Ut i rommet. Læringsmål. Punkter i endimensjonalt rom Skalarer. Punkt i todimensjonalt rom. Geometrier, tid, kart, bilder, animasjoner, CAD/CAM,

Transkript

1 Ut i rommet Geometrier, tid, kart, bilder, animasjoner, CAD/CAM, Læringsmål Forstå koordinater og koordinatsstemer Forstå geometrier I rommet Forstå forskjellen mellom vektor- og rasterrepresentasjon, og få et grunnlag for å kunne vurdere når de ulike representasjonsformene bør brukes Kunne litt om approksimasjoner, diskretisering og interpolasjon Kunne litt om anvendelser av representasjoner av geometri Kunne litt om SVG et XML-basert språk for vektorrepresentasjon Kapittel 8, 14.5 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-1 INF1040-tall-1 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-2 INF1040-tall-2 Punkter i endimensjonalt rom Skalarer Vi har sett på heltall og fltende tall Tall har en naturlig, innebgd ordning vi kan avgjøre om et tall er mindre, lik eller større enn et annet Et tall kan oppfattes som punkt på en akse, med verdien som koordinat Slike verdier kalles også skalarer Skalarer kan regnes med Verdiene er 0-dimensjonale i et endimensjonalt rom På grunn av datamaskinens begrensede presisjon kan bare et fåtall av alle mulige punkter (det er uendelig mange representeres eksakt π 7 13 Punkt i todimensjonalt rom I et todimensjonalt rom, også kalt et plan, trenger vi to ortogonale akser et kartesisk koordinatsstem. For å representere et punkts beliggenhet i planet trengs et koordinatpar Eksempler: 1 ( 1, 1 b imaginær del b 1 a 1 +i*b 1 geografisk bredde 59,15 Oslo origo nttår år 0 nttår år sept. t 1 a 1 a reell del 10,12 geografisk lengde Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-3 INF1040-tall-3 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-4 INF1040-tall-4

2 Punkt i n-dimensjonalt rom Et punkt i det n-dimensjonale rom kan representeres med et sett av n koordinater Alternativ til kartesiske koordinater to dimensjoner På grunn av datamaskinens begrensede presisjon kan bare et fåtall av alle mulige punkter (det er uendelig mange representeres eksakt Nærliggende å skjule koordinatene i en datatpe Punkt ( 1, ( 1, 1, (2,4 (1.107, r=4.472 v= Polarkoordinater Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-5 INF1040-tall-5 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-6 INF1040-tall-6 Alternativer til kartesiske koordinater tre dimensjoner Diskretisering i rommet Punkter i flerdimensjonale rom må snappes til nærmeste representerbare punkt på samme måte som tall (punkter i det endimensjonale rom snappes til nærmeste representerbare tall h r v2 v1 Eksakt verdi r v Diskretisert verdi Slinderkoordinater Sfæriske koordinater Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-7 INF1040-tall-7 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-8 INF1040-tall-8

3 Verdier med utstrekning geometrier Rommets og verdiers dimensjonalitet En geometri beskriver et utsnitt av rommet En geometri kan eksistere uten at noe fller denne geometrien En geometri kan oppfattes som en uendelig mengde av punkter (en tett punktmengde punkt i rom punkt i flate punkt på linje 1 kurve i rom kurve i flate 2 rett linje på linje flate i rom 3 flate i flate volum i rom 4 Geometriens dimensjonalitet kan ikke være større enn rommets dimensjonalitet (se også neste lsark Rommets dimensjonalitet 0 navn Verdiens dimensjonalitet Tradisjonell skalar 2 Vanlig graf på papir 3 Vanlig i GIS, kalt 2 ½-dimensjonalitet 4 Vanlig i CAD/CAM Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-9 INF1040-tall-9 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-10 INF1040-tall-10 Eksempler på geometrier Dimensjonsløse representasjoner Endimensjonalt rom Navn ( merkelapper er i utgangspunktet uten dimensjon, og ikke plassert i noe rom Disse verdiene er 0-dimensjonale i et 0-dimensjonalt rom Todimensjonalt rom Eksempler: Etternavn, kjønnsbetegnelser (f.eks. M, K, boktitler, fødselsnummer, flkenummer, bilkjennetegn, Ingen naturlig, innebgd ordning kan imidlertid legges på ved å definere en sorteringsrekkefølge ( collating sequence Tredimensjonalt rom Kan ikke regnes med Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-11 INF1040-tall-11 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-12 INF1040-tall-12

