EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl
|
|
- Rebekka Christiansen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel , eller Jon Andreas Støvneng, tel , eller EKSAMEN I TFY415 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 008 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator; Rottmann: Matematisk formelsamling; Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter; Aylward & Findlay: SI Chemical Data. Ark med uttrykk og formler (vedlegg 1) samt kjemiske navnsettingsregler (vedlegg ) er heftet ved.) Sensuren faller i august 008. Oppgave 1 (Teller 34 %) En partikkel med masse m befinner seg i et endimensjonalt potensial for x > a, V (x) = V 0 for a/ < x < a, 0 for a/ < x < a/. I denne oppgaven holdes parameteren a fast, mens V 0 er en parameter som kan varieres, fra store negative verdier og helt opp til +.
2 Side av 6 Figuren viser en prinsippskisse av grunntilstandsenergien E 1 som funksjon av V 0. Det opplyses at E 1 i likhet med alle andre energiegenverdier E n for dette systemet er en strengt stigende funksjon av V 0. a. Anta at V 0 er endelig. Angi uten bevis antall nullpunkter i intervallet a < x < a og beskriv symmetriegenskapene for grunntilstanden ψ 1 og første eksiterte tilstand ψ. Hvilke krav må alle energiegenfunksjoner ψ n for potensialet V (x) oppfylle i punktene x = ±a og x = ±a/? For spesialtilfellet V 0 = 0 har alle energiegenfunksjonene sinusform for x < a; ψ n = A n sin[k n (x a)]. Skissér grunntilstanden ψ 1 og første eksiterte tilstand ψ for V 0 = 0. b. Bestem bølgetallene k 1 og k for grunntilstanden og første eksiterte tilstand for spesialtilfellet V 0 = 0. Kontrollér at de resulterende løsningene ψ 1 og ψ oppfyller den tidsuavhengige Schrödingerligningen, og finn energiene E 1 (0) og E (0) for spesialtilfellet V 0 = 0. Hva blir energiene (E 1 ( ) og E ( )) når V 0 er uendelig stor? c. For en viss negativ verdi av V 0 (V 0 = V a < 0) er grunntilstandsenergien E 1 lik null (jf diagrammet ovenfor). Bruk (bl.a) den tidsuavhengige Schrödingerligningen til å finne formen til grunntilstanden ψ 1 i området a/ < x < a/ i dette tilfellet. Skissér ψ 1 for alle x. Bestem (den negative) potensialverdien V a, med utgangspunkt i skissen og den tidsuavhengige Schrödingerligningen.
3 Side 3 av 6 d. For en viss positiv verdi av V 0 (V 0 = V b > 0) er grunntilstandsenergien akkurat lik V 0 (se diagrammet øverst på forrige side). Lag en prinsippskisse av grunntilstanden ψ 1 for dette tilfellet. For dette tilfellet kan vi sette V b = E 1 = h k b m. Finn en betingelse som bestemmer bølgetallet k b. Gjør et røfft overslag over bølgetallet k b med utgangspunkt i skissen. Finn en nøyaktig verdi for k b og dermed potensialverdien V b, uttrykt ved a. Oppgave (Teller 5 %) En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale harmoniske oscillatorpotensialet V (x) = 1 mω x. Grunntilstanden for dette systemet er ψ g = ( ) mω 1/4 e mωx / h, π h med energien E g = 1 hω. a. Bruk formelen K ψ = p x = h m m ψ ψ dx x til å vise at forventningsverdien av den kinetiske energien i grunntilstanden kan skrives på formen K g = 1 mω x g, dvs er like stor som forventningsverdien V g av den potenselle energien. [Hint: Bruk at ψ g / x = ( mωx/ h)ψ g.] Hva er K + V g for grunntilstanden? Bruk dette til å finne x g og p x g for grunntilstanden. Finn også forventningsverdiene x g og p x g for grunntilstanden, og bestem usikkerhetene ( x) g og ( p x ) g samt usikkerhetsproduktet ( x) g ( p x ) g.
