Bevarelsesmetoder for hyperbolske dierensialligninger

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Bevarelsesmetoder for hyperbolske dierensialligninger"

Transkript

1 Bevarelsesmetoder for hyperbolske derensallgnnger Ivar Aavatsmark Anvendt og beregnngsorentert matematkk Unverstetet Bergen Bergen 2004

2 Innhold 1 Modellgnnger Gruntvannsstrømnng Én romlg dmensjon Hvrvelfr strømnng horsontalplanet uten frksjon Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer Polymerømmng Skalare hyperbolske bevarelseslover Hyperbolske lgnngssystemer Skalar lgnng med konstant koesent System av lneære lgnnger Kontnuerlg løsnng av den skalare lgnng Dskontnuerlge løsnnger Løsnng av den skalare lgnng Innledende eksempel Dskontnuerlg startverd Fluksfunksjon med vendepunkt Entropbetngelsen Remann-problemet Systemer av hyperbolske bevarelseslover System av kvaslneære lgnnger Reduserbart system Remannske nvaranter Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Stasjonær gruntvannsstrømnng Enkle bølger Dskontnuteter Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Vannsprang stasjonær strømnng Støthastghet og karakterstsk hastghet Remann-problemet Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng

3 Innhold Eksempel 2: Polymerømmng Derensmetoder for skalare bevarelseslover Motstrømsderenser Bevarelse Lneær stabltet Monoton Monotone bevarelsesmetoder La-Fredrchs' metode Godunovs metode Engqust-Oshers metode Konvergens for monotone bevarelsesmetoder Nøyaktghet Eksempel Derensmetoder for systemer av bevarelseslover Umddelbar generalserng La-Fredrchs' metode Godunovs metode Lneært system med konstante koesenter Remann-problemet for lneære systemer Roes metode Roes lnearserng for gruntvannslgnngene Roes metode for skalare lgnnger Oshers metode Høyere ordens metoder for skalare lgnnger Total varasjon Metoden med helnngsbegrensnng Ltteratur 140

4 Kapttel 1 Modellgnnger I dette kapttelet skal v utlede strømnngslgnngene for noen modeller som vl belyse egenskaper og karakter tl hyperbolske bevarelseslover. V skal se på følgende modeller: gruntvannsstrømnng, tofasestrømnng porøse stoer og polymerømmng. Første og sste modell gr et system av to lgnnger, mens tofasestrømnngen gr en skalar lgnng. 1.1 Gruntvannsstrømnng Ved strømnng på grunt vann kan de almnnelge strømnngslgnnger ofte forenkles ved å anta at hastgheten vnkelrett på underlaget er neglsjerbar, og at trykket er hydrostatsk vnkelrett på underlaget. Slke modeller gr en god beskrvelse for en rekke naturlge bølgebevegelser som f.eks. tdevannsbevegelse på havet, tdevannsbølger elver og fjorder, og strømnng renner. Strømnngen bunnen av en oppvaskkum med åpent sluk vl også være godt beskrevet med de utledede lgnnger. For lave væskehøyder vl mdlertd grenseatespennngen kunne modsere modellen noe. Modellen gjelder kke for strømnng væskelmer Én romlg dmensjon V begynner utlednngen av gruntvannslgnngene ved å anta endmensjonal strømnng. I neste avsntt utledes de samme lgnngene for det todmensjonale tlfellet. V denerer følgende størrelser: ρ tetthet (konstant), g tyngdens akselerasjon, h høyde normalt på underlaget, b bredde (konstant), u hastghet, κ frksjonskoesent, α underlagets helnngsvnkel. 4

5 1.1 Gruntvannsstrømnng 5 h 1 2 Fgur 1.1: Gruntvannsbølge. V ser på massebevarelsen på et ntervall ( 1, 2 ), se gur 1.1. Her må gjelde dvs Dette kan skrves {opphopnng} + {utstrømnng} = 0, (1.1) d 2 ρhb d + [ρhbu] 2 dt 1 = 0. (1.2) [(ρhb) t + (ρhbu) ] d = 0, (1.3) og sden 1 og 2 er vlkårlge, må ntegranden forsvnne overalt. Sden ρb er konstant, fås h t + (hu) = 0. (1.4) Tlsvarende får v for mpulsbevarelsen over ntervallet ( 1, 2 ). Den formuleres som en kraftbalanse: {mpulsopphopnng} + {mpulsutstrømnng} {trykkraft} = {komponent av tyngdekraften} {frksjonskraft}, (1.5) dvs d 2 ρhbu d + [ ρhbu 2] dt 1 + [p] 2 1 = ρghb sn α d κρb u u d (1.6) I gruntvannsmodellen antas at trykket er hydrostatsk, slk at trykkraften over snttet med areal hb blr p = h 0 ρg(h z)b cos α dz = 1 2 ρgh2 b cos α. (1.7) Frksjonsuttrykket κρb u u er Chézys emprske formel. Den gjelder for brede renner (b h). Koesenten κ regnes ofte som konstant, men er egentlg en funksjon av Reynolds-tallet R = hu/ν og underlagets ruhet. Her er ν vannets knematske vskostet. Frksjonskoesenten κ lgger vanlgvs området [10 3, 10 2 ].

6 6 1 Modellgnnger 2 Lgnng (1.6) blr 1 [ (ρhbu)t + (ρhbu 2 ) + ( 1 2 ρgh2 b cos α ) ρghb sn α + κρb u u] d = 0, og sden 1 og 2 er vlkårlge og ρb er konstant, fås hvor γ = g cos α. Her er (1.8) (hu) t + ( hu γh2) = γh tan α κ u u, (1.9) (hu) t + ( hu γh2) = u [h t + (hu) ] + h [ u t + ( 1 2 u2 + γh ) ], (1.10) slk at mpulsbevarelsen også kan skrves på avledet form u t + ( 1 2 u2 + γh ) u = γ tan α κ u h. (1.11) Lgnng (1.11) er ekvvalent med lgnng (1.9) for glatte løsnnger. Endelg kan v også stlle opp energbevarelsen over ntervallet ( 1, 2 ). Den betraktede energen er den mekanske energ, dvs summen av knetsk energ og potensell energ. dvs {energopphopnng} + {energutstrømnng} {trykkraftens ytelse} 2 h = {tyngdekraftens ytelse} {frksjonskraftens ytelse}, (1.12) d ( 1 dt 2 ρu2 + ργz ) [ h ( b dz d ρu2 + ργz ) 2 bu dz] [ h ] ργ(h z)bu dz ρghbu sn α d κρb u u 2 d. (1.13) 0 1 Dette gr = 1 [ (( 1 2 ρhu ργh2) b ) t + (( 1 2 ρhu ργh2 u ) b ) + ( 1 2 ργh2 bu ) ργhbu tan α + κρb u u2] d = 0, (1.14) og sden 1 og 2 er vlkårlge og ρb er konstant, fås ( 1 2 hu γh2) t + ( 1 2 hu3 + γh 2 u ) = γhu tan α κ u u2. (1.15) Her er ( 1 2 hu γh2) t + ( 1 2 hu3 + γh 2 u ) = ( γh 1 2 u2) [h t + (hu) ] + u [ (hu) t + ( hu γh2) ]. (1.16)

7 1.1 Gruntvannsstrømnng 7 Således er energbevarelsen alltd oppfylt når masse- og mpulsbevarelsene er oppfylt på derensalform. De grunnleggende bevarelseslgnngene er dermed (1.4) og (1.9), som v stller opp på nytt: h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu γh2) = γh tan α κ u u. (1.17) Spesaltlfeller 1. Anta at venstresden mpulsbevarelsen er neglsjerbar, og at α > 0. Da er γh tan α = κ u u = κu 2, (1.18) dvs γ tan α u = h. (1.19) κ Når uttrykket (1.19) settes nn massebevarelsen (1.4), fås ( ) γ tan α h t + h 3/2 = 0. (1.20) κ Denne lgnngen gr en god tlnærmelse tl enkeltbølger nedover et skråplan. Den tllater mdlertd kke bølgetogløsnnger, som v ofte kan se renner og på asfalterte gater. 2. Anta strømnng på horsontalt underlag uten frksjon. Lgnngene (1.17) blr Dette lgnngssystemet har formen hvor og h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu gh2) = 0. (1.21) u t + f(u) = 0, (1.22) u = [ u1 u 2 ] = [ ] h hu (1.23) [ ] u 2 hu f(u) = hu = 2 gh2 u gu2. (1.24) 1 u 1 2 Annen lgnng (1.21) kan erstattes med den avledede lgnngen for glatte løsnnger. u t + ( 1 2 u2 + gh ) = 0 (1.25)

