Obligatorisk Oppgave IN357

Transkript

1 Obligatorisk Oppgave IN357 Hermann Lia Institutt for Informatikk 4. oktober 1998 Denne obligatoriske oppgaven i IN357 skal løses av hver enkelt student som tar kurset. Det er naturligvis fint hvis 2 eller flere samarbeider om en løsning. Oppgaven må være godkjent før en kan gå opp til eksamen. Løsningen skal leveres som en raport som dokumenterer hvert enkelt punkt i besvarelsen. Hver enkelt velger selv programmeringspråk. Programmet skal være tilstrekkelig godt dokumentert slik at en kan følge algoritmene ved å lese dokumetasjonen. En listing av programmet leveres med raporten som et vedlegg. Frist for innlevering er Torsdag 19 november 1998 kl Oppgaven leveres til Hermann Lia. 1 Metoder for multippel aksess Et moderne telesystem representerer en felles resurs i den forstand at flere brukere kan hente tjenester fra samme sted. Dette krever en tilgangskontroll som kalles multippel aksess. Det finnes 3 forskjellige måter for å oppnå multippel aksess. Disse er: 1. FDMA Frequency Division Multiple Access 2. TDMA Time Division Multiple Access 3. CDMA Code Division Multiple Access I FDMA brukes en del av båndbredden hele tiden. I TDMA brukes hele båndbredden i en del av tiden. I CDMA brukes hele båndbredden hele tiden. Siden denne oppgaven skal behandle CDMA er det denne metoden som beskrives i denne oppgaveteksten. 2 CDMA CDMA er en metode som tillater flere brukere å benytte samme resurs samtidig. Den mest karakteristiske egenskapen ved denne metoden er at alle brukerne bruker samme frekvensbånd samtidig. Dette gir en god utnyttelse av den tilgjengelige båndbredden, men stiller store krav til signalbehandling på mottaker for å skille én bruker fra de andre brukerne. Teorien for CDMA er en fin anvendelse av Shannon s kanalteorem.

2 3 Shannon s kanalteorem Når en skal beskrive CDMA er det naturlig å ta utgangspunkt i Shannon s kanalteorem. Det sier Gitt en kanal med kapasitet C [bit/s]. Det finnes en kode slik at en kan overføre data på denne kanalen med en rate R så nær opptil C en måtteønskeogdetmedenvilkårlig liten feilrate. Hvis vi innskrenker oss til å behandle AW GN (Additive White Gaussian Noise) kanaler er kapasiteten gitt ved Shannon Hartley s formel. ( C = B log 2 1+ S ) [bit/s] (1) N En ser at en kanal har en kapasitet uansett hvor lite signal støyforholdet er, bare S/N > 0. Signal støyforholdet er imidlertid ikke et entydig mål for ytelsen til en kanal fordi det er avhengig av kanalens båndbredde. Siden kanalen har hvit gaussisk støy kan støyen beskrives ved sin spektrale tetthet N 0. En kan vise at forholdet mellom energien i ett bit og den spektrale tettheten av støyen, E b /N 0, er et absolutt mål for ytelse. E b /N 0 må imidlertid være større enn et bestemt positivt tall. Dette er vist ved følgende utledning. Vi ser på grensetilfellet for kapasiteten til en AW GN kanal når båndbredden går mot uendelig. ( C = B log 2 1+ S ( )= SN0 log N 2 1+ S ) N0 B/S (2) N 0 B lim C = S log B N 2 (e) (3) 0 N 0 er den spektrale tettheten av støyen. S = E b /T b der T b er varigheten av ett bit. R =1/T b er dataraten. Hvis vi kommuniserer med en datarate opptil kanalkapasiteten, slik Shannon sier er mulig, er R = C =1/T b. Dette gir S = E b C C =log 2 (e) Eb C N 0 Dette gir E b N 0 1 = ln(2) (4) log 2 (e) Det tilsvarer [E b /N 0 ]= 1.6 db. Dette er den nedre grense for E b /N 0 hvis vi oppretholder kravet om vilkårlig liten feilrate. Sammenhengen mellom S/N, E b /N 0, R og B er gitt ved S N = E b R (5) N 0 B Ytelsen til systemet er bestemt av E b /N 0.EnseratselvmedetfastE b /N 0 vil signal støyforholdet på kanalen være avhengig av forholdet mellom datarate og båndbredde. Hvis en sampler i mottaker en gang per bit får vi en samplingsrate lik R. Den nødvendige båndbredden er da gitt ved B = R/2. Dette gir S =2 Eb (6) N N 0 2