4 Side 4 av 6 b. Anta at dette systemet ved t = 0 prepareres i (den normerte) begynnelsestilstanden Ψ(x, 0) = 10 ( ) mω 1/4 e 100mωx / h ψ b (x), π h som er sterkt skviset i forhold til grunntilstanden (se figuren). For t 0 kan bølgefunksjonen for systemet utvikles i det stasjonære løsningssettet for oscillatoren (se formelarket): Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient/ h ; c n = ψ n, Ψ(0) = ψ n (x)ψ(x, 0)dx. n=0 Hva er den fysiske tolkningen av koeffisientene c n? Hvorfor er c n lik null for n = 1, 3, 5,? Hvilken symmetriegenskap medfører dette for Ψ(x, t)? Som funksjon av t vil Ψ(x, t) i høyeste grad endre form og utstrekning, men etter halvparten av den klassiske periodetiden, T/ = π/ω, er sannsynlighetstettheten faktisk uendret. Vis dette. [Hint: Finn først konstanten f i relasjonene exp[ ie n (t + T/)/ h] = f exp[ ie n t/ h] (n = 0,, 4, ), og bruk dette til å finne sammenhengen mellom Ψ(x, t + T/) og Ψ(x, t).] c. Skvisingen av begynnelsestilstanden innebærer at forventningsverdien V b av den potensielle energien er en faktor 100 mindre enn i grunntilstanden. Ved t = 0 befinner altså partikkelen seg praktisk talt i origo. Av samme grunn er forventningsverdien K b av den kinetiske energien en faktor 100 større enn i grunntilstanden, så partikkelen er nokså energisk. Du inviteres nå til å spekulere kvalitativt rundt hva som skjer med sannsynlighetsfordelingen mellom hver gang den gjenskapes, dvs mellom tidspunktene t = 0, T/, T, 3T/ osv. Prøv også å gjøre et halvklassisk overslag over den midlere kvadratiske avstanden fra origo (og dermed av usikkerheten x) når disse er på sitt største. [Hint: Hvor langt ut beveger partikkelen seg klassisk dersom den har en energi E? Hva er E i tilstanden Ψ(x, t)?]
5 Side 5 av 6 Oppgave 3 (Teller 16 %) a. For en partikkel med masse m i det endimensjonale harmoniske oscillatorpotensialet V (x) = 1 mω x er egenfunksjonene ψ n (x) oppgitt på formelarket de eneste løsningene av energiegenverdiligningen som går mot null når x ±. Bruk dette som utgangspunkt for å angi bølgefunksjonene og energiene for grunntilstanden og første eksiterte tilstand når partikkelen beveger seg i det endimensjonale potensialet V (x) = { 1 mω x for x > 0, for x < 0. b. Et elektron beveger seg i det tredimensjonale potensialet e for z > 0, V = 4πɛ 0 r for z < 0. Finn, med utgangspunkt i de kjente energiegenfunksjonene for hydrogenlignende systemer, grunntilstanden for dette systemet og den tilhørende energien. Hva blir energien og degenerasjonsgraden for første eksiterte nivå?
