Newtonpolynomer med senterpunkter x0, x1,..., xn-1

Transkript

1 Newtonpolynomer med senterpunkter x, x,..., xn- Det er av og til nyttig å finne flere approksimerende polynomer P HxL, P HxL,..., Pn HxL til et datasett med n+ elementer for så å velge den som passer best våre behov. Hvis vi benytter Lagrange polynomer, er det ingen snarvei i beregning av PnH HxL når Pn- HxL er kjent. Hvert polynom må beregnes individuelt. Høyere ordens polynomer krever mye minne og beregningstid i computeren. En annen tilnærming er å konstruere Newton polynomer som følger et rekursivt mønster: P HxL = a + a Hx - x L P HxL = a + a Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L P HxL = a + a Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L Hx - x L Pn HxL = Pn- HxL + an Hx - x L Hx - x L Hx - x L Hx - xn- L Her er det altså lite arbeid for computeren å beregne Pn HxL når Pn- HxL er kjent. Punktene x, x,......, xn- kalles senterpunktene, og a, a,......, an er koeffisientene i polynomet. I første eksempel er koeffiisientene angitt numerisk. Senterpunktene er angitt i listen xx. xx = 8,,,.5<; Definerer D punkter (xx, ) for hvert element i xx for grafikk seinere. pts = Map@8ð, < &, xxd.5 Definerer en funksjon x som tar listeelementene i heltallsposisjoner, første element i x(), X@i_D := xx@@i + DD Gitt koeffisientene i newtonpolynomet aa = 85, -,, -.,.<; a@i_d := aa@@i + DD Rekursiv programmering Clear@PD P@, x_d = a@d + a@d Hx - X@DL ahl Hx - X HLL + ahl

2 x_d := xd = P@n -, xd + a@nd ä Hx - X@i - DL n i= Table@P@k, xd, 8k, <D Column 5 - Hx - L Hx - L Hx - L - Hx - L Hx - L Hx - L Hx - L + Hx - L Hx - L - Hx - L + 5. Hx -.5L Hx - L Hx - L Hx - L -. Hx - L Hx - L Hx - L + Hx - L Hx - L - Hx - L + 5 Simplify@%D 7-x x -. x x +. x x x -.75 x +.65 x x Simplify@Table@P@k, xd, 8k, <DD. x.5 8.,.65,.55,.5575< Plot@Evaluate@Table@P@k, xd, 8k, <DD, 8x,, 5<, Epilog 8PointSize@.D, Red, Point@ptsD<D Table@P@k, D, 8k, <D 85, 5., 5., 5.< Table@P@k, D, 8k, <D 8,.,.,.< Table@P@k, D, 8k, <D 8-,,, < Table@P@k,.5D, 8k, <D 8-.,.65,.65,.65< Kjedet multiplikasjon Hvis n er fiksert og Pn HxL skal evalueres mange ganger, er det mer effektiv programmering å benytte den kjedete versjonen av polynomet. Det innebærer langt færre operasjoner med multiplikasjon og addisjon enn den direkte metoden.

3 Hvis n er fiksert og Pn HxL skal evalueres mange ganger, er det mer effektiv programmering å benytte den kjedete versjonen av polynomet. Det innebærer langt færre operasjoner med multiplikasjon og addisjon enn den direkte metoden. Legg merke til at polynomet av grad ( valgt eksempel) kan skrives P HxL = HHa Hx - x L + a L Hx - x L + a L Hx - x L + a For å beregne P HxL i et gitt punkt, start med den innerste parentesen og arbeid utover: S S S S = a = S Hx - x L + a = S Hx - x L + a = S Hx - x L + a Det følger at P HxL = S Vi gjentar forrige eksempel med kjedet multiplikasjonsteknikk. Senterpunkter og koeffisienter leses inn som lister, mens x og a er tilsvarende funksjoner med heltallsverdier lik listeelementene. Her kan indeksen starte på null. : Clear@PD NewtonPoly@xi_List, ai_listd := Module@8sum, a, n, k, X<, n = Length@xiD; =, i < n, ++i, X@iD = xi@@i + DDD; =, i < n +, ++i, a@id = ai@@i + DDD; sum = a@nd; = n -, k ³, --k, sum = sum Hx - X@kDL + a@kdd; Simplify@sumD D xi = xx 8,,,.5< ai = aa 85, -,, -.,.< P@x_D = NewtonPoly@xi, aid. x -.75 x +.65 x x P@.5D.5575 Dividerte differanser Anta vi ønsker å bestemme koeffiisentene ak for alle polynomer som approksimerer en gitt funksjon f HxL. Polynomet Pk HxL baseres på senterpunktene x, x,......, xk og nodene x, x,......, xk+. For polynomet P HxL vil koeffiisentene a og a ha kjent mening. Vi har at P Hx L = f Hx L og P Hx L = f Hx L. f Hx L = P Hx L = a + a Hx - x L = a, så a = f Hx L. f Hx L = P Hx L = a + a Hx - x L = f Hx L + a Hx - x L a = f Hx L -f Hx L x -x

