P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ."

Transkript

1 P ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ

2 ±Ê.. P ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É ²Ö ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Ï Éμ μ μ Ö ± μ ²ÖÕÉ Ö μ Î Ö³ ËÊ ±Í - μ μ μ μ É Ì Ê ² Ì μ É ²Ö. ³± Ì μ ²μ μ μ ³ - Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ (x x ) É ÌÉμÎ Î μ ɱ. μé ² μ ɳ - Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² -, ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. μé Ò μ² μ Éμ Ëμ ³ Í μ ÒÌ É Ì μ²μ ˆŸˆ. É Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ. Ê, 22 Dikusar N. D. P Piecewise Polynomial Approximation of the Sixth Order with Automatic Knots Detection Coefˇcients of a local segment model for piecewise polynomial approximation of the sixth order are evaluated using values of the function and of its ˇrst derivative at three knots of the support. Formulae for coefˇcients of the function expansion in degrees of (x x ) on a three-point grid are obtained within the framework of the recently proposed basic element method. An algorithm for automatic knot detection is developed. Numerical calculations applying quite complicated tests have shown high efˇciency of the model with respect to the calculation stability, accuracy and smoothness of approximation. The investigation has been performed at the Laboratory of Information Technologies, JINR. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 22

3 ˆ μ Ó³ Î Éμ Ò É μ, ÎÉμ Ò μ- Ï μ ÉÓ μ ² Ó ± Ê²Õ ²Ö ²μ μ³ Êɱ... ÒÏ [] ³ É ³ É ± ±² ÒÌ Ê± Ì ²μ ÊÕ ËÊ ±Í μ ²Ó ÊÕ - ³μ ÉÓ, ÊÕ Ëμ ³Ê²μ ² ± É Ò³ μ μ³ ÉμÎ ±, ² ÕÉ μ- ² μ³ ³ μ²óïμ É Î Éμ ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ. ÒÎ μ ²Ö ÔÉμ μ μ²ó ÊÕÉ ±Ê Î ± ² Ò, ² ±Ê μî μ-±ê Î ±ÊÕ μ± ³ - Í Õ [2Ä6]. μ ÒÏ ÔËË ±É μ É ³ Éμ μ ² μ ɳμ μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í ² Ö Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ ±ÉÊ ²Ó μ - ² Î ÒÌ μ ² ÉÖÌ ÊÎ ÒÌ ² μ. ËË ±É μ ÉÓ ³ Éμ μ ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í (Š) É μé É ³ μ μî² μ, μ± ³ ÊÕÐ Ì ³ ÉÒ, μé - Ò μ É μ Ö ± ² ±μ É Ê ² Ì μ É ³ ²Ó μ μ Ö μ ² É Ö ËÊ ±Í. ƒ² ±μ ÉÓ Ö ± Î É μ³ μ± ³ Í μ Î - É Ö ² -³ Éμ ³, Ò μ Î ² Ê ²μ Ì μ²μ Ö Ö ²Ö É Ö É ²Ó μ Î, ±μéμ μ Ð É Ö ±μ³ μ³ ³ Ê ÉμÎ μ ÉÓÕ ² Ö ² μ μ³ Êɱ ( μ É ²Ö) μ± ³ Í. Ð Ö ÔË- Ë ±É μ ÉÓ Š É μé Ò μ Ëμ ³Ò μ² μ³ ²Ó μ ³μ ². Éμα Ö ÉμÎ μ É ÒÎ ² μ²ó μ Ò μ± Ì É μ² Ò μ μ, ÌμÉÖ ÒÎ ² É ²Ó Ö ²μ μ ÉÓ ÔÉμ³ μ É É [6]. ÊÐ É ÊÕÉ ² Î Ò Ëμ ³Ò É ² Ö ³ μ μî² μ, ±μôëë Í - ÉÒ ±μéμ ÒÌ μ ²ÖÕÉ Ö μ- μ³ê. ³, ²Ö ²μ± ²Ó μ μ± - ³ Í f(x) C (n) μ² Î Éμ μ²ó ÊÕÉ ³ μ μî² ²μ T n (x x ) ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,n, ±μéμ Ò Ö ²Ö É Ö ³ μ μî² μ³ - ²ÊÎÏ μ ² Ö ³ ²μ μ± É μ É μ μ Éμα x = x. É μ²ö- Í μ ÒÌ Ëμ ³Ê² Ì, ÓÕÉμ, ƒ Ê, ³ É. ±μôëë Í ÉÒ Ò ² ÖÉ μé f (i) = f (i) (x ). ²ÊÎ ± É Î μ μ± - ³ Í ÒÌ μï ± ³ μ²ó ÊÕÉ ³ Éμ ³ ÓÏ Ì ± Éμ (ŒŠ).

4 μ μé ² É Ö ³ Éμ Š Ï Éμ μ μ Ö ±, μ μ Ò ³ μ μî² Ì ÖÉμ É, É ² ÒÌ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ - Éμ (Œ) [7, 8]. ³ Œ ÖÉμ É Î Ì Š μ É Ò μ Ê ± ± μ ÉμÎ μ É μí μ±, É ± μ ² ²μ± ²Ó ÒÌ μ É ². [8] μ± Ò ³ÊÐ É μ²ó μ Ö Œ Ï Î μ± - ³ Í ËÊ ±Í ² Ö ÒÌ ² μ ÒÏ Ö Ê Éμ Î μ É ÒÎ ² μ Ö ÒÎ ² É ²Ó μ ²μ μ É. Œ É ² É ÉÓ ² É Ö Ï É ² Ì.. É ² ±μ É Ê±Í Ö ³ μ μî² μ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ Ò Ëμ - ³Ê²Ò Œ-±μÔËË Í Éμ ÖÉμ É.. 2 ³± Ì ²μ± ²Ó μ Œ- μ± ³ Í É ÌÉμÎ Î μ ɱ μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôë- Ë Í Éμ ²μ f(x) μ É Ö³ (x x ).. 3 μ ÖÐ Î Œ-Ô± É μ²öí,. 4 μ É Ö ² μ ɳ É ±Éμ Ê ²μ. Œ- μ± ³ Í Ö ² Ö Ï Éμ μ μ Ö ± μ Ê ÕÉ Ö. 5 6 μμé É É μ.. Œ μé [8] μ± É μ ³ μ É ² ³ μ μî² P n (x) = a + a x a n x n Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ (μ μ ±Ê Î ±μ É Ì ± É Î ÒÌ μ²), μ É μ ÒÌ É ÌÉμÎ Î μ ɱ x α <x <x β : f(x) P n k (Q, w, r) = k Q i w T r i = i= k b T i r i, k = n/3, () Q w =[w,w 2,w 3 ] T Å Ò Ô² ³ ÉÒ, b i = Q i w T, r i =[r αi, r βi, r i ] T Å ±μôëë Í ÉÒ. n =5³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É S(x) f(x), x [x α x β ] [a, b], ³ É S(x) w T f + b T r = f α w + f β w 2 + f w 3 + r α b + r β b 2 + r b 3, (2) i= w 2 = τ(τ β) Q = τ(τ α)(τ β), w =, αγ τ(τ α) (τ α)(τ β) 3, w 3 = ; w j =, βγ αβ j= (3) τ = x x, α = x α x, β = x β x, γ = β α, x, α, β R, αβγ. 2

5 ŠμÔËË Í ÉÒ f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T μí μ Ò Ê ² ³ ɱ x α <x <x β, ³ É Ò α β μ Î Ò μ μ²õé μ - ² Î ËÊ ±Í μ ²Ó μ Ö Ò ³μ ³ μ x Ò³ Ô² ³ É ³ w j Q. Š É Î Ö μ É ²ÖÕÐ Ö w T f (2) μ ²Ö É Ö ±μôëë Í É ³ f ν = f(x ν ), ν = α, β,. ŠμÔËË Í ÉÒ r ν É Ï Ì É ÖÌ x μ ²ÖÕÉ Ö [8] r ν = c ν f ν + kt ν f, ν = α, β,, (4) k α =[(γ α)/(α 2 γ 2 ), /(γ 2 β), /(βα 2 )] T, k β =[/(αγ 2 ), (β + γ)/(γ 2 β 2 ), /(β 2 α)] T, (5) k =[ /(α 2 γ), /(γβ 2 ), (α + β)/(β 2 α 2 )] T, c α = /(αγ), c β =/(γβ), c =/(βα), γ = β α; j =, 2, 3. α = β = h =constôé Ëμ ³Ê²Ò Ê μð ÕÉ Ö: r h = f h 2h 2 + 3f h + f h 4f 4h 3, r h = f h 2h 2 f h +3f h 4f 4h 3, (6) r = f h 2 f h f 2h 3. μ ³Ê²Ò (2)Ä(6) μ μ²öõé ² ±μ É ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ- f(x) μ É Ö³ (x x ),±μ x ³ Ö É Ö μ³ Êɱ [x + α, x + β], α<β,αβ<. 2. Œ-Š ˆŒ ˆŸ Š ˆ É μ, ÎÉμ μ²óïμ μ± É μ É Éμα x ³ μ μî² ²μ ±μôëë Í É ³ f (i) (x )/i!, i =,5, É ²ÊÎÏ ² ± f(x). ³ Éμ ³μ μ Ë 853. μ Ö ³ Ì ³μ, É ÒÌ μ - ³ ²² ²μ ³³μ [].. ÒÏ ³ É ², ÎÉμ ³ ²μ³, Ë ± μ μ³ É ² [x h, x + h] μ² μ³ ²μ ² Ê É ³ - ÉÓ Ê ³ μ² μ³μ³. ±μ μ² μ³ ÒÏ Ï ² ± ± Ï Î ² ÊÕÐ Ëμ ³Ê² μ ± : ² ÉÓ ³ Ö, ±μéμ Ò μ μ - É ² μ³ Ò ËÊ ±Í f(x), μ³ ²μ ³ μ É Ö³ (x x ), ² É Ê É Ö ² ÉÓ ³ ÓÏ ³ ² μ μ- Ï μ É ³ Ê x = x h x = x + h, h Å ² Î μî Ó 3

