Nasjonal prøve i regning

Transkript

1 201 Bokmål Nasjonal prøve i regning Veiledning til lærere Oppfølging og videre arbeid med prøven for 8. og 9. trinn

2 Innhold Oppfølging og videre arbeid med prøven... 4 Hva måler nasjonal prøve i regning?... 4 Helhetlig problemløsningsprosess... 6 Hvordan følge opp resultatene?... 7 Mestringsnivåer... 7 Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultatene... 9 Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet?... 9 Hvordan kan læreren følge opp resultatene til elevgruppen? Hvordan kan læreren følge opp resultatene til den enkelte elev? Mer informasjon om årets prøve Et dypdykk i årets oppgaver Hvordan kan elevene utvikle regnestrategiene sine? Tall og algebra Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Måling og geometri Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave Statistikk og sannsynlighet Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave

3 Mestringsnivå Oppgave Mestringsnivå Oppgave

4 Oppfølging og videre arbeid med prøven Formålet med nasjonale prøver er å gi skolen kunnskap om elevenes ferdigheter i lesing, regning og engelsk. Informasjonen fra prøvene skal danne grunnlag for underveisvurdering og kvalitetsutvikling på alle nivåer i skolesystemet. Med utgangspunkt i dette kan læreren planlegge og følge opp arbeidet med prøvene. Det er viktig at læreren bruker både prøvene og analyserapporten med prøveresultatene aktivt når læreren gir elevene tilbakemelding og råd for videre oppfølging av prøveresultatet. Måten læreren veileder på, har stor betydning for elevenes læring. Analyserapporten finner læreren i PAS. Der finner læreren også en veiledningsvideo som viser hvordan rapporten kan brukes. Hva måler nasjonal prøve i regning? Læreplaner for fag i Kunnskapsløftet (LK06) inneholder kompetansemål der grunnleggende ferdigheter er integrert. De grunnleggende ferdighetene er en del av kompetansen som skal utvikles innenfor det aktuelle faget. En fagspesifikk beskrivelse av hver grunnleggende ferdighet i alle læreplaner for fag, tydeliggjør hva de grunnleggende ferdighetene innebærer. Den fagspesifikke beskrivelsen er en hjelp når læreren skal tolke eller finne igjen ferdighetene i de ulike kompetansemålene. Regning som grunnleggende ferdighet innebærer å kunne anvende matematikk i ulike fag når det er relevant og på de ulike fagenes premisser. Prøven for 8. og 9. trinn tar utgangspunkt i kompetansemålene og de fagspesifikke beskrivelsene av de grunnleggende ferdighetene i regning etter 7. trinn i LK06. Problembehandling, logisk resonnement, tolking og analysering av diagram og tabeller er eksempler på sentrale områder i læreplanene for flere fag, der det å kunne regne inngår som en grunnleggende ferdighet. Eleven må forstå oppgaven, beskrive hvordan han best kan løse den, gjennomføre regneoperasjonene og vurdere om resultatene er rimelige. Innholdet er knyttet til områdene tall og algebra, måling og geometri, og statistikk og sannsynlighet. Regnesymboler og regneoperasjoner inngår som en del av grunnleggende ferdighet i å kunne regne. Problemstillingene i oppgavene er situasjoner som eleven kan kjenne seg igjen i. Tall og algebra Området tall og algebra handler om tallforståelse og generalisering av tallregning ved at bokstaver eller andre symboler erstatter tall. Det innebærer å kvantifisere mengder og størrelser, utforske og beskrive geometriske mønster og tallmønster, kjenne igjen situasjoner som krever regning, og utføre beregninger. Måling og geometri Området måling og geometri handler om å kunne gjøre sammenligninger og utføre beregninger i emnene lengde, areal, volum, vinkel, masse, tid, målestokk, pris og valuta. Det innebærer bruk og omgjøring av måleenheter, og det å kunne tegne, beskrive og bruke geometriske begreper og figurer i ulike sammenhenger. Statistikk og sannsynlighet Området statistikk og sannsynlighet handler om å organisere, analysere, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger og å forutse hendelser. Å forutse hendelser dreier seg om å vurdere sjanser i dagligdagse sammenhenger og i ulike spill, beregne sannsynlighet i enkle situasjoner og kunne bruke ulike representasjoner for å uttrykke sannsynlighet. 4

5 Sentralt innhold i prøven for 8. og 9. trinn Gjenkjenne og beskrive konkrete situasjoner fra virkeligheten der matematikk er involvert, både i kontekster som elevene har god erfaring med, og i mer ukjente, sammensatte og kognitivt krevende kontekster. Eksempler på kontekster i prøvene kjøp og salg matlaging måling reiser idrett og andre fritidsaktiviteter kart undersøkelser (statistikk) (utføring og tolking) kontekster knyttet til fag Bruke og bearbeide matematiske begreper, prosedyrer, fakta og verktøy for å finne løsninger på problemer, både der det kan benyttes enkle strategier, og der det kreves mer effektive strategier. Problemene kan knyttes til ulike matematiske temaer. Eksempler på matematiske temaer i prøvene plassverdisystemet for hele tall og desimaltall de fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) begrepene brøk, desimaltall og prosent, og sammenhengen mellom dem algebraiske formler og mønster (tolking og bruk) temperatur, tid, masse, vinkler, lengde, areal og volum forhold (blandingsforhold, størrelsesforhold, valuta og målestokk) omgjøring mellom prefikser (f.eks. fra g til kg) egenskaper til geometriske figurer ulike typer tabeller og diagrammer (lesing, tolking og framstilling) sentralmål (gjennomsnitt, median og typetall) og representasjoner av data Reflektere over rimeligheten av egne svar og svaralternativer i flervalgsoppgaver, og vurdere om dette er gode svar på de problemene elevene skal løse. 5

6 Helhetlig problemløsningsprosess I Rammeverket for grunnleggende ferdigheter 1 består den grunnleggende ferdigheten i å kunne regne av fire ferdighetsområder: 1) gjenkjenne og beskrive, 2) bruke og bearbeide, 3) reflektere og vurdere, og 4) kommunisere. Disse fire ferdighetsområdene utgjør til sammen en helhetlig problemløsningsprosess. Å regne i fagene innebærer for eksempel å sette opp en matematisk modell for befolkningsvekst, finne ut hvilke mål en fuglekasse skal ha, eller vurdere en grafisk framstilling av valgresultatene fra et stortingsvalg. Når elevene regner i fag, må de arbeide seg gjennom ett eller flere trinn i problemløsningsprosessen. I en nasjonal prøve i regning skal elevene i de fleste tilfellene skrive inn et endelig svar eller velge korrekt svaralternativ. De har derfor svært begrensede muligheter til å kunne kommunisere. Dette ferdighetsområdet vil vi derfor ikke gå nærmere inn på i denne veiledningen. Gjenkjenne og beskrive (GB) Elevene skal kunne gjenkjenne situasjoner der det er hensiktsmessig å bruke regning. Det innebærer å gjenkjenne muligheter til å formulere matematiske problemstillinger knyttet til virkelige problemer de møter i faglige og dagligdagse kontekster og anvende matematikk til å løse problemstillingene. Det kan være situasjoner som handler om tallstørrelser, diagrammer, tabeller, geometriske former og måleenheter. I Rammeverket for grunnleggende ferdigheter er ferdighetsområdet beskrevet slik: «Gjenkjenne og beskrive innebærer å kunne identifisere situasjoner som involverer tall, størrelser og geometriske figurer som finnes i lek, spill, faglige situasjoner og i arbeids- og samfunnsliv. Det innebærer å finne relevante problemstillinger og å analysere og formulere dem på en hensiktsmessig måte.» I den nasjonale prøven vil denne ferdigheten være avgjørende for om elevene klarer å formulere det riktige matematiske problemet ut fra de gitte kontekstene. Bruke og bearbeide (BB) Elevene skal kunne anvende matematikk for å løse matematiske problemstillinger knyttet til faglige og dagligdagse kontekster. For å løse problemene må elevene forstå matematiske begreper, tolke og anvende opplysninger, resonnere og velge gode løsningsstrategier og bruke hensiktsmessige verktøy. I Rammeverket for grunnleggende ferdigheter er ferdighetsområdet beskrevet slik: «Bruke og bearbeide innebærer å kunne velge strategier for problemløsing. Det innebærer å kunne bruke passende måleenheter og presisjonsnivå, utføre beregninger, hente informasjon fra tabeller og diagrammer, tegne og beskrive geometriske figurer, bearbeide og sammenlikne informasjon fra ulike kilder.» 1 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter, Utdanningsdirektoratet 2012, 6

7 I den nasjonale prøven vil denne ferdigheten være avgjørende for de elevene som ut fra de gitte kontekstene, har klart å gjenkjenne og beskrive de riktige matematiske problemene. Utfordringen for disse elevene blir å utføre beregningene korrekt. Reflektere og vurdere (RV) Elevene skal kunne reflektere over, tolke og vurdere løsninger. Både løsningen og resonnementet må vurderes. Elevene må kunne avgjøre om resultatene de har funnet, er fornuftige og logiske ut fra den opprinnelige situasjonen. Vurderingen blir gjort på bakgrunn av den opprinnelige problemstillingen, den faglige konteksten og kunnskapen de har i faget. I Rammeverket for grunnleggende ferdigheter er ferdighetsområdet beskrevet slik: «Reflektere og vurdere innebærer å kunne tolke resultater, vurdere gyldighet og reflektere over hva resultatene betyr for problemstillingen. Det innebærer å bruke resultatet som grunnlag for en konklusjon eller en handling.» I den nasjonale prøven vil denne ferdigheten i tillegg få en annen dimensjon. Det skyldes at veldig mange av oppgavene er flervalgsoppgaver. Da kan elevene noen ganger finne korrekt svaralternativ bare ved å reflektere over hva som kan være mulig svar på problemet. Hvordan følge opp resultatene? For at læreren skal kunne følge opp elevene sine kort tid etter gjennomføringen, kan læreren hente ut resultater fra Prøveadministrasjonssystemet (PAS). Resultatene ligger i analyserapporten i venstremenyen i PAS. Der finner læreren også en kort veiledningsvideo som beskriver hvordan analyserapporten skal brukes. Mestringsnivåer I tillegg til oppgavene, blir elevene også plassert på mestringsnivå ut fra oppnådde skalapoeng. Prøven for 8. og 9. trinn har fem mestringsnivåer, der nivå 1 er det laveste og nivå 5 det høyeste nivået. Til hvert nivå følger en kort tekst som beskriver ferdighetene til den typiske eleven på dette nivået. Beskrivelsen av et nivå gjentar ikke ferdigheter som er beskrevet på et lavere nivå. Nivåene er bygd opp slik at en elev som skårer til nivå 2, kan antas å ha de ferdighetene som er beskrevet på nivå 1 og nivå 2. Kravene til å gjenkjenne og beskrive, bruke og bearbeide, samt reflektere og vurdere, øker med stigende mestringsnivå. Hvordan bruke mestringsbeskrivelsene? Det er viktig å være klar over at elevene innenfor hvert nivå har fått ulike skalapoeng på prøven, og at enkelte kan ha fått skalapoeng som ligger nær en grenseverdi mellom to nivåer. Beskrivelsene må derfor tolkes som generelle beskrivelser av ferdighetene til alle på dette mestringsnivået. Mestringsnivå 1 omfatter også elever som har fått ingen riktige svar på prøven (ca. 20 skalapoeng). Det betyr at noen elever får en beskrivelse som er mer positiv enn det prøveresultatet til eleven viser. Beskrivelsen av mestringsnivå 1 kan likevel være til hjelp for hvordan eleven kan utvikle ferdighetene sine. Uansett er det naturlig at læreren også støtter seg til annen informasjon når resultatene fra prøven skal brukes til å følge opp elevene. Etter gjennomføringen er det viktig at resultatene og faglige råd om veien videre kommuniseres med foreldrene, slik at de kan støtte opp om barnets utvikling. 7

