Matriser og vektorrom

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Matriser og vektorrom"

Transkript

1 Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska Institutionen, KTH

2

3 Innledning Dette er notater for et kurs om matriser og vektorer for gymnaselever i andre og tredje klasse Undervisningstiden er en dobbelttime per uke i 24 uker Undervisningen skal alternere mellom gymnaset der elevene går, der en matematikklærer gir undervisningen, og KTH, der en forsker underviser Vi vil takke Dick Andersson på Östra Reals Gymnasium for hans hjelp med disse notatene, og for hans entusiasme for matematikk, som fikk programlederen til å starte det opprinnelige prosjektet Materialet dekker de grunnleggende delene av et vanlig kurs i Lineær algebra på universiteter og høyskoler Vektorer, matriser og ligninger er grundig fremstilt, og en abstrakt fremstilling av vektorrom inngår Hensikten med kurset er å lære elevene å løse lineære ligninger, og å regne med vektorer og matriser Samtidig har vi forsøkt å gi et bredere perspektiv på matematikken ved å fremheve betydningen av avbildninger og vektorrom I oppgavene har vi introdusert materiale fra algebra, kombinatorikk og tallteori, som vi håper skal virke inspirerende Forelesningene var en del av et prosjekt om Matematik för Gymnasiet støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse og som har som mål å øke interessen for-, og kunnskap om-, matematikk i gymnaset Prosjektlederen vil benytte denne anledningen til å takke Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse for støtten, som har gjort prosjektet mulig, og som er en oppmuntring til samarbeide mellom gymnas og høyskole Vi vil også takke Institut Mittag-Leffler som har hjulpet til med å forvalte prosjektmidlene Matematiska Institutionen, 10 august 2005 Dan Laksov Vi har i den seneste versjonen endret litt på rekkefølgen av seksjonene Delen med vektorrom har vi lagt sist i heftet, hvor vi også har lagt ved en seksjon om egenrom De tre første kapitlene i dette heftet behandler matriser, ligninger og determinanter Baserte på tidligere års erfarenheter tror vi at disse tre kapitlene er passende i nivå og omfang for kurset Den siste delen av heften er ment å fungere som støttematerial for de studenter som velger å gjøre prosjektarbeid parallelt med kurset Matematiska Institutionen, 3 august 2007 Dan Laksov og Roy Skjelnes iii

4 Leseåret ble kursdeltagerne bedt om å lete etter og rapportere feil i heftet Vi er takknemlige over den insats kursdeltagerne gjorde og over alle de feil de gjorde oss oppmerksomme på Spesielt vil vi passe på å berømme Golshid Baghban, Kalle Knoph, Camilla Trinh, Simon Gunnarsson, Martin Ingemansson, Patrik Rufelt, og Marvin Stahlbacke De feil disse personer fant i versjon seks finns under linken wwwmathkthse/~skjelnes/kurs/gymnas/07/erratahtml Foruten disse endringene, inneholder versjon VII et kapittel om anvendelser Leseåret var det betydelig vanskeligere å oppdage feil, men personene Agneta Avasjö, Filip Bergqvist, og Oscar Mickelin klarte å finne noen: wwwmathkthse/~skjelnes/kurs/gymnas/08/erratahtml Matematiska Institutionen, 29juni 2009 Dan Laksov og Roy Skjelnes iv

5 Innhold 1 Matriser 1 11 Euklidske Vektorer Visualisering Språk og anvendelser 5 12 Operasjoner på vektorer Multiplikasjon av en skalar med en vektor Addisjon av vektorer Matriser Eksempler på matriser Multiplikasjon av en skalar med en matrise Addisjon av matriser Matrisemultiplikasjon Multiplikasjon av en matrise med en vektor Summasjon av indekser Multiplikasjon av matriser Avbildninger av planet Speilinger Strekning og krympning Rotasjon Lineære avbildninger 40 2 Ligninger Eksempler Gauss-Jordan eliminasjon Eliminasjon av variable Elementære operasjoner Eliminasjon for matriser Elementære matriser 66 3 Determinanter Ikke singulære matriser og determinanter 73 v

6 316 Systemer med like mange ligninger som ukjente Utregning av inverse matriser Generell invers til en matrise Determinanter 77 4 Vektorrom Mengder og vektorrom Mengder Grupper Vektorrom Euklidske rom Paritetsproblemet Avbildninger Avbildninger Surjektivitet, injektivitet og domene Sammensetning av avbildninger Lineære avbildninger Lineære avbildninger Matrisemultiplikasjon og sammensetning Sammensetning av tre avbildninger Egenvektorer Invariante delmengder Egenvektorer Karakteristisk polynom Baser for vektorrom Egenrom Anvendelser Et eksempel med Markov kjeder Lunsjmodellen Matematisk modell Matrisepotenser Markovkjeder Lunsjmodellens stabile fordeling Uavhengighet av initalverdien De komplekse tall En spesiell klasse matriser Utvidelse av de reelle tall De komplekse tall som det reelle tallplanet Geometrisk tolkning av produkt Pick s Sats 145 vi

7 531 Notasjon Google og informasjonssortering Nettet Blåkopi Rangering Popularitetsrangering PageRank Matematisk formalisering Hyperlinkmatrisen Rangeringsvektoren Iterering 159 Fasit 161 vii

8 Kapittel 1 Matriser 11 Euklidske Vektorer Innledning 111 En vektor er en horisontal eller vertikal oppstilling av symboler Vi treffer på slike 1 oppstillinger overallt En rad med bokstaver i en bok, eller en kolonne i en tabell er en vektor Slike oppstillinger har ingen interesse i seg selv Det som gjør vektorer så viktige er at vi kan regne med dem Vi kan multiplisere en vektor med et tall og legge sammen to vektorer om de har samme størrelse Dette gir vektorer en struktur som er avgjørende for anvendelser i og utenfor matematikken Ennu viktigere er det av vi kan multiplisere en vektor med en matriser Slike operasjoner er blandt de aller viktigste operasjonene i matematikken og dens anvendelser En rekke matematiske strukturer blir studert ved 2 at vi presenterer dem som operasjoner av matriser på vektorrom Det er derfor ikke bare innenfor den disiplinen av matematikken vi skal behandle i denne boken, og som kalles lineær algebra, som teknikkene er nyttige De gir også informasjon om mange andre, tilsynelatende urelaterte, strukturer Vi skal gi de viktigste egenskapene ved matrisemultiplikasjon Først skal vi imidlertid presentere vektorer og forklare hvorfor de er så viktige Vi skal også gi deres viktigste egenskaper Eksempel 112 De vektorene vi skal se nærmere på er en oppstilling av tall Eksempler på slike oppstillinger er: ( 3 2, ( 2 π, ( π 5, 1 slike = sådana 2 ved är norska för vid 1

