakse taustsüsteemks. Punktmassks nmetatakse materaalset keha, mlle mõõtmed tema lkumse uurmsel e arvestata. eg loetakse unversaalseks, st., ühtvs kulgevaks kõgs taustsüsteemdes Pdeva keskkonna mehaanka Pdeva keskkonna mehaanka (PKM) uurb tahkste (deformeeruvate tahkete kehade), gaasde ja vedelke lkumst välsmõjude tomel. Palju harusd 1.2. Mehaanka harud 9 tahkse (deformeeruva keha) mehaanka tugevusõpetus elastsusteoora plastsusteoora jne. hüdro- ja aeromehaanka hüdrostaatka hüdrodünaamka jne Tehnlne mehaanka Tehnlne mehaanka = staatka + tugevusõpetus. Tugevusõpetus on mehaanka haru, ms uurb konstruktsoonelementde psava tugevuse, jäkuse ja stablsuse saavutamst võmalkult ökonoomsel moel.

6 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Täpsema ülevaate saamseks on soovtatav lugeda professor leksander Klauson loengukonspekte Staatka Joons 1.2: Jõud ja jõu mõjusrge Jõud on kehade vastastkuse mõju mõõt. Jõud on vektoraalne suurus. Jäga keha mehaankas (k.a. staatkas) on jõud lbsev vektor. Tessõnu, jäga keha mehaankas võb lugeda jõudu rakendatuks oma mõjusrge mstahes punkt. Jõusüsteem on kehale mõjuvate jõudude kogum Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 11 Jõu projektsoon on skalaar: ku on x telje suunalne ühkvektor, ss projektsoon F x = F = F cosα. Jõu komponent on vektor: F x = F x. Joons 1.3: Jõu projektsoond ja jõu komponenedd. Vabaks kehaks nmetatakse keha, mlle lkumst e pra mtte üksk tngmus. Vaba keha saab antud asendst üle va mstahes uude asendsse.

7 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 12 Sde on keha lkumst ktsendav tngmus. Tavalselt moodustab sdeme mng tene keha. Sdemereaktsoon ehk reaktsoonjõud on jõud, mllega sdet moodustav keha mõjub vaadeldavale kehale. Insenerülesannete puhul nmetatakse sdemed tht ka tugedeks ja vastavad reaktsoonjõudusd toereaktsoondeks. Sdemetest vabastatavuse prntsp: Iga seotud keha võb vaadelda vaba kehana ku asendada sdemed sdemereaktsoondega. Sdemete tüübd: sle pnd, kare pnd, lkumatu lgend(tug), lkuv lgend(tug), kerge varras, panduv ühendus jne Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 13 Jõu momendks punkt suhtes nmetatakse vektort, ms võrdub jõu rakenduspunkt kohavektor r ja jõuvektor F vektorkorrutsega. M O = r F, M O M O = Fr sn ϑ = Fd. (1.1) Jõu moment seloomustab jõu pööravat tomet. Joons 1.4: Jõu moment punkt suhtes. Momentvektor M O suurus (ehk moodul) ja suund sõltub punkt O valkust kud e sõltu punkt valkust jõu mõjusrgel.

8 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 14 Momentvektor M O mõjusrge määrab telje, mlle ümber jõud F püüab tektada pöörlemst. Pöörde suund määratakse kruvreeglga ku (parema käe) kruv teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga, ss keha pöörlemse suund ühtb kruv pöörlemse suunaga. Ja vastupd, ku kruv pöörata keha pöörlemse suunas, ss tema teljeshlse lkumse suund ühtb momentvektor suunaga. Jõu moment telje suhtes võrdub selle telje mstahes punkt suhtes letud momentvektor projektsoonga vaadeldaval teljel. See on üldlevnud määratlus ja selle põhjal on tegu skalaarga. Tegelkult võb ka jõu moment telje suhtes kästleda vektorna. Praktkas letakse moment valemst M = ±Fd, s.t. jõud korda jõu õlg, nng märk määratakse kruvreeglga Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 15 Jõupaar moodustavad kaks võrdvastupdst jõudu F ja F mllel on ernev mõjusrge. Jõupaar moment võrdub ühe jõupaar moodustava jõu momendga tese rakenduspunkt suhtes. Jõupaar moment on vabavektor. Joons 1.5: Jõupaar ja jõupaar moment