6 Î É ²Ó Ö. É ³ μ² μ³μ³ É ² Ï μ±μ É Ò μ² μ³ ²ÊÎ- Ï μ ² Ö ÒÏ. μ μ³μðóõ Ò² μ²êî Ò μ ± ± ±μôëë Í É ³ μ² μ³ ²μ. μ³ É Î ±μ Éμα Ö ±μôëë Í ÉÒ f r (), (2), ± ± ±μôëë Í ÉÒ ³ μ μî² ²μ, μ² ÕÉ Ö É ± ²ÖÌ x = x ν, ν = α,,β (., ). ³ Q Ëμ ³Ê² (2) μ Ò ³ x-±μμ É Ì Q {}}{ S(x) w T f + (x x α )(x x )(x x β ) w T r (7) Ö Î ÉÓ (7) ²μ Î Ëμ ³ ³ μ μî² ²μ ²Ö μ± É μ É ÉμÎ ± x α, x, x β. ³μÉ ³ Ëμ ³Ê²Ê (2) Éμα Ö μ ² Ö ³ ±μ- ÔËË Í É Ì ³ μ μî² ²μ, ² f(x) μ± ³ μ ÉÓ Œ ÖÉμ É (2)Ä(5). É ²Ö É É ² ÊÕÐ Ö Î. ˆ μ²ó ÊÖ Ëμ ³Ê²Ò (2)Ä(5), ²Ö ÒÌ α, β, f =[f α,f β,f ] T r =[r α,r β,r ] T É ±μôëë Í ÉÒ d i ³ μ μî² f(x) 5 d i (x x ) i ʲ Ò³ μ Ï μ ÉÖ³ Ê ² Ì É± x α <x <x β,±μ x ³ Ö É Ö ² Ì μé x = x + α μ x = x + β,α < β, αβ <. Ï Î É μ ³. ŠμÔËË Í ÉÒ d i ³ μ μî² ÖÉμ É, É ²ÖÕ- Ð μ f(x) ²μ ³ μ É Ö³ (x x ) μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, 5 f(x) d i (x x ) i (8) i= Ò ÕÉ Ö ² ÊÕÐ ³ Ëμ ³Ê² ³ : d 5 =[αr β + γr βr α ]/(αβγ), d 4 =[αβ(r α r β ) 2γ(α + β)r +2(β 2 r α α 2 r β )]/(αβγ), i= d 3 =[2αβ(αr β βr α )+α 3 r β + γ(α 2 + β 2 )r β 3 r α ]/(αβγ)+4r, d 2 =[αf β + γf βf α ]/(αβγ)+[β 2 r α α 2 r β ]/γ 2(α + β)r, d =[β 2 f α γ(α + β)f α 2 f β ]/(αβγ)+αβr, d = f, (9) f ν = f(x ν ), γ = β α, r ν ÒÎ ²ÖÕÉ Ö μ Ëμ ³Ê² ³ (4), (5), ν = α, β,. 4

7 μ± É ²Ó É μ. μ ³Ê²Ò (9) ÒÉ ± ÕÉ É ÒÌ Î É Ê - (7) (8). μ²êî ÕÉ Ö ÊÎ Éμ³ (3)Ä(5) μ ² w T f, Qw T r ±μμ É μ Ëμ ³ Ê μ ± ³ μ É ² μμé É É ÊÕÐ Ì É - ÖÌ (x x ). ² É. α = h β = kh, h >, k =, 2,..., (9) μ²êî ³ d = f, d = f, ±μôëë Í ÉÒ d 2,...,d 5 ±Éμ μ Ëμ ³ d i (k, h ; f h, f h )= h 5 u T i f h + h 4 vi T f h, i = 2, 5, k =, 2,..., (9a) f h =[f h,f kh,f ] f h =[f h, f kh,f ], u i v i ÖÉ μé k =, 2,...: u 2 = u 3 = [ k 2 ] (3k +5) (k +) 3, 5k +3 k 2 (k +) 3, 3k2 +4k 3 k 2, [ 2k(k 2 k 5) (k +) 3, 2(5k2 + k ) k 3 (k +) 3, 2(k3 4k 2 ] +4k ) k 3, [ 4k 2 ] +5k 5 u 4 = (k +) 3, 5k2 5k 4 k 3 (k +) 3, 4k2 7k +4 k 3, [ ] 2(k +2) 2(2k +) 2(k ) u 5 =, (k +) 3 k 3, (k +) 3 k 3 ; [ k 2 ] v 2 = (k +) 2, 2(k ),, k(k +) 2 k v 3 = [ ] k(k 2) (k +) 2, 2k k 2 (k +) 2, k2 4k + k 2, [ (2k ) v 4 = [ v 5 = (k +) 2, (k 2) 2(k ) k 2, (k +) 2 k 2 (k +) 2, k 2 (k +) 2, k 2 ]. ² Ê É μ Î ± ÊÉÓ, ÎÉμ É Ó ³ É ² ±μμ É Ì u i v i ³ ÓÏ É Î ² É ², ÎÉμ ʱ Ò É Ê Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ f f μ É k. ³ Î. ² Î h, ² Î Ö ³ É μ α β, μ Ð ³ ²ÊÎ μ ²ÖÕÉ Ö μ²μ ³ Éμα x μé ± [x + α, x + β], ² ³μ μ μé ± É μé ²μ μ É f(x) μ μ ÒÌ. ], 5

8 ²ÊÎ μ³ μ ɱ (h = h, k =)Ëμ ³Ê²Ò d 2,...,d 5 (9a) Ê μð ÕÉ Ö: d 5 =[3(f h f h )+h(f h +4f + f h)]/(4h 5 ), d 4 =[2( f h +2f f h ) h(f h f h )]/(4h4 ), d 3 =[5(f h f h )+h(f h +8f + f h )]/(4h3 ), () d 2 =[4(f h 2f + f h )+h(f h f h)]/(4h 2 ), d = f, d = f, É.. ±μôëë Í ÉÒ d i, i =, 5, ÖÉ μé h Î f, f É ÌÊ ² Ì x h, x, x + h. ² É 2. μ μé³ É ÉÓ, ÎÉμ μï ± ε D (x) = f(x) D 5 (x x ) ε T (x) = f(x) T 5 (x x ) ÊÉ Ö μ- μ³ê. ² x ε T (x) <ε D (x),, Î Ö h,7, ε T (x + h) ε D (x + h), Éμ ± ± lim ε D(x) =, x x +ν ν = h,,h, μé±ê ² Ê É max ε D (x) < max ε T (x), x [x h, x + h]. ³. ³μÉ ³ ËÊ ±Í Õ f(x) =exp[ 5(x ) 2 ], x [ 2, 2]. ²Ö x =, x h =,5, x h =,5, f =[,2865,,2865, ] T f =[,4325,,4325, ] T ³ d i μ Ëμ ³Ê² ³ (). ƒ Ë ± T 5 (x x ), D 5 (x x ) μï μ± ε T = f T 5, ε D = f D 5 μ± Ò.,. Ë ±, μ ²μ ˳ Î ±μ³ ³ ÏÉ, Ò.,. μ, ÎÉμ ε T ε D ²Ö x mh, m,7. ² Éμα x + h =,5 μï ± ε T ±μ²ó±μ μ Ö ±μ μ²óï ε D. fx () f J а f r f r r w w 3 w2 Q,5 D h T x 5 () T D5 () x fx (),5 2 б x в T D h,7h x,5 2.. Šμ É Ê±Í Ö Œ ÖÉμ É ( ). ƒ Ë ± f(x), T 5(x), D 5(x) ( ) μï μ± ε T, ε D ( ) 6

9 3. Œ-Š Ÿ ˆŸ Œ Éμ Ò ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í Éμ ² μ É - Ö Ò Î Ô± É μ²öí. ²ÊÎ Œ μ Ò³ Î Ö³ f α (i),f (i), i =,, ³μ μ μí ÉÓ f β f Éμα x = x β + β. ³μÉ ³ ±μ É Ê±Í Õ Œ (., ). μ³ É Î ±μ Éμα Ö É Ó Œ μ ²Ö É Ö ³ Ò³ μ²μ ³ ÉμÎ ± (x ν,r ν ), ν = α, β,, ±μμ É μ ²μ ±μ É [7, 8]. ³, μ²μ r ν ±²μ μ Ö³μ ² ± É Î μ - μ² μμé É É Ê É ³ μ μî² ³ Î É Éμ ² ÖÉμ É, ʱÊ- Î ±μ μ ³ μ μî² r ν ² É μ μ É ²Ó μ Ö³μ. Œ É ÉÓ É μ ²ÖÉ Ö ±μôëë Í É ³ f θ, É.. f(x) w T f + θq. ˆ É r α = r r α = r β ÊÎ Éμ³ (4) (5) μ²êî ³ ˆf β =[(α +2β)γ 2 f +(α 2γ)β 2 f α + αβγ(βf α + γf )]/α3, ˆf β =[(2α + β)γ 2 f (α + γ)β 2 f α +(β +2γ)α 2 f β ]/(α 2 βγ)+γf /α. () α = h β = kh, k =2, 3,..., Ëμ ³Ê²Ò () ³ ÕÉ ˆf kh =[k(k +)(kf h +(k +)f )]h (k +) 2 (2k )f + k 2 (2k +3)f h, ˆf kh =[(3k +2)ˆf kh +(k 2)(k +) 2 f k 3 f h ]/ (2) (k(k +)h) (k +)f. ²Ö k =( ²ÊÎ μ³ μ ɱ ) Ëμ ³Ê²Ò (2) Ê μð ÕÉ Ö: ˆf h =2h(f h +2f )+5f h 4f, ˆf h =5f h +8f + 2(f h f )/h. (3) ³ 2.. 2, μ± Ë ± ±Ê Î ±μ Ô± É μ²öí ²Ö ËÊ ±Í f(x) =sinx +cos7x μé ± μé x =,85 μ x =,5. Î Ö ˆf β ˆf β μ²êî Ò μ (2) ²Ö h =, k =, 2. ƒ Ë ± μï μ±,5,5,5 f, f fx () f а,5, kh 5 5 б kh ŠÊ Î ± Ö Œ-Ô± É μ²öí Ö ( ). ƒ Ë ± ε kh (kh) ( ) ε kh(kh) ( ²Ö Ö Ê ±É μ³ μ± Ò Ë ± ²Ö h i,i=, 2, 3) ( ) h h 3 h 2 в 7

