Eksamen Ma 3 red.pensum 2006

Transkript

1

2

3 Eksamen Ma B høst 6.nb Eksamen Ma red.pensum 6 Oppgave << Graphics`ParametricPlotD` I sylinderkoordinater er likningen for paraboloiden gitt ved z (r,q) = r, r è!!!, q p ParametricPlotDA 88r Cos@θD, r Sin@θD, r <, 8r Cos@θD, r Sin@θD, <<, 9r,, è!!!! =, 8θ,, π<e - - GraphicsD

4 Eksamen Ma B høst 6.nb ShowA 9CylindricalPlotDAr, 9r,, è!!!! =, 8θ,, π<, DisplayFunction IdentityE, CylindricalPlotDA, 9r,, è!!!! =, 8θ,, π<, DisplayFunction IdentityE=, DisplayFunction $DisplayFunctionE - - GraphicsD ü a) Volumet av T kan beregnes enkelt ved et trippelintegral i sylinderkoordinater π V = 9 π r r z r θ ü b) Massen av T kan beregnes trippelintegralet Ÿ ŸŸdHx, y, zl x y z der tettheten i punktet (x,y,z) er gitt ved d(x,y,z). I vår oppgave er d(x,y,z) = z og det er fortsatt hensiktsmessig å benytte sylinderkoordinater π m = r z r z r θ 9 π F@x_, y_, z_d := 8x y, x + y, z + x y<

5 Eksamen Ma B høst 6.nb ü c) << Calculus`VectorAnalysis` SetCoordinates@Cartesian@x, y, zdd; Div@F@x, y, zdd z + Curl@F@x, y, zdd 8x, - y, < Da õ F, kan F ikke skrives som gradienten til en skalarfunksjon. Sagt på en annen måte: F(x,y,z) er ikke et konservativt vektorfelt. ü d) Jeg viser hvordan denne oppgaven kan løses på to måter: ü Ved bruk av divergenssetningen ô F.n ds = ŸŸŸ div F V der S er en lukket flate som omslutter legemet T. La S = S S, der S er toppflaten ( S T plan sirkelskive i planet z = ), og S er overflaten av paraboloiden under toppflaten. Da er ô S F.n ds = ô S ŸŸŸ T F.n ds + ô S ÅÅÅÅÅÅÅ z V = H 9 p F.n ds = ŸŸŸ div F V = ŸŸŸ H + zl V = ŸŸŸ V T T T L+ ( 9p) = 7 p, hvor integralene er beregnet i punkt a) og b). π è!!!! r H + zl r z r θ 7 π La A = ô F.n ds og A = ô F.n ds, slik at A + A = 7 p. Det er enklest å beregne A, for normalvektoren til S S planet peker langs z- aksen. Dessuten er z = overalt på flaten. F@x, y, zd.8,, < ê. z x y + 9 Skifter til polarkoordinater: A = S F.n ds = p Hr cos q sin q + 9L r r q

6 Eksamen Ma B høst 6.nb 4 π è!!!! Hr Cos@θD Sin@θD + 9L r r θ 7 p Resultatet er lett å kontrollere, da første ledd i integranden ikke bidrar til resultatet, siden vi integrerer sin(q) over to hele perioder.. ledd er uavhengig av q, og integralet reduseres derfor til et enkeltintegral A = π 7 p 9 r r Oppgaven spør etter integralet A. Da A + A = 7 p, følger at A = 7 π A Netto fluks ut av S er derfor null. ü Direkte beregning av fluksen gjennom den åpne flaten S Ved å bestemme enhetsnormalvektoren ut av sideflaten til paraboloiden, kan dette flateintegralet beregnes vha parametriseringsmetoden. Vi velger å parametrisere så enkelt som mulig, ved å bruke de rektangulære koordinatene x, y og z. z@x_, y_d := x + y Parametriserer med u = x, v = y. Da er NHu, vl = u rhu, vl µ v rhu, vl = 8- x zhx, yl, - y zhx, yl, <. Vi vil ha utvendig normal, dvs n = - ÅÅÅÅÅÅÅ N»N». Ÿ Ÿ F.n ds = ŸŸFHrHu, vll.nhu, vl» NHu, vl» u v = -Ÿ Ÿ FHrHx, yll.nhx, yl x y integrert over sirkelskiven D = x + y. I Mathematicakoden innfører jeg n = - N, siden N er reservert symbol n@x_, y_, z_d = 8D@z@x, yd, xd, D@z@x, yd, yd, < 8 x, y, -< F@x, y, zd.n@x, y, zd êê Simplify x + y x + y - z På paraboloiden er z = x + y. % ê. z x + y x + y x + y -Hx + y L Pga området D er sirkulært, skifter jeg til polarkordinater: Ÿ Ÿ Hx + y L + y x -Hx + y L x y = H r + r cos q sin q - r 4 è!!!! p L r r q = Ÿ Ÿ H r - r 5 - ÅÅÅÅ sin ql r q Ÿ p Ÿ è!!!!