4 Representasjoner av geometri Regulære geometrier En uendelig mengde punkter med uendelig presis beliggenhet kan ikke representeres i en datamaskin Endimensjonalt rom 1 2 Rett linje To ulike løsninger; Vektorrepresentasjon: Representere noen viktige punkter, og avlede de øvrige punktene matematisk ved behov. Egnet fortrinnsvis for regulære geometrier. Todimensjonalt rom ( 1, 1 Rett linje ( 2. 2 Sirkel r Rasterrepresentasjon Bgge opp representasjonen av et endelig antall punkter med utstrekning. Gir vanligvis bare en tilnærmet korrekt geometri. Tredimensjonalt rom ( 1, 1, 1 ( 2, 2, 2 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-13 INF1040-tall-13 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-14 INF1040-tall-14 Rett linje r Kuleskall Interpolasjonsteknikker Lineær interpolasjon i to dimensjoner Interpolasjon med konstant Lineær interpolasjon Interpolasjon med glatting Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-15 INF1040-tall-15 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-16 INF1040-tall-16

5 Rasterrepresentasjon Linje i endimensjonalt rom I rasterrepresentasjon bgges geometrien opp av punkter med utstrekning En linje er en endimensjonal verdi Linje Linjen er i teorien et aggregat av et uendelig antall punkter (en tett mengde Det er umulig å lagre koordinatene for alle disse punktene Istedenfor lagrer vi enten noen karakteristiske data pluss en algoritme for å regne ut punkter vi trenger ut fra disse dataene (vektorrepresentasjon Endimensjonalt raster Todimensjonalt raster med piksler Tredimensjonalt raster med voler eller en mengde punkter med utstrekning (rasterrepresentasjon Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-17 INF1040-tall-17 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-18 INF1040-tall-18 Vektorrepresentasjon av linje Vi antar at en linje har startpunkt 1 og sluttpunkt 2 (forutsetter 1 2 Da gjelder for ethvert punkt på linjen at 1 2 eller, uttrkt som matematiske mengder X = { 1 2 } eller X = { 1 + λ*( 2-1 λ [0,1] } Ethvert punkt på linjen kan beregnes ved hjelp av formelen 1 + λ*( 2-1, der λ er et passende tall mellom 0 og 1 Alternativt kan vi angi startpunktet og lengden L formelen blir da 1 + λ* L Altså: Representasjonen er karakteristiske data pluss en algoritme! Rasterrepresentasjon av linje Istedenfor å representere linjen med et uendelig antall punkter med ingen utstrekning, representerer vi den med et endelig antall punkter (her: linjestkker med en viss (liten utstrekning Eksempel: Anta at startpunkter og sluttpunkter bare kan være hele tall. En linje fra 3 til 9 kan da representeres med tallmengden 3,4,5,6,7,8,9 Hvert punkt har da en utstrekning på 1 startpunkt 1 2 endepunkt startpunkt endepunkt 1 2 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-19 INF1040-tall-19 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-20 INF1040-tall-20

