FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 12 1 LØSNING ØVING 12. Spinnpresonans. 2 hσ blir resultatet. 0 e
|
|
- Oddgeir Guttormsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving Løsning Oppgave LØSNING ØVING Spinnpresonans a. Med B B 0 + B B 0 [ê z + ɛ(ê x cos ωt + ê y sin ωt)] B 0 (ê z + ɛˆn), er Hamilton-operatoren med Her er altså Ĥ µ (B 0 ê z + ɛb 0ˆn) qb 0 g m (ê z + ɛˆn) S ω 0 (ê z + ɛˆn) S (ω 0 + ω ) S, ω ω ˆn; retningen til vektoren ω. Med S ( ) g ω ɛω 0 ɛ qb 0. m ˆn ê x cos ωt + ê y sin ωt hσ blir resultatet Ĥ hω 0 σ z + hω 0 ɛ(σ x cos ωt + σ y sin ωt) ( ) ( ) 0 0 e hω hω iωt e iωt, (ω 0 ɛω 0 << ω 0 ) H 0 + V (t). Merk at ω 0 er et mål for størrelse og retning til det konstante feltet B 0, som i et MRapparat besørges av en kraftig elektromagnet. Tilsvarende er ω et mål for størrelse og retning av det roterende feltet B, som i et MR-apparat er mye svakere, og besøreges av en elektromagnetisk bølge med frekvens ω i radiofrekvensområdet. En slik bølge kan i prinsippet gis sirkulær polarisasjon, slik at feltet B gis retningen ˆn ê x cos ωt + ê y sin ωt. b. Med indeksbyttene + og trenger vi Bohr-frekvensene og matrise-elementene ω + ω + (E + E )/ h ω 0 V + (t) V +(t) hω e iωt. (Merk at diagonalelementene V ++ V 0.) Innsetting i (T4.4) gir da i h d ( ) ( a+ (t) dt a (t) hω 0 e i(ω ) ( ) 0 ω)t a+ (t) e i(ω, q.e.d. 0 ω)t 0 a (t) c.
2 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving Når spinnretningen σ i et gitt øyeblikk ligger i yz-planet, mens ω akkurat da peker i ˆx-retningen, ligger bidraget t ω σ til endringen σ i yz-planet, og har en vertikal komponent som endrer σ z og dermed E. Bidraget t ω 0 σ er hele tiden horisontalt. Jf ligningen d dt σ (ω 0 + ω ) σ, som forteller at σ hele tiden preseserer omkring den øyeblikkelige retningen av vektoren ω 0 + ω. Dersom frekvensen ω i vektoren ω ɛω 0 (ê x cos ωt+ê y sin ωt) (perturbasjonsfrekvensen) er høyere enn presesjonsfrekvensen ω 0, skjønner vi at ω etter en tid vil ta igjen og passere projeksjonen av σ på xy-planet. En stund etterpå vil da ω ligge 90 grader foran σ, og bidraget til σ z vil skifte fortegn. Dersom forskjellen mellom ω og ω 0 er stor, vil denne vekslingen mellom positive og negative bidrag til σ z skje veldig raskt. Vi må da vente at σ z ikke vil rekke å endre seg så mye. (Dette blir bekreftet nedenfor.) Velger vi derimot ω ω 0, og tenker oss at ω hele tiden ligger 90 grader bak σ, så vil bidragene til σ z være positive hele tiden, helt til σ z blir lik ; etterpå skifter bidragene fortegn, slik at σ z vandrer tilbake til, slik vi skal se nedenfor. Når perturbasjonen på denne måten virker i takt med systemets egenfrekvens, sier vi at vi har en resonans-situasjon. d. Fra pkt. b har vi da + dt iω e i(ω 0 ω)t a og da dt iω e i(ω ω 0)t a +. Ved å derivere den første av disse diff.-ligningene og sette inn for a og da /dt finnes d a + dt + i(ω ω 0 ) da + dt + 4 ω a + 0, q.e.d. Prøveløsningen exp(iλt) gir da λ + (ω ω 0 )λ 4 ω 0, dvs. λ [(ω 0 ω) + Ω] og λ [(ω 0 ω) Ω] ; Ω Den generelle løsningen av den.-ordens diff.-ligningen er dermed a + (t) Ae iλ t + Be iλ t e i(ω 0 ω)t/ (Ae iωt/ + Be iωt/ ). (ω ω 0 ) + ω. Begynnelsesbetingelsen χ(0) χ ẑ gir de to betingelsene a (0), a + (0) 0, som er tilstrekkelig til å fastlegge de to koeffisientene A og B: 0 a + (0) A + B B A; a (0) da + (0) (iλ A + iλ B) AΩ iω dt iω ω A ω Ω ω, (ω ω 0 ) + ω
