Oppgavesamling i matematikk X. Abdul Moeed Mohammad

Transkript

1 Oppgavesamling i matematikk X Abdul Moeed Mohammad

2 The only way to learn mathematics is to do mathematics. Paul Halmos.

3 1 Forord Matematikk X er et muntlig fag. Dette innebærer at faget ikke har en skriftlig eksamen, men kun en muntlig eksamen. I slike fag har faglærere og elever større mulighet til å vektlegge deler av pensumet og arbeide med det de synes er interessante. Denne oppgavesamlingen har blitt til i løpet av skoleåret 2014/2015. Bøkene i matematikk X er varierte og jeg synes det er viktig at oppgaver gjenspeiler det som blir gjort i timene. Siden vi ikke følger en bok i faget er denne oppgavesamlingen en form for en bok som du kan bruke for å følge progresjonen i faget. Faget består av tre temaer - tallteori, statistikk og komplekse tall. Oppgavesamlingen er inndelt etter temaer i den rekkefølgen vi kommer til å lære om. Det er ere oppgaver i samlingen enn de vi rekker å gjøre og hensikten er at en ambisiøs elev skal kunne gjøre ere oppgaver enn de foreslåtte hvis hun ønsker det. I begynnelsen av hvert tema nner du en oversikt over sentrale begreper og algoritmer i temaet. Dette kan brukes som en oversikt over temaet. På slutten av samlingen nner du hint og løsningsforslag til enkelte utvalgte oppgaver. Disse har blitt tastet inn etter ønske fra elevene det forrige skoleåret. Jeg anbefaler at du ikke titter på disse før du virkelig har prøvd deg på oppgaven eller pratet med medelever om oppgaven. Oppgavesamlingen er gratis og kan brukes av alle som måtte ønske det. Den er tilgjengelig for nedlasting fra Håper du får glede av faget. Valler vgs, august Abdul Moeed Mohammad. 3

4 Innhold 1 Forord 3 2 Tallteori Delelighet Primtall SFD, MFM og Euklids algoritme Lineære diofantiske likninger Moduloregning Lineære kongruenslikninger Eulers ϕ-funksjon Eulers teorem og Fermats lille teorem RSA-kryptering Repetisjon Tallteori i Abelkonkurransen Statistikk Stokastiske variabler Forventningsverdi, varians og standardavvik Binomisk fordeling Normalfordelinger Sentralgrensesetningen Utvalgsundersøkelser Hypotesetester Repetisjon Eksamensoppgaver fra 3MX og matematikk S Komplekse tall Radianer og trigonometri Regneoperasjoner og det komplekse planet Trigonometrisk form og de Moivres teorem Eksponentiell form og Eulers teorem Komplekse tall og polynomer

5 Innhold 4.6 Repetisjon Oppgaver fra universitetet Hint og løsninger Tallteori Statistikk Komplekse tall

6 2 Tallteori brownsharpie.courtneygibbons.com 6

7 2 Tallteori Begreper i tallteori. Naturlige tall: N = {1, 2, 3,...}. Heltall: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Delelighet: a b b = a k, for noen k Z. Primtall: Største fellesdivisor: Minste fellesmultippel: p 2 og p N er et primtall hvis: a p a = 1 eller a = p. SFD(a, b) er et heltall slik at: (1). SFD(a, b) a og SFD(a, b) b. (2). c a og c b = c SFD(a, b). MFM(a, b) er et heltall slik at: (1). a MFM(a, b) og b MFM(a, b). (2). a c og b c = MFM(a, b) c. Innbyrdes primisk: SFD(a, b) = 1. Kongruens: a b (mod n) n (a b) a = kn + b, k Z. Lineær diofantisk likning: Lineær kongruenslikning: Eulers ϕ-funksjon: ax + by = c, der alle koesienter og løsninger er heltall. ax b (mod n). ϕ(n) = Antall naturlige tall n som er innbyrdes primiske med n. 7

8 2 Tallteori Ferdigheter i tallteori. Metode 1. Metode 2. Finne primtall. Eratostenes såld: Primtallstest: Skriv opp n naturlige tall. Sjekk om tallet er delelig Fjern multipler av primtall. med primtall kvadratroten til tallet. Finne primtalls- Sjekk om tallet er primtall. faktorisering. Finn faktorer ved primtallstest. Finne SFD. For små tall: For store tall: Finn primtallsfaktoriseringer. Euklids algoritme. Ta minimum av eksponentene Bruk at: i primtallsfaktoriseringene. SFD(b, bq + r) = SFD(b, r) Finne MFM. For små tall: For store tall: Finn primtallsfaktoriseringer. Finn SFD med Euklids alg. Ta maksimum av eksponentene Bruk at produktet av SFD og MFM er produktet av tallene. Avgjøre om Sjekk om SFD(a, b) c. ax + by = c har heltallige løsninger. Løse Omgjør til ax c (mod b). ax + by = c eller by c (mod a). som diofantisk. Avgjøre om Sjekk om n (a b). a b mod n. Løse Sjekk om løsbar. kongruenslikningen Hvis SFD(a, n) = 1, ax b mod n. forenkle til x b (mod n). Utregning Hvis primtall: Hvis sammensatt: av ϕ(n). ϕ(p) = p 1 Primtallsfaktoriser. Bruk at: ϕ(p r 1 1 (... prn n ) ( = n 1 1 p p n ). RSA. Oppsett: Kryptering og dekryptering: n = pq, der p, q er primtall. Kryptering: m e mod n. Velg e slik at SFD(e, φ(n)) = 1. Dekyptering: m d mod n. Finn d slik at de 1 (mod φ(n)). Åpen: (e, n). Hemmelig: (d, n). 8

9 2 Tallteori 2.1 Delelighet Sant eller usant? (a) (b) (c) (d) Vis at følgende er sant: (a). a 0, for alle a Z der a 0. Hva skjer hvis a = 0? (b). 1 b, for alle b Z. (c). a a, for alle a Z der a 0. Hva skjer hvis a = 0? (d). Forklar med ord hva du har vist i deloppgavene ovenfor (a). La x Z. Vis at hvis a b er sant, da er også a xb sant. (b). Forklar med ord deloppgaven ovenfor ved å bruke begrepene 'multippel' og 'divisor' (a). Vis at hvis a b 1 og a b 2, da er a (b 1 + b 2). (b). Vis at hvis a b 1 og a b 2, da er a (xb 1 + yb 2) La c 0. Vis at a b hvis og bare hvis ca cb. (Vink: Ordene 'hvis og bare hvis' brukes for ekvivalens, altså.) La a, b N. Vis at hvis a b, da er a b. (Vink: Prøv med et bevis med selvmotsigelse). 9

10 2 Tallteori Finn en partner. (a). Forsøk å denere begrepet 'primtall' ved hjelp av a b. (b). Forsøk å denere begrepet 'partall' ved hjelp av a b. (c). Forsøk å denere begrepet 'oddetall' ved hjelp av a b (a). Faktoriser n 3 n. (b). Forklar at 2 n 3 n og 3 n 3 n. (c). Er 6 n 3 n sant? Lær deg delelighetsreglene nedenfor. Finn en partner. Gi hverandre naturlige tall. Avgjør om de er delelige med 2, 3,... 9 eller ikke Divisorfunksjonen d : N N er denert slik: σ(n) = Antall positive divisorer av n. (a). Regn ut σ(12), σ(31) og σ(1). (b). Forklar at hvis p er et primtall, da er σ(p) = 2. (c). La a N. Forklar at hvis p er et primtall, da er σ(p a ) = a + 1. (d). La a, b N. Forklar at hvis p og q er primtall, da er σ(p a q b ) = (a + 1)(b + 1). 10