9 som kalles 2-vektorer Andre eksempler er: ( 12 3, ( 3 2 som kalles 3-vektorer For å spare vertikal plass skriver vi: 5, ( ππ 1, (1, 2 t = ( 1 2, og (π, π, 1 t = ( ππ der t øverst til høyre på vektorene (1, 2 t respektive (π, π, 1 t står for transponert Vilkårlige 2- og 3-vektorer v skriver vi 1, ( v = ( a 1 a 2 = (a 1, a 2 t a1 og v = a 2 a 3 = (a 1, a 2, a 3 t der a 1,a 2 og a 3 er tall Vi kan generelt definere n vektorer for hver positivt tall n: Definisjon 113 La n være et positivt helt tall En n-vektor v er en oppstilling: a 1 a 2 v = = (a 1, a 2,, a n t a n av tall a 1, a 2,, a n Tallet a i kalles den i te koordinaten til v Bokstaven t oppe til høyre på en liggende vektor står for den transponerte av vektoren, og vi kaller (a 1, a 2, a 3 t for den transponerte av vektoren v 114 Visualisering En vektor er en oppstilling av tall På linjen, i planet og i rommet er vi vant til å visualisere vektorer som punkter Dette kan hjelpe til med å forstå endel av egenskapene til vektorer For eksempel er vi vant til å visualisere en 2-vektor som et punkt i planet For eksempel vil (5, 3 t være representert ved 2

10 y 3 (5, 3 t x der første koordinaten i (5, 3 t er x-koordinaten og den andre er y-koordinaten På en tilsvarende måte kan vi representere alle punktene i planet, og hvert punkt kan representeres som en vektor Derfor svarer 2-vektorer helt til punktene i planet Vi vet også at 3-vektorene svarer til punktene i rommet Det vil si at vi kan representere 3-vektorer som punkter i rommet der første koordinaten er x-koordinaten, den andre koordinaten er y-koorodinaten og den tredje koordinaten er z-koordinaten, og omvendt, til hvert punkt i planet svarer nøyaktig en 3-vektor For eksempel vil vektoren (2, 5, 3 t være representert ved z 3 2 (2, 5, 3 t 1 0 x y Tilsvarende kan vi representere alle vektorer som punkter i rommet, og omvendt vil hvert punkt i rommet representeres ved en vektor Vi sier at 2-vektorene er en matematisk modell for planet og 3-vektorene er en matematisk modell for rommet Det er viktig å forstå at våre vektorer ikke er virkeligheten, men at de kan brukes som en modell for virkeligheten Fra et matematisk synspunkt er vektorer av en vilkårlig dimensjon veldefinerte objekter som vi kan regne med Det spiller ikke noe rolle for den matematiske beskrivelsen at det finnes modeller for 2- og 3-vektorer Derimot er det typisk at matematikken, som ofte utvikler seg helt etter egne prinsipper og lover, kan brukes til å beskrive den virkeligheten vi lever i 3

11 Fra et matematisk synspunkt er 4-vektorer, som (1, 3, 2, 4 t, (6π, 2, 1, π t og ( 2, 5, 2, 1 t, like naturlige som 2-vektorer og 3-vektorer Derimot kan vi ikke visualisere 4-vektorer på en naturlig måte Dette har skapt mye filosofisk forvirring om hva det fire dimensjonale rommet er for noe På den andre siden har mangelen på en fysisk modell for det fire dimensjonale rommet gitt 3 opphav til mye underholdende litteratur om hvilke mirakler vi kan utføre i rommet om man lever i det fire dimensjonale rommet Situasjonen tilsvarer hva vi, som lever i det tredimensjonale rommet kan gjøre i det to dimensjonale rommet For eksempel kan vi ta en todimensjonal person ut av et lukket rom i planet, det vil si et kvadrat, uten å passere dører eller vinduer, ved å løfte opp personen i det tredimensjonale rommet, føre personen over veggen, og sette den ned på utsiden Like spennende er det å beskrive hva som skulle hende med oss om vi ble manipulerte av skapelser som befant seg i et eventuelt firedimensjonalt rom som inneholder vårt Matematisk sett har vi ingen problemer med firedimensjonale rom For oss består det fire dimensjonale rommet av 4-vektorer og vi kan operere like fritt i det fire dimensjonale rommet som i det todimensjonale, eller for den sakens skyld i det elvedimensjonale rommet Det er veldig viktig av vi på denne naturlige måten kan arbeide i rom av høy dimensjon Selvom vi ikke kan se rom av høyere dimensjon enn tre forekommer de ofte i anvendelsene Vanligvis er koordinatene parametre i et fysisk system For eksempel når vi vil forutsi hvordan været blir i morgen, vil dette avhenge av trykk, temperatur, luftfuktighet, vindhastigheter og retninger, og mye annet Disse faktorene kalles parametre for værsystemet For å få en bra forutsigelse må vi ikke bare kjenne disse parametrene der vi står, men på en rekke andre steder på jorden Dette blir da nye parametre I de systemene som finnes i dag for å forutsi været er antallet parametre enormt, og de matematiske modellene som behandler systemet er ytterst kompliserte Dette er en av grunnene til at værvarsler over lengre perioder er så vanskelige Noe av styrken i matematikken ligger i abstraksjonen Dette gir oss muligheter til å betrakte generelle teorier som kan anvendes over store felt Vi behøver ikke engang ha et bilde av hva som foregår, men kan manipulere objektene ganske abstrakt for å få ut de resultatene vi behøver Derfor klarer vi oss oftest uten figurer I mange situasjoner hjelper det mye å ha et bilde av situasjonen, selv der det egentlig ikke finnes slike bilder Vi benytter oss da av analogier i lavere dimensjoner der vi kan tegne Et eksempel på dette er de værkartene som brukes i televisjonen til å illustrere værsituasjonen og der noen ganske få av parametrene inngår Lesere som har stort behov av å se matematiske påstander, eller kanskje rentav har angst for høyere dimen- 3 gitt är norska för givet 4

12 sjoner, oppmuntrer vi til å tegne figurer i planet og rommet for å illustrere begrepene vi innfører Vi gir også noen oppgaver som hjelper den visuelle forståelsen Når vi skal anvende matematikken er det ofte meget viktig å ha et bra bilde av de matematiske modellene Spesielt i mekanikk og fysikk er vektorer betraktet som piler meget viktige Vektorer representerer da fysiske størrelser som både har en størrelse og retning Vi har alle erfaring av hvordan det bidrar til den fysiske forståelsen at vi både kan se i hvilken retning en kraft virker, og hvilken størrelse den har, eller at en pil både gir hastigheten til en partikkel, og retningen den beveger seg i 115 Språk og anvendelser Ordet vektor kommer fra latin og er avledet av det latinske ordet for å bære eller føre med seg Vektorer i en liknende betydelse som vi har innført dem ble først brukt i fysikken og mekanikken, der vektorer er noe som har både størrelse og retning, som hastighet og kraft Vektoren plasseres i det punktet kraften virker og har samme retning som kraften og lengden av vektoren representerer størrelsen til kraften Det er praktisk at alle pilene i planet, og ikke bare de som begynner i origo, betraktes som vektorer, og at to piler som har samme lengde og retning, men muligens begynner i ulike punkter, betraktes som like Hver vektor, i denne bemerkelsen, er lik nøyaktig en vektor som begynner i origo, det vil si en vektor i den betydelsen vi har brukt ovenfor y (c a, d b t (c, d t (a, b t Når vi regner med vektorer spiller det imidlertid ingen rolle hvor vektoren virker Vi velger å plassere alle vektorene slik at de begynner i origo 5 x

