FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Kandidat 11

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Kandidat 11"

Transkript

1 FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 Kandidat mars 2015

2 Det er i alt mulig på en god dag å få 20 poeng på denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal løses numerisk. Kompendiet om programmering, samt eksemplene på hjemmesiden, kan her være nyttige. Oppgave I denne oppgaven skal vi se på tunnelering. Dette er et fenomen med mange praktiske anvendelser, spesielt i moderne teknologi, men her skal vi se litt mer abstrakt på problemet. Vi ser først på en fri partikkel som begynner i en tilstand gitt ved bølgepakken Ψx, 0 Ae x x 0 2 /4a 2 e ilx, 1 hvor A er en normeringskonstant, og x 0, a og l er tre reelle parametre. a Finn A. [1 poeng] Svar: Skriver om normerings integralet og bruker og bruker Rottmann s. 155, likning 51: Ψ Ψ A 2 A A 2 e 2 x x 0 2 4a 2 e A 2 [ 2πa 2 e 2a2 1 1/4 2πa 2 1 2a 2 x2 +2 x 0 2a 2 x+ x2 0 2a 2 dx ] x 2 0 4a 4 x2 0 4a 4

3 b Lag et plott av sannsynlighetstettheten til denne tilstanden. Husk enheter på aksene. Velg konstanter selv, men vi anbefaller lengder på picometernivå. Hva forteller de tre konstantene oss? Hint: For å forstå betydningen av l kan det lønne seg å nne p for denne tilstanden. [2.5 poeng] Svar: Figur 1 viser sannsynlighetstettheten, her er a 0.1pm, x 0 0pm og l 1pm 1, i plottet har ikke l betydning da denne forsvinner i absoluttkvadratet. Figur 1: Plott av sannsynlighetstettheten representert ved Ψx, 0 2

4 Konstanten x 0 tilsvarer forventningsveriden til posisjonen, a tilsvarer standardaviket til posisjonen, og l er bølgetallet og påvirker bevegelsesmengden. Dette ser vi best ved utregning av x, x 2 og p : x A 2 ψ xψdx x 0 A 2 2πa 2 x 0 xe 1 2a 2 x2 +2 x 0 2a 2 x+ x2 0 2a 2 x 2 ψ ˆx 2 ψdx a2 2 2a 2 + 2x 0 2a 2 2 x a 2 σ 2 x x 2 x 2 x a 2 x 2 0 a 2 σ x a p i i ψ i d dx ψdx l + i 2a 2 ψ d dx ψdx ψ l i 2a 2 x 0 + i 2a 2 l 2x x 0 4a 2 ψ x x 0 ψdx + il ψdx ψ xψdx

5 c Denne bølgepakken har ikke en skarpt bestemt energi, men vis at forventningsverdien kan skrives som [1.5 poeng] E 2 l 2 + 1/4a 2. 2 Svar: Siden partikkelen er fri er V 0, har da relasjonen E p2. Gjenkjenner ere integraler fra b. E 1 p2 2 2 ψ d 2x x 0 dx 4a 2 ψ d dx 2x 4a 2 2 l2 2 x 0 il 2a l2 2 x 0 il 2a l2 2 x 0 il 2a l2 2 x 0 il 2a il ψdx ψdx 2 2 l a a 2 2 l a 2 ψ d dx 2x 4a 2 ψ d dx ψdx [ ψ 2 4a 2 2x 4a 2 2 4a il 2a 2 2x0 4a 2 ψdx 2 ψ d dx ilψdx 2x x0 4a 2 ψ xψdx a 4 4x 0 16a a 2 2 il 2a 2 x a ] + il ψdx [ 1 2 2a2 2 x 0 4a 4 x 0 ψ xψdx ψ x 2 ψdx ] 1 2a x2 0 2a 2 2

