Historisk introduksjon til sannsynlighetsregning

Transkript

1 Historisk introduksjon til sannsynlighetsregning (for lærerstudenter) 3. utgave Bjørn Smestad

2 Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse 2 1 Innledning 4 Sannsynlighetsregning i dag 4 Sannsynlighetsregning gjennom historien 4 Sannsynlighetsregning 4 Statistikk 5 Innledende oppgaver 6 2 Sannsynlighetsbegrepet 8 Ulike sider ved sannsynlighetsbegrepet 8 Subjektiv sannsynlighet 9 Relativ frekvens 9 Teoretisk sannsynlighetsmodell 9 En advarsel 11 Hva er tilfeldighet? 12 Forventningsverdi 14 Å gi elevene erfaringer 16 Spill 16 Eksperimenter 18 Simuleringer 19 Utstyr 20 3 Kombinatorikk (telling) 21 Innledende oppgaver 21 Noen regler i kombinatorikken 24 Oppgave Oppgave 3-1 og Oppgave Oppgave 3-6a 26 Oppgave 3-6c 27 Oppsummering 28 Sluttkommentar 31 4 Sannsynlighetsregning 32 Addisjon av sannsynligheter 32 Multiplikasjonsregelen for sannsynligheter 32 Illustrasjoner 33 Misoppfatninger 35 Mynter med hukommelse 35 Telle i et ikke-uniformt utfallsrom 35 Flere oppgaver 36 Binomisk sannsynlighetsmodell 38 Oppgave Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell 39 Flere oppgaver 39 2

3 5 Hypotesetesting 46 Jordstråling og søkevinkler 46 Verifisering vs. falsifisering 48 Vanlige stilte spørsmål 49 Ordforklaringer/etymologi 49 Biografiske opplysninger om matematikere nevnt i teksten 50 Indeks 54 Kilder 55 3

4 1 Innledning Det som skiller denne introduksjonen til sannsynlighetsregning fra mange andre, er at jeg i større grad enn andre trekker veksler på sannsynlighetsregningens historie. Forhåpentligvis vil en del synes at det blir interessant. I tillegg vil jeg legge stor vekt på utforskende oppgaver, hvor svarene kommer etter at du har fått sjansen til å utforske på egen hånd (oppgaver som jeg kommer tilbake til senere i teksten, er markert med *). Jeg har i denne omgang valgt å ikke lage fasit dersom dette fører til flere interessante diskusjoner om hva som egentlig er det riktige svaret, er det bra. Ellers kan det tenkes at jeg kan overtales til å komme med en fasit på et senere tidspunkt. Heftet er basert på et undervisningsopplegg utført ved Høgskolen i Finnmark. Denne tredje utgaven er noe utvidet i forhold til de to første især med noen flere oppgaver. I tillegg har jeg i denne versjonen brukt fonten Papyrus på oppgavene, slik at de skiller seg klart ut fra den andre teksten. Jeg regner med at jeg får vite om det hvis det er skrekkelig plagsomt. Jeg vil også gjerne ha innspill til alle andre typer forbedringer. Sannsynlighetsregning i dag Sannsynlighetsregning har i de siste årene kommet mer og mer (og tidligere og tidligere) inn i skoleverket. Mange lærere fortviler over dette, og det er ikke så rart: naturligvis er det vanskelig å undervise et tema som de selv aldri har fått noe særlig undervisning i verken i grunnskolen, den videregående skolen eller på lærerskolen (siden mange ikke har matematikk fra lærerskolen). Men hvorfor er da dette temaet inkludert i grunnskolen? Oppgave 1-1: Skriv ned en del eksempler på hvor du tror sannsynlighetsregning brukes i dag. Jeg kommer tilbake til hvor sannsynlighetsregning brukes i dag, etter å ha gitt en skisse av historien. Sannsynlighetsregning gjennom historien Det vi i dag (i hvert fall i dette heftet) kaller sannsynlighetsregning, har to røtter i historien: sannsynlighetsregning og statistikk. Sannsynlighetsregning Gjennom hele historien har menneskeheten måttet forholde seg til at det finnes en mellomting mellom sant og galt. Rettssaker er et eksempel: stadig står man ovenfor påstander som strider mot hverandre, men som begge har argumenter og beviser på sin side. Da må man ta stilling til hvilke av påstandene som er mest sannsynlige ut fra bevisene, og også om sannsynligheten er stor nok til at man kan domfelle et menneske på grunnlag av den. Dette har vært gjort, og gjøres fremdeles, uten å fastsette noen tall for sannsynligheten man nøyer seg med uttrykk av typen ut over rimelig tvil. Det er sikkert like greit. Selv om det hadde vært mulig å fastslå en sannsynlighet nøyaktig, ville det ikke vært morsomt å bli frikjent, men få beskjed om at retten mener at sannsynligheten er 79 % for at du er skyldig Men både her og på andre områder, som filosofi, religion og vitenskap, har man bygget opp begrepsapparater for å kunne diskutere sannsynligheter. (Vitenskapsmenn/kvinner i dag vil nødig fastsette et konkret tall for hvor sannsynlig Darwins evolusjonsteori er, men de er fullt i stand til å begrunne at den er svært sannsynlig i forhold til konkurrerende teorier.) Fra de tidligste tider har mennesker holdt på med ting som likner på terningkast det har man funnet tegn på i alle de store kulturene. I Bibelen (både i det gamle og det nye testa- 4

5 mentet) er det mange eksempler på at man kaster lodd om goder eller byrder. Et eksempel er Apostlenes gjerninger 1, 23-26: To menn ble kalt fram, Josef Barsabbas med tilnavnet Justus, og Mattias. Så bad de: Herre, du som kjenner alles hjerter, vis oss hvem av disse to du har utvalgt til å ha den tjeneste og det apostelembete som Judas forlot for å gå til sitt sted. De kastet lodd mellom dem, og loddet falt på Mattias. Fra nå av ble han regnet som apostel sammen med de elleve. Her er det ikke så interessant å prøve å regne med sannsynligheter de tror at det er Gud som bestemmer hvem som skal bli utvalgt, og hvem Gud velger (gjennom å bestemme loddet) er ikke tilfeldig. Slike eksempler finnes det mange av gjennom historien. Mer matematiske forsøk på å betrakte sannsynlighetene til forskjellige hendelser har vi ikke før godt etter år De Vetula, fra mellom 1200 og 1400, ramser opp de 56 mulige resultatene du kan få når du kaster tre terninger. Den første større matematiske behandlingen vi kjenner til var Luca Paciolis Summa fra Pacioli var forresten en venn av Leonardo da Vinci. Paciolis bidrag kommer vi tilbake til senere. I løpet av et par ukers arbeid med sannsynlighetsregning vil dere nok avsløre feil i deler av det Pacioli gjorde. I ca skrev Girolamo Cardano Liber de Ludo Aleae (Boken om sjansespill). Han regnet ut en del odds som ville være nyttige i en del spill. Cardano var selv en ivrig gambler som, på grunn av sitt kjennskap til sannsynlighetsregning, vant mer enn han tapte. Vi kommer også tilbake til ham etter hvert. Disse skrivene (og et av stammeren Tartaglia) fikk ikke så stor innflytelse der og da. Det som derimot satte i gang teorien for sannsynlighetsregning, var et brev fra Antoine Gombaud (chevalier de Méré) til Blaise Pascal i De spørsmålene han stilte i dette brevet, er noe av det første vi kaster oss over. Legg forresten merke til at det bak i dette heftet står korte biografiske skisser om personene som er nevnt i teksten. Statistikk Den andre roten til dagens sannsynlighetsregning er statistikken. Innsamling av datamateriale fra en mengde kilder for å få et overblikk over fødsels- og dødstall ser ut til å ha startet opp på 1500-tallet. Men John Graunts bok Natural and Political observations made upon the Bills of Mortality by John Graunt, City of London. With reference to the Government, Religion, Trade, Growth, Ayre, Diseases, and the several Changes of the said City fra 1662 regnes som starten på det vi i dag kaller statistikk. Et viktig område for statistikken var å hjelpe forsikringsvesenet når man selger livspoliser er man naturligvis sterkt interessert i å vite noe om hvor lenge de kan komme til å leve, disse kundene som skal ha årlige utbetalinger. For oss er det vanskelig å tenke seg en tid hvor man ikke hadde tall for hvor mange som ble født og hvor mange som døde hvert år, men dette var blant de første utfordringene for statistikerne. Florence Nightingale er et annet interessant menneske i denne sammenhengen. Hun samlet inn datamateriale fra Krimkrigen (1854-6), og viste (blant annet med nye grafiske framstillingsmetoder) at det var langt flere soldater som døde av sykdom enn av skader. Hun viste også at soldater i forlegninger hjemme i England (i fredstid) hadde høyere dødelighet enn resten av befolkningen, og hun klarte etter hvert å få gjennomslag for bedret hygiene. I det hele tatt er Florence Nightingale en skatt å ta vare på for en matematikklærer kvinnelige matematikere er det ikke så mange av, og mange elever har allerede på forhånd et positivt forhold til henne. Statistikk i seg selv kan altså være interessant nok, men i mange sammenhenger er det nødvendig å vurdere om de resultatene man ser, skyldes tilfeldige variasjoner eller ikke. Det 5

6 er her statistikken får behov for sannsynlighetsregningen. Denne sammensmeltningen har gitt oss et veldig kraftig verktøy, og det har nesten i sin helhet blitt utviklet de siste 200 årene. I dag brukes sannsynlighetsregningen på veldig mange områder. Naturligvis brukes det fremdeles i stor stil i forsikringsbransjen, for å vurdere hva som er en fornuftig forsikringspremie på en bilforsikring, en innboforsikring eller en livsforsikring. Det brukes i legemiddelindustrien, for å finne ut om legemidlet har en virkning ut over det tilfeldigheter kan forklare, og det brukes i det meste vi har av forskning for øvrig. Når nye oljefelter skal bygges ut, hører risikoanalyse med for å si noe om hvor stor fare utbyggingen vil innebære for liv, helse og miljø. Men det brukes jo også i mer prosaiske sammenhenger for eksempel når Norsk Tipping skal lage et nytt pengespill, hvor de ønsker at den største premien skal være stor, men at folk likevel skal føle at de er nære ved å vinne nesten hver gang. Innledende oppgaver I dette heftet blir det en god del oppgaver som handler om terningspill og liknende spill. Det skyldes at de fleste kjenner til terninger, slik at det er en kjent kontekst, dessuten er det en ren kontekst, i den forstand at det er få forstyrrende elementer. Hadde vi startet hele heftet med å diskutere et forsøk med legemidler, ville det være så mange problemstillinger å tenke på på en gang at vi neppe ville kommet videre. Men i tillegg har vi det faktum at det var problemstillinger rundt spill, og oftest terningspill, som satte i gang studiet av sannsynlighetsregning. Oppgave 1-2: Hva tror du er sannsynligheten for å få en sekser når du kaster en terning en gang? Begrunn svaret. Oppgave 1-3: Hva tror du er sannsynligheten for å få to seksere når du kaster to terninger en gang? Begrunn svaret. 1 1 Svarene viser seg å være og. Hvordan man kommer fram til disse tallene vil framkomme etter hvert (hvis du ikke allerede vet det) Oppgavene 1-4 til 1-6 er oppgaver tatt fra matematikkhistorien. Noen av verdenshistoriens største matematikere syntes disse oppgavene var interessante. Det er altså ikke rart om du skulle synes at de er vanskelige. Men det er mulig å jobbe med oppgavene og gjøre seg opp en mening om dem uten å nødvendigvis få rett svar med en gang. (Og så er det desto mer oppmuntrende å få samme svar som disse smartingene.) Vi kommer tilbake til disse problemstillingene, og hvordan man kan finne ut av dem, senere i heftet. Oppgave I 1654 stilte Antoine Gombaud (chevalier de Méré) to spørsmål om sannsynligheter til Blaise Pascal. Det første av dem var som følger: de Méré var en gambler 1, og hadde merket seg at når han veddet på å få minst en sekser på fire kast med en terning, ville han i lengden vinne. Hvis han derimot veddet på å få minst en dobbeltsekser på tjuefire kast med to terninger, så tapte han i lengden. De Mérés spørsmål til Pascal var om dette stemte altså om sannsynligheten for å få minst en sekser på fire kast med en terning er over 50%, mens 1 Dette er nok et eksempel på et forsøk på å gjøre historien fargerik. de Méré var en distingvert herre som ifølge Øystein Ore ville ha protestert på en slik betegnelse. jf. Hundeland (1996) s