3 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 3 slik at a + (t) e i(ω 0 ω)t/ A i sin( Ωt) iω Ω ei(ω 0 ω)t/ sin Ωt. Sannsynligheten for å finne at spinnet har flippet fra ned til opp ved tiden t blir dermed P + a + (t) ω { Ω sin Ωt}, der Ω (ω ω 0 ) + ω. Sannsynligheten for å finne spinn ned er da selvsagt P a (t) P +. Drøfting Perturbasjonen i denne problemstillingen er av harmonisk type. Vi må da vente at effekten av det perturberende B -feltet er størst når frekvensen ω til dette feltet er i nærheten av egenfrekvensen ω 0 for det uperturberte systemet. At dette holder stikk, ser vi allerede i de to diff.-ligningene for a + og a, hvor da ± /dt er proporsjonal med iω exp[±i(ω ω 0 )t]. Når ω er forskjellig fra ω 0, ser vi at den deriverte vil oscillere hurtig, slik at a ± stort sett ikke kommer av flekken. For ω ω 0 (ved resonans), derimot, er da ± /dt proporsjonal med iω, som er konstant, og får a ± til å endre seg i en bestemt retning (raskere jo større ω B er). (Jf også pkt. c). Dette gjenspeiles også i resultatet for P + (t), som pendler mellom 0 og maksimalverdien, med perioden ω Ω ω (ω 0 ω) + ω T π Ω ɛ ( ω/ω 0 ) + ɛ, π. (ω ω 0 ) + ω Vi ser at når resonansbetingelsen ω ω 0 er oppfylt, så pendler P + helt over til og tilbake igjen, i løpet av perioden T π/ω. Her pendler altså χ(t) helt over til χ +ẑ. Dvs spinnretningen σ pendler helt over til +ê z. For ω ω 0 >> ω ɛω 0, derimot, er overgangssannsynlighten a + (t) alltid <<, dvs neglisjerbar. For negative ω (motsatt omløpsretning for B ) er dette alltid tilfelle (når vi forutsetter at ω << ω 0. Merk også at resonansen blir skarpere jo mindre ω /ω 0 ɛ er: Størrelsen reduseres til 50 prosent for ω Ω ω (ω ω 0 ) + ω ω ω 0 ( ± ɛ). ɛ (ω/ω 0 ) + ɛ
4 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 e. Et oscillerende B -felt, B ê x cos ωt, kan betraktes som en superposisjon av halvparten av det feltet vi har regnet med ovenfor og et like stort felt som roterer motsatt: ê x cos ωt (ê x cos ωt + ê y sin ωt) + (ê x cos ωt ê y sin ωt). Da et felt med motsatt omløpsretning (det siste leddet) som nevnt er praktisk talt uten betydning, vil resultatet essensielt bli som under pkt. c (det første leddet). f. Grunnen til at omløpsretningen er så viktig, var vi inne på i pkt. c. Dette kommer klarere fram dersom vi regner ut spinnretningen σ. For ω ω 0 (dvs ved resonans) finner vi, med a + (t) i sin ω t og a (t) da + cos iω dt ω t : χ(t) ( a+ (t)e ie +t/ h a (t)e ie t/ h Ved innsetting i (T.54) finner vi da ) ( i sin ω t e iω 0t/ cos ω t e iω 0t/ ) ( c+ (t) c (t) σ x Re(c +c ) Re[i sin ω t(cos ω 0 t + i sin ω 0 t)] sin ω t sin ω 0 t, σ y Im(c +c ) sin ω t cos ω 0 t, σ z c + c cos ω t. Med ω << ω 0 er cos ω t og sin ω t langsomtvarierende, dvs σ z pendler langsomt mellom og + (i løpet av tiden π/ω T /). Mens dette skjer, ser vi at σ sin ω t( ê x sin ω 0 t + ê y cos ω 0 t) sin ω t[ê x cos(ω 0 t + π) + ê y