13 y b (a, b t a x Når vi vil illustrere bruken av vektorer med diagrammer er det praktisk å kunne plassere vektorene der det passer best for den situasjonen vi er i Vi skal i disse notatene illustrere flere geometriske situasjoner med vektorer, og vise hvordan vektorregning forenkler beregninger og hvordan diagrammer av vektorer gjør det lett å få geometrisk oversikt over situasjonen Det kommer aldrig til å være noen problemer med å skille på en vektor i den algebraiske betydningen vi har sett ovenfor, som en samling av koordinater (a 1, a 2 t og illustrasjonen av en vektor med en pil som begynner i origo (0, 0 t og slutter i punktet (a, b t, Det kommer heller ikke til å være noe problem å forestille oss at vi translaterer denne vektoren til et annet punkt i rommet, som i figuren ovenfor Vi har illustrert forskjellen, og likheten, mellom en vektor og dens representasjon i planet Selvsagt er det ikke noen forskjell mellom situasjonen i planet og i rommet Translasjoner av vektorer i planet og i rommet er lett å foreta Også i høyere dimensjonale rom er det ingen problemer å translatere vektorer og situasjonen er helt analog til den i planet I dimensjoner større enn tre er imidlertid problemet at vi ikke kan se vektorene så vi har ingen muligheter for å illustrere situasjonene med diagrammer, og det har derfor ikke noen mening å snakke om hvor vi plasserer vektorene Vi må da klare oss med den algebraiske representasjonen av vektorer som vi har gitt Skal vi illustrere hva som hender i høyere dimensjonale rom får vi klare oss med analogier i planet og i rommet I rommet vil vektoren (a, b, c t være representert av en pil som begynner i origo (0, 0, 0 t og slutter i punktet (a, b, c t 6

14 z c (a, b, c t x a b y Betraktelsene ovenfor kan brukes som motivasjon for vår presentasjon av vektorer og også gi en visuell idé om noen av resultatene om vektorer Vi skal imidlertid ikke se på vektorer slik man gjør i anvendelser For oss skal en vektor være et n-tuppel (a 1, a 2,, a n t Oppgaver Det finnes fire 2-vektorer (0, 0, (0, 1, (1, 0, (1, 1 som bare har koordinater 0 eller 1 (1 Skriv opp alle 3-vektorer som bare har koordinater 0 eller 1 (2 Hvor mange n-vektorer er det som bare har koordinater 0 eller 1? 2 Det finnes to 2-vektorer (1, 2, (2, 1 som har koordinater 1 eller 2 og der koordinatene er ulike Videre finnes et seks vektorer (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2, (3, 2, 1 som har koordinater 1, 2 eller 3 og der alle koordinatene er ulike (1 Skriv opp alle 4-vektorer som har koordinater 1, 2, 3, eller 4, og der alle alle koordinatene er ulike (2 Hvor mange n-vektorer finnes som har koordinater 1, 2,, n 1, eller n og der alle koordinatene er ulike? Vektorene i punkt (2 kalles for permutasjoner av tallene 1 2,, n 3 Ved kodning av meddelelser er det vanlig å representere alfabetet ved strenger av nuller og etter Dette kan vi gjøre ved å representere nummeret 7

15 for hver bokstav binært, det vil si vi representerer a, b, c, d, e, f, g, å ved a 1 = (1, 0, 0, 0, 0 b 2 = 1 2 = (0, 1, 0, 0, 0 c 3 = = (1, 1, 0, 0, 0 d 4 = = (0, 0, 1, 0, 0 e 5 = = (1, 0, 1, 0, 0 f 6 = = (0, 1, 1, 0, 0 g 7 = = (1, 1, 1, 0, 0 å 29 = = (1, 0, 1, 1, 1 Merk på norsk er å den 29 ende bokstaven i alfabetet Et ord med 6 bokstaver blir da kodet som en vektor med 6 5 = 30 koordinater, som alle er 0 eller 1 For eksempel gir (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 ordet vektor I kodning benytter man seg ofte av avstanden mellom ord, det vil si antallet koordinater i de tilsvarende vektorene som er ulike For eksempel, om vi tar ord med en bokstav, får vi avstandene d(a, b = 2, d(a, c = 1, d(a, d = 2, d(a, e = 1, d(a, f = 3 og d(a, v = 4 Mer presist om v = (a 1, a 2,, a n t og w = (b 1, b 2,, b n t så definerer vi avstanden d(v, w mellom vektorene v og w som antallet indekser i slik at a i b i (1 Fullfør tabellen over representasjonen av alfabetet som 5-vektorer (2 Vis at avstandsfunksjonen definerer en metrikk på alle n vektorer med 0 er og 1 ere som koordinater Det vil si, vi har for alle slike vektorer u, v og w (a d(v, w = 0 hvis og bare hvis v = w (b d(v, w = d(w, v (c d(u, w d(u, v + d(v, w Hint For å vise del (c kan det være en fordel å innføre Kronecker deltaet { 1 om a = b δ ab = 0 om a b 8

16 Vis først, ved å diskutere alle muligheter for når a, b og c er like eller ulike, at δ ab + δ bc 1 + δ ac og at dette er det samme som at 1 δ ac 1 δ ab + 1 δ bc Deretter viser du at om v = (b 1, b 2,, b n og w = (c 1, c 2,, c n så er d(v, w = 1 δ b1 c δ b2 c δ bnc n Vis til slutt at (c følger av at om u = (a 1, a 2,, a n så vil 1 δ ai c i 1 δ ai b i + 1 δ bi c i for i = 1, 2,, n Leopold Kronecker ( var en av de mest innflytelsesrike matematikerne i forrige århundret Han kjempet for strigens i matematikken og ville inordne matematikken i et liknende aritmetisk mønster som tallteorien Han er kjent for å ha sagt at de hele tallene har gud skapt, alt annet er menneskenes verk (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk Mindre flatterende er hans kontroverser med Georg Cantor ( om mengdelæren, der Cantors teori så smått ble alment akseptert som et viktig verktøy i matematikken Kronecker har gitt viktige bidrag til mange ulike områder av matematikken, spesielt til elliptiske funksjoner, idealteorien, representasjonsteorien og tallteorien 4 Utvid siste delen av Oppgave 3 til vektorer v der koordinatene a i er valgt fra et vilkårlig 4 alfabet b 1, b 2, 5 La m og n være hele tall slik at 0 m n Betrakt følgende tre tall (1 Antallet forskjellige måter vi kan velge m ulike tall fra tallenen 1, 2,, n uten å ta hensyn til rekkefølgen av de m tallene Når m = 0 setter vi tallet lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi tre valg {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} (2 Antallet n-vektorer som har m koordinater lik 0, og som har n m koordinater lik 1 For eksempel når n = 3 og m = 2 har vi de tre vektorene (0, 0, 1, (0, 1, 0 og (1, 0, 0 4 vilkårlig (norsk = godtycklig 9

17 (3 Antallet stier fra origo (0, 0 t til (m, n m t som følger et rutenett av linjer i planet der linjene er parallelle med x-aksen eller y-aksen og der linjene går gjennom punktene (a, b t der a og b er hele tall For eksempel om n = 3 og m = 2 har vi (1 Vis at de tre tallene ovenfor er like (2 Kall dette tallet B m,n Vis at B m,n = B m,n 1 +B m 1,n 1 når 0 < m < n (3 Gi mening til formelen ovenfor når 0 = m eller m = n (4 For hver positivt tall setter vi n! = 1 2 n og 0! = 1 Vi kaller tallet n! for n-fakultet Vis at B m,n = n! m!(n m! 6 En grafe med n hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom hjørne nummer p og hjørne nummer q for noen p og q med p q For eksempel er grafer Den første har 3 hjørner og tre sider {1, 2}, {1, 3} og {2, 3} En sti av lengde m fra et hjørne p til et hjørne q er en vektor (p 0, p 1,, p n t der {p i 1, p i } er en kant for i = 1,, n og der i 0 = p og i n = q Alle stier av lengde 1 i den første grafen er (1, 2 t, (1, 3 t og (2, 3 t, og de av lengde 2 som begynner i hjørne 1 er (1, 2, 1 t, (1, 3, 1 t, (1, 3, 2 t, (1, 2, 3 t Alle stier av lengde 1 i den andre grafen er (1, 2 t, (2, 3 t, (2, 4 t, (3, 4 t, og de av lengde 2 som begynner i hjørnene 1, 2, eller 3 er (1, 2, 1 t, (1, 2, 3 t, (1, 2, 4 t, (2, 1, 2 t, (2, 3, 2 t, (2, 4, 2 t, (2, 3, 4 t, (2, 4, 3 t, (3, 2, 3 t, (3, 4, 3 t, (3, 2, 4 t, (3, 4, 2 t og (3, 2, 1 t 10