8 8 1 Modellgnnger Hvrvelfr strømnng horsontalplanet uten frksjon V ser på de samme bevarelseslgnngene som forrge avsntt, men nå to romlge dmensjoner. V benytter også de samme størrelsene, men de avhengge varable er nå høyden h = h(, y, t) og hastgheten q = [u, v] T = [u(, y, t), v(, y, t)] T. Strømnngen antas hvrvelfr, dvs rot q = 0, og for enkelhets skyld ser v bare på strømnng horsonalplanet uten frksjon. Bevarelseslgnngene stlles opp ved å betrakte et område A y-planet med rand C og med ytre enhetsnormal n, se gur 1.2. Massebevarelsen blr d dt A h 0 ρ dz dτ + C h 0 ρq n dz ds = 0, (1.26) dvs d ρh dτ + ρhq n ds = 0. (1.27) dt A C Av dvergenssetnngen følger [(ρh) t + dv(ρhq)] dτ = 0, (1.28) og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås Impulsbevarelsen blr dvs d dt A h t + dv(hq) = 0. (1.29) {mpulsopphopnng} + {mpulsutstrømnng} {trykkraft} = 0, (1.30) A h 0 ρq dz dτ + C Integrasjon gr d ρhq dτ + dt A h C 0 ρq(q n) dz ds + C h 0 ρg(h z)n dz ds = 0. (1.31) 1 ρhq(q n) ds + 2 ρgh2 n ds = 0. (1.32) C A C n Fgur 1.2: Område A med rand C og ytre enhetsnormal n.

9 1.1 Gruntvannsstrømnng 9 Her kan man kke uten vdere anvende dvergenssetnngen. Annet ledd kan omformes ved å betrakte uttrykket kartesske koordnater: ρhq(q n) ds C = ρh(u + vj)(q n) ds C = [dv(ρhuq) + dv(ρhvq)j)] dτ = = = A A A A [ ] (u dv(ρhq) + ρhq grad u) + (v dv(ρhq) + ρhq grad v)j) dτ [q dv(ρhq) + ρh(q grad)q] dτ [ q dv(ρhq) + ρh grad ( 1 2 q2)] dτ. I den sste overgangen er det gjort bruk av formelen (1.33) (q grad)q = grad ( 1 2 q2) q rot q. (1.34) Sden bevegelsen er hvrvelfr, er mdlertd rot q = 0. Det funne uttrykket (1.33) er gyldg et vlkårlg koordnatsystem. Innsatt lgnng (1.32) fås dermed [ (ρhq)t + q dv(ρhq) + ρh grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 ρgh2)] dτ = 0, (1.35) A og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås Her er (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (1.36) (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = q [h t + dv(hq)] + h [ q t + grad ( 1 2 q2 + gh )], (1.37) slk at mpulsbevarelsen også kan skrves på den avledede formen q t + grad ( 1 2 q2 + gh ) = 0. (1.38) Lgnng (1.38) er ekvvalent med lgnng (1.36) for glatte løsnnger. I energbevarelsen betrakter v som tdlgere den mekanske energ, altså summen av knetsk og potensell energ: {energopphopnng} + {energutstrømnng} {trykkraftens ytelse} = 0, (1.39)

10 10 1 Modellgnnger dvs d dt A h 0 Integrasjon gr ( 1 2 ρq2 + ρgz ) dz dτ + C + h 0 h C ( 1 2 ρq2 + ρgz ) q n dz ds 0 ρg(h z)q n dz ds = 0. (1.40) d ( 1 dt 2 ρhq ρgh2) ( dτ ρhq ρgh2) q n ds A C ρgh2 q n ds = 0. (1.41) C Ved bruk av dvergenssetnngen fås [( 1 2 ρhq ρgh2) t + dv(( 1 2 ρhq2 + ρgh 2) q )] dτ = 0, (1.42) A og sden A er vlkårlg og ρ er konstant, fås ( 1 2 hq gh2) t + dv(( 1 2 hq2 + gh 2) q ) = 0. (1.43) Her er ( 1 2 hq gh2) t + dv(( 1 2 hq2 + gh 2) q ) = ( gh 1 2 q2) [h t + dv(hq)] + q [(hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2)]. (1.44) Således er energbevarelsen alltd oppfylt når masse- og mpulsbevarelsen er oppfylt på derensalform. De grunnleggende bevarelseslgnngene er dermed (1.29) og (1.36), som v stller opp på nytt: h t + dv(hq) = 0, (hq) t + q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (1.45) Spesaltlfelle Anta stasjonær, radell strømnng med frksjon. Da er h = h(r) og q = u(r)e r. Lgnngene (1.45) forenkles tl vanlge derensallgnnger, og frksjonsuttrykket kan hentes fra lgnngene (1.17). Dette gr u r d dr (rhu) + h d dr 1 d (rhu) = 0, r dr (1.46) ( 1 2 u2) + d ( 1 dr 2 gh2) = κ u u. (1.47)

11 1.1 Gruntvannsstrømnng 11 En enkel omformng gr d dr d hu (hu) + = 0, (1.48) dr r ( hu gh2) + hu2 r = κ u u. (1.49) 1.2 Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer Når væskebevegelse porøse stoer betraktes på en skala mye større enn poreskala, regnes væsken som et kontnuum som fyller den andel av et volum som stoets porøstet tlser. Tlsvarende antas ved tofasestrømnng at hver fase er tl stede overalt med et volum som svarer tl fasens metnng (volumbrøk) porevolumet. Lgnngene skal utledes for nkompressbelt faststo og nkompressble faser. V nnfører følgende størrelser, se gur 1.3: ρ tetthet (konstant), s metnng (fasevolum/porevolum), φ porøstet (porevolum/totalvolum) (konstant), v volumstrømtetthet, p trykk, g tyngdens akselerasjon, α vnkel mot loddlnjen, λ bevegelghet, k permeabltet, k r relatv permeabltet, µ vskostet. V skal betegne de to fasene som vann (w) og olje (o). Massebevarelsen for hver fase over et ntervall ( 1, 2 ) lyder dvs d dt φs ρ d + [ρ v ] 2 1 = 0, = w, o, (1.50) 1 [(φs ρ ) t + (ρ v ) ] d = 0, = w, o. (1.51) α loddlnje Fgur 1.3: -retnng og vnkelen α.

12 12 1 Modellgnnger Sden 1 og 2 er vlkårlge, må ntegranden forsvnne overalt: (φs ρ ) t + (ρ v ) = 0, = w, o. (1.52) Her er s o + s w = 1. Volumstrømtettheten tl hver fase er gtt ved Darcys lov, som ser at strømtettheten er proporsjonal med, og går motsatt retnng av, den del av trykkgradenten som overstger den hydrostatske: ( ) p v = λ (s w ) ρ g cos α, = w, o. (1.53) Proporsjonaltetskoesenten er den sterkt metnngsavhengge fasebevegelgheten λ = k r(s w )k µ. (1.54) Sden faststoet og fasene er nkompressble, dvs φ, ρ o og ρ w er konstante, forenkles massebevarelsene (1.52) tl φ s w t + v w φ s o t + v o = 0, (1.55) = 0. (1.56) For å forenkle utlednngen deneres følgende størrelser: γ = (ρ w ρ o )g cos α tyngdetetthetsderanse, p c (s w ) = p o p w kapllærtrykk, v = v o + v w total volumstrømtetthet. Addsjon av massebevarelsene (1.55) og (1.56) gr, sden s o + s w = 1, Subtraksjon av Darcys lov for hver av fasene (1.53) gr v = 0. (1.57) v w v ( o pw = λ w λ o p ) o + (ρ w ρ o )g cos α (1.58) = p c + γ, (1.59) dvs ( 1 v w + 1 ) v = p c + γ. (1.60) λ w λ o λ o Således fås for vannets volumstrømtetthet v w = λ w λ o + λ w v + λ oλ w λ o + λ w γ + λ oλ w λ o + λ w p c. (1.61)