8 Mestringsbeskrivelser - Nasjonal prøve i regning - 8. og 9. trinn Mestringsnivå 1 Mestringsnivå 2 Mestringsnivå 3 Mestringsnivå 4 Mestringsnivå 5 Den typiske elev på dette nivået gjenkjenner konkrete situasjoner som kan løses ved å bruke enkle strategier Den typiske elev på dette nivået velger hensiktsmessige regnearter og bruker ulike metoder for å finne svaret i oppgaver som krever ett trinn Den typiske elev på dette nivået løser enkle sammensatte problemer der tallene er enkle å regne med Den typiske elev på dette nivået ser sammenhenger mellom sammensatte problemstillinger og kjente løsningsmetoder. Eleven foretar i tillegg omgjøringer Den typiske elev på dette nivået bruker et variert utvalg problemløsningsstrategier. Eleven kan begrunne metodevalg og finne løsninger, både når det gjelder kognitivt krevende oppgaver og oppgaver med tall som er utfordrende å regne med Den typiske elev kan utføre addisjon og dobling/halvering med enkle tall velge passende prefiks i kjente kontekster lese av og lage enkle tabeller og diagrammer vurdere rimeligheten av svar i kjente kontekster med enkle tall Den typiske elev kan anvende addisjon, subtraksjon eller multiplikasjon for å løse enkle problemer bruke kjente brøker (eks: 1, 1, ) og prosent til å gjøre enkle beregninger beregne enkle tidsintervaller analog og digital tid lese av sammensatte tabeller og diagrammer Den typiske elev kan løse oppgaver som krever god kunnskap i plassverdisystemet løse oppgaver som krever divisjon og/eller multiplikasjon regne med prosent og brøk finne prosenttallet i oppgaver der tallene lett kan gjøres om til kjente brøker løse oppgaver som krever enkel algebraisk tenking relatere negative tall til tallinja løse oppgaver som krever omgjøring mellom de mest kjente prefikser løse oppgaver som krever kjennskap til geometriske egenskaper til trekanter, firkanter og sirkel 60-tallssystemet i min og s løse oppgaver som krever forståelse av gjennomsnitt reflektere over og vurdere rimeligheten av egne svar Den typiske elev kan løse oppgaver som krever algebraisk tenking løse oppgaver som krever omgjøring mellom alle prefikser løse oppgaver som krever omgjøring mellom måleenheter regne med areal og volum tolke, bearbeide og analysere diagrammer og tabeller gjøre overslag Den typiske elev kan løse oppgaver som krever regning med forhold vurdere, analysere og sammenligne datamateriale analysere og reflektere over svaralternativer og egne svar 8

9 Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultatene Under presenteres noen forslag til hvordan resultatene kan følges opp. Det er naturlig at dette arbeidet begynner i lærerkollegiet, før resultatene presenteres i klassen og brukes til å følge opp enkeltelever. Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet? Når skolen analyserer prøveresultatene, er det viktig å ta hensyn til lokale forhold, blant annet lokalt læreplanarbeid, satsingsområder og kjennetegn ved årskullet eller elevgruppen. Spesielt i små skoler og kommuner kan noen få elever som presterer veldig lavt eller veldig høyt, gi store utslag på resultatene. Resultatene må også vurderes ut fra det generelle inntrykket av elevenes ferdigheter, motivasjon og arbeidsinnsats. Spørsmål til refleksjon og diskusjon Finner vi mønstre eller tendenser i resultatene for vår skole eller i våre klasser? Har vi annen informasjon som bekrefter eller avkrefter resultatene fra nasjonale prøver? Indikerer resultatene fra nasjonale prøver at det er behov for ytterligere kartlegging? Hvilke konsekvenser får resultatene for skolens videre praksis? Hva kan vi gjøre for å forbedre de resultatene vi ikke er fornøyd med? Denne delen av veiledningen inneholder konkrete tips til hvordan lærerkollegiet kan samarbeide om oppfølging av resultatene. Vi har valgt å bruke temaet måling med en oppgave fra den nasjonale prøven i 2015 som et eksempel. Samarbeid i lærerkollegiet om resultatene for temaet måling Elevene ved «Langemyr skole» har gjennomført nasjonal prøve i regning. Lærerne har studert analyserapporten og sett at elevene skårer lavt innenfor området måling. I stor grad gjelder det oppgaver der omgjøring mellom prefikser er hovedfokuset. Spesielt legger lærerne merke til resultatet for oppgave 17. Analyserapporten viser at på landsbasis har omtrent 80 prosent av elevene løst oppgaven riktig, men ved «Langemyr skole» er løsningsprosenten bare 48 prosent. Ved oppfølging av resultater er det hensiktsmessig å ta utgangspunkt i oppgaver med lav løsningsprosent i elevgruppen. I årets prøve er det generelt omgjøring mellom prefikser som har gitt elevene store utfordringer. Nedenfor skisserer vi en modell som kan brukes i lærerkollegiet til å følge opp elevenes resultater. Den er generell og kan benyttes uavhengig av resultatet på egen skole. Utgangspunktet er oppgave 17 i nasjonal prøve 8. og 9. trinn høsten

10 Oppgave 17 IGP kan være en modell å arbeide etter i lærerkollegiet. Da arbeider lærerne først individuelt (I), deretter i gruppe (G), før gruppene til slutt oppsummerer i plenum (P). Forslag til struktur kan være: Individuelt Alle i kollegiet arbeider med oppgaven hver for seg. Nøkkelspørsmål til arbeid på individuelt nivå kan være: Hvordan tenker du når du løser denne oppgaven? På hvilken måte er oppgaven relevant for faget du underviser i? I hvilke emner i ditt eget fag har det betydning at elevene behersker prefikser? Hva kan årsaken være til at elever presterer lavt på denne typen oppgaver? Hvordan arbeider du med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag? Gruppe Kollegiet sitter sammen i mindre grupper og ser på utfordringene med og i selve oppgaven. Lærerne samtaler om løsningsstrategier og løsningsmetoder, og diskuterer problemstillinger knyttet til oppgaven og utregningen. Nøkkelspørsmål til arbeid i grupper kan være: Tenker læreren i samfunnsfag annerledes enn læreren i for eksempel mat og helse? Hvor relevante er oppgavene for de ulike fagene? Hvordan kan du arbeide med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag for å øke elevenes kompetanse og regneferdighet i faget? Hva er de beste og mest effektive løsningsstrategiene? Kan kollegiet finne en felles strategi for hvordan eleven kan tilnærme seg utfordringer av denne typen? Hva kan elevene gjøre i de ulike fagene for å ha fokus på omgjøring mellom prefikser? Sett i gang idémyldring om hvordan eleven kan arbeide videre med slike utfordringer i de ulike fagene. Plenum Hver gruppe får anledning til å legge fram i plenum hva de diskuterte. Deretter kan lærerne i plenum diskutere ulike problemstillinger. Hva er utfordrende med oppgaven? Er det begreper som kan være vanskelige? Er det lik forståelse av begrepene i lærerkollegiet? Hva slags kunnskaper og ferdigheter må en elev ha for å kunne løse oppgaven? Kan lærerne komme fram til en felles forståelse (uansett fag) for hvordan det er ønskelig å arbeide med denne typen oppgaver? 10

11 Måten gruppene organiseres på, kan ha ulike siktemål. I faghomogene grupper kan lærerne dykke mer ned i det som er regning i det aktuelle faget. I grupper satt sammen på tvers av fagene, vil faglærerne både kunne diskutere mer prinsipielt hva det er å kunne regne på fagenes premisser, og kunne synliggjøre at fagene har fagområder innenfor matematikk som tangerer hverandre, det gjelder blant annet måling og statistikk. Det er viktig å presisere at tverrfaglige prosjekter i seg selv ikke er regning i fagene, men at det tverrfaglige samarbeidet må ha fokus på å styrke elevenes kompetanse i grunnleggende ferdigheter og nå kompetansemål. I etterkant bør skolen sette av tid til videre oppfølging av arbeidet. Da kan kollegiet gjøre evalueringer ved hjelp av IGP-modellen, med den samme gruppesammensetningen som ved første gjennomgang. Lærerne kan vurdere om måten de har arbeidet på den siste tiden har hatt en effekt på elevenes læring. Ved for eksempel å teste elevene i et utvalg av oppgaver fra den nasjonale prøven i regning, kan læreren se om det har skjedd endring og utvikling. Hvordan kan læreren følge opp resultatene til elevgruppen? For å forstå hva som skjuler seg bak elevenes resultater, kan det være hensiktsmessig å bruke informasjonen fra analyserapporten og fanen om hver enkelt oppgave i prøven. Oppgavefanen i analyserapporten kan være til hjelp for å se hvilke områder, emner og oppgaveformater elevgruppen mestrer godt eller trenger å arbeide mer med (for eksempel omgjøring av enheter i måling). Samlet kan denne informasjonen bidra til å forstå mer av elevenes resultater enn bare ut fra mestringsbeskrivelsene. Område Prøven består av oppgaver innenfor områdene tall og algebra, måling og geometri, og statistikk og sannsynlighet. Eleven møter utfordringer knyttet til regneuttrykk (gjenkjenne og beskrive), gjennomføre regneoperasjoner (bruke og bearbeide) og reflektere over og vurdere svaralternativer, kontekster og egne svar. Oppgaveformat Arbeid med flervalgsoppgaver er nyttig i flere sammenhenger. Ved å relatere svaralternativene til problemstillingen i oppgaven får eleven øvelse i å vurdere om svarene er rimelige. Svaralternativene kan også være grunnlag for diskusjon om ulike løsningsstrategier. En del typiske feilsvar går ofte igjen i svarene på flervalgsoppgavene. Disse feilsvarene kan tyde på faglige misoppfatninger. Læreren kan bruke oppgavene i siste del av denne veiledningen og diskutere svaralternativene muntlig med elevene. Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle fagområdene. Fagtilknytning Prøven har oppgaver som er relevante for de fleste fag i LK06. Hver oppgave er ofte aktuell for mer enn ett fag. Spørsmål til elevgruppen Er det ord og uttrykk dere ikke forstår? Hva får dere vite i oppgaven, og hva må dere finne ut selv for å løse den? Hvilke løsningsstrategier kan dere bruke? Er det forskjell på hvordan dere tenker når dere skriver svaret selv (åpen oppgave), og når dere velger svar (flervalgsoppgave)? 11