18 (1 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den første grafen og finn alle stier av lengde 3 (2 Kontroller listen av stier av lengde 2 i den andre grafen og finn alle stier av lengde 3 11

19 12 Operasjoner på vektorer 121 Multiplikasjon av en skalar med en vektor Den første operasjonen vi skal studere er multiplikasjon av et tall, eller skalar som vi ofte sier i denne forbindelse, med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2-vektoren (1, 2 t ved å sette 5(1, 2 t = (5, 10 t Tallet 2 kan vi multiplisere med 3-vektoren ( 5, 7, π t ved å sette 2( 5, 7, π t = ( 10, 2 7, 2π t Produktet at en skalar med en vektor får vi altså ved å multiplisere hver koordinat i vektoren med skalaren Mer generelt kan vi multiplisere et tall a med en 2-vektor (a 1, a 2 t ved å sette a(a 1, a 2 t = (aa 1, aa 2 t og med en 3-vektor (a 1, a 2, a 3 t ved å sette a(a 1, a 2, a 3 t = (aa 1, aa 2, aa 3 t Generelt kan vi definere produktet av et tall med en vektor: Definisjon 122 Produktet av et tall a og en n-vektor v = (a 1, a 2,, a n t er av = a(a 1, a 2,, a n t = (aa 1, aa 2,, aa n t Vi multipliserer et tall med en vektor ved å multiplisere tallet med hver koordinat i vektoren For enkelhets skyld skriver vi v = ( 1v = ( 1(a 1, a 2,, a n t = ( a 1, a 2,, a n t og 0 = 0v = 0(a 1, a 2,, a n t = (0, 0,, 0 t 123 Addisjon av vektorer Vi kan addere to vektorer når de er like store For eksempel, om u = (1, 2 t, v = (3, 5 t og w = (π, 2 t setter vi u + v = (1, 2 t + (3, 5 t = (1 + 3, 2 5 t = (4, 3 t, u + w = (1, 2 t + (π, 2 t = (1 + π, t og v + w = (3, 5 t + (π, 2 t = (3 + π, t 12

20 Vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene vektoren med den tilsvarende koordinaten i den andre vektoren Mer generelt definerer vi summen av to 2-vektorer (a 1, a 2 t og (b 1, b 2 t ved (a 1, a 2 t + (b 1, b 2 t = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 t og summen av to 3-vektorer (a 1, a 2, a 3 t og (b 1, b 2, b 3 t ved (a 1, a 2, a 3 t + (b 1, b 2, b 3 t = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 t Generelt kan vi definere summen av to n-vektorer: Definisjon 124 Summen av to n-vektorer (a 1, a 2,, a n t og (b 1, b 2,, b n t er (a 1, a 2,, a n t + (b 1, b 2,, b n t = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n t Det vil si, vi adderer to vektorer ved å addere hver koordinat i den ene med den tilsvarende koordinaten i den andre Regneregler 125 Multiplikasjon av en vektor med en skalar og addisjon av to vektorer gjør det mulig å regne med vektorer på en liknende måte som regninger med tall Før vi gir de viktigste regnereglene skal vi innføre en praktisk notasjon som gjør bevisene mer gjennomsiktige Notasjon 126 Vi skriver (a 1, a 2,, a n t = (a i t n Denne notasjonen gjør at vi kan konsentrere oss om den i te koordinaten a i Indeksen n viser at vi har en n-vektor Med denne notasjonen får vi at multiplikasjon av et tall a med en n-vektor v = (a i t n = (a 1, a 2,, a n t kan skrives som av = a(a i t n = (aa i t n, og addisjon av v med n-vektoren w = (b i t n = (b 1, b 2,, b n t kan skrives som v + w = (a i t n + (b i t n = (a i + b i t n Proposisjon 127 La u, v og w være tre n-vektorer Da gjelder følgende regneregler: (1 u + 0 = 0 + u = u, (2 u + ( u = ( u + u = 0, 13

21 (3 (u + v + w = u + (v + w, (4 u + v = v + u Bevis Alle regnereglene følger av enkle regninger Vi setter u = (a i t n, v = (b i t n og w = (c i t n (1 Vi har en sekvens av likheter u +0 = (a i t n +(0 t n = (a i + 0 t n = (a i t n = u Tilsvarende får vi at 0 + u = u (2 Vi har at u + ( u = (a i t n + ( (a i t n = (a i t n + ( a i t n = (a i a i t n = (0 t n = 0 Tilsvarende får vi at ( u + u = 0 (3 Vi har at (u + v + w = ((a i t n + (b i t n + (c i t n = (a i + b i t n + (c i t n = (a i + b i + c i t n Tilsvarende får vi at u + (v + w = (a i + b i + c i t n (4 Vi har at u+v = (a i t n +(b i t n = (a i + b i t n = (b i + a i t n = (b i t n +(a i t n = v + u Terminologi 128 Vi kaller elementet 0 i (1 i Proposisjon 127 for det nøytrale element for addisjonen, og elementet u i (2 for inversen til u Egenskapen (3 kaller vi assosiativitet av addisjonen og egenskapen (4 kaller vi kommutativitet av addisjonen Merk 129 Assosiativiteten (u + v + w = u + (v + w viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge 5 vi adderer tre vektorer Derfor skriver vi u + v + w = (u + v + w = u + (v + w Proposisjon 1210 La a og b være tall og la v og w være n-vektorer Vi har følgende regneregler: (1 a(v + w = av + aw, (2 (a + bv = av + bv, (3 a(bv = (abv, (4 1v = v Bevis Vi skriver v = (a i t n og w = (b i t n Alle regnereglene følger av enkle regninger 5 rekkefølge = följd 14

