Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumentene i e) og f).

Transkript

1 Ogave (8 oeng) Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensn å begge argumentene i e) og f). a) b) f 3 ( ) f ( ) f '( ) 3 3 f '( ) c) d) f ( ) g( ) ( ) e f '( ) g '( ) e g g ( ) f( ) g '( ) g( ) f( ) e) F(, ) 3 F ' (, ) 3 F ' (, ) 3 f) st st st st st f ( s, t) e e f ' ( s, t) e e f ' ( s, t) e e s t st Ogave (5 oeng) Sant eller galt? For hver av disse åstandene, avgjør om den er sann eller usann. a) 5 9 (4 i) i i i5 Sant b) c) ln(3 e ) Usant Sant d) e) Om ln( ) ln ln Usant f (, ) ln så er df d d. Sant

2 Ogave 3 (0 oeng) f ( t) ma t e Betrakt funksjonen for t 0. a) Finn, ved hjel av omhllingssetningen, et uttrkk for * maksimeringsroblemet. f '( t) f ( t) t lnt b) Løs maksimeringsroblemet og vis at. FOB: t e gir lnt f ( t) t lnt t. Insatt f '( t) uten først å løse c) Vis at andreordensbetingelsen for maksimeringen i b) er tilfredsstilt. Deriverer to ganger: e 0 d) Bruk svaret i b) til å finne f '( t ). f ( t) t lnt t f '( t) ln t t ln t gir t e) Ogave a) og d) vil gi to ulike uttrkk for samme. * lnt f '( t ). Vis at svarene likevel er de Ogave 4 (0 oeng) La f (, ) være en gitt funksjon og ( 0, 0) være et stasjonærunkt. a) Forklar hva vi mener med at unktet er et stasjonærunkt. f ' f ' 0 Anta videre at og at f (, ) 0 and f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) b) Forklar hvorfor vi ikke kan konkludere med at unktet er et globalt ekstremunkt (enten maksimum eller minimum). Fordi AOB skal gjelde overalt. c) Om det faktisk er et ekstremunkt, er det da et maksimum eller minimum? Begge dobbeltderiverte negative, så det er en kandidat til maksimum. d) For å sikre at unktet er et globalt ekstremunkt, hva mer måtte vi kreve? At AOB skal gjelde overalt

3 Ogave 5 ( oeng) Minimer u(, ) gitt bibetingelsen ln ln 0 u ved hjel av Lagranges metode, og vis at svaret må tilfredsstille ligninga L u(, ). ln ln L' u' 0 L' u' 0 u ' Løser for l: Ogave 6 u ' som gir den ogitte ligningen. a) Kostnadsfunksjonen angir kostnadene ved å rodusere alternative mengder når enhver roduktmengde roduseres ved den faktorbruk som gir lavest mulig kostnader. b) c) d) e c( ) e e e ( ) c( ) 0 c( ) e c( ) e c( ) faller til = og stiger så. Grensekostnaden er stigende og skjærer gjennom minimumsunktet for enhetskostnaden. e) c( ) e f) Når er under minimum av c( ), tilbs null. Da er altså e. Maksimer: e 0. e. ln( ) g) For e tilbs null. for e. Ogave 7 Økt ris å vare j gir substitusjon bort fra den varen som blir relativt drere. Effekten blir altså negativ for j i og ositiv ellers. Vi får ren substitusjon når risendringen komenseres slik at ntten holdes uendret. Men ved en artiell risøkning gis ikke komensasjon. Forbrukeren lider et realinntektsta som er større

4 jo mer en bruker av varen som blir drere. Realinntektstaet åvirker ettersørselen etter gode i via inntektseffekten. Effekten blir negativ for normale goder. Ogave 8 a) Indifferenskurven angir de kombinasjoner av forbruk i de to eriodene som forbrukeren snes er like bra. Sm b) c c og ( r) S m. Ved å sette første likning inn i andre og fltte om å leddene ( r) c får vi c ( r)m m R. c) Det forbruk konsumenten er villig til å ogi i eriode for å få en ekstra enhet forbruk i eriode, er lik det forbruk en faktisk ogir i eriode ved å forbruke en ekstra enhet i eriode (alternativkostnaden). c En sarer da en enhet mindre og går gli av +r i eriode. m S d) r r. Vi kan tolke R som den totale inntekten til forbrukeren. Vi har at S S R c c ( r) m R m r R R >0 siden forbruket er normalt gode. Ogave 9 T S( ) D( ) a) Tilbud er like ettersørsel : T S( s) D( ) b) Vi har at q=+s. Da er. Deriver mh s, og la T S( ) D 0 d ds. T S D S S T S D S T D q T S D T S D Vi ser at 0 og q 0. c) La oss se å absoluttverdien til, altså T og S T S D. Effekten er større jo større S er og jo mindre D er. Den umiddelbare effekten av subsidien er at vindkraftrodusentene mottar høere ris og

5 tilbr mer. Det ostår et tilbudsoverskudd. Denne effekten er større jo større S er. For å få avsatt den økte kraftmengden og eliminere tilbudsoverskuddet må ned for å stimulere forbruket. Andre ting like må risen mer ned jo mindre ettersørselen reagerer å en viss risnedsettelse. Redusert vil redusere risen rodusentene mottar og deme tilbudet og dermed tilbudsoverskuddet. Også av denne grunn må risen mer ned jo mindre tilbderne reagerer å risendring. Ogave 0 D D c D D D D c D 0 D c 0 D c 0 D D Tilsvarende finner vi D D c D 0 c 0 D D

6 b) En økning i risen gir større inntekt for gitt roduksjon. På den annen side vil økt ris gi mindre ettersørsel og omsetning, som artielt sett reduserer inntekten, men også reduserer roduksjonskostnadene. D ( ) D ( ) c) Bruk omhllingsteoremet og finn c d) En sette inn og regne som ovenfor. Enklere D er det å innse at c 6 8 D D,5 D D. D,5 og c 6 D D Ogave Sant eller galt. a) Galt. Hvis dette var tilfellet ville en risøkning å % gi mindre enn % fall i ettersørselen og omsetningsverdien ville øke samtidig som kostnaden ville falle og rofitten ville øke. Da kunne en ikke være i otimum. b) Sant. Ved konstant skalautbtte er c( ) konstant, så hvis c( ) gjelder det for alle verdier av, og kan ikke bestemmes. c) Sant. På grunn av homogenitet så vil samme rosentvise økning i w,q og ha null effekt å tilasningen. Da må en viss rosentvis økning i w og q ha samme effekt som den tilsvarende rosentvise reduksjon. Alternativt kan en se å tilasningsbetingelsene. S d) Galt. På grunn av homogenitet har vi at S 0. Generelt er h h h h S S h h, selv om S, så er S 0 S S. Det er tilstrekkelig å få fram at det ikke er noen grunn til at de to elastisitetene i ogaven skal summere seg til null. Det er ingen generell egenska ved funksjonene som tilsier dette.

7 Poenggrenser Vi har raksis for å bruke følgende oenggrenser. A over 80 oeng B oeng C 5-65 oeng D 4-50 oeng E 3-40 oeng