11 2 Tallteori 2.2 Primtall Er Eratostenes' såld en eektiv måte å nne primtall? Ser du fordeler og ulemper med å bruke algoritmen? Diskuter med en partner I denne oppgaven skal du lære å regne kvadratrøtter for hånd. Metoden bygger Newtons metode. Kanskje lærer du dette i R1? La oss si du ønsker å bestemme a. Gjør følgende: 1) Foreta en gjetning på hva ) a er. Kall gjetningen x 0. (x 0 + ax0 2) Regn ut 1. Kall svaret for x ) Regn ut 1 ) (x 1 + ax1. Kall svaret for x 2. 2 Fortsett denne prosessen så lenge du vil, der x n+1 = 1 2 Til slutt vil x n a når n. Bruk denne algoritmen til å bestemme 12 og 31. ( x n + a ). x n Hvilke av tallene nedenfor er primtall? (a). 53. (b) (c) (d) Finn en partner. Spill et spill der begge personer gir hverandre et tall. (dere kan bestemme antall sier i tallet først f.eks.). Deretter er det om å gjøre å bestemme om tallet er primtall eller ikke raskest. Spill spillet uten å bruke kalkulator. (Vink: Man kan f.eks. gi hverandre ti tall, slik at man har bedre tid.) 11

12 2 Tallteori (a). Vis at hvis p 2 er et primtall, da er p et oddetall. (b). Forklar at to etterfølgende tall, utenom 2 og 3, ikke kan være primtall Gjengi Euklids bevis for antall primtall til en venn eller et familiemedlem. (Prøv å få frem essensen i argumentet.) Primtallsfunksjonen π : N N er denert slik at: π(n) = Antall primtall n. (a). Regn ut π(50) med Eratostenes såld. (b). Selberg-Erdosteoremet sier at π(n) n ln(n). (c). Regn ut π(100) og π(10000) med Selberg-Erdosteoremet. I virkeligheten er π(100) = 25 og π(10000) = Hvordan stemmer Selberg-Erdosteoremet med virkeligheten? (d). Forklar at sannsynligheten for å velge et primtall blant de x første naturlige tallene er ca. lik 1 ln x Hva er primtallsfaktoriseringen til følgende? (a). 56. (b) (c) (d) (e) Noen venner tok toget. Hver av dem betalte heltall antall kroner, til sammen 329 kr. Hva slags informasjon kan du trekke ut ifra dette? 12

13 2 Tallteori "Hvor bor du?", spurte han. -"Vel.. jeg har tre barn og produktet av alderne deres er 72. Summen av aldrene er gatenummeret", sa hun litt nølende. -"Hm. Jeg har ikke nok informasjon til å vite gatenummeret", mumler han. -"Vet du hva?! Jeg har ikke tid til dette. Eldstedatteren min tar matematikk X i år og jeg lovet henne at hun skulle forklare meg Euklids bevis for at det nnes uendelig mange primtall", skyter hun skarpt. -"Aha! Nå vet jeg hva gatenummeret er!", utbryter han. Hva er alderen til barna hennes? I denne oppgaven skal du lære et triks for å primtallsfaktorisere n!. (a). Hvilke primtallsfaktorer kan 10! ha? (b). Forklar at 10! = 2 a 3 b 5 c 7 d, for noen heltall a, b, c, d 0. Fem tall i {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} er delelig med 2: {2 1, 2 2,..., 2 5}. To tall i {1, 2, 3, 4, 5} som er delelig med 2: {2 1, 2 2}. Ett tall i {1, 2} som er delelig med 2. Da er a = fordi vi har da telt antall faktorer som er lik 2. (c). Forklar at b = 4, c = 2 og d = 1. (d). Finn primtallsfaktoriseringen til 12!. 13

14 2 Tallteori 2.3 SFD, MFM og Euklids algoritme Finn SFD og MFM til tallene nedenfor. (a). 100 og 20. (b). 74 og 9. (c). 132 og 99. (d). 34 og Er noen av tallene 46, 134, 71 og 291 innbyrdes primiske? Tegn et venndiagram med to sirkler. I den ene sirkelen, skriv opp primtallsfaktorene til 12. I den andre sirkelen, skriv opp primtallsfaktorene til 18. (a). Hva kan du si om produktet av tallene i snittet til sirklene? (b). Hva kan du si om produktet av tallene i unionen til sirklene? (c). Forklar at = MFM(12, 18) SFD(12, 18) fra venndiagrammet (a). Forklar at SFD(a, b) = SFD(b, a), for alle a, b N. (b). Forklar at SFD(1, a) = 1, for alle a N. (c). Forklar at SFD(a, a) = a, for alle a N. (d). Forklar at hvis p er et primtall, da er SFD(a, p) = 1, for alle a < p La p være et primtall og la n, m N. Forklar at SFD(p n, p m ) = p min(n,m) (a). Lag en denisjon for SFD(a, b, c). Visualiser ved hjelp av et venndiagram. (b). Forklar hva SFD (SFD(a, b), c) betyr og sammenlign med SFD(a, b, c). (c). Regn ut SFD(24, 18, 36). 14

15 2 Tallteori (a). Forklar at MFM(a, b) = MFM(b, a), for alle a, b N. (b). Forklar at MFM(1, a) = a, for alle a N. (c). Forklar at MFM(a, a) = a, for alle a N. (d). Forklar at hvis p og q er ulike primtall, da er MFM(p, q) = pq Bruk Euklids algoritme til å nne SFD og MFM til tallene nedenfor. (a). 34 og 251. (b). 306 og 657. (c) og 851. (d) og Du har nå lært hvordan man beregner SFD og MFM. (a). Euklids algoritme lærer oss en måte å bestemme SFD. Hvorfor har vi ikke lært en tilsvarende måte for beregning av MFM? (b). Når er det fordelaktig å bruke primtallsfaktorisering for å beregne SFD? (c). Når er det fordelaktig å bruke Euklids algoritme for å beregne SFD? 15

16 2 Tallteori 2.4 Lineære diofantiske likninger (a). Med en setning og med ord, forklar hva en diofantisk likning er. (b). La x, y Z. Finn alle løsningene til den diofantiske likningen xy = 1. (c). I hvilke sammenhenger ser du fordelen med diofantiske likninger? Finnes det løsninger til de diofantiske likningene nedenfor? (a). 42x + 12y = 60. (b). 306x + 657y = 100. (c). 63x + 9y = 27. (d). 34x + 251y = Du kjøper to type kulepenner, men bryr deg ikke om antall penner. Den ene kulepennen koster 5 kr per stykk. Den andre koster 6 kr per stykk. Kvitteringen sier at dette kostet deg 112 kr. Kan dette stemme? Forklar at hvis a og b er innbyrdes primiske, da har den diofantiske likningen ax + by = c løsninger, uansett hvilken verdi c har Start med tallet 0. For hvert steg, legg til eller trekk fra tallet 5 eller 17. Er det mulig å ende opp med tallet 1? 16