22 (1 Vi har en sekvens av likheter a(v+w = a((a i t n+(b i t n = a(a i + b i t n = (a(a i + b i t n = (aa i + ab i t n = (aa i t n + (ab i t n = a(a i t n + a(b i t n = av + aw (2 Vi har at (a + bv = (a + b(a i t n = ((a + ba i t n = (aa i + ba i t n = (aa i t n + (ba i t n = a(a i t n + b(a i t n = av + bv (3 Vi har at (abv = (ab(a i t n = (aba i t n = a(ba i t n = a(b(a i t n = a(bv (4 Vi har at 1v = 1(a i t n = (1a i t n = (a i t n = v Terminologi 1211 Egenskapen (1 i Proposisjon 1210 kaller distributivitet av skalarmultiplikasjon med hensyn til addisjon av vektorer, og egenskapen (2 distributivitet av addisjon av skalarer med hensyn til multiplikasjon med vektorer Vi kaller egenskapen (3 at multiplikasjon av skalarer med vektorer er assosiativ Merk 1212 Assosiativiteten a(bv = (abv viser at det ikke spiller noe rolle i hvilken rekkefølge vi multiplisere skalarer med vektorer Derfor skriver vi abv = a(bv = (abv Oppgaver La a = 3 og b = 5 Bestem av + bw når (1 v = (1, 2 t og w = ( 5, 3 t (2 v = (1, 2, 3 t og w = ( 2, 3, 4 t (3 v = (1, π, 4 t og w = ( 2, 3, 4 t (4 v = (1, π t og w = ( 2, 1 t 2 La u = (1, 2, 6 t og v = ( 1, 2, 3 t Bestem au + bv når (1 a = 3 og b = 2 (2 a = 1 og b = 7 (3 a = π og b = 1 (4 a = 2 og b = 2 3 Bestem 2-vektoren x slik at v x = w når 15

23 (1 v = (2, 3 t og w = (5, 4 t (2 v = ( 1, 11 t og w = ( 1 2, 1 3 t (3 v = (π, 3 t og w = (1, 2 t (4 v = ( 1 4, 1 5 t og w = ( 1 3, 2t 4 Bestem 3-vektoren x slik at v x = w når (1 v = (4, 2, 3 t og w = (5, 2, 4 t (2 v = ( 1, 2, 11 t og w = (6, 1 2, 1 3 t (3 v = (π, 5, 3 t og w = ( 7, 1, 2 t (4 v = (7, 1 4, 1 5 t og w = ( 1 3, 2, 6t 5 La v = (1, 1 t og w = (2, 1 t Bestem konstanter a og b slik at u = av+bw når (1 u = (4, 1 t (2 u = ( 1 2, 2t (3 u = ( 1 3, 1t (4 u = ( 1, 5 t 6 La u = (1, 0, 0 t, v = (1, 1, 0 t og w = (2, 0, 1 t Bestem konstanter a, b og c slik at x = au + bv + cw når (1 x = (1, 4, 1 t (2 x = ( 1 2, 7, 2t (3 x = ( 1 3, 1, 1 2 t (4 x = ( 1, 2, 5 t 7 I denne oppgaven skal du betrakte en vektor i planet som en pil med gitt retning og lengde Du skal også betrakte to piler som like om de har samme retning og lengde, men ikke nødvendigvis har samme begynnelsespukt 16

24 (1 La u = (a, b t og v = (c, d t være 2-vektorer Vis at u + v er diagonalen i rektangelet som har hjørner i punktene (0, 0 t, (a, b t og (c, d t y (c, d t (a, b t + (c, d t (a, b t x (2 La u = (a, b t og v = (c, d t være vektorer Vis at v u er vektoren som begynner i (a, b t og slutter i (c, d t y (c, d t (c, d t (a, b t (a, b t x 8 Gjør tilsvarende oppgaver som i Oppgave 7 for 3-dimensjonale vektorer 9 I denne oppgaven skal du betrakte en 2-vektor v = (a 1, a 2 t som en vektor med begynnelse i origo (0, 0 t og slutt i (a 1, a 2 t Vi setter v = a a 2 2 og om w = (b 1, b 2 t så setter vi v w = a 1 b 1 + a 2 b 2 (1 Vis at v er lengden av vektoren v = (a 1, a 2 t (2 Anta at w ikke er origo (0, 0 t Vis at den korteste avstanden fra punktet (a 1, a 2 t til linjen L gjennom origo og (b 1, b 2 t er v 2 w 2 (v w 2 w Hint Vi har at alle punktene på linjen L er på formen t(b 1, b 2 t for noe t Vektoren som begynner i t(b 1, b 2 t og slutter i (a 1, a 2 t er u t = (a 1, a 2 t t(b 1, b 2 t = (a 1 tb 1, a 2 tb 2 t Vi vil finne den minste lengden vektoren u t 17

25 kan ha Vi får u t 2 = (a 1 tb (a 2 tb 2 2 = a a 2 2 2t(a 1 b 1 + a 2 b 2 + t 2 (b b 2 2 ( a = (b b a t a 1b 1 + a 2 b 2 + t 2 b b 2 2 b b 2 2 ( v v = (w w w w 2t v w w w + t2 ( v v (v w2 = (w w w w (w w + ( v w 2 w w + t2 Av det siste uttrykket ser vi at u t 2 er minst når t = v w, og at vi da har at w w avstanden kvadrert er ( v v (v w2 (v w2 (w w = v v w w (w w 2 w w y v w w w (b 1, b 2 t θ L t(b 1, b 2 t u t = (a 1, a 2 t t(b 1, b 2 t (a 1, a 2 t x (1 (3 Anta at v = (a 1, a 2 t og w = (b 1, b 2 t begger er forskjellige fra origo La θ være den av vinklene mellom L og linjen gjennom origo og (a 1, a 2 t som tilfredsstiller 0 θ π Vis at cos θ = v w v w Hint For å vise påstand (3 merker vi at avstanden mellom punktene (a 1, a 2 t og v w (b w w 1, b 2 er den minste avstanden mellom (a 1, a 2 t og linjen L Derfor vil linjen mellom (a 1, a 2 t og v w (b w w 1, b 2 være høyden i trekanten med hjørner (0, 0 t, (a 1, a 2 t og (b 1, b 2 t og derfor stå normalt på L Det følger at cos θ = v w w w (b 1,b 2 t (a 1,a 2 t = v w w w w v = v w v w 10 Gjør tilsvarende oppgave som Oppgave 9 i tre dimensjoner 11 For i = 1, 2,, n setter vi e i = (0, 0,, 0, 1, 0,, 0 t der den i te koordinaten er 1 og alle andre koordinater er 0 18

26 (1 Vis at alle n-vektorer v kan skrives som v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n for noen tall a 1, a 2,, a n (2 Vis at fremstillingen i (1 er entydig, det vil si at om v = a 1 e 1 + a 2 e a n e n = b 1 e 1 + b 2 e b n e n, så er a i = b i for alle i (3 Vis at påstanden i (2 er det samme som å påstå at om a 1 e 1 + a 2 e a n e n = 0, så er a i = 0 for alle i 19

27 13 Matriser Innledning 131 En matrise er en rektangulær oppstilling av tall Ordet matrise er avledet av det latinske ordet for livmor Det var James Joseph Sylvester ( som innførte ordet, og brukte det i betydningen av noe som frembringer noe annet, i dette tilfellet determinanter Determinanter skal vi behandle senere, men historisk kom de før matrisene Sylvester er mest kjent for sitt arbeide med invariantteorien Han var en meget allsidig person, blandt annet var han poet Kanskje det er derfor han er også kjent for å ha gitt navn til en rekke viktige matematiske begreper Hver tabell er en matrise En TV- eller dataskjerm er også en matrise Slike skjermer består av et rektangulært nettverk av punkter der antallet punkter per kvadratsentimeter bestemmer kvaliteten på bildet Hvert punkt kan gies en viss grå- eller faregtone og det er disse grå eller fargete prikkene som utgjør bildet Fargen eller gråtonen kan beskrives av et tall Bildet på en dataskjerm representeres derfor av en matrise, som for de beste skjermene kan ha imponerende størrelse Rørlige bilder fremkommer ved at matrisen endrer seg Hver gang vi ser bilder eller tekst på en TV-skjerm som speiles, vries, vikles ut, eller forsvinner ut i uendeligheten er det en sekvens av enkle matematiske operasjoner som utføres i rask rekkefølge på den matrisen som i hvert øyeblikk representerer skjermen I likhet med vektorer er det ikke matrisen i seg selv som er interessant, men de operasjonene vi kan utføre på den Som for vektorer kan vi multiplisere matriser med skalarer og legge sammen to matriser om de har samme størrelse Den mest fascinerende, komplekse, og mest anvendbare operasjonen er imidlertid multiplikasjon av matriser Multiplikasjonen kommer inn overalt i matematikken og dens anvendelser Den kan iblandt virke mystisk og helt umotivert, men vi skal vise at den har en naturlig forklaring 132 Eksempler på matriser De matrisene vi skal se nærmere på er rektangulære oppstillinger av tall Eksempler på slike oppstillinger er ( , ( ( π 5 1 0, π 7, som alle er 2 2-matriser Andre eksempler er ( ( , som er 2 3-matriser og ( , ( 20 4π π 6 5, 4π π 6 5 2π 4 0,