6 Oppgave 4 (Teller 10%) Svar kort på disse fire spørsmålene: Side 6 av 6 I kvantemekaniske beregninger på atomer og molekyler benyttes som regel den såkalte Born Oppenheimer approksimasjonen. Hva innebærer det? Hva uttrykker Pauliprinsippet? Et (ikke-lineært) molekyl med N atomer har 3N (romlige) frihetsgrader. Hvor mange av disse er knyttet til henholdsvis translasjon av molekylet, rotasjon av molekylet, og vibrasjoner i molekylet? Tegn opp og navngi de tre ulike isomere av dibrometen. Oppgave 5 (Teller 15%) En kjemisk likevekt A B beskrives av følgende energifunksjon E(x): Her er E systemets totale energi, og reaksjonskoordinaten x kan (f.eks) være det relative avvik fra likevektsverdien R 0 til en bestemt interatomær avstand i systemet, dvs x = (R R 0 )/R 0. Diskuter hvordan kinetikken og den termodynamiske likevekten mellom de to tilstandene A og B avhenger av de ulike energiene angitt i figuren. Vi kan modellere en slik kjemisk likevekt med energifunksjonen ( ) 35x 4 E(x) = E 0 x 3 + x 8 4 der E 0 = 343 ev. Bestem x A, x TS og x B. Verifiser at x TS tilsvarer et (lokalt) energimaksimum. (Tips: Betrakt den andrederiverte av E.) Anta at A og B er ulike konformasjoner av samme molekyl (dvs at B kan oppnås fra A, og omvendt, ved f.eks dreining omkring en av systemets kjemiske bindinger). Bestem forholdet N A /N B mellom antall molekyler i tilstand A og tilstand B i en slik gass i termodynamisk likevekt ved romtemperatur (T = 300 K). Vil dette forholdet bli mindre eller større dersom temperaturen senkes? Begrunn svaret kort. Oppgitt: Boltzmanns konstant k B = ev/k.
7 Vedlegg 1: Formler og uttrykk Endimensjonal harmonisk oscillator (Noe av dette kan du få bruk for.) ( h m ) x + 1 mω x ψ n (x) = hω(n + 1)ψ n(x); ψ n, ψ k = δ nk ; ψ n (x) = ( ) mω 1/4 1 / π h n n! e y H n (y), y = x h/mω ; H 0 (y) = 1, H 1 (y) = y, H (y) = 4y, H 3 (y) = 8y 3 1y, ; Pψ n (x) ψ n ( x) = ( 1) n ψ n (x). Laplace-operatoren og dreieimpulsoperatorer i kulekoordinater ˆL x = h i = r + r r ˆL h r ; ( ˆL = h θ + cot θ θ + 1 ) sin, θ φ ˆLz = h i ( sin φ ) cot θ cos φ, ˆLy = h ( cos φ θ φ i θ [ L, L z ] = 0, [ L x, L y ] = i h L z, osv. φ ; cot θ sin φ φ ) ; Vinkelfunksjoner { ˆL ˆL z } { h l(l + 1) Y lm = hm } Y lm, l = 0, 1,,...; π 0 1 dφ d(cos θ)y l 1 m Y lm = δ l lδ m m; Y 0 = Y px = Y 10 = 3 4π 5 16π (3 cos θ 1); 3 3 4π cos θ = 4π z r Y p z, x r = 1 (Y 1, 1 Y 11 ), Y py = 3 Y 1±1 = 8π sin θ e±iφ ; 3 y 4π r = i (Y 11 + Y 1, 1 ); 15 Y,±1 = 8π sin θ cos θ e±iφ ; Y,± = PY lm = ( 1) l Y lm. 15 3π sin θ e ±iφ. Energiegenfunksjoner og radialligning, kulesymmetrisk potensial V (r) [ h d ] m dr + V eff(r) l u(r) = E u(r), ψ(r, θ, φ) = u(r) r Y lm (θ, φ); V l eff(r) V (r) + h l(l + 1) mr, u(0) = 0.
