Eksamensoppgåve i LGU52003 MATEMATIKK 2 (5-10), EMNE 2

Transkript

1 Institutt for grunnskolelærerutdanning og bachelor i tegnspråk og tolking Eksamensoppgåve i LGU52003 MATEMATIKK 2 (5-10), EMNE 2 Fagleg kontakt under eksamen: Tore Forbregd a, Øyvind Lundeby b, Solomon Tesfamicael c Tlf: a / , b , c Eksamensdato: 2. desember 2016 Eksamenstid (frå til): 09:00 15:00 Hjelpemiddelkode/Tillatne hjelpemiddel: Tillatne hjelpemiddel er valgfri kalkulator som ikkje kan kommunisere trådløst og valgfri utgave av LK06. Annan informasjon: Alle oppgåvene skal svaras på og svara grunngjevast. Den endelege karakteren vil byggje på ei samla vurdering. Målform/språk: nynorsk Sidetal: 5 Sidetal vedlegg: 4 Informasjon om trykking av eksamensoppgave Orginalen er: 1-sidig 2-sidig sort/hvit farger skal ha flervalgskjema Kontrollert av: Dato Sign Merk! Studentane finn sensur i Studentweb. Har du spørsmål om sensuren må du kontakte instituttet ditt. Eksamenskontoret vil ikkje kunne svare på slike spørsmål.

2 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side 1 av 5 Oppgåve 1 Følgjande oppgåve vert gitt i 9. trinn ved ein skole: Eit rektangulært svømmebasseng blir fylt ved hjelp av ein vasslange der vanntilførselen er konstant. Under vises eit tverrsnitt av svømmebassenget Skisser grafen som viser korleis djupna på vatn (d) i den djupe enden av bassenget varierer med tiden, frå tida det tomme bassenget begynner å fylles. Tenk deg det tek tretti minutter å fylle bassenget til randen. Djupn vatn (d) (meter) Tid (minutter) a) Gjer oppgåva sjøl og gjer reie for kva føremål ei slik oppgåve kan ha. Lagt ved finn du fem elevsvar i arbeidet med denne oppgåva (sjå vedlegg 1). b) Kva for kvalitetar vil du som lærer leggje vekt ved kvar av elevsvara? Frida er lærar i klassen til elevane nevnt over. I arbeidet med oppgåva tegna Gert, ein av elevene, tverrsnittet av eit rektangulært basseng (sett ovenfrå) der den lengste sida var 18 m og den kortaste sida var 9 m. Gert var særs nysgjerrig på kor mykje eit slikt basseng rommer. Han var ikkje i stand til å finne ut av det. Frida visste ikkje anna råd enn å teikne tverrsnittet av bassenget i GeoGebra og fikk følgjande graf og funksjonsuttrykk:

3 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side 2 av 5 1 lengde (meter) djupn (meter) (x 8 2)2 3 0 x f(x) = (x 9 7)2 2 4 x 10 1 (x 8 14) x 18 c) Gjer reie for korleis integralregning kan nyttas til å finne volumet av bassenget. d) Bestem volumet til bassenget ved hjelp av integralregning. Oppgåve 2 Hege går i 10. trinn på Illsvik ungdomskole. Kvart år skal 10.klassingane ved skolen løpe Illsvikmila (10 km lang løype i kupert terreng). Att med traséen er det plassert kontrollposter som registrerer tida til deltakarane når dei passerer. Disse er plassert etter 2,5, 5 og 7,5 km. Tiden til Hege i mål var nøyaktig 1 time, og under ser du tidene som blei registret ved kontrollpostane: Post Tid 2,5 km 18 minutt 5 km 29 minutt og 15 sekund 7,5 km 43 minutt og 40 sekund a) Nytt informasjonen som er gitt til å lage ein graf der du plotter inn punktmålingene gjort gjennom løpet. b) Jorunn, lillesøstera til Hege, seier at funksjonen f(t) = 10 t skildrer løpet til 1 Hege (der t er gitt i timar). Kommenter Jorunns forslag.

