Arne B. Sletsjøe. Halden

Transkript

1 Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Halden

2

3 Akkurat det samme som gårsdagens måtte ha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkens egenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler, tilpasset elevgruppa.

4 Akkurat det samme som gårsdagens måtte ha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkens egenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler, tilpasset elevgruppa. Takk for oppmerksomheten!

5

6 2006: Kunnskapsløftet. Matematikk er en del av den globale kulturarven vår, og matematikk blir brukt for å utforske universet, systematisere erfaringer og forstå sammenhenger i naturen og i samfunnet.

7 2006: Kunnskapsløftet. Matematikk er en del av den globale kulturarven vår, og matematikk blir brukt for å utforske universet, systematisere erfaringer og forstå sammenhenger i naturen og i samfunnet. 1997: Reform 97. Ta utgangspunkt i problemer og situasjoner fra dagliglivet og la elevene utforske og oppdage matematikken.

8 2006: Kunnskapsløftet. Matematikk er en del av den globale kulturarven vår, og matematikk blir brukt for å utforske universet, systematisere erfaringer og forstå sammenhenger i naturen og i samfunnet. 1997: Reform 97. Ta utgangspunkt i problemer og situasjoner fra dagliglivet og la elevene utforske og oppdage matematikken. 1987: Mønsterplanen av Problemløsing er et sentralt moment i matematikkfaget. Matematikken kan brukes som et verktøy til å løse praktiske oppgaver i et samfunn som stiller andre krav og som har andre tekniske hjelpemidler enn tidligere. Arbeidet i matematikk skal bygge på og videreutvikle elevenes kreative og skapende evner.

9 1939: Normalplanen. Elevene skal lære å løse oppgaver som de får bruk for i dagliglivet, på en rask og sikker måte.

10 1939: Normalplanen. Elevene skal lære å løse oppgaver som de får bruk for i dagliglivet, på en rask og sikker måte. 1922/25: Normalplanen for landsfolkeskolen (1922), normalplanen for byfolkeskolen (1925). Tallene anskueliggjøres for de yngste barna ved hjelp av steiner, knapper, pinner og lignende.

11 1939: Normalplanen. Elevene skal lære å løse oppgaver som de får bruk for i dagliglivet, på en rask og sikker måte. 1922/25: Normalplanen for landsfolkeskolen (1922), normalplanen for byfolkeskolen (1925). Tallene anskueliggjøres for de yngste barna ved hjelp av steiner, knapper, pinner og lignende. 1604: Leseplan. De fire regneartene, brøk, ligninger med én ukjent og litt geometri.

12 Hovedområdene i faget er etter de siste planene: Tall og algebra Geometri Måling (Nytt emne i 2006) Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk (erstattet behandling av data i L97) Funksjoner (ungdomstrinnet og videregående opplæring) Økonomi (videregående opplæring) Kultur og modellering (videregående opplæring) Matematikk i dagliglivet (Med i L97, borte i 2006) Matematikkens historie (Med i L97, borte i 2006)

13 Euklids Elementer: Læreverk i matematikk skrevet av den greske matematikeren Euklid omkring 300 f.kr. Det mest innflytelsesrike verket i matematikkens historie, og trolig verdens mest kjente fagbok. Boken var i den vestlige verden lærebok i geometri i nærmere 2000 år.

14 Euklids Elementer: Læreverk i matematikk skrevet av den greske matematikeren Euklid omkring 300 f.kr. Det mest innflytelsesrike verket i matematikkens historie, og trolig verdens mest kjente fagbok. Boken var i den vestlige verden lærebok i geometri i nærmere 2000 år. Innehold(noen stikkord): Plangeometri, vinkelsum-teoremet, Pythagoras teorem, sirkler, forhold og proporsjoner, likeformede trekanter (relasjon mellom proporsjoner og geometri), kvadratrøtter, kvadratsetninger, primtall, Euclids algoritme, geometriske rekker, irrasjonale tall, 3-dimensjonal geometri, Platonske legemer.

15

16

17

18 Konklusjon for del 1, :

19 Konklusjon for del 1, : Matematiske sannheter og kunnskap er i stor grad de samme i dag, i 1604 og 300 f.kr. De vil også være den samme om N år, der N er et vilkårlig naturlig tall.

