Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Transkript

1 Insu for maemaske fag Eksamensoppgave TMA44 Saskk Faglg konak under eksamen: John Tyssedal, aakon akka. Tlf.: John Tyssedal: Tlf: aakon akka: Eksamensdao: 7..4 Eksamensd (fra-l): jelpemddelkode/tllae hjelpemdler: C - Tabeller og formler saskk, Tapr forlag. - K. Roman: Maemask formelsamlng. - Kalkulaor Caso fx-8es PLUS, CITIZEN SR-7X, CITIZEN SR-7X College eller P3S. - E semple gul A5-ark med egne håndskrevne formler og noaer. Annen nformasjon: Alle svar skal begrunnes og besvarelsen skal nneholde naurlg mellomregnng. Målform/språk: okmål Anall sder (uen forsde): 4 Anall sder vedlegg: Konroller av: Dao Sgn

2 TMA44 Saskk Sde av 4 Oppgave I en foballsesong ppelgaen skal hver lag splle 3 kamper, 5 hjemmekamper og 5 borekamper. Ved saren av sesongen regner e av foballagene med a sannsynlgheene for seer (S), uavgjor (U) eller ap (T) en hjemmekamp er g som P(S) =.6, P(U) =. og P(T) =.. I en borekamp regner de med a sannsynlgheene er P(S) =.4, P(U) =. og P(T) =.4. Ana vdere a resulae hver kamp er uavhengg av resulaene de andre kampene. a) Lagene får 3 poeng for seer, poeng for uavgjor og poeng for ap. La X være alle på poeng lage får en hjemmekamp og la Y være alle på poeng de får en borekamp. Vs a forvennng og varans l X er g ved og.6 og a forvennng og varans l Y er g ved.4 og.84. La X,,,, 5,,,, være poengene lage får de 5 hjemmekampene og Y 5 være poengene de får de 5 borekampene. La vdere X 5 5 X og Y Y regner vdere med a dersom de greer å få mns 6 poeng så er de god nok l medalje.. Lage b) Fnn forvennng og varans l X og Y. Ana dereer a X og Y er lnærme normalfordele og fnn lnærme sannsynlgheen for a lage greer å få mns 6 poeng. De vser seg a poengsankngen går rå og da de er 8 kamper gjen, 4 hjemmekamper og 4 borekamper, regner de med a de må vnne mns 7 av de 8 sse kampene for å redde plassen seren. De besemmer seg for å gjøre en sannsynlghesvurderng der de bruker sannsynlgheene for seer g nnlednngen av oppgaven. Dersom sannsynlgheen for å redde plassen seren blr mndre enn.5 besemmer de seg for å sparke reneren. c) La N og N være alle på hjemme- og borekamper som lage vnner de 8 sse kampene. vlken fordelng har N og N? lr reneren sparke? Oppgave Ingolv har alld vær fasner av vulkaner og vulkanubrudd. Eer vderegående besemmer han seg derfor for å dra l Island og a en 5-årg maser der. La X være alle på vulkanubrudd på Island e dsnervall av lengde. U fra hsorske daa vser de seg a de er rmelg å gå u fra a X er possonfordel med parameer, der 3. og er alle på år. De vl s a P X x x e, x,,,. x! a) va er sannsynlgheen for a Ingolv skal få oppleve mns e vulkanubrudd en 5 års perode?