3 Dette er det høyeste S/N en kan ha med én bestemt E b /N 0. Det opptrer i det tilfellet da en bruker et signaltilpasset filter på mottaker. Det finnes andre muligheter der en med bestemte spredekoder kan spre effekten utover en større båndbredde slik at forholdet R/B avtar. Dette er prinsippet for Direkte Sekvens Spredt Spektrum,DSSS. Anta et binært system der en skal overføre de binære sifrene 1 og 0. En velger en spredekode for hvert av disse sifrene. En spredekode veksler mellom +1 og 1 et bestemt antall ganger i løpet av et bit. Kodens varighet er T b [s]. Den korteste avstanden mellom to suksesive transisjoner i koden kalles en chip. Antall chipper i koden er L som blir kodens lengde. Varigheten til én chip blir T c = T b (7) L R c =1/T c kalles chipraten. I vårt eksempel betrakter vi et binært system der ett bit representeres med 2 koder. Den ene koden når verdien til bittet er 0 og den andre koden når bittet er 1. I det generelle tilfellet har en M ary signalering. Det vil si at en sender symboler som inneholder flere bit. Ett bestemt symbol tilordnes én bestemt spredekode av lengde L. Hvis vi antar at ett symbol inneholder m bit og symbolet tilordnes en spredekode med lengde L chipper får vi en spredning på L/m chipper per bit. Denne størrelsen er karakteristisk for spredt spektrum systemer. Den kalles prosesseringsgevinsten PG. PG = L m (8) Båndbredden til systemet øker med prosesseringsgevinsten. Dermed kan en uttrykke signal støyforholdet på følgende måte S N = E b R N 0 B PG = E b R N 0 B m L (9) Nå antar vi at mottaker har et signaltilpasset filter slik at B = R/2. Da får vi S N Eb =2 m N 0 L (10) Vi velger størrelsen på symbolene, det vil si m. Det modulasjonsprinsippet som er valgt krever et bestemt E b /N 0 for å gi en bestemt symbolfeilrate. Da ser vi at signal støyforholdet på kanalen avtar når L øker. Nå antar vi at kanalen skal benyttes av K brukere. Vi antar videre at en bruker binær signalering, det vil si m =1.Brukerker tildelt koden c k (n), n= 1 L, for binær 1 og koden c k (n), L, for binær 0. Problemet med multippel aksess er å gjenvinne ett enkelt signal i et spekter av mange signaler. Ved FDMA gjenvinnes de enkelte bærebølgene ved en båndpassfiltrering. Ved T- DMA velges de enkelte brukerne ut fra betsemte tidsluker. Det er mulig å oppnå en perfekt gjenvinning hvis signalene til de enkelte brukerne er ortogonale. Det vil si at krysskorrelasjonen mellom de forskjellige signalene er null. Både FDMA og TDMA signalene er ortogonale. For CDMA er gjenvinningsprosessen mere komplisert, men en benytter også i det tilfellet ortogonale koder. Ortogonaliteten kan uttrykkes ved c i (n) c j (n) = { Es for i = j 0 for i j (11) 3