9 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 16 Lemma jõu paraleellükkest. Jäga keha mstahes punkts rakendatud jõu võb paralleelselt tema mõjusrgega üle kanda uude rakenduspunkt B ku lsada punkts rakendatud jõu moment punkt B suhtes. Staatka põhteoreem (Ponsot teoreem): Iga jägale kehale rakendatud jõusüsteem saab asendada taandamstsentrsse rakendatud jõusüsteem peavektorga ja jõusüsteem peamomendga taandamstsentr suhtes. Joons 1.6: Jõusüsteem peavektor ja peamoment Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 17 Jõusüsteem peavektor: F O = n =1 F Jõusüsteem peamoment: M O = n =1 M O(F ), kus punkt O nmetatakse taandamstsentrks. (Joonsel on kahjuks O asemel.) Jõusüsteem on tasakaalus parajast ss ku peavektor F O ja mng punkt O suhtes letud peamoment M O on võrdsed nullga: F O = F = 0, M O = M O (F ) = 0. (1.2) Skalaarsed tasakaalu tngmused: F x = 0, F y = 0, F z = 0, M x (F ) = 0, M y (F ) = 0, M z (F ) = 0. (1.3)

10 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 18 Tasapnnalne jõusüsteem F x = 0, F y = 0, M Oz (F ) = 0. (1.4) lternatvsed võrrandd F x = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.5) võ F y = 0, M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0 (1.6) võ M z (F ) = 0, M Bz (F ) = 0, M Cz (F ) = 0, (1.7) kus punktd,b ja C e asetse samal srgel Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 19 Staatlselt määratud ja staatlselt määramata ülesanded: Ku on võmalk koostada n sama palju tasakaaluvõrranded ku palju on tundmatud toereaktsoone, ss on tegu staatlselt määratud ülesandega. Vastupdsel juhul on tegu staatlselt määramata ülesandega. Mtmetes õpkutes kasutatakse antud konteksts ka termned staatkaga määratud ülesanded ja staatkaga määramata ülesanded. Raskuskese Skalaarkujul x C = V xdv V r C =, y C = V rdv V V ydv V Masskese: sarnased valemd, kud V m Pnnakese: sarnased valemd, kud V. (1.8), z C = V zdv V. (1.9)

11 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 20 Pnnamomendd. n + m astme pnnamoment Nullastme pnnamoment pndala: x m y n d (1.10) Joons 1.7: Tasapnnalse kujund pnnamomendd. = d. (1.11) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 21 Esmese astme pnnamomendd staatlsed momendd: S x = yd S y = xd. (1.12) Joons 1.8: Staatlne moment.

12 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 22 Tese astme pnnamomendd nertsmomendd momendd: telgnertsmomendd I x = polaarnertsmoment I ρ = tsentrfugaalnertsmoment I xy = y 2 d, I y = x 2 d; (1.13) ρ 2 d; (1.14) xyd. (1.15) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 23 Rstlõke keskteljed ja peateljed. Peanertsmomendd. Peatasandd. Joons 1.9: Rstlõge.

13 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest Tugevusõpetus Ssejõud: pkjõud, väändemoment, põkjõud, pandemoment. Joons 1.10: Pkjõud 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 25 Joons 1.11: Väändemoment

14 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 26 Joons 1.12: Põkjõud ja pandemoment 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 27 Joons 1.13: Ssejõudude märgreegld.

15 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 28 Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsuse ja ssejõudude vahel Joons 1.14: Dferentsaal- ja ntegraalseosed lauskoormuse ntensvsus dn dx = N = p x, dq z dx = Q z = p z, dm y dx = M y = Q z, N(x) = N(a) Q z (x) = Q z (a) M y (x) = M y (a) x a x a x a p x (x)dx, (1.16) p z (x)dx, (1.17) Q z (x)dx. (1.18) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 29 Joons 1.15: Dferentsaal- ja ntegraalseosed ssejõud

16 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 30 Lõkemeetod, pnged varda rstlõkes Joons 1.16: Lõkemeetod ja pnged varda rstlõkes 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 31 Pnged varda punkts. Vaatleme varda punkt K, mda läbb pnd normaalga n. Seal mõjub pngevektor p. Vmane omab normalkomponent σ x ja tangentsaalkomponente τ xy ja τ xz. σ x normaalpnge märgreegel analoogne pkjõuga τ xy ja τ xz nhkepnge ehk tangentsaalpnge märgreegel analoogne põkjõuga Joons 1.17: Pnge varda punkts

17 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 32 Joons 1.18: Normaalpnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 33 Joons 1.19: Nhkepnge

18 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 34 Normaaldeformatsoon (normaalmoone) Joons 1.20: Normaaldeformatsoon: σ > Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 35 Joons 1.21: Normaaldeformatsoon: σ < 0

