+ c ± ± π 2. Derivasjon (t n ) = nt n 1 (sin t) = cos t (cu) = cu (cos t) = sin t (u + v) = u + v (tan t) = 1. ( u
|
|
- Kristen Kleppe
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Lineær lger og differenillikninger formelmling verjon 8 Alger,, c, x R Kvdrtetning: ( + = + + grder in co tn Kvdrtetning: ( = + Konjugtetningen: ( + ( = Kvdrtrotkonjugt: ( + ( = Komplekkonjugt: ( + i( i = + 5 Andregrdlikningen: x + x = x = ± c Fulltendig kvdrt: x + x = ( x + 9 ± Potener, røtter, logritmer,, n, m R + r R k N k gnger k {}}{ = n = e n ln = n = n m+n = m n m n = m n m n = ( m n ( n = n n ( n = n n n = n = n = = ( k = (k prtll ( k = ( k = ( k k ( k = ( k k ( = (k oddetll Trigonometrike identiteter in o = in = in co in co = in /n = x lik t x n = n = /n = = / n m = m/n = ( m /n n = n n n n = n = = eller k! = k ln( = ln + ln ( ln = ln ln ln ( r = r ln e ln = ln e r = r Kompleke tll i = - z = + i co = co in = co = in z =+i hr reldel Re(z= og imginærdel Im(z= z ± z = ( ± + i( ± z z = ( + i( + z = + i i = ( + + i( z + i i + z = i + Im z = + i ligger i det kompleke tllplnet ved koordintet (, Vinkelen = Arg(z til tllet vhenger v hvor tllet ligger i forhold til kvdrntene, jfr figuren til høyre =+tn - ( = =+tn - ( = = =tn - ( = Re =+tn - ( r = z = + (Tllet lengde z = re i (Polrform z = z (co + i in = z n (co n + i in n z /n = z ( /n co( +k n z n + i in( +k n in grder 7 ± co Derivjon (t n = nt n (in t = co t (cu = cu (co t = in t tn (u + v = u + v (tn t = co t (uv = u v + uv (in t = t ( u v = u v uv v (co t = t (e t = e t (tn t = +t ( t = t ln (ln t = t, t > Integrjon t n dt = n+ tn+ t (g(u = g (uu r = r dt +t = ( tn t dt = ( t in t co t dt = tn t dt = ln t t+ dt = ln t + in t dt = co t in t dt = tn t co t dt = in t e t dt = et t dt = ln t u dv = uv v du g (t dt = g(t f (tg(t dt d v(x dx u(x dv du dt = f(v(x dx f(u(x dx f(g(x g (x dx = g( f(u du g( e t co t dt = e t in t dt = et + ( co t + in t et + ( in t co t te t dt = e t in t co t dt = co (t in t co t dt = co(( t ( co((+t (+
2 Lineær lger En lineær likning med vriler x,, x n kn krive x + x + + n x n = der og koeffiientene,, n er reelle eller kompleke tll Et ytem med lineære likninger (eller et lineært ytem er en mling med en eller flere lineære likninger Fek x x + 5x = 8 x x = 7 En løning v ytemet er en lite (, n med tll om gjør t hver likning temmer når mn ytter ut x,, x n med,, n Smlingen v lle mulige løninger klle løningmengden To lineære ytemer klle ekvivlente hvi de hr mme løningmengde Å finne løningmengden til et ytem med to lineære likninger med to vrile med reelle koeffiienter er ekvivlent med å finne ut hvor to linjer kryer hverndre Fek: x x = x + x = x Ingen løning x Et lineært ytem hr enten Ingen løning, eller x x = x + x = x Nøyktig én løning Nøyktig én løning, eller Uendelig mnge løninger x x x = x + x = x Uendelig mnge løninger Et lineært ytem er konitent hvi det hr mint en løning og er inkonitent hvi det ikke hr noen løning Et lineært ytem kn repreentere med en mtrie Fek gitt det lineære ytemet x x + x = x + 5x + 9x = 9 x 8x = 8 å kn mn repreentere koeffiientene i ytemet med følgende koeffiientmtrie: [ Hele det lineære ytemet kn repreentere med følgende ugmenterte mtrie: [ Størrelen til en mtrie ier hvor mnge rder og kolonner den hr Den ugmenterte mtri ovenfor hr rder og kolonner En m n mtrie ( m gnger n mtrie er en x mtrie med m rder og n kolonner m og n trenger ikke å være forkjellige tll Hvi to mtrier er ekvivlente ruker mn tegnet mellom dem Tre grunnleggende rdoperjoner kn enytte på lineære ytemer uten t det påvirker løningmengden: (erttning Erttte en rd med ummen v eg elv og en multippel v en