4 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side 3 av 5 Hege brukte ei pulsklokke med GPS under løpet som gav ho følgjande funksjon for sprunge strekning: s(t) = 6t + 12t 2 8t 3, 0 t 1 (der t er gitt i timar). Grafen til denne er vist i vedlegg 2. c) Hege seier at ho holdt ein større fart i mål enn ved starten av løpet. Kommenter Heges påstand. d) Ut frå dataene frå pulsklokka, kva var toppfarten til Hege og når blei den nådd? Oppgåve 3 Ei bedrift har 80 kunder der sju er misfornøgde med leveransane. Dersom bedriftsleiinga besøker eit tilfeldig utval av tolv kunder, a) Kor sannsynleg er det at nøyaktig ein av dei tolv kundane er misfornøgd? b) Kor sannsynleg er det at meir enn to kundar er misfornøgde? Kari og Linus sit og jobber med oppgåvene over og følgjande dialog finn stad: kari: Jeg mener at her må man bruke en hypergeometriske sannsynlighetsfordeling. linus: Jeg er ikke enig. Jeg syns at det er mer korrekt å bruke en binomisk sannsynlighetsfordeling da det er snakk om to typer kunder som enten er førnøyde eller misfornøyde. Dessuten er det ikke med tilbakelegging. c) Kommenter dialogen over og gjer reie for kva av dei to modellane som passer best i den gitte situasjonen. Marthe selger egg på bondens marked og garanterer at alle hennar kartongar med 12 egg inneheld høgst eit dårleg egg. Dersom ein kartong inneheld meir enn eit dårleg egg, vil ho erstatte heile dusinet og la kunden beholde dei gode egga! Marthe går ut i frå at sannsynet for at eit egg er dårleg er 0,05. d) Kva er sannsynet for at Marthe må erstatte ein gitt kartong?

5 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side 4 av 5 Oppgåve 4 Nils får bli med sin bestefar på Vestfjorden, midt mellom Henningsvær og Hamarøy, for å fiske torsk. Vekten V av dagens fangst er tenkt å vere normalfordelt med forventningsverdi µ kg og standardavvik σ kg. a) Tenk deg at forventningsverdien er µ = 84 kg og standardavviket er σ = 21 kg. Kva er sannsynet for at fangsten blir mellom 100 og 115 kg? b) Tenk deg no at forventningsverdien µ = 200 kg og standardavviket er σ = 40 kg. Bestemora til Nils blir skuffet dersom han kjem heim med mindre enn 180 kg torsk. Kor sannsynleg er det at ho blir skuffa? For ein standard språktest for ungdomsskoleelevar er gjennomsnittsresultatet for heile landet µ = 125 og σ = 16,4. Skoleleiinga i ein bestemt by meiner likevel at elevene i skolane i byen er betre enn landsgjennomsnittet. Ein tek så eit utval på n = 86 elevar frå ungdomsskolane i denne byen. Disse skolane blir vår nye populasjon. Vi lar ˆµ stå for gjennomsnittleg score i denne populasjonen. Dette leder til testingssituasjonen H 0 : ˆµ = 125 mot H 1 : ˆµ > 125, der σ = 16,4 er tenkt kjent og utvalet består av de n = 86 elevane. Resultatet blir eit gjennomsnitt X = 128,5 for dei 86 elevene. c) Utfør hypotesetesten ved 5% signifikansnivå, og formuler konklusjonen av testen med ord.

6 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side 5 av 5 Oppgåve 5 Skolebedriften Origami ønskjer å lage ei gåveeske i papir forma som ei trekanta prisme. Av estetiske årsakar ønskjer dei at trekanten skal vere ein rettvinkla trekant slik at bredde : høgde = 4 : 3 (sjå figur 1). høgde bredde Figur 1: Gåveeske (grønn) med lokk (lilla). Materialet som nyttas til eska uten lokk koster 1 kr/cm 2 mens materialet til lokket koster 1 5 kr/cm2 (farga høvesvis som grønn og lilla i figur 1). I tillegg er det bestemt at volumet til eska skal vere cm 3. Bestem storleiken på eska som minimerer materialkostnadene.

7 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side i av iv Vedlegg 1 Aslak Bente Christoffer Dina Edgard

8 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side ii av iv Vedlegg s (km) t (timer)

9 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side iii av iv Vedlegg 3 Formelark for sannsynlighetsregning og statistikk Binomialkooeffisient Addisjonssetningen ( ) n = k Definisjon av betinget sannsynlighet Bayes formel P (A B) = n! (n k)!k! P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (B A)P (A) P (B) = P (A B) P (B) P (B A)P (A) P (B A)P (A) + P (B A)P (A) Forventning, varians og standardavvik for en stokastisk variabel X µ = E(X) = x i P (X = x i ) alle x i σ 2 = Var(X) = (x i µ) 2 P (X = x i ) alle x i σ = Var(X) Hypergeometrisk fordeling ) P (X = x) = der p = S /N. ( )( S N S x n x ( N n ), E(X) = np, Var(X) = np(1 p) N n N 1 Binomisk fordeling ( ) n P (X = x) = p x (1 p) n x, x E(X) = np, Var(X) = np(1 p) Dersom X er normalfordelt med forventning µ og varians σ 2, og Z = X µ σ så er Z normalfordelt med forventning 0 og varians 1.

10 LGU matematikk 2 (5-10), emne 2-2. desember 2016 Side iv av iv Vedlegg 4 Standard normalfordeling X N (0, 1) x P(X x) = ϕ(t)dt