19 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 36 Nhkedeformatsoon ehk nhe ehk nhkemoone Joons 1.22: Nhkedeformatsoon 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 37 Joons 1.23: Nhkedeformatsoon

20 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 38 Elastsuskonstandd: E Young moodul ehk (normaal)elastsusmoodul; G nhkeelastsusmoodul; ν Posson tegur; G = E 2(1 + ν) Pngete ja deformatsoonde (moonete) vahelsed seosed: (1.19) ε x = σ x E, γ xy = τ xy G, γ xz = τ xz G,..., ε y = ε z = νε x (1.20) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 39 Deformatsoonenerga Vaatleme vedru, mlle elastsusjõu moodul F = kx. Elastsusjõu elementaartöö dw = F dx = kxdx Elastsusjõu töö lõplkul deformatsoonl ong võrdne vedru deformatsoonl tekknud potentsaalse energaga U = W = x1 0 dw = x1 0 kxdx = kx (1.21) nalooglselt vedruga letakse elastsel deformatsoonl akumuleeruvat energat. Vmane estatakse tavalselt energa thedusena. Näteks u σ = du dv = Eε2 x 2 = ε xσ x 2 = σ2 x 2E, u τ = du dv = Gγ2 xy 2 = γ xyτ xy 2 = τ2 xy 2G (1.22) ja summaarne deformatsoonenerga thedus u = u σ + u τ. (1.23)

21 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 40 Seos pngete ja ssejõudude vahel M y = Joons 1.24: Pnged varda rstlõke elementaarpnnal d. N = σ x d; Q y = zσ x d; M z = τ xy d; Q z = yσ x d; T = τ xz d; (1.24) (yτ xz zτ xy )d. (1.25) 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 41 Pkkepnge σ x = N (1.26) Joons 1.25: Pkkepnge

22 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 42 Pandepnge σ x = M y I y z (1.27) Joons 1.26: Pandepnge 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 43 Nhkepnge ehk lõkepnge maxτ xz = 3 2 Q z (1.28) Joons 1.27: Lõkepnge

23 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 44 Pnguste lgd Joons 1.28: Pnguste lgd 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 45 Varda põhdeformatsoond. Ernevad ssejõud põhjustavad vardas ernevad deformatsoone, srded ja pöörded. Joons 1.29: Varda põhdeformatsoond

24 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 46 Surutud srge saleda varda stablsus. Joons 1.30: Varda nõtke ja stablsuse kadu 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 47 Joons 1.31: Krtlne jõud ja stablsuse kadu

25 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 48 Stablsuse kadu pandel ja kve Joons 1.32: Kve 1.3. Ülevaade tehnlse mehaanka põhmõstetest, hüpoteesdest ja võrrandtest 49 Dünaamlne koormus Inertsjõud, D lembert prntsp, kvaasstaatlsed ülesanded Võnkumne Löök lajaotuse 1.3 kokkuvõte Kuna tugevusõpetus põhneb lneaarsel elastsusteooral, ss on nel kahel anel väga palju ühst materjald on lneaarselt elastsed, homogeensed, sotroopsed; kehtb Sant Venant prntsp 2, jne. Tesest küljest on tugevusõpetuse puhul tegu maksmaalselt lhtsustatud teooraga seega leavad paljud probleemd lneaarses elastsusteooras kästlemst vähem lhtsustatud kujul. Näteks talade pane. Mõned järgnevates peatükkdes uurtavad probleemd pole aga üldse tugevusõpetuse uurmsobjektks, näteks plaadd. 2 Koormuse rakenduskohast psavalt kaugel e sõltu pnge koormuse seloomust (rakendusvsst).

26 1.4. Elastsusteoora ülesanded Elastsusteoora ülesanded Elastsusteoora põhülesandeks on elastses kehas välsmõjude tomel tekkvate pngete ja deformatsoonde määramne. Elastsusteoora meetodd võmaldavad lahendada ülesanded, mda pole tugevusõpetuse meetodtega võmalk lahendada; võmaldavad hnnata tugevusõpetuses saadud lahendte täpsust. Käesolevas kursuses vaadeldakse välsmõjudena vad välsjõudusd; lneaarset ehk klasskalst elastsusteoorat. pngete ja deformatsoonde vahelsed seosed on lneaarsed srded (ehk pagutsed) on väkesed võrreldes kehade joonmõõtmetega nng deformatsoond (suhtelsed pkenemsed ja nhkenurgad) on väkesed võrreldes ühega Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd Uurmsobjekt: deaalselt (täelkult) elastne keha. Ideaalselt elastne keha taastab täelkult oma algse kuju ja mahu pärast välsjõudude mõju kõrvaldamst. Defneertakse nn. algolek: välsjõudude puudumsel puuduvad kehas pnged ja deformatsoond. Hüpoteesd ja eeldused Pdevuse hüpotees: eeldame, et uurtavad tahked kehad koosnevad anest, ms tädab ruum pdevalt Keha mstahes mahus puuduvad tühmkud võ katkevused. Eeldatakse, et deaalselt elastne keha on homogeenne. Pnge deformatsoon seosed on kõgs keha punktdes samad.