12 Nedenfor følger et eksempel på hvordan læreren kan arbeide med oppgaver i klassen etter at prøven er gjennomført. Vi har valgt å bruke en oppgave fra emnet tall som eksempel. «My Favorite No» En god arbeidsmetode for oppfølging av oppgaver etter nasjonale prøver kan være «Mitt favorittsvar», som er inspirert av «My Favorite No». Metoden består i at læreren velger ut en oppgave som den antar vil avdekke interessante feiltenkinger. Elevene får mulighet til å lære av feilsvarene sine i stedet for at feilsvarene blir forkastet, og fokuset bare er på det riktige svaret. Denne arbeidsmetoden løfter fram feilsvar som noe verdifullt, og som en viktig del av læringsprosessen. Arbeidsmåten hjelper læreren til å vurdere hvor mye elevene forstår. I starten av aktiviteten deler læreren ut en lapp til elevene. De får noen minutter til å løse oppgaven individuelt og skrive løsningen på lappen. Deretter samler læreren inn alle svarene og registrerer dem i to bunker, en «ja»- bunke og en «nei»- bunke. Så velger læreren ut det mest interessante feilsvaret som sitt «favoritt-nei». Dette svaret viser mye god tenking, men inneholder en liten feil, eller en misforståelse som kanskje flere av elevene i klassen har. Læreren viser feilsvaret til elevene. Hver elev får så mulighet til å snakke med en medelev om hva som er feil i svaret. Til slutt oppsummeres elevenes svar i fellesskap og eventuelle misforståelser oppklares. Når læreren oppsummerer aktiviteten i plenum, blir feil og misforståelser løftet fram og diskutert. Slik får læreren innsikt i hva elevene tenker, og mulighet til å hjelpe dem videre i læringen. Elever som svarer feil, vil oppleve at også deres svar er interessante, noe som bidrar til motivasjon i faget. Noen eksempler på spørsmål læreren kan stille elevene: «Hva tror dere jeg er glad for å se i dette svaret?» «Hva liker jeg ved denne løsningen?» «Hva er det jeg liker ved dette svaret?» Metoden er vist i et amerikansk klasserom i denne lenken: Oppgaven nedenfor får fram interessant feiltenkning knyttet til brøkbegrepet. Den er oppgave 49 i årets prøve, og omtales også senere i veiledningen. Vi skal se et eksempel på hvordan dette kan gjennomføres i klasserommet. Maria ved «Langemyr skole» gjør oppgaven ovenfor. Hun får feilsvaret som er vist på figuren til høyre. Her er noen forslag til spørsmål knyttet til dette feilsvaret: Hva er bra med Marias tenking? Hva har hun forstått? Hvilke matematiske sammenhenger har hun vist? Er hovedutfordringen for Maria å gjenkjenne og beskrive, bruke og bearbeide eller reflektere og vurdere? 12

13 Hvordan kan læreren følge opp resultatene til den enkelte elev? Beskrivelsen av mestringsnivået kan brukes som utgangspunkt for samtale med eleven og i planleggingen av det videre arbeidet. Læreren kan sette opp læringsmål for elevens videre arbeid med regning i faget, og snakke med eleven om hvordan den kan nå målene. Det er viktig å fokusere på noen få, realistiske mål om gangen. Fokuser på det som er neste steg i elevens utvikling. Alle faglærere har ansvar for at elevene arbeider med den grunnleggende ferdigheten regning. I mange fag og i ulike tema, har elevene nytte av å arbeide med logiske resonnement og problemløsning. Det innebærer å kunne oppfatte innholdet i en oppgave, å arbeide med å forstå begrepene som brukes, og å få mulighet til å resonnere, forklare og argumentere for egne løsninger. I tillegg er det viktig at elevene øver seg i å vurdere om svarene er rimelige. For å kunne utvikle seg, må elevene bli fortrolige med ulike representasjoner av tall og størrelser og venne seg til å velge de mest hensiktsmessige løsningsstrategiene. Spørsmål til refleksjon og diskusjon Hvordan skal jeg informere elevene om hensikten med prøven? Hvordan skal jeg bruke resultatene for å kunne gi faglig relevante tilbakemeldinger som fremmer videre læring? Hvordan skal jeg involvere elevene i det videre arbeidet med resultatene? Hvordan kan elevene være med og vurdere sitt eget arbeid? Elevintervju Læreren kan hente ut viktig informasjon om elevene ved å gjennomføre intervjuer med enkeltelever på bakgrunn av det som er kommet fram i den nasjonale prøven. Det er viktig å se på elevens besvarelse sammen med eleven, og få eleven til å forklare hvordan han eller hun har tenkt og hvordan oppgaven(e) har blitt løst. Det dreier seg om å synliggjøre strategier og framgangsmåter, og noen ganger om å få fram en kognitiv konflikt. I et slikt intervju kan læreren også få mulighet til å gi elevene konkrete og faglige relevante tilbakemeldinger, og gi råd og veiledning om veien videre. Mer informasjon om årets prøve Tabell 1 viser en oversikt over oppgavene og innholdet i årets prøve. Kolonnen Innhold beskriver hva hver enkelt oppgave handler om, mens kolonnen «Område» viser hvilke av de tre områdene av regning oppgaven er definert under: tall og algebra, måling og geometri, og statistikk og sannsynlighet. Oversikten viser også hvilke fag hver oppgave kan knyttes til. Det betyr at oppgaven kan relateres til et kompetansemål i dette faget etter 7. trinn, der den grunnleggende ferdigheten å kunne regne er integrert. En lignende oversikt over oppgavene ligger i analyserapporten i PAS. Den nasjonale prøven i regning er i tre versjoner (V1, V2 og V3). Alle versjonene inneholder de samme oppgavene, men noen av oppgavene kommer i ulik rekkefølge. En PDF av V1 er publisert i PAS. For å måle utviklingen over tid har 6 prosent av elevene på landsbasis gjennomført en annen prøve enn den ordinære prøven, men med oppgaver av tilsvarende vanskelighetsgrad. Disse elevbesvarelsene er ikke tilgjengelige i elevmonitoren. Læreren finner resultatene i grupperapporten i PAS ved å velge Oppgavesett 4. Grupperapporten i PAS sorterer resultatene etter V1. I elevmonitoren i PGS har læreren tilgang til hele besvarelsen til hver elev. Hvis læreren bruker elevmonitoren til å gjennomgå prøven, ser den oppgavene i den rekkefølgen eleven har fått dem, alt etter om eleven har gjennomført V1, V2 eller V3. 13

14 Tabell 1 Oversikt over oppgavene i den nasjonale prøven i regning 2016 for 8 og 9. trinn Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit V1 V2 V Dobling, addisjon eller multiplikasjon av desimaltall Tall og algebra Åpen m&h, ma 3,0 dl Subtraksjon Tall og algebra Åpen ma, samf 635 m Forhold, valuta Måling og geometri Flervalg eng, ma 8, Algebraisk tenking, sammensatt problem Tall og algebra Åpen ma 15 kr Omgjøring mellom prefikser og multiplikasjon Måling og geometri Flervalg m&h, ma, 3,0 L Tid, beregne tidsintervall Måling og Åpen m&h. ma 75 min geometri Brøk, sammenligne størrelser Tall og algebra Flervalg m&h, ma, mu, k&h Omgjøring mellom prefikser, divisjon og Tall og algebra Flervalg m&h, ma 6 kr multiplikasjon Relatere negative tall til tallinja, temperatur Måling og geometri 10 Lage diagram fra tabell Statistikk og sannsynlighet 11 Lese av og tolke tabell og diagram Statistikk og sannsynlighet 12 Forhold, målestokk Måling og geometri Flervalg krle, ma, nat 87,0 C Åpen krle, ma, na, no, sf Justere søyler Flervalg krle, ma, na, no, sf Gul Åpen krø, k&h, sf 550 m 13 Prosent, regne med prosent Tall og algebra Åpen ma, sf Algebraisk tenking, mønster Måling og geometri Flervalg k&h, ma, mu Klapp, klapp, klapp, tramp 15 Algebraisk tenking, sammensatt problem Tall og algebra Flervalg ma Forhold Måling og geometri Åpen ma, na, sf, k&h 1 : 3 17 Multiplikasjon, forståelse for multiplikasjon Tall og algebra Flervalg ma 0,3 18 Multiplikasjon desimaltall Måling og geometri Flervalg eng, ma 160 GBP 19 Prosent, finne prosenttall ved overslag Tall og algebra Flervalg m&h, ma, sf 50 % 20 Divisjon, målingsdivisjon Tall og algebra Flervalg ma 7 21 Divisjon, målingsdivisjon Tall og algebra Flervalg m&h, ma 6 L syltetøy, fordele beger 22 Divisjon, målingsdivisjon Tall og algebra Flervalg ma Omgjøring mellom prefikser, sammenligne størrelser Måling og geometri Flervalg k&h, m&h, ma, na 100 dl-bøtte 100 L-trillebår 100 cl-melk 100 mlhostesaft 24 Geometriske figurer, egenskaper og navn Måling og geometri 25 Tid, stille analog klokke Måling og geometri Flervalg k&h, ma Regulær firkant, sekskant og tolvkant Åpen krø, m&h, ma Stille klokka til ti på halv sju 14