6 Eksempler på linjer i endimensjonalt rom Strekningen Ål-Voss på Bergensbanen, der banen betraktes som en rett linje En etappe på Holmenkollstafetten, der stafettløpa betraktes som en rett linje En periode av tiden 16.sept. kl.12:15 14.sept Tidspunkter og perioder Perioden fra 16. sept. kl 12:15 til 16.sept. kl 14:00 15.sept 16.sept 17.sept 18.sept 16.sept. kl.14:00 19.sept 20.sept t t Perioden Uke 38 representert ved de 7 dagene i denne uka Oslo Start Ål 7. etappe Voss Bergen Mål Interessante spørsmål som kan stilles om tidspunkter og perioder: /01/01-/06/30 t Er tidspunkt t1 før, samtidig eller etter tidspunkt t2? Overlapper perioden p1 med perioden p2? Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-21 INF1040-tall-21 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-22 INF1040-tall-22 Hvor ligger algoritmene? Operatorer i programmeringsspråket ; Nå kommer + våren ; Metoder i datatper (objekter Integer(3.add(2 ; // add er ikke i Java API String( Nå kommer.concat( våren ; Punkt(1, 1.distance(Punkt(2, 2; Ved å bruke datatper (objekter og metoder behøver vi ikke utvide selve programmeringsspråket Linje/kurve i n-dimensjonalt rom Betraktningene omkring linjer gjelder her også, men I vektorrepresentasjon må vi ta stilling til presisjonen i representasjonen av karakteristiske data presisjonen i algoritmene (formelen for en rett linje er eksakt Kurve Hvis det ikke finnes noen egnet algoritme for vektorrepresentasjon er rasterrepresentasjon et aktuelt alternativ Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-23 INF1040-tall-23 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-24 INF1040-tall-24

7 Eksempler på linjer/kurver i todimensjonalt rom En strektegning Et strekkart (, Holmenkollstafettens løpeprofil (, Jernbanekrsninger (t, (se neste foil En elektrisk svingning (t, V En eiendomsgrense Sankthanshaugen Louises gate Wolffs gate Wilh. Færdens vei Vinderen st. Slemdal Besserud Gressbanen Holmendammen Frognerparken Nobels gate Eckerbergs gate Colbjørnsens gate Uranienborgveien Bislett Voss Mrdal Finse Ustaoset Geilo Ål Gol Nesben Hønefoss Eksempel: Togfremdrift på Bergensbanen km :00 12:00 14:00 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-25 INF1040-tall-25 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-26 INF1040-tall vekt Rasterrepresentasjon og vektorrepresentasjon med ulike algoritmer Raster Vektor med lineær interpolasjon Vektor med glatting Flater i todimensjonalt rom En flate er omsluttet av en lukket kurve Flater kan representeres i vektor- og rasterrepresentasjon Eksempler på interessante spørsmål: Ligger punktet P på flaten F? Overlapper flaten F1 flaten F2? Grenser flaten F1 til flaten F2? Eksempler på flater: år Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-27 INF1040-tall-27 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-28 INF1040-tall-28

8 Scalable Vector Graphics (SVG XML vektorgrafikk SVG er et XML-basert språk for todimensjonal geometri. SVG tillater tre tper grafiske objekter : Vektor-geometrier Rasterbilder (se senere Tekst Grafiske objekter kan grupperes og transformeres. Transformasjoner kan nestes. Man kan ha delvis transparente masker, filtre og skjemaer. Et eksempel på en SVG-fil svgeample_css.svg <?ml version="1.0" standalone="no"?> <!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG //EN" " <?ml-stlesheet tpe="tet/css" href="svgeample.css"?> <svg mlns=" <title>eample - simple use of SVG</title> <tet ="90" ="50 > Eample - simple use of SVG with CSS </tet> <line 1="100" 1="300" 2="300" 2="100" class="blackline" /> <line 1="100" 1="100" 2="300" 2="300" class="redline" /> <circle c="150" c="250" r="50" class="blackline nofill" /> <rect ="320" ="100" width="130" height="200" class="blueline greenfill" /> </svg> Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-29 INF1040-tall-29 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-30 INF1040-tall-30 Et eksempel på et stilark for SVG Fremvisning av SVG-fil med nettleser svgeample.css /* Stilark for svgeample_css */ tet {font-famil:verdana; font-sie:20; fill:blue} *.blackline {stroke:black; stroke-width:10;} *.redline {stroke:red; stroke-width:10} *.blueline {stroke:blue; stroke-width:5} *.nofill {fill:none} *.greenfill {fill:green} Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-31 INF1040-tall-31 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-32 INF1040-tall-32