27 1.5. Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd 52 Eeldatakse, et deaalselt elastne keha on sotroopne. Keha elastsed omadused on samad kõgs suundades. Superpostsoon prntsp ehk jõudude mõju sõltumatuse prntsp. Lneaarne teoora: lneaarsed seosed ja väkesed deformatsoond Selle asemel, et uurda jõusüsteem tervkmõju kehale võb uurda ga ükskjõu mõju erald ja tulemused lta. Tessõnu, lneaarses elastsusteooras loetakse ernevate lahendte summa alat lahendks. Sant Venant prntsp. Kaks sõnastust: 1. Tasakaalus olevate jõudude rakendamne mngl väkesel keha osal kutsub esle vad lokaalsed pnged rakenduskoha lähümbruses (Joon. 1.33). 2. Koormuse rakenduspunktst psavalt kaugel e sõltu pnged olulselt koormuse rakendusvsst, st. jaotusest keha pnnal Klasskalse elastsusteoora põheeldused ja põhhüpoteesd 53 a) b) Joons 1.33: Sant Venant prntsp: a) kahe taskaalus oleva jõu poolt põhjustatud normaalpngete epüür; b) kolm erneval jaotunud koormust, mllel on sama peavektor.

Imaginaarühik. Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil (1)

Imaginaarühik. Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil (1) Kompleksarvud Imaginaarühik Reaalarvude vallas ei ole igal võrrandil lahendit. Näiteks puudub lahend ruutvõrrandil x 0. Et oleks võimalik lahendada iga ruutvõrrandit, on kasutusele võetud imaginaarühik,

Detaljer

Magnet. Füüsika 11.klassile

Magnet. Füüsika 11.klassile Magnet Füüsika 11.klassile Hans Christian Oersted Taani füüsik ja keemik, Sünnikoht Rudkobing Füüsikaprofessor. Ehitas esimese termoelektrilise patarei. 1825 kasutas esimesena alumiiniumi eraldamiseks

Detaljer

Oppsummering Mekanikk. Newtons 2. lov: masse akselerasjon = kraft (total ytre kraft) Posisjon x [m] dx dt. v x. a x () t dt. Hastighet v x [m/s]

Oppsummering Mekanikk. Newtons 2. lov: masse akselerasjon = kraft (total ytre kraft) Posisjon x [m] dx dt. v x. a x () t dt. Hastighet v x [m/s] Oppsummerng Mekankk Sde av 6 Newtons. lov: masse akselerasjon kraft (total ytre kraft) Possjon x [m] Hastghet v x [m/s] Akselerasjon a x [m/s ] v x dx ----- dx v x x() t x( 0) a x t 0 v x () t dv -------

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

) liikumise suunda, kiirust v ja kiirendust a. Võrrand, x x0. 2 t, kus t väljendab aega sekundites, võimaldab seda ülesannet

) liikumise suunda, kiirust v ja kiirendust a. Võrrand, x x0. 2 t, kus t väljendab aega sekundites, võimaldab seda ülesannet 1. I Kinemaatika osa nõutavad teoreetilised teadmised. Mehaaniliseks liikumiseks nimetatakse keha asukoha muutumist teiste kehade suhtes. Kehi käsitletakse punktmassina, kui ülesande tingimustes võib nende

Detaljer

Füüsikaline maailmapilt (II osa)

Füüsikaline maailmapilt (II osa) Füüsikaline maailmapilt (II osa) Sissejuhatus... 2 3. Vastastikmõjud... 2 3.1. Gravitatsiooniline vastastikmõju... 3 3.2. Elektromagnetiline vastastikmõju... 4 3.3. Tugev ja nõrk vastastikmõju... 8 4.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Fys-1002 Elektromagnetisme. Adm.bygget B154 Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling

EKSAMENSOPPGAVE. Fys-1002 Elektromagnetisme. Adm.bygget B154 Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: Fys-1002 Elektromagnetisme Dato: Onsdag 26. september 2018 Klokkeslett: Kl. 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget B154 Kalkulator

Detaljer

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska

Detaljer

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7

INF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7 INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 ØSNINGSFOSAG TI EKSAMEN I FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME

Detaljer

Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on

Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududega. Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on 4 LIIKUMISE PÕHJUSED 41 Jõud Dünaamika käsitleb liikumist põhjuslikus seoses liikumist esilekutsuvate jõududea Dünaamika ja üldisemalt mehaanika põhimõisted on jõud mass liikumishulk ehk impulss (kulliikumise

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute

EKSAMENSOPPGAVE. ü Kalkulator med tomt dataminne ü Rottmann: Matematisk Formelsamling. rute Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: 26. september 2017 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: ü Kalkulator med tomt dataminne

Detaljer

Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007

Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007 Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007 May 24, 2007 Oppgave 1 a) Lorentztransformasjonane er x = γ(x V t), t = γ(t V x), der γ = 1/ 1 V 2 Vi tar differensiala av desse

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark

Detaljer

Eksamen 19.05.2014. FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/ Nynorsk/Bokmål

Eksamen 19.05.2014. FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister. http://eksamensarkiv.net/ Nynorsk/Bokmål Eksamen 19.05.2014 FSP5936/PSP5590 Estisk nivå I Elevar og privatistar / Elever og privatister Nynorsk/Bokmål Oppgåve 1 Svar på spørsmålet nedanfor med fem seks setningar på estisk. Mida sa tegid eelmisel

Detaljer

väljavõte Telia Eesti AS lõppkasutajate hinnakirjast Seisuga VIII ptk Mittemüüdavad püsiühenduse teenused ärikliendile km-ta km-ga ühik

väljavõte Telia Eesti AS lõppkasutajate hinnakirjast Seisuga VIII ptk Mittemüüdavad püsiühenduse teenused ärikliendile km-ta km-ga ühik 1. Interneti- ja kõnepaketid 1.1. Ärikliendi Internet teenus on mittemüüdav 1.1.1. kuutasu 1.1.1.1. kiirus kuni 2 Mbit/s / 2 Mbit/s 78,85 94,62 /kuu 1.1.1.2. kiirus kuni 4 Mbit/s / 4 Mbit/s 142,85 171,42

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 6 juni 2017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

Füüsikalise looduskäsitluse alused

Füüsikalise looduskäsitluse alused Füüsikalise looduskäsitluse alused Kirjuta sõnade sõnade mina, maailm, loodus ja füüsika tähendus enda jaoks. Käsitle neid sõnu omavahel seostatuna. Ava mõistete sündmus, signaal, retseptor, aisting ja

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling.

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling. EKSAMENSOPPGAE Eksamen i: FYS-1002 Dato: Mandag 4. juni, 2018 Klokkeslett: 9:00 13:00 Sted: ADM B154 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator med tomt dataminne, Rottmann: Matematisk formelsamling. Eksamenoppgaven

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131 Mandag 30

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y

Detaljer

TFY4115: Løsningsforslag til oppgaver gitt

TFY4115: Løsningsforslag til oppgaver gitt Institutt for fysikk, NTNU. Høsten. TFY45: Løsningsforslag til oppgaver gitt 6.8.9. OPPGAVER 6.8. Vi skal estemme Taylorrekkene til noen kjente funksjoner: a c d sin x sin + x cos x sin 3 x3 cos +... x

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 404 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 200 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er

Detaljer

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk Formelsamling Side 7 av 15 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST Statistiske metoder Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag - Eksame desember Oppgave a) Dette er e ANOVA-tabell for k-utvalg med k 4 og j 6 for j,,3,4.

Detaljer

Mandag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4

Mandag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4 Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4 Mandag 22.01.07 Elektriske feltlinjer [FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; F 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1] gir en visuell framstilling

Detaljer

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk

Detaljer

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ =

a 2 x 2 dy dx = e r r dr dθ = NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk

Detaljer

TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22

TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22 TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas

Detaljer

TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22

TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22 TFY4104 Fysikk Eksamen 28. november 2016 Side 13 av 22 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

CCD kamera. Analysator. Strålesplitter. Bilde forsterker. Pinhole. Objektiv (NA 1.2) Filterkube/ dikroiske speil. Polarisator.

