Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN

Transkript

1 Bokmål Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-5 og MA-38 Emnenavn: Matematikk med anvendelse i økonomi Dato: 2. desember 20 Varighet: Antall sider: siders formelark. Tillatte hjelpemidler: Kalkulator av type: HP 0bII eller Texas BA II Plus. Merknader: Alle svar skal begrunnes med regning eller forklares på annen måte. (Å forklare at kalkulatoren har gitt deg svaret, er ikke godt nok.) Oppgave. En bedrift selger en flytende væske og har oppdaget at sammenhengen mellom prisen per liter, p, og etterspørselen i liter, x, er p = 404 2x. Kostnaden per liter ved produksjon av x liter er Finn alle asymptotene til A A(x) = 2x Ved hvilket produksjonsnivå x, vil produksjonskostnaden, A, være minimal? Finn overskuddet, S, som funksjon av x, og avgjør når overskuddet er positivt.

2 Oppgave 2. (a) Deriver funksjonene f (x) = 2x3 e5x g(x) = xln(x2 ) (b) Regn ut følgende grenseverdier lim 3x2+ x 6 6x2 7x + 9 lim ((x ) ln(x ) + 2) (c) Løs likningen ln x ln(x 5) = ln 4. (d) En funksjon y = y(x) er gitt implisitt ved x3 + y3 = 9xy 9. Sjekk at punktet (, 2) ligger på grafen til y, og finn y'() i dette punktet. Oppgave 3. La f (x, y) = 3x2 3xy2 y3 + 3y2. Finn de partielt deriverte av f av. og 2. orden. Finn de stasjonære punktene til f. Klassifiser et av de stasjonære punktene som du fant i punkt (b). (Du velger selv hvilket punkt du klassifiserer.) Oppgave 4. Else setter et fast beløp i banken ved hvert årsskifte, i alt 25 ganger. Renten er på 3 % per år. Hvis hun setter inn kr ved hvert årsskifte, hvor mye har hun i banken år etter siste innskudd? Hun ønsker å skaffe seg nok kapital til at hun, etter de 25 årene, årlig kan ta ut kr hvert år i 5 år, første gang år etter siste innbetaling. Hvor stort må det årlige innskuddet være for å oppnå dette? 2

3 Oppgave 5. Nytten ved å konsumerex enheter av vare A og y enheter av vare B er gitt ved U(x, y) = 50x0'3 Anta at en forbruker har begrenset budsjett til å kjøpe de to varene slik at (x, y) må oppfyllebibetingelsen75x+ 40y = 3200.Finn (x, y) som maksimerer nytten under denne bibetingelsen. Du kan anta at et slikt maksimum finnes. Beregn 40) og %(0, 40). Hvis du hadde konsumert 0 enheter av vare A og 40 enheter av vare B og fikk tilbud om å konsumere en ekstra enhet, hvilken vare bør du da velge for at nytten skal øke mest mulig? Svaret skal begrunnes. Lykke til! MikaelSignahl Inger Johanne II. Knutson 3

4 Formelsamling i MA-38/MA-5 Potenser an=a a a a a =, a-n = an am. an = am+n ani = am-n an (a br = an, bn an kb) bn (am)n = amn C-N = -Nra.Vb. Logaritmefunksjoner y = logax er den inverse funskjonen til y = ax, dvs at y = loga x <=>x = ay y = in x = loge x er den naturlige logaritmen, dvs at y = ln x <=>x = ey Regnereglerfor logaritmer: ln(a b) = ln a + ln b ln(ex) = x = ln a - ln b elnx = x ln an = n In a = V7t an = n-ntt Kvadratsetningene (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 b2 Annengradslikningen ax2 + bx + c = 0 -b + b2-4ac x = =, x2 2a ax2 + bx + c = a(x - x)(x - x2) Lineærfunksjon y = ax + b y -Yi = a(x - x) der a = 3,2-3/ x2.-x Tangententil grafentil y = f (x) i punktet (a, f (a)) har ligning Derivasjon Generellederivasjonsregler y = k f (x) y' = k (x) y = f (x) + g (x) y' = f' (x) + g' (x) y = f (x) g (x) = u v f (x) u v = = g (x) v = f (u) Spesiellederivasjonsregler y = k y' = 0 y = ax + b y = xn Y = -x y' = u' v + u v' = u' v - u v' v2 y' = f '(u) u' eller dy dy du dx du. dx y - f (a) = (a)(x - a) L'Hopitalsregelfor å finnegrenseverdi: La f og g være to deriverbare funksjoner. Hvis f (a) = g (a) = 0, eller så er f (x) = ±00 og limx g (x) = +co, f (x) f' (x) lim = lim x-ct g x-4a y = ex y = e u(k) y = ln x y = ln u(x) y' = ex y' = en(x) u' (x) = y' = (x) u(x)