8 Energiegenverdier og -egenfunksjoner, hydrogenlignende system, V (r) = Ze /(4πɛ 0 r) R 10 = a 3/ e r/a ; R 0 = Noen konstanter E n = E 1 n E 1 (l n r ), E 1 = 1 (αz) m e c ; 1 a 3/ ψ nlm = R nl (r)y lm (θ, φ); ( 1 r a ) e r/a ; R 1 = a 0 = 4πɛ 0 h m e e m (Bohr-radien); 1 r 6 a 3/ a e r/a ; a = a 0 Z. α = e 4πɛ 1 0 hc α m e c = h m e a ev (finstrukturkonstanten); (Rydberg-energien). Noen formler sin a = (e ia e ia )/i, cos a = (e ia + e ia )/; tan y = 1 cot y = tan(y + nπ), n = 0, ±1, ; sinh y = 1 (ey e y ); cosh y = 1 (ey + e y ); tanh y = 1 coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = 1; d d sinh y = cosh y; dy cosh y = sinh y. dy
9 Vedlegg. Navnsettingsregler i organisk kjemi. Tabell 1. Noen funksjonelle grupper rangert etter avtagende prioritet Rang Hovedgruppe Funksjonell gruppe Forstavelse Endelse 1 Karboksylsyre -COOH (karboksy-) -syre Syreanhydrid -CO O CO- -syreanhydrid 3 Ester -COOR -oat eller -at 4 Syrehalid -COX halokarbonyl- -oylhalid 5 Amid -CONH amido- -amid 6 Nitril -CN cyano- -nitril 7 Aldehyd -COH okso- -al 8 Keton -CO- okso- -on 9 Alkohol -OH hydroksy- -ol 10 Thiol -SH merkapto- -thiol 11 Amin -NH amino- -amin 1 Imin >C=N- imino- -imin 13 Alken -C=C- -en 14 Alkyn -C C- -yn 15 Alkan -C C- -an Underordnede grupper (ingen rangering) Funksjonell gruppe Forstavelse Endelse Eter -C O C- alkoksy- -eter Halid -X halo- (f.eks. kloro-) Nitro -NO nitro- X = en halogen (F, Cl, Br eller I), R = (normalt) en alkylgruppe (C n H n+1 ) Navnsetting av organiske forbindelser: [Forstavelse(r) inklusive nummerering] - [Hovedskjelett] - [Endelse] Endelse: funksjonell gruppe med høyest rang Hovedskjelett: lengste sammenhengende karbonkjede, nummerert slik at endelsesgruppen sitter på lavest mulig nummer Forstavelse(r) inkl nummerering: alle substituenter på hovedskjelettet, i alfabetisk rekkefølge
10 ENGLISH TEXT Page 1 of 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel , eller Jon Andreas Støvneng, tel , eller EKSAMEN I TFY415 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 008 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator; Rottmann: Matematisk formelsamling; Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter; Aylward & Findlay: SI Chemical Data. Sheets with formulae and expressins (attachment 1) and chemical naming rules (attachment ) are attached. Sensuren faller i august 008. Question 1 (Counts 34 %) A particle with mass m is moving in a one-dimensional potential for x > a, V (x) = V 0 for a/ < x < a, 0 for a/ < x < a/. In this Problem the parameter a is kept fixed, while V 0 is a parameter that can be varied, from large negative values towards +.
11 Page of 6 The figure shows a sketch of the ground-state energy E 1 as a function of V 0. It turns out that E 1 is a monotonically increasing function of V 0, as are all the other energy eigenvalues. a. Suppose that V 0 is finite. State without proof the number of zeros in the interval a < x < a and describe the symmetry properties for the ground state ψ 1 and the first excited state ψ. Which conditions must be satisfied by all energy eigenfunctions ψ n for the potential V (x) in the points x = ±a and x = ±a/? For the special case V 0 = 0, all the energy eigenfunctions are sinusoidal for x < a; ψ n = A n sin[k n (x a)]. Sketch the ground state ψ 1 and the first excited state ψ for V 0 = 0. b. Determine the wave numbers k 1 and k for the ground state and the first excited state for the special case V 0 = 0. Check that the resulting solutions ψ 1 and ψ satisfy the timeindependent Schrödinger equation, and find the energies E 1 (0) and E (0), for the special case V 0 = 0. What are the energies (E 1 ( ) and E ( )) when V 0 is infinitely high? c. For a certain negative value of V 0 (V 0 = V a < 0), the ground-state energy E 1 is equal to zero (cf the diagram above). Use (among other things) the time-independent Schrödinger equation to find the form of the ground state ψ 1 in the region a/ < x < a/ in this case. Sketch ψ 1 for all x. Determine (the negative) potential value V a, based on the sketch and the time-independent Schrödinger equation.