10 ε kh = f kh ˆf f kh ε kh = kh ˆf kh μ± Ò μ μ³ ²μ ˳ Î ±μ³ ³ ÏÉ. 2,. μ, ÎÉμ ε kh O(h 3 ) ²Ö x [x,x +h] ε kh O(h 2 ) ²Ö x [x +h, x + h] (. 2, ). 4. Š É μ É Î ±μ³ ² μ É ³ ²Ó Ö É μ ± Ê ²μ Ö ²Ö É Ö Ó³ É Ê μ Î. ²ÊÎ Œ-³μ ² ÐÊÉ Ö ÍÒ μé ± [ x h, x + h], ±μéμ μ³ ³ É S ± μ f ² É Ö ³ μ μî² μ³ D 5 (x x ; d), d Å ±μôëë Í ÉÒ. μî μ ÉÓ μ Ö μ± ² ±μ É ÊÐ - É μ ÖÉ μé Ï h. μí Ê μ ± μ ÍÒ x + h ³ É S(x) f(x) ± Î É ± É Ö μ²ó Ê É Ö ² lim ε D(x) =, ±μéμ Ò Ö Ê x x +h Ëμ ³Ê² ³ (9 ) μ Ê É Ö μ ² μ ɳ É ±Éμ Ê ²μ, ÊÉÓ ±μéμ μ μ μ Éμ É ² ÊÕÐ ³. ³ ± μ Ö ± μ f ³ ²± ³ Ï μ³ h h ² μ ɳ Ìμ É ³ É Ò x h. Î Ö f(x + kh ) f (x + kh ) ÒÎ - ²ÖÕÉ Ö μ ² μ É ²Ó μ É ²μ ÒÌ É ²μ [x h,x + h ] [x h,x +2h ]... [x h,x + kh ] Ë ± μ ÒÌ x h. μ ² ÔÉμ μ ɱ x h <x <x + h k μ (8), (9 ) ÒÎ ²ÖÕÉ Ö D 5 (h k ; d k ), h k = kh, k =, 2,... k>2 μ μ ÉÖ³ Δ k = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k ; d k ) Δ k 2 = D 5 (h k ; d k ) D 5 (h k 2 ; d k 2 ) μ ²ÖÕÉ Ö λ k =Δ k /Δ k 2. μ± h k < x + h, Δ k Δ k 2, μ ±μ Ìμ Î ÉμÎ±Ê x + h, ÊÎ Éμ³ lim ε D (x) =, Δ k 2 Δ k, ʲÓÉ É Î μ μ Ìμ É ± Îμ± x x +h k λ k = λ ( Ìμ Î ÉμαÊ, ε D =). λ T λ (T λ Å Ò μ μ ), Ìμ É Ö ² É ² H = h + h k. μ Î Ö³ h = H/2, x = x h + h Ëμ ³Ê² ³ () ɱ x h< x < x + h μ ²Ö É Ö ³ É S(x; x,h)=d 5 (x x ; d), d = d(h, f h, f h ). h μ μ T λ Ö ²ÖÕÉ Ö ³ É ³ É μ ± É ±Éμ ÖÉ μé Ê μ Ö ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ± μ. ³ 3. É ±Éμ ³ É ³ x =,7, h =,24, T λ =,65 É Éμ μ Éμαμ x h =,6976 ± μ f(x) =exp( 35(x ) 2 ) μ Ê ² Ê ² x + h =,96, h =,56, x =,8536. ƒ Ë ± λ k, d jk,j = 2, 5 ± Îμ± k = 29 μ± Ò. 3,.. 3, Å Ë ± f(x), D 5 (x x ), D 5 (h k ) μï μ± ÖÉ ± É μ³ ³ ÏÉ. ŠμÔËË Í ÉÒ D 5 (x x ) f(x), x [,825,,95], Î É - Ò μ Ëμ ³Ê² ³ (), μμé É É μ Ò d =,472294, d =4,8469, d 2 =6,273996, d 3 = 84,96345, d 4 = 79,3555, d 5 = 492,7699. Œ ± - ³ ²Ó Ö μï ± ε max = max f(x) D 5(x x ) μ É ²,8%. x [ x h, x +h] 8

11 d d 5 4 d 2 2 d 4 d 5 n T k Узел n 5 5 k a,5 fx ( ) D 5 h fk D5 ( hk ) fd 5 x,5 xh x x h,5. 3. Ê μ μ Ê ² ± μ f(x) Ë ± ±μôëë Í Éμ d k ( ). ƒ Ë ± f(x), D 5(h k ) f(x +h k ) (Éμα ), [D 5(x x )], 5x[f k D 5(h k )] 5x[f(x) D 5(x x )] ( ) ³ Î 2. μ²ó μ É ±Éμ Ê ²μ Î ²μ ³ Éμ N S - É μ. N S μ ²Ö É Ö μ É μ ÍÒ μ ² É Ö f(x), ÎÉμ μ μ²ö É μ± ³ μ ÉÓ ²μ Ò ± Ò μ² μ³ - ²Ó Ò³ ³ É ³ Ï Éμ μ μ Ö ± μé ± Ì μ μ²ó μ ² Ò. f б 5. Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ (Š) μ Ð ³ ²ÊÎ ÉμÎ μ ÉÓ μ± ³ Í ² ±μ ÉÓ ±² ± ³ - Éμ S n S n+, n =,N S, ʲ ÊÕÉ Ö ³ É ³ α β ( ² μ É ²Ö γ = β α), É ± ÖÉ μé ²μ μ É μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í, Ò- μ Ê ²μ Ï. ² Ê É μé³ É ÉÓ, ÎÉμ Œ ÖÉμ É ÊÎ Éμ³ μ ±μ É Ê±Í Ëμ ³Ê² (9) μ Î É Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ É - ÉÓ μ μ Ö ±, ³μ É μé h. ÔÉμ³ ² ³μ ²Ó (2) ± ±μ³-éμ ³Ò ² μ³ É ±μ É Ê±Í Õ É μ²öí μ μ μ ² ÖÉμ É Ë ±Éμ 2 3 μ² Î ±μ É μ²öí [2]. μ ÉÓ μ Ê Ö Ê ²μ É μé Ò μ h T λ. ³³ ÓÏ h, É ³ μ²óï ˳ É Î ± Ì μ Í É Î É Ö ÒÎ ² d k. ˆÌ ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ u i (k) v i (k), i=2, 5, k=, 2,...,k max, Ëμ ³Ê² Ì (9 ), k max Å ³ ± ³ ²Ó μ Î ²μ Ï μ h ³ ± ³ ²Ó- μ ² H. ɳ É ³, ÎÉμ É ±Éμ Ê ²μ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ É ± ²Ö μ± ³ Í É μ²öí μ Ò³ ² ³. Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ ÉÒ±μ ± S n S n+ μ Î ÕÉ Ö Ê ²μ- Ö³ f (i) ( x n + h n ) f (i) ( x (n+) h (n+) ), i =,; n =,N S.ƒ² ±μ ÉÓ μ² Ò μ±μ μ μ Ö ± μ ³ μ μ³ μ ²Ö É Ö Ï μ³ μ ³ μ- (x) S n (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± ʳ ÓÏ ÕÉ Ö, μ μ Ò ³ Éμ ² ÕÉ Ö ± μ μ Ò³ - μ± ³ Ê ³μ ËÊ ±Í ²Ö x [ x n h n, x n + h n ]. μ ÒÌ. ʳ ÓÏ Ï Ò Ò S n 9

12 ³ Ì μ± Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š Ï Éμ μ μ Ö ± ËÊ ±Í, μ²ó Ê ³ÒÌ É É μ ³ Éμ μ É μ²öí μ ÒÌ ² ÕÐ Ì ² μ. ³ 4. μé [6] ± Î É É É ²Ö μí ± μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í - ² ³ Ò μ± Ì É ²μ ËÊ ±Í Ö ε(2 + ε) ϕ(x; ε) =, x [ π, π], ε >. (4) 2π( + ε cos x) ˆ μ²ó ÊÖ É ±Éμ Ê ²μ, ² ³ ϕ(x, ε)- ³ É Í Õ ²Ö ε =,2. Ê ±- Í Ö (4) ± μ ² Ó h =,4, x = 3,4 T λ =,65..4 Ò Ë ± λ k,n, n =, 7, μ Ê Ò É ±Éμ μ³ ( ), S n (x) S n (x) Ê ² ³ ÉÒ±μ ± ( ) Ë ± S n (x) ( ), n Å ± ³ É. ²Õ É Ö Ò μ ÉÓ ² ±μ ÉÓ μ μ μ μ, μîé ² - ± Ö Éμ Ö μ μ Ö Ò ³ Ê ² Ì (. 5, ). ƒ Ë ± μï μ± ε (i) n ²Ö ³ Éμ S n (x), S n(x) S n(x), i =,, 2, μ± Ò. 5, ε (i) n =log ϕ (i) (x;,2) D (i) 5 (x x n). Î ÉÒ ÒÌ ³ Ì ² Ó ÉμÎ μ ÉÓÕ μ ÖÉμ μ ±, μ μ Ò Ìμ ² Ó Î ² μ μ Ëμ ³Ê² ˆf νn =[f(x νn + ρ) f(x νn )]/ρ, ν = h,,h, ρ = 5. Î ÉÒ Ò É ².. μ± Ò ±μôëë Í ÉÒ ² ÏÓ x 3,x 4 x 5.,2,5 (; x ) T a,4,3,2 S S, x б 2 S 3 x ± μ ËÊ ±Í ϕ(x, ε) ( ). ²Ò ³ ÉÒ S n(x), S n(x) ( ) S n (x) ( ) в a б в ƒ Ë ± ²μ Ë³μ ³μ ʲ μï μ± ε n, ε n ε n ²Ö ³ Éμ S n, S n S n

13 ² Í. k h x + h d 3 d 4 d 5 6,659 Ä2,488, , , ,2587 Ä,229, , , ,23 Ä,28 Ä, Ä, Ä, ,8323,842, Ä, Ä, ,824,6283 Ä, , Ä, ,7585 2,386 Ä,47734, Ä, ,567 2,948 Ä, , Ä, ,2337 3,4 Ä, , Ä, ʳ ÓÏ ³ É ε =,5 ËÊ ±Í Ö ϕ(x; ε) É μ É Ö μ- ² É Ê μ ²Ö μ± ³ Í. ÔÉμ³ ²ÊÎ μ Ìμ ³μ ʳ ÓÏ ÉÓ Ï ²μ± ²Ó μ ɱ.. 6 Ò Ê²ÓÉ ÉÒ Š ϕ(x;,5), x [ 3,4, 3,4], Ö- ÉÓÕ ³ É ³ μ³ μ ɱ Ï μ³ h =,3. Í ± ± - É Î μ μ μé±²μ Ö (. ±. μ.), μ²êî Ö μ Ò μ ± 3 ÉμÎ ± ( μ 3 ÉμÎ ± ± μ³ ³ É ), μ É ² ˆσ εd =,3. ² ÊÕÐ ³ ³ ³ μ μî² Ò D 5 (x x ) T 5 (x x ) μ²ó μ- Ò ²Ö ³ É Í ± μ, ÖÉμ μ Ì μ É ± [], μ²ó Ê- ³μ ²Ö É É μ Ö ³ Éμ μ ² μ É³μ ² Ö Ö ÒÌ - ÒÌ (. 7, ): F (x, y) =,75 exp ( [(9x 2) 2 +(9y 2) 2 ]/4)+ +,75 exp [ (9x+) 2 /49 (9y +) 2 /]+,5 exp[ (9x 7) 2 +(9y 3) 2 ]/4,2 exp[ (9x 4) 2 (9y 7) 2 ], x,y [,25, ]. ³ 5. ± μ f(x) =F (x,,2), x [,5,,5] Ê ² Ì μ³ - μ ɱ Ï μ³ h =,5 Ë ± Ê ³ É Í ÉÓ ÉμÎ ± {f m = f(x m )} 3 m= S n а 2 S k б S k в, Š Ï Éμ μ μ Ö ± ÖÉ μé ± Ì μ³ Ò³ Ï μ³ h =,3

14 а Узлы 5 5 N 3,435 б 2 S в,5,25 y,25,25,25 x,5 S,5 D x 2 x. 7. ³ É μ Ì μ É F (x, y) ( ); S n = D 5n ε D ( ); S n = D 5n S n =[T 5] n (Éμα ) ( ) (. 7, ÌÊ, ² ). ÊÎ Éμ³ ÉÒ±μ μî ÒÌ Ê ²μ μ²êî ³ Ï ÉÓ ²μ± ²Ó- ÒÌ μ³ ÒÌ Éμ± x (n) h <x(n) <x (n) h, n =, 6. Î Ö d jn(h; f n, f n), j =, 5 (), μ ²Ö² Ó Ê ²μ ÖÌ [f (i) h ] n [f (i) h ] n+, n =, 5, i =,. ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² S = T 5 (x x ) Ò f (i) (x (n) )/i!, i =, 5. Ë ± Ì S n =[T 5] n ( μ± Ò Éμα ³. 7, ) ²Õ ÕÉ Ö Ò Ò Ê ² Ì ÉÒ±μ ±. max ε T max ε D, É.. μ μ Ò μ ÖÉμ μ μ- Ö ± ±²ÕÎ É ²Ó μ, ±μ³ ÊÕÉ Ê ²μ ² ±μ É ±μ Í Ì ³ - Éμ h =,5. Œ-³μ ²Ó μ Î É ² ±μ ÉÓ S n S n (. 7, ), S n É É Ò Ò. Ê ² Î Î ² ³ Éμ ÉμÎ μ ÉÓ ± Î É μ - μ± ³ Í Ê²ÊÎÏ ÕÉ Ö. ƒ Éμ ³³ μï μ± ε D = f(x k ) D 5 (x k x (n) ), n =, 6, k =, 5 ( μ 3 ÉμÎ ±), μí ±. ±. μ. ˆσ =,435 (. 7, ). Í ± ³ ± ³ ²Ó ÒÌ μï μ± ε (i) max =max f (i) S n (i), i =, 3, S n = D 5 (x x (n) ), n =,N S, ²Öf(x) =F (x,,2), x [,5,,5], μ³ μ ɱ ² Î ÒÌ h Ò É ². 2. Œ ± ³ ²Ó Ò Î Ö μï μ± μ ÕÉ É ², μ μ Ö ËÊ ±Í Ò É μ ³ Ö É Ö (. 7, ). Ï h =,,,2,5 Ë ± Ì É Ì μ μ ÒÌ ³ Éμ Ò ²Ö ÖÉ ² ± ³. ² Í 2. N S h ε max ε max ε max ε max 5,6 3,34 4 3,6 2,29 3,3,3 5,65 7, 4 8,35 3 2,4 5,2,4 7 3,8 5 4,79 3 6,4 2,5 3,82 8,2 5,3 3 2,4 25,2,72 8 3,32 6 4,99 4 6,8 3 3, 6,84 9 7,33 7 6,68 4 9,95 2 2

15 6. Š ˆ Ÿ Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ( Š) μé [8] Ò²μ μ± μ, ÎÉμ μ²ó μ Œ ²Ö ± - É Î μ μ± ³ Í ( ² Ö) μ ÒÏ É ÔËË ±É μ ÉÓ ² μ É³μ ² Ê Éμ Î μ É μ Ö ²μ μ É ÒÎ ². ²ÊÎ ² - Ö Ï Éμ μ μ Ö ± ³μ ²Ó ²μ± ²Ó μ μ ³ É É ²Ö É Ö ³ μ μ- β μ³ Ëμ ³ ÒÌ Ô² ³ Éμ S(x) w T f + Qw T r = w T f + b T r, (5) ±Éμ f Ë ± μ, r Å μ μ. É μ μí ± ˆf ŒŠμÍ ± ˆr μ ²Ö É Ö μ μ Ê Éμ Î μ μ μé μï Õ ± Ìμ Ò³ μï - ± ³ É Ëμ ³ μ μ ³μ ² ũ = b Tˆr, μ²êî μ ³μ Ë ± Í Ìμ - ÒÌ ÒÌ ũ = S w Tˆf. ʲÓÉ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ μ± Ð É Ö É, ÎÉμ μ É ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ. Ê ÉÓ ³ Ò μ ± μ Ñ ³ N{ S i = f(x i )+e i } N i=, x i [a, b], e i N(,σ). μμé É É Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ ² - Ö μ Ò³ Ò μ ± { S i } N i= É Ê É Ö É μí ±ÊŜ(x) f(x), x [a, b], μ K N ²μ± ²Ó ÒÌ ³ Éμ S k (x) = 5 d i (α k,β k ; f k, r k )(x x k ) i, x, x k [x αk,x βk ], Ê ²μ ÖÌ Ŝk (x β(k ) ) Ŝk(x αk ), k =,K. É ³ Ì ³μ ² (8) (5), ÒÌ x k,α k,β k Î μ É Ö ± ÒÎ ² Õ ŒŠ-μÍ μ± ˆf k ˆr k ±μôëë Í Éμ d (k) i (α k,β k ;ˆf k,ˆr k ) μ (9). 6.. ² μ ɳ Š. ² μ ɳ Š μ Éμ É ÖÉ ÔÉ μ. I. μé ± [a, b] K ³ Éμ [a, b] = K k= [x α k,x βk ] x β(k ) x αk ² { S i } N i= K ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } N i= = K k= { S j k}n k j=, N k = N/K. II. ÒÎ ² Ì f k = [ f αk, f βk, f k ] T μ 2M + ² Ï ³ M Éμα ³ μ± É μ ÉÖÌ Ê ²μ x αk <x k <x βk : fνk = 2M+ S m k,ν = m= M α, β,, k =,K, M M max, μ Î ±² ± ³ Éμ Ŝk Ŝk Ê ²μ Ö³ f β(k ) f αk. III. μ μ ÒÌ S j k fk ũ k j : ũ k j = S j k wt f j k, j =,N k. IV. ÒÎ ² ˆr k Ê ²μ Ö N k j i= [ũ k j bt k (τ j)r k ] 2 min r k, τ j [α k,β k ]: ˆr k =[B T B] B T ũ k, ũ k =[ũ k, ũ k 2,...ũ k N k ] T, B T B Å μ ³ ²Ó Ö ³ - É Í ³ μ É 3 3. V. ÒÎ ² d k i (α k,β k ; f k,ˆr k ) μ Ëμ ³Ê² ³ (9)Ä(). 3