7 sannsynligheten for minst en gang å få to seksere på tjuefire kast med to terninger er under 50% Vi skal i denne omgang konsentrere oss om den første av påstandene. Stemmer det at sannsynligheten for å få minst en sekser på fire kast med en terning er over 50%? Hvordan kan du prøve å finne ut av det? Oppgave Girolamo Cardano hadde tidligere, i Liber de Ludo Aleae (Boken om tilfeldighetsspill) fra ca. 1526, gitt en løsning på Mérés første problem: Siden sannsynligheten for å få en sekser på et kast er 1/6, vil du få en sekser hver 6. gang du kaster en terning. Altså må du ha 50 % sjanse for å få en sekser på tre forsøk. Siden sannsynligheten for å få en dobbeltsekser på et kast med to terninger er 1/36, vil du få en dobbeltsekser hver 36. gang du kaster to terninger. Altså må du ha 50 % sjanse for å få en dobbeltsekser på 18 forsøk. a) Er du enig i argumentasjonen? Er det noen deler av argumentasjonen som må utfylles eller justeres? b) Prøv å finne ut mer om dette, f. eks. ved å gjøre en del forsøk med å kaste terninger, ved å sette inn andre tall i resonnementet og se om det da holder, eller ved å simulere i regneark. Oppgave de Mérés andre problem var som følger: To personer spiller et spill som består av en rekke omganger, og i hver omgang har hver spiller like stor sjanse til å vinne. Vinneren er den som først har vunnet seks omganger. Men så ble spillet av en eller annen grunn stoppet når spiller A hadde vunnet fire omganger og spiller B hadde vunnet tre. Hvordan skal premien da fordeles? a) Prøv først å finne en løsning på problemet. (Kanskje må du se på et litt enklere problem først for å komme i gang tallene kan jo endres for å gjøre ting enklere.) b) Sjekk deretter om din måte å løse problemet på gir fornuftige løsninger når du bruker andre tall i oppgaven (for eksempel hvis antall omganger de skal vinne er hundre eller bare to, hvis A har et stort eller lite forsprang ) c) Luca Pacioli gikk også løs på dette problemet, i boka Summa, og problemet kalles derfor av og til Paciolis delingsproblem. Pacioli løste problemet slik: siden A har vunnet fire omganger av de sju de har spilt, bør han få 4/7 av premien. Denne løsningen ble kritisert 60 år senere av Niccolo Tartaglia, som henviste til hva som da ville skje hvis spillet ble avbrutt etter bare et spill. Kan du forklare hva Tartaglia siktet til? 7

8 2 Sannsynlighetsbegrepet Ulike sider ved sannsynlighetsbegrepet Oppgaver Prøv å finne fram til de sannsynligheter det spørres etter og gi en kort begrunnelse. (Selv om du ikke finner sannsynligheten, kan du kanskje si noe om hvordan du tror at man kan anslå den?) 2-1* Ved kast med en terning; hva er sannsynligheten for å få en sekser? 2-2 En meteoritt er på vei mot jorda. Hva er sannsynligheten for at den treffer Norge? Hva er sannsynligheten for at den treffer havoverflaten? 2-3* En kvinne venter et barn. Hva er sannsynligheten for at det blir ei jente? 2-4 En trebarnsfamilie hvor alle barna er jenter, venter sitt fjerde barn. Jentene synes det ville være kjekt å få en gutt. Hva er sannsynligheten for at det blir en gutt? 2-5 På en flervalgsprøve er det 17 spørsmål med fire alternativer på hvert spørsmål. Hvor mange rette kan du forvente å få hvis du gjetter tilfeldig? 2-6 Hva er sannsynligheten for å trekke en spar fra en godt blandet kortstokk? 2-7 Du deltar i to lotterier A og B. Sannsynligheten for å vinne i lotteri A er 0,05 (5%), og sannsynligheten for å vinne i lotteri B er 0,10 (10%). Hva er din samlede sannsynlighet for å vinne? 2-8 En familie planlegger å få to barn. Vi regner med at det er like stor sannsynlighet for å få en gutt som å få en jente. Hvor stor er sannsynligheten for at familien får to jenter? 2-9 To jenter og tre gutter er på tur sammen. De blir enige om at to av dem skal ta seg av oppvasken. Dette blir avgjort ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at det blir to gutter som skal vaske opp? 2-10 Johanne har tre røde, to grønne og en blå blyant i pennalet sitt. Hun ber Kari ta ut to blyanter uten å se på fargene. Johanne mener at sannsynligheten for at begge blyantene er røde, vil være 1/5, mens Kari mener sannsynligheten vil være 1/3. Har noen av dem rett? 2-11 I en urne er det 10 like kuler; 2 er røde, 3 er hvite og 5 er sorte. Du trekker en kule tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke en hvit kule? 2-12 I en urne er det 10 like kuler; 2 er røde, 3 er hvite og 5 er sorte. Du trekker to kuler tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke to hvite kuler? * Ham-Kam skal møte Brann på Brann stadion i cupkamp. Hva er sannsynligheten for at Ham-Kam skal vinne kampen? 2-14 Anta at de to lagene som møter hverandre i ishockeyens sluttspill (lag A og lag B) er like gode. Regelen sier at laget som først vinner tre kamper av fem mulige har vunnet sluttspillet. Hva er sannsynligheten for at lag A vinner sluttspillet i løpet av de tre første kampene? Hva er sannsynligheten for at sluttspillet er avgjort etter tre kamper? 2-15 Hva er sannsynligheten for at sluttspillet avgjøres i løpet av de fire første kampene? Hva er sannsynligheten for at sluttspillet må gå over fem kamper? 8

9 2-16 NRK vil gjerne vise kampene, og tilbyr ishockeyforbundet at de kan få kroner for det. Alternativt kan de betale kroner for hver av de kampene som faktisk blir spilt. Hva er mest gunstig for ishockeyforbundet? (Mange av disse oppgavene er hentet fra Knut Ole Lysø) (Det er ikke meningen at du skal ha klart å løse alle disse oppgavene. Det kan være en idé å komme tilbake til dem når du har jobbet deg gjennom resten av heftet da skal de fleste være løsbare.) Som disse oppgavene viser, er sannsynlighetsbegrepet ganske mangfoldig. Vi tenker slett ikke på samme måte når vi løser alle disse oppgavene her. Vi sier gjerne at vi har tre forskjellige typer sannsynlighetsbegrep: Subjektiv sannsynlighet Det vi kanskje oftest brukes i dagliglivet, er det vi kaller subjektiv sannsynlighet. Kall det gjerne synsing. Et eksempel er oppgave 2-13, hvor en Brannpatriot kan mene (hvor meningsløst det enn virker) at Brann har størst sjanse til å vinne kampen, mens en nøytral tilskuer (som for eksempel meg), naturligvis innser at Ham-Kam har størst sjanse til å vinne. (At Ham-Kam som oftest taper kamper mot lag som Brann, mener jeg naturligvis skyldes ekstrem uflaks for Ham-Kam.) Nåvel poenget er imidlertid at vi vanskelig kan finne noen matematisk teori som kan si oss hva den virkelige sannsynligheten er i slike tilfeller, men vi kan anslå en sannsynlighet basert på hva vi tror. Relativ frekvens En måte å se på sannsynlighet på, som fungerer glimrende i en del tilfeller, er å se på det som kalles relativ frekvens. Kort sagt betyr det at vi ser på en del identiske forsøk, og ser hvor mange ganger forskjellige ting har skjedd. Så innbiller vi oss at dette tallet sier noe om sannsynligheten. Oppgave 2-3 er et godt eksempel på det. Vi kan være fristet til å tro at sannsynligheten er 50% for hvert av kjønnene, men det er strengt tatt ingen ting som tilsier at den skal være akkurat det. Tvert imot, når vi ser på statistikken, viser det seg at det er litt flere gutter som blir født i 2000 var 51,4 % av barna som ble (levende) født i Norge, gutter. Året før var tallet 51,4 %. I 1998, derimot, var tallet 51,2 %. 2 Vi ser altså at andelen gutter er ganske stabil, og det er fristende å si at sannsynligheten for å få gutt er ca. 51,4 %. Det er denne typen sannsynlighetsbegrep som har vært vanligst gjennom historien selv om man ikke tallfester sannsynligheten, argumenterer man med hva som vanligvis skjer. Aristoteles brukte for eksempel denne typen argumentasjon. Denne måten å snakke om sannsynlighet på, har (nå) en teoretisk begrunnelse. De store talls lov sier at når vi bare gjentar noe mange nok ganger, vil den relative frekvensen ganske sikkert ligge i nærheten av den virkelige sannsynligheten (Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi, 1713). Teoretisk sannsynlighetsmodell Den teoretiske sannsynlighetsmodell kalles også geometrisk sannsynlighetsmodell eller symmetrisk sannsynlighetsmodell. Kaster vi en tegnestift i lufta, er det vanskelig å si særlig nøyaktig hva sannsynligheten er for at den vil lande med spissen ned mot bordplata. Kaster vi en mynt i lufta, derimot, vil vi si 2 Kilde for disse tallene er naturligvis Statistisk Sentralbyrå. 9

10 at sannsynligheten for at den vil lande som kron er ca. en halv. Bakgrunnen for at vi sier det, er at mynten er symmetrisk, det er derfor ingen ting som tilsier at den ene sida skal ha større sjanse til å lande opp enn den andre. Det samme argumentet gjelder i oppgave 2-1 det er ingenting som skulle tilsi at en av sidene har større sjanse for å lande opp enn en annen, derfor antar vi at alle sidene har lik sjanse. (En terning hvor det faktisk er like stor sjanse for alle sidene, kaller vi en rettferdig terning.) I en teoretisk sannsynlighetsmodell ser vi for oss en liste med alle mulige utfall i forsøket. Det er ikke bestandig at vi kan skrive opp alle mulighetene (for eksempel tar det for lang tid å skrive opp alle mulige Lotto-rekker), men i noen tilfeller kan vi det. I eksemplet med et myntkast ovenfor, har vi bare to utfall: kron og mynt. Vi skriver det som en mengde: {kron, mynt}. Dette kaller vi utfallsrommet. Og som nevnt; siden vi kan argumentere for at disse er de eneste mulige utfallene, og at de er like sannsynlige, må hvert av dem ha sannsynlighet 50 %. For ordens skyld: Utfallsrom er et så sentralt begrep at det har fått sitt eget punkt i Kunnskapsløftet: beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal (10. årstrinn). Kaster vi to mynter, har vi følgende utfallsrom: {to kron, en av hver, to mynt}. Eller vi kan ha et litt annet utfallsrom: {to kron, kron på den ene og mynt på den andre, mynt på den ene og kron på den andre, to mynt}. Hvilket er mest nyttig? Oppgave : Hva er sannsynligheten for å få to kron når vi kaster to mynter? Her ser vi at alt hadde vært greit hvis vi visste hvilket av disse to utfallsrommene som er slik at alle utfallene er like sannsynlige. Et slikt utfallsrom kaller vi et uniformt utfallsrom. Når vi har et uniformt utfallsrom er det lett å finne sannsynligheten: hvis det er n utfall i utfallsrommet, må sannsynligheten for hver av dem være n 1. Oppgave : Hva er sannsynligheten for at vi skal få minst en kron når vi kaster to mynter? Det jeg spør om i denne oppgaven, er sannsynligheten for en hendelse. En hendelse er en delmengde av utfallsrommet. Her er det flere utfall som passer med hendelsen. Hvis vi skal finne sannsynligheten for flere av utfallene, teller vi rett og slett utfallene, og multipliserer antallet med n 1. Altså: hvis det viser seg at utfallsrommet {KK, KM, MK, MM} er uniformt, er sannsynligheten for hvert utfall 4 1. Siden det er tre utfall som gir minst én kron, nemlig KK, 1 3 KM og MK, er sannsynligheten for det 3 =. 4 4 Dette bør jeg formulere som en regel: Regel: Når vi har et uniformt utfallsrom, og vil finne sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe, teller vi antallet utfall som gir hendelsen og deler på antallet mulige utfall i alt. Ofte skriver vi dette slik: sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige. Eller: gunstige Sannsynligheten = mulige Dette er den viktigste regelen i sannsynlighetsregningen! 10