17 2 Tallteori 2.5 Moduloregning Sant eller usant? (a). 5 2 (mod 3). (b) (mod 5). (c). 7 7 (mod 8). (d) (mod 12) Finn en partner. Diskuter med partneren. F.eks. er 17 2 (mod 5), men vi har også 12 2 (mod 5) eller 7 2 (mod 5). Dette betyr at hvis vi skal bestemme x Z slik at x 2 (mod 5) har vi ere løsninger. (a). Sammen med partneren din, nn ere x Z slik at x 2 (mod 5). (b). Vis at x 2 (mod 5) tilsvarer tall på formen x = 5k + 2, der k Z. (c). Generelt, hvor mange x Z nnes det slik at x a (mod n)? (a). La a Z og a N. Vis at n a a 0 (mod n). (b). Dener partall og oddetall ved hjelp av modulobegrepet La a, b, c Z og n N. Vis at følgende er sant. (a). a b (mod n) b a (mod n). (b). Hvis a b (mod n) og b c (mod n), da er a c (mod n). (c). a b (mod n) a + c b + c (mod n). 17

18 2 Tallteori Bestem det minste positive heltallet x 0 slik at: (a). 26 x (mod 5). (b). 45 x (mod 3). (c). 2 x (mod 6). (d). x 34 (mod 13). (e). x 4 (mod 2) Bestem det minste positive heltallet x 0 slik at: (a). x 5 6 (mod 7). (b). 9 x + 6 (mod 3). (c). 2x + 3 x 2 (mod 6). (d). x (mod 13) La a, b, c Z og n N. Vis at følgende er sant. (a). Hvis a b (mod n) og c d (mod n), da er ac bd (mod n). (b). Hvis a b (mod n), da er a m b m (mod n), for alle m N. (c). Hvis a b (mod n), da er am bm (mod n), for alle m N Et partall a er et heltall slik at a 0 (mod 2). Et oddetall a er et heltall slik at a 1 (mod 2). La n, m Z. Vi sier at n og m har lik paritet hvis begge er partall eller begge er oddetall. (a). Vis at n m og n + m har lik paritet. (b). Vis at hvis n m og n + m er oddetall, da er (n m)(n + m) et oddetall. (c). Vis at hvis n m og n + m er partall, da er (n m)(n + m) 0 (mod 4). (d). Forklar at alle a Z slik at a 2 (mod 4) kan ikke skrives som dieransen mellom to kvadrattall. 18

19 2 Tallteori I denne oppgaven skal du bevise delelighetsregelen for 5. Nemlig: Et heltall k er delelig med 5 det siste sieret til k er 0 eller 5. (a). La n Z 0. Forklar at 10 n 0 (mod 5), der n > 0. Hva skjer hvis n = 0? (b). La k Z med sifrene a i. Forklar en partner at: k = a r 10 r + a r 1 10 r a a 0. (c). Vis at k 0 (mod 5) hvis og bare hvis a 0 0 (mod 5). (d). Forklar hvorfor dette gir delelighetsregelen for 5. (e). Finn og bevis en delelighetsregel for 9 eller Kongruenser er nyttige når man skal sjekke delelighet. Her er et svært nyttig eksempel. Eksempel: Vis at er delelig med 4. Siden 5 1 (mod 4), er (mod 4). Siden (mod 4) og (mod 4), er (mod 4). Dermed er 4 (5 80 1). (a). Vis at er delelig med 8. (b). Vis at er delelig med 15. (c). Vis at er delelig med 8. (d). Hva er resten etter divisjonen mellom og 80? (e). Lag en tilsvarende oppgave og gi til en partner I denne oppgaven skal du utforske kongruenser modulo 10 n. Bestem minste x 0 slik at: (a) x (mod 10). (b) x (mod 100). (c) x (mod 1000). (d). La a, n N. Diskuter med en partner hva x er når a x (mod 10 n ). (e). Bestem det siste sieret til (f). Bestem de to siste sifrene til

20 2 Tallteori 2.6 Lineære kongruenslikninger Omskriv de diofantiske likningene til kongruenslikninger. Husk at du har to muligheter. Skriv opp begge. (a). 2x + 5y = 1. (b). 47x 35y = 7. (c). 24x + 9y = 4. (d) y = 5x Avgjør om kongruenslikningene har heltallige løsninger eller ikke. (a). 5x 2 (mod 3). (b). 6x 18 (mod 16). (c). 3x 27 (mod 16). (d). 7x 3 (mod 11) Forklar at hvis SFD(a, n) = 1, da har kongruenslikningen ax b (mod n) løsninger. Kjenner du igjen dette resultatet fra diofantiske likninger? Løs kongruenslikningene nedenfor, hvis det er mulig. (a). 3x 10 mod 12. (b). 7x 42 mod 5. (c). 4x 6 6 mod 13. (d). 7x 1 mod 13. (e). 8x 1 mod 7. (g). 9x 8 mod

21 2 Tallteori I denne oppgaven skal du se et triks når man løser kongruenslikninger. (a). Forklar at 5x 10 (mod 15) har løsninger. (b). Forklar at kongruenslikningen tilsvarer den diofantiske likningen x + 3y = 2. (c). Forklar at dette gir x 2 mod 3. (d). Vis at hvis SFD(a, b, n) = k, da kan kongruenslikingen omskrives til a k x b k mod n k Løs kongruenslikningene nedenfor, hvis det er mulig. (a). 3x 2 (mod 7) (b). 4x 1 (mod 5) (c). 7x 1 (mod 15) (d). 6x 3 (mod 9) (e). 4x 3 (mod 19) Løs de diofantiske likningene nedenfor, hvis det er mulig. (a). 7x + 9y = 41 (b). 2x + 3y = 2 (c). 7x + 2y = 4 (d). 5x + 15y = 1 (e). 4x + 14y = 12 (f). 2x + 7y = 5 (g). 100x + 42y = Løs den diofantiske likningen x + 3y = 2 grask. Tegn grafen til y = x og les av løsningene. 3 21

22 2 Tallteori I lmen Die Hard: With a Vengance" (1995) dukker tallteori opp uten at seeren ser det. I denne oppgaven skal du utforske dette. John McClane (Bruce Willis) og Zeus Carver (Samuel L. Jackson) må løse en gåte innen en tidsramme. Gåten er: Du har en 3 liter kanne og en 5 liter kanne. Ingen av kannene har markeringer for antall liter. Du har tilgang til en vannkran. Bruk kannene og vannkranen for å måle nøyaktig 4 liter." (a). La x, y Z. Forklar at gåten tilsvarer å løse den diofantiske likningen 3x + 5y = 4. (b). Vis at løsningene til den diofantiske likningen er (x, y) = ( 2 5k, 2 + 3k), der k Z. (c). Forklar at løsningene forteller deg antall ganger du fyller/tømmer kannene. (d). La k = 0, da er løsningen (x, y) = ( 2, 2). Forklar hva det betyr for kannene. (e). Bruk k = 0 til å beskrive hvordan man kan løse problemet. 22

23 2.7 Eulers ϕ-funksjon. 2 Tallteori Regn ut. (a). ϕ(27). (b). ϕ(162). (c). ϕ(36). (d). ϕ(19) Fyll ut det som mangler istedenfor. (a). La n N og n > 1. Da er ϕ(n). (b). Hvis p er et, da er ϕ(p) = p 1. (c). La p være et primtall og r N. Da er ϕ(p r ) = (d). La n, m N. Hvis, da er ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m). (e). La n = p r 1 1 pr 2 2 pr k k være en primtallsfaktorisering. Da er ϕ(n) = La n = p r 1 1 pr 2 2 pr k k være en primtallsfaktorisering. Vis at ϕ(n) = p r p r p r k 1 k (p 1 1) (p 2 1) (p k 1) Vis at hvis n 3, da er ϕ(n) et partall Finn alle n N slik at ϕ(n) = 8. 23