12 Page 3 of 6 d. For a certain positive value of V 0 (V 0 = V b > 0), the ground state energy equal to V 0 (see the diagram at the top of the preceding page). Make a sketch of the ground state ψ 1 for this case. For this case, we may write V b = E 1 = h k b m. Find a condition that determines the wave number k b. Make a rough estimate of the wave number k b based on the sketch. Find an accurate value for k b and hence for the potential value V b, expressed in terms of a. Question (Counts 5 %) A particle with masse m is moving in the one-dimensional harmonic oscillator potential V (x) = 1 mω x. The ground state of this system is ψ g = ( ) mω 1/4 e mωx / h, π h with the energy E g = 1 hω. a. Use the formula K ψ = p x = h m m ψ ψ dx x to show that the expectation value of the kinetic energy in the ground state may be written on the form K g = 1 mω x g, which means that it is equal to the expectation value V g of the potential energy. [Hint: Use that ψ g / x = ( mωx/ h)ψ g.] What is K + V g for ground state? Use this to find x g and p x g for the ground state. Find also the expectation values x g and p x g for the ground state, and determine the uncertainties ( x) g and ( p x ) g, together with the uncertainty product ( x) g ( p x ) g.
13 Page 4 of 6 b. Suppose that this system is at t = 0 prepared in (the normalized) initial state Ψ(x, 0) = 10 ( ) mω 1/4 e 100mωx / h ψ b (x), π h which is strongly squeezed compared to the ground state (see the figure). For t 0, the wave function of this system may be expanded in terms of the set of stationary states of the oscilator (see the formula sheet): Ψ(x, t) = c n ψ n (x)e ient/ h ; c n = ψ n, Ψ(0) = ψ n (x)ψ(x, 0)dx. n=0 What is the physical interpretation of the coefficients c n? Why is c n equal to zero for n = 1, 3, 5,? Which symmetry property for Ψ(x, t) follows from this? As a function of t, the wave function Ψ(x, t) will vary strongly in form and extension but, after one half of the classical period, T/ = π/ω, the probability density is in fact unchanged. Show this. [Hint: Start by finding the constant f in the relations exp[ ie n (t + T/)/ h] = f exp[ ie n t/ h] (n = 0,, 4, ), and use this to find the relation between Ψ(x, t + T/) and Ψ(x, t).] c. As a consequence of the she squeezing of the initial state, the expectation value V b of the potential energy is a factor 100 less than in the ground state. Thus, at t = 0 the particle is located at the origin, roughly speaking. For the same reason the expectation value K b of the kinetic energy is a factor 100 larger than in the ground state, so that the particle is fairly energetic. You are now invited to speculate in a qualitative way about what happens with the probability distribution between the times when it is recreated, i.e., between the times t = 0, T/, T, 3T/ etc. Try also to make a semiclassical estimate of the average squared distance from the origin (and hence of the uncertainty x) when these quantities are on their largest. [Hint: How far out does the particle move classically if it has an energy E? And what is E in the state Ψ(x, t)?]
14 Page 5 of 6 Question 3 (Counts 16 %) a. For a particle with mass m in the one-dimensional harmonic oscillator potential V (x) = 1 mω x, the eigenfunctions ψ n (x) given on the formula sheet are the only solutions of the energy eigenvalue equation which go to zero when x ±. Base on this, state the results for the wave functions and the energies of the ground state and the first excited state when the particle is moving in the one-dimensional potential V (x) = { 1 mω x for x > 0, for x < 0. b. An electron is moving in the three-dimensional potential e for z > 0, V = 4πɛ 0 r for z < 0. Find, using the known energy eigenfunctions for hydrogenlike systems, the ground-state wave function for this system and the corresponding energy. What is the energy and the (degree of) degeneracy for the first excited level?