11 Denne måten å se på sannsynlighet, er betraktelig nyere som nevnt var det først på tallet at dette for alvor ble en vanlig tenkemåte. Og først i 1933 kom en aksiomatisering av sannsynlighetsregningen, det vil si en passende samling grunnsetninger (aksiomer) som kunne danne grunnlaget for alle andre setninger om sannsynlighetsregning. Det var den russiske matematikeren Andrey Nikolayevich Kolmogorov som kom fram til disse. Dette er på en måte oppsiktsvekkende geometrien hadde jo fått sine aksiomer allerede på Euklids tid. 3 Vi tar med disse aksiomene for spesielt interesserte: Anta at et forsøk har utfallsrommet Ω = { u1, u2, u3,...}. (1) P ( u) 0 (Sannsynligheten for et utfall u er bestandig større enn eller lik 0.) (2) P ( u1 ) + P( u2 ) + P( u3 ) +... = 1 (Summen av sannsynlighetene for alle utfallene i utfallsrommet er 1.) (3) Hvis A = { u1, u2, u3}, er P ( A) = P( u1) + P( u2 ) + P( u3 ) (Sannsynligheten for en begivenhet A er lik summen av sannsynlighetene til alle utfallene som er gunstige for A.) Hvis du ikke er overbevist om hva svarene på myntoppgavene er, må du enten vente (jeg kommer tilbake til det) eller prøve med noen myntkast på egen hånd. En advarsel Jeg velger å sitere Wenstøp (1997) s. 97-8: De store talls lov er loven om at alt jevner seg ut i det lange løp. Kjøper du stadig lodd i pengelotteriet vil du i det lange løp få din rettmessige andel av vinnerlodd. Spiller du bridge eller poker ofte nok, vil du i det lange løp få like mange gode kort som dine medspillere. Tenk deg at du til å begynne med har flaks. Når du ved livets slutt skal gjøre opp regnskapet, vil denne begynnerflaksen måtte sees i forhold til alt annet som har skjedd, og da vil dens bidrag være minimal. Dette er ren matematikk. Det er ikke snakk om noen skjebne som sørger for rettferdig fordeling av flaks og uflaks, men det ser det ut til at folk tror! Når ruletthjulet har stoppet på svart en del ganger på rad, begynner spillerne ofte å satse høyere på rødt fordi de jo vet at rødt og sort vil komme opp like mange ganger i det lange løp. Men det er galt! Dreies hjulet ganger, er sannsynligheten omtrent null for at den skal stoppe på svart nøyaktig 5000 ganger. Gjør den det 5050 ganger, er Fr(svart) = 0,505, og det er dette tallet de store talls lov sier noe om. En av de mest dramatiske begivenheter i roulette fant sted i Monte Carlo 18. august Ved et av bordene begynte svart å komme igjen gang etter gang. Etter 10 svart på rad, var bordet omringet av opphissede folk som satset stort på rødt i håp om at de store talls lov ville belønne dem. Etter 15 svart på rad var det nesten panikk blant folk som ville frem til bordet for å vedde store summer på rødt. Etter 20 svart satset folk sine siste sjetonger på rødt i håp om å få noe tilbake av alt de hadde tapt. Den minneverdige runden endte etter 26 svart på rad. Da hadde kasinoet vunnet millioner franc. Man har regnet ut at noe slikt vil forekomme ca. hvert 100 år, og det skjedde i Monte Carlos 68. år. Noe tilsvarende skjedde i Chicago i november Atten fødsler på rad resulterte i gutter på et av byens sykehus. Den 10. november skrev Chicago Daily News at legene og pleierne på sykehuset nå ventet seg en serie jenter! I virkeligheten ble 18 av de neste 24 barna gutter. Noen få år senere skrev Chicago Tribune om fru Drabik som hadde fått 3 At dette var en mangel med sannsynlighetsregningen, var matematikerne klar over. David Hilbert holdt i 1900 et berømt foredrag, hvor han nevnte 23 viktige uløste problemer i matematikken. Aksiomatiseringen av sannsynlighetsregningen var et av dem. 11

12 seks barn som alle var jenter. Da hun ble gravid for syvende gang var oddsene mot at hun igjen skulle få en jente astronomiske og praktisk talt hele Chicago veddet 10 mot 1 på at den neste ungen skulle bli gutt. Det ble en jente. I Norge underholdes vi kontinuerlig av avisene med statistikk som viser hvor ofte de ulike Lotto-kulene med tall fra 1 til 35 har blitt trukket i det siste. Tanken er at tall som har dukket opp relativt sjelden nå står for tur og derfor bør satses på. Enkelte firmaer greier faktisk å få folk til å betale for prognoser basert på slik statistikk for hvilke kuler som blir trukket i neste trekning! Oppgave : Wenstøps utdyping av temaet er underholdende, men det er kanskje ikke sikkert at elevene lærer mest av at læreren forteller slike anekdoter? Vurdér hvordan du skal få elevene til å tenke over sitt forhold til store talls lov. Jeg kommer tilbake til eksempler på arbeid med store talls lov. Hva er tilfeldighet? Oppgave Oppgi for hver av disse hendelsene om du mener de er tilfeldige eller ikke: - at du begynte på lærerutdanningen - at du fikk det kjønnet du fikk - at sola sto opp i dag tidlig (evnt. ikke sto opp, hvis det er mørketid der du er) - at et terningkast gir et bestemt resultat - at en flyver treffer flyplassen han sikter på Studér svarene dine på disse spørsmålene, og prøv å formulere hva du forstår med ordet tilfeldighet. Diskuter med medstudenter. Personlig tror jeg ikke på tilfeldigheter. Med det mener jeg at jeg tror at alt følger mer eller mindre enkle naturlover, og at for eksempel et terningkast er avgjort i det samme du slipper terningen (forutsatt at man ikke gjør endringer i bordets glatthet, lufttrykk og så videre i løpet av kastet ) I diskusjoner om dette, ender jeg gjerne med å måtte innrømme at konsekvensene av dette synet er at menneskene ikke har fri vilje og at livet i en viss forstand er meningsløst. Jeg forstår derfor at mitt syn er litt ubehagelig. (Jeg er ikke original i dette filosofen Demokrit (ca. 400) mente det samme ) Imidlertid er de fleste (selv jeg!) enige om at det er visse hendelser i verden som vi ikke har kunnskap nok til å forutsi, men som vil få et av flere mulige utfall. Når vi kaster en terning, vil vi alltid vite at den vil lande på 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 (eller havne på høykant ), og vi vil tilskrive dette tilfeldigheter. Når vi setter oss i et fly, vet vi også at det er en viss mulighet for at det ikke kommer til å lande der det skal, og at dette kan skyldes for eksempel ekstremt dårlig vær, som vi igjen vil kalle tilfeldigheter. Likeledes er det naturligvis et snev av tilfeldighet i det at sola står opp det betyr jo at det ikke tilfeldigvis har skjedd en uventet astronomisk begivenhet som har forrykket hele solsystemet. Vi kan altså velge å tolke tilfeldighet som at vi ikke har tilstrekkelig kunnskap til å forutsi fenomenet. (Men i dagligtale bruker vi det ikke helt slik ) Oppgave : Bekken (1980) gjengir følgende problemstilling som Joseph Louis François Bertrand kom med i 1888: Tre skuffer, som ser helt like ut, har to rom i hver. Den første har én 12

13 gullmynt i hvert rom, den andre én sølvmynt i hvert rom og den tredje har en gullmynt i det ene rommet og en sølvmynt i det andre. Vi velger en skuff tilfeldig, åpner et av rommene i den og oppdager at det ligger en gullmynt der. Hva er da sannsynligheten for at det er en sølvmynt i det andre rommet i den skuffen? Her er to svaralternativer: 1) Det var tre gullmynter å velge blant, og det var derfor 1/3 sjanse for hver av dem. To av disse kommer fra skuffen med gullmynt i begge rommene, bare en kommer fra den med en av hver. Sannsynligheten for at det er en sølvmynt i det andre rommet blir derfor 1/3. 2) Vi må ha åpnet enten den skuffen hvor det er to gullmynter eller den hvor det er en av hver. Sannsynligheten for at det er en sølvmynt i det andre rommet blir derfor ½. Hvilket av disse svaralternativene er riktige? (Og hvorfor er begge så lett å falle for?) Oppgave : Bertrand har også et annet paradoks, nemlig Bertrands kordeparadoks, som ble publisert i Spørsmålet er enkelt: Du har en sirkel med radius 1 cm, og velger en tilfeldig korde. Hva er sannsynligheten for at denne korden har lengde større enn 3 cm? Du kan jo prøve å svare selv, før du går videre med følgende tre svaralternativer: 1) 2) 3) 1) Pga. symmetri kan vi tenke oss at korden har en bestemt retning, for eksempel at den går loddrett gjennom sirkelen. Ved litt regning ser vi at det er de kordene som ligger mindre enn ½ cm fra sentrum i sirkelen, som har lenge større enn 3 cm, mens de som ligger mer enn ½ cm fra sentrum, vil ha kortere lengde. Altså er det halvparten av avstandene som gir ønsket lengde, så sannsynligheten er 1/2. 2) Pga. symmetri kan vi velge et punkt på sirkelen som korden skal gå gjennom. Spørsmålet blir da kun hvilken vinkel korden skal ha i forhold til tangenten til sirkelen. Litt regning viser at det kun er de kordene som har vinkel større enn 60 grader i forhold til tangenten, som har lenge større enn 3 cm. Av i alt 180 grader, er det altså kun en sektor på 60 grader som gir ønsket lengde, så sannsynligheten blir 1/3. 3) Å velge tilfeldig en korde er det samme som å velge midtpunktet M på korden. Korden får lengde 3 cm hvis og bare hvis M ligger innenfor en sirkel med radius ½. Denne sirkelen har bare en fjerdedel av den store sirkelens areal. Derfor blir sannsynligheten ¼. Hvilket av disse alternativene er riktig? (Eller er kanskje alle riktige? Eller ingen?) Poenget med disse oppgavene er å synliggjøre at ordet tilfeldig er noe vi må tenke nøye over. 13