15 Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit V1 V2 V3 26 Tid, sammenheng sekunder og minutter Måling og geometri 27 Forhold, utvide oppskrift Måling og geometri 28 Prosent, finne prosenttall Statistikk og sannsynlighet 29 Lage diagram fra datamateriale Statistikk og sannsynlighet Åpen ma, mu 120 bpm Flervalg m&h, ma 200 g Åpen m&h, ma, sf 20% Åpen krle, ma, na, no, sf Zora 2, Kannibal 1, Ulve 2, Jakt 4, Løpe 1, Hoppe 5 30 Algebraisk tenking, sammensatt problem Tall og algebra Flervalg ma kr 31 Sentralmål Statistikk og sannsynlighet Åpen ma Gjennomsnitt 3 Median 2 Typetall 1 32 Relatere negative tall til tallinja, årstall Måling og geometri Flervalg krle, ma Posisjonssystemet, verdien til siffer Tall og algebra Flervalg ma 0,2 34 Tid, beregne tidsforskjell Måling og geometri 35 Lese av og tolke tabell Statistikk og sannsynlighet Flervalg ma Åpen no, sf Kl Omgjøring mellom prefikser Måling og geometri Åpen krø, k&h, m&h, ma, na 1,849 kg 37 Areal, forståelse av areal Måling og geometri Åpen k&h, ma 32 dm2 38 Brøk, regne med brøk Tall og algebra Flervalg ma 7 39 Brøk, sammenhengen mellom brøk og prosent Tall og algebra Flervalg ma 10 % = % = % = Algebraisk tenking, sammensatt problem Tall og algebra Åpen ma 34 kr 41 Lese av og tolke tabell Statistikk og sannsynlighet 42 Multiplikasjon desimaltall Måling og geometri Flervalg eng, sf Jul 2014 Åpen eng, ma 103,5 kg 43 Multiplikasjon desimaltall og subtraksjon Tall og algebra Flervalg ma 69,30 kr 44 Multiplikasjon desimaltall Måling og geometri Åpen eng, ma 9,144 m 45 Lese av og tolke tabell Statistikk og sannsynlighet 46 Brøk, brøk som en del av en mengde Tall og algebra Flervalg ma 47 Tid, beregne tidsintervall og sammenhengen mellom timer og minutter Måling og geometri Åpen krle, ma, na, no, sf Kl Flervalg krø, m&h, ma Kl Prosent, regne med prosent Tall og algebra Flervalg ma, sf 126 kr 49 Brøk, finne det hele Tall og algebra Åpen m&h, sf, ma 40 g 50 Omkrets, benevning av lengdemål Måling og geometri Flervalg k&h, ma, sf cm 15

16 Et dypdykk i årets oppgaver Hvordan kan elevene utvikle regnestrategiene sine? Denne delen inneholder utvalgte oppgaver fra områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet i årets prøve. Eksemplene viser riktig svar, typiske feilsvar, og tips til hvordan elever som svarer feil på slike oppgaver kan tenke for å utvikle og forbedre sine egne regnestrategier. Alle oppgavene er prøvd ut på elever i flere omganger. I den første utprøvingen er de fleste oppgavene åpne, slik at vi kan finne feilsvar som kan analyseres og brukes som distraktorer i flervalgsoppgaver. Andel elever som har svart de ulike elevsvarene, er hentet fra resultatene etter den siste utprøvingen av oppgavene. Det var ca elever som deltok i utprøvingen, og hver oppgave ble prøvd ut på ca. 700 elever. Oppgavenumrene er fra versjon 1 (V1) av prøven. Siden svaralternativene i flervalgsoppgaver er reelle elevsvar, kan disse gi mye informasjon om hvordan elevene har tenkt. I de utvalgte oppgavene under har vi omtalt mulige strategier elever kan ha brukt da de svarte feil. Metoden «My Favorite No» som er beskrevet under «Hvordan følge opp resultatet i elevgruppen» kan være et godt redskap til å finne ut hvordan elevene har tenkt da de løste oppgavene. Til alle oppgavene er det tatt med både undervisningstips og kompetansemål som kan være relevante. De utvalgte oppgavene er også plassert på mestringsnivå, etter vanskegraden til oppgaven ved siste pilotering. Vanskegraden til oppgavene varierer, både ut fra hvor utfordrende det er å gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet, og hvilke regneoperasjoner og tall elevene skal bruke og bearbeide. Spørsmål til diskusjon med elevgruppen På hvilken måte er regning relevant i dette faget? Hvilke emner og områder bør vi fokusere på for å utvikle gode regneferdigheter i dette faget? Er det forskjell på strategiene elevene bruker når de fyller inn svaret selv (åpen oppgave)? får oppgitt alternativene (flervalgsoppgave) og velger riktig svar? Har elevene gode løsningsstrategier? Tall og algebra I prøven for 2016 er 22 av oppgavene validert til tall og algebra. Regneferdigheten til elevene blir prøvd i faglige og dagligdagse situasjoner der de matematiske emnene algebra, brøk, de fire regneartene, posisjonssystemet og prosent inngår. I de enkleste oppgavene kan elevene bruke enkle strategier, som addisjon eller dobling i kjente kontekster. I de mer krevende oppgavene må elevene ha større forståelse og dypere innsikt for å kunne gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet. I tillegg må de blant annet utføre divisjon eller multiplikasjon med tall som er mer utfordrende å regne med, når de skal bruke og bearbeide. Enkle strategier kan brukes på oppgaver med høy vanskegrad også, men de er ikke alltid like effektive. Det som kjennetegner oppgaver på lavest mestringsnivå er at enkle strategier er effektive, for eksempel dobling. Nedenfor har vi sett nærmere på fem oppgaver fra området tall og algebra. 16

17 Mestringsnivå 1 Oppgave 1 Elevene skal utføre enkel beregning med desimaltall. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess 2 1,5 6 Leser ut av oppskrifta. GB 2,5 2 Dobler heltalldelen, men ikke desimaltalldelen. BB 3,0 86 Riktig svar. Bruker gjentatt addisjon, dobling og multiplikasjon eller andre gode strategier til å løse oppgaven. Ubesvart 0 Beregningen går ut på å doble 1,5 dl linfrø. Oppgaven kan løses selv om eleven ikke har forstått posisjonssystemet for desimaltall. En velkjent kontekst kan hjelpe den til å gjenkjenne det matematiske problemet i oppgaven, og reflektere og vurdere over svaret sitt. Til læreren Eleven trenger praktiske erfaringer med oppgaver av denne typen. Når vi gir eleven oppskrifter der den selv beregner mengden av de ulike ingrediensene, vil den få erfaringer med å regne med desimaltall i praktiske kontekster. Dette gir eleven en mulighet til å øve opp kompetansemålene som er skissert nedenfor. Det kan være at eleven skal halvere ei oppskrift som er ment for fire personer, eller at ei oppskrift som er beregnet til fire personer, skal omformes til å gjelde for seks personer. Eleven kan få ulike oppskrifter å arbeide med. Kjente brøker inngår ofte i oppskrifter. Tallene kan justeres slik at læreren får fram det den ønsker at eleven skal øve på. Å arbeide praktisk med dobling og halvering av mengder som omfatter desimaltall, kan eleven få erfaringer med både i faget mat og helse, og i hjemmet. Når eleven lærer å arbeide praktisk med desimaltall, vil den også få det grunnlaget den trenger for å kunne vurdere svarene sine, og se om svarene virker rimelige. Elevaktivitet I dette tilfellet vil kanskje noen elever løse oppgaven praktisk ved å måle opp 1,5 dl linfrø to ganger, i stedet for å doble 1,5 dl før de heller linfrømengden i desilitermålet. Når eleven får arbeide praktisk med å måle opp, øke og redusere mengder, vil det bli enklere å regne med desimaltall. Etter hvert kan læreren 2 Helhetlig problemløsningsprosess: GB betyr gjenkjenne og beskrive, BB betyr bruke og bearbeide og RV betyr reflektere og vurdere. 17

18 utvide oppgaven til: «Hva kan du måle med når du har kommet til 9 dl og skal ha 1,5 dl til? Hvilken måleenhet er best egnet til å uttrykke størrelse nå?» En fin aktivitet for å øve opp forståelse av regning med desimaltall, er at klassen teller i kor. Begynn for eksempel med 0,3, og tell videre med 0,3 for hvert steg. Hele aktiviteten er beskrevet i denne lenken: Kompetansemål Mat og helse, LK06, 7. trinn: bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter følgje oppskrifter Mestringsnivå 2 Oppgave 2 Eleven skal utføre subtraksjon med veksling. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess Største siffer subtrahert med minste siffer. BB Elevene har foretatt en subtraksjon med veksling, men med BB en feil i vekslingen mellom 1000 og Riktig svar. Ubesvart 1 Analysene viser at alle elever har gjenkjent og beskrevet oppgaven, og foretatt en subtraksjon. 28 prosent har benyttet en algoritme for subtraksjon som de ikke behersker og høyst sannsynlig ikke har forstått. Det mest høyfrekvente feilsvaret er Dette svaret får eleven ved å subtrahere minste siffer fra største siffer, uavhengig av om det er subtrahend eller minuend. Her får de 9 4 som er 5 på enerplass, 6 3, som er 3 på tierplass, 8 4, som er 4 på hundrerplass, og 2 1, som blir 1 på tusenplass. Til læreren Mange elever får ikke til å veksle. De velger feil strategi, og forstår ofte ikke hva de skal gjøre. Det kan være vanskelig å forstå begrepene. Av gammel vane velger kanskje læreren fortsatt å bruke ordet «å låne» når den skal forklare hvordan vi regner med oppstilt subtraksjon, i stedet for å bruke ordet veksle. Det er viktig 18