4 Anta vi ønsker å bestemme koeffiisentene ak for alle polynomer som approksimerer en gitt funksjon f HxL. Polynomet Pk HxL baseres på senterpunktene x, x,......, xk og nodene x, x,......, xk+. For polynomet P HxL vil koeffiisentene a og a ha kjent mening. Vi har at P Hx L = f Hx L og P Hx L = f Hx L. f Hx L = P Hx L = a + a Hx - x L = a, så a = f Hx L. f Hx L -f Hx L x -x f Hx L = P Hx L = a + a Hx - x L = f Hx L + a Hx - x L a = Koeffiisenten a er altså stigningstallet til sekanten mellom punktene Hx, f Hx LL og Hx, f Hx LL Koeffisientene a og a er de samme for polynomene P HxL g P HxL. Polynomet P HxL sammenfaller med f HxL i punktene med abscisser x, x, x f Hx L = P Hx L = a + a Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L = f Hx L + f Hx L -f Hx L x -x Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L a = Det er hensiktsmessig å omskrive den siste brøken til a = f Hx L- f Hx L x -x f Hx L- f Hx L x -x - f Hx L- f Hx L x -x x -x - f Hx L- f Hx L x -x x -x Telleren er nå skrevet som differensen mellom to første ordens dividerte differanser La y = f HxL. Dividerte differanser skrives med firkantparenteser og defineres: D = f Hxk L xk D = D - D xk -xk- xk-, xk D = D - D xk -xk- xk-, xk-, xk D = f Axk- j, xk- j+,... xk E = D - D xk -xk- f AAxk- j+,...,,xk E - f Axk- j, xk -xk- j...,,xk- E Med innføringen av dividerte differansen kan vi skrive newtonpolynomet av grad N: PN HxL = a + a Hx - x L + a Hx - x L Hx - x L an Hx - x L Hx - x L Hx - xn- L = k a + ÚN- k= ak+ Ûj= Ix - x j M der ak = x,......, xk D Når vi koder et program som beregner dividerte differanser, ser vi at notasjonen dhk, jl = f Axk- j, xk- j+,..., xk E gir oss rekursjonsformelen dhk, jl = dhk, j-l - dhk-, j-l xk - xk- j til at koeffisientene blir diagonalelementer i d- matrisen, ak = dhk, kl. Videre er dhk, L = D = f Hxk L = yk.. Vi legger merke

5 yi_list, n_, x_d := ModuleB8i, j, k, X, Y<, IfBn < H* konverterer fra lister til funksjoner *L =, i < n +, ++i, X@iD = xi@@i + DDD; =, i < n +, ++i, Y@iD = yi@@i + DDD; H* beregner dividerte differanser *L For@k =, k < n +, ++k, d@k, D = Y@kD D; ForBj =, j < n +, ++j, ForBk = j, k < n +, ++k, d@k, j - D - d@k -, j - D d@k, jd = X@kD - X@k - jd F; H* beregner newtonpolynomet på kjedet form *L sum = d@n, nd; = n -, k ³, --k, sum = sum * Hx - X@kDL + d@k, kdd; F F F; Print@sumD Eksempel xi = Range@, D 8,,,, < yi = N@Cos@xiDD 8.,, -.67, , -.656< Clear@PD P@n_, x_d := NewtonDD@xi, yi, n, xd P@, xd x Expand@%D RowBox@8RowBox@8.`, <D, -, RowBox@ `,, x<d<d = ToExpression@%D x 5

6 8x,, Π<, Epilog Red, <, 8, - -. xd -.8 x x +. Expand@%D RowBox@8RowBox@ 8RowBox@8H, RowBox@8RowBox@8-, RowBox@8RowBox@ `<D,, RowBox@8H, RowBox@8x, -, FractionBox@, D<D, L<D<D<D, -, `<D, L<D,, x<d, +,.`<D Vi ser at svaret i Mathematica gis som kjedet multiplikasjon ( Også kalt Horner form). Uttrykket lar seg ikke uten videre expandere, på grunn av boksstruktur internt i programmet. Vi må derfor konvertere svaret til et uttrykk som kan forenkles: = ToExpression@%%D Simplify -.8 x -.85 x +. Cos@xD<, 8x,, Π<, Epilog 8PointSize@.5D, Red, Point@88, <, 8, Cos@D<, 8, Cos@D<<D<D P@, xd HH.6559 Hx - L -.876L Hx - L L x +. = ToExpression@%D Simplify.6559 x x x +..5.

7 8x,, <, Epilog Red, <, 8, 8, 8, - -. Vi ser igjen at polynomet Pk HxL sammenfaller med f HxL i nodene x, x,....., xk+. Eksempel xi = Range@-, D :-, -, -,,,, > xi yi = NBExpB FF 8.65,.665,.8897,.,.8897,.665,.65< P@n_, x_d := NewtonDD@xi, yi, n, xd n = Length@xiD - 6 P@6, xd x+ Hx + L.65 x+ x x H Hx - LL = ToExpression@%D Simplify -.77 x x x x x +. pts = Transpose@8xi, yi<d

8 8 ExpB- x F>, 8x, -, <, Epilog 8PointSize@.5D, Red, Map@Point, ptsd<f Oppgave Gjenta eksempel, men beregn newtonpolynomet av grad. Tegn polynomet og funksjonen i samme graf, sammen med senterpunktene. Les av grafen hvilke punkter det interpolerende polynom nå går gjennom. Gjenta for newtonpolynom av grad Oppgave La f være besselfunksjonen av orden,og noder samme som i eksemplet i Lagrangepolynom notebooken. xi = Range@, D yi = N@BesselJ@, xidd Beregn newtonpolynomet av høyeste orden, og tegn graf som viser polynomet og funksjonen sammen med markerte nodepunkter.( Du må benytte ToExpression - kommandoen for å tegne polynomet)