14 Forventningsverdi Oppgave *: Jeg skal sende et maleri med hurtigruta, og ønsker å forsikre det. Maleriet er verdt kroner, og vi er enige om at det er cirka 0,001 (altså en promille) sjanse for at maleriet blir ødelagt på veien. Hvor mye er det rimelig at jeg betaler for denne forsikringen? Et dokument fra Genova fra 1343 regnes som den første virkelige forsikringskontrakten den dreide seg om en last med ull som skulle fraktes fra Pisa til Sicilia. Den første boken om forsikring Om forsikring og kjøpmenns veddemål av den portugisiske juristen Santerna ble utgitt i 1552, men ble skrevet i Fra tiden det ble vanlig å forsikre ting, må vi regne med at det også ble vanlig å vurdere sannsynligheten for at visse hendelser skulle inntreffe. Vi ser ikke noen tegn til at de fastsatte sannsynligheten som sådan med tall, men de må nødvendigvis ha vurdert om det er stor eller liten sannsynlighet for at for eksempel et skip skulle gå ned. Siden de måtte fastsette en pris, måtte de jo oversette vurderingen til et tall. (Vi ser da også at forsikringene var dyrere når reisen var lengre og i farligere farvann.) En vanlig måte for italienske stater å hente inn penger på var å selge livspoliser hvor du betalte et beløp mot å motta et mindre beløp hvert år så lenge du levde. Her også var det naturligvis viktig å tenke på sannsynligheter nærmere bestemt sannsynligheten for at personen skulle leve så og så lenge. (Men det finnes nok av eksempler på at behovet for penger i krisesituasjoner var mer utslagsgivende på prisene enn sannsynlighetsbetrakninger.) Tilbake til oppgave 2-23: La oss et øyeblikk tenke oss at jeg skal sende 1000 malerier (på hvert sitt skip). Det er rimelig å regne med at ca. et maleri blir ødelagt, og at jeg da har mistet kroner. Dermed er det rimelig at jeg betaler kroner (det vil si 15 kroner pr maleri) for å slippe denne risikoen. Eller for å si det på en annen måte: jeg multipliserer sannsynligheten for å tape penger med summen jeg da i så fall taper. (I tillegg vil naturligvis forsikringsselskapet ha en viss fortjeneste, men det går vi ikke inn på her.) Oppgave : La oss si at jeg er i den heldige situasjonen at jeg skal kaste en mynt en gang, og noen har lovet meg 10 kroner hvis jeg får kron, mens jeg ikke får noenting hvis jeg får mynt. Hva kan jeg da forvente å få? Jo, naturligvis 0 eller 10 kroner, med 50 % sannsynlighet for hver. Hvor mye burde jeg være villig til å betale for å få lov til å spille dette spillet? Det er vel naturlig å foreslå 5 kroner og dette kaller vi forventningsverdien til dette spillet. En måte å se det på er at forventningsverdien er det jeg i gjennomsnitt ville kunne vente å få hvis jeg kastet mynten mange ganger. Hvis jeg kaster denne mynten mange, mange ganger, sier store talls lov meg at jeg vil få kron cirka halvparten av gangene og mynt cirka halvparten. Altså vil jeg vinne 10 kroner cirka halvparten av gangene, noe som skulle tilsi 5 kroner per gang i snitt. (Jeg ville naturligvis ønske å betale litt mindre enn 5 kroner, slik at spillet ville vært gunstig for meg. Min motspiller ville ønske det motsatte. Det er 5 kroner som gir et rettferdig spill.) Det er viktig å være oppmerksom på at forventningsverdien ikke er det jeg kan forvente å få i dette eksemplet var forventningsverdien 5 kroner, selv om det er helt umulig å få fem kroner på et kast. Begrepet forventningsverdi dukker opp i noen av disse oppgavene: 14

15 Oppgave a) La oss si at jeg tilbyr deg følgende spill: du skal kaste en mynt hvis du får mynt, skal du få 10 kroner i premie, mens hvis du får kron, skal du få 2 kroner. Hvor mye er dette spillet verdt (dvs. hva er grensen for hvor mange penger du bør gi meg for å få lov til å spille dette spillet en gang?) b) La oss gå over til terningspill: Du skal få 16 kroner hvis du får en sekser, og ellers får du like mange kroner som terningen viser. Hvor mye er dette spillet verdt? c) Hva er sannsynligheten for at du vinner, hvis du satser det beløpet som du kom fram til i b)? Og hvordan vil det gå i lengden? (hvis vi spiller mange ganger) Oppgave (kun hvis du kan yatzy) Du spiller yatzy, og det er din siste omgang. Alt du har igjen å kaste på er hus. Du har kastet to kast, og sitter med følgende terninger før det siste kastet: 5, 5, 5, 2, 1. Naturligvis beholder du femmerene og kaster om igjen eneren, men bør du beholde eller kaste om igjen toeren? (Vi forutsetter at du ikke har oversikt over nøyaktig hvordan du ligger an i forhold til motstanderne dine, så du må konsentrere deg om å få flest mulig poeng selv). Hvis du er usikker på hvordan du skal gripe saken an, kan du følge denne oppskriften: Regn ut forventningsverdien din ved å beholde toeren. (Din eneste sjanse til å få noen poeng er jo da å få en toer også med den siste terningen). Regn ut forventningsverdien din ved å kaste om igjen både eneren og toeren. (Da får du hus hvis du får 1 og 1, 2 og 2, 3 og 3, 4 og 4 eller 6 og 6 på de to siste terningene, og hver av disse mulighetene gir forskjellig poengsum). Sammenlikn de to forventningsverdiene. Oppgave I spillet Flax hos Norsk tipping ( koster et lodd 20 kroner. Premiene (pr. 4 millioner solgte lodd) er som følger: Premie Antall premier a) Hvor stor er sannsynligheten for å vinne kroner på et Flaxlodd? b) Hvor stor er sannsynligheten for å vinne kroner eller mer på et Flaxlodd? c) Hvor mye er et flaxlodd verdt (hvis du kun ser på pengene og ikke på underholdningsverdien)? (Dette kan du regne ut på (minst) to forskjellige måter finn begge!) 15

16 d) Loddene med premie på 20 kroner kan du se på på to måter: enten som et lodd med premie på 20 kroner (som Norsk Tipping vil si), eller som feilvare, hvor du får igjen et nytt lodd. Ser du det på denne siste måten, vil du kunne regne ut verdien av loddene ved å se bort fra de loddene som uansett bare gir deg et nytt lodd. Hva er da et flaxlodd verdt? (Ps: Både prisen og premiesummene endres stadig. Sjekk gjerne hvordan reglene er akkurat nå.) Oppgave I Bjørns lotteri Uflax koster også loddene 20 kroner stykket, og premiene er som følger (pr. 4 millioner solgte lodd): Premie Antall premier Hva er et Uflaxlodd verdt? (Regn ut med begge betraktningsmåtene som er nevnt i oppg d.) Sammenlikn med oppgave Hvilket lotteri lønner seg i lengden? Oppgave I 1308 inngikk erkebiskopen av Bremen en avtale med Abbey of St. Denis 4. Han skulle betale 2400 livres med en gang, mot at han skulle få en årlig tilbakebetaling på 400 livres. a) Hvor mange år forventet Abbey of St. Denis at erkebiskopen skulle leve? I 1323 gikk abbeden til rettssak og påsto at kontrakten var ugyldig siden den var klart ufordelaktig for abbediet. b) Hvordan kan man gå fram for å vurdere en slik sak? I 1327 døde erkebiskopen. Å gi elevene erfaringer Så langt har vi stort sett betraktet sannsynlighetsbegrepet fra et voksent synspunkt, og jeg har vist til en del eksempler fra vår rike erfaringsverden. I arbeid med barn vil det neppe være tilstrekkelig å samtale med utgangspunkt i erfaringer barna allerede har gjort vi må skape de erfaringene vi skal bygge på. Disse erfaringene kan vi blant annet bygge opp ved hjelp av spill, eksperimenter og simuleringer. Noen sitater fra Kunnskapsløftet: 7. årstrinn: planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment 7. årstrinn: vurdere sjansar i daglegdagse samanhengar, spel og eksperiment og berekne sannsyn i enkle situasjonar 10. årstrinn: finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spel Spill Som voksne kan vi være fascinert av hvordan barn spiller for eksempel stigespill med stor innlevelse. En forklaring på innlevelsen kan være at barna enda ikke har fått forståelse for at deres egen innsats (kaste terning og flytte) overhodet ikke har noen påvirkning på resultatet det avgjøres utelukkende av tilfeldigheter. Etter hvert som barna oppdager dette, blir ofte 4 Jeg sliter litt med den korrekte norske oversettelsen av dette navnet. 16

17 andre spill, som inneholder elementer av strategi, for eksempel, mer interessante. En måte å få fokus på dette er å lage spill som er så urettferdige at man kan få til diskusjoner ut fra det. Eksempel Regler: Man starter med en brikke i sentrum, og målet for spiller A er å score til venstre, mens spiller B skal score til høyre. Man spinner en spinner etter fritt valg, annenhver gang, og flytter brikken i den retningen spinneren viser. Brettet kan se slik ut: mens spinnerne man kan velge blant kan se slik ut: V H V H V H (En spinner kan for eksempel lages ved at du bruker en binders og plasserer en blyant gjennom hullet på bindersen og midt i den store prikken på figuren over (istedenfor pila). Så kan du knipse på bindersen, og svirre rundt og stoppe i en av sektorene.) (Ideen er hentet fra van de Walle (2004).) I Kunnskapsløftet finnes to mål om Oppgave 2-30 Nevn noen spill som kan være morsomme for barn på småskoletrinnet, og vurder i hvilken grad de kan egne seg som utgangspunkt for samtaler om sjanse. 17

18 En bingovariant som kan spilles langt ned i skolen, er følgende: Hver elev får et 5x5- rutenett, og de skal de selv lage brettet ved å fylle inn 25 tall. Men for å lage brettet, må de vite reglene: læreren kommer til å kaste to terninger av gangen. Hvis du som elev har summen av de to terningene på brettet, kan du krysse det ut men du kan bare velge én av de rutene hvor tallet står. Spillet fortsetter til noen har fem på rad (eller kanskje det til og med fortsetter til noen har to rader, tre rader osv...) På høyere klassetrinn kan spillet varieres, slik at man har lov å krysse ut både et tall som er summen av terningene og et tall som er differansen av terningene, eller man kan til og med ta med multiplikasjon og divisjon. Poenget er uansett at elevene etter hvert vil merke at noen tall dukker opp ofte mens andre dukker opp sjeldnere. Spillet bør derfor absolutt spilles flere ganger, slik at eleven erfarer at de klarer å lage et bedre brett etter hvert. (Første gang de spiller, vil ofte noen elever ha med 1, for eksempel, uten å tenke over at man ikke kan få 1 som summen av to terninger. Og ofte vil 7 være med færre ganger enn vi som erfarne matematikere vil synes er lurt.) Et annet spill et hesteveddeløp som kan være interessant er følgende: 12 hester skal kjempe om å komme først i mål. Hestene har ulik avstand til mål, for eksempel etter følgende tabell: Hest nr Antall ruter til mål Før løpet starter, velger spillerne (det er kanskje 3-4 spillere) hver sine hester. For hvert flytt kastes to terninger, og summen avgjør hvem som får flytte seg. Oppgave 2-31 Hvilken hest har best sjanse til å vinne? Hva er det håp om at elevene vil oppdage ved å spille dette spillet noen ganger? Eksperimenter Et enkelt eksempel på et eksperiment handler om sannsynligheten for å få to mynt når vi kaster to mynter. Her kan elevenes gjetninger være mye forskjellig, men noen vil sannsynligvis gjette på 3 1, siden det er tre forskjellige ting som kan skje (to mynt, en av hver, to kron). Elevene kan for eksempel settes i par, hvor den ene kaster og den andre fører statistikk. Så kan man samle inn resultatene fra parene etterpå. Det vil vise seg at resultatene fra parene varierer veldig (i hvert fall hvis de har kastet relativt få ganger hver, for eksempel 20). Men når man slår sammen resultatene for hele klassa, vil man (med stor sannsynlighet) få et resultat nær 4 1, og det kan danne utgangspunkt for videre diskusjoner. (Noen vil kanskje mene at resultatet er en ren tilfeldighet i så fall kan man prøve en gang til, og vil også da få et svar nær 4 1. Det er imidlertid en oppgave for læreren å planlegge eksperimentet slik at det er rimelig sjanse for å få det svaret læreren ønsker.) Van de Walle (2004) nevner en del begrunnelser for å bruke eksperimentering i undervisningen: Det er enklere å forstå enn abstrakte argumenter. Det gjør at vi kan gjette på sannsynligheter og deretter kontrollere ved å eksperimentere. 18