15 Oppgave 4 (Teller 10%) Svar kort på disse fire spørsmålene: Side 6 av 6 I kvantemekaniske beregninger på atomer og molekyler benyttes som regel den såkalte Born Oppenheimer approksimasjonen. Hva innebærer det? Hva uttrykker Pauliprinsippet? Et (ikke-lineært) molekyl med N atomer har 3N (romlige) frihetsgrader. Hvor mange av disse er knyttet til henholdsvis translasjon av molekylet, rotasjon av molekylet, og vibrasjoner i molekylet? Tegn opp og navngi de tre ulike isomere av dibrometen. Oppgave 5 (Teller 15%) En kjemisk likevekt A B beskrives av følgende energifunksjon E(x): Her er E systemets totale energi, og reaksjonskoordinaten x kan (f.eks) være det relative avvik fra likevektsverdien R 0 til en bestemt interatomær avstand i systemet, dvs x = (R R 0 )/R 0. Diskuter hvordan kinetikken og den termodynamiske likevekten mellom de to tilstandene A og B avhenger av de ulike energiene angitt i figuren. Vi kan modellere en slik kjemisk likevekt med energifunksjonen E(x) = E 0 ( 35x 4 8 ) x 3 + x 4 der E 0 = 343 ev. Bestem x A, x TS og x B. Verifiser at x TS tilsvarer et (lokalt) energimaksimum. (Tips: Betrakt den andrederiverte av E.) Anta at A og B er ulike konformasjoner av samme molekyl (dvs at B kan oppnås fra A, og omvendt, ved f.eks dreining omkring en av systemets kjemiske bindinger). Bestem forholdet N A /N B mellom antall molekyler i tilstand A og tilstand B i en slik gass i termodynamisk likevekt ved romtemperatur (T = 300 K). Vil dette forholdet bli mindre eller større dersom temperaturen senkes? Begrunn svaret kort. Oppgitt: Boltzmanns konstant k B = ev/k.
16 Attachment 1: Formulae and expressions be useful.) One-dimensional harmonic oscillator ( h m (Some of this may turn out to ) x + 1 mω x ψ n (x) = hω(n + 1)ψ n(x); ψ n, ψ k = δ nk ; ψ n (x) = ( ) mω 1/4 1 / π h n n! e y H n (y), y = x h/mω ; H 0 (y) = 1, H 1 (y) = y, H (y) = 4y, H 3 (y) = 8y 3 1y, ; Pψ n (x) ψ n ( x) = ( 1) n ψ n (x). The Laplace operator and angular-momentum operators in polar coordinates ˆL x = h i = r + r r ˆL h r ; ) ( ˆL = h θ + cot θ θ + 1 sin, θ φ ˆLz = h i ( sin φ ) cot θ cos φ, ˆLy = h ( cos φ θ φ i θ [ L, L z ] = 0, [ L x, L y ] = i h L z, osv. φ ; cot θ sin φ φ ) ; Angular functions { ˆL ˆL z } { h l(l + 1) Y lm = hm } Y lm, l = 0, 1,,...; π 0 1 dφ d(cos θ)y l 1 m Y lm = δ l lδ m m; Y 0 = Y px = Y 10 = 3 4π 5 16π (3 cos θ 1); 3 3 4π cos θ = 4π z r Y p z, x r = 1 (Y 1, 1 Y 11 ), Y py = 15 3 Y 1±1 = 8π sin θ e±iφ ; 3 y 4π r = i (Y 11 + Y 1, 1 ); Y,±1 = 8π sin θ cos θ e±iφ ; Y,± = PY lm = ( 1) l Y lm. 15 3π sin θ e ±iφ. Energy eigenfunctions and radial equation, spherically symmetric potential V (r) [ h d ] m dr + V eff(r) l u(r) = E u(r), ψ(r, θ, φ) = u(r) r Y lm (θ, φ); V l eff(r) V (r) + h l(l + 1) mr, u(0) = 0.