4 Når i = j får vi energien i en kodesekvens som er det samme som energien i et symbol. Når i j ser vi at indreproduktet mellom c i (n) ogc j (n) er null. Det vil si at kodene er ortogonale og de interferer ikke med hverandre. Hvis antall brukere K er stor, er det vanskelig å finne K forskjellige koder som alle er perfekt ortogonale. Dette setter en grense for antall brukere per kanal med en betsemt utgangseffekt og støynivå. Nå antar vi at alle K brukerne er på kanalen. Da finnes det på kanalen et signal K v(n) = d k c k (n)+w(n) (12) k=1 der d k er enten +1 eller 1 avhengig om bruker k sender en binær 1 eller en binær 0. Nå antar vi at mottaker k ønsker å finne sin dataverdi d k for åta beslutningen om det er sendt 1 eller 0. Mottaker k tar innkommende signal og korrelerer med kode c k (n). Dette gir r k = r k = v(n) c k (n) = d k c k (n) c k (n)+ j=1 K d j c j (n) c k (n)+ w(n) c k (n) (13) n=0 d j c j (n) c k (n)+ j k w(n) c k (n) (14) Dette gir r k = d k E s + w s + w n (15) Mottaker k har fått en korrelasjonsverdi r k som består av 3 komponenter. Den første komponenten d k E s representerer det ønskede signalet. Hvis d k E s = E s har senderen sendt 1. Hvis d k E s = E s har senderen sendt 0. Beslutningen om det er den ene eller den andre er imidlertid befengt med en usikkerhet fordi det i korrelasjonsverdien r k også befinner seg 2 støykomponenter, w s og w n. w s er støy på grunn av interferens mellom kodene til de K 1 andre brukerne. w n er korrelasjon med den hvite støyen på kanalen. Hvis vi antar at både w s og w n har null middelverdi vil bruker k bruke beslutningsregelen som sier at hvis r k > 0 har han mottatt 1. Ellers har han mottatt 0. Vi skal se nermere på uttrykket for w s. w s = k j d k c k (n) c j (n) = k j L d k c k (n) c j (n) (16) Dette viser at hvis kodene c k og c j er perfekt ortogonale blir w s =0.Daharvi et perfekt multippel aksess system. De kodene som brukes i spredt spektrum kan genereres på forskjellige måter. Én måte er å lage såkalte maksimal lengdesekvenser ved å klokke et tilbakekoblet skiftregister. En annen måte er å trekke verdier fra en kaosgenerator. Da får vi det som kalles kaossekvenser. Disse har vært mye brukt i militære anvendelser fordi de har en høyere EK (Elektronisk Krigføring) resistens en m- sekvensene. Nå antar vi at K brukere er på kanalen og bruker k skal demodulere sine data. Vi antar at alle kommer inn med samme effekt. Selv om kodene til de K brukerne er tilnærmet ortogonale vil én bruker oppfatte de andre som støy. De forskjellige senderne befinner seg på forskjellige steder og de sender data asynkront. Det 4

5 betyr at de forskjellige kodene starter på forskjellig tidspunkt. Bruker k bruker koden c k (n) forå demodulere. Den store utfordringen blir å finne ut hvilken betydning de andre K 1 brukerne har på k sin demodulasjonsprosess. Bruker j sender koden c j (n). Sett fra bruker k er chippene i c j (n) en stokastisk variabel med verdiene +1 og 1 fordi kodene velges slik at det er like mange +1 som 1i alle kodene. Vi kan derfor definere en stokastisk variabel X j der P (X j =1)=0.5 og P (X j = 1) = 0.5. Denne variabelen får tetthetsfunksjonen f Xj (n) =0.5 δ(n+1)+0.5 δ(n 1) (17) Summen av kodene til bruker i og bruker j blir en ny stokastisk variabel med en tetthetsfunksjon som er lik foldningen av f Xj med f Xi.Brukerkser summen av de K 1 andre kodene. Siden alle kodene har samme statistikk vil summen få en tetthetsfunksjon som er foldningen av f Xj K 1 ganger. Nå kan vi bruke statistikkens sentralgrenseteorem som sier at summen av K identisk fordelte stokastiske variable får en tetthetsfunksjon som konvergerer mot en normalfordeling når K går mot uendelig. Det betyr at hvis K er tilstrekkelig stor vil bruker k oppfatte de K 1 andre brukerne som en normalfordelt stokastisk variabel. Siden kodene er valgt som kaossekvenser er de ukorrelerte. Da har summen av de 0 korrelasjonslengde. Det betyr at sett fra bruker k er de K 1 andre brukerne en hvit gaussisk prosess på samme måte som den systemstøyen som er karakterisert ved sin spektrale tetthet N 0.DeK 1 andre signalene har et flatt effekttetthetspekter. Anta at bruker k er representert med effekten. Han opptar en båndbredde. Siden effekttetthetspekteret til bruker k er flatt vil han oppfattes som støy av de andre brukerne. Det vil si at han bidrar med en støytetthet N k = (18) Denne støytettheten adderer seg til N 0 som er tettheten til den additive hvite gaussiske støyen på kanalen. N 0 = k T s der k er Bolzmans konstant og T s er systemets temperatur. Den totale støytettheten fra de K 1 interfererende brukerne blir N K =(K 1) Pk Den totale støytettheten i systemet blir N t =(K 1) Pk + N 0 (19) Forholdet mellom effekten fra én bruker og den spektrale tettheten av støyen totalt er gitt ved N t = (K 1) / + N 0 (20) Nå betrakter vi to forskjellige tilfeller. Vi ser først på det tilfellet at (K 1) << N 0 Da blir ytelsen til systemet bestemt av = N t N 0 5