19 Det gir en bakgrunn for teorien. Når vi begynner å ane at sannsynligheten for å få to kron på to myntkast er 4 1 istedenfor 3 1, gjør det teorien mer troverdig. Det gjør at elevene forstår at forholdet mellom antall suksesser og totalt antall forsøk vil konvergere (det vil si: nærme seg mer og mer) mot et bestemt tall. Det er jo dette som er store talls lov. Det utvikler forståelse for den tilnærmingen til sannsynlighetsregning som vi senere viderefører med simuleringer. Det kan være morsomt og spennende! Denne typen eksperimenter krever at vi kan gjenta et forsøk mange ganger. Det å følge med på hvem som vinner en fotballkamp er derfor neppe et nyttig eksperiment. Derimot kan man jo følge med på været for å finne sannsynligheten for regn eller følge med på en hel serie fotballkamper, for å kunne si noe om sannsynligheten for hjemmeseier. Mulighetene er mange, også for å knytte sannsynlighetsbegrepet til ting elevene er opptatt av. Oppgave 2-32 List opp en del eksempler på ting elevene er opptatt av, og hvor det kunne være interessant å utforske sannsynligheter. Forklar hvordan eksperimentet kan gjennomføres, og hvilken innsikt i sannsynlighetsbegrepet elevene vil kunne få ut av det. Simuleringer Risikoanalyse er et eksempel på et område hvor sannsynlighetsregning er helt sentralt. La oss si at du skal bygge en oljeplattform. Du har tegningene av plattformen på skrivebordet, og du har en hel bunke rapporter som viser hvor sikre de forskjellige komponentene er (det vil si hvor stor sannsynligheten er for at de vil svikte på en gitt dag, for eksempel). Du må ta stilling til om plattformen er trygg nok. Husk på at enhver forbedring vil kunne koste millioner av kroner og samtidig at livet til mange mennesker avhenger av at din konklusjon er riktig. En artig ting å gjøre ville jo være å bygge noen hundre plattformer, la hver av dem stå ute i noen år, og deretter sjekke sannsynligheten for at noe går galt. Så ville vi i etterkant kunne anslå sannsynligheten for at noe går galt basert på dette forsøket. Imidlertid rister arbeidsgiveren din på hodet når du foreslår dette. Altså må vi prøve noe annet. Et annet forslag ville være å regne ut sannsynligheten for at noe går galt. Det er ofte mulig, men av og til blir regnestykket i overkant komplisert. Et tredje forslag er å gjøre noe som vi kaller en simulering. Det går ut på at vi lager en modell av plattformen. For hver komponent som kan klikke, lager vi isteden en spinner (eller et program i en datamaskin) som gir oss resultatet Feil like ofte som komponenten vil ha feil. Så spinner vi alle disse spinnerne, og ser på helheten om plattformen ville svikte eller ikke. Deretter gjentar vi dette noen tusen ganger, og får slik et anslag over hvor ofte en plattform vil bryte sammen. Vi tar et litt mer oversiktlig eksempel: Eksempel Finalen i ishockey-nm spilles best av sju kamper, det vil si at det første laget som har vunnet fire kamper, har vunnet NM. Det ene laget har hjemmekamp i kamp 2, 4, 5 og 7, mens det andre har hjemmekamp i kamp 1, 3 og 6. La oss si at det er Storhamar og Vålerenga som møtes i finalen (det er gjerne det), og at Vålerenga har første hjemmekamp. La oss videre si at Storhamar har 60 % sjanse for å vinne sine hjemmekamper, mens de har 45 % sjanse for å vinne bortekampene. Hva er sannsynligheten for at Storhamar vinner pokalen? 19

20 Dette kan vi utforske ved å lage to spinnere, en for Storhamars hjemmekamper og en for bortekampene. Så spinner vi disse etter tur til vi har en vinner. Og så gjentar vi dette noen ganger. Spinnerne kan se slik ut: Storhamar hjemme: Storhamar borte: S V S V Første gang jeg bruker disse, får jeg kanskje følgende resultater: Storhamar vinner første og andre kamp, Vålerenga tredje og Storhamar fjerde og femte. Hurra Storhamar er norgesmester! Men dette betyr dessverre ikke at Storhamar har 100 % sannsynlighet for å vinne NM, det betyr bare at jeg må markere en S i notatene mine og gjøre noen (hundre) forsøk til En slik simulering kan også fungere for å svare på spørsmål som Hva er sannsynligheten for at NM blir avgjort før sjuende kamp?, Hva er sannsynligheten for at et av lagene vinner to kamper på rad? Og så videre spørsmål som det er litt slitsomt å svare på med vanlig regning. Oppgave 2-33 Det var da fryktelig med gutte-oppgaver i dette heftet Kom med forslag til simuleringer som kan være mer interessante for jenter enn ishockey. Utstyr Sannsynlighetsregning krever utstyr! Det mest klassiske utstyret er nok terninger og mynter. Imidlertid finnes det flere andre typer utstyr som vi bør kjenne til: Spinnere er veldig fine fordi sannsynligheten er så iøynefallende ved å se på spinneren ser vi med en gang, ut fra geometriske betrakninger, hvor stor sannsynligheten er for de forskjellige utfallene. Dessuten er de veldig fine ved at vi raskt kan lage hvilke sannsynligheter vi måtte ønske (mens terninger gjerne er mer begrenset, selv om det finnes terninger med mange forskjellige antall sider). Lapper er også kjekke. Ved å lage ti lapper, og sette kryss på tre av dem, har vi et enkelt utstyr som kan gi litt innsikt i uniform sannsynlighetsmodell. Tegnestifter og alle mulige andre dagligdagse ting er fine å bruke, fordi de gir eksempler på ting som ikke kan beskrives av en uniform sannsynlighetsmodell. Datamaskin er også et nyttig utstyr. I regneark kan man enkelt lage tilfeldige tall mellom 0 og 1 eller bruke det til å simulere terningkast, for eksempel. På grunn av datamaskinens enorme tålmodighet og regnekapasitet, kan vi gjøre ganske kompliserte simuleringer ganske raskt i et regneark. 20

21 3 Kombinatorikk (telling) Ovenfor var vi borti det som kalles uniform sannsynlighetsmodell, altså har vi et utfallsrom hvor alle utfallene er like sannsynlige. Alt som da trengs for å finne sannsynligheten, er å telle hvor mange utfall det er i utfallsrommet og hvor mange av disse utfallene som er slik vi ønsker (antallet gunstige utfall delt på antallet mulige utfall gir sannsynligheten). Imidlertid er det ikke bestandig gjort i en fei å telle alle utfallene, ikke sjelden er det snakk om millioner av utfall. Derfor trenger vi noen strategier for å telle som er mer effektive enn å skrive opp alle utfallene og telle fra én. Kombinatorikken består av slike tellestrategier. Indisk matematikk har vært opptatt av slik telling. Varāhamihira skriver på 500-tallet evt. at hvis et antall på 16 stoffer varieres på fire forskjellige måter, vil resultatet være Altså: hvis du har 16 stoffer og skal velge fire av dem, har du 1820 måter å gjøre det på. Vi håper at Varāhamihira ikke telte opp alle disse 1820 mulighetene en for en, og antar derfor at han hadde en formel for å regne det ut. Vi skal komme tilbake til indisk matematikk etter hvert. Rent bortsett fra at kombinatorikken er en forutsetning for sannsynlighetsregningen, dukker den også opp i Kunnskapsløftet i følgende to mål: 4. årstrinn: eksperimentere med, kjenne att, beskrive og vidareføre strukturar i enkle talmønster 10. årstrinn: vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem Innledende oppgaver Husk, for hver oppgave, å notere hvordan du har tenkt. Oppgave 3-1* I Altapostens tippekonkurranse skal du tippe utfallet av 12 fotballkamper (H, U eller B i hver kamp). Hvor mange måter kan man tippe de tre første kampene på? En oppgave som dette kan man løse ved å tegne eller skrive opp alle mulighetene. Her ser du to forskjellige måter å sette opp alle mulighetene på (finn gjerne en måte du synes fungerer bedre): H U B 1. kamp H U B H U B H U B 2. kamp H U B H U B H U B H U BHU B H U B H U B H U B H U B 3. kamp 5 Oversatt fra Katz (1998) s

22 Her starter vi på toppen, og ser at første kamp kan enten være H, U eller B. Hvis vi for eksempel velger H, har vi tre muligheter i 2. kamp. Velger vi igjen H, har vi ytterligere tre muligheter i tredje kamp. Hvis vi teller etter, vil vi finne ut hvor mange muligheter det er i alt. En annen måte å stille opp det samme på, er å skrive hjemme i første kamp, hjemme i andre kamp og hjemme i tredje kamp på følgende måte: HHH. Da blir mulighetene: HHH HHU HHB HUH HUU HUB HBH HBU HBB UHH UHU UHB UUH UUU UUB UBH UBU UBB BHH BHU BHB BUH BUU BUB BBH BBU BBB Oppgave 3-2 Velg et par av mulighetene i denne nederste lista, og finn fram tilsvarende mulighet i diagrammet over. (Poeng: å overbevise deg selv om at du ser sammenhengen mellom de to typene diagrammer). Oppgave 3-3* 3 La oss si at vi skulle tippe volleyballkamper i stedet. Volleyballkamper ender enten med hjemmeseier eller borteseier (uavgjort er umulig). Sett opp en oversikt over alle mulighetene man har for å tippe resultatet av tre volleyballkamper. Hva med fire kamper? Hvordan vil det utvikle seg hvis du ser på flere og flere kamper? Kan du finne noe system? Oppgave 3-4* 3 a) Du skal spise middag på en bedre restaurant, og har 4 typer forrett og 3 typer hovedrett å velge blant. 6 Hvor mange kombinasjoner har du å velge blant? Sett opp oversikt. b) Vi glemte jo det viktigste: desserten! Du kan velge mellom sjokolademousse, karamellpudding eller jordbær m/fløte. Hvor mange kombinasjoner har du nå? (Vis på oversikten fra a).) Hvordan påvirket dette antall kombinasjoner? (Skimter du en regel her?) Oppgave 3-5* 3 a) På hvor mange måter kan tre personer stille seg i kø? Det kan være en fordel å sette opp en oversikt. (Kall gjerne personene Anders, Beate og Christer, eller A, B og C blant venner.) b) På hvor mange måter kan fire personer stille seg i kø? (Kall gjerne den fjerde personen Endre, eller D blant venner.) 6 Naturligvis har de flere retter, men det er bare disse du liker. I hvert fall sier vi det, så du slipper å tegne så mye 22