20 kunnskap m a noe som g ar kunnskap m a

21

22 kunnskap m a noe som g ar kunnskap m a

23 kunnskap m a noe som g ar kunnskap m a

24 Konklusjon for del 2, : Elevene er ikke de samme 300 f.kr, i 1604 eller i dag. De vil heller ikke være de samme om N år, der N er et vilkårlig naturlig tall, ekte større enn 13.

25 Kvartkvadratmultiplikasjon

26 Kvartkvadratmultiplikasjon (x + y)2 (x + y)2 4 4 = 1 4 (x 2 + 2xy + y 2 ) 1 4 (x 2 2xy + y 2 ) = 1 4xy = xy 4

27 Kvartkvadratmultiplikasjon (x + y)2 (x + y)2 4 4 = 1 4 (x 2 + 2xy + y 2 ) 1 4 (x 2 2xy + y 2 ) = 1 4xy = xy 4 Tabell over kvartkvadrater: n KK(n) = n

28 Kvartkvadratmultiplikasjon (x + y)2 (x + y)2 4 4 = 1 4 (x 2 + 2xy + y 2 ) 1 4 (x 2 2xy + y 2 ) = 1 4xy = xy 4 Tabell over kvartkvadrater: n KK(n) = n Eksempel: = KK(33) KK(3) = = 270.

29 Rotutdraging

30 = Rotutdraging

31 = Rotutdraging Grupperer i to og to siffer, 16, 97, 44. Finner største kvadrat mindre enn eller lik 16, dvs. 4 2 =

32 = Rotutdraging Grupperer i to og to siffer, 16, 97, 44. Finner største kvadrat mindre enn eller lik 16, dvs. 4 2 = Trekker fra og trekker samtidig ned neste par

33 = Rotutdraging Grupperer i to og to siffer, 16, 97, 44. Finner største kvadrat mindre enn eller lik 16, dvs. 4 2 = Trekker fra og trekker samtidig ned neste par Skal finne største hele positive tall m slik at m multiplisert med m er mindre enn eller lik 97, dvs. m = 1. Regner ut og trekker ned siste par

34

35 Gjør det samme en gang til, finner det største tallet m slik at m multiplisert med m er mindre enn eller lik Det betyr m = 2, siden =

36 Rotutdraging = 412

37 Logaritmer John Napier, baron av Murchiston ( ), skotsk godseier og matematiker. Rgnes som oppfinneren av logaritmer (av gresk logos+arithmos) Formålet var å forenkle tidkrevende utregninger innenfor bl.a. navigasjon og trigonometri Bruker at ethvert tall kan skrives som en potens, og at f.eks. multiplikasjon kan omgjøres til sum av eksponentene i to potenser med samme grunntall = 64 kan skrives som = 2 6, og utregningen blir da = 6 med etterfølgende beregning av 2 6 = 64. Henry Briggs utarbeidet logaritmetabeller for grunntall 10 (praktisk i fohold til 10-tallssystemet)

38 : 10-tallsystemet gjorde det mye lettere å regne (kommet for å bli) Regneteknikker for å bli istand til å gjøre kompliserte beregninger (ikke lenger nødvendig) Kalkulus/differensial- og integralregning (funnet en mengde nye anvendelser etter Newton) Lineær algebra (kommer til å komme inn i skolematematikken)...

39 For grekerne var det geometri og tallteori som var matematikk og de oppfattet de to delene som uløselig knyttet til hverandre.

40 For grekerne var det geometri og tallteori som var matematikk og de oppfattet de to delene som uløselig knyttet til hverandre. Araberne introduserte algebra

41 For grekerne var det geometri og tallteori som var matematikk og de oppfattet de to delene som uløselig knyttet til hverandre. Araberne introduserte algebra og Newton og Leibniz utviklet analyse som et hjelpemiddel til å forstå - og utlede viktige konsekvenser av - de fysiske lovene.