16 ³ É ³, ÎÉμ μ²μ Éμα x k [x αk,x βk ] μ ²Ö É Î Ö - ³ É μ α k β k. ³ Î 3. μ μ Ìμ ÒÌ ÒÌ (II, III) Ê Î μ³ Ò- μ ³ É μ α k β k Ê Éμ Î μ ± μï ± ³ [8], μ²ó μ ÒÌ ËÊ ±Í b k = b(τ; α k,β k ) (2) ʳ ÓÏ É É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ, ÎÉμ É Ò ÒÏ ± ± μ Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², É ± μ Î ²Ê ˳ É Î ± Ì μ Í μ Õ μ²ó μ ³ ³ É Í ³ μ- É 6 6. μ ±Ê ² μ ɳ ² ³ ± μ ³ 5 (. 7, ), É μ ± μ ²ÊÎ Ò³ ³Ò³ μï ± ³ e i N(,σ) ²Ö σ =,. ³ 6. μ Ó ³ ± ÊÕ f(x) =F (x,,2), x [,5,,725], ³Ó ÒÌ μ ² ³ Éμ ³ M =5. μí Ë μ ± h =, μ²êî ³ ³Ó ²μ± ²Ó ÒÌ Ò μ μ± { S i } 35 i= = 7 k= { S j k}5 j=. ʲÓÉ ÉÒ μ - μé± ÔÉ Ì ÒÌ μ ² μ É³Ê Š Ò. 8,, μ± Ò { S i k}5 {ũ k j }N k j= i= (I), f k (Ê Ò μ μ ³ Éμα ³) (II), ²μ± ²Ó Ò Ò μ ± (III) Éμ ³³ Ìμ ÒÌ μï μ±. Î ÉÒ μ IV V μ± Ò. 8,, ε k = f(x) Ŝk(x). Ò Ò Ë ± Ŝ (x) Ê ² Ì ÉÒ±μ ± μ± Ò ÕÉ, ÎÉμ - ± É Î Ö μ± ³ Í Ö ²μÌμ μ μ μ É μ μ Ò. ²Ö μ É - 2,42 а e,2 N 35,, f k,25,25 k S i f k f k u2 k,5 S k,, б,3,2,,5,5 S k k, ² Ï Éμ μ μ Ö ± : IÄIII ( ) IV,V( ),3,2, Ошибки,5,, f i а Узлы,,5 2 2 S k S k,2, Остатки,, б u i 8, ² Ï Éμ μ μ Ö ± N = 2, σ =,5: IÄIII ( ) IV,V( ) 4

17 ² Í 3. k x<x β x d d d 2 d 3 d 4 d 5 Ä,975 Ä,2,482,2767,388 Ä5,6374 Ä, ,932 2 Ä,525 Ä,75,743,52,686 Ä9,7873 Ä,454 3, Ä,75 Ä,3,32546,8,4855 4,55 6,554 Ä38,24 4,375,5,9798,76484 Ä,656 Ä36, , ,3499 5,825,6,37336,2223 5,53694 Ä2,846 Ä35,649 54,683 6,275,5,5 Ä,9426 2,6646 Ä2,86932 Ä2,22 78,9547 7,725,5,47,638 Ä,2658 Ä,693 5, ,62483 μ ² Ö Ŝk(x) μ Ëμ ³Ê² ³ (8) μ²êî ³ ³ μ 5 Î ², ÎÉμ μμé É É Ê É μ² Î ³ ³ ± É μ³ê É Õ μ Ñ ³ Ìμ ÒÌ - ÒÌ. Ê Éμ Î μ É ² μ ɳ μ μé μï Õ ± μï ± ³ Ìμ ÒÌ ÒÌ (σ =,5, N = 2) ³μ μ Ê ÉÓ μ Ë ± ³. 9. ŠμÔËË Í É É Ö ÒÌ ÔÉμ³ ²ÊÎ 4. ² Ò Î - Ö ±μôëë Í Éμ Ê ²μ ²Ö ³ Éμ Ŝk(x k ), x (k ) <x k, k =, 7, Ò É ². 3. Š ˆ ³± Ì ³ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ ²μ ³ Éμ ± ² μ É³Ò Ï Ö Î ±Ê μî μ- μ² μ³ ²Ó μ μ± ³ Í ² Ö Ï - Éμ μ μ Ö ±. ³μ ² ²μ± ²Ó μ μ ³ É μ²ó ÊÕÉ Ö Î Ö f(x) f (x) É Ì Ê ² Ì, ±²ÕÎ Ö ÍÒ μ³ Êɱμ. ²Ö Œ ÖÉμ É μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò ²Ö ±μôëë Í Éμ d i,i =, 5, ²μ ËÊ ±Í μ É Ö³ x x μé ± [x + α, x + β], α<β, αβ <, ÖÐ μé ³ É μ α, β, f f Ê ² Ì ²μ± ²Ó μ ɱ, ±μéμ Ò μ Î ÕÉ Ê² ÊÕ μ Ï μ ÉÓ ²Ö ËÊ ±Í μ μ μ μ Í Ì - É ². μ²êî Ò Ëμ ³Ê²Ò É ²ÖÕÉ ³μ ÉμÖÉ ²Ó Ò É. ˆÌ ³μ μ μ²ó μ ÉÓ ²Ö Ï Ö Ï μ±μ μ ± Ê ±É Î ± Ì Î É μ É Î ± Ì ² μ ÖÌ. μé ² μ ɳ Éμ³ É Î ±μ μ μ Ê Ö Ê ²μ, μ μ²öõð μ ²ÖÉÓ ÍÒ ³ É μ ɱ, ±μéμ μ μ ²Ö É Ö ²μ± ²Ó Ò ³ É. Šμ É Ê±Í Ö μ É Œ ³μ É μé Ï É± μ - Î ÕÉ Ò μ ÉÓ ÉÒ±μ ± ³ Éμ ² ±μ ÉÓ μ μ ÒÌ ²μÉÓ μ É ÉÓ μ μ Ö ±. ² Ò Î ÉÒ μ É ÉμÎ μ É Ê ÒÌ É É Ì μ- ± ² Ò μ±êõ ÔËË ±É μ ÉÓ ³μ ² ² Ê Éμ Î μ É ÒÎ ², ÉμÎ μ É ² ±μ É μ± ³ Í. Ëμ ³Ê²Ò ²Ö Î Éμ μ ÉÒ. ²μ ˳ É Î ± Ì μ Í Ì ³μ μ μ± É ÉÓ É Ê² μ ³ ³ μ É ² u i v i ÒÎ - ² d i,i=, 5. 5

18 Éμ Î μ ÉÓ ± μï ± ³ μ μ Ö Ìμ ÒÌ ÒÌ ² μ ɳ Š ʳ ÓÏ É ³ μ ÉÓ μ ³ ²Ó μ ³ É ÍÒ É, ÎÉμ μ μ²ö É ±μ²ó±μ μ± É ÉÓ ÒÎ ² É ²Ó ÊÕ ²μ μ ÉÓ Éμ²Ó±μ μ Í ÖÌ μ ³ ²Ó μ ³ É Í. μ²óïμ Î ²μ ˳ É Î ± Ì μ Í Ô±μ μ³ É Ö Î É μ Ö ³ ± ³ ²Ó μ μ μ Ö ± μ μ ÒÌ, μ²ó Ê ³ÒÌ ÒÎ ² ±μôëë Í Éμ. ²μ Ò ² μ É³Ò Ö ²ÖÕÉ Ö ÔËË ±É Ò³ ³ É ³ É Î ± ³ - É Ê³ Éμ³ ²Ö Ï Ö Î μ± ³ Í ²μ ÒÌ ËÊ ±Í μ ²Ó ÒÌ ³μ É ËÊ ±Í, ÒÌ ³ ³ ± É ÒÌ ÉμÎ ±, ²Ö μ - μé± Ô± ³ É ²Ó ÒÌ ÒÌ, Î Ì Ë ²ÓÉ Í, μ³òï² μ³, ² μ ɳ Ì μ É ³ Í, Ï Î ³ Éμ ³ Î ÒÌ Ô² ³ Éμ É.. ˆ. ÒÏ.. ˆ Ò É Ê Ò. Œ.:, Ä ²., ²Ó μ., μ²ï. μ Ö ² μ ²μ Ö. Œ.: Œ, ÓÖ²μ.., Š μ. ˆ., Œ μï Î ±μ.. Œ Éμ Ò ² -ËÊ ±Í. Œ.: ʱ, Š ² ɱ.. ² Ò ³ Éμ Ò. Œ.: ³ ɲ É, μ Š. ±É Î ±μ ʱμ μ É μ μ ² ³:. ². Œ.: μ Ö Ó, Š ² ɱ.., ²ÖÌμ ˆ. Œ. - ² Ò Ò μ± Ì É // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ , º.. 64Ä Dikoussar N. D. Function Parameterization by Using 4-Point Transforms // Comput. Phys. Commun V. 99. P. 235Ä ±Ê.. Œ Éμ ÒÌ Ô² ³ Éμ // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 2. T. 22, º 2.. 5Ä ±Ê.., μ μ±. Éμ³ É Î ± μ ± Ê ²μ ²Ö ±Ê μî μ-±ê Î ±μ μ± ³ Í // Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. 26. T. 8, º Ä4.. Franke R. Scattered Data Interpolation: Tests of Some Methods // Mathematics of Computation V. 38. P. 8Ä2. μ²êî μ 25 Õ²Ö 22.

19 ±Éμ.. μ μ Î ÉÓ μ ³ É 6 9/6. ʳ μë É Ö. Î ÉÓ μë É Ö. ². Î. ².,9. Î.-. ²., Ô±. ± º ˆ É ²Ó ± μé ² Ñ μ μ É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ 498,. Ê, Œμ ±μ ± Ö μ ²., ʲ. μ² μ-šõ,

P ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2. ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ. ˆ Š œš ˆ ƒ. ƒ Š. ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö

P ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2. ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ. ˆ Š œš ˆ ƒ. ƒ Š. ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö P18-2007-163. ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2 Œ Œ ƒ Œ ƒ ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ ˆŸ ˆŸ ˆ Š œš ˆ ƒ ˆŸ Œ ƒ Š ƒ Š ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö 1 É Ö ÒÌ ² μ Œμ μ²ó ±μ μ μ Ê É μ μ Ê - É É, ² - Éμ 2 ƒμ μ-μ μ É É ²Ó Ò

Detaljer

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä837 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š Œ ƒ Š Š Š ˆŒ ˆ ˆ. Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É ³.. Š² ³ É Ì ±μ μ, μë Ö μ Éμ É μ μ

Detaljer

Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ

Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2018.. 49.. 2.. 476Ä581 Œ ƒ ˆŠ Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ.. ƒê μ 1, 2,.. Êϱ 2,. ƒ. Ê±μ ± 1,,.. ÒÏ 2 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 Í μ ²Ó Ò ² μ É ²Ó ± Ö Ò Ê É É Œˆ ˆ, Œμ ± ˆ 477 Œ ˆŸ Š ˆ Šˆ Š 480

Detaljer

P ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö. ÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ..

P ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö. ÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ.. .. ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆ Œ ˆ ˆŸ Š ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ? P14-2011-18 ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê, μ Ö 2 ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²Ó- ÍÒ Œμ ±μ ±μ

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ± É,. ˆ. ˆ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ ± É,. ˆ. ˆ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2004.. 35.. 2 Š 621.039.5; 550.837 ƒ ˆŸ Š Œ.. ± É,. ˆ. ˆ ± Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² µ, Ê ˆ 349 Š ƒ ƒˆ Šˆ Œ ˆ ˆ ƒ ˆ Šˆ Š ˆ 350 Ÿ œ Œ Š Œˆ ˆ ˆ ˆ ŠˆŒˆ Œˆ ƒ ˆ Œ ˆ 366 ˆ œ ˆ Š ƒ - ˆ ˆˆ Œ ƒ ƒˆˆ ˆ ƒ

Detaljer

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 144Ä163 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ.. É ³μ μ 1,. Œ. ˆ μ,.. ˆ μ,.., ƒ.. Ö μ ƒ É Ê ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... Šμ É É μ ˆ ŠÊ Î Éμ ± É ÉÊÉ, ƒ

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2015.. 46.. 1 Š ˆ Š Š Š.. Ï Ìμ μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 167 Œ 168 Šμ É Ê±Í Ö 168 μ É Ò Ì ±É É ± 171 ˆ ˆ Šˆ 172 ˆμ Í Ö μ, μ μ Ê ² 172 Í É Ö 173 ³Ò μéò 178 ƒ μ Ò ³ 180 ² Ö ³ É μ μ± Ê ÕÐ

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru

Detaljer

Œ ƒ ˆ ˆ Œˆ œ ˆ, ˆ Œ Š ˆŸŒˆ KLEBSIELLA OXYTOCA

Œ ƒ ˆ ˆ Œˆ œ ˆ, ˆ Œ Š ˆŸŒˆ KLEBSIELLA OXYTOCA .. Ì 1,,.ˆ. É μ 1,.. Éμ²Ö 2,3,.. Ò 4,.. ² 2,3,..ˆÐ ±μ 3, Œ. ² ÏμÕ 5,6 P19-2009-112 Œ ƒ ˆ ˆ Œˆ œ ˆ, ˆ Œ Š ˆŸŒˆ KLEBSIELLA OXYTOCA ² μ Ê ² ± É μ μ É ² 1ˆ É ÉÊÉ 2ˆ É ÉÊÉ ³ Ì ± ²μÏ ÒÌ, ³Ó Ë ±, Š μö ± 3 ± Ë

Detaljer

-Š Š LHC.. ³μ,.. Ö±μ,.. Ê ±μ Î Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

-Š Š LHC.. ³μ,.. Ö±μ,.. Ê ±μ Î Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2008.. 39.. 1 -Š Š LHC.. ³μ,.. Ö±μ,.. Ê ±μ Î Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê.. μ μö É É, μ Ö ˆ 217 Šˆ ˆŸ t-š Š 218 ˆƒ t t- 219 Š ˆ -Š Š 220 Œ ˆ Œ ˆŸ Œ t-š Š E 225 ˆ Œ ˆ Œ t-š Š LHC 228 ˆ ˆŠ t-š

Detaljer

ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ

ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 016.. 47.. ƒ ˆ Š Ÿ PT - ˆŒŒ ˆ Ÿ Š Ÿ ˆŸ Œ Š ˆŒ œ Œ.. μ μ μ 1,, ƒ.. Š Íμ, 1 μ ± Ô±μ μ³ Î ± Ê É É ³. ƒ.. ² Ì μ, Œμ ± Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± ˆ 5 ˆ ƒ Œ ˆ Š ˆ ƒ ˆ Œ. Š Ÿ

Detaljer

ðàä. Íà ñïåêòðîìåòðå ñòàòèñòè åñêè îáåñïå åííûìè ÿâëÿþòñÿ ðåôëåêòîìåòðè åñêèå èçìåðåíèÿ â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âåêòîðà ðàññåÿíèÿ

ðàä. Íà ñïåêòðîìåòðå ñòàòèñòè åñêè îáåñïå åííûìè ÿâëÿþòñÿ ðåôëåêòîìåòðè åñêèå èçìåðåíèÿ â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âåêòîðà ðàññåÿíèÿ Àêñåíîâ Â. Ë. è äð. Ä13-2004-47 Ñïåêòðîìåòð ïîëÿðèçîâàííûõ íåéòðîíîâ ÐÅÌÓÐ íà èìïóëüñíîì ðåàêòîðå ÈÁÐ-2 Ñîçäàí è ââåäåí â ýêñïëóàòàöèþ íîâûé ñïåêòðîìåòð ïîëÿðèçîâàííûõ íåéòðîíîâ ÐÅÌÓÐ, ïðåäíàçíà åííûé

Detaljer

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a. o o {rb} rprr på r år o prpp rpro r r rr rpro o r o or α r o or bor brp or b rr på ppr r r r r r rrr år på o oroooro o r or o br å r r pår r r orør p o b b år r å r o o o rprrr o p o rprrr o or op r r

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô Ì ± « Forord Ò ; ±¹ ²» ³«¹»» òòò [ ²»² ª ; µ«² ¹» ¼» º± îðïéô ¹ «²²»² ¼»»» ¼» µ±³³» ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹» «¹«±³ ¹ ( ¼» ¾»²¼ ²¹»»²»» ; ²» ò Ê»² : ¼»» ª µ ¹ ±¾¾ ±¹ ¼»² µ ª º± ª» ¹±¼ ò

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô λ¹²¾² Forord Ü»²²» ²»² ¹» ¼» º ²«¼»»³¾» îðïéò a» ª ¼»»» ô ª ¼» ¾»² ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹»²ò Ü»²²» µ ª ¾ «µ» ¼ ¾ ¹±¼ µ»² ³»¼ô ±¹ îðïè ª ²² ± ¼» ¼»²²» ªb» ³»¼»¹» ²»² ª ò»»³¾» îðïê ¼¼»

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg:

Detaljer

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter r s s {rb} ærb p br brp r bs srr på ppr sr sr ss r r r rrr år på s s s sr rr s ss r r s brs å sr r pår rss r rør sp b b år rss å r s s s rprsr ss på r år prspp rprss r rs rr rprss r s r α r s r br s rprsrr

Detaljer

(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1.

(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1. ÆÇÌ Ì ÇÅ Ê ÆË Ê Î Ä ÌÁÄ ÊÍà Á ÃÍÊË Ì Å Ì½½½ Î ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì Á Ê Æ ØØ ÒÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ ÒÝØØ Ô Ò ÙÑ ÙÖ Ø Å Ì½½½ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÐÖ Ó Ò Ó Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÙØ ÝÐÐ Ò ÒÓØ Ø Ø Ð Ã Ô ØØ Ð ½ Ñ Ð ÒØ ÒÒ Ø ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô ß«¹»²¼ ¼»² Forord Ÿ ² îðïé ¹»² ¾» µ ª»» ª ¾ ²» ¹»² ±»ô»»² ±² ª ¾ ²» ¹»²ô µ µ» ± ² ²¹» ±¹ ª»¼ ¹±¹ µ» ¾» ¼ò Ð ² ¾» ¼» ¾ ²» ¹»²» ¾ ¹¹» ± ºa ¹»²¼» ³»æ ó Î ³³» ² º± ¾ ²» ¹»² ²² ± ¼ ±¹

Detaljer

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u

Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska

Detaljer

dq = c v dt + pdα = 0 dq = c p dt αdp = 0 µ pdα = αdp c p dα = c v dp = c v = D θ = T

dq = c v dt + pdα = 0 dq = c p dt αdp = 0 µ pdα = αdp c p dα = c v dp = c v = D θ = T ÙÖ ½ ÇÔÔ Ø Ò Ò Ò ÓÔÔ Ú º¾½ºÌº ¾¾¼¼ ØÑÓ Ö Ý ¾¼½ Ä Ò Ò ÓÖ Ð Ø Ð ÑÐ Ñ ØØ ÖÑÓÔÔ Ú Ö º¾½ºÌ Î ÒØ Ö Ø ÖÖ ÐÙ Ø Ó Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ò Γ ÓÖ ÓÑ Ú Ð Ò µ ÐÐØ Ö Ñ Ò Ö ÒÒ Ø ÖÖ Ø Ò ÙÖ ½µº ÖÑ Ú Ð ÐÙ Ø ÓÑ Ú Ø Ð Ö Γ d µ ÐÐØ Ð

Detaljer

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008 Posisjonssystemer 10 5 (100 000) 10 4 (10 000) 10 3 (1 000) 10 2 (100) 10 1 (10) 10 0 (1) Tegn og tekst \yvind og ]se N{rb}? 2 7 (128) 2 6 (64) 2 5 (32) 2 4 (16) 2 3 (8) 2 2 (4) 2 1 (2) 2 0 (1) Kapittel

Detaljer

Målet med dette notatet er å dokumentere at det er funnet løsmasser ved grunnen og å dokumentere miljøgiftkonsentrasjonen i sedimentene.