24 2 Tallteori 2.8 Eulers teorem og Fermats lille teorem Bestem minste heltall x 0 slik at: (a) x (mod 33). (b) x (mod 33). (c) x (mod 47). (d) x (mod 33). (e) x (mod 31). (f) x (mod 27) (a). Vis at er delelig med 40. (b). Finn de to siste sifrene til (c). Vis at er delelig med Løs kongruenslikningene ved Eulers teorem eller Fermats lille teorem. (a). 5x 2 (mod 7) (b). 10x 19 (mod 21). (c). 8x 13 (mod 22). (d). 5x 3 (mod 14). (e). 18x 23 (mod 37). (f). 7x 39 (mod 54) (a). La n Z. Forklar at n 10 1 er alltid delelig med 11. (b). La n Z. Forklar at n 5 n er alltid delelig med

25 2.9 RSA-kryptering. 2 Tallteori Sett opp et RSA-krypteringssystem med følgende primtall p og q. Oppgi åpen nøkkel og hemmelig nøkkel. (a). p = 3 og q = 7. (b). p = 17 og q = 3. (c). p = 11 og q = 5. (d). p = 101 og q = Den åpne nøkkelen til et RSA-krypteringssystem er (3, 55). (a). Vis at 18 krypteres til 2 i dette systemet. (b). Den hemmelige nøkkelen er (27, 55). Vis at 2 dekrypteres til I denne oppgaven skal du oppleve hvor vanskelig det kan være å knekke et RSA-krypteringssytem. Den åpne nøkkelen til et RSA-krypteringssystem er (101, ). Du vil nne (d, ). (a). Forklar at du må nne ϕ( ). Hva er vanskelig i dette tilfellet? (b). Ved en tilfeldighet får du vite at ϕ( ) = Forklar at du må løse kongruenslikningen 101d 1 (mod ). Hva er vanskelig i dette tilfellet? (c). Forklar at hvis du kan primtallsfaktorisere store tall raskt, da kan du knekke RSA-systemer. (d). På den andre siden, hvis du lager et RSA-krypteringssytem, hva kan du gjøre for å sikre systemet? (e). Hvorfor er folk interesserte i store primtall? Klikk: jpopyack/introcs/hw/rsaworksheet.html Nettsiden inneholder en RSA-krypteringskalkulator som du skal bruke i denne oppgaven. Finn en partner. Lag et RSA-krypteringssystem hver og gi hverandre åpne nøkler. Deretter dekrypter hverandres krypteringer. 25

26 2 Tallteori Klikk deg inn på nettsiden: Svar/diskuter følgende. (a). Hva blir nevnt om symmetrisk og asymmetrisk kryptering? (b). Hvorfor er det viktig at nettsider som Google krypterer informasjonen? (c). Hva er potensielt farlig med ukrypterte nettsider? 26

27 2 Tallteori 2.10 Repetisjon (a). La a, b Z. Hva betyr det når vi sier a b? (b). La a, b N og a b. Hvorfor er a b? (c). Vis at hvis a b 1 og a b 2, da er a (b 1 + b 2). (d). Hva betyr begrepene multippel og divisor? (e). Dener et primtall. Hvorfor er tallet 1 ikke et primtall? (f). Forklar to måter å sjekke om et tall er primtall eller sammensatt. (g). Primtallsfaktoriser 111 og 97. (h). Noen venner dro på kino. De kjøpte en billett hver til en lik pris, og betalte til sammen 291 kr. Hvor mange venner var det? Hvor mye kostet en billett? (i). Dener begrepene MFM of SFD. (j). Regn ut SFD og MFM av 50 og 21 ved primtallsfaktorisering. (k). Hva er Euklids algoritme? Hvordan brukes dette til beregning av SFD? (l). Hva er en diofantisk likning? Løs den diofantiske likningen xy = 2. (m). Avgjør om de diofantiske likningene har løsninger: 32x + 7y = 9 og 33x + 9y = 97. (n). Lag et praktisk problem der man får en diofantisk likning. (o). Dener a b mod n. Nevn tre måter å tenke på en slik kongruens. (p). Finn en partner. Gi hverandre kongruenser og avgjør om det er sant eller usant. (q). Bestem minste heltall x 0 slik at: 27 x mod 5 og 2x + 3 x 1 mod 6. (r). Vis at hvis a b mod n og b c mod n, da er a c mod n. (s). Vis at hvis SFD(n, c) = 1 og ac bc mod n, da er a b mod n. (t). Hvilke krav skal være oppfylt for at kongruenslikningen ax b mod n er løsbar? (u). Løs kongruenslikningene: 5x 2 mod 3, 7x 42 mod 5 og 8x 1 mod 7. (v). Løs de diofantiske likningene: 2x + 3y 2 og 6x + 8y = 26. (w). Dener Eulers ϕ-funksjon. (x). Regn ut ϕ(5) og ϕ(15). (y). Hva er Eulers teorem? Hva med Fermats lille teorem? (z). Vis at mod 97 og at er delelig med 16. (æ). Redegjør for et RSA-krypteringssystem. Gi et eksempel på oppsett, kryptering og dekryptering. 27

28 2 Tallteori 2.11 Tallteori i Abelkonkurransen (Oppgave 14, 1.runde, ). Den største felles divisoren til to tall a og b er 22. Det minste fellesmultiplumet til a og b er Dersom a har færre divisorer enn b, hva er a + b? (Oppgave 1, 1.runde, ). Hvor mange positive heltall går opp i 2 10? (Oppgave 16, 1.runde, ). Hva er det minste heltallet n større enn 1 som er slik at siste sier i a n er det samme som siste sieret i a, for alle mulige positive heltall a? (Oppgave 20, 1.runde, ). Hvor mange kvadrattall er det blant tallene 2013, 2020, 2027,..., 3595, 3602? (Oppgave 12, 1.runde, ). Summen av tre påfølgende heltall er et primtall p. Hva er p? (Oppgave 17, 1.runde, ). Hva er summen av sifrene i det største heltallet n 2013 som er slik at summen av sifrene i n er lik produktet av sifrene i n? 28

29 2 Tallteori (Oppgave 10, 1.runde, ). Hva er de to siste sifrene i ? (Oppgave 10, 2.runde, ). Hva er det minste positive heltallet b slik at 2014 går opp i 5991b + 289? (Oppgave 3, 2.runde, ). Et tall er slik at hvis du deler det på 2010, får du 1000 i rest. Hvis du deler det på 2012, får du 100 i rest. Hva er resten hvis du deler på 12? (Oppgave 2, 2.runde, ). Vi kaller et positivt heltall superdelelig hvis summen av alle tall som tallet er delelig med (inklusiv 1 og tallet selv), er mer enn dobbelt så stort som tallet selv. Hva er det minste superdelelige tallet? (Oppgave 8, 2.runde, ). Hva er halve summen av alle positive heltall n som er slik at n 2 er kvadratet av et positivt heltall? (Oppgave 1, Finale, ). La s(n) = 1 6 n3 1 2 n n. (a). Vis at s(n) er et heltall når n er et heltall. (b). Hvor mange heltall n, med 0 < n 2008, er slik at s(n) er delelig med 4? (Oppgave 3, Finale, ). (a). Finn alle hele tall n og m slik at 2m 2 + n 2 = 2mn + 3n. (b). Det er gitt positive hele tall a, b og c slik at a 3 er delelig med b, b 3 er delelig med c, c 3 er delelig med a. Vis at (a + b + c) 13 er delelig med abc. 29