42 For grekerne var det geometri og tallteori som var matematikk og de oppfattet de to delene som uløselig knyttet til hverandre. Araberne introduserte algebra og Newton og Leibniz utviklet analyse som et hjelpemiddel til å forstå - og utlede viktige konsekvenser av - de fysiske lovene. Etter den tid har det matematiske byggverket økt i omfang, drevet fram av mange menneskers ønske om - og evne til - å forstå kompliserte tankekonstruksjoner. Denne spesielle motivasjonen, matematikerens uegennyttige, og - vil mange si - unyttige intellektuelle streben etter å forstå det Platon kalte den høyeste form for visdom, uoppnåelig for andre vitenskaper, har i sin tur ført med seg en akselerert teknologisk utvikling.

43 Matematikk er også et språk, et universelt sådan. Matematiske formuleringer er like uansett hvor i verden de formuleres. Matematikk som språk er entydig, det er ikke rom for tvetydigheter og det er derfor det beste hjelpemiddel som finnes til å beskrive en eksakt vitenskap.

44 Matematikk er også et språk, et universelt sådan. Matematiske formuleringer er like uansett hvor i verden de formuleres. Matematikk som språk er entydig, det er ikke rom for tvetydigheter og det er derfor det beste hjelpemiddel som finnes til å beskrive en eksakt vitenskap. Matematiske sannheter er det eneste i verden som varer evig, de svekkes ikke og de styrkes ikke. Euklids plangeometriske resultater var sanne da de ble formulert og de er sanne den dag i dag. Like gamle medisinske sannheter blir nok i dag oppfattet som et mildest talt tvilsomt grunnlag for å stille diagnoser.

45 Konklusjon for del 3, :

46 Konklusjon for del 3, : Enkelte små deler av matematikken byttes ut som en følge av kortsiktige historiske utviklingstrekk. Men faget ligger i det store og hele fast, har gjort det i flere tusen år, og vil på grunn av matematikkens egenart fortsatt ligge fast i N år, igjen for et vilkårlig naturlig tall N.

47 Matematikklærerens utfordring, del 1:

48 Matematikklærerens utfordring, del 1: Det viktigste innholdet i en matematisk forståelse på et hvert nivå er evnen til å tenke logisk stringent, evnen til å følge resonnementer, både muntlig og gjennom skriftlige symbolmanipulerende framstillinger. Det er å beherske en del teknikker til fingerspissene og det er evnen til å analysere problemstillinger på en slik måte at grunnlaget for å velge strategier for å løse problemene ikke kun baserer seg på synsing, men har en forankring i det rasjonelle.

49 Matematikklærerens utfordring, del 2: Denne kompetansen øves opp gjennom det mange vil oppfatte som hardt mentalt arbeid der ens personlige abstraksjonsnivå skrittvis flyttes oppover og det vanskelige etterhvert blir lett. Det er ingen snarveier, men for de fleste vil det være bedre å nå toppen etter å ha klatret opp framfor å bli fløyet inn med helikopter. Utsikten er den samme, men den personlige erfaringen er ig.

50 Matematikklærerens utfordring, del 3: Matematikklærerne må ha tilstrekklig kunnskaper i faget, god innsikt i fagets egenart, og evne til å motivere elevene til å jobbe steinhardt med å heve sitt abstraksjonsnivå. De må evne å utfordre elevene på deres eget nivå, og klare å balansere sin undervisning til på samme tid å presentere matematikk som en kreativ prosess der valg av strategier ikke er forutbestemt og som et regelstyrt spill der kun ett korrekt svar er akseptabelt.

51 Matematikklærerens utfordring, del 3: Matematikklærerne må ha tilstrekklig kunnskaper i faget, god innsikt i fagets egenart, og evne til å motivere elevene til å jobbe steinhardt med å heve sitt abstraksjonsnivå. De må evne å utfordre elevene på deres eget nivå, og klare å balansere sin undervisning til på samme tid å presentere matematikk som en kreativ prosess der valg av strategier ikke er forutbestemt og som et regelstyrt spill der kun ett korrekt svar er akseptabelt. (Kanskje ikke verdens enkleste oppgave, men desto mer tilfredstillende når lærerens entusiasme nesten umerkelig konverteres til en opplevelse hos eleven av å forstå, av å mestre og av å evne å bruke kunnskapen til å takle nye utfordringer.)

