Eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3

Transkript

1 Høgskolen i Buskerud. Finn Haugen(finn.haugen@hibu.no). Eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3 Tid: 2. april Varighet 5 timer. Vekt i sluttkarakteren: 70%. Hjelpemidler: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Kalkulator ikke tillatt. Oppgaveneerskrevetbådepånorskogpåengelsk(deterselvsagtsamme innhold i begge versjonene). Du kan svare på norsk eller engelsk, men ikke kinesisk eller indisk. Bakerst i pgavesettet er det en formelsamling. Kontakt under eksamen: Finn Haugen(faglærer), tlf Hvisdumeneratdetmanglerforutsetningerforåløseenpgave,skaldu selv definere disse forutsetningene. Norsk versjon av eksamen 1. (10%vekt)Antaatparametreneaogbidifferenslikningen h(k)+a h(k 1)=h(k 1)+bu(k 1) (1) skal estimeres vha. minste kvadraters metode.(differenslikningen kan være modellen for en vanntank med vannivå h med innløpspumpe styrtmedpådragetuogmedutløpgjennomenventil.)antaatdet foreligger følgende samplede verdier av variablene h og u: Skriv p(den totale) regresjonsmodellen {h(0),h(1),h(2),h(3),h(4)} (2) {u(0),u(1),u(2),u(3),u(4)} (3) Y =Φθ (4) som danner utgangspunktet for bruk av minste kvadraters metode på dette estimeringsproblemet, men du skal ikke beregne estimatet i pgaven. Regresjonsmodellen skal inneholde kun tilgjengelige sampelverdier.(du skal angi vektoren Y, matrisen Φ og vektoren θ.) 2. (20) Gitt en motor med følgende matematiske modell: n(s)= K [u(s) L(s)] (5) Ts+1 der n er turtall(omdreiningshastighet), u er pådrag, L er ekvivalent lastmoment(representert med samme enhet som pådraget) som kan 1

2 betraktes som en prosessforstyrrelse, K er forsterkning og T er tidskonstant. K og T har kjente verdier. n måles kontinuerlig. Ovennevnte modell tilsvarer følgende differensiallikning: Tṅ(t)+n(t)=K[u(t) L(t)] (6) DetkanantasatLstortsetterkonstant(menaltsåukjent).Skriv p Kalmanfilterlikningene(både korreksjonsdelen og prediksjonsdelen idetalj)forestimeringavnogl.dukanantaat Kalmanfilter-forsterkningen er K (du skal ikke skrive p formlene for beregning av K). 3. (5) I forbindelse med bruk av Kalman-filter for estimering av tilstandsvariable, hvilken parameter bør du prøve å justere på for å pnå hurtigere respons i estimatet for en gitt tilstandsvariabel? Er det noen ulempe mht. estimeringen ved å prøve å pnå hurtigere estimering? 4. (5) Skriv p et vilkårlig eksempel på en lineær tidsdiskret tilstandsrommodell med 3 tilstander, 2 pådrag og 2 utganger. Skriv modellen på matrise-vektorform. 5. (5)Antaatduietdataverktøysomf.eks.LabVIEWellerMatlab skalgenerereetrandomsignalysomskalhamiddelverdi3ogvarians 4. I verktøyet fins en signalgenerator som gir et randomsignal u som harmiddelverdi0ogvarians1.hvordankandupnåyfrau?(du skalangiysomenmatematiskfunksjonavu.) 6. (15)Gittenprosessmed2tilstandsvariable,x 1 ogx 2,ogettpådrag, u.tilstandx 1 skalreguleres.referansenerr.tegnetblokkdiagram som viser strukturen av reguleringssystemet når regulatoren implementerer LQ-regulering med integralvirkning. (Blokkdiagrammet skal vise regulatoren i detalj. Integratoren kan representeres med en integratorblokk.) 7. (5) I MPC, hvilken størrelse i timalkriteriet er det mest naturlig å justere på for å pnå jevnere pådragsbruk? Skal størrelsen økes eller minkes? Begrunn svaret(det kreves ingen beregninger i svaret). 8. (10) Gitt prosessmodellen ẋ=ax+bu+cv (7) dera,bogcerkjenteparametre.uerpådrag.verforstyrrelse.xskal reguleres. Referansen er r. Finn foroverklingsfunksjonen som implementerer foroverkkling fra referansen og fra forstyrrelsen. Hvilke målinger trengs for å realiserer foroverklingen? 2