19 å forklare eleven hva som virkelig skjer når den veksler inn en hundrer i ti tiere, og deretter en tier i ti enere. I subtraksjon gjelder det å finne differansen, forskjellen, mellom to tall. Det finnes flere måter å regne subtraksjon på. Her skisseres opp fire strategier 3 som det er nyttig å se på sammen med eleven: Å telle videre fra eller telle baklengs fra er en strategi når eleven skal regne ut oppgaver av typen Her vil det være hensiktsmessig å telle baklengs fra 33 og i 8 steg nedover. Men når eleven skal løse 35 29, vil det være hensiktsmessig å telle videre oppover fra 29 til 35. En annen strategi er å telle med ti om gangen. I regnestykket kan eleven telle i tiersteg bakover: 72, , og deretter trekke fra tre enere. I tilfellet kan den regne opp fra 37 i tiersteg: , og deretter i enere fra 57 til 63. Eleven vil få forståelse av at subtraksjon handler om å finne forskjellen mellom to tall. Et hundrerkart kan være hensiktsmessig å benytte i starten for elever som presterer lavt, som støtte for metoden. En tredje strategi er å dele opp tallene og trekke fra litt og litt om gangen. Et eksempel er kan ses på som , og 33 som Da kan eleven først utføre = 40, og deretter 2 3 = 1, og se at den må trekke 1 fra 40 for å få riktig løsning. Denne måten å tenke på vil hjelpe eleven til å forstå negative tall bedre. En strategi som kan gjøre tallene mer anvendelige og enkle å regne med, er å tilføre en konstant forskjell mellom dem. Eksempelvis kan regnestykket løses ved å forsøke å få begge tallene til å bli hele tiere. Da må begge tallene enten økes eller minkes like mye, «de må endres likt». Eleven må alltid sørge for at avstanden eller forskjellen mellom tallene er like stor, uansett hvor mye den legger til eller trekker fra. 23 må minke med 3 for at det skal bli 20, da må 15 minke med 3 og blir er enklere å regne med i hodet. Denne metoden er fin å benytte på større tall, og gjør hoderegningen enklere for eleven. Elevaktivitet Bruk av fleksible strategier som bygger på elevens forståelse av tall og titallssystemet, blir ikke meningsløse prosedyrer. Ved å benytte slike strategier kan den unngå å gjøre regnefeil som har sammenheng med at den ikke husker alle trinnene i standardalgoritmene. Noen av elevens strategier kan synes tidkrevende og omfattende, men etter hvert vil eleven finne fram til strategier som er mer effektive enn standardalgoritmene. Bruk av representasjoner er beskrevet i «Aspekter ved tallforståelse» av Anita Valenta, og artikkelen kan lastes ned her: Aspekter ved tallforståelse. Eleven kan øve seg på å velge en hensiktsmessig strategi for å løse oppgaver av denne typen: Strategiene er grundig presentert i «Ages and Timelines, Subtraction on the open number line» av Catherine Twomey Fosnot. 19

20 Kompetansemål Samfunnsfag, LK06, 4.trinn: undersøkje pengebruken til jenter og gutar og samtale om forhold som påverkar forbruk Mestringsnivå 3 Oppgave 43 Oppgaven måler om elevene kan utføre multiplikasjon med desimaltall. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess 69,30 kr 47 Riktig svar. 70,00 kr 25 Regner med 1,00 kr i stedet for 0,99 kr. GB 217,80 kr 16 Regner ut fra totalt dataforbruk og ikke overforbruk. GB 693,00 kr 5 Tar utgangspunkt i 70 MB, men behersker ikke algoritmen BB som er benyttet for multiplikasjon. Ubesvart 8 Det mest høyfrekvente feilsvaret er gitt av elever som regner med hele kroner. De som har svart riktig er klart dyktigere enn de som svarer 70,00 kr. Til læreren Multiplikasjon med desimaltall, kan løses ved å benytte ulike strategier, blant annet ved å se på multiplikasjon som gjentatt addisjon. I oppgaver som 3 0,4 kan gjentatt addisjon være en effektiv strategi, altså 0,4 + 0,4 + 0,4., men oppgaver av typen 0,4 3 er vanskelige å representere ved hjelp av gjentatt addisjon. 3 kan vi ikke foreta gjentatt addisjon av 0,4 ganger. I slike tilfeller kan det være hensiktsmessig å benytte den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Elever som har god tallforståelse, vil kanskje se på regnestykket som 4 tideler multiplisert med 3, som blir 12 tideler, som er det samme som 1,2. I oppgave 43 vil gjentatt addisjon være en uhensiktsmessig strategi. Å regne 70 0,99 som gjentatt addisjon er tidkrevende og kan føre til regnefeil. Elever med god tallforståelse kan tolke 0,99 kr som 1 kr 1 øre, og deretter løse oppgaven som 70 1 kr 70 0,01 kr, altså som 70 kr 70 øre. 20

21 Elevaktivitet De fleste vet at ved kontant betaling blir sluttsummen avrundet til nærmeste hele krone. Når vi betaler med kort og i nettbank, betaler vi alltid det nøyaktige beløpet, i kroner og ører. Eleven kan undersøke ulike dagligdagse sammenhenger der hundredels kroner, altså ører, spiller en rolle. Når det er mange personer som betaler, utgjør ørene i seg selv et betydelig beløp. Et eksempel er kringkastingsavgiften. I 2014 var kringkastingsavgiften 2729,16 kr, og nesten 2 millioner husstander betalte ifølge nrk.no. 16 øre kan virke ubetydelig for den enkelte husstand, men når 2 millioner husstander betaler, utgjør de 16 ørene et betydelig beløp. Liknende eksempler er merverdiavgift, skatt m.m. La eleven lete etter andre sammenhenger der den betaler beløp med kroner og ører. Hvor mye utgjør ørene til sammen? Hvor mye utgjør beløpene for en butikk, hvis en brus koster 19,90 kr og det i løpet av ett år er 5000 personer som kjøper en brus og betaler kontant? Hva tjener butikken på det? Hvordan er dette i andre land med andre valutaer? Hvor nøyaktig kan vi betale kontant med euro for eksempel? Spørsmålene over egner seg godt til å arbeide med i fagene matematikk, samfunnsfag og engelsk. Kompetansemål Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: gje døme på og diskutere korleis kommersiell påverknad frå ulike medium kan verke inn på forbruksvanar og personleg økonomi Samfunnsfag, LK06, 4.trinn: undersøkje pengebruken til jenter og gutar og samtale om forhold som påverkar forbruk Engelsk, LK06, 7.trinn: uttrykke seg om enkle beregninger, valuta og måleenheter i kommunikasjon om dagligdagse situasjoner 21

22 Mestringsnivå 4 Oppgave 21 Oppgaven går ut på å velge den konteksten som passer til målingsdivisjon. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess Alt.1 18 Å dividere med 0,5 er det samme som å dividere med 2. GB Alt Samme som over. GB Oppfatter ikke opplysningen om det er to pakker egg. Alt Ser på det å dele som en automatisk delingsdivisjon. Ordet GB «dele» er brukt i dette alternativet. Alt Riktig svar Ubesvart 5 Til læreren Elevens forståelse av de fire regneartene bygger ofte på erfaringer med små hele tall, der regneoperasjonene er introdusert ved hjelp av enkle tankemodeller. Disse tankemodellene lar seg ikke nødvendigvis lett generalisere til arbeid med desimaltall. Det kan derfor føre til misoppfatninger. Elever som bare møter oppgaver som fokuserer på delingsdivisjon, vil ikke være i stand til å knytte en praktisk mening til oppgaven 6 : 0,5. Her dreier det seg ikke om at noe skal deles rettferdig, men hvor mange ganger det er plass til 0,5 i 6 hele. Målingsdivisjon kan være en fin strategi å benytte seg av i forbindelse med hoderegning og divisjon. For eksempel kan divisjonen 12 : 4 oppfattes som at det er 12 enheter som skal deles likt på 4 personer. Da vil hver person få 3 hver. Eleven kan også se på 12 : 4 som 12 enheter som skal fordeles i grupper på 4, for eksempel hvor mange bussreiser kan eleven ta for 4 kr per tur om den har 12 kr? Da vil eleven se at 4 går 3 ganger i 12. Når eleven først lærer å skille mellom delingsdivisjon og målingsdivisjon, vil det være enklere for den å løse oppgaver med divisjon av desimaltall og brøk. Det er viktig at eleven får samtale om alternativene i oppgaven over. Hva er det den regner ut i hvert alternativ? Oppgaven kan også fungere diagnostisk, for 22

23 utprøving av lignende oppgaver viser at når det skal divideres med 0,5, er det mange elever som oppfatter det som å dele i to, altså at å dividere med 0,5 vil si å finne halvparten. Elevaktivitet Elevene kan lage egne divisjonsstykker som de gir hverandre. En annen aktivitet er å ta for seg ulike kontekster som de kan møte målingsdivisjon i. Et basseng som er 12,5 m langt. Hvor mange lengder må vi svømme for å svømme 200 m? 12 m gardinstoff skal deles i lengder på 0,4 m. Hvor mange lengder gardinstoff blir det? 3 L saft skal fordeles på flasker som rommer 0,25 L. Hvor mange flasker må vi ha? Hva om flaskene rommer 0,4 L? Kompetansemål Mat og helse, LK06, 7.trinn: bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter, prøve dei ut og vurdere resultatet følgje oppskrifter Mestringsnivå 5 Oppgave 49 For å løse oppgaven må elevene finne ut hvor mye det hele er ut fra opplysningene som gis. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess = 120. Elevene tenker på 30 g som ¼, ikke som ¾. De GB som svarer 30 3 = 90, tenker at det mangler tre deler for å 120, 90, fylle opp det hele = 60. Samme tankegang som over, men her tar de vekk 30 g for å finne ut hvor mye sukker det var før Tenker at ¼ av 100 g tilsvarer 25 g. GB 37,5 4 30:4=7,5. Finner ut at ¼ av 30 er 7,5, og legger til 30. GB Riktig svar. Ubesvart 8 Mange elever har erfaringer med å finne en del av det hele når de regner med brøk og prosent. Brøkene ¼ og ¾ er kjente størrelser for dem. Dermed er det ikke brøkene i seg selv som er utfordringen i denne oppgaven, men det faktum at de ikke kjenner til hvor mange gram det hele er. Det kan være vanskelig å forstå hvor stor brøkdel 30 g utgjør her. 23

24 Til læreren Flere elever sier at de mangler en opplysning som gjør dem i stand til å løse oppgaven. Denne måten å tenke brøk på er ukjent for dem. Det er derfor viktig at vi som lærere presenterer ulike sider ved brøk, ulike representasjoner av brøk. I tabellen over, ser vi at 38 prosent av elevene oppfatter 30 g som ¼ av sukkerinnholdet i pålegget. Noen av dem multipliserer derfor 30 g med 4 for å finne hele sukkerinnholdet, som dermed blir 120 g. Et viktig spørsmål å stille til de som tenker på denne måten, er om det er mulig å få 120 g sukker i 100 g pålegg. Å ta seg tid til å se på svaret de finner, er en forutsetning for kompetansen reflektere og vurdere, som inngår i den helhetlige problemløsningsprosessen. Elevaktivitet Det er viktig at eleven får møte oppgaver eller situasjoner der den må regne med et utgangspunkt som er mer enn det hele (100 %), for eksempel pris på varer med merverdiavgift (125 %). I matvarebutikker finnes det mange varer som reklamerer for at varen nå inneholder mer eller mindre av råstoffet (sukker, bær, helkorn m.m.). Det kan eleven undersøke nærmere. Mulige spørsmål til eleven kan være: Stemmer informasjonen som blir gitt? Er det virkelig mer eller mindre av noe? Hva er det sammenlignet med? Hvorfor velger produsentene å reklamere på denne måten? Dette er et bilde av emballasjen på en type jordbærsyltetøy. Det står at denne typen syltetøy inneholder 30 prosent mer bær enn en annen type syltetøy fra samme produsent. Hvor mange gram bær må det da være i den andre typen syltetøy for at dette stemmer? La eleven undersøke slike påstander for å se om produsenten holder det som det er reklamert for. Eleven blir gjerne motiverte av å arbeide med slik detektivvirksomhet, og det gir mange muligheter for diskusjon blant annet reklame, merking av varer og kosthold. På bildet under reklameres det med at det er 30 prosent mindre sukker i en frokostblanding. Under næringsinnholdet står det at det nå er 14 g sukkerarter per 100 g. Hvor mye mer var det tidligere? Hvis en porsjon er 30 g, hvor mange gram mindre sukker er det nå per porsjon? Utgjør dette en betydelig mengde for oss som forbrukere? Kompetansemål Mat og helse, LK06, 4. trinn: forstå enkel merking av varer Mat og helse, LK06, 7. trinn: 24

