P (v) = 4π( M W 2πRT ) 3 2 v 2 e Mv 2 2RT

Transkript

1 1 Molekylhastigheter Et gitt antall like molekyler i gassfase, ved en gitt temperatur, holder ikke samme hastighet. De fleste har en hastighet nær gjennomsnittshastigheten, noen har lav hastighet, noen flere har høy hastighet, mens ingen molekyler har null eller uendelig i hastighet. Denne fordelingen av molekylhastigheter er temperaturavhengig, og sannsynligheten for å finne et molekyl i en gitt hastighet, ved en gitt temperatur, kan beskrives ved hjelp av Maxwell-Boltzmann-fordelingen. P (v) = 4π( M W 2πRT ) 3 2 v 2 e Mv 2 2RT Skrevet på denne formen, er M W molvekten til hvert av de aktuelle molekylene i kg mol 1 (vs. g mol 1 ), T er temperaturen i kelvin, R = J K 1 mol 1 er gasskonstanten og v er molekylhastigheten i ms 1. Fordelingen tar utgangspunkt i en ideell gass, men beskriver hastighetsfordelingen for edelgassene, hydrogen, nitrogen, oksygen og karbondioksid med rimelig nøyaktighet. For gassene som består av flere enn ett atom, blir situasjonen likevel noe mer kompleks, da leddet Mv 2 beskriver den totale kinetiske energien til systemet og energien må fordeles mellom translasjon (bevegelse), vibrasjon og rotasjon. Vi skal derfor holde oss til å se på monoatomære gasser. Oppgave 1.1: Plott funksjoner for hastighetsfordelingene for helium (M W = u) ved temperaturene -100 C, 300 C og 1000 C. Sett titler på plottet og aksene, og lag en tegnforklaring (legend). Bruk følgende kode til å sette avstandsmerker på Y-aksen: s e t ( gca, YLim, [ ] ) s e t ( gca, YTick, [ ] ) s e t ( gca, YTickLabel, { } ) Oppgave 1.2: Den hastigheten som fleste av molekylene holder, altså den hastigheten det er høyest sannsynlighet for å finne et molekyl i, er definert som: v mp = 2RT M W Denne hastigheten tilsvarer et maksimum av funksjonen. Finn hastigheten for hver temperatur og merk dem av i grafene. Oppgave 1.3: Maxwell-Boltzmann-fordelingen gjelder for et tilfeldig antall molekyler. Integralet av intervallet (0, ) på x-aksen (hastighet), altså arealet under grafen, 1

2 tilsvarer en sannsynlighet på 1. Det er med andre ord 100 % sannsynlig å finne alle molekylene i hastigheter mellom 0 ms 1 og ms 1 (husk at ingen har null eller uendelig i hastighet). Hvis vi integrerer intervallet [300, ) ved en gitt temperatur, ville vi få til svar sannsynligheten for å finne molekyler med 300 ms 1 eller høyere hastighet. Vi kan også tolke svaret som andelen av alle molekylene som har 300 ms 1 eller høyere hastighet. 1. Lag en funksjon med et navn du selv velger, som tar inn-parameterene molekylvekt M, temperatur T, starten på intervallet som skal integreres a og slutten på intervallet b, og som gir ut-parameteren frak som er sannsynligheten/andelen. For å sette uendelig som slutten på intervallet bruker du Inf i MATLAB. Funksjonen må definere gasskonstanten R og for å utføre integrasjonen kan du bruke følgende kode: format long ; syms x ; f r a k=double ( i n t ( (4 pi ( (M/(2 pi R T) ) ^ ( 3 / 2 ) ) x^2 exp( M x^2/(2 R T) ) ), x, a, b ) ) ; Oppgave 1.4: Bruk funksjonen til å finne sannsynligheten for å finne et argonatom (M W = u) i en hastighet > 650 ms 1 ved romtemperatur (25 C). Sammenlign svaret med sjansen for å finne et heliumatom i den samme hastigheten. Hvor mye har atomvekten å si for hastigheten ved en gitt temperatur? Oppgave 1.5: 1. Tilnærmet hvor mange heliumatomer av ett mol ( atomer) vil befinne i en hastighet > 8000 ms 1 ved 1 C? 2. Forsøk så å finne svaret ved en hastighet > ms Kan du ut i fra de to svarene tenke deg hva som skal til for at Maxwell- Boltzmann-fordelingen skal forutsi at det er sannsynlig å finne et atom med en hastighet > ms 1? 4. Hva med et atom som har lyshastigheten c = m s 1? 2

3 Fasit Svar Oppgave 1.1: Program: %D e f i n e r e r v i k t i g e s t ø r r e l s e r M= ; % kg/mol T=273; % k e l v i n R=8.3145; % J/Kmol %Lager en array med de t r e temperaturene TK=[T 100,T+300,T+1000]; %S e t t e r h a s t i g h e t s i n t e r v a l l e t som s k a l unders ø kes, med t i l s t r e k k e l i g %a n t a l l datapunkter (må pr ø ve seg fram, evt. gå ut i f r a %s n i t t h a s t i g h e t e n f o r en g i t t temperatur som er d e f i n e r t v=s q r t (2 RT/M) ). v = [ 0 : 1 0 : ] ; %D e f i n e r e r de t r e l i g n i n g e n e VTK1=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 1 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) v. ^ 2. exp( M v.^2/(2 R TK( 1 ) ) ) ; VTK2=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 2 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) v. ^ 2. exp( M v.^2/(2 R TK( 2 ) ) ) ; VTK3=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 3 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) v. ^ 2. exp( M v.^2/(2 R TK( 3 ) ) ) ; %Lager f i g u r og p l o t t e r f i g u r e ; hold on ; p l o t ( v,vtk1, r, LineWidth, 2 ) ; p l o t ( v,vtk2, g, LineWidth, 2 ) ; p l o t ( v,vtk3, b, LineWidth, 2 ) ; %S e t t e r akser og avtandsmerker a x i s ( [ 0, , 0, ] ) s e t ( gca, YLim, [ ] ) s e t ( gca, YTick, [ ] ) s e t ( gca, YTickLabel, { } ) %S e t t e r t i t t e l og a k s e t i t l e r og t e g n f o r k l a r i n g t i t l e ( Maxwell Boltzmann f o r d e l i n g e n av m o l e k y l h a s t i g h e t i helium som funksjon av temperatur ) ; x l a b e l ( Hastighet [m/ s ] ) ; y l a b e l ( Sannsynlighet P( v ) ) ; legend ( 100 \ circc, \ circc, \ circc, Location, EastOutside ) hold o f f ; 3

4 Svar Oppgave 1.2: Via oppgitt ligning %Lager en vektor med x v e r d i e n e ( h a s t i g h e t f r a o p p g i t t l i g n i n g ) % ved de t r e temperaturene VF=[ s q r t (2 R TK(1)/M) s q r t (2 R TK(2)/M) s q r t (2 R TK(3)/M) ] %Finner de korresponderende y v e r d i e n e ved å s e t t e inn i VTK l i g n i n g e n VTKF1=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 1 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) (VF(1)^2) exp( M (VF(1)^2)/(2 R TK( 1 ) ) ) ; VTKF2=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 2 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) (VF(2)^2) exp( M (VF(2)^2)/(2 R TK( 2 ) ) ) ; VTKF3=4 pi ( (M/(2 pi R TK( 3 ) ) ) ^ ( 3 / 2 ) ) (VF(3)^2) exp( M (VF(3)^2)/(2 R TK( 3 ) ) ) ; %P l o t t e r s i r k l e r rundt v e r d i e n e hold on p l o t (VF( 1 ),VTKF1, ro ) p l o t (VF( 2 ),VTKF2, ro ) p l o t (VF( 3 ),VTKF3, ro ) %Lager merkelapper og s k r i v e r dem inn l a b e l 1 =[ num2str (TK(1) 273), \ circc =, num2str (VF( 1 ) ), m/s ] ; l a b e l 2 =[ num2str (TK(2) 273), \ circc =, num2str (VF( 2 ) ), m/s ] ; l a b e l 3 =[ num2str (TK(3) 273), \ circc =, num2str (VF( 3 ) ), m/s ] ; t e x t (VF( 1 ),VTKF1, l a b e l 1, VerticalAlignment, bottom ) ; t e x t (VF( 2 ),VTKF2, l a b e l 2, VerticalAlignment, bottom ) ; t e x t (VF( 3 ),VTKF3, l a b e l 3, VerticalAlignment, bottom ) ; Eller via max() [ ymax1, ixmax1]=max(vtk1) ; xmax1=v ( ixmax1 ) ; p l o t (xmax1, ymax1, ko ) ; l a b e l 1 =[ num2str (TK(1) 273), \ circc =, num2str (xmax1 ), m/s ] ; t e x t (xmax1, ymax1, l a b e l 1, VerticalAlignment, bottom ) ; [ ymax2, ixmax2]=max(vtk2) ; xmax2=v ( ixmax2 ) ; p l o t (xmax2, ymax2, ko ) ; l a b e l 2 =[ num2str (TK(2) 273), \ circc =, num2str (xmax2 ), m/s ] ; t e x t (xmax2, ymax2, l a b e l 2, VerticalAlignment, bottom ) ; [ ymax3, ixmax3]=max(vtk3) ; xmax3=v ( ixmax3 ) ; p l o t (xmax3, ymax3, ko ) ; l a b e l 3 =[ num2str (TK(3) 273), \ circc =, num2str (xmax3 ), m/s ] ; t e x t (xmax3, ymax3, l a b e l 3, VerticalAlignment, bottom ) ; Svar Oppgave 1.3: Funksjon: 4

5 f u n c t i o n [ f r a k ] = mbfunksjon (M,T, a, b ) % mbfunksjon.m Regner s a n n s y n l i g h e t / andel vha å i n t e g r e r e % MB f o r d e l i n g e n over i n t e r v a l l e t a t i l b R=8.3145; format long ; syms x ; f r a k=double ( i n t ( (4 pi ( (M/(2 pi R T) ) ^ ( 3 / 2 ) ) x^2 exp( M x^2/(2 R T) ) ), x, a, b ) ) ; end Svar Oppgave 1.4: Kode: [ f r a k a r ]= mbfunksjon ( , 2 9 8, 6 5 0, I n f ) f r a k a r = [ frak650he ]= mbfunksjon ( ,298,650, I n f ) frak650he = Det er tilnærmet 8 % sjanse for å finne et argonatom i en hastighet > 650 ms 1 ved 25 C, mens det er tilnærmet 88 % sjanse for å finne et heliumatom i samme hastighet. Vekten har med andre ord svært mye å si ved en gitt temperatur. Svar Oppgave 1.5: Kode: [ frak8000he ]= mbfunksjon ( ,274,8000, I n f ) frak8000he = e 24 frak8000he e23 ans = [ frak15000he ]= mbfunksjon ( ,274,15000, I n f ) frakxhe = e 85 frak15000he ( e23 )^ ans = Det er tilnærmet 2 heliumatomer som sannsynligvis vil ha en hastighet > 8000 ms 1 ved 1 C. Det må mol = ( ) atomer til for at MBfordelingen skal forutsi at det er 100 % sannsynlig å finne ett enkelt heliumatom i en hastighet > ms 1 ved 1 C. 5