Målet med dette notatet er å dokumentere at det er funnet løsmasser ved grunnen og å dokumentere miljøgiftkonsentrasjonen i sedimentene. NOTAT Oppdrag 1110630 Grunner Indre Oslofjord Kunde Kystverket Notat nr. 001 Dato 07.01.2015 Til Fra Kopi Kristine Pedersen-Rise Tom Øyvind Jahren [Navn] Sedimentundersøkelse ved Belgskjærbåen Kystverket

Detaljer

Testobservator for kjikvadrattester

Testobservator for kjikvadrattester ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 11: Anvendelser av kjikvadratfordelingen: Kjikvadrattester Situasjon: Et tilfeldig utvalg av n individer er trukket

Detaljer

Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 11. august :00 13:00

Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 11. august :00 13:00 NTNU Side 1 av 3 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Kåre Olaussen Telefon: 45 43 71 70 Eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Lørdag 11. august 2012 09:00 13:00 Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00

EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI 15. desember 2004 Tid: 09:0013:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Arvid Næss 73 59 70 53/ 99 53 83 50 EKSAMEN I EMNE TMA4285 TIDSREKKER OG FILTERTEORI

Detaljer

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578

Detaljer

Løsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y

Løsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y Statistiske metoder 1 høsten 004. Løsningsforslag Oppgave 1: a) Begge normalplottene gir punkter som ligger omtrent på ei rett linje så antagelsen om normalfordeling ser ut til å holde. Konfidensintervall

Detaljer

Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon

Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon Matematikk 4 M/N - Vår 2008 Kort Introduksjon Januar 7. 2008 Matematikk 4 M/N Januar 7. 2008 1 / 5 Fourier rekker Joseph Fourier (1768-1830) Fransk matematikker og fysikker. Fourier var den første å bruke

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Forelesningsnotater i FYS4520

Forelesningsnotater i FYS4520 Forelesningsnotater i FYS4520 1 Det kvantemekaniske mange-partikkel problem 1.1 Definisjon av mange-partikkel problemet Vi skal begrense oss til systemer av fermioner, som kan behandles ikkerelativistisk.

Detaljer

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:

Oppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene: HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene

Detaljer

L ; D = B M B N I < G H = D = F C M E N < D ; <? ; < = H M = < F E < M B = B C O P E < E F D < Q K

L ; D = B M B N I < G H = D = F C M E N < D ; <? ; < = H M = < F E < M B = B C O P E < E F D < Q K $ ) $ * % +, - $ $ % + $ + $ * % $. $ / $ * $ $ 0 0 $ - 1, 2 $ 3 $ 0 4 /, 5 4 0 0 $ 0 $ 3. 0 6 $ $ 7. + $ - $ 8 + $ 9 : ; < = > < =? < ; @ A @? B C < C D = < E F G H = I F C D < JE < > < D E? H J< = :

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

Perceived semantic. quality. Semantic quality. Syntactic. quality. guttens alder er grønn: gutt.alder = grønn

Perceived semantic. quality. Semantic quality. Syntactic. quality. guttens alder er grønn: gutt.alder = grønn Z \ W Y X [ E F G H I G J K L I M F N M O H P Q F R F J S H TUTVR O R S M R F! "! #%$ & '! %$ ( ) * ' & $ ' +,$ -,* ) & $ '%'. * / & 0 1 ' * 0' * 3 4, +65 Participant knowledge Physical Perceived semantic

Detaljer

Handi-Lift EA7 Målskjema

Handi-Lift EA7 Målskjema Handi-Lift EA7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.):

Detaljer

Kvantifisering av operasjonell risiko basert på kombinering av hendelsesdata og subjektive risikovurderinger

Kvantifisering av operasjonell risiko basert på kombinering av hendelsesdata og subjektive risikovurderinger Kvantifisering av operasjonell risiko basert på kombinering av hendelsesdata og subjektive risikovurderinger Arne Bang Huseby 1 and Jan Thomsen 2 1 University of Oslo, Norway 2 Norges Bank Investment Management,

Detaljer

Forelesning 8 STK3100/4100

Forelesning 8 STK3100/4100 Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 0. oktober 0 Geir Storvik. Lineære blandede modeller. Eksempler - data og modeller 3. lme 4. Indusert korrelasjonsstruktur. Marginale modeller. Estimering -

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 14 juni 2004 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF-MAT2350

Detaljer

Fasit og løsningsforslag STK 1110

Fasit og løsningsforslag STK 1110 Fasit og løsningsforslag STK 1110 Uke 36: Eercise 8.4: a) (57.1, 59.5), b) (57.7, 58, 9), c) (57.5, 59.1), d) (57.9, 58.7) og e) n 239. (Hint: l(n) = 1 = 2z 1 α/2 σ/n 1/2 ). Eercise 8.10: a) (2.7, 7.5),

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt

Detaljer

Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Adresse:

Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Adresse: Strategos B Målskjema Kunde: Selger: Ordredato: Ordre nr.: Bestillings nr. (HMS): Innkjøps nr. (Handicare): Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Postnr.: Poststed: Telefon (priv.): Telefon (arb.): Mobil: Kontaktpersoner

Detaljer

Efficiency, Integrity, Reliability, Surviveability, Usability. Correctness, Maintainability, Verifiability

Efficiency, Integrity, Reliability, Surviveability, Usability. Correctness, Maintainability, Verifiability "! # $ & ' )()# * +, -. / 0 1-2 3 4 56 7 1-8 6 3 3-1 99 : 6 ; 9 < 9= >? > @ A 6 / 5-1 8-1 3 B 6 1 = A 9 >? C D? 6 E6-2 < F 4 F GH +! # + I # + $ $ J $ KML N O P Q R Q S P Q T U N O VWX Q X Y Z Opprinnelig

Detaljer

STRATEGOS B. Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Avd. Bruker Annet: Adresse:

STRATEGOS B. Målskjema. Serie nr.: Bruker Navn: Adresse: Kontaktpersoner. E-post: E-post: Levering Avd. Bruker Annet: Adresse: STRATEGOS B Målskjema Kunde: Ordredato: Bestillings nr. (HMS): Serie nr.: Selger: Ordre nr.: Innkjøps nr. (Handicare): Bruker Navn: Adresse: Postnr.: Telefon (priv.): Mobil: Poststed: Telefon (arb.): E-post:

Detaljer

C C H. Forklar trippelbindingen ved betraktning av hybridisering av karbonatomene og atom- og molekylorbitaler.

C C H. Forklar trippelbindingen ved betraktning av hybridisering av karbonatomene og atom- og molekylorbitaler. P! #" %$& & &')(%* " -*..0/.2.3547683:9- ;7? @>; 4AA. B;.!/ 6 ; - BEF %G 6 >A 6.0IJ!/ K MLN.?QP)R7SUTATVAẄ YX >Z0 7? J[!A 62\ ] L.?QP^RBSUTBV`_aWYR +$ bdcfegihbdk lmelyno^p)orq ctsbdhle!c nvuwe!lycxc

Detaljer

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)

EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Bård Skaflestad (946867) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4002 FYSIKK. Mandag 5. mai 2003 Tid: Sensur uke 23.

EKSAMEN I FAG SIF4002 FYSIKK. Mandag 5. mai 2003 Tid: Sensur uke 23. side 1 av 5 (bokmål) NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET, INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Institutt for fysikk, Gløshaugen Professor Arnljot Elgsæter, 73940078 EKSAMEN I

Detaljer

HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN

HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE

Detaljer

ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ö ÒÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Òº Ì Ø Ð ¾ºÚ Ð Ö Ö Ð Ú Ö Ø Ñ ÒÙ

ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ö ÒÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Òº Ì Ø Ð ¾ºÚ Ð Ö Ö Ð Ú Ö Ø Ñ ÒÙ ÈÖ Ö Ó ÓÒØÖ Ø Ö Ö ÙÐ Ö ØÐ Ú Ö Ò Ö Ö Ì ÓÖ Ø Ó ÑÔ Ö Ò ÐÝ Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ñ ÙÒÒ ÓÒÓÑ Ã Ö Å Ö Ö Ø Ð ØÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò À Ø ¾¼¼ ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ

Detaljer

Løsning til prøveeksamen i MAT2400, V-11

Løsning til prøveeksamen i MAT2400, V-11 Løsning til prøveeksamen i MAT400, V-11 Oppgave 1 a) Vi ser at den deriverte f (x) = 1 1+x alltid er mindre enn eller lik 1 i tallverdi. Gitt to punkter x, y R, finnes det ifølge middelverdisetningen en

Detaljer

¾

¾ ¾ Ë ÑÑ Ò Ö Ò ÒØÖ Ð Ø ÓÖ ÒÒ Ò ÐØ Ø Ö ÒØ Ò Ö ÓÒ Ö ØÖ ÓÒ ÐØ ÚÖØ Û Ð ¹ ÚÓÒ Ä Ù Ø ÓÖ Òº Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ö ÒÝØØ Ø Ø ÓÖ Ö Ò ÖÛ Ò ÔÙ Ð ÖØ ½ ½ º ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ø Ö Ö Ø ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Ñ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð ÖÛ Ò ÚÓÖ ÒØÖ Ð Ö Ô Ð

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

Handi-Lift ML7 Målskjema

Handi-Lift ML7 Målskjema Handi-Lift ML7 Målskjema Dato: Monteringsdato: Vår ref.: Bestillings nr.: Kunde (HMS): Utprøvingsnr.: Salgsordre Tilbud Utprøving Resirkulering Bruker Navn: Bruker nr.: Fødselsdato: Adresse: Postnr.: Ordre

Detaljer

Forelesning 9 STK3100/4100

Forelesning 9 STK3100/4100 p. 1/3 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 18. oktober 2012 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 2/3 Modell med

Detaljer

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation.

Note: Please use the actual date you accessed this material in your citation. MIT OpenCouseWae http://ocw.mt.edu 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5 Please use the followng ctaton fomat: Maus Zahn, 6.641 Electomagnetc Felds, Foces, and Moton, Spng 5. (Massachusetts

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING. Mandag 14. desember 2005 Tid: 09:00 13:00

EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING. Mandag 14. desember 2005 Tid: 09:00 13:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for telematikk Side 1 av 12 Faglig kontakt under eksamen: Poul Heegaard (73 594321) EKSAMEN I EMNE TTM4110 PÅLITELIGHET OG YTELSE MED SIMULERING

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag 3. desember 2007 kl NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 7 59 6 6 / 45 45 55 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4160 BØLGEFYSIKK Mandag.