CCD kamera. Analysator. Strålesplitter. Bilde forsterker. Pinhole. Objektiv (NA 1.2) Filterkube/ dikroiske speil. Polarisator. S av 8 NOGS TKNSK-NATUVTNSKAPLG UNVSTT NSTTUTT O SKK al oa sam: Nav: Bø To So Tl: 75 9 KSAMN MN T65 BOSSK MKOTKNKK a 5. smb T: l. 9. Tlla lpml: C- Tpo allao m om m. O. Ja o K.J. Ks: omlsaml mama K. oma:

Detaljer

Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02

Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sida 1 Formelsamling Matematisk statistik för D3, VT02 Sannolikhetsmått För två händelser A och B gäller alltid att P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A ) = 1 P (A) P (A \ B) = P (A) P (A B) Kombinatorik

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTISITET OG

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 9. august 2007 kl

KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4160 BØLGEFYSIKK Torsdag 9. august 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 15 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4160 BØLGEFYSIKK

Detaljer

Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl

Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2006 Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl 0830 1130. Løsningsforslag 1) A. (Andel som svarte riktig: 83%) Det

Detaljer

Enne testi alustamist tuleb veenduda selles, et asutakse /root kaustas ja mitte milleski muus: pwd

Enne testi alustamist tuleb veenduda selles, et asutakse /root kaustas ja mitte milleski muus: pwd Eksami käigus tuleb teostada erinevaid administreerimise alaseid operatsioone. Mõned neist on lihtsamad ja mõned keerukamad. Operatsioone teostage /root kaustas ja juurkasutaja õigustes, kui pole öeldud

Detaljer

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk Formelsamling Side 7 av 16 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

Våre Vakreste # & Q Q Q A & Q Q Q - & Q Q Q.# arr:panæss 2016 E A A 9 A - - Gla- ned. skjul F Q m. ler. jul. eng- da- jul. ler.

Våre Vakreste # & Q Q Q A & Q Q Q - & Q Q Q.# arr:panæss 2016 E A A 9 A - - Gla- ned. skjul F Q m. ler. jul. eng- da- jul. ler. Vå Vks rr:pnæss 06 Kor L JUL Q Q Q ^\ # Q Q Q ht Q Q Q # 6 Q Q Q # Q Q Q # Ju lg u u Q Q Q # # v blnt # LL: u # mj # # # # d fly p r ds Q Q m # # år lønn Ju v g v g # jul # grønt 6 # # u Lønn gå # hvor

Detaljer

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. MIT OpenCouseWae http://ocw.mt.edu 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5 Please use the followng ctaton fomat: Maus Zahn, 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5. (Massachusetts

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Noen begreper. Automatisk bevissøk i førsteordens logikk

Dagens plan. INF3170 Logikk. Noen begreper. Automatisk bevissøk i førsteordens logikk INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: introduksjon, substitusjoner og uniisering Christian Mahesh Hansen 1 Institutt or inormatikk, Universitetet i Oslo 16. april 2007 Institutt or inormatikk (UiO)

Detaljer

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant

Detaljer

2. Matemaatiline põhivara

2. Matemaatiline põhivara Maemaailine põhivara Maemaaika olulisus Teooria on maailmapil ehk maailma mudel, mis käiviub meie mõlemises Mõlemise ugev külg on suhelisel keerukae süseemide kiire kvaliaiivne analüüs Kuid mõõmise ulemuseks

Detaljer

Indirekte ioniserende stråling. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling. Forelesning i FYSKJM4710. Eirik Malinen

Indirekte ioniserende stråling. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling. Forelesning i FYSKJM4710. Eirik Malinen Dosimei for idirekte ioiserede sålig Forelesig i FYSKJM4710 Eirik Malie Departmet of Physics Idirekte ioiserede sålig Idirekte ioiserede sålig har relativt få vekselvirkiger i et stoff, me gir fra seg

Detaljer

Seminaroppgave 10. (a) Definisjon: En estimator θ. = θ, der n er et endelig antall. observasjoner. Forventningsretthet for β: Xi X ) Z i.

Seminaroppgave 10. (a) Definisjon: En estimator θ. = θ, der n er et endelig antall. observasjoner. Forventningsretthet for β: Xi X ) Z i. Seminaroppgave 0 a Definisjon: En estimator θ n er forventningsrett hvis E θn observasjoner. Forventningsretthet for β: θ, der n er et endelig antall β Xi X Y i Xi X Xi X α 0 + βx i + n Xi X Xi X β + Xi

Detaljer

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign Instituttt for fysikk Eksamensoppgave i TFY4104 Fysikkk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 18. desember 2013 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillattee

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen FY desember 2017

Løsningsforslag, eksamen FY desember 2017 1 Løsninsforsla, eksamen FY1001 14. desember 017 1 3 områder av t = 4 s, a konstant i hvert omrde. 1 : a 1 = 0; v 0 = 5m/s = x 1 = v 0 t; v 1 = v 0 : a = v/ t = 1.5 m/s = x = x 1 + v 1 t + a t = v 0 t

Detaljer

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.

Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel

Detaljer

Solutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with.

Solutions #12 ( M. y 3 + cos(x) ) dx + ( sin(y) + z 2) dy + xdz = 3π 4. The surface M is parametrized by σ : [0, 1] [0, 2π] R 3 with. Solutions #1 1. a Show that the path γ : [, π] R 3 defined by γt : cost ı sint j sint k lies on the surface z xy. b valuate y 3 cosx dx siny z dy xdz where is the closed curve parametrized by γ. Solution.

Detaljer

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign

Fysikkk. Støvneng Tlf.: 45. Andreas Eksamensdato: Rottmann, boksen 1 12) Dato. Sign Instituttt for fysikk Eksamensoppgave i TFY4115 Fysikkk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 18. desember 2013 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillattee

Detaljer

NÄIDE. Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut

NÄIDE. Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut AAR0030 Sessejuhatus Robotitehnikasse Kodutöö Tööstusroboti Kinemaatika ja Juhtimine Mitsubishi RV-3S Koostanud: Sergei Astapov 0987

Detaljer

MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL

MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL MEHAANIKA LABORATOORSED TÖÖD ARVUTI ABIL 004-010 Sisukord Laboratoorne töö nr 1 Vaba langemise kiirenduse määramine... 3 Laboratoorne töö nr Atwoodi masin... 7 Laboratoorne töö nr 3 Impulsi jäävuse seaduse

Detaljer

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring.

Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Kap. 3 Arbeid og energi. Energibevaring. Definisjon arbeid, W Kinetisk energi, E k Potensiell energi, E p. Konservative krefter Energibevaring Energibevaring når friksjon. Arbeid = areal under kurve F(x)

Detaljer

Chapter: 2 Subdomain boundary nodes

Chapter: 2 Subdomain boundary nodes Chapter: 2 MEK4560 The Finite Element Method in Solid Mechanics II (pril 17, 2008) (E-post:torgeiru@math.uio.no) Page 1 of 34 2 Mindlin-Reissner beam 3 2.1 ssumptions.....................................

Detaljer

Matematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t

Matematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )

Detaljer

Korreksjoner til fasit, 2. utgave

Korreksjoner til fasit, 2. utgave Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Eksamensoppgave i TFY4104 Fysikk

Eksamensoppgave i TFY4104 Fysikk Institutt for fysikk Eksamensoppgave i TFY4104 Fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 Eksamensdato: 4. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): 0900-1300 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-natuvitenskapelige fakultet Eksamen i: MEK3220/MEK4220 Kontinuumsmekanikk Eksamensdag: Onsdag 2. desembe 2015. Tid fo eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet e på 7 side.

Detaljer

Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 1

Ma Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Ma1203 - Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes 23.01.2012 Oppgaver 10.1 6. Show that the triangle with verticies (1, 2, 3), (4, 0, 5) and (3, 6, 4) has a right angle. z y x Utifra

Detaljer

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].

Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm]. Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 01. Løsningsforslag til øving 4 Oppgave 1 a) D = D 0 [ cos (kx ωt) + sin (kx ωt) ] 1/ = D 0 for alle x og t. Med andre ord, vi har overalt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016

Løsningsforslag til Øving 6 Høst 2016 TEP4105: Fluidmekanikk Løsningsforslag til Øving 6 Høst 016 Oppgave 3.13 Skal finne utløpshastigheten fra røret i eksempel 3. når vi tar hensyn til friksjon Hvis vi antar at røret er m langt er friksjonen

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),... - ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k

Detaljer

Løysingsframlegg kontinuasjonseksamen TFY 4104 Fysikk august 2011

Løysingsframlegg kontinuasjonseksamen TFY 4104 Fysikk august 2011 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg kontinuasjonseksamen TFY 4104 Fysikk august 011 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Investigating B τν τ New Statistical Techniques. Matthew Barrett Dept of Electronic and Computer Engineering Brunel University

Investigating B τν τ New Statistical Techniques. Matthew Barrett Dept of Electronic and Computer Engineering Brunel University Investigating B τν τ at Ba Ba r with New Statistical Techniques Matthew Barrett Dept of Electronic and Computer Engineering Brunel University Outline of Talk "#$%&%&'$()*#'+,#-./ 0τν 1$2"3$+4$+.$+-.#'#4.+-56$

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Torsdag 8. august 2013

Løsningsforslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Torsdag 8. august 2013 NTNU Sie 1 av 6 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY345 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Torsag 8. august 013 Dette løsningsforslaget er på 6 sier.