nnen rd (omytting Bytte om to rder (klering Gnge lle tll i en rd med et tll ulik Ekempel : Erttter rd med (rd + ( gnger rd : [ [ ( Ekempel : Bytter rd med rd : [ [ Ekempel : Gnger lle tll i rd med : [ - [ [ [ En enhetmtrie v tørrele n n er en kvdrtik mtrie med lng digonlen fr øverte ventre hjørne til nederte høyre hjørne og eller Ekempel på en enhetmtrie: [ Ved å ruke rdoperjonene for å få koeffiientmtrien met mulig lik en enhetmtrie klle rdreduering Gjør mn det med ekempelmtrien ovenfor får mn følgende: [ [ 9 Og mn hr funnet en unik løning på det opprinnelige ytemet med =9, =, = To mtrier er rdekvivlente hvi det finne en rekkefølge v elementære rdoperjoner om trnformerer den ene mtrien til den ndre Hvi de ugmenterte mtriene til to lineære ytemer er rdekvivlente å hr ytemene mme løningmengde Et ledende tll i en rd er det tllet lengt til ventre i en rd om ikke er lik En nullrd er en rd der lle tll er En rd er ikkenull om den inneholder mint ett tll om ikke er lik En mtrie er på trppeform hvi den hr følgende tre egenkper: Alle ikkenull-rder ligger over lle eventuelle nullrder Det ledende tllet i en rd ligger i en kolonne om er til høyre for det ledende tllet i rden over Alle tll i en kolonne under et ledende tll er lik Hvi en mtrie på trppeform i tillegg hr følgende egenkper, å er mtri på reduert trppeform: Det ledende tllet i lle ikkenull-rder er lik 5 Hvert ledende -tll er det enete tllet om ikke er lik i kolonnen Følgende mtrier er i hhv trppeform og red trppeform: [ 9 [ - 8 5/
3 TEOREM : Enhver mtrie er rdekvivlent med en og re en mtrie på reduert trppeform En pivotpoijon i en mtrie A er en poijon i A om korreponderer med et ledende -tll i den reduerte trppeformen til A En pivotkolonne er en kolonne i A om inneholder en pivotpoijon En pivot er et tll ulik i en pivotpoijon om ruke til å lge er i de ndre rdene i kolonnen vh rdoperjoner Hvi en ugmentert mtrie på reduert trppeform hr mint en nullrd, hr ytemet mint en fri vriel, og ytemet hr uendelig mnge løninger Fek [ -5 Tilvrer ytemet x 5x = x + x = = Vrilene x og x klle ledende vrile, men x her er en fri vriel Slike konitente ytemer kn krive om en generell løning ved å løe det reduerte likningytemet mhp de ledende vrilene: { x = + 5x x x x = x x er fri Her tår løningen på prmeterform, men kn ogå omforme til prmetrik vektorform lik: [ [ [ x + 5x 5 x = = = + x x = p + t v der x x p = [ [, v = [ 5, og t R TEOREM : Ekiten og entydighetteorem Et lineært ytem er konitent hvi og re hvi kolonnen lengt til høyre i en ugmentert mtrie ikke er en pivotkolonne, dv hvi og re hvi en trppeform v den ugmenterte mtri ikke hr noen rd på formen [ der Hvi ytemet er konitent, d inneholder løningmengden enten (i en unik løning uten fri vriler eller (ii uendelig mnge løninger med mint en fri vriel En mtrie med kun én kolonne klle en kolonnevektor, eller re en vektor Et hvert punkt i n dimenjoner kn repreentere med en vektor med n rder Det geometrike punktet (, i R kn identifiere med vektoren [ To vnlige notjoner for vektorer om vriler er enten fet krift: v =, eller pil over oktv: v = [ Addijon og utrkjon v vektorer gjøre rd for rd: [ [ [ [ + + = = + Gitt v og c R å er c v en klr multippel v v: [ v = og c = c [ [ v = = En nullvektor er en vektor der lle tllene er lik, og kn krive om For lle u, v, w i R n og c, d R hr vi: (i u+ v = v + u (ii ( u+ v+ w = u+( v + w [ (v c( u+ v = c u+c v (vi (c+d u = c u+d u Summen/differnen v to mtrier Dette er definert for to mtrier om er like tore: n n ± m mn m mn Sklering v en mtrie = ± n ± n m ± m mn ± mn En mtrie kn gnge med et tll; Mn gnger d lle tllene i mtri med tllet: n c c n c = m mn c m