13 1.2 Endmensjonal tofasestrømnng porøse stoer 13 f w h u u Fgur 1.4: f w (u). Fgur 1.5: h(u). f f u u Fgur 1.6: f(u) for γ < 0. Fgur 1.7: f(u) for γ > 0. Innsatt massebevarelsen (1.55) fås φ s w t + v ( ) λw + γ ( ) λo λ w + ( ) λo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w λ o + λ w (1.62) Med densjonene blr lgnng (1.62) λ w f w (s w ) =, λ o + λ w (1.63) h(s w ) = λ oλ w, λ o + λ w (1.64) f(s w ) = v φ f w(s w ) + γ φ h(s w), (1.65) ɛ(s w ) = h(s w) φ dp c ds w (1.66) s w t + f(s w) = ( ɛ(s w ) s ) w. (1.67) Hvs annenordensleddet kan neglsjeres, får v med u = s w Buckley-Leveretts lgnng: u t + f(u) = 0. (1.68)

14 14 1 Modellgnnger Funksjonen f(u) kalles uksfunksjonen. Typske forløp for funksjonene (1.63), (1.64) og (1.65) er vst gurene 1.4, 1.5, 1.6 og 1.7. I gur 1.6 vrker tyngden negatv -retnng, mens den gur 1.7 vrker postv -retnng. Dersom vann fortrenger olje postv -retnng, vl strømnngen første tlfelle være stabl, mens den annet tlfelle vl være ustabl. 1.3 Polymerømmng V ser her på samme modell som avsntt 1.2, men den vandge fasen består nå av to komponenter: vann og polymer. Den vandge fasens vskostet er en funksjon av polymerkonsentrasjonen den vandge fasen: jo høyere konsentrasjon, jo segere blr den vandge fasen. Tettheten den vandge fasen erstattes nå av følgende konsentrasjoner: ρ p konsentrasjon (masse/volum) av polymer den vandge fasen, ρ w konsentrasjon (masse/volum) av vann den vandge fasen. V denerer massebrøken for polymer den vandge fasen ved Dermed blr c = ρ p ρ p + ρ w. (1.69) ρ p =c(ρ p + ρ w ), (1.70) ρ w =(1 c)(ρ p + ρ w ). (1.71) Fra utlednngen avsntt 1.2 vet v hvordan man kan gå fra en ntegralformulerng tl en derensalformulerng av bevarelseslgnngene. V hopper derfor over ntegralformulerngen, og får følgende massebevarelse for hver av komponentene vann, polymer og olje: (φs w ρ w ) t + (ρ w v w ) = 0, (1.72) (φs w ρ p ) t + (ρ p v w ) = 0, (1.73) (φs o ρ o ) t + (ρ o v o ) = 0. (1.74) Bemerk at ndeks w benyttes både for vannkomponenten ( ρ w ) og for den vandge fasen ( s w og v w ). Det samme gjelder for ndeks o, men der er det ngen forskjell mellom komponent og fase. Som før antas at faststoet og fasene er nkompressble, dvs at φ, ρ o og ρ p +ρ w er konstante. Ved nnsettng av (1.70) og (1.71) fås massebevarelsene φ (s w (1 c)) t + ((1 c)v w ) = 0, (1.75) φ (s w c) t + (cv w ) = 0, (1.76) φ (s o ) t + (v o ) = 0. (1.77)

15 1.3 Polymerømmng 15 Her er s o +s w = 1. Ved addsjon kan lgnngene (1.75) og (1.76) sammenfattes tl φ (s w ) t + (v w ) = 0. (1.78) Volumstrømtetthetene tl fasene er som før gtt ved Darcys lov: ( ) po v o = λ o (s w ) ρ og cos α, (1.79) ( ) pw v w = λ w (s w, c) (ρ p + ρ w )g cos α, (1.80) hvor fasebevegelghetene er λ o = k ro(s w )k, λ w = k rw(s w )k. (1.81) µ o µ w (c) Som før settes γ = (ρ p + ρ w ρ o )g cos α tyngdetetthetsderanse, p c (s w ) = p o p w kapllærtrykk, v = v o + v w total volumstrømtetthet. Addsjon massebevarelsene (1.77) og (1.78) gr, sden s o + s w = 1, v = 0. (1.82) Subtraksjon av Darcys lov for hver av fasene (1.79) og (1.80) gr som før v w = λ w λ o + λ w v + λ oλ w λ o + λ w γ + λ oλ w λ o + λ w p c. (1.83) Innsatt massebevarelsen for den vandge fasen (1.78) fås φ s w t + v ( ) λw + γ ( ) λo λ w + ( ) λo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w λ o + λ w (1.84) Tlsvarende fås ved nnsettng av (1.83) massebevarelsen for polymerkomponenten (1.76) φ t (cs w) + v ( cλw λ o + λ w ) + γ ( ) cλo λ w + ( ) cλo λ w p c = 0. λ o + λ w λ o + λ w (1.85) V nnfører den forenklede skrvemåten s = s w for vannmetnngen. Analogt med tdlgere denerer v λ w f w (s, c) =, λ o + λ w (1.86) h(s, c) = λ oλ w, λ o + λ w (1.87) f(s, c) = v φ f w(s, c) + γ h(s, c), (1.88) φ

16 16 1 Modellgnnger f c 1 c 2 s Fgur 1.8: f(s, c) for γ = 0 med c 1 < c 2. hvor λ w = λ w (s, c) og λ o = λ o (s). Hvs annenordensleddet kan neglsjeres, gr lgnngene (1.84) og (1.85) systemet Dette lgnngssystemet har formen hvor u = s t + f(s, c) = 0, (cs) t + ( c f(s, c) ) = 0. (1.89) u t + f(u) = 0, (1.90) [ ] [ ] s f, f(u) =. (1.91) cs cf Et eksempel på uksfunksjonen f(s, c) er vst gur 1.8 for tlfellet γ = 0. Funksjonen er vst for to polymernnhold c 1 < c 2. Når γ = 0, er f(s, c 2 ) < f(s, c 1 ) for c 1 < c 2. Annen lgnng systemet (1.89) kan også skrves på avledet form. Sden (cs) t + ( c f(s, c) ) [ ] = c [s f(s, c) t + f(s, c) ] + s c t + c, (1.92) s blr den avledede lgnngen c t + f(s, c) s Lgnng (1.93) er gyldg for glatte løsnnger. c = 0. (1.93)

17 Kapttel 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på lgnnger av typen u t + f(u) = 0. (2.1) Slke lgnnger kalles bevarelseslover, ford, som v har sett kapttel 1, de uttrykker bevarelse av vsse størrelser (masse, mpuls, energ eller lgnende). I neste kapttel skal v se på systemer av samme type, altså lgnngssystemet u t + f(u) = 0. (2.2) Men sden drøftngen av enkelte egenskaper er felles for skalare lgnnger og for lgnngssystemer, vl systemer av lgnnger bl behandlet noen av avsnttene dette kapttelet. 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer V begynner dette kapttelet med å se på lgnngssystemet u t + A(u,, t)u = h(u,, t). (2.3) Her er u og h n-vektorer, mens A er en n n-matrse. Lgnngssystemet (2.3) er ltt mer generelt enn lgnngene (2.2). I lgnngssystemet (2.2) kan man skrve f(u) = f (u)u, hvor f (u) er Jacob-matrsen tl f(u). I lgnngssystemet (2.3) tllates at matrsen A også avhenger av og t, samt at v har en høyresde som kan avhenge av de samme størrelsene. Lgnngssystemet (2.3) kalles kvaslneært, sden de derverte u og u t nngår lneært. Systemet er lneært hvs tllegg A og h er funksjoner av og t alene. Anta at u er gtt på en kurve C t-planet, beskrevet ved φ(, t) = konstant. Kurven C kalles en karakterstkk dersom det kke er mulg å bestemme de derverte u og u t ut fra de gtte data for u på C. 17