3 9. (15) Utled regulatorfunksjonen for feedback linearization(norsk: lineariserende tilbakekling eller ulineær dekling). Forklar hvordan regulatorparametrene i den interne PI-regulatoren kan stilles inn vha. Skogestads metode. 10. (5) Hvordan kan du sjekke om en modellbasert regulator er robust overfor modellfeil, selv om du ikke har noen fysisk prosess å teste reguleringssystemet mot? 11. (5)Forklarhvordandukanutnytteensoftsensoriformavet Kalman-filter til forbedre et reguleringssystems robusthet overfor sensorutfall. Det kreves ingen algoritmer i svaret. English version of the exam 1. (10%weight)Assumethattheparametersaandbinthedifferential equation h(k)+a h(k 1)=h(k 1)+bu(k 1) (8) istobeestimatedwiththeleastsquares(ls)method.assumethat thefollowingsamplesofthevariableshanduexist: Write the total regression model {h(0),h(1),h(2),h(3),h(4)} (9) {u(0),u(1),u(2),u(3),u(4)} (10) Y =Φθ (11) which makes the basis for the LS estimation. However, you shall not calculate the estimate in this Problem. The regression model contains onlythesamplesofhanduthatareavailable.(youaretofindthe vectory,matrixφ,andthevectorθ.) 2. (20) Given a motor with this mathematical model: n(s)= K [u(s) L(s)] (12) Ts+1 wherenisrotationalspeed,uiscontrolvariable,lisequivalentload torque(represented in the same unit as the control variable) which canberegardedasaprocessdisturbance,k isgain,andt is time-constant.k andt hasknownvalues.nismeasured continuously. This model corresponds to the following differential equation: Tṅ(t)+n(t)=K[u(t) L(t)] (13) 3

4 L is assumed to be mostly constant. Write down the Kalman-filter equations for estimation of n and L.(The correction and prediction parts of the Kalman-filter shall be written in detail.) You can assume thatthekalman-filtergainisk (youarenotaskedtowritethe equations for calculating K). 3. (5) In Kalman-filter applications, which parameter should you adjust totrytoobtainfasterresponseintheestimateofagivenstate variable? Is there any drawback regarding the estimation as you try to obtain a faster estimation? 4. (5) Write down an example of a linear discrete-time state-space model having 3 state variables, 2 control variables, and 2 output variables. Writ the model with matrices and vectors. 5. (5)AssumethatyouinacomputertoolasLabVIEWorMatlabshall generatearandomsignalywithmean3andvariance4.assumethat thetoolhassignalgeneratorgivingarandomsignaluwithmean0 andvariance1.howcanyouobtainyfromu?(expressyasa mathematical function of u.) 6. (15)Givenaprocesswith2statevariables,x 1 andx 2,andone controlvariable,u.x 1 istobecontrolled.thereferenceisr.drawa block diagram showing the structure of the control system with LQ-control with integral action.(the block diagram shall display the controller in detail. The integrator shall be represented with an integrator block.) 7. (5) In MPC, which parameter in the timization criterion would you adjust to obtain a smoother control signal? Will you increase or decrease the parameter? Give a reason for your answer(no calculations are needed). 8. (10) Given the process model ẋ=ax+bu+cv (14) wherea,b,andcareknownparameters.uiscontrolvariable.vis process disturbance. x is to be controlled. The reference is r. Derive the feedforward controller containing both feedforward from reference and from disturbance. Which measurements are needed to realize the feedforward controller? 9. (15) Derive the control function of feedback linearization. Explain how the controller parameters of the internal PI controller can be calculated using Skogestad s method. 4