6 d Gitt bokspotensialet V x { V0 0 x L 0 ellers, 3 hvor V 0 > 0, nn analytisk sannsynligheten for transmisjon som funksjon av energien for en fri-partikkel planbølgeløsning ψx Ae ikx med energi E < V 0, som kommer inn fra venstre. Tegn en gur som klart viser de forskjellige områdene i potensialet, og de innkommende og utgående bølgene som er relevante. [3 poeng] Svar: Tegner potensialet: y V 0 ψ Ae ikx ψ F e ikx ψ Be ikx x I 0 III L II Figur 2: Tegning av bokspotensialet V x. Løser TUSL for de tre områdene I, II og III i Figur 2: d I: 2 ψ k 2 ψ k E dx 2 Løsning: ψ 1 x Ae ikx + Be ikx d II: 2 ψ k 2 ψ dx 2 Løsning: ψ 2 x F e ikx + Ge ikx d III: 2 ψ + V dx 2 0 ψ Eψ 2 d 2 ψ dx 2 d 2 ψ 2 E V 0 ψ V0 E ε 2 ψ ε dx 2 Løsning: ψ 3 x Ce εx + De εx Totalt gir dette en generell psix denert slik: ψ 1 Ae ikx + Be ikx x < 0 ψ ψ 2 F e ikx + Ge ikx x > L ψ 3 Ce εx + De εx 0 x L Borns tolkning av bølgefunksjonen gir kriteriene ψ og ψ kontinuerlige: ψ kontinuerlig: A + B C + D for x 0 Ce εl + De εl F e ikl + 0 for x L ψ kontinuerlig: ika ikb εc εd for x 0 εce εl εde εl ikf e ikl for x L

7 F 2 Finner først et uttrykk for F gitt A for senere å bruke T A 2. Starter ved å sette ψl inn i ψ L for å uttrykke C og D ved F : Ce εl F e ikl De εl ikf e ikl εf e ikl εde εl εde εl ε ikf e ikl 2εDe εl D ε ikf eikl 2εe εl 4 De εl F e ikl Ce εl ikf e ikl εce εl εf e ikl εce εl ε + ikf e ikl 2εCe εl C ε + ikf eikl 2εe εl 5 Setter så ψ0 inn i ψ 0 for å uttrykke A ved C og D: ika ikb εc εd ika ikc + D A εc εd 2ikA ikc ikd εc εd 2ikA εc + ikc εd + ikd Setter inn 5 og 4 i 6 2ikA ε + ikc ε ikd 6 2ikA ε + ik2 F e ikl 2εe εl ε ik2 F e ikl 2εe εl ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl 2ikA F e ikl 2ε F 4εike ikl ε + ik 2 e εl ε ik 2 A 7 eεl

8 F 2 Setter så 7 inn i T A 2 : T 4εike ikl 4εike ikl ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl ε ik 2 e εl ε + ik 2 e εl 16ε 2 k 2 [ε + ik 2 e εl ε ik 2 e εl ][ε ik 2 e εl ε + ik 2 e εl ] 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε ik 2 ε + ik 2 ε ik 4 ε + ik 4 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε 4 + 2ε 2 k 2 + k 4 2ε 4 6ε 2 k 2 + k 4 16ε 2 k 2 e 2εL + e 2εL ε 2 + k 2 2 2ε 2 + k ε 2 k 2 16ε 2 k 2 e 2εL 2 + e 2εL ε 2 + k ε 2 k 2 16ε 2 k 2 e εl e εl 2 ε 2 + k ε 2 k 2 [ e εl e εl ] 2 1 ε 2 + k ε 2 k Setter inn verdiene for k og ε: 1 [ e εl e εl ] 2 1 [E + V0 E] 2 4 T 16EV 0 E [ e εl e εl ] 2 1 [E + V0 E] EV 0 E [ e εl e εl ] 2 1 V EV 0 E e εl e εl E V 0 E2 + 1 V0 2 [ e εl e εl ] γ E 16γ1 γ V 0 1 Lar ε i potensen være da denne står penest slik den står.