23 c) Hva med fem? seks? sju? åtte? ni? Finner du en regel/formel? Oppgave 3-6* 3 a) Hva hvis du har fem personer å velge blant, men bare tre av dem skal stille seg i kø? b) Sett opp en oversikt over alle mulighetene i a). I hvor mange av mulighetene er det A, B og C som står i køa (uavhengig av hvilken rekkefølge de står i)? c) Så hvor mange forskjellige valg av personer kan du gjøre når du skal velge tre personer av fem (uavhengig av rekkefølge)? Oppgave Se gjennom de oppgavene du har gjort her. Hvilke regler har du kommet fram til? Hvilke typer oppgaver gjelder de for? (Hvis det er et sted du ikke har funnet noen regel, er det et vanlig triks å justere oppgaven litt for å gjøre den enklere, og se om du da finner ut noe. Hvis du har funnet noe som likner på en regel, kan du justere oppgaven litt for å gjøre den vanskeligere, for å se om regelen fremdeles gjelder.) Oppgave Per og Pål vedder om hvorvidt Per klarer å få en kron når han får lov til å kaste maks to kast. Da er det tre muligheter: for det første kan han få kron i første kast (og vinner). For det andre kan han få mynt i første kast og kron i andre kast (da vinner han også). For det tredje kan han få mynt i begge kastene (da taper han). I alt er det tre muligheter, og han vinner i to av dem. Altså er sannsynligheten for at Per vinner 2/3. Dette argumentet kommer fra den franske matematikeren og leksikonforfatteren d Alembert. Er det et fullgodt argument? Oppgave Pål tapte spillet mot Per, og setter seg heller for å spille kort med Espen (Per går dessuten for å vinne kongsdattera og halve kongeriket). De satser 5 kroner hver, og blir enige om å spille til en har vunnet 10 omganger og dermed potten på 10 kroner. Pål og Espen er jevngode, men denne gangen leder Espen 9-8 idet Per kommer hjem, og Pål bestemmer seg for å reise for å vinne lykken. Men da er det et spørsmål om hvordan potten skal deles. De blir enige om at de skal se på sannsynligheten for å vinne hvis de hadde fortsatt spillet, og Pål mener at hans sannsynlighet for å vinne er 8/17, og han vil derfor ha 8/17 av potten. Espen er ikke enig kan du hjelpe ham med argumenter? Og: ser du sammenhengen med oppgave 3-8? Oppgave 3-10 I spillet Keno, som Norsk Tipping lanserte høsten 2007, skal du som spiller velge fra 2 til 10 tall blant 70 mulige. Så trekker Norsk Tipping 20 av de 70 tallene, og du får premie ut fra en sinnrik tabell. Her blir det bare plass til noen eksempler: 23

24 a) Hvis du tipper 2 tall, får du premie hvis begge de to tallene blir trukket ut. Hvor mange muligheter er det for å velge 2 tall av 70? Hvor mange av disse mulighetene er gunstige, altså betyr at de 2 tallene også er blant de 20 som trekkes ut? Hva er altså sannsynligheten for å få to rette? (Hvis du vinner, får du igjen sju ganger innsatsen. Er det en god deal?) b) Hvis du tipper 10 tall, får du toppgevinsten hvis alle 10 tallene går inn. Regn ut som i a) for å finne ut hva sannsynligheten for å få 10 rette er. (Hvis du vinner, får du ganger innsatsen.) Når man tipper 10 tall, får man også premie for 9, 8, 7 og 6 rette, og man får pengene tilbake hvis man får 5 eller 0 rette. Hva sannsynlighetene for alt dette er, kan du regne ut enkelt når vi har gått gjennom hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling om noen sider. Oppgave 3-11 Tidlig på 2000-tallet sendte NRK et tv-program kalt Hodejegerne. Oppgaven til kjendisene som deltok, var å koble seks personer til de seks yrkene deres. De kunne altså for eksempel bli presentert for Anders, Berit, Cecilie, Dag, Egil og Frida, og få vite at dette var en frisør, en kelner, en gatefeier, en sekretær, en lærer og en baker. a) Hva er sannsynligheten for å få helt rett hvis du bare gjetter? b) Hvis du, av en eller annen grunn, vet at Frida er gatefeier, men du må gjette på alle de andre hva er da sannsynligheten for å få helt rett? c) Hva er sannsynligheten for å få alle feil hvis du gjetter? (Nå når jeg skriver denne oppgaven vet jeg ikke helt hvordan den skal løses men kanskje jeg finner det ut innen noen spør meg...) d) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig én feil? (Og denne siste oppgaven er jo bare ekkel...) Oppgave 3-12 a) I øvelsen 100 meter for menn i friidretts-vm er det to semifinaler, hver med åtte løpere, hvorav de fire beste går til finalen. (Kall gjerne løperne i den ene semifinalen A1, A2, A3,... A8 og løperne i den andre semifinalen for B1, B2, B3,... B8.) Hvor mange ulike sammensetninger kan finalen få? b) I finalen deltar altså åtte løpere. Hvor mange ulike seierspaller kan man få? (Ja det er forskjell på gull og sølv. Sølv er nederlag, ifølge Knut Kupper'n Johannesen.) Noen regler i kombinatorikken Her vil jeg si noe om en del av oppgavene ovenfor, og forhåpentligvis få introdusert de viktigste reglene i kombinatorikken samtidig. Jeg gjennomgår ikke oppgavene i den rekkefølgen de ble gitt, og gjennomgår heller ikke alle. NB! Hvis du har fått til oppgave 3-1 til 3-6, har du allerede forstått mye av kombinatorikken. Nedenfor setter jeg nye ord på, generaliserer og lager formler for en del av sammenhengene ovenfor. Oppgave 3-4 I oppgave 3-4 spiser vi på en bedre restaurant, og har fire forretter og tre hovedretter å velge blant. La oss for enkelhets skyld kalle forrettene a, b, c og d, mens vi kaller hovedret- 24

25 tene E, F og G. Da har vi følgende muligheter: ae, af, ag, be, bf, bg, ce, cf, cg, de, df, dg. Vi ser at for hver av de fire forrettene har vi tre mulige hovedretter, så vi får 3 4 = 12 muligheter. Dette kan vi også tegne som et tre hvis vi har lyst. For hver av de mulighetene som står listet opp ovenfor, kan vi til slutt velge mellom tre forskjellige desserter. Dermed får vi 12 3 = 36 muligheter. La meg illustrere vi kaller dessertene s, k og j: aes afs ags bes bfs bgs ces cfs cgs des dfs dgs aek afk agk bek bfk bgk cek cfk cgk dek dfk dgk aej afj agj bej bfj bgj cej cfj cgj dej dfj dgj Vi ser at det vi gjør, er at vi multipliserer sammen de mulighetene vi har i hvert av trinnene. Dette er en måte å gjøre ting på som vi ofte vil ha behov for, så vi uthever den som en egen regel: Multiplikasjonsregelen: Anta at vi har et forsøk som kan inndeles i r trinn. I første trinn har vi n 1 mulige valg, i andre trinn har vi n 2 mulige valg osv. Da er det totale antall muligheter forsøket kan utføres på lik n 1 n 2 n r. Oppgave 3-1 og 3-3 I oppgave 3-1 har jeg tegnet opp et tre som viser at vi har 27 muligheter. Nå som vi har multiplikasjonsregelen til disposisjon, kan vi også bruke den: Når vi skal tippe første kamp har vi tre muligheter. For hver av disse har vi tre muligheter for hva vi skal tippe i andre kamp. Og for hver av mulighetene vi da har fått, har vi tre muligheter for hva vi kan tippe i tredje kamp. I alt blir det = 27 muligheter. I oppgave 3-3 er det tilsvarende: Når vi skal tippe tre kamper, har vi en valgprosess i tre trinn i hvert trinn har vi to muligheter (hjemme- eller borteseier). Vi får derfor = 8 muligheter. Skal vi tippe fire kamper, får vi = 16 muligheter. Hvis vi skulle ha tippet 12 kamper, ville det vel vært naturlig å sette opp muligheter, som vi kan skrive som 2 12 = 4096 muligheter. Vi har igjen kommet veldig nær en regel, som vi kan skrive slik: Regel: Antall mulige kombinasjoner når r elementer trekkes fra en populasjon på n elementer er n r. Regelen gjelder når du har n elementer hver gang (det kaller vi med tilbakelegging), og rekkefølgen vi trekker dem på spiller en rolle (det kaller vi ordnet). Oppgave : Vi kan nå svare på det som noen vil oppfatte som et naturlig spørsmål: hvor mange mulige rekker er det på den ordentlige tippekupongen fra Norsk Tipping, altså med 12 kamper? Oppgave 3-5 Antall måter tre personer kan stille seg i kø finner vi ved å sette opp en liste: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er altså seks muligheter. Å sette opp et tre kan også være opplysende: 25

26 Figuren viser at vi først har tre muligheter for å velge hvem som skal stå først. Så har vi to muligheter til å velge nr. 2. Til slutt har vi bare en mulighet igjen. Antall muligheter blir derfor ifølge multiplikasjonssetningen. Hadde vi hatt fire personer, ville vi fått fire slike grener som den over. En annen måte å tenke på det på, er denne: hvis det nå kom en person D inn i køen, ville hun ha fire steder å stille seg: enten høflig bakerst, litt frekt nest bakerst, veldig frekt nest fremst eller direkte overlegent aller fremst. Altså vil vi for hver av de 6 kømulighetene vi hadde, få 4 nye. Det er altså slik at hver gang det kommer en ny person, må vi gange med et høyere tall. Regel: Antall mulige rekkefølger n elementer kan ordnes i er n!=n (n-1) (n-2) 1 Skrivemåten n! betyr altså bare at vi skal multiplisere sammen de n første heltallene. n! uttales n fakultet. Oppgave 3-6a En passende kontekst til denne oppgaven kan være slik: De fem personene trenger fem billetter til en konsert, men i billettluka selger de max to billetter til hver person. Altså må minst tre av de fem personene stille seg i kø. I løsningen av oppgaven forutsetter vi at de nøyer seg med tre personer i kø. Mulighetene blir da disse: ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED DAB DAC DAE DBA DBC DBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC Vi ser at det er 60 muligheter i alt. Hadde vi satt opp et tre som ovenfor, ville det kanskje vært lettere å se strukturen: først har vi fem muligheter når vi skal velge hvem som skal stå først, så har vi fire muligheter når vi skal velge hvem som skal stå som nr. 2 og til slutt har vi tre muligheter når vi skal velge hvem som skal stå som nr. 3. Altså i alt muligheter. Hadde det vært seks personer isteden, ville regnestykket naturligvis blitt = 120. Vi får følgende regel: Regel: Antall mulige kombinasjoner når r elementer trekkes fra en populasjon på n elementer, ordnet, uten tilbakelegging er npr = n (n-1) (n-2) (i alt r ledd) (Her er npr bare en skrivemåte for antall måter å velge r elementer fra n, ordnet, uten tilbakelegging se mer om skrivemåten under Vanlige stilte spørsmål bak i heftet.) 26