30 3 Statistikk somethingofthatilk.com 30

31 3 Statistikk Begreper i statistikk. Utfallsrom: Stokastisk variabel: Diskret stokastisk variabel: Kontinuerlig stokastisk variabel: Uavhengige variabeler: Sannsynlighetsfordeling: Forventningsverdi: Varians: Standardavvik: Binomisk variabel: Normalfordeling: Ω = { alle enkeltutfall i et tilfeldig forsøk.} Variabel som tar tilfeldige utfall i Ω og gir tallverdier. Dvs., X : Ω R. Endelig mange enkeltutfall. Uendelig mange enkeltutfall. Utfallene påvirker ikke hverandre. Dvs., P (A B) = P (A) for hendelsene A, B Ω. Tabell over alle enkeltutfall i Ω og sannsynlighetene deres. µ = E(X) = k P (X = k). Var(X) = (µ k) 2 P (X = k). σ = SD(X) = Var(X). Diskret stokastisk variabel der: (1). Enkeltutfall har to utfall. (2). Uavhengige enkeltutfall. (3). Lik sanns. på hvert enkeltutfall. Kontinuerlig fordeling der: b 1 P (a < X < b) = e (x µ)2 2σ 2 dx. 2π a Standardnormalfordeling: Normalfordelingen med µ = 0 og σ = 1. 31

32 3 Statistikk Ferdigheter i statistikk. Metode. Lage sannsynlighets- Skriv opp enkeltutfall for Ω. fordeling. Regn sannsynlighetene til enkeltufallene. Regne µ, Var og σ fra Bruk denisjonene eller bruk: E(a + bx + cy ) = a + be(x) + ce(y ). Var(a + bx + cy ) = b 2 Var(X) + c 2 Var(Y ). Husk kravet om uavhengighet. Tolke µ og σ. µ er gjennomsnittsverdien til X i det lange løp. σ er avviket fra µ. σ kan tolkes med Chebyshevs eller normalfordelinger. Regne med Sett Z = X µ. σ normalfordelinger. Bruk tabell for standardnormalfordelingen Z. Avgjøre om binomisk er Sjekk om np 5 og n(1 p) 5. tilnærmet normalfordelt. Utvalgsundersøkelser. La P ( z < Z < z) = k%. Hvis X er normalfordelt med µ X og σ X er: P (X z σ X < µ X < X + z σ X) = k%. Hypotesetester. (1). Formuler nullhypotese H 0 og alternativ hypotese H 1. (2). Anta H 0 er sann. Bestem P verdien. (3). Sammenlign P -verdien med signikansnivået α. Hvis P -verdien < α, forkast H 0 og godta H 1. Hvis P -veriden α, ikke forkast H 0. 32

33 3 Statistikk 3.1 Stokastiske variabler Er følgende et deterministisk eller et tilfeldig forsøk? (a). Akselerasjonen til et objekt i fritt fall. (b). Været i morgen. (c). Antall utskrifter i en printer. (d). Soloppgang i morgen i Sandvika Beskriv utfallsrommet Ω til de tilfeldige forsøkene nedenfor. (a). Trekk av et tilfeldig kort fra et kortstokk. (b). Summen av antall øyne i kast av to terninger. (c). Johan kommer for sent til timen. (d). Om bussen må stanse eller ikke på to lyskryss Du kaster to terninger. Hvilke verdier kan de stokastiske variabelene nedenfor ta? (a). La X være summen av øynene. (b). La Y være produktet av øynene. (c). La Z være det minste antall øyne av de to terningene La X være en stokastisk variabel. Finn en partner og diskuter. (a). Stemmer det at X + X = 2X? (b). Hva kan du si om regneregler for stokastiske variabler fra dette? Finner du andre eksempler? 33

34 3 Statistikk La X være antall øyne når du kaster en terning. (a). Lag sannsynlighetsfordelingen for X. (b). Lag sannsynlighetsfordelingen for 2X. (c). Hva kan du si om P (2X = 2x i)? Du sjekker eposten din. I løpet av en tidsperiode fører du statistikk over antall spameposter du mottar hver dag. La X : antall spameposter per dag. (a). Forklar hvorfor X er en stokastisk variabel. (b). En sannsynlighetsfordeling for X er: k P (X = k) 0, 46 0, 37 0, 14 0, 03 Hva er summen av sannsynlighetene? (c). Bestem P (X 1), P (X = 3) og P (X 1). (d). Hva er den enklest måten å bestemme P (X > 0) på? Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel X. Bestem P (X 2). k P (X = k) 0, 14 2p p 0, En selger oppnår X salg per dag og en annen selger oppnår Y salg per dag. Sannsynlighetsfordelingene er: k 0 1 P (X = k) 0, 3 0, 7 k 0 1 P (Y = k) 0, 4 0, 6 (a). La S = X + Y. Hvorfor er S en stokastisk variabel? (b). Hvilke verdier kan S ta? (c). Lag en sannsynlighetsfordeling for S. 34

35 3 Statistikk 3.2 Forventningsverdi, varians og standardavvik Du sjekker eposten din. I løpet av en tidsperiode fører du statistikk over antall spameposter du mottar hver dag. La X : antall spameposter per dag. k P (X = k) 0, 46 0, 37 0, 14 0, 03 (a). Regn ut forventningsverdien, standardavviket og variansen. (Husk å oppgi enheter). (b). Bruk GeoGebra til å gjøre oppgave 1a. (Vis>Regneark. Skriv inn fordelingen loddrett. Marker hver kolonne, høyreklikk og Lag>Liste.) (Deretter, i CAS: Gjennomsnitt[Liste1,Liste2], Varians[Liste1,Liste2] og Standardavvik[Liste1,Liste2]). (c). Lag et histogram av sannsynlighetsfordelingen. (I Skriv innfeltet: Histogram[{0,1,2,3,4},Liste2]. Merk at vi har med et ekstra element på x i) Du kaster to mynter. La X:"antall kron". (a). Lag en sannsynlighetsfordeling for X. (b). Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket. (c). Tolk forventningsverdien. Hva betyr svaret du kk? Kunne vi visst svaret på forhånd? (d). Hva er forventningsverdien for antall kron når vi kaster n mynter? 35

36 3 Statistikk I et pengespill er X overskuddet til spilleren i kroner når vi spiller en runde. k P (X = k) 0, 15 0, 5 0, 35 Regn ut forventningsverdien. Lønner det seg å delta i pengespillet? Du gambler på et terningsspill. Hvert spill koster 200 kr. Hvis terningen viser 1, 2 eller 3, får du utbetalt 250 kr. Hvis terningen viser 4 eller 5, får du utbetalt 224 kr. La X være overskuddet i kroner per spill. (a). Lag en sannsynlighetsfordeling for X. (b). Regn ut forventningsverdien. Hva betyr svaret ditt? (c). Regn ut variansen og standardavviket I et pengespill kaster man to mynter. La X være overskuddet til spilleren. Hvert spill koster 100 kr. Hvis begge myntene er kron, får du utbetalt 160 kr. Viser ingen av myntene kron, får du ikke utbetalt noe. Et spill kalles rettferdig hvis vi verken vinner eller taper i det lange løp. (a). Forklar hva µ = E(X) er når et spill er rettferdig. (b). Hvor mye må spilleren få utbetalt når en av myntene viser kron for at spillet skal bli rettferdig? I et pengespill kaster man tre terninger. Hvis summen av øynene er 17 eller 18, blir overskuddet 50 kroner. Hvis summen blir 3 eller 4 blir overskuddet 100 kr. Arrangøren vil tjene penger på spillet. Hvor mye bør hver deltaker betale for å være med i spillet? 36