Detaljer

Arbeid og energi. Energibevaring.

Arbeid og energi. Energibevaring. Arbeid og energi. Energibevaring. Arbeid = dw = F ds Kinetisk energi E k = ½ m v 2 Effekt = arbeid/tid = P = dw /dt Arbeid på legeme øker E k : Potensiell energi E p (x,y,z) dw = de k (Tyngdefelt: E p

Detaljer

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8% Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet

Detaljer

Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011

Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Løsningsforslag EKSAMEN TFY4102 FYSIKK Fredag 10. juni 2011 Oppgave 1. a) Vi velger her, og i resten av oppgaven, positiv retning oppover. Dermed gir energibevaring m 1 gh = 1 2 m 1v 2 0 v 0 = 2gh. Rett

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205)

EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA (TMA4205) Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren 93064 EKSAMEN I NUMERISK LINEÆR ALGEBRA TMA405 Fredag 5 desember

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY003 ELEKTRISITET

Detaljer

Kapittel 4: Differensiallikninger

Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. 57 Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. Oppgave 4..: (NY.) a) Vi har slik at venstre side er lik y + xy = xe x + x y(x) = e

Detaljer

ST1201 Statistiske metoder

ST1201 Statistiske metoder ST0 Statistise etoder Norges tenis-naturvitensapelige universitet Institutt for ateatise fag Løsningsforslag - Esaen deseber 008 Oppgave a l(θ = lnl(θ = L(θ = n n f(x i [ θ e ] x i θ [ ln lnθ x ] i = nln

Detaljer

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Side 2 av 5 Oppgave 1 Hvilket av de følgende fritt-legeme diagrammene representerer bilen som kjører nedover uten å akselerere? Oppgave 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 En lampe med masse m er hengt opp fra

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Onsdag 20. desember 2006 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Onsdag 20. desember 2006 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 og TFY4160

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 6 juni 0 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark Tillatte

Detaljer

L(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1

L(t 2 ) = 2 s 3, 2. (1. Skifteteorem) (s 2) 3. s 2. (Konvolusjonsteoremet) s 2. L 1 ( Z. = t, L 1 ( s 2 e 2s) = (t 2)u(t 2). + 1 NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA5 Matematikk D høsten 008 Løsningsforslag a i Lt s, Lt e t Skifteteorem s ii Z t L sinτsint τdτ 0 s Konvolusjonsteoremet + b i L s t, L s e s t ut ii L s

Detaljer

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTISITET OG

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 14 juni 2019 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x

Høgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R. LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver

Detaljer

Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon

Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon Januar 7. 2008 Matematikk 4 M/N Januar 7. 2008 1 / 5 Fourier rekker Joseph Fourier (1768-1830) Fransk matematikker og fysikker. Fourier var den første å bruke

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE

EKSAMEN I EMNE TKT 4100 FASTHETSLÆRE NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KONSTRUKSJONSTEKNIKK Side 1 av 13.... Faglig kontakt under eksamen: Kjell Magne Mathisen, 73 59 46 74 Arild H. Clausen, 73 59 76 32 Sensuren

Detaljer

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 12. oktober 2007 kl

Midtsemesterprøve Bølgefysikk Fredag 12. oktober 2007 kl Institutt for fysikk, NTNU FY1002/TFY4160 ølgefysikk Høst 2007 Midtsemesterprøve ølgefysikk Fredag 12. oktober 2007 kl 1215 1400. Merk av svarene dine på side 13. Lever inn alle 13 sidene. Husk å skrive

Detaljer

Oblig1.nb 1. Et glassfiberlaminat består av følgende materialer og oppbygging:

Oblig1.nb 1. Et glassfiberlaminat består av følgende materialer og oppbygging: Oblg1.nb 1 Oblg1 Data Et glassfberlamnat består av følgende materaler og oppbggng: Glassfber: Vnlester: E-modul: E=72MPa Posson s tall: n=.25 Denstet: 2.54 g/cm3 E=37 MPa Posson s tall: n=.3 Denstet; 1.19

Detaljer