17 Energy eigenfunctions and eigenvalues, hydrogenlike system, V (r) = Ze /(4πɛ 0 r) R 10 = a 3/ e r/a ; R 0 = Some constants E n = E 1 n E 1 (l n r ), E 1 = 1 (αz) m e c ; 1 a 3/ ψ nlm = R nl (r)y lm (θ, φ); ( 1 r a ) e r/a ; R 1 = a 0 = 4πɛ 0 h m e e m (Bohr-radien); 1 r 6 a 3/ a e r/a ; a = a 0 Z. α = e 4πɛ 1 0 hc α m e c = h m e a ev (finstrukturkonstanten); (Rydberg-energien). Some formulae sin a = (e ia e ia )/i, cos a = (e ia + e ia )/; tan y = 1 cot y = tan(y + nπ), n = 0, ±1, ; sinh y = 1 (ey e y ); cosh y = 1 (ey + e y ); tanh y = 1 coth y = sinh y cosh y ; cosh y sinh y = 1; d d sinh y = cosh y; dy cosh y = sinh y. dy
EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 3 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 16. august 2008 kl
ENGLISH TEXT Page 1 of 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 3 55 Jon Andreas Støvneng, tel.
DetaljerEKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Mandag 6. august 2007 kl
NRSK TEKST Side 1 av 7 NRGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 5
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 97 0 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6 6,
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK onsdag 5. august 2009 kl
BOKMÅL Side 1 av NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK
DetaljerOppgave 1. NORSK TEKST Side 1 av 4. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67 EKSAMEN I TFY415
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK 6. juni 2007 kl
NRSK TEKST Side 1 av 7 NRGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK mandag 26. mai 2008 kl
NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel.
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai 2005 kl
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 9701255
DetaljerOppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk
BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN
DetaljerEKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl
NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.
DetaljerOppgave 1 (Deloppgavene a, b, c og d teller henholdsvis 6%, 6%, 9% og 9%) NORSK TEKST Side 1 av 7
NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97012355 Jon Andreas Støvneng, tel. 73
DetaljerEKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Lørdag 13. august 2011 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel.
DetaljerBOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0,
BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING
DetaljerEKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 29. mai 2010 kl
BOKMÅL Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3
FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag 2. juni 2008 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Mandag
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 Kvantefysikk Tirsdag 13. desember 2005 kl
ENGLISH TEXT (and NORWEGIAN) Page 1 of 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450
DetaljerEKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Torsdag 31. mai 2012 kl
BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 97 01 2 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerEn partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 9755 EKSAMEN I TFY45 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerEKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK 26. mai 2006 kl
NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fredag 19. august 2005 kl
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Lørdag 8. august 2009 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Onsdag 8. august 2007 kl. 09.00-13.00
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.
DetaljerEn samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:
DetaljerEKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00
Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 1. desember 2009 kl
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245/TFY425 KVANTEMEKANIKK
DetaljerNORSK OG ENGELSK TEKST Side 1 av 10
NORSK OG ENGELSK TEKST Side 1 av 10 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på
DetaljerTFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator
TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med
DetaljerFY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7
FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Lørdag 9. desember 2006 kl
ENGLISH TEXT and NORWEGIAN Page of 9 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM-
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl
NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425
DetaljerTFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1
TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner
TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen
DetaljerLøsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien
DetaljerEKSAMEN I SIF4018 MATEMATISK FYSIKK mandag 28. mai 2001 kl
Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk og Institutt for matematiske fag Faglig kontakt under eksamen: Professor Per Hemmer, tel. 73 59 36 48 Professor Helge Holden,
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv
FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast
DetaljerTFY Øving 8 1 ØVING 8
TFY4215 - Øving 8 1 ØVING 8 Mye av poenget med oppgave 2 er å øke fortroligheten med orbitaler, som er bølgefunksjoner i tre dimensjoner. Fordi spørsmålene/oppdragene er spredt litt rundt omkring, markeres
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:
Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007
DetaljerLØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1
TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS40 Kvantefysikk Eksamensdag: 6. august 03 Tid for eksamen: 4.30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 (fem) sider Vedlegg:
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 4. desember 2007 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. mai 8 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 8 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten
DetaljerFY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.
FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. juni 007 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. juni 007 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i én dimensjon er enten symmetriske eller
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;
DetaljerA.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander
TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se
DetaljerTFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom
TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke
DetaljerTFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator
TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs
DetaljerFaglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK
DetaljerNORSK TEKST Side 1 av 4. Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller
NORSK TEKST Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK
DetaljerEKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Tirsdag 4. desember 2007 kl
ENGLISH TEXT and also in NORWEGIAN Page of 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 9702355 EKSAMEN I TFY4250
DetaljerOppgave 1. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 245 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk EKSAMEN I: MNFFY 45 INNFØRING I KVANTEMEKANIKK DATO: Fredag 4 desember TID: 9 5 Antall vekttall: 4 Antall sider: 5 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8. a. (a1): Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
FY16/TFY415 - Løsning øving 8 1 Løsning oppgave 3 Vinkelfunksjoner, radialfunksjoner og orbitaler for hydrogenlignende system LØSNING ØVING 8 a. (a1: Ved kontroll av egenverdiene kan vi se bort fra normeringsfaktorene.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for
DetaljerFigur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.
Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur
DetaljerEKSAMEN I FY2045/TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Mandag 8. august 2011 kl
NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 970355 EKSAMEN I FY045/TFY450 KVANTEMEKANIKK
DetaljerEKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Torsdag 31. mai 2012 kl
BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 97 01 2 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6
DetaljerEksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1
Eksamen FY1006/TFY415 7. mai 009 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag, Eksamen 7. mai 009 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. For E > V 0 har vi for store
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 27. mai 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a. For en energiegenfunksjon med energi E V 1 følger det fra
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m
Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen FY1006/TFY4215, 29. mai 2010 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. I punktene x = 0 og x
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator
FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk
DetaljerLØSNING EKSTRAØVING 2
TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =
DetaljerFY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8
FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen 2. juni 2016 Side 1 av 8 I. FLERVALGSOPPGAVER (Teller 2.5% 30 = 75%) En fri partikkel med masse m befinner seg i det konstante potensialet V = 0 og beskrives
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 26. mai 2008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Utenfor boksen, hvor V (x) =, er bølgefunksjonen lik null. Kontinuiteten
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
Detaljerψ(x) 2 dx = 1. (3) For det siste integralet har vi brukt fra Rottmann at
Det er mulig å oppnå i alt 80 poeng på denne eksamen. Oppgave er inspirert av en tidligere eksamensoppgaver gitt ved NTNU, laget av Ingjald Øverbø og Jon Andreas Støvneng. Oppgave 1 En-dimensjonal harmonisk
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.
FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I
Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerFasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015
Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Torsdag 20. desember 2012 kl
NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 972355 EKSAMEN I FY245 KVANTEMEKANIKK I/ TFY425
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk
Eksamen FY2045 27. mai 2005 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 27. mai 2005 FY2045 Kvantefysikk a. Ifølge den tidsuavhengige Shrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, har vi for x < 0 : E = Ĥψ ψ
DetaljerEksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Utsatt eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Eksamensdag: 07.12.2012 Tid for eksamen: kl. 09:00-12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerQuantum. collection) Number. of pages: Number. Checked. Date. Signature 1
Department of Physics Examinationn paper for TFY4250/FY2045 Quantum Mechanics 1 Academic contactt during examination: Peter Berg Phone: 735 93462 Examination date: December 18 th, 2013 Examination time
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand
FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h
Detaljer