37 3 Statistikk Du har lært noe om E(X) når X angir overskuddet i et pengespill. Det er andre ting her i livet hvor forventningsverdien spiller en viktig rolle. Finn en partner og diskuter følgende: (a). Du undertegner en forsikring. La X være det du tjener på forsikringen per år. Hva kan du si om E(X)? (b). Store elektronikkjeder har små fortjenestemarginer på elektronikk, men høy fortjeneste. En ting er at de kjøper i store kvantum, men hvilke andre måter tjener de penger? (c). Forsikringsselskaper tilbyr ofte rabatt hvis du har tre eller ere forsikringer. Ofte undertegner folk f.eks. mobilforsikring eller lignende for å få samlerabatt. Lurt eller ikke? Chebyshevs ulikhet sier at P (µ kσ < X < µ + kσ) 1 1 k 2, for alle k > 0 der µ og σ er forventningsverdien og standardavviket til X. (a). La k = 2. Tolk Chebyshevs ulikhet i dette tilfellet. (b). Finn en partner. Diskuter hva som skjer hvis k øker eller k synker. Dere kan velge µ og σ til å være konstante i første omgang La a > 0 og la X være en stokastisk variabel som kun tar positive verdier. Markovs ulikhet sier at P (X a) E(X). a (a). Sandvika postkontor håndterer, i gjennomsnitt, brev og pakker hver dag. Hva kan du si om sannsynligheten for at de håndterer minst brev og pakker i morgen? (b). Bevis Markovs ulikhet. 37

38 3 Statistikk La Var(X) = 1 og Var(X) = 2. Vi antar X og Y er uavhengige stokastiske variabler. (a). Arne og Bjarne skal regne ut Var(X Y ), men får forskjellige svar. Avgjør hvem som har rett. Arne: Var(X Y ) = Var(X) Var(Y ) = 1. Bjarne: Var(X Y ) = Var(X) + ( 1) 2 Var(Y ) = 3. (b). Bestem et uttrykk for SD(X Y ) I et pengespill med innsatsen 100 kr kaster vi en terning og en mynt. Vi får 20 kr per øye terningen viser. I tillegg får vi 58 kr hvis mynten viser kron. La Z være overskuddet av spillet til spilleren, la X være antall øyne på terningen og la Y være antall kron. (a). Forklar at Z = X + 58Y. (b). Bestem forventningsverdien og standardavviket til Z La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler, der E(X i) = E(X) og Var(X i) = Var(X), for alle i. Vi denerer X Σ = X 1 + X X n. (a). Vis at E(X Σ) = n E(X). (b). Vis at Var(X Σ) = n Var(X). (c). Vis at SD(X Σ) = n SD(X) La X : høyden til en norsk 19-årig gutt. Her er E(X) = 180 cm og Var(X) = 42 cm 2. Vi velger ut re tilfeldige gutter og lar X Σ = X 1 + X 2 + X 3 + X 4. Regn ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til X Σ. 38

39 3 Statistikk Bjarne kommer ofte for sent til første økt. La X : antall minutter Bjarne er sen til første økt. Forventningsverdien er 7 minutter og standardavviket er 1 minutt. Det er 192 skoledager i løpet av et år. Finn forventningsverdien og standardavviket for hele skoleåret (a). Vis at Var(X) 0, for alle stokastiske variabler. (b). Når er Var(X) = 0? La µ = E(X), σ = SD(X) og la Z = X µ. σ Vis at E(Z) = 0 og Var(Z) = I denne oppgaven skal du utforske en annen denisjon av varians. La X være en stokastisk variabel med µ = E(X) som forventningsverdi. (a). Vis at E ( (X Y ) 2) = E(X 2 ) 2 E(X Y ) + E(Y 2 ). (b). Vis at E ( (X µ) 2) = E(X 2 ) (E(X)) 2. (c). Bruk uttrykket for E(f(x)) til å vise at Var(X) = E ( (X µ) 2). (d). Formuler en alternativ denisjon for varians. (e). Bruk denne denisjonen til å vise at Var(a + bx) = b 2 Var(X). 39

40 3.3 Binomisk fordeling 3 Statistikk Den første runden av Abelkonkurransen består av 20 spørsmål. Hvert spørsmål har fem alternativer der kun ett er riktig. Vi velger alternativer tilfeldig. La X være antall riktige svar. (a). Forklar at X er binomisk. (b). Bestem forventningsverdien og standardavviket til X Rykkinnbussen pleier å være forsinket 60%. I løpet av en uke reiser du med bussen 10 ganger. La X være antall ganger bussen ikke er forsinket. (a). Forklar at X er binomisk. (b). Bestem forventningsverdien og standardavviket til X Sannsynligheten for at Messi scorer når han skyter et skudd er 70%. I løpet av en kamp skyter han mot mål. La X være antall mål han scorer i løpet av kampen. (a). Forklar at X er binomisk. (b). Bestem forventningsverdien og standardavviket til X Finn en partner og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Velg binomisk fordeling velg verdier for n og p. Hva slags form får histogrammet når n? Hva skjer hvis p øker eller minker? 40

41 3 Statistikk La X være en binomisk fordeling der n = 20. Nedenfor ser du et histogram over sannsynlighetsfordelingen til X. Bestem sannsynligheten p for suksess ved hjelp av guren I denne oppgaven skal du se en annen fordeling kalt geometrisk fordeling. Denne fordelingen oppfyller de (nesten) samme kravene som binomisk, men X angir antall ganger du må feile før du har suksess. Ellers kan X ta uendelig mange verdier og P (X = k) = p (1 p) k 1. La p være sannsynligheten for suksess. (a). Forklar hvorfor P (X = k) = p (1 p) k 1. (b). Du får vite at E(X) = 1. Hvorfor kan dette intuitivt stemme? p (c). Sannsynligheten for at en l du nedlaster er korrupt er 75%. Du laster ned len gjentatte ganger, helt til len du nedlaster ikke er korrupt. Hvor mange ganger kan du forvente å laste ned før len ikke er korrupt? 41

42 3.4 Normalfordelinger 3 Statistikk Finn en partner og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. Velg normalfordeling velg verdier for µ og σ. Svar på følgende spørsmål. Alternativt: Lag glidere for µ og σ og tegn f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2. (a). Hva skjer hvis µ øker eller minker? (b). Hva skjer hvis σ øker eller minker? (c). Grafen har en symmetrilinje parallell til y-aksen. Hvilken? (d). Hva kan du si om toppunktet til grafen? (e). Hva kan du si om vendepunktene til grafen? (f). Regn ut P (µ σ < X < µ + σ) for forskjellige verdier av µ og σ. Hva observerer du? Hva med P (µ 2σ < X < µ + 2σ)? (g). En tommerngerregel er at 'nesten' alle verdier en normalfordelt stokastisk variabel tar er i intervallet (µ 3σ, µ + 3σ). Hvorfor? (h). Har grafen noen asymptoter? (i). Hva er verdimengden og denisjonsmengden til grafen? Petter og Jannicke foretar oljeskift på biler. La X være tiden Petter bruker på å skifte olje på en tilfeldig bil, og la Y være tiden Jannicke bruker på å skifte olje på en tilfeldig bil. X er normalfordelt med µ X = 20 minutter og σ X = 5 minutter. Y er normalfordelt med µ Y = 18 minutter og σ Y = 7 minutter. Hvem ville du foretatt oljeskift hos? Begrunn svaret ditt (a). Bestem P (Z 1.25). (b). Finn z slik at P (Z z) = (a). Bestem P (Z 0.67) og P (Z < 0.67). (b). Forklar hvorfor P (Z z) = P (Z < z). 42