18 18 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Sden u er gtt på C, kan v bestemme den tangentelle derverte τ. Normalen tl C er [φ, φ t ] T, slk at tangenten tl C er [φ t, φ ] T. Således blr den tangentelle derverte tl u lk τ = u φ t u t φ. Altså er La Ved å sette (2.4) nn lgnng (2.3), fås u t = φ t φ u τ φ. (2.4) λ = φ t φ. (2.5) ( λi + A) u = h + τ φ. (2.6) Således er u ubestemt hvs λ er en egenverd for matrsen A. Hvs v steden lar kurven C være beskrevet ved = ψ(t), blr φ(ψ(t), t) = konstant, og dermed Følgelg er d dt φ(ψ(t), t) = φ ψ (t) + φ t = 0. (2.7) ψ (t) = φ t φ = λ. (2.8) Hvs altså kurven C er beskrevet ved d/dt = λ, hvor λ er en egenverd for matrsen A, så er det kke mulg å bestemme de derverte u og u t ut fra gtte data for u på C. Lgnngssystemet (2.3) kalles hyperbolsk dersom alle egenverdene λ tl A er reelle og forskjellge. Det kalles svakt hyperbolsk hvs egenverdene tl A er reelle og A er dagonalserbar. For et hyperbolsk system kalles kurvene d/dt = λ karakterstkker, og λ kalles karakterstsk hastghet (bølgehastghet) Skalar lgnng med konstant koesent Det enkleste eksempel på lgnngene (2.3) er en homogen skalar lgnng med konstant koesent. Hvs v tllegg antar Cauchy-startkrav, fås startverdproblemet u t + cu = 0, (2.9) u(, 0) = u 0 (), (2.10) hvor c er en konstant, og u 0 er en vlkårlg funksjon. I drøftelsene nedenfor skal v anta at c > 0. Karakterstkkene er gtt ved d/dt = c, dvs c er karakterstsk hastghet. Langs den karakterstske lnjen ct = ξ, se gur 2.1, er d dt u = u c + u t = 0, (2.11)

19 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 19 t (, t) u u(, 0) u(, t) ct = ξ ξ + ct Fgur 2.1: Karakterstkk. Fgur 2.2: Forskyvnng av u. dvs u er konstant langs karakterstkken. Sden u er konstant langs karakterstkkene, er den generelle løsnngen gtt ved u(, t) = u 0 ( ct). (2.12) Avhengghetsområdet for et punkt (, y) er punktet ξ = ct på -aksen. Innytelsesområdet for punktet ξ er mengden {(, t) ct = ξ}, altså karakterstkken gjennom ξ. Lgnng (2.12) nnebærer at løsnngen u-planet kke endrer prol, men bare forskyves som vst gur 2.2. Betydnngen av avhengghetsområdet llustreres godt gjennom en enkel derenstlnærmelse for lgnngen (2.9). Anta at v vl løse derensallgnngen (2.9) ved hjelp av derenslgnngen v(, t + k) v(, t) k + c v( + h, t) v(, t) h = 0 (2.13) med startkrav v(, 0) = u 0 (). Her er h og k skrttlengde henholdsvs - og t-retnng. Når k 0, går første ledd lgnng (2.13) mot v t, og når h 0, går annet ledd lgnng (2.13) mot v. Med µ = k/h fås v(, t + k) = (1 + µc)v(, t) µc v( + h, t). (2.14) Med nnførng av skftoperatoren E, denert ved Ef() = f( + h), kan dette skrves v(, t + k) = [(1 + µc) µce] v(, t). (2.15) Således blr for t = nk v(, t) = v(, nk) = [(1 + µc) µce] n v(, 0) n ( ) n = (1 + µc) ( µce) n u 0 () =0 n ( ) n = (1 + µc) ( µc) n u 0 ( + (n )h). =0 (2.16)

20 20 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Avhengghetsområdet for punktet (, t) derenslgnngen er altså punktene, + h, + 2h,..., + nh. Punktet ξ = ct utgjør avhengghetsområdet for derensallgnngen. Sden c > 0, lgger ξ kke avhengghetsområdet for derenslgnngen når k, h 0. Courant-Fredrchs-Lewy-krteret (CFLkrteret) ser at grensen k, h 0 må avhengghetsområdet for derenslgnngen nneholde avhengghetsområdet for derensallgnngen. Dersom dette krteret kke er oppfylt, kan v åpenbart kke vente konvergens mot rktg løsnng. Den betraktede metoden (2.13) bryter med CFL-krteret, og v kan her kke vente konvergens. Det er også lett å vse ustabltet for metoden. Anta at startverden tl derenslgnngen er lk u 0 ()±ɛ med vekslende fortegn, og betegn løsnngen av derenslgnngen (2.13) med denne ɛ-forstyrrelsen med v ɛ (, t). Løsnngen uten ɛ-forstyrrelsen betegnes v 0 (, t). Av lgnng (2.16) følger da v ɛ (, t) v 0 (, t) = = n ( n n ( n =0 =0 ) (1 + µc) ( µc) n ( 1) n ɛ ) (1 + µc) (µc) n ɛ = (1 + 2µc) n ɛ e 2µnc ɛ = e 2tc/h ɛ. (2.17) Sden e 2tc/h ɛ når h 0, gr lgnng (2.17) at en lten forstyrrelse startdata vl kunne g en ubegrenset stor fel løsnngen ved tdspunkt t. I lgnng (2.13) ble den romlge derverte tlnærmet med foroverderenser. Hvs v steden hadde brukt bakoverderenser, vlle v fått derenslgnngen dvs v(, t + k) v(, t) k + c v(, t) v( h, t) h = 0, (2.18) v(, t + k) = (1 µc)v(, t) + µc v( h, t) = [ (1 µc) + µce 1] v(, t), (2.19) hvor E 1 f() = f( h). Av lgnng (2.19) følger for t = nk v(, t) = v(, nk) = [ (1 µc) + µce 1] n v(, 0) n ( ) n = (1 µc) ( µce 1) n u0 () =0 n ( ) n = (1 µc) (µc) n u 0 ( (n )h). =0 (2.20) Det numerske avhengghetsområdet for punktet (, t) er altså punktene, h, 2h,..., nh. Her er nh = t/µ. Når k, h 0 for fast µ, går

21 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 21 det numerske avhengghetsområdet mot ntervallet [ t/µ, ]. Ifølge CFLkrteret må v ha ξ = ct [ t/µ, ], (2.21) dvs ct t/µ. CFL-krteret gr således betngelsen µc 1. (2.22) Ulkhet (2.22) kalles Courant-Fredrchs-Lewy-betngelsen (CFL-betngelsen). Den nnebærer at k h/c, dvs det største tllatte tdsskrttet er den tden det tar for bølgen å gå gjennom én gttercelle. For derensmetoden (2.18) kan v lett vse stabltet dersom µc 1. Anta at startverdene har en fel ɛ, hvor ɛ ɛ. Analogt med lgnng (2.17) fås da n ( ) n v ɛ (, t) v 0 (, t) = (1 µc) (µc) n ɛ n, (2.23) og dermed, sden µc 1, =0 v ɛ (, t) v 0 (, t) n =0 ( ) n (1 µc) (µc) n ɛ (1 µc + µc) n ɛ = ɛ. (2.24) Med en lten forstyrrelse startdata forblr altså felen løsnngen begrenset. Metoden er følgelg stabl. Man kan også lett vse konvergens. La w(, t) = v(, t) u(, t), (2.25) hvor u(, t) er løsnng av derensallgnngen (2.9), mens v(, t) er løsnng av derenslgnngen (2.18). På grunn av (2.19) blr w(, t + k) (1 µc)w(, t) µc w( h, t) = u(, t + k) (1 µc)u(, t) µc u( h, t) = u 0 ( ct ck) (1 µc)u 0 ( ct) µc u 0 ( ct h). Ved Taylor-utvklng følger at og (2.26) u 0 ( ct ck) = u 0 ( ct) ck u 0( ct) (ck)2 u 0( ct θ 1 ck) (2.27) u 0 ( ct h) = u 0 ( ct) h u 0( ct) h2 u 0( ct θ 2 h), (2.28) hvor θ (0, 1), = 1, 2. Innsatt lgnng (2.26) fås w(, t + k) (1 µc)w(, t) µc w( h, t) = 1 2 (ck)2 u 0( ct θ 1 ck) 1 2 cµh2 u 0( ct θ 2 h) 1 2 (c2 µ 2 + cµ) sup u 0() h 2 = Kµh 2, (2.29)