sin(ω 0 t + π)] roterer hurtig i samme retning som ω, og like fort, men 90 foran ω, når sin ω t > 0, altså mens σ z er økende (og 90 bak mens σ z er minkkende). Denne raske presesjonsbevegelsen skyldes som nevnt det kraftige B z -feltet, som svarer til presesjonsfrekvensen ω 0. Den langsomme endringen av σ z skyldes tilsvarende det mye svakere feltet B, som vil forsøke å vri σ opopover mens ω ligger 90 bak, og nedover når ω ligger 90 foran. Jf pkt. c. Denne diskusjonen illustrerer også hvor viktig resonansbetingelsen er. Dersom perturbasjonsfrekvensen ω avviker vesentlig fra egenfrekvensen ω 0, rekker ikke σ z å øke så mye før ω kommer ut av fase i forhold til de nevnte 90 gradene, og σ z snur igjen, lenge før den rekker å endre seg særlig mye fra startverdien ; jf pkt. c. Dersom B roterer i motsatt retning av den raske presesjonsbevegelsen, ser vi at påvirkningen på σ skifter fortegn så raskt at effekten blir neglisjerbar. Merk at alt dette harmonerer med det en finner allerede fra differensialligningene. Det fenomenet vi har sett på her kalles spinnresonans, og er viktig i flere tilfeller. (Jf MR, tidligere kalt NMR nuclear magnetic resonance hvor kjernespinn utveksler energi med en radiofrekvensbølge, og ESR electron spin resonance). Merk at ved resonans får den opprinnelige matriseligningen i oppgaveteksten formen i h d ( ) ( ) ( ) a+ (t) 0 dt a (t) hω a+ (t). 0 a (t) Resultatene ovenfor for a + og a ved resonans kan også finnes direkte fra dette koblede ligningssettet. ).
5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 5 Løsning Oppgave Kobling av spinn og banedreieimpuls Problemstillingen i denne oppgaven er analog med kobling av to spinn, som ble gjennomgått i detalj i forelesningene, som du bør studere samtidig med dette løsningsforslaget. a. Det er da lurt å merke seg at de seks (såkalte gamle ) tilstandene oppgitt i oppgaveteksten, med skarpe verdier L z m l h og S z m s h, også er egentilstander til Ĵz L z + Ŝz, med egenverdiene m h (m l + m s ) h. Eksempel: Siden Y og er egentilstander til L z og Ŝz med egenverdier + h og + h, har vi at Ĵ z (Y ) ( L z + Ŝz)(Y ) ( L z Y ) + Y Ŝz ( h + h)(y ) 3 h (Y ), q.e.d. m-kvantetallene for de 6 tilstandene er som følger: Trekant-ulikheten (fasiten) l j l +, dvs j 3, forteller oss at disse 6 gamle tilstandene kan lineærkombineres til 6 nye egentilstander til Ĵ og Ĵz, en j 3/-kvartett ( j 3/, m med m 3/, /, /, og 3/), og en j /-dublett ( j /, m med m / og /). Siden bare én av de gamle har ekstrem -verdien m 3/, må vi da vente at denne er identisk med en av de nye, dvs vi må vente at Y er en ny tilstand av typen j 3/, m 3/. Vi har alt vist at den er en egentilstand til Ĵz 3 med egenverdi h, så det gjenstår bare å vise at den også er en egentilstand til Ĵ, med egenverdien h j(j + ) h 3( 3 + ). Bevis: Siden Y er toppen av en triplettstige (l ) og er toppen av en dublett (s ), er L + Y 0 og Ŝ+ 0. (Jf den generelle stigeoperator-relasjonen i oppgaveteksten.) Dermed har vi at Ĵ + (Y ) ( L + + Ŝ+)(Y ) ( L + Y ) + Y Ŝ+ 0, q.e.d. Sammen med resultatet ovenfor gir dette at Ĵ (Y ) (Ĵ z + hĵz + Ĵ Ĵ+)(Y ) [(3 h/) + h 3/ + 0](Y ) 5 4 h (Y ).