43 3 Statistikk (a). Forklar at P (Z z) = 1 P (Z < z). (b). Bestem P (Z 1.39). (c). Bestem z slik at P (Z > z) = (a). Forklar at P (a Z b) = P (Z b) P (Z a). (b). Bestem P (0.25 < Z < 1.27). (c). Bestem P ( 1.28 Z < 2.42). (d). Bestem z slik at P ( z Z z) = (a). Forklar at P (Z = a) = 0. (b). Forklar at P (Z = a) P (c). Bestem P (Z = 0.435). ( a 1 2 Z a + 1 ) IQ-tester er normalfordelte med µ = 100 og σ = 15. Gjør for hånd. Sjekk svar med GeoGebra etterpå. Finn sannsynligheten for at: (a). en tilfeldig person har lavere enn 105 IQ? (b). en tilfeldig person har høyere enn 120 IQ? (c). en tilfeldig person har IQ mellom 110 og 120? (d). en tilfeldig person har 130 i IQ? (e). Hvilken IQ må en tilfeldig person ha for å være blant de med 5% høyest IQ? 43

44 3 Statistikk La X være tiden L.Ektor bruker å gå til jobben. Vi antar at X er normalfordelt med µ = 32 minutter og σ = 2 minutter. Finn sannsynligheten for at: (a). L.Ektor bruker mellom 31 og 33 minutter til jobben? (b). L.Ektor bruker mindre enn 27 minutter til jobben? La Y være tiden L.Ektor bruker på å gå fra jobben. Siden det er nedoverbakke fra jobben, antar vi at Y er normalfordelt med forventningsverdi 28 minutter og standardavvik på 3 minutter. Finn sannsynligheten for at: (c). L.Ektor bruker mer enn 65 minutter til sammen til og fra jobben? (d). L.Ektor bruker kortere tid fra jobben enn til jobben? I en skyskraper er det en heis. La X være tiden heisen bruker på å kjøre opp en etasje. Vi antar X er normalfordelt med forventningsverdi 6 sekunder og standardavvik 1 sekund. (a). Hva er sannsynligheten for at heisen bruker mer enn 8 sekunder opp en etasje? Pga tyngdekraften bruker heisen kortere tid ned en etasje. La Y være tiden heisen bruker på å kjøre ned en etasje. Vi antar Y er normalfordelt med µ = 5 sekunder og σ = 0, 75 sekunder. (b). Arne tar heisen opp en etasje for å hente noen papirer. Deretter tar han heisen ned igjen. Hva er sannsynligheten for at han bruker mellom 10 til 12 sekunder i heisen? (c). Bjarne bruker heisen mange ganger per dag. En dag kjører han heisen opp 7 etasjer og ned 4 etasjer. Hva er den forventede tiden Bjarne bruker i heisen denne dagen? (d). Heisen tåler en vekt på 800 kg. Hvis vekta er større i heisen, går alarmen. Vi antar at vekta til en tilfeldig bruker av heisen er normalfordelt med forventningsverdi 80 kg og standardavvik 10 kg. Hva er sannsynligheten for at alarmen går hvis 9 personer tar heisen? 44

45 3 Statistikk 3.5 Sentralgrensesetningen Finn en partner og diskuter. Sant eller usant? (a). Sentralgrensesetningen sier at alle fordelinger er tilnærmet normalfordelinger når man har mange nok utfall. (b). Gjennomsnittet til normalfordelinger er normalfordelt. (c). Alle binomiske fordelinger kan tilnærmes som normalfordelinger. (d). Sentralgrensesetningen er grunnen til at normalfordelinger er viktige Vi kaster en terning 1000 ganger og teller antall ganger vi får seks øyne. Altså, vi lar X være antall seksere. (a). Forklar at X er tilnærmet normalfordelt. (b). Hva er sannsynligheten for å få f.o.m. 100 t.o.m. 200 seksere? Flyselskaper pleier å overbooke setene på yruter. Ett y har 300 seter og har booket 320 seter. Flyselskapet regner med at det er 10% sannsynlig at en passasjer ikke møter opp til yet. La X være antall passasjerer som møter opp til bookingen sin. (a). Forklar at X er tilnærmet normalfordelt. (b). Hva er sannsynligheten for at minst en passasjer som har booket, ikke får sete på yet? Det er 25% sjanse for at kyr blir friske hvis de er smittet av en spesiell sykdom. Hvis 200 kyr er smittet, hva er sannsynligheten for at minst 60 kyr vil overleve? 45

46 3 Statistikk Bjarne kommer ofte for sent til første økt. La X : antall minutter Bjarne er sen til første økt. Forventningsverdien er 7 minutter og standardavviket er 1 minutt. Det er 192 skoledager i løpet av et år. Finn sannsynligheten for at Bjarne er for sen mer enn 90 minutter i løpet av skoleåret Samordna opptak sender n studenter opptaksbrev for at de skal godta opptak til et studie med 120 studieplasser. De regner med at 80% av studentene vil godta opptaket. Bestem n slik at det er 95% sannsynlig at høyst 120 studenter godtar opptak til studiet. 46

47 3 Statistikk 3.6 Utvalgsundersøkelser La X 1, X 2,..., X n være uavhengige stokastiske variabler, der µ = E(X i) og σ 2 = Var(X i), for alle i. Vi denerer X = (a). Vis at E(X) = µ. (b). Vis at SD(X) = σ n. X1 + X Xn n (c). Hva kan du si om X når n? som gjennomsnittet En utvalgsundersøkelse viser at et 90% kondensintervall for µ til høyden blant 19-åringer (målt i cm) er (170, 185). Kun en av påstandene nedenfor er sann. Hvilken? Finn og diskuter med en partner. (1). 90% av observerte gjennomsnittsverdier er mellom 170 og 185. (2). Det er 90% sannsynlig at µ (170, 180). (3). 90% av utvalgsundersøkelsene vil ha et kondensintervall som inneholder µ En utvalgsundersøkelse om antall ganger de kk salgstelefoner i løpet av året. 250 personer svarte. Gjennomsnittsverdien var 2, 7 telefonsamtaler og standardavviket var 7, 9 telefonsamtaler. (a). Finn et 90% kondensintervall for antall salgstelefoner per år. (b). Finn et 95% kondensintervall for antall salgstelefoner per år. (c). La z være slik at P ( z < Z < z) = p%. Forklar at et p%-kondensintervall er for antall salgstelefoner per år er ( 2.7 z 7, 9 250, z 7, ). (d). Hva skjer hvis vi øker eller minker kondensen p? (e). Hvor mange måtte vi ha spurt for at bredden til kondensintervallet er mindre enn 2? 47