25 diskutere produktinformasjon og reklame for ulike matvarer samtale om tilrådingane for eit sunt kosthald frå helsestyresmaktene, og gi døme på samanhengen mellom kosthald, helse og livsstil Samfunnsfag, LK06,7.trinn: gje døme på og diskutere korleis kommersiell påverknad frå ulike medium kan verke inn på forbruksvanar og personleg økonomi. Måling og geometri I den nasjonale prøven i regning for 2016 er 20 av oppgavene innen måling og geometri. Flere av de oppgavene med høyest vanskegrad på de nasjonale prøvene i 8. og 9. trinn, har vært knyttet til temaet måling. Spesielt gjelder det oppgaver som handler om forståelse av forhold. Felles for mange målingsoppgaver er at elevene skal bruke ulike prefikser. Elever som ikke er sikre på sammenhengen mellom prefiksene, kan møte hindringer for videre læring i flere fag. Analysene av resultatene på nasjonale prøver i regning, har i flere år vist at det er flere gutter enn jenter som løser oppgaver innen måling og geometri riktig. Nedenfor har vi sett nærmere på fire oppgaver fra måling og geometri. Mestringsnivå 2 Oppgave 25 Dette er en interaktiv oppgave der elevene skal stille en analog klokke ut fra et klokkeslett oppgitt i analog tid. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess Riktig svar Oppfatter at klokka skal stilles på «halv sju». GB Tar feil av «ti over halv» og «ti på halv». Det kan også være at GB, BB noen har misforstått disse begrepene Oppfatter at klokka skal stilles på «ti på sju». GB Har riktig plassering av minutter, men stiller klokka en hel time GB for mye. Ubesvart 1 25

26 I oppgave 25 er det 6 prosent flere jenter enn gutter som svarer riktig. Oppgaven krever nøyaktighet, et fellestegn for oppgaver der jentene ofte skårer bedre enn guttene. Til læreren Å kunne regne med tid kan være utfordrende for eleven siden den må forholde seg til et annet tallsystem (60-tallssystemet) enn det den er mest vant til (10-tallssystemet). For eksempel er halvparten av én lik 0,5, mens halvparten av 1 time er lik 30 minutter. På samme måte blir ikke 0,15 timer (h) lik 15 minutter, men det blir 9 minutter. 1 = = = = Én hel time Én halv time Ett kvarter, altså én firedel (kvart) av en time Tre kvarter, altså tre firedeler av én time 60 min 1,0 h 30 min 0,5 h 15 min 0,25 h 45 min 0,75 h Denne tabellen kan være et redskap for å tydeliggjøre sammenhenger mellom de vanligste uttrykksmåtene for tid. Det er viktig at disse sammenhengene synliggjøres, og at eleven får en forståelse av dem. I denne oppgaven må den også kunne forstå uttrykk knyttet til tid, altså at «ti på halv» betyr at det er ti minutter til klokka er halv. I tillegg må eleven kjenne til analog klokke og hvordan den representerer tid. Som vi ser av de feilaktige elevsvarene, kan noen elever ha misoppfattet visernes plassering når det ikke dreier seg om hel time. Det kan være lurt å samtale med disse elevene for å forsøke å komme til bunns i utfordringene deres, som kan være manglende tallforståelse, at de ikke forstår uttrykk knyttet til tid, osv. Dette er avgjørende kunnskap for læreren for å kunne hjelpe eleven videre. Se også oppgave 7 under «Måling og geometri» i fjorårets veiledning for 8. og 9. trinn for flere tips til hvordan arbeide med tid sammen med elevene. Elevaktivitet «Representasjoner av brøk og klokke». Regning med klokka innbyr også til å arbeide med brøk. Denne aktiviteten går ut på å la elevene finne så mange måter som mulig å uttrykke tid på med brøker. Hvor mye er for eksempel 1 time? Bruk gjerne det vedlagte bildet til å la elevene utforske mulige brøker som 8 uttrykker ulike måter å dele inn klokka på, og til å angi tid ved å legge sammen forskjellige brøker. 26

27 Eleven skal kunne forstå og angi både digital og analog representasjon av klokkeslett. La eleven arbeide med overgangen mellom timer på desimalform og timer og minutter. Hvor mange timer og minutter blir det i hvert tilfelle? La den regne med tidsoverganger fra sin egen hverdag: Hvor mange timer sover du hver natt? Hvor lenge varer en treningsøkt? Hvor lang tid bruker du på å gjøre lekser? Hvor lang tid bruker du på å spise middag? Kompetansemål Kroppsøving, LK06, 7. trinn: planleggje og gjennomføre overnattingstur Mat og helse, LK06, 7. trinn: følgje oppskrift Matematikk, LK06, 7. trinn: velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv 27

28 Mestringsnivå 3 Oppgave 5 Oppgaven måler om elevene kan løse et enkelt sammensatt problem med omgjøring. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess 1,0 L 11 Oppfatter ikke at alle skal ha tre pannekaker hver. GB 3,0 L 51 Riktig svar. 10,0 L 13 Samme som for elevsvaret 1,0 L, men foretar ikke omgjøring GB, BB mellom desiliter og liter. 30,0 L 25 Foretar ikke omgjøring. BB Ubesvart 0 Som tabellen viser, er det mange elever som ikke får til omgjøringen mellom desiliter og liter. I tillegg er det mange som ikke får med seg at hver person skal få tre pannekaker. Denne oppgaven ble løst riktig av flere gutter enn jenter, totalt 11 prosent i guttefavør. Spesielt skiller svaralternativet 30 L seg ut, som 20 prosent av guttene svarer, mens hele 30 prosent av jentene svarer det samme. Til læreren For elever med god forståelse for posisjonssystemet, har systemet for måleenhetene en logisk oppbygging som bygger på tierpotenser. 1 km er 1000 (=10 3 ) m, mens 1 mm er én tusendels meter, altså 1 : 10 3 m. Det krever også at elevene forstår hva størrelsene innebærer, altså at de har gode referanser for de ulike måleenhetene og vet når de skal brukes. I denne oppgaven viser feilsvaret 30 L at disse elevene ikke reflekterer over svaret sitt. Hvor mye er egentlig 30 L pannekakerøre? De har fått til å multiplisere tallene 2, 3, og 5, men de tar ikke hensyn til at tallet 2 representerer 2 dl, og ikke 2 L. Tusen: 10 3 Hundre: 10 2 Ti: 10 1 Én: 10 0 Tidel: 1 10 Hundredel: Tusendel: a ( ) a (10 10) a 10 a a 10 * a (10 10) a ( ) kg hg g Mg km m dm cm Mm L dl cl ml kilo hekto deka desi centi milli *Siden én desimeter er én tidels meter, må vi multiplisere antall meter med 10 for å få antall desimeter, f.eks. 2,3 m 10 = 23 dm. Hvis vi går fra desimeter til meter, blir det motsatt, vi dividerer med 10, altså 2 dm : 10 = 0,2 m. Elevaktivitet Fagene Mat og helse og kunst og håndverk er fine arenaer for oppgaver om måleenhetene. En lærer bevisst på situasjoner som kan være et godt utgangspunkt for omgjøring, kan hjelpe eleven til å forstå bruken av de 28

29 ulike måleenhetene. Å la eleven løse praktiske, realistiske og sammensatte oppgaver kan være et godt utgangspunkt for diskusjon i klassen om selve beregningen, omgjøringen og refleksjonen om det matematiske svaret eleven har fått, er riktig ut fra konteksten. Målet med diskusjonen må være å få fram gode strategier, presentert av eleven selv. En måte læreren kan gjøre dette på, er å la elevene arbeide med denne oppgaven i små grupper. Under arbeidet går læreren rundt og får overblikk over de ulike måtene elevene tenker at de kan løse oppgaven på. Deretter kan læreren bestemme rekkefølgen av gruppene, slik at de mest hensiktsmessige strategiene kommer til slutt. Det er viktig at alle bidrag og måter å løse oppgaven på blir omtalt på en positiv måte, i tillegg til at det kommer fram at noen strategier kan hjelpe elevene videre. Fokuser på likheter og ulikheter mellom de ulike måtene elevene løser oppgaven på. En annen vri er å gi denne oppgaven og be elevene vise ved hjelp av tegning, utregninger og andre framgangsmåter hvor mange måter de kan løse oppgaven på. Kompetansemål Mat og helse, LK06, 7. trinn: bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter, prøve dei ut og vurdere resultatet Kunst og håndverk, LK06, 7.trinn: lage enkle bruksformer i ulike materialer og kunne gjøre rede for sammenheng mellom idé, valg av materialer, håndverksteknikker, form, farge og funksjon Mestringsnivå 4 Oppgave 50 Oppgaven tester om elevene kan bruke rett benevning på et lengdemål, her omkrets. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess cm 35 Riktig svar. cm 2 38 Kan ha misforstått begrepene areal og omkrets. GB cm 3 14 Kan trolig regne ut omkrets, men har ingen formening om GB hvordan et lengdemål angis. cm 4 6 Bruker trolig alle tallene som er oppgitt i trekanten. Har ikke GB forstått verken begrepene omkrets eller lengdemål. Ubesvart 8 Det er relativt mange elever som ikke har svart på oppgaven, 8 prosent, og oppgaven havner på mestringsnivå 4.. Vi kan derfor anta at mange elever er ukjent med bruken av benevninger. Felles for 29