9 SVG vær oppmerksom på Ikke alle nettlesere er like flinke med SVG - noen trenger en såkalt plugin Koordinatsstemet har origo øverst til venstre -aksen peker nedover Koordinater kan regnes i piksler, tpografiske punkter og centimeter To representasjoner for bilder Bilder kan representeres på Rasterformat (piksler - se senere forelesninger Vektorformat Den siste metoden krever at bildet deles opp i objekter, og at hvert objekt beskrives ved en rekke parametre. Dette forutsetter 1. Enten at bildet er forholdsvis enkelt (skisser, tegninger, CAD, kart, 2. Eller at det brukes et stort antall parametre for å generere noe som ligner på et naturlig bilde ( virtual realit. I det siste tilfellet er det naturlig å la objekter ha overflateegenskaper (varierende farge, refleksjonsegenskaper, tekstur, etc.. Se eksempel på neste lsark og Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-33 INF1040-tall-33 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-34 INF1040-tall-34 Raster- eller vektorbilde? Vektoranimasjon Når objektene er beskrevet på vektorform, kan man fltte på øepunktet, og få fram et ntt bilde av objektene. Hvis øet beveger seg langs en parametrisert bane, vil man få en sekvens av resultatbilder. Man kan legge på fade-in og fade-out effekter. Objekter kan endre størrelse, form og farge underveis. Objekter kan bevege seg i forhold til hverandre, og rotere. Totaleffekten er en animasjon. Er animasjonen tilstrekkelig kompleks, kan bilde -sekvensen se ganske virkelighetsnær ut, uten at det er egentlig er lagret noen bilder. Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-35 INF1040-tall-35 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-36 INF1040-tall-36

10 Litt om digitale kart Digitale kart ligger lagret på vektorform Avhengig av målestokk, kan Regioner og vann ligge som flater Veier ligge som linjer Bgninger o.l. ligge som punkter med en viss størrelse. Stedsnavn ligge som tekst Flater i n-dimensjonalt rom, n>2 En flate er en todimensjonal verdi I det n-dimensjonale rom, n>2, har vi muligheter for både plane og krumme flater Av spesiell interesse er lukkede flater: Ingen avgrensning i form av en lukket kurve Flaten krsser ikke seg selv Vektor- eller rasterrepresentasjon Hødekurver ligge som linjer Kartene er delt opp i mange lag, f.eks. for M711-serien: Stedsnavn, hødepunkt, bgg og anlegg, veier, markslagsgrenser, samferdsel, hødedata, kommunegrenser, flkesgrenser, vannkonturer, elver, etc. Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-37 INF1040-tall-37 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-38 INF1040-tall-38 Kuleskallet: Senteret ligger i punktet 0, 0, 0, radien er r X = {,, ( ( (- 0 2 = r 2 } Volumer i tredimensjonalt rom Et volum er en tredimensjonal verdi Et volum avgrenses av en omsluttende lukket flate Vektor- eller rasterrepresentasjon Triangulated irregular network (TIN Eksempler: Et punkt,, ligger i kulen dersom ( ( (- 0 2 r 2, eller X = {,, ( ( (- 0 2 r 2 } Et aggregat av to volumer (hvorav det ene er negativt Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-39 INF1040-tall-39 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-40 INF1040-tall-40

11 Quad-tre Oppsummering Skalarer (0-dimensjonale verdier i 1-dimensjonalt rom kan representeres direkte ved hjelp av et tall. 0-dimensjonale verdier dvs. punkter i høere dimensjoner må representeres av et sett koordinater en koordinat for hver dimensjon. Punkter som ikke kan representeres eksakt, må snappes til nærmeste representerbare punkt såkalt diskretisering. 1, 2, 3, - dimensjonale verdier kan representeres enten ved vektorrepresentasjon karakteristiske data + algoritme rasterrepresentasjon en mengde punkter med utstrekning I begge representasjoner er presisjonen et diskusjonstema Hvor mange og hvor presise karakteristiske data? Hvor gode algoritmer? Hvor store punkter med utstrekning? Geometrier kan ikke ha høere dimensjonalitet enn rommet de er plassert i. Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-41 INF1040-tall-41 Institutt for for informatikk Gerhard 16. Skagestein september 20. september 2006 INF1040-Utirommet-42 INF1040-tall-42