6 Kvaliteten til systemet er bestemt av effekten fra hver enkelt bruker og ikke antall brukere. Vi sier at vi har et effektbegrenset system. Så ser vi på det tilfellet at (K 1) >> N 0 Da får vi at N t = = (K 1) / K 1 = B PG K 1 (21) I dette tilfellet øker ytelsen med prosesseringsgevinsten, det vil si spredningen, og den avtar med antall brukere. En viktig konsekvens av dette er at en kan lage et system med flere brukere hvis en øker kodelengden og dermed spredningen forhverbruker. Vi skal relatere dette til E b /N 0. N t = K 1 (22) N = 1 K 1 = E b R N 0 B m (23) L B L K = R m 1 E b +1 (24) N 0 Hvis vi antar at vi bruker et signaltilpasset filter på mottaker har vi at B = R/2. Det gir den enkle sammenhengen PG K = +1 (25) 2 Eb N 0 der a betyr heltallsdelen av a. 3.1 Generering av spredekoder Generering av spredekoder kan gjøres på forskjellige måter. Gold koder har vært mye brukt for korte koder. Maksimal lengde sekvenser kan genererers med tilbakekoblede skiftregistre. Hvis en trenger mange og lange spredekoder kan en lage sekvenser som såkalte kaossekvenser. En kaossekvens genereres fra en rekursiv kaosgenerator på formen x(n +1)=λ x(n)[1 x(n)] (26) En passende verdi av λ er Anta at vi skal lage en kode c(n) n =1 L.Vi trekker en verdi fra en randomgenerator som er uniformt fordelt på intervallet [0 1). x(1) settes lik denne verdien. Hvis x(1) > 0.5 settes c(1) = 1 ellers settes c(1) = 1. Nå genererer en de andre verdiene for n =2 L med den rekursive ligningen 26. 6