30 oppgavene på mestringsnivå 4, er at elevene kan løse sammensatte problemstillinger og i tillegg kan omgjøring. Til læreren Oppgaven viser at det er viktig med fokus på benevninger. 20 prosent av elevene gir et svar som ikke er mulig ut fra figuren (det er umulig å regne ut volum av todimensjonal figur), og det siste svaralternativet eksisterer ikke. Benevninger skal brukes underveis, og ikke bare være en mekanisk handling. Å ta med benevninger er ikke bare et krav for at regnestykket skal bli rett ført. Fokuset må være på det de faktisk representerer, og at de derfor utgjør en naturlig del av utregningen. Eleven må bevisstgjøres at lengder oppgis i lengdeenheter, areal i arealenheter og volum i volumenheter. Læreren kan gjerne samtale med elevene om hvorfor det heter «cm i andre», og gjerne ta utgangspunkt i kvadrattall. Elever som ikke har oppfattet at areal er det samme som flateinnhold, blander ofte sammen areal og omkrets. Dette er trolig fordi de ikke har god nok forståelse av hva begrepene representerer. Begrepene blir bare et ord for noe. En av hovedutfordringene når det gjelder areal, er å etablere grunnforståelse av dette begrepet. Størrelsen på en flate, blir oppgitt i arealenheter, flatemål. Arealenhetene representerer kvadrater. For å få forståelse av areal, er det lurt å måle flater som ikke har rette kanter, eller former som det ikke er mulig å dele inn i kjente geometriske figurer. La eleven telle kvadratiske ruter, for å få et omtrentlig mål på arealet. Små ruter gir et mer nøyaktig areal enn store ruter, slik denne illustrasjonen viser: 30

31 Elevaktivitet Denne aktiviteten går ut på at eleven skal finne fram til hva de ulike uttrykkene i rammen kan representere. Hva er forskjellen mellom det første og det andre uttrykket? Hva med det tredje og det fjerde uttrykket? Kan de finne en passende situasjon til det siste uttrykket? Eleven kan lage visualiseringer, forklaringer osv., til hvert av uttrykkene, samtidig som den setter ord på de matematiske uttrykkene m 2 3 m 4 m 2 m 3 m 4 m 100 m 5 m 2 Dette kan være en fin tilnærming til algebra. Når eleven forstår hva cm cm representerer, kan det være lettere å tolke og bearbeide algebraiske uttrykk (hva representerer a a, 3a 3a osv.?). Aktiviteter som gir eleven erfaring med at areal er to lengdeenheter multiplisert med hverandre, kan gi forståelse av hva areal er (og etterpå volum). Slike oppgaver finnes blant i Matematikksenterets læringsressurser: Alle temabaserte problemløsningsaktiviteter Kompetansemål Kunst og håndverk, LK06, 7. trinn: bygge modeller av hus i målestokk med utgangspunkt i egne arbeidstegninger montere utstillinger og andre presentasjoner i ulike typer rom Matematikk, LK06, 7. trinn: forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum av to- og tredimensjonale figurar Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: bruke atlas, hente ut informasjon frå papirbaserte temakart og digitale karttenester og plassere nabokommunane, fylka i Noreg, dei tradisjonelle samiske områda og dei største landa i verda på kart 31

32 Mestringsnivå 5 Oppgave 12 Eleven må vite hva målestokk representerer, i dette tilfellet 1 : 2500, for å løse oppgaven. I tillegg må den kunne utføre multiplikasjon, og utføre omgjøring fra centimeter til meter. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess 220, 8 Har ikke forstått målestokk og sammenhengen mellom GB, BB 2200 centimeter og meter Riktig svar Har regnet ut , men ikke foretatt omgjøring fra BB centimeter til meter. Ubesvart 11 Til læreren Mange elever har problemer med selve omgjøringen i denne oppgaven. 21 prosent oppgir svaret i centimeter, selv om det presiseres meter i spørsmålet og etter svarruta. For mange elever kan det være lettere å utføre omgjøringen først, altså fra 2500 cm til 25 m, i stedet for å gjøre om etterpå. Det er siden cm blir et veldig stort tall som det kan være vanskelig å oppfatte og forstå. Det er også viktig med fokus på hvorfor målestokk er en måte å representere veldig store og veldig små størrelser. Oppgavene med målestokk og forhold har år etter år vist seg å få høy vanskegrad i nasjonale prøver. Å løse oppgaver med målestokk er en sammensatt aktivitet, der eleven må gjennom flere steg. Som det går fram av feilsvarene i tabellen over, er det vanlig at elever har problemer med omgjøringen mellom lengdeenhetene. Det kan være tall med mange siffer i slike oppgaver, og hvis det dreier seg om tall for store avstander, kan det være vanskelig for elevene. Se også oppgave 15 under «Tall og algebra» der regning med forholdstall er omtalt. Å beherske målestokk er en nødvendig ferdighet i flere fag, naturfag, kunst og håndverk, og samfunnsfag. Lærerne som underviser i disse fagene bør samarbeide slik at de får felles forståelse av hva målestokk er, og hvordan de bør presentere dette begrepet for elevene. 32

33 Elevaktivitet «Finne målestokken»: Hent et bilde over et kjent område, for eksempel fra «Google Earth». La eleven finne mål på bildet, og sammenligne med de virkelige målene. Hva blir (den omtrentlige) målestokken? Det er lurt å ta flere mål på flere steder, og samtale om hvilken betydning gjennomsnitt får i denne sammenhengen (siden det høyst sannsynlig vil bli noe forskjell i målingene). Hvor mange mål skal tas for å få en mest korrekt målestokk? Hvordan vil eleven vurdere resultatet? Hvordan kan eleven bruke avrunding for å kunne uttrykke en målestokk? «Designe drømmeboligen din»: Eleven får i oppgave å designe sin drømmebolig med et oppgitt areal, for eksempel 250 m 2, på et A4 ark. Den må da forholde seg til de begrensningene som det oppgitte arealet og målene på A4-arket gir, og dermed finne en hensiktsmessig målestokk å tegne huset sitt i. Oppgaven er åpen, slik at det vil trolig bli stor variasjon i løsninger, som gir grunnlag for gode diskusjoner i klassen. «Telle - i - kor»: Elevene kan gjerne sitte i en lyttekrok. Læreren oppgir et forhold, for eksempel 1 : 150. Læreren leser opp 1, elevene svarer 150. Læreren leser opp 2, elevene svarer 300, læreren leser opp 3, elevene svarer 450, osv. Denne aktiviteten tar kort tid, og kan varieres med tallrike muligheter ut fra hvilket forholdstall en velger. Det er en øvelse i å tenke forhold og proporsjonalitet (som er viktig i arbeid med funksjoner). Sørg for at det ikke blir gjentatt addisjon ved å variere tallene (stegene), gå motsatt vei osv. Kompetansemål Kroppsøving, LK06, 7. trinn: orientere seg ved hjelp av kart i kjent terreng Kunst og håndverk, LK06, 7. trinn: bygge modeller av hus i målestokk med utgangspunkt i egne arbeidstegninger 33

34 bruke fargekontraster, forminsking og sentralperspektiv for å gi illusjon av rom i bilder både med og uten digitale verktøy Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: bruke atlas, hente ut informasjon frå papirbaserte temakart og digitale karttenester og plassere nabokommunane, fylka i Noreg, dei tradisjonelle samiske områda og dei største landa i verda på kar samanlikne likskapar og skilnader mellom land i Europa og land i andre verdsdelar Statistikk og sannsynlighet I prøven for 2016 er åtte oppgaver validert til statistikk og sannsynlighet. Eleven skal lese av og bearbeide informasjon fra tabeller og diagram og presentere resultater i søylediagram. I tillegg er det oppgaver der den skal forstå og gjøre beregninger med sentralmål. Den økende digitaliseringen av hverdagen setter større og større krav til elevens ferdigheter innen statistikk og sannsynlighet. Gjennom ulike medier møter eleven diagram og tabeller som krever kritisk tolkning og bearbeiding for at den skal få tak i det virkelige innholdet. Nedenfor har vi sett nærmere på fire oppgaver i statistikk og sannsynlighet. Mestringsnivå 1 Oppgave 41 Eleven må tolke et sammensatt diagram for å løse oppgaven. Diagrammet gir informasjon både om hvor mange elbiler som er solgt til sammen per måned, og hvor mange biler som er solgt av noen utvalgte merker per måned. I tillegg må eleven vite hva ordet færrest betyr. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess Juni Leser av søylen med nest lavest antall solgte biler. BB Juli Riktig svar. Aug Har misforstått ordet færrest. GB Okt Måneden med færrest solgte Tesla. Tesla er det bilmerket som bare leverer elbiler av de som er med i diagrammet. GB Ubesvart 5 34

35 Til læreren Det er viktig at eleven får møte tabeller og diagram i ulike og gjerne sammensatte presentasjonsformer, slik at den må tolke og bearbeide informasjonen den finner. Det er også viktig at eleven blir utfordret til å stille gode og kritiske spørsmål til statistikken den skal tolke. Til oppgaven ovenfor kan følgende spørsmål være aktuelle: Hvilken informasjon gir diagrammet? Hva er fordelene eller ulempene med å presentere informasjonen på denne måten? Kunne informasjonen vært presentert på en annen måte? Hvilket bilmerke ble det solgt flest elbiler av i perioden? Hvilken måned ble det solgt flest Tesla? Hva kan være grunnen til det? Vi må la eleven få tid til å studere, stille spørsmål til og tolke ulike tabeller og diagrammer. Da vil flere kunne forstå presentasjonen, samtidig som det skjer dybdelæring. Elevaktivitet Tabellen, diagrammet og oppgavene nedenfor kan være utgangspunkt for diskusjoner i klasserommet. Mange av spørsmålene som er skissert ovenfor, kan tilpasses og brukes til dem. Oppgavene er henholdsvis nummer 32 og 33 i den nasjonale prøven for 8. og 9. trinn for For at eleven skal kunne utvikle kompetanse i å tolke og analysere tabeller og diagram, må den få øvelse i å planlegge, gjennomføre og presentere resultater fra egne undersøkelser. For å kunne stille de riktige spørsmålene må eleven få prøve og feile. Det er en viktig del av læringsprosessen. Denne lenken kan også brukes som et utgangspunkt for arbeidet med å tolke og/eller presentere data ut fra undersøkelser: Kompetansemål Engelsk, LK06, 7. trinn: bruke digitale verktøy og andre hjelpemidler for å finne relevant informasjon og lage ulike typer tekster Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: gjennomføre og presentere undersøkingar som krev teljing og rekning, ved å bruke informasjon frå tabellar og diagram finne og trekkje ut samfunnsfagleg informasjon ved søk i digitale kjelder, vurdere funna og følgje reglar for nettvett og nettetikk 35