6 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 6 Faktoren på høyresiden er lik h j(j + ) med j 3/, q.e.d. Så Y har kvantetallene j m 3/ og er altså en dreieimpulstilstand av typen 3/, 3/. Det samme gjelder da den første av de seks oppgitte tilstandene, R (r)y, som altså er en simultan egentilstand til (Ĥ, ) Ĵ og Ĵz. Den er derfor en mulig slutt-tilstand etter målingen av J og J z. b. Den siste av de seks oppgitte tilstandene, R (r)y,, har m 3/ og er en egentilstand av typen R (r) 3,, 3/. Dette kan vises på tilsvarende måte som i pkt. a, vha relasjonen Ĵ Ĵ z hĵz + Ĵ+Ĵ. Som vi skal se nedenfor er de fire øvrige gamle tilstandene ikke egentilstander til Ĵ. c. Vi har nå altså funnet øverste og nederste trinn i en dreieimpuls- stige for j 3/, som er en stige med fire trinn. De to mellomste trinnene kan vi finne vha stigeoperatoren(e). Fra den generelle stigeoperator-relasjonen har vi at L Y h Y 0 og Ŝ h. [Se også (T7.8) og (T7.9).] Dessuten har vi for j m 3/ at Ĵ 3/, 3/ h 3 3/, /. Siden Ĵ L + Ŝ, er altså den nye tilstanden 3/, / (nest øverste trinn i stigen) 3/, / h 3 ( L + Ŝ )(Y ) h ( ( L Y ) + Y 3 Ŝ ) h 3 ( h Y 0 + Y h ) /3 Y 0 + /3 Y, altså en lineærkombinasjon av de to gamle tilstandene med m. Siden representeres av spinoren osv, representeres denne tilstanden av spinoren (to-komponent- ( ) 0 bølgefunksjonen) /3 Y 0 /3 Y. Når vi tar med radialfunksjonen for denne p-tilstanden blir resultatet en tilstand /3 R ψ n,l,j3/,m/ (r) Y 0. /3 R (r) Y d. Dette spørsmålet er allerede besvart under pkt. a ovenfor: Ved kobling av l og s har vi ifølge trekantulikheten to muligheter for det resulterende kvantetallet j: j l + 3/ (4 tilstander, med m 3/, /, /, 3/), og j l ( tilstander, med m /, /), altså tilsammen 6 nye tilstander, akkurat samme antall som vi hadde av de gamle, som ble oppgitt innledningsvis.