28 som er 3 3-matriser En vilkårlig 2 2-matrise skriver vi ( a 11 a 12 a 21 a 22, der a 11, a 12, a 21, a 22 er tall Tilsvarende skriver vi ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 for en vilkårlig 2 3-matrise og ( a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 for en 3 3-matrise, der alle a ij ene er tall Generelt kan vi definere m n-matriser for alle hele positive tall m og n: Definisjon 133 La m og n være hele positive tall En m n-matrise er en oppstilling a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn der alle a ij ene er tall Vi kaller vektoren a 1j a 2j a mj = (a 1j, a 2j,, a mj t den j te søylen til matrisen A og matrisen (a i1, a i2,, a in for den i te rekken til A Tallet a ij, det vil si tallet som står i i te rekke og j te søyle, kaller vi den (i, j te koordinaten til A Merk 134 En m 1-matrise er det samme om en m-vektor Notasjon 135 Det inngår mange symboler i en matrise og den tar stor plass Derfor finnes det flere ulike måter for å forenkle notasjonen Det er vanlig å forenkle skrivemåten ved å skrive færre koordinater som i a 11 a 1n A = a m1 a mn 21

29 på samme måte som vi kan skrive en n-vektor som (a 1,, a n t Ennu enklere er det å skrive A = (a ij m,n, der m og n er antallet rekker, respektive søyler, og a ij er den (i, j te koordinaten Denne notasjonen, som vi ofte skal bruke nedenfor, svarer helt til notasjonen (a i t n for n-vektorer 136 Multiplikasjon av en skalar med en matrise Multiplikasjon av en skalar med en matrise er helt analog med multiplikasjon av en skalar med en vektor For eksempel kan vi multiplisere tallet 5 med 2 2-matrisen ( ved å sette 5 ( = ( , ( og tallet 2 med 2 3-matrisen 5 7 π ved å sette ( 5 ( 7 π = π Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen Mer generelt kan vi definere multiplikasjon av et tall a med 2 2-matrisen ( a 11 a 12 a 21 a 22 ved å sette a ( a 11 a 12 a 21 a 22 = ( aa 11 aa 12 aa 21 aa 22, og med 2 3-matrisen ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ved å sette a ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = ( aa 11 aa 12 aa 13 aa 21 aa 22 aa 23 Generelt kan vi definere produktet en av skalar med en m n-matrise: Definisjon 137 La a være et tall og la A = (a ij m,n være en m n-matrise Produktet av a med A er a 11 a 12 a 1n aa 11 aa 12 aa 1n a 21 a 22 a 2n aa = a = aa 21 aa 22 aa 2n a m1 a m2 a mn aa m1 aa m2 aa mn Vi multipliserer en skalar med en matrise ved å multiplisere skalaren med hver koordinat i matrisen Med vår forenklete notasjon kan vi skrive dette som aa = a(a ij m,n = (aa ij m,n Vi skriver A = ( 1A = ( 1(a ij m,n = ( a ij m,n og 0 = 0A = 0(a ij m,n = (0a ij m,n = (0 m,n 22

30 138 Addisjon av matriser Tilsvarende addisjon av vektorer kan vi addere matriser om de har samme størrelse For eksempel, om vi har tre 2 2-matriser ( 1 2 ( 5 4 ( π 5 3 4, 6 7, 0 1 π så setter vi og ( ( = ( (, ( ( π ( 5 = 0 1 π ( π ( 5 = 0 1 π 5+π π 1+π π På samme måte kan vi addere 2 3-matriser ved å sette ( ( ( ( = ( og ( = π π 7 1+π π 13 Vi adderer altså to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen Mer generelt kan vi addere to 2 2-matriser ( a 11 a 12 a 21 a 22 og ( b 11 b 12 b 21 b 22 ved å sette ( a 11 a 12 a 21 a 22 + ( b 11 b 12 b 21 b 22 = ( a11 +b 11 a 12 +b 12 a 21 +b 21 a 22 +b 22, og vi kan addere to 2 3-matriser ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 og ( b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ved å sette ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + ( b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 = ( a11 +b 11 a 12 +b 12 a 13 +b 13 a 21 +b 21 a 22 +b 22 a 23 +b 23 Generelt kan vi definere summen av to m n-matriser: Definisjon 139 La A = (a ij m,n og B = (b ij m,n være to m n-matriser Summen av A og B er: a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n A + B = + b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn 23

31 Vi adderer to matriser ved å addere hver koordinat i den ene matrisen med den tilsvarende koordinaten i den andre matrisen I den forenklete notasjonen kan dette skrives Oppgaver 1310 A + B = (a ij m,n + (b ij m,n = (a ij + b ij m,n 1 La a = 2 og b = 7 Regn ut aa + bb når (1 A = ( , B = ( (2 A = ( ( π 1 3 7, B = 1 π (3 A = ( , B = ( (4 A = ( La A = ( (1 a = 3, b = 1 (2 a = 1, b = 0 (3 a = 7, b = 2 (4 a = π, b = 2, B = ( , B = ( Beregn aa + bb når 3 Bestem 2 2-matrisen X slik at A X = B når (1 A = ( og B = ( 5 4 (2 A = ( (3 A = ( og B = ( og B = ( (4 A = ( ( 2π og B = 5π Bestem 3 2-matrisen X slik at A X = B når (1 A = ( og B = ( ( (2 A = ( og B = (3 A = ( π ( og B = π

32 ( (4 A = og B = ( Når det gjelder skalar multiplikasjon og addisjon oppfører matriser seg som vektorer Til en m n-matrise A = (a ij m,n tilordner vi (mn-vektoren v A = (a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn t (1 Vis at for alle m n-matriser A og B og skalarer a og b har vi at v (aa+bb = av A + bv B (2 La e ij være m n-matrisen med (i, j te koordinat lik 1 og alle andre koordinater lik 0 Vis at hver m n-matrise A kan skrives på formen A = a 11 e 11 + a 12 e a 1n e 1n + a 21 e 21 + a 22 e a 2n e 2n + + a m1 e m1 + a m2 e m2 + + a mn e mn der a 11, a 12,, a 1n, a 21, a 22,, a 2n,, a m1, a m2,, a mn er tall som er entydig bestemte 6 En grafe med n-hjørner er en samling av n punkter nummerert med 1, 2,, n og kanter som går mellom noen av hjørnene p og q med p q Se Oppgave 6, Seksjon 11 Vis at en grafe med n-hjørner svarer til n n-matriser med koordinater 0 eller 1, og med 0 på diagonalen Hint Sett (p, q te koordinaten i n n-matrisen lik 1 om det finnes en kant mellom p og q, og la alle andre koordinater være 0 For eksempel er respektive matrisene som svarer til figurene i Oppgave 6, Seksjon 11 Hvordan vi skal tilordne en grafe til en n n-matrise med 0 er og 1 ere som koordinater, og 0 på diagonalen er nu klart 25