22 22 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover hvor K = 1 2 c(cµ + 1) sup u 0 (). Altså blr, sden µc 1, sup w(, t + k) (1 µc) sup w(, t) + µc sup w( h, t) + Kµh 2 = sup w(, t) + Kµh 2, (2.30) og dermed sup w(, nk) sup w(, 0) + Kµnh 2 = Kµ t k h2 = Kth. (2.31) Sden Kth 0 når h 0 for fast µ = k/h, har v vst at felen w(, t) går mot null når CFL-betngelsen (2.22) er oppfylt System av lneære lgnnger Et annet llustrerende eksempel på lgnngene (2.3) er et system av n lneære lgnnger u t + A(, t)u = C(, t)u + d(, t). (2.32) Anta at matrsen A(, t) har egenverdene λ (, t) med tlhørende egenvektorer r (, t), og at egenvektorene utspenner rommet (dvs A er dagonalserbar). Da gjelder Ar = λ r, = 1,..., n, (2.33) og med R = [r 1,..., r n ] og Λ = dag(λ 1,..., λ n ) kan dette skrves Ved å sette A = RΛR 1 nn lgnng (2.32), fås dvs Med densjonen v = R 1 u, fås Innsatt lgnng (2.36) gr dette AR = RΛ. (2.34) u t + RΛR 1 u = Cu + d, (2.35) R 1 u t + ΛR 1 u = R 1 Cu + R 1 d. (2.36) u = Rv, (2.37) u t = Rv t + R t v, (2.38) u = Rv + R v. (2.39) R 1 (Rv t + R t v) + ΛR 1 (Rv + R v) = R 1 CRv + R 1 d, (2.40)

23 2.1 Hyperbolske lgnngssystemer 23 dvs v t + Λv = ( R 1 CR R 1 R t ΛR 1 R ) v + R 1 d, (2.41) som v kan skrve på formen v t + Λv = Ev + f. (2.42) Hver lgnng lgnngssystemet (2.42) uttrykker en retnngsdervert t + λ (2.43) for en lneærkombnasjon av u-komponentene. V ser at det er bare når A er dagonalserbar med reelle egenverder, at v kan omforme lgnngssystemet (2.32) tl et lgnngssystem på formen (2.42). Dette ndkerer hvorfor man må kreve dagonalserbarhet med reelle egenverder for å få et hyperbolsk lgnngssystem. 2.2 Kontnuerlg løsnng av den skalare lgnng V ser her på den skalare lgnngen (2.1) med Cauchy-startkrav Lgnng (2.1) kan skrves på formen u(, 0) = u 0 (). (2.44) u t + f (u)u = 0. (2.45) Karakterstsk hastghet er således f (u), og karakterstkkene er gtt ved d/dt = f (u). Med karakterstkken denert ved = ψ(t) blr ψ (t) = f (u). Langs karakterstkken gjelder dermed du dt = u ψ + u t = u t + f (u)u = 0. (2.46) Herav følger at u er konstant langs karakterstkkene, dvs karakterstkkene er rette lnjer, se gur 2.3. Karakterstkkene kan altså skrves på formen = ξ + f (u)t, (2.47) og løsnngen et vlkårlg punkt (, t) kan uttrykkes ved verden det punkt på -aksen som lgger på den karakterstkken som går gjennom punktet (, t): u(, t) = u 0 (ξ) = u 0 ( f (u)t). (2.48) Hvs mdlertd f (u 0 ( 1 )) > f (u 0 ( 2 )) (2.49)

24 24 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover t (, t) ξ Fgur 2.3: Karakterstkker. for 1 < 2, så vl karakterstkkene gjennom punktene ( 1, 0) og ( 2, 0) skjære hverandre et punkt (, t), og løsnngen blr kke lenger entydg. Et tlsvarende problem gr den mplstte løsnngen (2.48). Ved dervasjon av denne løsnngen fås u t = u [ 0 f (u) + f (u)u t t ], (2.50) u = u [ 0 1 f (u)u t ], (2.51) og dermed u t = u = hvor u 0 = u 0 ( f (u)t). Hvs altså u 0 f (u) 1 + u 0 f (u)t, (2.52) u u 0 f (u)t, (2.53) et punkt ξ på -aksen, så vl d d f (u 0 ) < 0 (2.54) 1 + u 0f (u 0 )t 0 (2.55) for en t > 0, og u t og u blr udenert. V ser således at kkelnearteten f (u) 0 kan utvkle dskontnuerlge løsnnger av glatte startdata. Slke dskontnuteter kalles gassdynamkken støt. Innenfor hyperbolske bevarelseslover benyttes stor grad betegnelser fra gassdynamkken. På engelsk kalles dskontnutetene sjokk, og dette ordet er mye brukt på norsk. 2.3 Dskontnuerlge løsnnger Sden karakterstkkene en kontnuerlg løsnng kan skjære hverandre, er v nødt tl å akseptere dskontnuerlge løsnnger for å oppnå entydghet. For dskontnuerlge løsnnger bryter derensallgnngen sammen, og v er nødt tl

25 2.3 Dskontnuerlge løsnnger 25 t a ξ(t) b Fgur 2.4: Integrasjon over et sprang. å betrakte bevarelsesloven på ntegralform. Ved utlednngen av modellgnngene kapttel 1 så v at derensallgnngen ble utledet fra bevarelsesloven på ntegralform. Ved dskontnuerlge løsnnger må v således gå tlbake tl den opprnnelge formulerngen, som kke bygger på kontnutetsantagelser. Betngelsene for dskontnuerlge løsnnger er de samme for systemer av lgnnger som for skalare lgnnger, og utlednngen av betngelsene er også dentsk. I dette avsnttet betrakter v derfor lgnngene (2.2) stedenfor lgnng (2.1). Utlednngen vl dermed gjelde for skalare lgnnger såvel som for systemer. Integralformen av lgnng (2.2) lyder d dt b a u d + [ f(u) ] b = 0, a, b. (2.56) a Anta at u har en dskontnutet langs kurven = ξ(t) (se gur 2.4), hvor a < ξ(t) < b, men at u ellers er glatt mellom a og b. La Da blr u L = u(ξ(t), t), u R = u(ξ(t)+, t). (2.57) d dt b a u d = d dt = ξ(t) a ξ(t) a u d + d dt b u t d + u L ξ (t) + = ξ (t) (u R u L ) = ξ (t) (u R u L ) u d ξ(t) b ξ(t) ξ(t) a u t d u R ξ (t) f(u) d b ξ(t) f(u L ) + f(u(a, t)) f(u(b, t)) + f(u R ). f(u) d (2.58) Altså blr 0 = d dt b a u d + f(u(b, t)) f(u(a, t)) = f(u R ) f(u L ) ξ (t) (u R u L ), (2.59)

26 26 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover dvs σ (u R u L ) = f(u R ) f(u L ), (2.60) hvor v har betegnet hastgheten tl dskontnuteten med σ = ξ (t). Lgnngene (2.60) kalles Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Det er vktg at sprangbetngelsen anvendes på rktg bevarelsesuttrykk. Se gjen på den skalare lgnngen u t + f(u) = 0. (2.61) La U(u) være en glatt funksjon, og multplser lgnng (2.61) med U (u): U (u)u t + U (u)f (u)u = 0. (2.62) Ved å denere U-strømmen med F (u) = u U (v)f (v) dv, fås U(u) t + F (u) = 0. (2.63) Men når Rankne-Hugonots sprangbetngelse anvendes på lgnng (2.63), fås en annen lgnng enn når den anvendes på (2.61). Derensallgnngene (2.61) og (2.63) er ekvvalente, men sprangbetngelsen bygger på ntegralformulerngen, og ntegralformulerngene er kke ekvvalente. Dette kan llustreres ved å betrakte Burgers-lgnngen u t + ( 1 2 u2) = 0. (2.64) Ved å multplsere lgnng (2.64) med u, fås ( 1 2 u2) t + ( 1 3 u3) = 0. (2.65) Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) anvendt på Burgers-lgnngen gr hastgheten 1 2 σ = u2 R 1 2 u2 L = u R + u L. (2.66) u R u L 2 Når sprangbetngelsen (2.60) anvendes på den avledede lgnngen (2.65), fås Ettersom σ = 1 3 u3 R 1 3 u3 L 1 2 u2 R 1 2 u2 L = u 2 R + u Ru L + u 2 L u R + u L 3 u R + u L 2 u 2 R + u Ru L + u 2 L u R + u L. (2.67) = (u R u L ) 2 6(u R + u L ), (2.68) er hastghetene (2.66) og (2.67) bare lke for u R = u L. For å utlede rktg sprangbetngelse, må man altså vte hvlken størrelse som er bevart. Dette llustreres godt ved å betrakte modellgnngene (1.21) for gruntvannsstrømnng. Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) må anvendes på dsse lgnngene. Hvs man stedenfor annen lgnng (1.21) hadde benyttet den avledede lgnngen (1.25), vlle sprangbetngelsen bltt fel. I gruntvannsstrømnng er det masse og mpuls som blr bevart, kke masse og hastghet.

27 2.4 Løsnng av den skalare lgnng Løsnng av den skalare lgnng I dette avsnttet skal løsnngen av den skalare lgnngen (2.1) drøftes Innledende eksempel V kan belyse teoren fra avsntt 2.3 ved å se på følgende enkle Cauchyproblem med Burgers-lgnngen u t + ( 1 2 u2) = 0, (2.69) 1 for 0, u(, 0) = u 0 () = 1 for 0 1, (2.70) 0 for 1. Startverden er vst gur 2.5. Løsnngen u er konstant på karakterstkkene, og den karakterstske hastghet er d/dt = u = u 0. Med 0 på -aksen blr karakterstkklgnngene 0 + t for 0 0, = 0 + (1 0 )t for 0 0 1, (2.71) 0 for 0 1. Karakterstkkene er vst gur 2.6. For t < 1 skjærer ngen karakterstkker hverandre, slk at løsnngen blr u(, t) = u 0 ( ut) for t < 1. (2.72) Ved å kombnere lgnngene (2.70) og (2.72), fås for [t, 1] lgnngen u = 1 ( ut), dvs u = (1 )/(1 t). Altså blr for t < 1 1 for t, u(, t) = (1 )/(1 t) for t 1, (2.73) 0 for 1. t u Fgur 2.5: Startverd. Fgur 2.6: Karakterstkker og støt.

28 28 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover Karakterstkkene området t 1 møtes punktet (1, 1), mens karakterstkkene for t og for 1 møtes når t 1. V får altså et støt med hastghet 1 2 σ = = (2.74) For t 1 fås derfor løsnngen { 1 for < (t + 1)/2, u(, t) = (2.75) 0 for > (t + 1)/ Dskontnuerlg startverd Startverdene (2.70) er kontnuerlge, men sden v aksepterer dskontnuerlge løsnnger, må v også godta dskontnuerlge startkrav. Konstruksjon av løsnng er da kke lenger lke opplagt. Betrakt for eksempel Burgers-lgnngen (2.69) med startkrav { 0 for < 0, u(, 0) = u 0 () = (2.76) 1 for > 0. Et Remann-problem er et Cauchy-problem hvor startverden bare kan anta to verder, én verd tl venstre for et punkt og en annen verd tl høyre for dette punktet. Oppgaven (2.69) og (2.76) er således et eksempel på et Remann-problem. Den karakterstske hastghet denne oppgaven er som før d/dt = u = u 0. I gur 2.7 er karakterstkkene for de to startverdene 0 og 1 tegnet nn. Tl høyre for t-aksen er et område hvor karakterstkkene kke er bestemt av startverdene. Løsnngen denert ved karakterstkkene kan utvdes tl det ubestemte området på (mnst) to forskjellge måter: 1. Ved å danne en vfte av karakterstkker med utsprng orgo. Løsnngen blr 0 for 0, u 1 (, t) = /t for 0 t, (2.77) 1 for t. t ubestemt Fgur 2.7: Karakterstkker.

29 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 29 u 1 1 t vfte t Fgur 2.8: Løsnngen u 1. Fgur 2.9: Karakterstkker for u 1. u 2 1 t t/2 Fgur 2.10: Løsnngen u 2. Fgur 2.11: Karakterstkker og dskontnutet for u 2. Løsnngsforslaget (2.77) er vst gur 2.8. De tlhørende karakterstkkene er vst gur Ved å legge en dskontnutet som tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse, gjennom orgo, og la løsnngene være konstante på hver sde av dskontnuteten. Løsnngen blr { 0 for < t/2, u 2 (, t) = (2.78) 1 for > t/2. Løsnngsforslaget (2.78) er vst gur 2.10, og tlhørende karakterstkker og dskontnutet er vst gur Det er lett å versere at u 2 (, t) som gtt ved (2.78), tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse. I gassdynamkken kalles vfteløsnngen /t u 1 (, t) en fortynnngsbølge. I en slk gassdynamsk bølge avtar tettheten. Her skal begrepet fortynnngsbølge benyttes for en bølge med sprkende karakterstkker. I analog med dette kaller matematkere dskontnuteten u 2 (, t) et fortynnngsstøt. Hvs man glatter ut startverden (2.76), f.eks. ved 0 for 0, u 0 () = /ɛ for 0 ɛ, (2.79) 1 for ɛ,

30 30 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover u 0 1 t ɛ ɛ Fgur 2.12: Startverden u 0. Fgur 2.13: Karakterstkker for u ɛ. fås karakterstkkene 0 for 0, = t/ɛ for 0 ɛ + t, 0 + t for ɛ + t. (2.80) Startverden (2.79) og karakterstkkene (2.80) er vst gurene 2.12 og Løsnngen blr 0 for 0, u ɛ (, t) = /(ɛ + t) for 0 ɛ + t, (2.81) 1 for ɛ + t. Når ɛ 0 lgnng (2.81), går u ɛ mot u 1, og v slutter dermed at løsnngen u 1 (2.77) er rktg, og u 2 (2.78) er fel. Startverdene (2.76) gr en fortynnngsbølge. Fortynnngsstøtet var bare en matematsk konstruksjon Fluksfunksjon med vendepunkt Burgers-lgnngen som ble benyttet eksemplene de to foregående avsnttene, nneholder uksfunksjonen f(u) = 1 2 u2. Denne har den egenskap at f (u) > 0. For oppgaver hvor uksfunksjonen har vendepunkt, altså f (u) = 0, kan bestemmelsen av rktg løsnng bl vanskelgere. f 1 u 0 u F 1 Fgur 2.14: Fluksfunksjon.

31 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 31 u t 1 Fgur 2.15: Løsnngsforslag (2.83). Fgur 2.16: Karakterstkker. Betrakt derensallgnngen (2.1) med Remann-startkrav u(, 0) = u 0 () = { 1 for < 0, 0 for > 0, (2.82) og anta at f(u) har en form som vst gur Fluksfunksjonen har et vendepunkt, slk at den karakterstske hastghet f (u) først er voksende og dernest avtagende. Det nnes et punkt u F, slk at en lnje gjennom orgo tangerer f(u) u F. Vdere er f(0) = 0, f(1) = 1 og f (0) = f (1) = 0. På grunn av startkravet (2.82) er karakterstkkene gtt ved = 0, hvor 0 lgger på -aksen. Et forslag tl løsnng er derfor u(, t) = u 0 () = { 1 for < 0, 0 for > 0. (2.83) Løsnngsforslaget (2.83) med karakterstkker er vst gurene 2.15 og Imdlertd tlfredsstller forslaget (2.83) kke Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). Sprangbetngelsen gr støthastgheten σ = f(0) f(1) 0 1 = 1, (2.84) mens dskontnuteten (2.83) står ro. Løsnngsforslaget (2.83) må derfor forkastes. En løsnng som tlfredsstller sprangbetngelsen må ha postv støthastghet σ, men det er ere mulgheter: 1. Løsnngen u 1 (, t) = { 1 for < t, 0 for > t (2.85) tlfredsstller åpenbart Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Denne løsnngen kalles stempelfortrengnngsløsnngen. Bølgen beveger seg som et stempel med hastghet lk 1. Løsnngsforslaget (2.85) er vst gur 2.17, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur 2.18.

32 32 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover u 1 1 t t Fgur 2.17: Løsnngen u 1. Fgur 2.18: Karakterstkker og støt for u 1. u 2 t 1 u F σt Fgur 2.19: Løsnngen u 2. Fgur 2.20: Karakterstkker og støt for u En annen mulghet fås ved å danne et støt med hastghet σ = f(0) f(u F ) 0 u F = f(u F ) u F = f (u F ) > 1, (2.86) og la løsnngen bak støtet området 0 < σt være gtt ved vfteløsnngen f (u) = /t for u [u F, 1]. Løsnngen blr altså gtt mplstt ved u 2 (, t) = 1 for < 0, f (u 2 (, t)) = /t for 0 < σt, (2.87) u 2 (, t) = 0 for > σt. Løsnngsforslaget (2.87) er vst gur 2.19, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur For å bestemme hvlken løsnng som er den rktge, kan man, som avsntt 2.4.2, glatte startverden. Imdlertd vl karakterstkkene tl denne glattede startverden straks skjære hverandre for u-verdene rundt vendepunktet, og det er kke enkelt å se hvordan grenseløsnngen utvkler seg. Løsnngsforslaget (2.85) vrker mdlertd urmelg sden den karakterstske hastgheten umddelbart bak stempelet er mndre enn stempelets hastghet. Dette ndkerer at det er løsnng (2.87) som er den rktge. I reservoarteknkken kalles denne løsnngen Welges løsnng.

33 2.4 Løsnng av den skalare lgnng 33 Hvs v stedenfor uksfunksjonen vst gur 2.14 hadde benyttet en av uksfunksjonene som er vst gurene 1.6 eller 1.7, vlle det vært enda vanskelgere å bestemme den rktge løsnngen. 2.5 Entropbetngelsen I avsntt 2.4 konstruerte v løsnnger tl ulke startverdoppgaver ved hjelp av de karakterstske egenskaper utledet avsntt 2.2 og Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60). I tllegg måtte v benytte enkelte rmelghetsbetraktnnger for å avgjøre hva som var rktg løsnng. I dette avsnttet skal v utlede et krterum som sammen med de karakterstske egenskaper og sprangbetngelsen entydg bestemmer den korrekte løsnngen. For å oppnå entydghet ser v på en annenordens derensallgnng på formen u t + f(u) = ɛg(u), (2.88) hvor ɛ er en postv parameter som v skal la gå mot null. Her er g(u) = (g (u)u ). For at denne lgnngen skal g en utbredelse av u for voksende t, må v kreve at g (u) 0. Modellgnngen (1.67) har formen (2.88). Man kan regne at alle førsteordens hyperbolske lgnnger er fremkommet ved å neglsjere et annenordensledd, men det er kke alltd lett å vse hvordan dette annenordensleddet ser ut. Enda vanskelgere er det å nne en multplkatv parameter ɛ som kan gå mot null. Fra lgnng (2.88) kan man nne derensallgnnger for avledede størrelser. V har tdlgere drøftet dette under modellgnngene. Således vser lgnngene (1.16) og (1.44) at for gruntvannsstrømnng kan lgnngen for den mekanske energ stlles opp ved å kombnere lgnngene for masse- og mpulsbevarelse (lgnngene (1.21) eller (1.45)). V skal derfor multplsere lgnng (2.88) med den derverte av en funksjon η(u). V skal kreve at η(u) er en konveks funksjon, dvs η (u) 0. (2.89) En funksjon som tlfredsstller ulkhet (2.89), kalles en entropfunksjon. En entropfunksjon η(u) vl aldr være den fysske entropen, men den vl være relatert tl entropen ved at når η avtar, så øker den fysske entropen. I mange strømnngsoppgaver vl η være en energ som forødes gjennom frksjon, varmelednng eller blandng, altså entropøkende prosesser. Ved å multplsere lgnng (2.88) med η (u), fremkommer lgnngen η (u)u t + η (u)f(u) = ɛη (u)g(u). (2.90) Dener ψ(u) = u η (v)f (v) dv. Lgnngen for entropfunksjonen η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = ɛη (u)g(u). (2.91)

34 34 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover I områder hvor u er glatt, kan v la ɛ gå mot null lgnng (2.91). Derensallgnngen for η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = 0. (2.92) I områder hvor u kke er glatt, kan v mdlertd kke uten vdere anta at høyresden lgnng (2.91) er lten. For å drøfte hva som skjer med entropfunksjonen slke områder, må man, som avsntt 2.3, betrakte den tlhørende ntegrallgnng b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d = ɛ [ η ] b b (u)g(u) a ɛ η (u)g (u)u 2 d. a (2.93) La nå ɛ 0, og anta at u forblr glatt a og b. Første ledd på høyresden lgnng (2.93) vl da gå mot null. For ntegranden annet ledd gjelder η (u)g (u)u 2 0, (2.94) og hvs u får en dskontnutet mellom a og b når ɛ 0, kan v kke anta at annet ledd går mot null. Dermed blr når ɛ 0, d dt b a η(u) d + [ ψ(u) ] b a 0 (2.95) for alle a og b som kke lgger på en dskontnutet for u. Dersom ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b, reduserer ulkheten seg tl en lkhet. Ulkhet (2.95) skal benyttes tl å utlede et entydghetskrterum for dskontnuerlge løsnnger av bevarelsesloven (2.1). Dersom uksfunksjonen er konveks, f (u) > 0, er det tlstrekkelg for å oppnå entydghet at ulkhet (2.95) benyttes for én entropfunksjon η(u). Dersom uksfunksjonen har ett eller ere vendepunkt, f (u) = 0, må ulkhet (2.95) benyttes for en hel funksjonsklasse for å oppnå entydghet. Kruºkovs entropfunksjon er denert ved η(u) = u c (2.96) for en konstant c. Funksjonen har et knekkpunkt c, slk at den annenderverte kke ekssterer der. Men funksjonen er konveks med konveksteten konsentrert ett punkt, nemlg punktet c (se gur 2.21). Denne egenskapen er speselt nyttg drøftelsene nedenfor. På grunn av knekkpunktet c gjelder kke delvsntegasjonen (2.93) uten vdere for Kruºkovs entropfunksjon (2.96). I det følgende skal det vses at den lkevel tlfredsstller ulkhet (2.95).