27 Hva mener vi her med ordnet? Jo, rekkefølgen på personene spiller en rolle. At person A står først i kombinasjonen ABC har naturligvis betydning A får nemlig handlet først. Nedenfor skal vi se på hva som skjer hvis vi ikke skal bry oss om rekkefølgen. At det er uten tilbakelegging har en grei betydning: Når vi først har plukket ut en person til å stå fremst i køen, kan han naturligvis ikke samtidig stå på en annen plass. Når vi har trukket ut A, kan vi altså ikke trekke ham ut igjen. Altså er AAA ikke en mulighet når vi snakker om uten tilbakelegging. Oppgave 3-6c De 60 mulighetene ovenfor er altså ikke 60 forskjellige grupper på tre personer vi ser jo for eksempel at triplet som består av personene A, B og C går igjen noen ganger. Hvor mange ganger går akkurat disse tre personene igjen? Jo, de dukker opp både som ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA altså seks ganger. Dette er vel ikke så overraskende, fordi vi har jo ovenfor kommet fram til at tre personer kan stokkes på 3!=6 måter. Vi må regne med at det samme gjelder for alle andre tripler: at alle tripler vil gå igjen seks ganger. Hvor mange slike tripler er det da i alt i disse 60 mulighetene? Jo, siden alle tripler går igjen seks ganger, er det naturlig å dele 60 på 6: altså finnes det 10 forskjellige tripler. Dette kan illustreres slik: ABC ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ABD ADB BAD BDA DAB DBA ABE ABE AEB BAE BEA EAB EBA ACD ACD ADC CAD CDA DAC DCA ACE ACE AEC CAE CEA EAC ECA ADE ADE AED DAE DEA EAD EDA BCD BCD BDC CBD CDB DBC DCB BCE BCE BEC CBE CEB EBC ECB BDE BDE BED DBE DEB EBD EDB CDE CDE CED DCE DEC ECD EDC Til venstre står de ti forskjellige triplene. Så i hver rad står de seks måtene dette triplet kan stokkes på. Regel: Antall kombinasjoner når r elementer trekkes fra en populasjon på n elementer (når rekkefølgen ikke skal spille noen rolle), finner vi ved først å regne ut hvor mange måter vi kan trekke ut r elementer når rekkefølgen spiller en rolle, og deretter dividere med antall måter r elementer kan stokkes på (dvs. r!). Det kan være greit å formulere dette som en formel: Regel: Antall mulige kombinasjoner når r elementer trekkes fra en populasjon på n elementer, uordnet, uten tilbakelegging: n npr n ( n 1) ( n 2)... ( n r + 1) n! ncr = = = = r r! r! ( n r)! r! n Her er både ncr og nye skrivemåter som betyr det samme, nemlig antall måter å r velge ut r elementer fra n, uordnet og uten tilbakelegging. Vi uttaler dem henholdsvis n C r og n over r. 27

28 Den indiske matematikeren Mahāvīra ga, på 800-tallet evt, formelen på denne måten (uten bevis): Regelen for antall mulige variasjoner av kombinasjoner blant gitte ting: Begynn med en og øk med en, la tallene gå opp til det gitte antallet ting, nedskrevet i regulær orden og i motsatt orden henholdsvis i en øvre og en nedre horisontal rekke. Hvis produktet av et, to, tre eller flere av tallene i den øvre rekken tatt fra høyre mot venstre blir dividert med det tilsvarende produktet av et, to, tre eller flere tallene i den nedre rekken, også tatt fra høyre til venstre, blir resultatet antall slike kombinasjoner. 7 Sammenlikn denne ordrike beskrivelsen med formelen ovenfor. Oppgave 3-14 (fra Bhāskara) I en hyggelig, stor og elegant bygning, med åtte dører, konstruert av en dyktig arkitekt, som palass for landets herre, fortell meg kombinasjonene av åpningene tatt en, to, tre og så videre. 8 Altså: Hvor mange muligheter har du for å åpne én dør, to dører osv.? Oppsummering Vi har nå kommet fram til formler for noen vanlige typer situasjoner, og vi kan systematisere dette i følgende tabell: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet Formel: n r Eks: tippekupong Formel: npr = n (n-1) (n-2) (i alt r ledd) Eks: Personer i kø Uordnet Formel: ncr = n n Pr n ( n 1) ( n 2)... ( n r + 1) n! = = = r r! r! ( n r)! r! Eks: valg av personer til komite Her er det en av rutene som mangler formel: uordnet, med tilbakelegging. Et enkelt eksempel her kan være: Hvor mange forskjellige yatzykast er det mulig å gjøre med fem terninger? (Her ser jeg altså på f. eks. to enere, en toer, en firer og en femmer som et kast, uavhengig av rekkefølgen de kommer i.) Dette skal vi ikke lage noen formel for. Dette er ikke fordi det er vanskelig å lage en slik formel, 9 men fordi dette ikke vil gi oss noen hjelp i å regne ut sannsynligheter, siden utfallsrommet ikke blir uniformt. Her er det på sin plass med et hvileskjær før jeg fortsetter med noen interessante oppgaver, tar jeg med noen oppgaver som bare er for å trene på å se hva slags formel man skal bruke og hvordan den brukes. Treningsoppgaver 3-15 Nina leker med lekebilene sine. Hun har 12 blå, 3 røde og 4 gule. a) I hvor mange rekkefølger kan hun plassere de 19 bilene sine? 7 Oversatt fra Katz (1998) s Oversatt fra Katz (1998) s Formelen blir faktisk så enkel: hvis vi skal trekke k ganger fra en mengde på n elementer, blir antall muligheter n + k Så i eksemplet over blir antallet muligheter = 252 k 5. 28

29 b) Hun skal velge ut fem biler som hun får ta med seg til bestemor på hvor mange måter kan hun velge disse fem bilene? c) Hun blir spurt hvilke biler som er de fineste, og hun svarer Den er den fineste, den er nesten like fin og den der er også veldig fin. Hun peker mens hun snakker. På hvor mange måter kan hun peke ut disse tre bilene? d) Hun skal på besøk til Nils, og har lyst til å gi bort to av de blå bilene sine til ham. På hvor mange måter kan hun velge ut de to blå bilene? Når hun kommer til Nils, sitter han og leker med dukkene sine. Han har sju dukker, fire av dem har mørkt hår og tre har lyst hår. e) Nils har to yndlingsdukker. Hvor mange forskjellige dukkepar er mulige yndlingsdukker? f) De bestemmer seg for å leke skole, og skal derfor sette de sju dukkene pent på rad etter hverandre. På hvor mange måter kan de sette disse dukkene? g) De blir enige om at to av dukkene skal få lov til å leke utendørs, mens de fem siste skal sitte i rad og rekke. Hvor mange måter kan dukkene settes på da? Et vanlig problem i kombinatorikk, er at språket i seg selv kan være flertydig, slik at det er vanskelig å se hvilken type situasjon man er i. Det er imidlertid ikke noe problem i virkeligheten, 10 siden man forhåpentligvis kjenner godt nok til situasjonen man skal undersøke til at man vet om det er ordnet eller uordnet, med eller uten tilbakelegging man er interessert i. Oppgave a) Hvis du kaster en mynt fem ganger hva er sannsynligheten for at du får mynt alle fem gangene? b) Hvis du har kastet en mynt fire ganger og fått mynt alle fire gangene hva er da sannsynligheten for at du får mynt den femte gangen også? c) Matematikeren Jean Le Rond d'alembert argumenterte med at jo oftere en mynt har landet på mynt, desto mer sannsynlig er det at den vil lande på kron i neste kast. I sin artikkel Sur l usage du principe de la raison suffisante dans le calcul des probabilités skrev Béguelin det samme. Er du enig? Oppgave 3-17* 3 Matematikeren Leibniz skrev i Opera Omnia: For eksempel, med to terninger er det like sannsynlig å kaste tolv poeng som å kaste elleve, for både det ene og det andre kan dannes bare på en eneste måte; mens det er tre ganger mer sannsynlig å kaste sju, for det kan dannes ved å kaste seks og en, fem og to eller fire og tre, og hver kombinasjon her er like sannsynlig som en annen 11 a) Er du enig? b) Tror du at noen av elevene dine kan være like flinke som Leibniz og si det samme? 10 Eksamen regnes altså her ikke som en del av virkeligheten. 11 Kilde: Todhunter (1865) 77. Oversatt fra fransk vha. Babel Fish, hvilket gjør at jeg må ta forbehold 29

30 En venn konsulterte Galileo pga. følgende problem: med tre terninger kan både tallet 9 og tallet 10 lages på seks forskjellige måter. Likevel viser erfaring at 10 oftere dukker opp enn c) Sett opp de seks forskjellige måtene 9 kan dannes på, og tilsvarende med 10. d) Hva ville du svart Galileos venn? Oppgave 3-18 Noen matematikere har hatt en tradisjon for følgende friidrettsøvelse: De kaster en terning for å avgjøre hvor mange runder de skal løpe (i første omgang). Når det så gjenstår to hundre meter, kaster de terningen igjen, for å avgjøre hvor mange runder til de skal løpe. (Dermed blir det vanskeligere å legge opp et løpsopplegg ) a) Hvor mange runder kan man forvente å løpe? b) Du vet at du er best hvis løpet begrenser seg til maks 1200 meter, mens du er sjanseløs hvis løpet blir lenger enn det. Hva er sannsynligheten for at du vinner? (en runde er 400 meter). Oppgave 3-19 Lambert betraktet følgende problem: Vi har n brev og n konvolutter, og legger brevene oppi tilfeldige konvolutter (slik at det havner nøyaktig et brev i hver konvolutt) hva er sjansen for at alle brevene kommer i feil konvolutt? a) La oss først se på tilfellet n=3. På hvor mange måter kan brevene plasseres? Hvor mange av disse gir rett plassering på alle brevene? På hvor mange måter kan nøyaktig ett brev plasseres feil? Eller to? Eller tre? b) Gjør tilsvarende oppgave for n=4. c) Kan du svare på Lamberts problem for en vilkårlig n? Problemstillingen i oppgave 3-17 kan elevene naturligvis utforske med et eksperiment. At det er mer sannsynlig å få sju enn å få tolv, finner jo elevene ut om vi bare gir dem to terninger og en tabell med en rad for hver av verdiene fra to til tolv. Det er imidlertid mer illustrerende om vi gir dem to terninger med forskjellig farge, og deretter ber dem lage en slik tabell: Hvit terning Svart terning Etter at elevene har kastet en del ganger og satt streker i passende ruter underveis, vil de kunne få en anelse om at hver av rutene dukker opp sånn cirka like mange ganger. Og de vil se at det er seks ruter som gir sju. Til Leibniz påstand vil de da kunne si: Nei, det er jo dobbelt så sannsynlig å få elleve som å få tolv, for elleve er jo både 5+6 og Kilde: Todhunter (1865) 8. 30

31 Sluttkommentar Kombinatorikken er et fint område for utforskning. I lærerutdanningen (og i andre kurs hvor man må komme gjennom kombinatorikken på et par uker) legger man sjelden så mye vekt på det. Dermed kan formlene lett stjele oppmerksomheten. I grunnskolen, derimot, er det å foretrekke om elevene møter problemstillinger fra kombinatorikken med ujevne mellomrom gjennom årene lenge før det blir interessant å komme trekkende med formlene. Eksempel I litt formelle sammenhenger skal man helst håndhilse på alle. Hvor mange håndtrykk blir det i alt hvis det er fire stykker som møtes, og alle skal håndhilse på alle? Eller hvis det er fem stykker? Det går fint an å utforske dette i et klasserom. Man kan til og med gå så langt at man finner ut hvor mange håndtrykk det blir hvis hele klassa møtes, og alle skal hilse på alle. Mønsteret som dukker opp, blir faktisk til og med veldig enkelt. (Og likner ganske lite på den formelen vi gir i dette heftet ) Se også oppgave 4-14 om Pascals trekant. Hva er sammenhengen? 31