7 3.2 Undertrykkelse av interferenser og ikkegausisk støy DS spredt spektrum har en god evne til å undertrykke interferenser. En interferent er ofte et smalbåndet signal med en lang korrelasjonstid. Interferenten legger seg oppå spredekoden og blir en additiv støy. Når det totale signalet korreleres vil interferensern bli multiplisert med en spredekode. Dette fører til en randomisering av interferensen som fjerner mesteparten av korrelasjonene i signalet. Set fra demodulatorens side vil derfor interferensen opptre som hvit støy og blir dermed undertrykt i korrelasjonsprosessen. Anta at vi har en jammer med effekt J. Fordi interferensen blir spredt utover hele båndbredden i korrelasjonsprosessen gir det mening å innføre den spektrale tettheten av interferensen. J 0 = J B der J er interferensens effekt og B er kanalens båndbredde. J 0 er den spektrale tettheten av interferensen. Systemets ytelse vil nå bli bestemt av forholdet mellom energien i ett bit og den spektrale tettheten av interferensen, det vil si E b /J 0. Dermed kan vi skrive E b J 0 = S T b J/B = S J B R (27) Dette viser at for ett bestemt E b /J 0 som gir én bestemt ytelse kan en tåle en kraftigere jamming hvis en øker båndbredden. Bådbredden kan økes ved åøke lengden på spredekodene, det vil si prosesseringsgevingsten PG.Vikanskrive ligning 27 på formen E b = B/R (28) J 0 J/S Forholdet J/S kalles jammemarginen. Av dette ser en at ett bestemt E b /J 0 som gir én bestemt ytelse kan gi en større jammemargin hvis en øker båndbreddeekspansjonen B/R. I praksis betyr det lengere spredkoder som fører til en større båndbredde med samme datarate. 4 Oppgaven Oppgave 1 Denne oppgaven går ut påå simulere noen egenskaper ved spredt spektrum teknologi i forbindelse med CDMA i et telekommunikasjonsystem. En bruker binær signalering. 1.1 Velg kodelengde L = 512. Lag en spredekode c(n), n =1 L,medden rekursive kaosgeneratoren x(n +1)=λ x(n) [1 x(n)] En passende verdi for λ er Kodene skal lages slik at det er like mange +1 som 1 i en kode. Du trekker en verdi fra en randomgenerator som gir uniformt fordelte verdier på intervallet [0 1). Hvis denne verdien er > 0.5 setter du c(1) = 1. Hvis ikke setter du c(1) = 1. Nå setterdux(1) 7

8 lik den verdien du har trukket. Nå genererer du x(2) med rekursjonen. Hvis x(2) > 0.5 setter du c(2) = 1. Hvis ikke setter du c(2) = 1. På samme måten genererer en c(3), c(4),, c(l). Når senderen skal sende binær 1 sender den c(n), n =1 L.Når senderen skal sende binær 0 sender den c(n), n =1 L. 1.2 Lag 2 koder. Beregn og plott effekttetthetsspekteret for hver enkelt av de 2 kodene og for summen av de. 1.3 Beregn og plott autokorrelasjonsekvensen for hver av de 2 kodene. 1.4 Beregn og plott krysskorrelasjonsekvensen mellom de 2 kodene. 1.5 Nå skal du lage 10 forskjellige koder c 1 c 10. Alle kodene summeres synkront og danner det totale signalet 10 s(n) = c k (n) k=1 n =1 L 1.6 Vis et utsnitt av s(n) grafisk. 1.7 Beregn effekttethetspekteret til s(n) og vis dette grafisk. Sammenlign med spekteret til én kode. 1.8 Når bruker k, k =1 10, skal sende binær 1 sender han koden c k.når han skal sende binær 0 sender han c k.nå trekker du 10 forskjellige dataverdier d 1 d 10 fra en uniform random generator. Det vil si at du harenvektorsomforeksempel d=[ ] Med utgangspunkt i denne datavektoren danner du signalet 10 s(n) = [2 d(k) 1] c k (n) n =1 L k=1 Anta at du er bruker 6. Det betyr at du skal motta sifret d(6). Nå skaldu forsøke å gjenvinne verdien av d(6) fra s. Dette gjør du ved å korrelere s med c 6.Detgir r 6 = s(n) c 6 (n) Hvis r 6 > 0 har senderen sendt binær 1. Hvis ikke har den sendt binær 0. Kontroller med innholdet i d. Gi et overslag på hvor mange brukere dette systemet kan håndtere hvis feilraten for hver bruker skal være i området Signalet s utsettes for en jammer med effekt J. Perioden på interferensern er T j =10 T c der T c er varigheten til en chip. Det er fremdeles 10 brukere på kanalen. Hvor stort kan forholdet J/S være før interferensen fører til en bitfeilrate på0.1? S er signaleffekten fra én bruker. Hvor stort kan J/S være for en bitfeilrate på 0.1 hvis det er bare én bruker? 8

9 1.10 Anta at alle 10 brukerne er på kanalen. Kanalen utsettes for en jammer med samme signaleffekt som én bruker. Beregn og plott effekttethetspektret for signalet på kanalen Beregn og plott bispekteret til én kode Beregn og plott bispekteret til summen av alle kodene Beregn og plott bispekteret til signalet på kanalen når alle brukerne er aktive og kanalen utsettes for én jammer. 9