Løsningsforslag for første obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete

Transkript

1 Løsningsforslag for første obligatoriske oppgave i STK00 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete NB! Feil kan forekomme. Oppgave T er levetiden for en bestemt type elektronisk komponent, med sannsynlighetstetthet: { θ t (θ+)/θ for t f(t) =, der 0 < θ < /2 er en parameter. 0 for t < a) Vi ser at f(t) 0 for alle t og at f(t)dt = 0dt + θ t (θ+)/θ dt = 0 + t θ dt = θ θ = [t θ ] = 0 ( ) =. Da er f(t) en tetthetsfunksjon, jmf Rice, side 46. b) Vi skal finne den kumulative fordelingsfunksjonen til T. For t < : F (t) = t 0du = 0. For t : F (t) = 0dt + t f(u)du = 0 + t θ u θ du = θ [ θu θ ] t = t θ. Dette gir at: { t θ for t F (t) = 0 for t <. c) P (t > 0 θ = 0.25) = P (t 0 θ = 0.25) = = d) Vi skal finne medianen i fordelingen uttrykt ved θ. Medianen er definert som den verdien t 0.5 som er slik at F (t 0.5 ) = 2. θ [t θ ] Vi får at F (t 0.5 ) = t θ 0.5 = 2. Vi løser denne ligningen mhp t 0.5, og får at medianen er gitt ved t 0.5 = 2 θ. e) Forventningen til T : E(T ) = tf(t)dt = 0 + t θ t θ dt = θ t θ dt = [ θ θ +t θ + ]

2 = θ [t θ + ] = 0 ( ( θ) ) = θ. f) Vi skal finne V ar(t ), og bruker at V ar(t ) = E(T 2 ) (E(T )) 2. E(T 2 ) = t2 f(t)dt = 0+ t 2 t θ dt = t θ dt = [ t 2 θ θ θ 2 θ ] =. 2θ θ Dette gir: V ar(t ) = 2θ ( θ )2 = θ 2 ( 2θ)( θ) 2. g) Vi skal finne sannsynlighetsettheten til Y = 2θ log(t ). F Y (y) = P (Y y) = P (2θ log(t ) y) = P (T e y 2θ ). For t, dvs y 0, får vi at: F Y (y) = (e y 2θ ) θ Dette gir videre tettheten: = e y 2θ 2. f Y (y) = d dy F Y (y) = 2θ 2 e y 2θ 2, og vi kan skrive sannsynlighetstettheten til Y som: { e y 2θ f Y (y) = 2 2θ 2 for y 0. 0 ellers Oppgave 2 Det er strengt tatt ikke nødvendig å ta med Matlab kommandoene i besvarelsen. Vi har likevel valgt å ta med komandoene her som hjelp til å forstå hvordan ting ble gjort. Vi leser inn data i Matlab med kommandoen: X=textread( dod.txt,, headerlines,7); Vi legger hver kolonne i X i en egen variabel: alder=x(:,); menn=x(:,2); kvinner=x(:,3); a) Dødelighetstabellen X inneholder ettårige dødssannsynligheter pr. 000 individer. Vi deler på 000 slik at vi får sannsynligheter: qmenn=menn./000; qkvinner=kvinner./000; 2

3 b) Vi skal lage plott av de ettårige dødssannsynlighetene som funksjon av alder for både menn og kvinner. Vanlig plotting: plot(alder,qmenn) hold on plot(alder,qkvinner, -- ) hold off legend( menn, kvinner ) title( Ettaarige doedssannsynligheter ) xlabel( Alder ) ylabel( Doedssannsynlighet ) Plotting på logaritmisk skala: semilogy(alder,qmenn) hold on semilogy(alder,qkvinner, -- ) hold off legend( menn, kvinner ) title( Ettaarige doedssannsynligheter ) xlabel( Alder ) ylabel( Doedssannsynlighet ) 3

4 Ettaarige doedssannsynligheter menn kvinner 0.3 Doedssannsynlighet Alder Figur : Ettårige dødssannsynligheter, vanlig skala. 0 0 Ettaarige doedssannsynligheter menn kvinner 0 Doedssannsynlighet Alder Figur 2: Ettårige dødssannsynligheter, logaritmisk skala. Av figur ser vi at dødeligheten stiger kraftig med alderen. For å få et mer nyansert bilde er det hensiktsmessig å bruke logatitmisk skala for y-aksen. Av figur 2 ser vi at dødeligheten i nesten alle aldre er større for gutter/menn enn for jenter/kvinner. Vi ser videre at for begge kjønn er dødeligheten stor det første leveåret, for så å avta og ligge nokså lavt til slutten av tenårene. Fra trettiårsalderen øker dødeligheten nesten lineært på logatitmisk skala, noe som svarer til at dødeligheten vokser omtrent eksponensielt med alderen. c) Vi beregner de ettårige overlevelsessannsynlighetene. pmenn=-qmenn; 4