48 3 Statistikk La X være binomisk fordelt med n enkeltutfall, og la ˆp = X n være den stokastiske variabelen som estimerer sannsynligheten p for suksess. (a). Vis at E(ˆp) = p. p(1 p) (b). Vis at SD(ˆp) =. n (c). Anta np 5 og np(1 p) 5. Hva kan du si om X når n? I en utvalgsundersøkelse svarte 210 av 1000 at de vil stemme Arbeiderpartiet ved neste stortingsvalg. (a). Finn et 97, 5%-kondensintervall for oppslutningen til partiet. (b). Ved forrige valg stemte 22% Arbeiderpartiet. Har oppslutningen sunket? Hva hvis 16% stemte Arbeiderpartiet ved forrige valg, har oppslutningen sunket? (c). Hvor mange måtte vi ha spurt for at bredden til kondensintervallet er mindre enn 0, 03? Finn en partner og diskuter. (a). Hvorfor kan vi ikke ha 100%-kondensintervaller? (b). Hvorfor bruker man ikke bare 99%-kondensintervaller hele tiden? 48

49 3 Statistikk 3.7 Hypotesetester Sett opp en nullhypotese og alternativ hypotese i hver deloppgave. (a). En bilprodusent hevder at motoreekten til en bil er 143 hk. Top Gear tester ti slike biler og nner at 7 av 10 slike biler har færre enn 143 hk. (b). Et budbilselskap reklamerer med at leveringstiden er gjennomsnittelig 24 timer. Klager fra kundene har ført til at kundeservice mener at leveringstiden er mer enn 24 timer. (c). Gjennomsnittshøyden til gutter i en Vg3-klasse er 180 cm. I en tilfeldig Vg3 klasse viser det seg at gjennomsnittshøyden for gutter er ikke lik 180 cm Utfør en hypotesetest der α = 2%. Skriv opp konklusjonen med ord. (a). Ved et valg kk Høyre 21% av stemmene. Etter valget ble det gjort en spørreundersøkelse der 255 av 1000 personer svarte at de ville stemme Høyre. (b). Spireevnen til blomsterfrø er i dag 70%. Produsenten har dyrket frem nye frø der 60 av 100 frø spirer. (c). Beboerne i et borettslag mener at 50% av alle biler kjører for fort ved borettslaget. En fartsmåling av 100 biler viser at 40 biler kjørte for fort. (d). Du mener at en tikroning favoriserer den ene siden. Av 15 kast kk du mynt 12 av gangene Hva blir utfallene av hypotesetestene i oppgave hvis α = 5%? Er påstandene nedenfor sanne eller usanne? Finn og diskuter med en partner. (1). Hypotesetester utføres for å sjekke om H 0 er sann eller usann. (2). Hypotesetest er en vurdering av observasjoner i forhold til H 0. 49

50 3 Statistikk 3.8 Repetisjon (a). Hva er en stokastisk variabel? Gi eksempel og ikke-eksempel. (b). Forklar forskjellen mellom diskret og kontinuerlig stokastisk variabel. (c). La X være stokastisk variabel. Er følgende sant eller usant: X + X = 2X? (d). La X :"antall myntnår du kaster to mynter. Lag en sannsynlighetsfordeling. Bestem µ og σ. (e). Hvilken praktisk tolkning har man av forventningsverdien? Forklar ved et eksempel. (f). La X:"overskuddet ditt i et pengespill". Hva betyr det når E(X) < 0, E(X) = 0 og E(X) > 0? (g). Vis at E(aX) = a E(X) og vis at Var(a) = 0. (h). Skriv enklere: E(2 + 3X 4Y ) og Var(2 + 3X 4Y ). (i). Høyden til en tilfeldig mann har forventningsverdi 180 cm og standardavvik 10 cm. Hva er forvetningsverdien og standardavviket til summen av høydene til re menn? (j). Hva er en binomisk fordelt stokastisk variabel? (k). Vis at hvis X er binomisk fordelt, da er: E(X) = np og SD(X) = np(1 p). (l). Dener en normalfordeling. Hva er en standardnormalfordeling? (m). Hvilken tolkning har vi av µ og σ i en normalfordeling? (n). La X være IQ-en til tilfeldig person. Da er X normalfordelt med µ = 100 og σ = 15. Finn en partner og lag fem spørsmål man kan spørre rundt X og forklar hvordan man svarer dem. (o). La X være normalfordelt. Forklar hvorfor: P (a X b) = P (X b) P (X a). (p). La X være normalfordelt. Hva kan du si om intervallet [µ 3σ, µ + 3σ]. (q). Hva er sentralgrensesetningen? Hvorfor er den viktig? (r). Hvilke krav må være oppfylt for at en binomisk fordeling er normalfordelt? (s). Zlatan scorer i 75% av tilfellene kan skyter mot mål. Hva er sannsynligheten for at han scorer mer enn 800 mål når han skyter mot mål 1000 ganger? (t). Hva er et kondensintervall? Hvorfor trenger vi dem? (u). Hvordan utfører man en hypotesetest? Eksempel? Hva oppnår vi ved en hypotesetest? 50

51 3 Statistikk 3.9 Eksamensoppgaver fra 3MX og matematikk S (Eksamen 3MX, Vår 2007, oppgave 3) I denne oppgaven skal vi anta at hvilepulsen til godt trente menn er normalfordelt med et gjennomsnitt på 55 og et standardavvik på 6. Vi trekker ut en tilfeldig mann. (a). Hva er sannsynligheten for at mannens hvilepuls er lavere enn 50? (b). Hva er sannsynligheten for at mannens hvilepuls er høyer enn 62? (c). Hva er sannsynligheten for at mannens hvilepuls er mellom 43 og 67? (d). Vi denerer topptrente menn som den 5% andelen av godt trente menn som har lavest hvilepuls. Hvilken hvilepuls må en mann ha for å kunne kalle seg topptrent? (Eksamen S2, Vår 2015, Del 2, oppgave 3). For en bestemt type hamburgere skal kunne bli merket med 'grønt nøkkelhull', må de innholde høyst 10 g fett. I en kontroll viste det seg fettinnholdet (i gram) i 10 tilfeldig valgte hamburgere var: 11, 10, 11, 12, 9, 10, 11, 12, 10, 11. Vi antar at fettinholdet er normalfordelt med forventningsverdi µ = 10 g og med standardavvik σ = 3 g. Bedriften oppgir at fettinnholdet er 10 g. En forbrukergruppe påstår at fettinnholdet er for stort til at hamburgerne kan bli merket med grønt nøkkelhull. Bruk hypotesetesting til å vurdere påstanden. Bruk et signikansnivå på 5%. 51

52 3 Statistikk (Eksamen S2, Høst 2013, Del 2, oppgave 2). I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt, med forventningsverdi µ og standardavvik σ. I denne fordelingen er 10% av elevene lavere enn 173 cm og 10% høyere enn 183 cm. (a). Bestem µ. Hvor mange prosent av elevene er lavere enn 183 cm? (b). Bestem σ (Eksamen 3MX, Høst 2004, oppgave 3). Marcels bestefar dyrker jordbær. Marcel vil undersøke om bærkurvene til bestefaren holder den annonserte gjennomsnittsvekta på 500 g. Marcel plukker ut ti tilfeldige kurver fra dagens innhøsting. Kurvene veier: 480 g, 512 g, 484 g, 496 g, 488 g, 500 g, 508 g, 516 g, 488 g og 478 g. (a). Bestem et estimat for gjennomsnittsvekta til kurvene. (b). Bestem standardfeilen til dette estimatet. (c). Finn et 95% kondensintervall for gjennomsnittsvekta til kurvene. Kommenter svaret. (d). Marcel mener at bredden på kondensintervallet er for stort. Hva kunne han ha gjort for å få et kortere kondensintervall? 52