32 4 Sannsynlighetsregning Klarer vi å få til et uniformt utfallsrom, kan vi regne ut sannsynligheten ved å dele antall mulige utfall på antall gunstige utfall. Men vi kan heldigvis også finne sannsynligheter på andre måter. Addisjon av sannsynligheter Vi kan addere sannsynligheter i de tilfeller hvor vi vet sannsynlighetene for to hendelser (fra samme utfallsrom), og vil vite sannsynligheten for at den ene eller den andre vil inntreffe: Hvis jeg vet at sannsynligheten for at jeg får karakteren A på eksamen er 0,10, mens sannsynligheten for at jeg får B er 0,25, vet jeg jo også at sannsynligheten for å få A eller B er 0,10+0,25=0,35. Men det er to ting å være oppmerksom på: For det første må de ikke overlappe. For eksempel: Hvis jeg vet at sannsynligheten for A eller B er 0,35, mens sannsynligheten for B eller C er 0,35, betyr ikke det at sannsynligheten for A eller B eller C er 0,70. (For da vil jeg jo ha regnet med sannsynligheten for B to ganger.) For det andre: det må altså være sannsynligheter fra samme utfallsrom i samme forsøk. Hvis jeg snakker om ulike forsøk, skjærer det seg. Selv om sannsynligheten for sekser i et kast er 1/6, kan jeg ikke bruke addisjon til å konkludere med at sannsynligheten for sekser i første kast eller andre kast eller tredje kast eller fjerde kast eller femte kast eller sjette kast er 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1. Altså kan vi formulere følgende regel: Regel: Hvis vi har to hendelser A og B (i samme forsøk) som har sannsynligheten P(A) og P(B), så er sannsynligheten for at enten A eller B inntreffer, P(A)+P(B) (såfremt det ikke er noe overlapp mellom A og B). Multiplikasjonsregelen for sannsynligheter Oppgave 4-1: Hva er sannsynligheten for å få to seksere på et kast med to terninger? Denne oppgaven kan løses på flere måter. Den ene vil være å sette opp et utfallsrom, som inneholder de 36 mulige utfallene. Deretter finner vi fram til alle de gunstige utfallene (som i 1 dette tilfellet bare er ett). Dette gir oss sannsynligheten. 36 En annen variant er følgende: Sannsynligheten for å få en sekser på den ene terningen, er 1 1, mens sannsynligheten for å få sekser på den andre terningen er. Vi ser at vi får korrekt svar hvis vi ganger disse to sannsynlighetene sammen (for vi vet jo allerede at svaret er ). 36 Dette antyder følgende regel: Regel: Hvis vi har to hendelser som har sannsynlighet hhv. p og q, og er interessert i sannsynligheten for at begge skal skje, så er svaret p q. Oppgave 4-2: Hva er sannsynligheten for at det regner to dager på rad, hvis sannsynligheten for at det skal regne på en bestemt dag er 0,72? (Tallet 0,72 fikk jeg fra tallene for 2000 for Bergen: 263 nedbørsdager.) 32

33 Det er fristende å regne slik: 0,72 0,72=0,518. Men her har vi et problem: det er vel ofte slik at regnværsdager kommer i klynger? Altså slik at det for eksempel regner ei uke i strekk, og så blir oppholdsvær ei uke i strekk? I så fall holder ikke regnestykket vårt for i så fall vil det være mer enn 0,72 sannsynlighet for at det regner den andre dagen hvis det først regner den første dagen (mens det til gjengjeld vil være mer enn 0,28 sannsynlighet for at det er oppholdsvær den ene dagen hvis det var det dagen før). Vi må altså supplere regelen vår: Tillegg til regelen: Vi kan bare multiplisere sannsynlighetene for to hendelser hvis de er uavhengige av hverandre (det vil si at sannsynligheten for at den ene skal hende ikke påvirkes av om den andre hender). I vårt tilfelle ser vi at vi da ikke kan bruke regelen, siden regnvær den ene dagen vil påvirke sannsynligheten for regnvær dagen etter. Hvis vi ikke hadde valgt to dager etter hverandre, men derimot hadde valgt to tilfeldige dager, kunne vi nok ha brukt multiplikasjonsregelen. Illustrasjoner Vi kan illustrere slike sannsynligheter på flere måter. En av måtene er det treet som vi har brukt flere ganger i heftet. Det egner seg spesielt godt når det er snakk om et uniformt utfallsrom, for da illustrerer treet alt vi trenger, nemlig antallet utfall. Men også når det er forskjellige sannsynligheter det er snakk om, er det en mulig måte å gjøre det på. Imidlertid finnes det et nyttig alternativ, som vi ser på i et eksempel: Eksempel La oss si at jeg en dag har bestemt meg for å reise på stranda hvis det er over 20 grader og jeg i tillegg er frisk (jeg har nemlig følt meg litt småslapp de siste par dagene). Anta at det er 60 prosent sjanse for at det er over 20 grader, og det er 90 prosent sjanse for at jeg er frisk. Da kan jeg sette opp følgende tre: 0,6 0,4 over 20 grader under 20 grader 0,9 0,1 0,9 0,1 frisk syk frisk syk 0,54 0,06 0,36 0,04 Men vi kan også tegne det opp i en såkalt arealmodell, hvor arealet av bitene tilsvarer sannsynligheten for hendelsen. Først kan jeg dele en firkant opp i to deler, hvor den ene har 60 % av arealet og den andre 40 % av arealet: 33

34 40 %: under 20 grader 60 %: over 20 grader Deretter deler jeg den på langs i en stripe som er 10 % av arealet og en som er 90 % av arealet: 90 %: frisk 10 %: syk 40 %: under 20 grader 60 %: over 20 grader Ut fra denne figuren er det kanskje enklere å se hvorfor det blir 54 % sannsynlighet for at det blir strandtur på meg. Oppgave 4-3 Tenk deg at du har aksjer i to selskaper, Adresseavisen og shippingselskapet Bonheur. Du ser for deg å ha aksjene i et år, og tenker deg at det er 5 % sannsynlighet for at verdien av aksjene i Adresseavisen vil synke voldsomt på det ene året, men 20 % sannsynlighet for at den vil stige voldsomt. I Bonheur ser du for deg at sannsynlighetene er henholdsvis 20 % og 40 %. Siden Adresseavisen og Bonheur holder på i helt ulike bransjer og på ulike steder i verden, tenker vi oss her at aksjene er uavhengige av hverandre (men helt uavhengige er de nok ikke i virkeligheten). Lag et tre eller en arealmodell, og finn ut hva sannsynligheten er for a) at begge aksjene synker voldsomt b) at begge aksjene stiger voldsomt c) at den ene synker og den andre stiger Hvorfor er resultatene i a-c et argument for å investere i aksjefond (en pakke med aksjer i mange selskaper) heller enn å investere i en enkeltaksje ihvertfall hvis du er en forsiktig investor? Oppgave 4-4 Hva er sannsynligheten for at det i en klasse på 30 elever er noen som har bursdag på samme dag? (skriv ned en gjetning, selv om du ikke klarer å regne det ut foreløpig!) Vi nærmer oss spørsmålet ved å starte litt enklere: a) Hva er sannsynligheten for at to elever har bursdag på forskjellig dag? b) Hva er sannsynligheten for at tre elever har bursdag på forskjellige dager? (Tegn gjerne trediagram) c) Hva er sannsynligheten for at fire elever har bursdag på forskjellige dager? d) Hva er sannsynligheten for at tredve elever har bursdag på forskjellige dager? 34

35 Misoppfatninger Mynter med hukommelse Det er ikke til å unngå at man i løpet av sin lærerkarriere kommer borti en del elever som er enige med d'alembert (i oppgave 3-16). Det behøver ikke elevene være flaue over, d Alembert var en av de ledende intellektuelle i Frankrike på 1700-tallet. Det er dessuten den samme tankegangen som ligger bak når aviser viser oversikter over hvor ofte Lottotall er trukket ut. I skrivende stund er for eksempel tallet 18 trukket ut 205 ganger, mens tallet 9 kun er trukket ut 150 ganger. Betyr det at tallet 9 vil bli trukket ut en masse ganger de nærmeste ukene, i et desperat forsøk på å nå igjen tallet 18? Det kan være lett å harselere over slike tanker, men det å gjøre narr av elevenes oppfatninger er neppe noen god strategi. Å nøye seg med å slå fast hva som er korrekt, er heller ikke så virkningsfullt. Det kan lett føre til at elevene sier læreren sier at det er sånn i matematikktimen, men jeg tror nå at det er slik i virkeligheten. Hva kan man da gjøre for å endre elevenes syn på saken? Her er det snakk om et skjema som ikke passer til å takle den nye erfaringen, for å snakke som en piagetianer. Altså trenger vi en akkomodasjon, og det kan vi få til ved å skape en kognitiv konflikt. Oppgave 4-5: Hvordan kan man få til en kognitiv konflikt her? En mulig idé er følgende forsøk: Bakgrunnen for forsøket er å teste teorien om at hvis du har fått det samme på terningen mange ganger på rad, vil det være mindre sjanse for å få det neste gang. Her ser vi på hva sannsynligheten er for å få kron hvis du har fått kron to ganger på rad allerede (og tilsvarende for mynt). Etter teorien skulle det være mye mindre enn 50 % sjanse for å få kron på det tredje kastet hvis du har fått kron på de to første. Kast en mynt tre ganger. Gjenta dette forsøket 25 (eller flere) ganger. Hvor mange ganger fikk du to kron eller to mynt på de to første kastene?.. Hvor mange av disse gangene fikk du det samme også det tredje kastet?.. Hvilken andel endte du opp med? Hvis hele klassen gjør dette (i en stor nok klasse), kan man samle inn tallene og se om resultatene motsier d Alemberts teori. Men vær obs på antallet kast: for at det ikke skal være altfor stor fare for at tilfeldighetene skal spille deg et puss slik at forsøket viser akkurat det det skulle motbevise, må antallet kast være stort. Å gjøre dette i klassen med mindre enn 500 slike serier på tre kast kan ikke anbefales. (Hvorfor det er slik, kan du tenke på når vi kommer til binomisk sannsynlighetsmodell om litt.) Telle i et ikke-uniformt utfallsrom En vanlig feil er også å telle gunstige og mulige uten å ta hensyn til om utfallsrommet er uniformt. I litteraturen er det mange eksempler på dette, i oppgave 3-17 var det altså snakk om Leibniz, som mente at 11 og 12 var like sannsynlig når man kastet to terninger. Her vil det kanskje hjelpe å bruke terninger med forskjellig farge: da er det lettere å innse at 11 kan inntre både som blå femmer og rød sekser og som blå sekser og rød femmer, mens 12 bare kan inntre når begge terningene er seksere. Men også her går det an å gjøre forsøk. Dersom den vir- 35

36 kelige sannsynligheten for elleve er dobbelt så stor som sannsynligheten for tolv, burde det være mulig å oppdage forskjellen. Flere oppgaver Av dette oppgavesettet er det særlig oppgave 4-9 vi jobber videre med etterpå. Oppgave I 1998 ble det rapportert branner i eneboliger her i landet. Antall eneboliger var a) Hva var den relative frekvensen for brann i eneboliger? For leiligheter ble det samme år rapportert 448 branner. Antall leiligheter var b) Hva var den relative frekvensen for brann i leiligheter? c) Hva er sannsynligheten for brann i en enebolig og i en leilighet? d) Hvilken nytte kan et forsikringsselskap ha av opplysningene i oppgavene a og b når de skal bestemme premien (=prisen) på en brannforsikring? Trenger de flere opplysninger? (Oppgaven er tatt fra Erstad m. fl: Matematikk 1MX/1MY) Oppgave 4-7 I Olav den Helliges saga kapittel 94 fortelles følgende historie: Torstein Frode sier at det var ei bygd på Hisingen som snart hadde fulgt med Norge og snart med Götaland. Nå avtalte kongene med hverandre at de skulle kaste lodd om hvem som skulle eie den; de skulle kaste terninger, og den som fikk størst tall, skulle ha den. Sveakongen kastet to seksere, og så sa han at kong Olav trengte ikke kaste. Han ristet terningene i handa og sa: Det er to seksere på terningene ennå, og det er ingen sak for Gud min herre å la dem komme opp. Han kastet, og det kom opp to seksere. Så kastet Olav sveakonge, og det ble to seksere igjen. Så kastet Olav, Norges konge, og da kom det opp seks på den ene sida, men den andre gikk i stykker, så det kom opp sju på den. Da fikk han bygda. Vi har ikke hørt noe annet fortelle fra dette møtet. Kongene skiltes som forlikte. 13 (Tegning: Erik Werenskiold)