5 pkvinner=-qkvinner; d) Overlevelsessannsynligheten til alder k år er sannsynligheten for at en nyfødt skal bli minst k år. Hvorfor er dette produktet av de ettårige overlevelsessannsynlighetene for alle aldre fra 0 år til og med k år? Vi finner ved å bruke produktsetningen (jmf. oppgave.8.45): P (nyfødt blir minst k år) = P (nyfødt blir minst år nyfødt blir minst 2 år... nyfødt blir minst k år) = P (nyfødt blir minst år) P (nyfødt blir minst 2 år nyfødt blir minst år) P (nyfødt blir minst 3 år nyfødt blir minst år nyfødt blir minst 2 år)... P (nyfødt blir minst k år nyfødt blir minst år nyfødt blir minst 2 år... nyfødt blir minst k- år) = P (nyfødt blir minst år) P (nyfødt blir minst 2 år nyfødt blir minst år) P (nyfødt blir minst 3 år nyfødt blir minst 2 år)... P (nyfødt blir minst k år nyfødt blir minst k- år) = produkt av de ettårige overlevelsessannsynlighetene for alle aldre fra 0 år til k år. I Matlab gjør vi beregningene på denne måten: smenn=cumprod(pmenn); skvinner=cumprod(pkvinner); Da vil smenn og skvinner inneholde overlevelsessannsynlighetene til alder k år for k =, 2,..., 00. e) Vi vil ha overlevelsessannsynligheter til alder k = 0,, 2,..., 99: smenn=[;smenn(:99)]; skvinner=[;skvinner(:99)]; f) Plott av overlevelsessannsynlighetene fra punkt e som funksjon av alder for både kvinner og menn. plot(alder,smenn) hold on plot(alder,skvinner, -- ) 5

6 hold off legend( menn, kvinner ) title( Overlevelsessannsynligheter ) xlabel( Alder ) ylabel( Overlevelsessannsynlighet ) 0.9 Overlevelsessannsynligheter menn kvinner Overlevelsessannsynlighet Alder Figur 3: Overlevelsessannsynligheter. Vi ser av figur 3 at overlevelsessannsynlighetene avtar med økende alder for både menn og kvinner. De ser dessuten ut til å avta raskere for menn enn for kvinner. Det er særlig etter års alderen at overlevelsessannsynlighetene avtar. Vi kan lese median levealder av figur 3 ved å trekke en horisontal linje i der vi har 50 % overlevelsessannsynlighet på y-aksen, og så lese av verdiene vi får for kvinner og menn når det gjelder alder på x-aksen. Dette gir en median for levealder for kvinner på omtrent 83 år og en median for menn på omtrent 77 år. Alternativt kan vi gi kommandoen: [alder smenn skvinner] og så lese av tabellen for hvilke aldre overlevelsessannsynlighetene er omtrent 50%. g) Vi innfører X = levealder til nyfødt gutt/jente, og finner punktsannsynlighetene: p(k) = P r{x = k} for k = 0,, 2,..., 99, som gir sannsynligheten for de ulike verdiene X kan ta. Vi beregner disse punktsannsynlighetene ved å multiplisere (elementvis) kolonnen 6

7 med ettårige dødssannsynligheter fra punkt a og kolonnen med overlevelsessannsynligheter fra punkt e. Hvorfor er det slik? Vi ser på P r{x = k}: P r{x = k} = P r{levealder til nyfødt = k} = P r{overleve til alder k- dø ved alder k} = P r{dø ved alder k overleve til alder k-}p r{overleve til alder k-}. Vi ser at den første sannsynligheten er kte element i qkvinner (eller qmenn hvis det er gutter vi ser på), som vi fant i punkt a, og den andre sannsynligheten er kte element i skvinner (eller smenn hvis det er gutter vi ser på), som vi fant i punkt e. Xgutt=qmenn.*smenn; Xjente=qkvinner.*skvinner; plot(alder,xgutt) hold on plot(alder,xjente, -- ) hold off legend( gutt, jente ) title( Levealder ) xlabel( Alder ) ylabel( P(levealder) ) Levealder gutt jente P(levealder) Alder Figur 4: Levealder til nyfødt. Vi ser av figur 4 at for aldre under 80 år ligger punktsannsynlighetene for kvinner 7

8 under punktsannsynlighetene for menn, mens det er motsatt for aldre over 80 år. Vi merker oss også at levetidsfordelingen ikke er symmetrisk for hverken kvinner eller menn. h) Forventet levealder for norske kvinner og menn: E(X) = 99 k=0 k p(k) I Matlab: Emenn=sum(alder.*Xgutt); Svaret her blir 73.5 Ekvinner=sum(alder.*Xjente); Svaret her blir 78.8 Vi ser at den forventede levealder for både kvinner og menn ligger omtrent 5 år under median levealder. Hva kan årsaken til dette være? Vi ser av figur 4 at både levetidsfordelingen for kvinner og menn ikke er symmetriske. For begge kjønn har fordelingene hale mot venstre. Dette gir at forventningen blir skjøvet mot venstre i forhold til medianen. i) Vi ser på Statistisk Årbok på internett, klikker på befolkning, og deretter forventet gjennstående levealder (se Vi ser av tabellen at for perioden , er forventet levetid 74.4 for menn og 80.4 for kvinner. Dette er litt høyere tall enn de vi fikk i punkt h. Det er to grunner til at det er avvik mellom de tallene vi kom fram til og de som er presentert i Statistisk Årbok. For det første har vi sett bort fra at man kan bli eldre enn 00 år (legger du sammen punktsannstynlighetene i punkt g vil du se at de ikke summerer seg helt opp til ). Denne feilen gir størst utslag for kvinner, siden flere kvinner enn menn blir over 00 år. I tillegg har vi regnet med alder i hele år, mens de i Statistisk årbok regner med faktisk alder (dvs. også deler av år). Begge disse momentene bidrar til at vi får noe lavere tall enn de man finner i Statistisk Årbok. 8