9 e Bruk potensialet i oppgave d med verdiene V 0 1 MeV og L 0.25 pm. Se på et elektron med masse m MeV/c 2 som kommer inn fra venstre, nå med initialtilstand gitt ved 1. Gjør en numerisk simulering ved hjelp av Schrödingerligningen av hva som skjer dersom du starter elektronet med x pm, a 1.0 pm og l 2.0 pm 1. Ut i fra denne simuleringen, gi en kort beskrivelse av hva som skjer med bølgefunksjonen til elektronet når den treer potensialhindringen. Snakk med din lokale datamaskin. [2 poeng] Svar: Skriver om Benedicte Emile Brækken sitt program med potensialbrønn ved Crank-Nicolsons metode, til å gjelde for en smal potensialvegg. Ved kjøring ser man at partikkelen beveger seg mot veggen med en relativt skarp bølgepakke, når partikkelen treer veggen samles sannsynlighetsfordelingen nært veggen, vist i Figur 3.a. Herifra reekteres noe av bølgen og noe transmitteres gjennom potensialveggen, vist i Figur 3.b. Den transmitterte og refkletere bølgepakken er mindre skarp enn den inngående. a t0.02 [as] b t0.06 [as] Figur 3: Simulering av bølgefunksjon ved viktige tidspunkt. f Hvordan kan man nne sannsynligheten for transmisjon numerisk for situasjonen i oppgave e? [1.0 poeng] Svar: Siden bølgfunksjonen er normalisert vil fordelingen av bølgefunksjonen tilsvare en sannsynlighet. Derfor vil et numerisk integral over høyre side av potensialbarrieren tilsvare sannsynligheten for transmisjon.

10 g Finn numerisk sannsynligheten for transmisjon av bølgepakken i 1 som funksjon av energien, og sammenlign med svaret i oppgave d. Det holder om du regner ut transmisjonssannsynligheten for en håndfull verdier av energien. Hint: Bølgepakken vi sender inn har ikke en skarpt bestemt energi, så bruk E for energien. [2 poeng] Svar: Modiserer programmet fra e og regner ut T for et spekter av l fordelt slik at E /V 0 går fra 0 til 1. Programmet ga ut et plott vist i Figur 4: Figur 4: Plott av transmisjon T opp mot energi E relativt til potensial V 0. Den analytiske løsningen fra d ligner veldig på den nummersike beregningen som er gjort. Den nummeriske løsningen ligger litt lavere enn den analytiske, steglengden i x og t kan optimeres for å få en kurve nærmere den analytiske. Sannsynligheten for transmisjon øker med energien, men konvergerer mot 1 når E >> V 0 dette er logisk med tanke på at sannsynligheten kan maksimalt bli 1 men vil øke med økende E.

11 Til nå har vi regnet med Schrödingerligningen, som gir en ikke-relativistsisk kvantemekanisk beskrivelse. Vi skal her se på relativistiske korreksjoner til denne. Vi tar utgangspunkt i Einsteins forhold mellom energi og bevegelsesmengde E 2 p 2 c 2 + m 2 c 4, 8 hvor p her er den relativistiske bevegelsesmengden. h Vis at energien kan skrives som E E 0 + p2 p4 8m 3 c 2, 9 der E 0 mc 2 er hvileenergien, dersom p 2 c 2 m 2 c 4. [1 poeng] Svar: Ser at Ep er ved minimum ved p 0 og E0 E 0, dette tilsvarer en partikkel i ro med hvilenergi E 0 mc 2. Om p 2 c 2 << m 2 c 4 kan vi tenke oss at partikkelen er i nærheten av E0 og vi kan skrive uttrykket som en Tayloru-rekke. Ep T p E0+E 0p ! E 0p n! En p 0 n Utregning av de deriverte gir: E0 E 0 E 0 0 E 0 c2 E 0 E 0 0 E 0 3 c4 E 3 0 Settes disse inn i taylorpolynomet får man uttrykk 9: c 2 Ep E p E 0 4! c 2 E0 3 p 4 E 0 + p2 c 2 c 2 1 p 4 c 2 8 mc 2 3 E 0 + p2 p4 8m 3 c 2 Ep E 0 + p2 p4 8m 3 c 2

12 i På forelesning har vi diskutert hvordan man kan rettferdiggjøre Schrödingerligningen for en fri partikkel hvor V 0. Argumenter med utgangspunkt i uttrykket 9 hvorfor det følgende utgjør en rimelig relativistisk korreksjon til Schrödingerligningen 2 2 Ψ x Ψ 8m 3 c 2 x 4 + E 0Ψ i Ψ t, 10 og vis at den har den samme fri-partikkel planbølgeløsningen som Schrödingerligningen Ψx, t e ikx ωt. 11 [2 poeng] Svar: Tar utganspunkt i TASL: i Ψ t ĤΨ, Ĥ gir oss energien til partikkelen, som vi nå kan skrive ved 9. Får da uttrykket: E 0 + p2 E 0 + i x 2 E x 2 ĤΨ i Ψ t p4 8m 3 c 2 i x 4 8m 3 c m 3 c 2 x 4 Ψ i Ψ t Ψ i Ψ t Ψ i Ψ t Viser at Ψx, t e ikx ωt er en løsning ved innsetting i Ψ ik 2 Ψ 4 Ψ ik 4 Ψ Ψ x 2 x 4 t iωψ 2 Ψ x Ψ 8m 3 c 2 x 4 + E 0Ψ i Ψ t 2 k2 Ψ 4 8m 3 c 2 k4 Ψ + E 0 Ψ ωψ 2 p p 2 8m 3 c E 0 E 2 E 0 + p2 p4 8m 3 c 2 E Ser at Ψ satt inn i schrödingerlikningen gir ut uttrykket for energien, derfor er Ψ en løsning.

13 j Finn gruppehastigheten v g til en fri partikkel som beskrives av dierensialligningen i i. Sammenlign mv g med den relativistiske bevegelsesmengden p. Hvordan vil du tolke v g her? [2 Poeng] Svar: Fra schrödinger likningen får vi relasjonen ωk: ωk k2 3 8m 3 c 2 k4 + E 0 Vet at gruppehastigheten v g ωk k, får derfor: v g ωk k 2k 3 4k3 8m 3 c 2 p m 1 p 3 2c 2 m 3 v g m p1 1 p 2 2c 2 m 2 p1 1 p 2 c 2 2 m 2 c 4 Siden p 2 c 2 << m 2 c 4 p vil 2 c 2 << 1 m 2 c 4 og kan se på uttrykket som en rekkeutvikling av γ 1 der γ er Lorentz-faktoren. mv g p1 p2 c 2 v g p 1 m γ m 2 c 4 1/2 p γ Fra dette kan man tolke gruppehastigheten v g som den relativistiske hastigheten til partikkelen, man kan se på p uttrykt ved v g der man da får et relativistisk korrigerende ledd γ til massen. p mv g γ Setter man µ mγ der m er lik hvilemassen får man uttykket. p µv g

14 k Bruk dierensialligningen 10 til å nne numerisk transmisjonssannsynligheten, som funksjon av energien, til en partikkel beskrevet av initialbetingelsen 1 som møter potensialet i 3. Hvilke energier er det rimelig å anta at denne beskrivelsen er god for? Sammenlign med transmisjonssannsynligheten fra deloppgave d og g. [2 poeng] Svar: Modiserer programmet fra g og legger til en beregningsløkke for relativistisk korrigert schrödinger likning. Her brukes schrödingerlikningen 10 til å uttrykke Ψx, t + t ved Ψx, t. Resultatet ble en matriselikning som legges inn i programmet. [ I + ie 0 + V I i 1 x 2 D i 3 8m 3 c 2 1 x 4 R ] Ψx, t + t Ψx, t Der D og R er matriser med vektorene d [1, 2, 1] og r [1, 4, 6, 4, 1] sentrert langs en diagonalen i de respektive matrisene. Figur 5: Plott av simulering med relativistisk korreksjon opp mot tidligere simulering og analytisk løsning. Ser at sannsynligheten for transmissjon er veldig lik for både relativistisk og ikke-relativistisk simulering, dette er fordi de to schrödingerlikningene beskriver samme partikkel med energi E. Under simuleringen ser man at sannsynlihetsfordelingen til partikkelen er litt anderledes og at partikkelen beveger seg saktere i den relativistisk korrigerte simuleringen, men en like stor andel av bølgepakken transmitterer. Den relativistisk korrigerte simuleringen burde kun gjelde for p 2 c 2 << m 2 c 4, dette ser ikke ut til å påvirke de beregnede sannsynlighetene for transmissjon da p 2 c 2 4m 2 c 4 når E V 0 her er p beregnet som p l. Derfor kan det forventes et avvik fra simuleringen om p blir for høy. Programkode ligger som Vedlegg 1

15 Vedlegg 1 import scipy. sparse as sparse import s c i p y. s p a r s e. l i n a l g from s c i p y. i n t e g r a t e import simps from numpy import from matplotlib. pyplot import """ P h y s i c a l c o n s t a n t s """ _E0e # Rest energy f o r a proton [MeV] _hbarc # [MeV pm] _c 3. 0 e2 # Spees o f l i g h t [pm / as ] V0 1 # [MeV] def Psi0 x, l 2.0 : x0 5.0 # [pm] a 1. 0 # [pm] A 1. / 2 pi a K1 exp x x0 2 / 4. a 2 K2 exp 1 j l x return A K1 K2 def potentialwell x, V01, width 0.25 : p o t e n t i a l z e r o s l e n x p o t e n t i a l [ x < width ] V0 p o t e n t i a l [ x < 0 ] 0 return p o t e n t i a l i f name ' main ' : a 25 b 25 nx x l i n s p a c e a, b, nx dx x [1] x [ 0 ] T 0. 1 # [ as ] dt 1e 3 # [ as ] t 0 time_steps i n t T / dt k1 1 j _hbarc _c / 2. _E0e k2 1 j _c / _hbarc k3 1 j _hbarc 3 / 8. _E0e 3 _c 5 Psi Psi0 x PsiR Psi0 x data ones 3, nx data [ 1 ] 2 data [ 1 ] d i a g s [ 1,0,1] D2 k1 / dx 2 s p a r s e. s p d i a g s data, diags, nx, nx R_data ones 5, nx R_data [ 1 ] 4 R_data [ 1 ] R_data [ 2 ] 6 R_data [ 2 ] R_data [ 3 ] 4 R_data [ 3 ] R_diags [ 2, 1,0,1,2] R2 k3 / dx 4 s p a r s e. s p d i a g s R_data, R_diags, nx, nx I s p a r s e. i d e n t i t y nx E2 k2 I _E0e V_data potentialwell x V_diags [ 0 ] V k2 sparse. spdiags V_data, V_diags, nx, nx #THEORETICAL VALUES L V m Es l i n s p a c e _hbarc 2/ , V0, 100 k1 s q r t 2 m Es / _hbarc k2 s q r t 2 m V0 Es / _hbarc T_theo 1 + exp k2 L exp k2 L 2 / 16 Es/V0 1 Es/V0 1 ion f i g f i g u r e ax f i g. add_subplot 111 l i n e, ax. p l o t x, abs Psi 2, l a b e l '$ \ Psi x, t ^2 $ ' liner, ax. p l o t x, abs PsiR 2, l a b e l '$ \ Psi_R x, t ^2 $ ' ax. p l o t x, V_data, l a b e l '$V x $ ' ax. g r i d ' on ' ax. s e t _ x l a b e l ' $x$ [pm] ' ax. s e t _ y l a b e l ' $ \ Psi x, t ^2 $ [ 1 /pm] and $V x $ [MeV] '

16 ax. legend l o c ' best ' draw N 15 Es2 l i n s p a c e _hbarc 2/8 m, V0, N l s s q r t Es/_hbarc 2 1. / 4 Ts [ ] TsR [ ] f o r Ess in Es2 : l_ss s q r t 2 _E0e Ess / _hbarc 2 2 a 2 Psi Psi0 x, ll_ss PsiR Psi0 x, ll_ss t 0 print "p^2c ^2",_hbarc l_ss 2 print "p^2c^2/e0^2 ", _hbarc l_ss 2/_E0e 2 while t < T: A I dt / 2. D2 + V b I + dt / 2. D2 + V Psi AR I dt / 2. D2 + R2 + V + E2 br I + dt / 2. D2 + R2 + V +E2 PsiR PsiR s p a r s e. l i n a l g. s p s o l v e AR, br Psi s p a r s e. l i n a l g. s p s o l v e A, b t + dt l i n e. set_ydata abs Psi 2 liner. set_ydata abs PsiR 2 draw Ts. append simps abs Psi [ x > L ] 2, dxdx TsR. append simps abs PsiR [ x > L ] 2, dxdx c l o s e ' f i g ' i o f f f i g u r e p l o t Es2/V0, Ts, ' b ', l a b e l ' Nummerisk Ikke r e l a t i v i s t i s k ' p l o t Es2/V0, TsR, ' g ', l a b e l ' Nummerisk R e l a t i v i s t i s k ' p l o t Es/V0, T_theo, ' r ', l a b e l ' Analytisk ' x l a b e l ' $E/V0$ ' y l a b e l ' $T$ ' legend show

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015

Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2015 12. mars 2015 Det er i alt mulig på en god dag å få 20 poeng på denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal løses numerisk. Kompendiet om programmering, samt

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7

FYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag Oblig 7 4. mars 8 Her finner dere løsningsforslag for Oblig 7 som bestod av Oppgave.,.45 og.46 fra Griffiths, og et løsningsforslag for Oppgave., som var tilleggsoppgave.

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 7. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 7. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 FYS214 Kvantefysikk, Oblig 7 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 11. mars 215 Obliger i FYS214 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om (bølgepakker av fri partikkel tilstander og om såkalte

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 2018 Løsningsforslag for FYS140 Kvantemekanikk, Torsdag 16. august 018 Oppgave 1: Materiens bølgeegenskaper a) De Broglie fikk Nobelprisen i 199 for sin hypotese. Beskriv med noen setninger hva den går ut på.

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2018 Ditt kandidatnummer 15. mars 2018 Viktig info: Elektronisk innlevering på devilry med frist fredag 23. mars 2018 kl. 16:00. Leveringsfristen er absolutt. Innleveringen (pdf)

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 18. mars 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!)

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 8. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 8. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 FYS240 Kvantefysikk, Oblig 8 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 9. april 205 Obliger i FYS240 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om partikkel i en endelig brønn. Dere får bruk for Python

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 3. Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4 FYS40 Kvantefysikk, Oblig 3 Sindre Rannem Bilden,Gruppe 4. februar 05 Obliger i FYS40 merkes med navn og gruppenummer! Dette oppgavesettet sveiper innom siste rest av Del I av pensum, med tre oppgaver

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår Ditt kandidatnummer FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2016 Ditt kandidatnummer 8. mars 2016 Viktig info: Elektronisk innlevering på devilry med frist fredag 18. mars kl. 16.00. Leveringsfristen er absolutt. Bevarelsen må merkes tydelig

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag 2. april 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret.

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11. Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 11 Sindre Rannem Bilden og Gruppe 4 30. april 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen er satt sammen av den første delen av eksamen våren 2010

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-13 Lars Kristian Henriksen UiO. februar 15 Oppgave 1 Vi betrakter bølgefunksjonen Ψ(x, t) Ae λ x e iωt hvor A, λ og ω er positive reelle konstanter. a) Finn normaliseringen

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 2 1 Oppgave 2 1 ØVING 2 nesten en posisjonsegentilstand Vi har sett at en posisjon ikke kan måles med en usikkerhet som er eksakt lik null. Derimot er det

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

FY juni 2015 Side 1 av 6

FY juni 2015 Side 1 av 6 FY6019 12. juni 2015 Side 1 av 6 Oppgave 1. Flervalgsoppgaver. (Poeng: 2.5 8 = 20) a) Hva er forventningsverdien av posisjonen, x, til en partikkel i grunntilstanden i en endimensjonal potensialboks mellom

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018 Løsningsforslag for FYS40 Kvantemekanikk, Tirsdag 9. mai 08 Oppgave : Fotoelektrisk effekt Millikan utførte følgende eksperiment: En metallplate ble bestrålt med monokromatisk lys. De utsendte fotoelektronene

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

Kondenserte fasers fysikk Modul 3

Kondenserte fasers fysikk Modul 3 FYS3410 Kondenserte fasers fysikk Modul 3 Sindre Rannem Bilden 20. april 2016 Oppgave 1 - Fri elektron gass At fri veilengde for elektroner er i størrelsesordenen med atomavstandene er en av de grunnleggende

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 Frist for innlevering: tirsdag 3. februar Oppgave 1 ØVING 2 Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 Oppgave 2 1 LØSNING nesten en posisjonsegentilstand a Siden den Gaussiske sannsynlighetstettheten ψ(x) 2 = 2β/π exp( 2β(x a) 2 ) symmetrisk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)

Detaljer

FY2045 Kvantefysikk Løsningsforslag Eksamen 2. juni 2008

FY2045 Kvantefysikk Løsningsforslag Eksamen 2. juni 2008 Eksamen FY045. juni 008 - løsningsforslag Oppgave FY045 Kvantefysikk øsningsforslag Eksamen. juni 008 a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen, [ h ] m x + V x ψx Eψx, finner vi at den relative krumningen

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på

Detaljer

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3

FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2. Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3 FYS2140 Kvantefysikk, Oblig 2 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 3 6. februar 2015 Obliger i FYS2140 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen har oppgaver som tar for seg fotoelektrisk eekt, Comptonspredning

Detaljer

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent

Detaljer

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

Detaljer

A) λ < 434 nm B) λ < 534 nm C) λ < 634 nm D) λ < 734 nm E) λ < 834 nm

A) λ < 434 nm B) λ < 534 nm C) λ < 634 nm D) λ < 734 nm E) λ < 834 nm TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2017 Side 1 av 9 1) Hva er bølgelengden til fotoner med energi 40 mev? A) 31 µm B) 41 µm C) 51 µm D) 61 µm E) 71 µm 2) Hva er impulsen til fotoner med

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 9. august 2016 Side 1 av 9 Hver oppgave teller 2.5% 1) Hva er bølgelengden til et foton med energi 100 ev? A) 0.12 nm B) 12 nm C) 0.12 µm D) 12 µm E) 0.12

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Kontinuasjonseksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk august 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Onsdag 6.

Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Onsdag 6. NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Merk: Hver deloppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY417 Fysikk

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra

Detaljer

2. Postulatene og et enkelt eksempel

2. Postulatene og et enkelt eksempel FY619 Moderne fysikk 1 Dette notatet kan leses parallelt med deler av kapitlene 2 og 3 i Hemmer; fortrinnsvis delkapitlene 3.1, 3.2 og 2.1. NOTAT 2 2. Postulatene og et enkelt eksempel I kapittel 2 i Hemmer

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i

Detaljer

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at

ψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute.

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute. EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: ett handskrevet A4-ark(2 sider med egne notater, samt K. Rottmann: Matematisk

Detaljer

EKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl

EKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk og Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Professor Per Hemmer, tel. 73 59 36 48 Professor Helge Holden,

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk

Detaljer

Eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk Vår 2013

Eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk Vår 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Eksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk Vår 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 735933 Onsdag.

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

FY mai 2017 Side 1 av 6

FY mai 2017 Side 1 av 6 FY6019 31. mai 2017 Side 1 av 6 Oppgave 1. Bohrmodellen. (Poeng: 10) I Bohrs modell for hydrogenatomet antar man at elektronet går i sirkelbane rundt kjernen, med kvantisert dreieimpuls, L = L = rmv =

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK Mandag 10. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1002 BØLGEFYSIKK

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7 FY1006/TFY415 - Løysing øving 7 1 Løysing oppgåve 1 LØYSING ØVING 7 Numerisk løysing av den tidsuavhengige Schrödingerlikninga a) Alle ledda i (1) har sjølvsagt same dimensjon. Ved å dividere likninga

Detaljer

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng (med forbehold om streik) Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 30. mai 2018 ksamenstid

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial FY006/TFY45 - Løysing øving 5 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensial a) I eit område der V er konstant (lik V ), og E V er positiv, er området klassisk tillate og vi

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK. Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK. Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK Utarbeidet av: Jon Andreas Støvneng (jon.stovneng@ntnu.no) LØSNINGSFORSLAG (8 SIDER) TIL EKSAMEN I FY100 og TFY4160 BØLGEFYSIKK Fredag

Detaljer

FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren Løsningsforslag til øving 4. 2 h

FY6019 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren Løsningsforslag til øving 4. 2 h FY609 Moderne fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Våren 07. Løsningsforslag til øving 4. Oppgave : Bundne tilstander i potensialbrønn a) Fra forelesningene (s 60) har vi følgende ligning for bestemmelse

Detaljer

7. δ-funksjonsbrønn. Fri partikkel. Spredning

7. δ-funksjonsbrønn. Fri partikkel. Spredning TFY4250/FY2045 Tillegg 7 - δ-brønn. Fri partikkel. Spredning 1 TILLEGG 7 7. δ-funksjonsbrønn. Fri partikkel. Spredning i én dimensjon I dette tillegget ser vi først på den enkle deltafunksjons-brønnen.

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl

EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 4 1 Løsning oppgave 4 1 LØSNING ØVING 4 Elektron i potensial med to δ-funksjoner a En delta-brønn er grensen av en veldig dyp og veldig trang brønn Inne i

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons. Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ

Detaljer

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk

Formelsamling. ξ(r, t) = ξ 0 sin(k r ωt + φ) 2 ξ(x, t) = 1 2 ξ(x, t) t 2. 2 ξ. x ξ. z 2. y ξ. v = ω k. v g = dω dk Formelsamling Side 7 av 16 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk plan bølge: Bølgeligning:

Detaljer

LØSNING EKSTRAØVING 2

LØSNING EKSTRAØVING 2 TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008

Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008 Løsning til øving 23 for FY1004, våren 2008 Diracs δ-funksjon kan defineres ved at δ(x) = 0 for x 0, og dx δ(x) = 1. Vi vil bruke δ-funksjonen som et potensial for en partikkel i en dimensjon. Vi setter

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29. Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen

FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29. Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen FYS2140 Kvantefysikk Forelesning 29 Maria V. Bøe og Marianne E. Bathen I dag Oppsummering av pensum Basert på vår oppfatning og erfaring (ikke eksamen) 1. Brudd med klassisk fysikk (15 min) 2. Schrödingerlikningen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.

Detaljer