Detaljer

ÆÓ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ö Ö Ñ ØÖÓ Ö Ð Ò Ö Ó Ö Ó ØÖ ÐÐ Ö Ò Ö ÃÚ Ð Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ÆÓÖ ½½º ÔÖ Ð ¾¼¼ Ö Ñ ÓÖ ÐØ Ñ Ö ØØ Ò ØÓÖ Ø Ø Ð Ñ Ò Ú Ð Ö ÌÖÝ Ú ÂÓ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ó Ô Ö ÓÒÐ ÑÓØ

Detaljer

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00

Eksamen i fag RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag 26. mai 2000 Tid: 09:00 14:00 Side 1 av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Navn: Kåre Olaussen Telefon: 9 36 52 Eksamen i fag 74327 RELATIVISTISK KVANTEMEKANIKK Fredag

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Lørdag 26. mai 2001

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Lørdag 26. mai 2001 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 8 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i SIF407 KLASSISK FELTTEORI Lørdag 6. mai

Detaljer

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar

Kap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar

Detaljer

A Benchmark of Selected Algorithmic. Machine Learning and Computer Vision

A Benchmark of Selected Algorithmic. Machine Learning and Computer Vision A Benchmark of Selected Algorithmic Differentiation Tools on Some Problems in Machine Learning and Computer Vision FILIP SRAJER ZUZANA KUKELOVA ANDREW FITZGIBBON AD2016 11.9.2016 Version for public release

Detaljer

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp)

HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI. Dixit-Stiglitz-Krugman modellen. Åge Haugslett. Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi (30 stp) HANDELSHØGSKOLEN I TROMSØ SENTRUM OG PERIFERI Dixit-Stiglitz-Krugman modellen Åge Haugslett Vedlegg til Masteroppgave i - Samfunnsøkonomi ( stp) Vedlegg kap,.. VEDLEGG KAPITTEL KapModATilf.mcd. Den enklestet

Detaljer

TFY4109 Fysikk Eksamen 9. august Løsningsforslag

TFY4109 Fysikk Eksamen 9. august Løsningsforslag TFY4109 Fysikk ksamen 9. august 2016 Løsningsforslag 1) 1 TU = 1055 J; 200 cal = 837 J; 0.0004 kwh = 1440 J; 10 20 Ry = 218 J; 10 22 ev = 1600 J. Sistnevnte er altså mest energi. 2) Periode T = 1/500 minutt

Detaljer

Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning

Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Notater Documents 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Notater 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Statistisk sentralbyrå Statistics

Detaljer

TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005

TMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 005 Løsningsforslag Øving 5 a) Vi skal undersøke stabilitet

Detaljer

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012

Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for fysikk Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystem, våren 2012 Faglærar: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Institutt for fysikk Telefon:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1

MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1. Oppgave 1 MOT 310 Statistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 2006, s. 1 Oppgave 1 a) Normalantakelse: Målingene x 1,..., x 21 og y 1,..., y 8 betraktes som utfall av tilfeldige variable X 1,..., X 21

Detaljer

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( <

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( < ! # %! & (% ) % & +, %. / 0 1 2 3 + 3% 4 & 0 5 & #5 0 5 6 5.. 0 7 & / / 5!!87/ (92) 9:., 588 (;

Detaljer

Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 31.

Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 31. NTNU Side av 7 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i FY3403 PARTIKKELFYSIKK Torsdag 3. mai 007 Oppgave.

Detaljer

Forelesning 9 STK3100/4100

Forelesning 9 STK3100/4100 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 17. oktober 2011 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 1 Modell med alle antagelser

Detaljer

MA2501 Numerical methods

MA2501 Numerical methods MA250 Numerical methods Solutions to problem set Problem a) The function f (x) = x 3 3x + satisfies the following relations f (0) = > 0, f () = < 0 and there must consequently be at least one zero for

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006

Løsningsforslag til eksamen i FY8306 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 2006 NTNU Side av 3 Institutt for fysikk Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Løsningsforslag til eksamen i FY836 KVANTEFELTTEORI Fredag 9. juni 6 Dette løsningsforslaget er på 3 sider, pluss et vedlegg

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol

Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Oppgave 1 Lab i TFY4120 Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Institutt for fysikk, NTNU 2 1. Innledning Hensikten med denne oppgaven er først og fremst å få øvelse i analyse av feilkilder

Detaljer

6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling

6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling ....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,

Detaljer

Oppgave 14.1 (14.4:1)

Oppgave 14.1 (14.4:1) MOT30 Statistiske metoder, høste006 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Modell: Oppgave 4. (4.4:) Y ijk = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijk, der ε ijk uavh. N(0, σ ) der µ er gjennomsnittseffekten, α i

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved

x(x 1)(x 2) p(x) = 3,0 1( 1 1)( 1 2) Newtons interpolasjonsformel: Tabellen over dividerte differenser er gitt ved NTNU Institutt for matematiske fag TMA35 Matematikk D eksamen 20. desember 200 Løsningsforslag Oppgaven kan, for eksempel, løses ved hjelp av Lagrange-interpolasjon eller Newtons interpolasjonsformel.

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer

Detaljer

LED arbeidslys. Katalog Kontakt: Rakkestad Stavanger Side 1 12/02/17

LED arbeidslys. Katalog Kontakt: Rakkestad Stavanger Side 1 12/02/17 LED arbeidslys Katalog 2017 www.kamled.no post@kamled.no Kontakt: Rakkestad 97660606 - Stavanger 91390246 Side 1 12/02/17 LRD2137 og LRD2138 LED arbeidslys Arbeidslys med plastbrakett Godkjenninger: CE,

Detaljer

Mathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2

Mathematics 114Q Integration Practice Problems SOLUTIONS. = 1 8 (x2 +5x) 8 + C. [u = x 2 +5x] = 1 11 (3 x)11 + C. [u =3 x] = 2 (7x + 9)3/2 Mathematics 4Q Name: SOLUTIONS. (x + 5)(x +5x) 7 8 (x +5x) 8 + C [u x +5x]. (3 x) (3 x) + C [u 3 x] 3. 7x +9 (7x + 9)3/ [u 7x + 9] 4. x 3 ( + x 4 ) /3 3 8 ( + x4 ) /3 + C [u + x 4 ] 5. e 5x+ 5 e5x+ + C

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag 26. mai 2005

Løsningsforslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag 26. mai 2005 NTNU Side av 5 Institutt or ysikk Fakultet or ysikk, inormatikk og matematikk Eksamen gitt av Kåre Olaussen Dette løsningsorslaget er på 5 sider. Løsningsorslag til eksamen i FY3464 KVANTEFELTTEORI Torsdag

Detaljer

Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl.

Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 1 MAT131 Bokmål Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet Mat131 - Differensiallikningar I Onsdag 25. mai 2016, kl. 09-14 Oppgavesettet er 4 oppgaver fordelt på

Detaljer

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6

TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 TFY4102 Fysikk Eksamen 16. desember 2017 Foreløpig utgave Formelside 1 av 6 FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes

Detaljer

Læringsmål. INF1000: Forelesning 12. Hovedkilde. Kunne binærtall og heksadesimale tall og konvertering mellom ulike tallsystemer: Titallsystemet

Læringsmål. INF1000: Forelesning 12. Hovedkilde. Kunne binærtall og heksadesimale tall og konvertering mellom ulike tallsystemer: Titallsystemet INF1000: Forelesning 12 Digital representasjon av tall og tekst Læringsmål Kunne binærtall og heksadesimale tall og konvertering mellom ulike tallsystemer: Titallsystemet Det heksadesimale Det binære tallsystemet

Detaljer

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)

Detaljer

Ó Ö Ò ¹½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ñ Ò ÓÒ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ÒÚ Ò Ø Ó Ê Ò ÓÖ ÒØ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø Î Ö ÌÓÔÔ ÓÐ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ½º ÙÒ ¾¼½½ Ö ÓÖ ÒÒ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ú ÖØ ÒÒÓÑ ÖØ Ó Ö Ú Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ Ú Ð Ò ÓÖ ÒÚ Ò

Detaljer

En kort introduksjon til generell relativitetsteori

En kort introduksjon til generell relativitetsteori En kort introduksjon til generell relativitetsteori Generell relativitetsteori (GR) representerer vår mest fundamentale forståelse av tid, rom og gravitasjon, og er helt nødvendig for å formulere konsistente

Detaljer

Exploratory Analysis of a Large Collection of Time-Series Using Automatic Smoothing Techniques

Exploratory Analysis of a Large Collection of Time-Series Using Automatic Smoothing Techniques Exploratory Analysis of a Large Collection of Time-Series Using Automatic Smoothing Techniques Ravi Varadhan, Ganesh Subramaniam Johns Hopkins University AT&T Labs - Research 1 / 28 Introduction Goal:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Eksamen i: STK 1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Tid for eksamen: Mandag 28. november 2016, kl. 14:30 18:30 Hjelpemidler: Formelsamling til STK 1100 og

Detaljer

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter

Detaljer

UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS

UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS English Exam: ECON2915 Economic Growth Date of exam: 25.11.2014 Grades will be given: 16.12.2014 Time for exam: 09.00 12.00 The problem set covers 3 pages Resources

Detaljer

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller NORSK TEKST Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 18 67, eller 9701355 EKSAMEN I TFY450 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK

Detaljer

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006

Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Vedlegg 1 av 9 Formelsamling Bølgefysikk Desember 2006 Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighet og symbolenes betydning antas å være kjent. Harmonisk

Detaljer

Advanced Quantum Field Theory (Version of November 2015) Jorge Crispim Romão

Advanced Quantum Field Theory (Version of November 2015) Jorge Crispim Romão Advanced Quantum Feld Teory (Verson of November 015) Jorge Crsm Romão Pyscs Deartment 015 Aendx D Feynman Rules for te Standard Model D.1 Introducton To do actual calculatons t s very mortant to ave all

Detaljer

Kravspesifisering (2): Validering av kravspek er

Kravspesifisering (2): Validering av kravspek er Ø Ø SIF 8035 - Informasjonssystemer Grunnkurs, 2002 Læremål Kravspesifisering (2): Validering av kravspek er Guttorm Sindre, IDI Forstå Kvalitetskriterier for kravspesifikasjoner Viktige steg i prosessen

Detaljer