52 Aksiom. Lærerene må være gode på det vi ønsker at elevene skal bli gode på. Korollar. Dersom lærerne ikke behersker et emne, en metode eller en teknikk, så vil heller ikke elevene komme til å gjøre det.

53 Noen erfaringer med nye studenter ved Universitetet i Oslo: Mangelfull automatisering mht. symbolmanipulering. Enkel brøkregning; , eller Elementær algebra, f.eks. 1. kvadratsetning, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 eller baklengs, x 2 + y 2 er ikke det samme som x + y (selv om mange åpenbart tror det).

54 Logisk stringens ved løsning av likninger 2x = 1 betyr ikke at x = 2 Hvis x 2 = 1, så er x = 1. Hvis vi kjører fra A til B med hastighet 60 km/t, og tilbake med hastighet 80 km/t. hva er gjennomsnittshastigheten på hele turen?

55 Logisk stringens ved løsning av likninger 2x = 1 betyr ikke at x = 2 Hvis x 2 = 1, så er x = 1. Hvis vi kjører fra A til B med hastighet 60 km/t, og tilbake med hastighet 80 km/t. hva er gjennomsnittshastigheten på hele turen? (Umulig å svare på, men aldri 70 km/t)

56 Følelse for tall Hvilket tall er størst, 0.3 eller 24 71? Primtallsfaktorisering; 63 =, 225 =?

57 Innsikt i matematisk modellering Tekstoppgaver eller uoppstilte likninger, oversette til matematisk språk

58 Matematikkundervisningens paradoks: Matematikk dreier seg ikke i størst grad om å finne svar, men om å finne metoder for å finne svar. Men hva skal du med metoder for å finne svar når du ikke er interessert i svaret?

59 Oppgave. Fire naboer har 6 ting hver, men de har alle 2 ting felles med hver nabo de har felles gjerde med. I hjørner der tre eiendommer møtes vil de tre naboene ha en av tingene sine felles. Ellers har ingen ting mer enn to eiere. Dersom eiendommene ser ut som på figuren, hvor mange ting har de fire naboene til sammen?

60 Svar. De har 16 ting til sammen.

61 Svar. De har 16 ting til sammen. Hvorfor? Legger vi sammen de fire antallene, får vi 24. Men da har vi talt med alle fellestingene flere ganger, 10 ting, for å være presis, 2 for hvert fellesgjerde. Dermed må vi trekke fra 10 og får 14. Men siden vi har to 3-riks-grenser betyr dette at vi trekker fra 2 ting en gang for mye, og vi må legge til 2 for å få det rette svaret, altså = 16.

62 Svar. De har 16 ting til sammen. Hvorfor? Legger vi sammen de fire antallene, får vi 24. Men da har vi talt med alle fellestingene flere ganger, 10 ting, for å være presis, 2 for hvert fellesgjerde. Dermed må vi trekke fra 10 og får 14. Men siden vi har to 3-riks-grenser betyr dette at vi trekker fra 2 ting en gang for mye, og vi må legge til 2 for å få det rette svaret, altså = 16. Svaret på denne oppgaven er totalt uinteressant, men måten vi finner løsningen åpner et lite univers for oss, den antyder en generell formel med mye større nedslagsfelt enn dette lille eksemplet.

63 Svar. De har 16 ting til sammen. Hvorfor? Legger vi sammen de fire antallene, får vi 24. Men da har vi talt med alle fellestingene flere ganger, 10 ting, for å være presis, 2 for hvert fellesgjerde. Dermed må vi trekke fra 10 og får 14. Men siden vi har to 3-riks-grenser betyr dette at vi trekker fra 2 ting en gang for mye, og vi må legge til 2 for å få det rette svaret, altså = 16. Svaret på denne oppgaven er totalt uinteressant, men måten vi finner løsningen åpner et lite univers for oss, den antyder en generell formel med mye større nedslagsfelt enn dette lille eksemplet. Neste time: Splines - grunnleggende teori og anvendelser.

64 Akkurat det samme som gårsdagens måtte ha, dvs. fagkunnskap, entusiasme, innsikt i matematikkens egenart og et vidt spekter av pedagogiske virkemidler, tilpasset elevgruppa. Takk for oppmerksomheten!