3 TMA44 Saskk Sde av 4 Ana a de skjedde e vulkanubrudd nøyakg e år eer a Ingolv kom l Island. va er da sannsynlgheen for a han får oppleve mns e l de femårge oppholde s? b) La T være den år fra Ingolv kommer l Island l de har skjedd o vulkanubrudd. vlken fordelng har T? Forklar hvorfor P T P X. ruk dee l å fnne u lnærme hvor lenge Ingolv må oppholde seg på Island for a sannsynlgheen for å få med seg vulkanubrudd er mns.8. Oppgave 3 To El-bl produsener konkurrerer om de samme kundemarkede med hver sne modellyper. La oss kalle de o modellypene for modell A og modell. En vkg fakor for valg av modellype er rekkevdden som blen har før en må lade baere på ny. Produsenen av modell beskylder produsenen av modell A for å oppg for lang rekkevdde. De hevder a rekkevdden som er oppg kke er realssk å oppnå under normale kjøreforhold. For å undersøke dee nærmere besemmer produsenen av modell A seg for å gjøre e le forsøk. sjåfører får oppdrag å kjøre hver sn bl noe som ble defner som normalerreng og med en snfar på 6 km/. La X være rekkevdden for sjåfør,,,,. De observere rekkevddene km er g nedenfor: x : 3., 9.3, 9.4, 8., 9.5, 8.5, 7.7, 8., 9.6, 9.4 La E X og A V a r X,,,, a) Se opp forvennngsree esmaorer for og A baser på hele uvalge. va blr esmaene når x 9. 7 og x x ? Produsenen av modell A oppgr a forvene rekkevdde under slke forhold er 5 km. Ana nå a A X N, o g u avh en g g e,,,,. b) Kan en u fra daaene konkludere med a produsenen har sa forvene rekkevdde for høy? Formuler dee som e hypoeseesngsproblem og ufør esen. ruk sgnfkansnvå.. I en reklame for modell A sår de a blen har lenger rekkevdde enn modell. Produsenen av modell besemmer seg derfor for å gjennomføre samme forsøk som produsenen av modell A gjennomføre samme erreng og med samme snfar. La Y være rekkevdden for sjåfør,,,,.

4 TMA44 Saskk Sde 3 av 4 De observere rekkevddene km er g nedenfor. y : 9.9,.4, 9.7,.5,.3,.8,., 8., 9.9, 6. y. 9 og y y Ana a Y N,. Varansen er alså lk de o uvalgene, men forvennngene kan være forskjellge. Ana også a X,, X, Y,, Y alle er uavhengge. c) Se opp en forvennngsre esmaor for baser på de uvalgene. Lag e 95 % konfdensnervall for baser på de observere daaene. Tyder nervalle på A a de som sår reklamen for modell A kan være rkg? Grunng svare ved å rekke nn olknngen av konfdensnervalle. Fra forbrukerhold kommer de klage på a El-bl produsener underkommunserer hvor avhengg rekkevdden er av emperauren. Produsenen av modell A ufører derfor e forsøk der en eser rekkevdden for 7 forskjellge emperaurer mellom - C og Temperaurene og de oppnådde rekkevddene er g abellen nedenfor. C. Temperaur C Rekkevdde km E plo av rekkevdde mo emperaur er g nedenfor. 3 rekkevdde emperaur La =,,,7, være de 7 emperaurverdene og R 7 være de lhørende, =,,, rekkevddene. U fra ploe synes sammenhengen å være lnærme lneær og de besemmer seg for å lpasse en modell av ypen

5 TMA44 Saskk Sde 4 av 4 R,,,, 7 der en anar a fel-leddene er uavhengge og oppfyller N,. Mnsekvadrasums esmaoren for er g ved d) Vs a varansen l ˆ er g ved: 7 ˆ 7 7 R. Esmaene for er g o g., ved 93.7,.7 og 4.5 g rekkefølge. ruk dee l å konsruere e 95 % konfdensnervall for. Avvkene for hver mellom observer rekkevdde og de lhørende punke på den esmere lnjen g ved blr kal resdualene. Dsse kan forelle om forusenngene a 7 er rmelge. E QQ-plo og e box-plo av dsse er g nedenfor. N, 4 QQ Plo of Sample Daa versus Sandard Normal Quanles of Inpu Sample Sandard Normal Quanles e) Kommener ploene. Du kan resen av punke ana a 4 og a alle R 7 er, =,,, uavhengge av X,, X, Y,, Y. De vser seg a de verdene for modell A oppg nnlednngen var samle nn 5 C og a de verdene for modell var samle nn C. De er derfor rmelg a de er 5 som bør sammenlgnes A med. ruk X 5 ˆ som esmaor for 5 og vurder om de er noe A grunnlag for å s a forvene rekkevdde med modell A er forskjellg fra forvene rekkevdde med modell ved C. Svar på spørsmåle ved å uføre en hypoesees. Velg sgnfkansnvå selv.