33 14 Matrisemultiplikasjon 141 Multiplikasjon av en matrise med en vektor Neste målsetning er å definere multiplikasjon av matriser Vi forbereder oss for dette ved å betrakte spesialtilfellet der vi multipliserer en matrise med en vektor Vi multipliserer 2 2-matrisen ( med 2-vektoren (7, 3 t ved å sette ( ( 7 3 = ( = ( og 2 3-matrisen ( π med 3-vektoren (4, 1, 6 t ved å sette ( π 7 3 ( ( ( 1 4 π4+7( = 6 ( 14+ = 4π+11 2( Multiplikasjon av en matrise med en vektor v er bare mulig om matrisen har like mange søyler som v har koordinater Resultatet er en vektor med like mange koordinater som matrisen har rekker, og i te koordinaten i denne vektoren er summen av koordinatene i v multiplisert med de tilsvarende koordinatene i i te rekke i matrisen Mer generelt multipliserer vi en 2 2- matrise med 2-vektoren ved å sette: ( a 11 a 12 a 21 a 22 ( a 1 a 2 = ( a 11 a 1 +a 12 a 2 a 21 a 1 +a 22 a 2, og en 2 3-matrise med 3 vektoren ved å sette ( ( a 11 a 12 a a1 13 a 21 a 22 a 23 a 2 a 3 = ( a 11 a 1 +a 12 a 2 +a 13 a 3 a 21 a 1 +a 22 a 2 +a 23 a 3 Merk 142 For at det skal være mulig å multiplisere en matrise med en vektor må antallet søyler i matrisen være lik antallet koordinater i vektoren Resultatet er en vektor som har samme antall koordinater som matriser har rekker Generelt kan vi definere multiplikasjon av en m n-matrise med en n-vektor: Definisjon 143 La A = (a ij m,n være en m n-matrise og v = (a i t n en n-vektor Produktet av A med v er a 11 a 12 a 1n a 1 a 11 a 1 + a 12 a a 1n a n a 21 a 22 a 2n a 2 Av = = a 21 a 1 + a 22 a a 2n a n a m1 a m2 a mn a n a m1 a 1 + a m2 a a mn a n 26

34 Produktet av en m n-matrise A med en n-vektor v gir en m-vektor w og den i te koordinaten i w får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i A med de tilsvarende koordinatene i v og ta summen I den forkortete notasjonen har vi Av = (a ij m,n (a i t n = (a i1 a 1 + a i2 a a in a n t m Merk 144 Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n-vektor er en m-vektor Regneregler 145 Vi har mange regneregler for multiplikasjon av en skalar med en matrise og for multiplikasjon av en matrise med en vektor Før vi gir og beviser de viktigste resultatene innfører vi en enkel notasjon for summer som gjør uttrykkene og regningene mer gjennomskinlige 146 Summasjon av indekser Vi skal ofte håndtere uttrykk på formen a i1 a 1 + a i2 a a in a n Det er derfor praktisk å innføre en enkel notasjon for slike summer Mer generellt skal vi innføre en notasjon for summer av tall Dette gjøres ved at vi skriver 7 a i = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7, i=3 der a 3, a 4,, a 7 er tall Symbolet står for sum, og 7 i=3 betyr at indeksen i løper fra verdien 3 til verdien 7 Hvilken bokstav vi bruker for indeksen spiller selvsagt ingen rolle så vi har 7 a j = a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 j=3 Med samme notasjon har vi for eksempel 9 a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 + a 9 i=1 der alle a i ene er tall og 6 i=1 i 2i + 1 =

35 Vi kan også summere opp til et vilkårlig tall For eksempel vil n i = n og i=1 n i2 i = n2 n i=1 Mer generelt har vi at n a i = a 1 + a a n i=1 Med denne hendige notasjonen får vi at n a ij a j = a i1 a 1 + a i2 a a in a n j=1 Vi kan da uttrykke multiplikasjonen av matrisen A = (a ij m,n med vektoren v = (a i t n på den kompakte formen Av = (a ij m,n (a i t n = ( n a ij a j t m Merk at i uttrykket ( n j=1 a ija j t m er j en summasjonsindeks mens i er fast og betegner den i te koordinaten Vi skal mange ganger ha bruk for likhetene j=1 m a i i=1 j=1 n b j = m n a i b j = i=1 j=1 n m b j a i = j=1 i=1 n j=1 b j m i=1 a i De er alle lik summen a 1 b 1 +a 1 b 2 + +a 1 b n +a 2 b 1 +a 2 b 2 + +a 2 b n + +a m b 1 +a m b 2 + +a m b n Proposisjon 147 La a være et tall og v og w to n-vektorer Videre, la A være en m n-matrise Da har vi at (1 A(av = (aav (2 A(v + w = Av + Aw Bevis Sett v = (a i t n, w = (b i t n og A = (a ij m,n Da har vi at n n (aav = (aa ij m,n (a i t n = ( aa ij a j t m = ( a ij (aa j t m = (a ij m,n (aa i t n = A(av j=1 28 j=1

36 Videre har vi at n A(v + w = (a ij m,n ((a i t n + (b i t n = (a ij m,n (a i + b i t n = ( a ij (a j + b j t m j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 n n n n = ( a ij a j + a ij b j t m = ( a ij a j t m + ( a ij b j t m = (a ij m,n (a i t n + (a ij m,n (b i t n = Av + Aw 148 Multiplikasjon av matriser Vi er nu klare til å definere multiplikasjon av matriser Som vanlig begynner vi med noen eksempler som illustrer hva som hender Vi multipliserer 2 2- matrisene ( og ( ved å sette: ( ( = = ( ( 1 5+( 2( ( ( og produktet av 2 2-matrisen ( med 2 3-matrisen ( 5 4 π ved ( ( ( ( 5 4 π = 1 5+( 2( ( 22 1π ( π π 2 = π Videre kan vi multiplisere 3 2-matrisen med 2 3-matrisen ( ved ( ( ( ( ( 2( ( 2( ( 10 0( 1+( 12 0( 2+( = ( ( ( = ( Vi kan bare multiplisere to matriser om den første har like mange søyler som den andre har rekker Resultatet er en matrise med like mange rekker som den første matrisen og like mange søyler som den andre Den (i, j te koordinaten får vi ved å multiplisere koordinatene i den i te rekken i første matrisen med de tilsvarende koordinatene i den j te søylen i den andre matrisen og summere Mer generelt definerer vi produktet av to 2 2-matriser ved ( a 11 a 12 a 21 a 22 ( b 11 b 12 b 21 b 22 = ( a11 b 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22, og av 2 2-matrisen med en 2 3-matrise ved ( a 11 a 12 a 21 a 22 ( b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 = ( a11 b 11 +a 12 b 21 a 11 b 12 +a 12 b 22 a 11 b 13 +a 12 b 23 a 21 b 11 +a 22 b 21 a 21 b 12 +a 22 b 22 a 21 b 13 +a 22 b 23 I hvert av tilfellene fremkommer produktet AB ved at vi tar i te søyle i B og betrakter den som en vektor (b 1i, b 2i,, b ni t Denne søylen multipliserer vi med A og får den i te søylen A(b 1i, b 2i,, b ni t 29