c mn Produktet v to mtrier Hvi ntll kolonner i en mtrie likt ntll rder i en nnen mtrie, å kn de gnge mmen om i ekempelet her: B A A B = [ 7 [ [ Fek å hr 7 her kommet frem ved å plue mmen produktet v tll fr rd i A og kolonne i B lik: Regneregler for mtrier + ( = 7 L A, B, C være vilkårlige mtrier, I enhetmtrien og være mtrien der lle tllene er lik null Vi hr d følgende regler for mtrieregning (der tørrelene på mtriene er lik t den ktuelle formelen gir mening: A + B = B + A A + (B + C = (A + B + C A + = + A = A A A = A(BC = (ABC AI = IA = A A(B + C = AB + AC I tillegg er operjonen A k der k N definert om å gnge A med eg elv k gnger M er definert til å være lik I Den invere til en mtrie Hvi A er en kvdrtik mtrie, å er A definert lik t A A = A A = I En mtrie A er inverterr det A Inveren til en -mtrie er [ [ d = c d d c c
4 Inverer i likningløing Hvi Y = AX og A = å er X = A Y Negtive ekponenter Vi definerer Dette fører til t A k = (A k k N A p A q = A p+q og (A p q = A qp Inveren til et produkt Determinnter (AB = B A Det generelle likningytemet Kn løe lik: Som gir [ p c d q x = x + x = p cx + dx = q dp q d c, [ dp q x = d c q cp d c q cp d c Dette etyr t det generelle -ytemet hr en entydig etemt løning når den åklte determinnten d c Hvi vi hr følgende generelle ytem v n likninger med n ukjente: For n kn determinnten til en n n-mtrie definere rekurivt på følgende måte: n n n n nn = det(m det(m + + ( n+ n det(m n der det(m i er determinnten til den (n (n -mtrien om kommer frem når vi tryker rd og kolonne i Determinnt ved kofktorekpnjon Kofktorekpnjon v 8-7 lng kolonne: ( ( ( ( = 7 = ( 9 ( = ( 7 8 = ( 7 = 78 = 88 = 9 = Crmer regel Det = = 5 L D være determinnten til koeffiientmtrien til likningytemet x + + n x n = x + + n x n = n x + + nn x n = n x + + n x n = x + + n x n = n x + + nn x n = n å klle ytemet homogent hvi = = = n = og inhomogent hvi mint en i Generelt kn vi d i t hvi D er determinnten til et lineært likningytem med n likninger med n ukjente å hr vi følgende fire muligheter: D D = inhomogent homogent entydig etemt løning kun triviell løning x =x = x n = Determinnten til en -mtrie er: [ det = c d c d = d c enten uendelig mnge løninger, eller ingen løninger uendelig mnge ikke-trivielle løninger Determinnten til en -mtrie er: c d e f g h i = e f h i d f g i d g e h D hr likningytemet løningen n n n n nn x =, D n n n n nn x =, D n n n, x n = D
5 Egenverdi og egenvektor L A være en kvdrtik mtrie Et tll λ klle en egenverdi for A hvi det finne en vektor x lik t A x = λ x x klle en egenvektor for A med λ om tilhørende egenverdi Vi hr d t A k x = λ k x Egenverdiene til mtrien A er de tllene λ om gir det(a λi = Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene Regn ut determinnten det(a λi, om lir et polynom i λ v grd n Lø likningen det(a λi = Egenverdiene til A er lle løningene λ v denne likningen Eventuelle kompleke løninger regne ogå om egenverdier til A For hver reell egenverdi λ, lø likningen (A λix = De løningene X om ikke er lik, er egenvektorene til A med λ om tilhørende egenverdi Lengden (eller normen til v er den ikke-negtive klren v = v v = v + v + + v n og v = v v Grm-Schmidt-proeen Hvi { x, x,, x p } er en i for et underrom W i R n, å er { v, v,, v p } en ortogonl i for W der v = x v = x v x v v v v = x v x v x v v v v v v v p = x p xp v v v v I tillegg å hr vi xp v v v v Spn{ v,, v k } = Spn{ x,, x k } xp v p v p v p v p for k p En ortonorml i { u, u,, u p } får vi ved å dele hver v vektorene i den ortogonle ien på in egen norm: uk = v k v k for k p Omforming v uttrykket co t + in t L, og være gitte tll med > Funkjonen kn krive på formen = co t + in t der (C, t er polrkoordintene til punktet (, Speielt hr vi C = + og tn(t = Vinkelen t ligger i intervllet [, og hører til mme kvdrnt om punktet (, Førte orden inhomogen lineær differentillikning hr løningen y = e P (t y + p(ty = g(t e P (t P (t g(t dt + Ce der P (t er en vilkårlig ntiderivert v p(t Høyere orden differenilligninger med kontnte koeffiienter En høyere orden differenilligning med kontnte koeffiienter er en ligning n y (n + + y ( + y + y + y = Komplementær / homogen løning Den tilhørende homogene differenilligningen får vi ved å ytte ut høyreiden med Vi får d n y (n + + y ( + y + y + y = Vi løer en homogen høyere orden differenilligninger med kontnte koeffiienter ved ført å løe den krkteritike ligningen n r n + + r + r + r + = om hr røtter r, r,, r n Deretter finner vi løningene y, y,, y n til den homogene differenilligningen ved følgende regel: Hvi r k = + i, og denne roten hr forekommet m gnger før, er { t y k (t = m e t co(t hvi «plo rimer på co» t m e t in(t hvi < «minu rimer på inu» Den komplementære løningen y C er d y C = c y y + n y n Prtikulær løning Prtikulær løning kn du finne når du kjenner y, y,, y n Hvi differenilligningen vr v orden hr du kun løninger y og y, og d hr du en nrvei for y P om er lik ut (ruk ikke +C for integrlene: y y y P = y dt + y dt W W der W er Wronki-determinnten v y, y : W = y y y y = C co ((t t 5
6 Hvi differenilligningen er v orden n >, kn du ikke ruke denne nrveien D må du løe følgende mtrieligning (Vi nefler Crmer regel!: y y y n y y y n y (n y (n y n (n u (t u (t u n(t = Deretter finner du u(t = u (tdt (ruk ikke +C for integrlene, og til lutt Om dette heftet y P = u y + u y + u n y n Dette heftet er lget om en kredderydd formelmling til et kur i lineær lger og differenillikninger ved UiA i Grimtd En del v toffet er overetteler v definijoner og teoremer fr Ly (, Kohler og Johnon ( og Gulliken (998 Noe toff er ogå inpirert v formelmlingen til Hugn (7 Kommentrer og retteler er meget velkomne, og medfører finnerlønn ved lvorlige feil Dette er verjon 8 Site verjon ør ligge her: Referner CC BY: $ \ trondlcom/lindiffpdf Jotein Trondl, mr jotein@trondlno Gulliken, T (998 Mtemtikk i prki Univeritetforlget Hugn, J (7 Formler og teller NKI Forlget Kohler, W & Johnon, L ( Elementry differentil eqution Peron Addion Weley Ly, DC ( Liner lger nd it ppliction Peron Addion Weley Tkk til Svein Olv Nytun, Torgeir Attetog, Bjørn Øyvind Hlvoren og Ajørn Sndne for innpill og retteler
7 + g(t f Lplcetrnformjon L {} = e t dt F ( F ( + G( F ( f( f F ( f( f ( f (n n F ( n f( f n ( f(t u(t e F ( e t F ( t f(τ dτ F ( t t F ( F (σ dσ Prllellforkyving: F ( F ( e t F ( f(t u(t e F ( F ( F ( e t e t t/ t/ / / t n n! n+ n (n! tn t n t n! e ( 5 n+ ( n e t e t ( ( ( ( e t e t ( ( ( 7 ( ( in t in t co t co t e t in t ( + ( + et in t e t co t ( + ( + e t co t t in t ( + ( + co t ( + ( + in t t co t ( + t in t ( + t ( + 5 ( + (n! (tn e t (et e t (et e t (t in t ( co t (in t t co t in t in t + t co t ( + ( + (in t + t co t ( co t co t ( + ( + 7 ( + ( + (co t co t ( in kt coh kt ( k co kt inh kt +k 8 in kt coh kt +k k co kt inh kt k in kt inh kt +k 9 +k k in kt inh kt k inh kt in kt +k +k k (inh kt in kt k coh kt co kt k k k (coh kt co kt u(t e e u(t δ(t e e δ(t 7
x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerHøgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave
Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y
DetaljerAnvendt matematikk formelsamling versjon 21
Anvendt mtemtikk formelsmling versjon Alger,, c, x R. Kvdrtsetning: ( + ) = + + θ grder sin θ cos θ tn θ. Kvdrtsetning: ( ) = + 0 0 0 0 Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x