5 Elastisitet: Hvisp er prisen for en vare og x (p) er etterspørselen av varen, så er etterspørselens priselastisitet Ep = x (p) x' (p) Mer generelt, elastisiteten til en funksjon f (x) mhp x er Exf (x) = f (x) f' (x) Sumav endeligaritmetiskrekke,der an an = d, dvs, an = al + (n )d: (a + an)n Sn = 2 Sumav endeliggeometriskrekke,der an+i = kan for alle n, dvs, an = kn Sn = k ai, k I formlene nedenfor er r = /=P, der vi har loo p % rente per termin. Fremtidigverdi etter n terminer når K0kr settes i banken til p % rente per termin: = K0( + r). Nåverdienav Kn kr utbetalt om n terminer, er Ko = Kn( + r). Fremtidigverdived kontinuerlig forrentning:kt = Koert der t er antall år. Oppsparingsannuitet: Settes et beløp, K, i banken ved begynnelsen av hver termin (n ganger), vil vi ved tidspunktet en termin etter siste innskudd ha ( + r)n An = K( + r) Nåverdiav annuitet,det beløp vi i dag må sette i banken for å få utbetalt et beløp, K, ved utgangen av hver termin i n tenniner, første gang en termin etter innskuddet, er ( + r)n Ko = K ( + r)nr Terminvistbeløpved annuitetslånnår Ko er lånebeløpet, n er antall terminer, og tilbakebetalingen starter en termin etter låneopptak, ( + r)n r K = Ko + r n Funksjonerav fierevariable Partielt deriverte av. orden: (x,y) = f: (x,y) og (x, y) = (x, y) ax ay Partielt deriverte av 2. orden: = f.,gc(x,y) (x, 3)= (x, 3)= 37)= (x, 37) axay ayax ay2(x, 37)= f);(x, 3) Lokalemaksimumog minimumfor z = f (x, y) La (a, b) være et stasjonært punkt for f (x, y), dvs. (a, b) = 0 og fy(a, b) = 0. La 32f A = (a, b), B = ayax (a, b), C = ay (a, b) og = AC B2. Da gjelder: Hvis > 0 og A < 0, så harf et lokalt maks i (a, b) Hvis i > 0 og A > 0, så harf et lokalt min i (a, b) Hvis < 0, så harf et sadelpunkt i (a, b) Hvis = 0, så er denne testen ubrukbar. Lagrangefunksjonen Hvis en skal finne maks/min av z = f (x, y) under bibetingelsen g (x, y) = c, så er Lagrangefunksjonen gitt ved F(x,y) = f (x, y) 2(.(g(x, y) c) Lokale maks/min finner vi ved å løse følgende lignings-system med hensyn på x og y (og eventuelt f.(x,y) A. g'x(x, y) = 0 (x, Å g (x, y) = 0 g (x, y) = c Stigningstalletil tangenteni et punkt (a, b) på en nivåkurve F(x, y) = c er (a, b) 3 = F3, (a, b) Likningfor sirkelmed sentrum i (m, n) og radius r: (x + (37 n)2 = r2

6 Nynorsk Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-5 og MA-38 Emnenavn: Matematikk med anvendelse i økonomi Dato: 2. desember 20 Varighet: Antall sider: siders formelark. Tillatne hjelpemiddel: Kalkulator av type: HP 0bII eller Texas BA II Plus. Merknader: Grunngi alle svar med rekning eller forklar på anna måte. (Å forklare at kalkulatoren har gitt deg svaret, er ikkje godt nok.) Oppgåve. Ei bedrift sel ei flytande væske og har oppdaga at samanhengen mellom prisen per liter, p, og etterspørselen i liter, x, er p = 404 2x. Kostnaden per liter ved produksjon av x liter er A(x) = 2x Finn alle asymptotane til A. Ved kva produksjonsnivå x, vil produksjonskostnaden, A, vere minimal? Finn overskotet, S, som funksjon av x, og avgjer når overskotet er positivt.

7 Oppgåve 2. (a) Deriver funksjonane f (x) = 2z3 g(x) = x ln(x2 ) (b) Rekn ut grenseverdiane im2 + x 6 x,00 6x 7x + 9 lim ((x x >+ ) ln(x ) + 2) (c) Løys likninga x ln(x 5) = ln 4. (d) Ein funksjon y = y(x) er gitt implisitt ved x3 + y3 = 9xy 9. Sjekk at punktet (, 2) ligg på grafen til y, og finn y'() i dette punktet. Oppgåve 3. La f (x, y) = 3x2 3xy2 y3 + 3y2. Finn dei partielt deriverte av f av. og 2. orden. Finn dei stasjonære punkta til f. Klassifiser eit av dei stasjonære punkta som du fann i punktet (b). (Du vel sjølv kva punkt du klassifiserer.) Oppgåve 4. Else sett eit fast beløp i banken ved kvart årsskifte, i alt 25 gonger. Renta er på 3 % per år. Dersom ho sett inn kr ved kvart årsskifte, kor mykje har ho i banken år etter siste innskot? Ho ynskjer å skaffe seg nok kapital til at ho, etter dei 25 åra, årleg kan ta ut kr kvart år i 5 år, første gong år etter siste innbetaling. Kor stort må det årlege innskotet vere for å oppnå dette? 2

8 Oppgåve 5. Nytten ved å konsumere x einingar av vare A og y einingar av vare B er gitt ved U(x, y) = 50 x0'3 Anta at ein forbrukar har avgrensa budsjett til å kjøpe dei to varene slik at (x, y) må oppfylle bibetingelsen 75x +40y = Finn (x, y) som maksimerer nytten under denne bibetingelsen. Du kan anta at eit slikt maksimum finst. Rekn ut (0,40) og (0,40). Dersom du hadde konsumert 0 einingar av vare A og 40 einingar av vare B og fekk tilbod om å konsumere ei ekstra eining, kva for vare bør du da velje for at nytten skal auka mest mogleg? Grunngi svaret. Lukke til! Mikael Signahl Inger Johanne H. Knutson 3

9 Formelsamlingi MA-38MA-5 Potenser an = a a a---a a =, a-n = an am, an = am+n am = am-n an (a. b)' = n (\ = an b) bn (am)n = amn sja.b =j b = t ati= v a. VTi Kvadratsetningene b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 (a + b)(a b) = a2 b2 Annengradslikningen ax2 + bx + c = 0 b+ Vb2 4ac x = = x,x2 2a ax2 + bx + c = a(x x)(x x2) Lineærfunksjon y = ax + b Y = a(x x) der a = x2-x Tangententil grafentil y = f (x) i punktet (a, f (a)) har ligning y f (a) = f' (a)(x a) L'Hopitalsregelfor å finnegrenseverdi: La f og g være to deriverbare funksjoner. Hvis f (a) = g (a) = 0, eller limx f (x) = ±-00og limx g (x) = ±co, så er f (x) f' (x) lim = lim, x->a g (x) x->a g (x) Logaritmefunksjoner y = logax er den inverse funskjonen til y = ax, dvs at y = logax (=>x = a3' y = ln x = logex er den naturlige logaritmen, dvs at y = ln x Regnereglerfor logaritmer: ln(a b) = ln a + ln b ln a <=>x = ey In(ex) = x = ln a ln b eln x = x = n ln a Derivasjon Generellederivasjonsregler y = k f (x) y' = k f' (x) y = f (x) + g (x) y = f (x) f (x) u v = = g (x) v Y = f (u) g (x) = u v Spesiellederivasjonsregler y = k y' = 0 y = y = 3 y = y = ex y = en(x) y = ln x b y = ln u(x) y' = a y' y' = n xn- = = 2 -N5 y' = ex y' = eu(x) u' (x) 37'= y' = u(x) = f '(x) + g' (x) = u' v + u v' u' v u v' v 2 = f '(u) u' eller dy dy du dx du dx (x)