37 Merk 149 Vi ser at at multiplikasjonen ovenfor bare er mulig når antallet søyler i den første matrisen er lik antallet rekker i den andre, og at resultatet er en matrise med samme antall rekker som den første matrisen og samme antall søyler som den andre matrisen Generelt definerer vi produktet av en m n-matrixe A med en n p-matrise B ved å la den i te søylen i produktet AB være produktet av matrisen A med den i te søylen i B Med andre ord, vi får i te søyle i AB ved å betrakte i te søyle i B som en vektor (b 1i, b 2i,, b mi t og ta produktet A(b 1i, b 2i,, b mi t Matriseprodukt er derfor det samme som p vektorprodukter Mer presist har vi: Definisjon 1410 La A = (a ij m,n være en m n-matrise og B = (b ij n,p en n p-matrise Produktet av A og B er a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p AB = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b a 2n b n1 a 21 b 1p + a 22 b 2p + + a 2n b np = a m1 b 11 + a m2 b a mn b n1 a m1 b 1p + a m2 b 2p + + a mn b np I forenklet notasjon får vi ( n AB = (a ij m,n (b ij n,p = a ik b kj Sammenliknet med å skrive ut hele matrisen er uttrykket i forenklet notasjon et under av enkelhet Merk 1411 Resultatet av å multiplisere en m n-matrise med en n p- matrise er en m p-matrise Når p = 1 får vi multiplikasjon av en matrise med en vektor, slik vi har definert den ovenfor Regneregler 1412 Det finnes mange regneregler for multiplikasjon av en skalar med en matrise, og for addisjon og multiplikasjon av matriser De fleste regnereglene for skalarmultiplikasjon og addisjon er analoge med de som gjelder for vektorer Lengre frem skal vi vise at følgende regel er en konsekvens av at vi kan tolke matriser som avbildninger Vi tar med et bevis her for å få trening på å regne med matriser 30 k=1 m,p

38 Proposisjon 1413 La A være en m n-matrise, B en n p-matrise og C en p q-matrise Da har vi (ABC = A(BC Bevis Vi setter A = (a ij m,n, B = (b ij n,p og C = (c ij p,q Da har vi at AB = ( n k=1 a ikb kj m,n Derfor vil ( p ( n ( p n (ABC = a ik b kl c lj = a ik b kl c lj l=1 k=1 På den andre siden kan vi begynne med BC = ( p l=1 b klc lj n,q og får ( n ( n p A(BC = b kl c lj = a ik b kl c lj k=1 a ik( p l=1 Likheten i Proposisjonen følger av at ( p l=1 n a ik b kl c lj k=1 m,q m,q m,q ( n = k=1 l=1 k=1 k=1 l=1 p a ik b kl c lj l=1 m,q m,q m,q Terminologi 1414 Likheten (ABC = A(BC viser at multiplikasjon av matriser er uavhengig av rekkefølgen av multiplikasjonen Vi sier at multiplikasjon av matriser er assosiativ og skriver ABC = (ABC = A(BC Merk 1415 Vi har at men ( ( = ( , ( ( = ( Matrisemultiplikasjon er derfor avhengig av ordenen av faktorene Vi sier at matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ Dette skiller matrisemultiplikasjonen fra de andre regnereglene vi har støtt på og gjør den spesielt interessant Oppgaver La A = ( (1 v = (2, 3 t (2 v = (5, 4 t 3 7 og B = ( 2 0 Regn ut Av + Bv når 31

39 (3 v = (π, 2 t 2 La v = ( 1, 2 t og w = (5, 3 t Regn ut Av + Aw når (1 A = ( (2 A = ( 7 3 ( (3 A = 4 5 π La A = ( (1 Regn ut AB og BA når (a B = ( (b B = ( π ( 2 (c B = (2 Regn ut AB når (a B = ( ( (b B = π (3 Regn ut BA når ( 4 1 (a B = ( π 1 (b B = Regn ut (1 ( (2 ( ( ( Kan du finne en 2 2-matrise X slik at AX = ( når (1 A = ( (2 A = ( (3 A = (

40 (4 A = ( Regn ut XA når X finnes 6 La A = ( a11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n ( a m1 a m2 a mn a11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 være en m n-matrise Vi danner en matrise A t = ved å la radene i A bli søylene i A t Matrisen A t er en a 1n a 2n a nm n m-matrise som kalles den transponerte til matrisen A Vis at for alle m n-matriser A og n p matriser B så har vi at (AB t = B t A t 7 La I n = være matrisen med 1 på diagonalen og alle andre koordinatene lik 0 En elementær operasjon på en matriser er en av følgende: (1 Multiplikasjon av en rad med et ikke null tall (2 Multiplikasjon av en rad med et tall og addisjon av denne raden til en annen rad (3 Ombytte av to rader For eksempel for matrisen ( a 11 a 12 a 21 a 22 får vi ved elementære operasjoner de tre matrisene ( a 11 a 12 a aa 21 aa 22, ( 11 a 12 a 21 +aa 11 a 22 +a 12 og ( a 21 a 22 a 11 a 12 En elementær n n-matrise er en matrise som vi får fra I n ved en av de tre elementære operasjonene Vis at du kan utføre en elementær operasjon på en m n-matrise A ved å utføre samme operasjon på I m slik at du får en elementær matrise E og deretter ta produktet EA 8 La I 3 = A (123 = A (231 = ( , A (132 = ( , A (312 = ( , A (213 = ( , A (321 = ( , ( (1 For hver av matrisene A σ, finn en matrise A τ slik at A σ A τ = A τ A σ = I 3 33

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Elementær Matriseteori

Elementær Matriseteori Elementær Matriseteori Magnus B. Botnan NTNU 3. august, 2015 Kursinfo - Foreleser: Magnus B. Botnan http://www.math.ntnu.no/~botnan/ - Hjemmeside: https: //wiki.math.ntnu.no/tma4110/2015h/forkurs/start

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006

Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006 Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Seksjonene : Vektorer

Seksjonene : Vektorer Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010 Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

1 Gauss-Jordan metode

1 Gauss-Jordan metode Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo

Polare trekanter. Kristian Ranestad. 27. oktober Universitetet i Oslo Universitetet i Oslo 27. oktober 2011 Pol og polare Enhetssirkelen har likningen q(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 For hvert punkt a = (a 1, a 2 ) på sirkelen er tangentlinja til sirkelen definert av likningen

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6

Kvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6 Kvikkbilde 8 6 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)

Løsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b) Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1

Detaljer

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt:

Dedekind introduserer nå en spesiell klasse snitt som han kaller rasjonale snitt: DE IRRASJONALE TALLENE EUDOXUS TESTAMENTE. Dedekind s snitt. Vi så tidligere at de greske matmatikerene kom til klarhet over at ikke alle forhold kunne beskrives som de vi kaller rasjonale tall dvs at

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære Venn-diagrammer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 13. februar 2008 Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement

Detaljer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer Forelesning 10 Mengdelære Dag Normann - 13. februar 2008 Venn-diagrammer Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement A Mengdedifferens A B samt de faste mengdene og E. Venn-diagrammer

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

Kvikkbilde Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 4 12

Kvikkbilde Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 4 12 Kvikkbilde 4 12 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer