Læringsmål tall. Prefikser for potenser av Store tall. Kunne prefikser for store tall i. det binære tallsystemet

Transkript

1 Tall Kunne prefikser for store tall i Læringsmål tall titallsstemet t t det binære tallsstemet Forstå ulike prinsipper for representasjon av negative heltall reelle tall Forstå ulike prinsipper i for representasjon av geometriske former (Kapittel 7., , 8 + Appendiks B) INF040-Tall- INF040-Tall-2 Store tall Prefikser for potenser av 024 For å håndtere store tall i titallsstemet bruker vi en-bokstavs SIsmboler som betegner potenser av 000 k (kilo) = 0 3, M (mega) = 0 6, G (giga) = 0 9, T (tera) = 0 2, P (peta) = 0 5, E (ea) = 0 8, Z (eta) = 0 2, Y (otta) = 0 24 (Merk at vi her bruker k for 000, fordi K i SI-sstemet er en temperatur.) Anta at vi har et digitalt bilde med piksler (bildeelementer) La hvert piksel representeres med bte Bildets størrelse blir oftest angitt til MB Men bildet er jo bte = bte.05 MB Denne feilen øker jo større tall vi snakker om! SI-prefiksene k, M, G osv er desimale enheter og har ingen mening som potenser av 024. IEC publiserte i 999 en standard for potenser av 024. Navnene er satt sammen av de to første bokstavene i SI-prefiksene pluss bi for binær. Navn Smbol Potens av 2 og verdi i titallsstemet kibi Ki 2 0 = 024 Les mer om dette i mebi Mi 2 20 = Appendiks B gibi Gi 2 30 = i læreboka! tebi Ti 2 40 = pebi Pi 2 50 = ebi Ei 2 60 = ebi Zi 2 70 = obi Yi 2 80 = INF040-Tall-3 INF040-Tall-4

2 Noen konvensjoner det er nttig å kjenne Ulike klasser tall Størrelsen på RAM, ROM eller flash-minner gis som regel i binære enheter. Kapasiteten til harddisker og lagre som betraktes som en stor disk oppgis i desimale enheter. Sektorstørrelsene på en disk gis nesten alltid i toerpotenser, siden de mapper direkte til RAM. Det finnes en forvirrende hbrid, der en megabte betr 000 kilobtes a 024 bte. En.44 MB diskett er verken bte eller bte, men btes (som er ca.406 MiB, eller.475 MB). Dette kan også gjelde disk-lignende flashminner (toerpotens multipler av desimale megabte!) Kapasiteten til en CD er alltid gitt i binære enheter. En 700 MB CD har en nominell kapasitet på 700 MiB. Kapasiteten til en DVD er gitt i desimale enheter. En 4,7 GB DVD har en nominell kapasitet på 4,38 GiB. Overføringskapasitet uttrkkes som bps (biter per sekund) eller Bps (bte per sekund) angis alltid i titallsstemet, med SI-prefikser eksempel: kbps (03 bte per sekund), MBps (06 bte per sekund), osv De naturlige tallene: N = {, 2, 3, } De hele tallene: Z = {, -2, -, 0,, 2, } De rasjonale tallene: Q = alle tall som kan skrives som en brøk De reelle tallene: R = alle tallene på tallinjen INF040-Tall-5 INF040-Tall-6 Negative tall: toer-komplement Regning med toer-komplement Hvis vi legger sammen to tall og får en ekstra mente til venstre, kan den bare kastes. Eksempel: - + 4: For å negere et tall: Men: Hvis de to mentene lengst til venstre er ulike, har vi overflt og ugldig svar. Eksempler: 3 + 5: -8 - :. Snu alle bit ene i tallet (0 ). 2. Legg til. INF040-Tall-7 INF040-Tall-8

3 Negative tall: Bias Et alternativ er å legge til en konstant bias til alle tallene. Med 8 bitposisjoner i og bias 28 kan tallene fra -28 til 27 representeres ved hjelp av tallene fra 0 til 255. Eksempler: 53: -2: Regning med bias Ved addisjon kommer bias med to ganger, så vi må trekke den fra igjen (en gang). g) Eksempel: 53 + (-2): INF040-Tall-9 INF040-Tall-0 Flttall I titallsstemet kan et tall skrives på formen mantisse * 0 eksponent Eksempler: 0.5 * 0 2 = 0.5 * 00 = * 0 0 = 0.5 * = * 0 - = 0.5 * 0. = * 0 - = -0.5 * 0. = Binære flttall: IEEE 754 single precision fortegnsbit eksponent med bias 27 mantisse Ikke-lagret ledende med antatt binærpunkt Tilsvarende kan vi skrive binære flttall på formen mantisse * 2 eksponent For flttall må vi altså representere både eksponent og mantisse. Begge må kunne være positive, negative og null. INF040-Tall- INF040-Tall-2