5 10. (5)Howcanyoutestamodelbasedcontrollerforrobustnessagainst modelerrors,eventhoughthereisnhysicalprocesstouseinthe testing? 11. (5)Explainhowyoucanuseasoft-sensorintheformofa Kalman-filter to increase the robustness of a control system against sensor dr-outs. No algorithms are required in your answer. Formelliste for eksamen i SEKY3322 Kybernetikk 3 Påeksamenmåduselvvelgehvilke(n)avformlenesomeraktuelleiden enkelte pgave. ẋ(t k ) x(t k+1) x(t k ) (15) h ẋ(t k ) x(t k) x(t k 1 ) (16) h u(t)=u 0 +K p e(t)+ K p T i t 0 edτ+k p T d ė f (t) (17) x(k+1)=f[x(k), u(k)] (18) y(k)=g[x(k), u(k)] (19) x(k+1)=ax(k)+bu(k) (20) y(k)=cx(k)+du(k) (21) f 1 f 1 x 1 x 2 A= = f x T (22) B= C= D= f 2 x 1 f 2 x 2 f 1 u 1 f 1 u 2 f 2 u 1 f 2 u 2 g 1 x 1 g 1 x 2 g 2 x 1 g 2 x 2 g 1 u 1 g 1 u 2 g 2 u 1 g 2 u 2 5 = f u T (23) = g x T (24) = g u T (25)

6 Z{y(k)}= y(k)z k (26) k=0 k 1 y 1 (z)+k 2 y 2 (z) k 1 y 1 (k)+k 2 y 2 (k) (27) z n y(z) y(k n) (28) z n y(z) y(k+n) (29) z Unitystepattime-stepk=0:1 z 1 (30) H s = y s u s =lim z 1 H(z)=H(1) (31) L(z)=H c (z)h u (z)h s (z) =H }{{} c (z)h p (z) (32) H p(z) T(z)= L(z) 1+L(z) = m x = 1 N n L (z) d L (z) 1+ n L(z) d L (z) N 1 k=0 = n L (z) d L (z)+n L (z) (33) x(k) (34) Var(x)= 1 N 1 [x(k) m x ] 2 (35) N 1 k=0 σ= Var(x) (36) R x (L)=E{[x(k+L) m x ][x(k) m x ]} (37) R xy (L)=E{[x(k+L) m x ][y(k) m y ]} (38) { 1whenL=0 δ(l)= (39) 0whenL 0 m y =Gm v +C (40) σ 2 y =G2 σ 2 v (41) y=φθ (42) θ LS =(Φ T Φ) 1 Φ T y (43) ẋ k x k+1 x k h + x k x k 1 h 2 M obs = 6 C CA. CA n 1 = x k+1 x k 1 2h (44) (45)

7 x(k+1)=f[x(k),u(k)]+gw(k) (46) y(k)=g[x(k),u(k)]+hw(k)+v(k) (47) R w (L)=Qδ(L) (48) R v (L)=Rδ(L) (49) y p (k)=g[x p (k)] (50) e(k)=y(k) y p (k) (51) x c (k)=x p (k)+ke(k) (52) x p (k+1)=f[x c (k),u(k)] (53) ẋ=f+bu (54) ẍ=f+bu (55) T(s)= y mf(s) y msp (s) = 1 T C s+1 e τs (56) H(s) K p T i T d K s e τs 1 K(T C +τ) k 1 (T C +τ) 0 K Ts+1 e τs T K(T C +τ) min[t,k 1 (T C +τ)] 0 K (Ts+1)s e τs 1 K(T C +τ) k 1 (T C +τ) T K (T 1 s+1)(t 2 s+1) e τs T 1 K(T C +τ) min[t 1,k 1 (T C +τ)] T 2 Ke τs 1 4(T s 2 4K(T C +τ) 2 C +τ) 4(T C +τ) ( t u=b 1 K p e+k i 0 ) edτ+ṙ yf f ( t ) u=b 1 de f K p e+k i edτ+k d 0 dt + r y f f ( K pp =K ps 1+ T ) d s T is ( T ip =T is 1+ T ) d s T is (57) (58) (59) (60) T dp =T ds 1 1+ T ds T is (61) x(k+1)=ax(k)+bu(k)+g w w(k) (62) 7

8 J= [ x T (k)qx(k)+u T (k)ru(k)+2x T (k)nu(k) ] (63) k=0 u(k) = G(k)x(k) (64) [ ] M control = B.AB.A 2 B..A n 1 B (65) J = N p i=n w [ŷ(t k+i t k ) r(t k+i t k )] T Q[ŷ(t k+i t k ) r(t k+i t k )] (66) [ u(t k+i t k )] T R[ u(t k+i t k )] (67) N c i=1 N p i=n w [u(t k+i t k ) s(t k+i t k )] T N[u(t k+i t k ) s(t k+i t k )] (68) 8