7 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 7 e. For tilstanden i pkt. c, 3/, / /3 Y 0 + /3 Y, er de to sannsynlighetene for å måle spinn opp og spinn ned kvadratene av de respektive utviklingskoeffisientene, altså hhvis /3 og /3. f. Tilstanden ψ n,l,j3/,m / vil være en lineærkombinasjon av de to gamle tilstandene som har m m l + m s, altså av Kommentar: R (r)y, og R (r)y 0. Koeffisientene i denne lineærkombinasjonen kan finnes vha litt stigeoperator-gymnastikk, enten ved å bruke Ĵ+ på Y,, eller ved å bruke Ĵ på tilstanden i pkt. c. Begge metodene gir selvsagt samme resultat, så her har vi en kontrollmulighet. Oppstillingen nedenfor viser resultatene for alle de 6 nye tilstandene: Stigen for j 3/ kompletteres som nevnt vha stigeoperatoren. Øverste trinn i stigen for j / må være en lineærkombinasjon av de to gamle tilstandene med m /. Koeffisientene i denne lineærkombinasjonen finner vi ut fra at den skal være ortogonal på tilstanden j 3/, /. (I tillegg er det gjort et fasevalg, som er standard.) At denne tilstanden virkelig er en egentilstand til Ĵ med egenverdi 3 4 h kan vi sjekke slik: Det er lett å vise at Ĵ+ L + + Ŝ+ anvendt på denne tilstanden gir null, slik det skal være for øverste trinn i denne stigen. Fra relasjonen Ĵ Ĵ z + hĵz + Ĵ Ĵ+ finner vi da at egenverdien til Ĵ er ( h) + h( h) h ( + ), slik vi skulle vise. Ved å bruke Ĵ på dette øverste trinnet kan du bekrefte at også formelen for det nederste trinnet er korrekt.
8 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 Merk ellers at bortsett fra de to tilstandene 3/, ±3/ er de nye tilstandene blandinger av spinn opp og spinn ned. Dette betyr at hverken S z eller L z er skarpe i disse nye tilstandene, slik vi var inne på i pkt. e. Vi kan også snu på flisa, og uttrykke de gamle tilstandene ved de nye. Da vil du f.eks finne at Y 3/, / /, / og Y 0 3/, / /, /. 3 3 Begge disse tilstandene har skarp J z h, men som du ser er J uskarp. Systemet kan altså ikke etterlates i disse tilstandene ved en måling av J. (Jf pkt. a og pkt. b.)
Løsningsforslag Eksamen 1. desember 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk
Eksamen TFY45/FY45. desember 8 - løsningsforslag Løsningsforslag Eksamen. desember 8 TFY45 Atom- og molekylfysikk/fy45 Kvantefysikk Oppgave a. For x og E = E B < har den tidsuavhengige Schrödingerligningen
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 LØSNING ØVING 13. V (x, t) = xf (t) = xf 0 e t2 /τ 2.
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 13 1 Løsning Oppgave 13 1 LØSNING ØVING 13 Transient perturbasjon av harmonisk oscillator a. Med kraften F (t) = qe(t) = F 0 exp( t /τ ) og sammenhengen F (t)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 8. august 2009 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksamen TFY425 8. august 29 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august 29 TFY425 Atom- og molekylfysikk a. For β = har vi en ordinær boks fra x = til x = L. Energiegenfunksjonene har formen
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 8. august 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY45/TFY45 8. august - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 8. august FY45/TFY45 Kvantemekanikk I a. For E < V blir området x > klassisk forbudt, og den tidsuavhengige Schrödingerligningen
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 1. desember 2009 TFY4250/FY2045
Eksamen TFY45/FY45 1. desember 9 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. For n = 3j er Løsningsforslag Eksamen 1. desember 9 TFY45/FY45 ψ () 3j (L/3) = A sin(jπ) = og ψ () 3j (L/3) = A sin(jπ) =. Vi kan da konstatere
DetaljerFY2045 Kvantefysikk Løsningsforslag Eksamen 2. juni 2008
Eksamen FY045. juni 008 - løsningsforslag Oppgave FY045 Kvantefysikk øsningsforslag Eksamen. juni 008 a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen, [ h ] m x + V x ψx Eψx, finner vi at den relative krumningen
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 1. desember 2009 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)
DetaljerEn samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245/TFY425 KVANTEMEKANIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og
DetaljerEKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 2011 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 970355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK
Detaljer13 Addisjon av dreieimpulser
TFY450/FY045 Tillegg 13 - Addisjon av dreieimpulser 1 TILLEGG 13 13 Addisjon av dreieimpulser (8.4 i Hemmer, 6.10 i B&J, 4.4 i Griffiths) Begrepet Addisjon av dreieimpulser kommer inn i bildet når vi ser
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk
Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 4. desember 2007 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk
Eksamen TFY450/FY045 4. desember 007 - løsningsforslag Løsningsforslag Eksamen 4. desember 007 TFY450 Atom- og molekylfysikk/fy045 Kvantefysikk Oppgave a. For tilfellet α 0 har vi et ordinært bokspotensial
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.