4 Binære flttall: IEEE 754 double precision IEEE 754: Spesielle verdier fortegnsbit eksponent med bias 023 mantisse 52. Ikke-lagret ledende med antatt binærpunkt Null: Både eksponent og mantisse er 0 Uendelig: Eksponent med bare ere, mantisse med bare 0ere Not A Number: Eksponent med bare ere, mantisse 0 Mantisse som starter med : Resultat av en udefinert operasjon (eksempel: 0/0) Mantisse som starter med 0: Resultat av en ulovlig operasjon (eksempel: N/0) INF040-Tall-3 INF040-Tall-4 Flttallsområder i IEEE 754 (og i Java) overflt-område 0 underflt-område overflt-område datatpe antall biter minste positive tall største positive tall float ,85 ( )* ,53 double ,3 ( )* INF040-Tall-5 Gra-kode Gra-kode Binært tallsstem t Titallsstem t Et ikke-posisjonssstem der representasjonen av et tall og det neste tallet i tallrekken atskiller seg i bare én bit

5 Konvertering binært tallsstem Gra-kode Punkter i endimensjonalt rom Fra det binære tallsstemet til Gra-kode Fra Gra-kode til det binære tallsstemet Et tall kan oppfattes som et punkt i et endimensjonalt rom. Tallet er da en koordinatverdi. Eksempler: Punktene -0.5, 2, π π : eclusive or -operasjonen to like biter gir 0, to ulike biter gir Huskeregel: I begge konverteringer XOR es med forrige bit i det binære tallsstemet! INF040-Tall-7 INF040-Tall-9 Punkter i todimensjonalt rom Punkter i tredimensjonalt rom I et todimensjonalt rom trenger vi et koordinatpar. I et todimensjonalt rom trenger vi et koordinattrippel. Eksempel: Punktet t ( 2,2) 22) 4 (2,4) Kartesisk koordinatsstem 3 ( 2,2) 2 (π,) origo π INF040-Tall-20 Eksempel: Punktet t (2,4, π) ) 4 Kartesisk koordinatsstem 3 π 2 (2,4, π) INF040-Tall-2

6 Polarkoordinater Alternativ til kartesiske koordinater ved to dimensjoner: Slinderkoordinater og sfæriske koordinater Alternativ til kartesiske koordinater ved tre dimensjoner: 4 (2,4) (.07π, 4.472) 3 r= h r v2 v v=.07π r v Slinderkoordinater di Sfæriske koordinater INF040-Tall-22 INF040-Tall-23 Diskretisering i rommet Geometrier i rommet Punkter i flerdimensjonale rom må snappes til nærmeste representerbare punkt på samme måte som tall (punkter i det endimensjonale rom) snappes til nærmeste representerbare tall En geometri kan oppfattes som en punktsk med uendelig mange punkter. Dimensjonaliteten kan ikke være større enn rommets dimensjonalitet. Endimensjonalt rom Eksakt verdi Diskretisert verdi Todimensjonalt rom Tredimensjonalt rom INF040-Tall-24 INF040-Tall-25

7 Representasjoner av geometri Regulære geometrier Vektorrepresentasjon : Representere noen viktige punkter, og avlede de øvrige punktene matematisk ved behov. Egnet for regulære geometrier. Rasterrepresentasjon Bgge opp representasjonen av et endelig antall punkter med utstrekning. Endimensjonalt rom Todimensjonalt rom 2 Rett linje ( 2. 2 ) (, ) Rett linje r Sirkel Gir vanligvis bare en tilnærmet korrekt geometri. Tredimensjonalt rom (,, ) r ( 2, 2, 2 ) INF040-Tall-26 Rett linje Kuleskall INF040-Tall-27 Interpolasjonsteknikker Triangulated irregular network (TIN) Interpolasjon med konstant Lineær interpolasjon Interpolasjon med glatting INF040-Tall-28 INF040-Tall-29

8 Quad-tre Rasterrepresentasjon I rasterrepresentasjon bgges geometrien opp av punkter med utstrekning. Endimensjonalt raster Todimensjonalt raster Tredimensjonalt raster INF040-Tall-30 INF040-Tall-3 Tall oppsummering Planen videre Tall kan representeres tekstlig, som binære tall, i Gra-kode eller som flttall. For negative binære heltall brukes vanligvis toer-komplementer. Andre alternativer er bruk av fortegnsbit eller bruk av bias. Tall kan betraktes som punkter i et rom tallene fungerer da som koordinater. Punkter som ikke kan representeres eksakt, må snappes til nærmeste representerbare punkt såkalt diskretisering. Vi er nå ferdige med hvordan tegn og tekst t representeres og presenteres. hvordan nettsider og stilark konstrueres. hvordan tall og geometrier representeres. Neste uke starter Frit med introduksjon til ld. For geometrier med utstrekning kan vi bruke enten vektorrepresentasjon eller rasterrepresentasjon. INF040-Tall-32 INF040-data-33