DetaljerFormelsamling for Matematikk. Jostein Trondal
Formelsmling for Mtemtikk Jostein Trondl Algebr, b, c, x R i = Kvdrtsetning: ( + b) = + b + b Kvdrtsetning: ( b) = b + b Konjugtsetningen: ( + b)( b) = b Kvdrtrotkonjugt: ( + b)( b) = b Komplekskonjugt:
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
DetaljerIntegrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon
Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2007
Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerFlott Formel. Jostein Trondal
Flott Formel Jostein Trondl. utgve Mrs 05 Forord Dette heftet strtet sitt liv i perioden 008-05 som seprte, skreddersydde formelsmlinger til ulike mtemtikkurs på UiA i Grimstd. I 03 ble de ulike smlingene
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve f = + f ( ) = 6 ( ) 3 g = ( ) e g = + = + ( ) e e e ( ) h = 3 ( ) ln( ) 3 h ( ) = 3 = 3 3 Oppgve
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerEksamensoppgave i TALM1004 Matematikk 2
Ititutt for llmefg Ekmeoppgve i ALM4 Mtemtikk Fglig kotkt uder ekme: Kåre Bjørvik lf.: 9 77 898 Ekmedto: 5.5.7 Ekmetid (fr-til): 9. 4. Hjelpemiddelkode/illtte hjelpemidler: D (etemt, ekel klkultor tilltt)
DetaljerSubstitusjonsmatriser
Additivt kåringytem Subtitujonmtrier Ser på hver poijon i en gitt mmentilling for eg og gir en kår for hver v poijonene. Den totle (kumultive) kåren finne å ved å ddere kåren fr hver v poijonene. Enkelt
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerEksamen i TMA4130 Matematikk 4N
Norge teknik naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Faglig kontakt under ekamen: Yura Lyubarkii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Ekamen i TMA430 Matematikk 4N Bokmål
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
DetaljerR1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka
R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Detaljer1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerTMA4125 Matematikk 4N
Norge teknik-naturvitenkapelige univeritet Intitutt for matematike fag TMA4125 Matematikk 4N Løningforlag - Øving 4 Fra Kreyzig, avnitt 5.6 3 Vi øker f(t) L 1 {F ()} for F () ( 2 + 9 9)/( 3 9) og delbrøkopppalter
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerResultatet måles med en sensor. Feilen er forskjellen mellom sensorens utgang og vårt ønske. Hva er reguleringsteknikk
Forelening FYS0 uke 4 H009 Tilbkekobling og tbilitet Innhold HVA ER REGULERINGSTEKNIKK... Generell bekrivele v et tyrt ytem... Ekemel: Amunden å ki til Sydolen.... Synd hn kom ldri til ydolen!... 6 EKSEMPEL
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
DetaljerDigital CMOS VDD A Y INF1400 Y=1 A=0 A=1 Y=0. g=0 g=1. nmos. g=0 g=1. pmos. 3. En positiv strøm (strømretning) vil for en nmos transistor
igitl MOS INF4 NGVR ERG efinijon v inære verier:. Logik V. 2. Logik V SS, GN. I. Trnitor om ryter 3. En poitiv trøm (trømretning) vil for en pmos trnitor llti gå fr ource til rin. II. MOS Inverter. nmos
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
Detaljer=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerOppgaver til Dynamiske systemer 1
Oppgaver til Dynamike ytemer Oppgave 0. Lineariering av ulineær modell Likning (2.28) i læreboka er en dynamik modell av en tank med gjennomtrømning og oppvarming. Modellen gjengi her: cρv T (t) P (t)+cw(t)[t
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerFormelsamling i matematikk
Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerEKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
DetaljerLøsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.
Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA-109 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik
EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
DetaljerMATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Aveling for ingeniørutnning FAG : FOA192 Vieregåene nlyse og iskret mtemtikk KLASSAR : Mnge DATO : 21. mi 212 TAL PÅ OPPGÅVER 5 TAL PÅ SIDER 2 VEDLEGG Hjelpesetningr HJELPEMIDDEL Csio
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerS1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen
DetaljerKapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.
Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Noreg teknik naturvitkaplege univeritet Intitutt for matematike fag Side av 5 Fagleg kontakt under ekamen: Erik Lindgren Mobil: 454 75 993 Ekamen i TMA422 Matematikk 4M Nynork Måndag 9. deember 20 Tid:
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Løsningsforslag Øving Med forebehold om feil. Hvis du finner en, ta kontakt med Karin. Kapittel 6. a) Stemmer. Anta
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerProjeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er
Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerEksamen S2 høst 2009 Løsning Del 1
S Ekamen, høten 009 Løning Ekamen S høt 009 Løning Del Oppgave a) Deriver funkjonene: ) ln f f ln ln f ln ln f f ) g e e u, u g e e g e e e g 6e b) Vi har en aritmetik rekke der a 8 og a8. Betem a, d og
Detaljer2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
Detaljer13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5
3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
Detaljer1 Laplacetransform TMA4125 våren 2019
Lplcernform TMA45 våren 9 Lplcernform er en eknikk vi kl bruke il løe ordinære differenillikninger. For de føre er de en mye mer elegn eknikk enn den du lære i M3, for de ndre kler den en bredere kle v
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
DetaljerTALM 1004 Matematikk 2-Eksamen mandag 4.mai 2015 LØSNING. 5 klokketimer TALM1004-A. Matematikk 2. Kåre Bjørvik. Kalkulator: Type C
HØGSKOLEN I SØR-TRØNELG vdeling for teknologi Kandidatnr: Ekamendato: Varighet/ekamentid: Emnekode: Emnenavn: LØSNING 5 5 klokketimer TLM- Matematikk Klae(r): Studiepoeng: EL FEN Faglærer(e): Hjelpemidler:
DetaljerTRANSISTOR SOM BRYTER anvendt i enkle logiske CMOS
el : Grunnleggene igitl CMO NGVR ERG I. Innhol. pmo trnitor TRNITOR OM RTER nvent i enkle logike CMO porter. erie- og prllellkoling v nno- og pmo trnitorer. Inverter, NN, NOR og generelle porter. Komple-
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
Detaljera 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
Detaljerθ grader sin θ cos θ tan θ
MA-8 Klkulus formelsmling versjon 8. Kvdrtsetning: ( + ) = + +. Kvdrtsetning: ( ) = + Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x = ± c Fullstendig kvdrt: x + x + c = ( ) x + + c Trigonometriske
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
Detaljer2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer
2 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture Kort repetisjon 2-komplements form Binær ddisjon/sutrksjon Aritmetisk-logisk enhet (ALU) Sekvensiell logikk RS-ltch 2-komplements
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
Detaljer(s + 1) 4 + 2(s + 1)
NTNU Intitutt for matematike fag TMA4135 Matematikk 4D, øving 6, høt 215 Løningforlag Notajon og merknader Vi dropper enheter i oppgavene om benytter dette. Læreboken er uanett inkonekvent når det gjelder
Detaljer