DetaljerA.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander
TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t
DetaljerLøsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 9. desember 2006 TFY4250 Atom- og molekylfysikk /FY2045 Kvantefysikk
Eksamen TFY450/FY045 9. esember 006 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 9. esember 006 TFY450 Atom- og molekylfysikk /FY045 Kvantefysikk Oppgave 1 a. Grunntilstanen ψ 1 (x) har ingen nullpunkter.
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand
FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00
DetaljerTFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem
TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8. a. (a1): Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
FY16/TFY415 - Løsning øving 8 1 Løsning oppgave 3 Vinkelfunksjoner, radialfunksjoner og orbitaler for hydrogenlignende system LØSNING ØVING 8 a. (a1: Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
DetaljerFY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9
FY1006/TFY4215 - Øving 9 1 Frist for innlevering: 2. mars, kl 16 ØVING 9 Opgave 22 Om radialfunksjoner Figuren viser de effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, for et hydrogenlignende atom, samt
DetaljerLøsning til øving 17 for FY1004, våren 2008
Løsning til øving 17 for FY1004, våren 2008 Her skal vi se på hvordan spinnet egenspinnet til et elektron påvirkes av et konstant magnetfelt B Merk: Det korrekte navnet på B er magnetisk flukstetthet,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl
NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:
Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 01. Løsningsforslag til øving 4 Oppgave 1 a) D = D 0 [ cos (kx ωt) + sin (kx ωt) ] 1/ = D 0 for alle x og t. Med andre ord, vi har overalt
DetaljerEn partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 9755 EKSAMEN I TFY45 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9
FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen
DetaljerTFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator
TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425
DetaljerTFY Øving 8 1 ØVING 8
TFY4215 - Øving 8 1 ØVING 8 Mye av poenget med oppgave 2 er å øke fortroligheten med orbitaler, som er bølgefunksjoner i tre dimensjoner. Fordi spørsmålene/oppdragene er spredt litt rundt omkring, markeres
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018
Løsningsforslag for FYS40 Kvantemekanikk, Tirsdag 9. mai 08 Oppgave : Fotoelektrisk effekt Millikan utførte følgende eksperiment: En metallplate ble bestrålt med monokromatisk lys. De utsendte fotoelektronene
DetaljerFY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7
FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerA.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett
TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for
DetaljerFY1006/TFY4215 -øving 10 1 ØVING 10. Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system. 2 ma. 1 r + h2 l(l + 1)
FY1006/TFY4215 -øving 10 1 ØVING 10 Oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system De generelle formlene for energiene og de effektive potensialene for et hydrogenlignende system kan skrives
DetaljerTFY løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9
TFY4215 - løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 Løsning oppgave 25 Om radialfunksjoner for hydrogenlignende system a. (a1): De effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, 3 er gitt av kurvene 1,2,3,4,
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl
NORSK TEKST Side av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 0 august 200 kl 0900-300 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerHermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer,
TFY4250/FY2045 Tillegg 1 1 Tillegg 1: Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer, kommutatorer, etc a. Reelle forventningsverdier krever Hermiteske operatorer I avsnitt 2.2 i Hemmer kan du først se hvordan
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1
TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet
Detaljer11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra
TFY4250/FY2045 Tillegg 11 - Harmonisk oscillator og dreieimpuls operatoralgebra 1 TILLEGG 11 11 Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en
DetaljerTFY4160 Bølgefysikk/FY1002 Generell Fysikk II 1. Løsning Øving 2. m d2 x. k = mω0 2 = m. k = dt 2 + bdx + kx = 0 (7)
TFY4160 Bølgefysikk/FY100 Generell Fysikk II 1 Løsning Øving Løsning oppgave 1 Ligning 1) i oppgaveteksten er i dette tilfellet: Vi setter inn: i lign. 1) og får: m d x + kx = 0 1) dt x = A cosω 0 t +
DetaljerLØSNING EKSTRAØVING 2
TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Sie 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt uner eksamen: Ingjal Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte
DetaljerTFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator
TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 2 1. Ekstraøving 2. = 1 2 (3n2 l 2 l), = 1 n 2, 1 n 3 (l ), 1 n 3 l(l + 1.
FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving Frist for innlevering (Til I.Ø.): 7. mai kl 7 Oppgave 9 hydrogenlignende atom Ekstraøving I denne oppgaven ser vi på et hydrogenlignende atom, der et
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial
DetaljerEksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Løsninger
Eksamen FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag. mai 007 Løsninger 1a Et hydrogenlikt atom har ett elektron med masse m og ladning e som er bundet til en atomkjerne med ladning Ze. Siden kjernen har
DetaljerOppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)
Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen FY1006/TFY4215, 29. mai 2010 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. I punktene x = 0 og x
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 Løsning oppgave 4 1 LØSNING ØVING 4 Elektron i potensial med to δ-funksjoner a En delta-brønn er grensen av en veldig dyp og veldig trang brønn Inne i
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 ØSNINGSFOSAG TI EKSAMEN I FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m
Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen
DetaljerTFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom
TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 Oppgave 2 1 LØSNING nesten en posisjonsegentilstand a Siden den Gaussiske sannsynlighetstettheten ψ(x) 2 = 2β/π exp( 2β(x a) 2 ) symmetrisk
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;
DetaljerKJM Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk
DetaljerEksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1
Eksamen FY1006/TFY415 7. mai 009 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag, Eksamen 7. mai 009 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. For E > V 0 har vi for store
DetaljerFY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.
FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 26. mai 2008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten
Detaljer12 Magnetiske momenter. Spinn
TFY450/FY045 Tillegg - Magnetiske momenter. Spinn TILLEGG Magnetiske momenter. Spinn Hypotesen om elektronets spinn indre dreieimpuls ble framsatt alt i 95 av Uhlenbeck og Goudsmit, omtrent samtidig med
DetaljerØving 4. a) Verifiser at en transversal bølge som forplanter seg langs x-aksen med utsving D med komponentene
FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 010. Veiledning: Tirsdag 1. og onsdag. september. Innleveringsfrist: Mandag 7. september kl 1:00. Øving 4 Oppgave 1 a) Verifiser at en transversal
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. mai 8 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 8 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten
DetaljerLøsning til øving 8 for FY1004, høsten 2007
øsning til øving 8 for FY4, høsten 7 Vi tar for oss en partikkel med masse m i en endimensjonal boks med lengde For < x < gjelder den stasjonære Schrödingerligningen h m d ψ Eψ, ( dx der E er energien
DetaljerLøsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 2010
Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Onsdag 8. desember 1 1a) Det elektriske feltet er [ E = ωk Im ( e x a x + e y a y )e i(kz ωt)] [ = ωk Im ( e + a + + e a )e i(kz ωt)]. Et viktig poeng: E er reell,
DetaljerLøsningsforslag til øving 9
FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2010. Løsningsforslag til øving 9 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel velge
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019
Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast
DetaljerTFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:
Detaljer14 Tidsavhengig perturbasjonsteori
TFY4250/FY2045 Tillegg 14 - Tidsavhegig perturbasjonsteori 1 TILLEGG 14 14 Tidsavhengig perturbasjonsteori (Avsnittene 11.1 2 i Hemmer, 9.1 3 i B&J, 9.1 i Griffiths) 14.1 Innledning For å illustrere hva
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10. Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2 Obligatorisk oppgave 10 Oppgave 1 a) Ligningene 1, 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon. b)
DetaljerLøsningsforslag til øving
1 FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Løsningsforslag til øving 11-2012 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
Detaljer