7 Eksamen Ma B høst 6.nb 5 Det siste leddet bidrar ikke til verdien av integralet, da vi integrerer vinkelen over to hele perioder. Dermed reduseres dobbeltintegralet til et enkelt integral. è!!!! A = pÿ H r - r 5 L r A = π H r r 5 L r Fluksen ut av sideflaten av paraboloiden er derfor null. ü e) Vi bruker Stokes' setning ö C F.T ds = ô S curl F.n ds der n er utvendig enhetsnormal til flaten S. Kurven C omslutter sirkelskiven i planet z =, og parametriseres mot urviseren. Med normalvektor n = k vil vektoren n µ T peke inn i flaten, dvs. kurven er parametrisert positivt i forhold til flaten S. Curl@F@x, y, zdd.8,, < Vi finner derfor at ö C sirkel. F.T ds = ô S ds = ô S ds = ( p I è!!!! M = 9 p, hvor vi har benyttet formelen for arealet av en π r r θ 9 p Tillegg: Kurven C omslutter også paraboloideflaten S, men normalvektoren til S må peke inn i flaten for at vektoren n µ T skal peke inn i området T dersom vi går langs kurven C i positiv retning, dvs. mot urviseren.. n@x_, y_, z_d = n@x, y, zd 8- x, - y, < Curl@F@x, y, zdd.n@x, y, zd - x + y + Integrerer over sirkelskiva D med polarkoordinater π è!!!! H Cos@ θd + L r r θ 9 p Vi får altså samme svar som før når vi passer omhyggelig på positiv orientering av kurve og flate.

8 Eksamen Ma B høst 6.nb 6 Oppgave ü a) F@8x_, y_, z_<d := 8y z, a x z, x y < Curl@F@8x, y, z<dd 8x - a x,, a z - z< Solve@Curl@F@8x, y, z<dd 8,, <, ad êê First 8a Ø < Vi ser at F = når vi velger a =. a = Solve@Curl@F@8x, y, z<dd 8,, <, ad@@,, DD Off@General::spellD Clear@f, g, hd solx = DSolve@D@f@x, y, zd, xd == y z, f@x, y, zd, 8x, y, z<d êê First 8 fhx, y, zl Ø x y z + zd< f@x_, y_, z_d = f@x, y, zd ê. First@solxD ê. C@D g x y z + ghy, zl soly = DSolve@D@f@x, y, zd, yd == x z, g@y, zd, 8y, z<d êê First 8gHy, zl Ø g@y_, z_d = g@y, zd ê. First@solyD ê. C@D h hhzl f@x, y, zd x y z + hhzl solz = DSolve@D@f@x, y, zd, zd == x y, h@zd, zd êê First 8hHzL Ø c < h@z_d = h@zd ê. solz ê. C@D c c f@8x_, y_, z_<d = f@x, y, zd c + x y z

9 Eksamen Ma B høst 6.nb 7 Kontroll: Grad@f@x, y, zdd 8y z, x z, x y< ü b) r@t_d := 9 t, t, t = ds = Sqrt@ r'@td.r'@tdd dt dt!!!!!!!!!!!!! t 4 + t L = t!!!!!!!!!!!!! + t t ÅÅÅÅÅ I- + è!!!! M 6 ü c) Da F = õ f, er Ÿ F.T ds uavhengig av veien. C W = f@r@dd f@r@dd ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 ParametricPlotDA9 t, t, t, 8Red, Thickness@.D<=, 8t,, <E; Direkte utregning av arbeidet utført langs kurvebanen:

10 Eksamen Ma B høst 6.nb 8 F@r@tDD r'@td 9 t5 6, t5 6, t6 9 = 8t, t, t< F@r@tDD.r'@tD 4 t 7 9 F@r@tDD.r'@tD t 8 Siden kraftfeltet er konservativt, får vi samme resultat langs alle baner mellom punktene P(,,) og Q( ÅÅÅÅ enkleste veien er den rett linjen mellom P og Q: rr@t_d = 9 t, t, t= : ÅÅÅÅÅ t, t ÅÅÅÅÅ, t ÅÅÅÅÅ > F@rr@tDD.rr'@tD t ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8, ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ ). Den