10 Elastisitet: Hvisp er prisen for en vare og x (p) er etterspørselen av varen, så er etterspørselens priselastisitet E = xf(p) P x (p) Mer generelt, elastisiteten til en funksjon f (x) mhp x er Exf (x) = f (x) (x) Sumav endeligaritmetiskrekke,der an+ an = d, dvs, a = a + (n )d: (a + an)n Sn = 2 Sumav endeliggeometriskrekke,der an-fi = kan for alle n, dvs, an = S = a k k I formlene nedenfor er r = P der vi har loo' p % rente per termin. Fremtidigverdietter n terminer når K0kr settes i banken til p % rente per termin: = Ko(+ rr Nåverdienav Kn kr utbetalt om n terminer, er K0 = (i + r)'. Fremtidigverdived kontinuerlig forrentning:kt = Koert der t er antall år. Oppsparingsannuitet: Settes et beløp, K, i banken ved begynnelsen av hver termin (n ganger), vil vi ved tidspunktet en termin etter siste innskudd ha ( + r)". = K( + r) Nåverdiav annuitet,det beløp vi i dag må sette i banken for å få utbetalt et beløp, K, ved utgangen av hver termin i n terminer, første gang en termin etter innskuddet, er ( + r)n Ko= K ( + r)nr Terminvistbeløpved annuitetslånnår Ko er lånebeløpet, n er antall terminer, og tilbakebetalingen starter en termin etter låneopptak, ( + r)r K = Ko +r Funksjonerav flerevariable Partielt deriverte av I. orden: g(x,y)= (x, y) og (x, y) = (x, y) Partielt deriverte av 2. orden: ax2 axay ay 2 (X'Y) = f.9;(x y) Cy) = f";;(x 3)= frlx(xfi (x,y) = f,;(xry) 3)= ayax Lokalemaksimumog minimumfor z = f (x,y) La (a, b) være et stasjonært punkt for f (x, y), dvs. fx'(a, b) = 0 og f (a,b) = 0. La a22f f a A = (a, b), B = (a, b), C = ayax ay (a, b) ogi = AC B2. Da gjelder: Hvis > 0 og A < 0, så harf et lokalt maks i (a, b) Hvis È > 0 og A > 0, så harf et lokalt min i (a,b) Hvis < 0, så harf et sadelpunkt i (a, b) Hvis = 0, så er denne testen ubrukbar. Lagrangefunksjonen Hvis en skal finne maks/min av z = f (x, y) under bibetingelsen g (x,y) = c, så er Lagrangefunksjonen gitt ved F(x,y) = f (x, y) A.(g(x, y) c) Lokale maks/min finner vi ved å løse følgende lignings-system med hensyn på x og y (og eventuelt fx'(xp Y) Y) = 0 (x, y) Å,q,(x, y) = 0 g (x, y) = c Stigningstalletil tangenteni et punkt (a, b) på en nivåkurve F(x, y) = c er, Fx'(a, b) Y = Fy(a,, b) Likningfor sirkelmed sentrum i (m, n) og radius r: (x + (y = r 2