36 Mestringsnivå 2 Oppgave 29 Eleven skal presentere resultatet fra en undersøkelse i et søylediagram. Elevsvar Prosentandel Mulig strategi Prosess 2,1,2,3,1,5 5 Mangler én jakt-edderkopp. BB 2,1,2,4,1,4 8 Mangler én hoppe-edderkopp. BB 2,1,2,4,1,3 3 Mangler to hoppe-edderkopper. BB 2,1,2,4,1,5 66 Riktig svar. Ubesvart 3 Siden prøven gjennomføres elektronisk, blir datamaterialet vanskeligere å systematisere for en del elever. En naturlig strategi for mange vil være å sette et kryss over edderkoppene de har talt opp, når de løser oppgaven på papir. Dersom eleven skal velge samme strategi når oppgaven gjennomføres digitalt, må den lage seg en papirversjon av tabellen før den begynner å systematisere datamaterialet. Tabellen med elevsvar viser de tre mest høyfrekvente feilsvarene. Mange elever mangler én eller to edderkopper i svaret sitt. Analyser av lignende oppgaver fra nasjonale prøver tidligere år, viser at slike høyfrekvente feilsvar ikke forekommer når datamaterialet er systematisert i en frekvenstabell. I oppgave 10 i årets prøve var det under siste utprøving 88 prosent som løste den riktig. Tilsvarende tall for oppgaven ovenfor var 66 prosent. Svarene i denne oppgaven tyder på at elevene mangler effektive strategier for å systematisere datamaterialet. Analysene viser at 13 prosent flere jenter enn gutter løser oppgaven riktig. Denne oppgaven har derfor størst kjønnsforskjell i jentefavør i årets prøve. Resultater fra tidligere års nasjonale prøver viser at jentene gjør det bedre enn guttene på oppgaver som krever stor nøyaktighet. Til læreren Utfordringen i oppgaven er å systematisere datamaterialet. Det er viktig at eleven får både øvelse i og tid til å utvikle effektive strategier for å systematisere data. Hvilken strategi skal eleven bruke for å holde oversikt over hvilke edderkopper den har talt, og hvilke den ikke har talt? Det må eleven øve på både med og uten digitale verktøy. Når eleven skal presentere et resultat som søylediagram i et regneark, blir den tvunget til å gå veien om en frekvenstabell. Det er ikke sikkert den selv opplever samme behov dersom den skal lage et 36

37 søylediagram uten digitale hjelpemidler, selv om resultatene på oppgaven ovenfor viser at behovet er til stede for mange elever. Elevaktivitet Å gjennomføre og presentere resultater fra undersøkelser er kompetansemål i flere fag, deriblant naturfag og samfunnsfag. Slike aktiviteter vil eleven få problemer med å utføre, men den vil trolig registrere data på ulike måter. Det kan være en fin innfallsvinkel til å diskutere i klassen fordeler og ulemper med de ulike måtene å gjøre dette på. Noen elever vil automatisk sette opp en frekvenstabell og registrere med tellestreker, mens andre vil skrive opp alle resultatene hver for seg. Hvilken strategi som er den mest effektive, vil nok variere, avhengig av undersøkelsen, og hvordan resultatet skal presenteres. Eksempler på kontekster som kan være aktuelle: Bruk av rusmidler i ulike aldersgrupper Klima, for eksempel registrering av nedbør eller temperatur Energiforbruk Politiske valg Kommersiell påvirkning Utdanning Kompetansemål KRLE, LK06, 7. trinn: beskrive moskeen og reflektere over dens betydning og bruk og nytte digitale verktøy til å søke informasjon og lage presentasjoner Naturfag, LK06, 7. trinn: bruke digitale hjelpemidler til å registrere, bearbeide og publisere data fra eksperimentelt arbeid og feltarbeid planlegge og gjennomføre undersøkelser i minst ett naturområde, registrere observasjoner og systematisere resultatene trekke ut og bearbeide naturfaglig informasjon fra tekster i ulike medier og lage en presentasjon 37

38 Mestringsnivå 4 Oppgave 31 Eleven skal bestemme gjennomsnitt, median og typetall ut fra hva de fem terningene viser. Elevsvar Prosentandel Mulige strategier Prosess Riktig svar 26 Elevene må ha alle tre sentralmålene riktig. Median lik 5 16 Finner medianen i den rekkefølgen terningene står i på BB bildet, uten å sortere tallene etter størrelse. Median lik 3 7 Forveksler begrepene median og gjennomsnitt GB Median lik 1 6 Forveksler begrepene median og typetall GB Typetall lik 6 6 Svarer tallet med høyst verdi og ikke det som er mest BB høyfrekvent. Typetall lik 2 7 Svarer antall ganger det mest høyfrekvente tallet er BB registrert. Ubesvart 4 Tallene i oppgaven er valgt slik at det er begrepene som testes og ikke elevens tallbehandling. Eleven skal svare ved å dra brikkene med riktig navn på sentralmålene til riktig plass på spillebrettet. Analysene viser at 46 prosent klarer å beregne riktig gjennomsnitt, mens 34 prosent beregner median riktig. Det tyder på at elevene er mer fortrolig med begrepet gjennomsnitt enn med begrepet median. Ifølge tabellen ovenfor svarer 16 prosent at medianen er 5, noe som tyder på at de ikke forstår begrepet median. Av de elevene som regner feil når de skal finne gjennomsnittet i oppgaven, svarer 11 prosent at gjennomsnittet er 1 eller 6. Alle de fem feilsvarene på spillebrettet er relativt høyfrekvente (4 9 prosent). Elever som forstår begrepet gjennomsnitt, utelukker disse to alternativene ved at de ser bare på tallene de skal bearbeide. Typetall var det sentralmålet som flest elever fikk riktig. 52 prosent klarte å bestemme typetallet riktig i oppgaven. Det var 4 prosent av elevene som ikke svarte på noen av de tre sentralmålene. 27 prosent unnlot å svare på ett eller flere sentralmål. 38

39 Til læreren Det er viktig at læreren legger til rette for at eleven skal forstå begrepene den skal bruke. At bare en firedel løser oppgaven ovenfor riktig, er trolig et tegn på at mange mangler denne forståelsen. Tidligere oppgaver viser at mange elever vet hvordan de skal regne ut gjennomsnittet av et datamateriale, men få kan forklare begrepet gjennomsnitt. Oppgave 38 i prøven fra 2015 (se nedenfor) testet begrepet gjennomsnitt. 55 prosent av elevene svarte riktig på denne oppgaven. 25 prosent svarte alternativ 4 (mellom 100 kr og 150 kr i ukelønn), som det eneste alternativet med tall som de kan regne gjennomsnitt ut fra. For at eleven skal utvikle forståelse av begreper, er det også viktig å legge til rette for refleksjon. Hva må terningene i oppgave 31 vise hvis gjennomsnittet er 1? Hva om gjennomsnittet er 6? Hva betyr det at gjennomsnittshøyden til menn i Norge er 180 cm, eller at forventet levealder i Norge er 82 år? Elevaktivitet Elevene må møte eksempler der det er stor forskjell på sentralmålene for å få en god forståelse av begrepene. Et eksempel der fire elever og én voksen sammenligner ukelønn, kan være et godt utgangspunkt for en slik diskusjon. Hvis eleven for eksempel velger ukelønn på 50 kr, 75 kr, 50 kr, 100 kr og kr, vil gjennomsnittet, medianen og typetallet bli ganske forskjellige. Det kan gi en fin diskusjon i klasserommet om hva de ulike sentralmålene står for. Ideen til oppgave 31 er hentet fra et spill som er beskrevet blant annet i et ressurshefte med undervisningsopplegg laget av ressurspersoner ved Matematikksenteret. Heftet kan lastes ned digitalt eller bestilles i trykt form her. Spillet er beskrevet på side 113 i heftet (side 117 i PDF-formatet). Kompetansemål Matematikk, LK06, 7. trinn: representere data i tabellar og diagram som er framstilte med og utan digitale verktøy, lese og tolke framstillingane og vurdere kor nyttige dei er finne median, typetal og gjennomsnitt i enkle datasett og vurdere dei ulike sentralmåla i forhold til kvarandre 39

40 Mestringsnivå 5 Oppgave 35 Eleven skal tolke en rutetabell og resonnere seg fram til et klokkeslett for når Aksel skal ta toget. Elevsvar Prosentandel Mulige strategier Prosess kl Riktig svar kl Første avgang fra Lysaker. Har trolig ikke tolket hva for BB eksempel 47 i raden under betyr. kl Leser av siste avgang fra Lysaker. BB kl Tar utgangspunkt i Lysaker, og tolker tabellen slik at toget BB går kl , 04.47, 05.07, og kl Første ankomst Oslo Lufthavn BB Ubesvart 22 Tabellen er utfordrende og krever blant annet at eleven forstår at det går flere tog i løpet av et døgn. Elevsvarene viser at mange har problemer med å forstå tabellen. Spesielt er det vanskelig å få tak i informasjonen som viser antall minutter over hel time toget går. Oppgaven var en av de med høyest andel ubesvart under siste utprøving. Til læreren Å kunne tolke og analysere informasjon i tabeller og diagram er en forutsetning for å nå kompetansemål i mange fag. Derfor er det viktig at læreren er bevisst på det i hverdagen. Vi kan spørre elevene: «Hvordan kom du fram til det?» i arbeidet med for eksempel et diagram som viser befolkningsvekst i samfunnsfag like gjerne som i arbeidet med brøk i en matematikktime. Vi kan også stille flere spørsmål til tabellen eller diagrammet, enn det som kreves for å løse oppgaven. Noen elever trenger ekstra tid til å tolke og forstå tabeller og diagrammer. Enkelte har problemer med å forstå en arbeidsplan eller ukeplan når de begynner på ungdomsskolen, hvis den for eksempel er sortert etter fag og ikke etter dag. Elevaktivitet Tabellen ovenfor kan være fin til å få i gang en diskusjon i klassen. Noen forslag til spørsmål som kan brukes: Hvilken informasjon ser dere i tabellen? Hvorfor står det 47 og ikke i rad 2 i kolonnen for Lysaker? Hva betyr informasjonen som er merket med * i tabellen? 40

41 Hvor mange avganger er det fra Lysaker i løpet av ett døgn? Hvordan ville tabellen sett ut hvis alle avgangene har vært oppgitt med eget klokkeslett? Hva er fordelene og ulempene med at tabellen er slik den er? Tabellen nedenfor har lignende oppbygning som tabellen i oppgave 35, og kan brukes i det videre arbeidet med å hjelpe elevene til å forstå denne type tabeller. Kompetansemål Norsk, LK06, 7. trinn: forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst Samfunnsfag, LK06, 7. trinn: gjennomføre og presentere undersøkingar som krev teljing og rekning, ved å bruke informasjon frå tabellar og diagram finne og trekkje ut samfunnsfagleg informasjon ved søk i digitale kjelder, vurdere funna og følgje reglar for nettvett og nettetikk 41