35 2.5 Entropbetngelsen 35 η γ c u c u Fgur 2.21: Kruºkovs entropfunksjon. Fgur 2.22: Funksjonen γ(u). Den derverte av Kruºkovs entropfunksjon er For entropstrømmen ψ(u) fås uttrykket η (u) = sgn(u c). (2.97) ψ(u) = u η (v)f (v) dv = sgn(u c) (f(u) f(c) ). (2.98) Man kan komme utenom delvsntegrasjonen (2.93) ved å denere γ(u) = g(u) g(c) = sgn(u c) (g(u) g(c) ), (2.99) hvor det er gjort bruk av at g (u) 0. Den derverte er γ (u) = η (u) g (u) = sgn(u c) g (u), (2.100) slk at γ (c+) = g (c) 0, γ (c ) = g( c) = γ (c+) 0. (2.101) Vdere er γ(u) = γ (u)u = sgn(u c) g (u)u = sgn(u c) g(u). (2.102) Funksjonen (2.102) er kke derverbar u = c, men for u c er γ(u) = sgn(u c) g(u). (2.103) Som ovenfor ntegrerer v (2.91) mellom to punkter a og b, men nå med Kruºkovs entropfunksjon (2.96). V skal anta at u c punktene a og b. La ξ være alle punkter mellom a og b hvor u = c. Av (2.101) og (2.102) følger da γ(u) ξ + 0, γ(u) ξ 0. (2.104)

36 36 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover For å forenkle fremstllngen skal v dessuten benytte skrvemåten ξ mn = a og ξ ma = b. Integrasjon (2.91) gr b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d ξ+1 = ɛ sgn(u c) g(u) d ξ = ɛ [ ] ξ+1 γ(u) ξ ( [γ(u) ] b = ɛ a 2 ) γ(u), u=c (2.105) hvor det sste overgang er gjort bruk av (2.104). La nå ɛ 0, og anta at u forblr glatt a og b. Første ledd på høyresden (2.105) vl da forsvnne. Hvs u får en dskontnutet c når ɛ 0, kan annet ledd på høyresden lgnng (2.105) bl stort. Ved å la ɛ 0, fås følgelg ulkhet (2.95) for Kruºkovs entropfunksjon (2.96). Som ovenfor reduseres ulkheten tl en lkhet hvs ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b. I avsntt 2.3 ble lgnng (2.56) benyttet tl å utlede Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Ulkhet (2.95) kan på samme måte benyttes tl å vse hva som skjer med entropen over en dskontnutet. Anta altså at u har en dskontnutet langs kurven = ξ(t), hvor a < ξ(t) < b (se gur 2.4), men at u ellers er glatt mellom a og b. La Som lgnng (2.58) fås da d dt b a = d dt = Altså blr η(u) d ξ(t) a ξ(t) a u L = u(ξ(t), t), u R = u(ξ(t)+, t). (2.106) η(u) d + d dt b ξ(t) η t (u) d + η(u L )ξ (t) + = ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ) η(u) d b ξ(t) ξ(t) a η t (u) d η(u R )ξ (t) ψ(u) d b ξ(t) ψ(u) d = ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ) ψ(u L ) + ψ(u(a, t)) ψ(u(b, t)) + ψ(u R ). (2.107) 0 d dt b a η(u) d + ψ(u(b, t)) ψ(u(a, t)) = ψ(u R ) ψ(u L ) ξ (t) ( η(u R ) η(u L ) ), (2.108)

37 2.5 Entropbetngelsen 37 dvs ψ(u R ) ψ(u L ) σ ( η(u R ) η(u L ) ) 0, (2.109) hvor v, som avsntt 2.3, har betegnet hastgheten tl dskontnuteten med σ = ξ (t). Ulkhet (2.109) gjelder selvfølgelg for Kruºkovs entropfunksjoner såvel som for glatte entropfunksjoner. Ved å anvende den på Kruºkovs entropfunksjon, fremkommer en meget nyttg betngelse. Anta først at u L < c < u R. Av densjonene (2.96) og (2.98) følger Innsatt ulkhet (2.109) fås η(u R ) η(u L ) = u R + u L 2c, (2.110) ψ(u R ) ψ(u L ) = f(u R ) + f(u L ) 2f(c). (2.111) f(u R ) + f(u L ) 2f(c) σ(u R + u L 2c) 0. (2.112) Ifølge Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) er f(u L ) = f(u R ) σ(u R u L ). (2.113) Innsatt ulkhet (2.112) fremkommer ulkheten f(u R ) f(c) σ(u R c) 0. (2.114) Hvs steden u R < c < u L, følger av densjonene (2.96) og (2.98) at Innsatt ulkhet (2.109) fås η(u R ) η(u L ) = 2c u R u L, (2.115) ψ(u R ) ψ(u L ) = 2f(c) f(u R ) f(u L ). (2.116) 2f(c) f(u R ) f(u L ) σ(2c u R u L ) 0. (2.117) Ved å sette (2.113) nn ulkhet (2.117), fremkommer f(c) f(u R ) σ(c u R ) 0. (2.118) Sden u R c > 0 ulkhet (2.114) og c u R > 0 ulkhet (2.118), kan dsse ulkhetene sammenfattes tl f(u R ) f(u) u R u σ, (2.119) hvor v har skrevet u for c. Med bruk av Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) lyder ulkhet (2.119): f(u R ) f(u) u R u f(u R) f(u L ) u R u L, u mellom u L og u R. (2.120)

38 38 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover f(u) f(u) u L u u R u u R u u L u Fgur 2.23: Fluksfunksjon med tllatt støtkorde. Fgur 2.24: Fluksfunksjon med tllatt støtkorde. Ulkhet (2.120) kalles Olejnks entropbetngelse. Den bestemmer entydg hvlke dskontnuteter som er tllatt, og hvlke som må forkastes. Olejnks entropbetngelse har en enkel geometrsk fortolknng. For et støt med venstretlstand u L og høyretlstand u R er støthastgheten σ lk stgnngen tl sekanten gjennom punktene (u L, f(u L )) og (u R, f(u R )) uf-dagrammet, se gur Entropulkheten (2.120) ser at stgnngen tl en sekant gjennom punktet (u R, f(u R )) og et vlkårlg punkt (u, f(u)), hvor u lgger mellom u L og u R, skal være mndre enn støthastgheten σ. Herav følger at en støtsekant aldr kan skjære uksfunksjonen mellom u L og u R. Støtsekantens lnjestykke mellom (u L, f(u L )) og (u R, f(u R )) kalles støtkorden. Når u L < u R, må støtkorden lgge under uksfunksjonen, mens når u R < u L, må støtkorden lgge over uksfunksjonen (se gurene 2.23 og 2.24). For fortynnngsstøtløsnngen (2.78) avsntt er u L < u R, og støtkorden lgger over uksfunksjonen uf-dagrammet. Fortynnngsstøtet tlfredsstller derfor kke Olejnks entropbetngelse, og er således kke tllatt. Fortynnngsstøt ekssterer kke. For stempelfortrengnngsløsnngen (2.85) avsntt skjærer støtsekanten uksfunksjonen mellom u L og u R. Stempelfortrengnngsstøtet tlfredsstller derfor kke Olejnks entropbetngelse, og er dermed kke tllatt. Dermot tlfredsstller støtet Welges løsnng (2.86) (se gur 2.14) Olejnks entropbetngelse. Welges løsnng er den eneste mulge løsnng av Remann-problemet avsntt Ulkhet (2.119) kan selvfølgelg omformes tl en ulkhet hvor venstretlstanden nngår. Av (2.113) følger at f(u R ) = f(u L ) + σ(u R u L ). Innsatt ulkhet (2.119) fås f(u R ) f(u) u R u = f(u L) f(u) + σ(u R u + u u L ) u R u σ, (2.121) dvs f(u L ) f(u) σ u L u u R u u R u. (2.122) Ved dvsjon med brøken på høyresden fremkommer f(u L ) f(u) u L u σ (2.123)

39 2.5 Entropbetngelsen 39 t t Fgur 2.25: Karakterstkkene løper nn mot støtet (tllatt). Fgur 2.26: Karakterstkkene løper ut fra støtet (kke tllatt). for alle u mellom u L og u R. Ved å la u gå mot u R ulkhet (2.119) og mot u L ulkhet (2.123), fås betngelsen f (u R ) σ f (u L ). (2.124) Ulkhet (2.124) er svakere enn Olejnks entropbetngelse ford den bare ser noe om egenskapene tl uksfunksjonen u L og u R, men ngentng om egenskapene for mellomlggende tlstander. Den peker mdlertd på en vktg egenskap ved karakterstkkene langs et støt. For voksende t må karakterstkkene løpe nn mot eller være parallelle med støtet, se gur De kan aldr løpe ut fra et støt, se gur Det er hensktsmessg å oppsummere det v har vst ovenfor. For Cauchyproblemet u t + f(u) = 0 for t > 0, (2.125) u(, 0) = u 0 () (2.126) har v vst at løsnngen langs karakterstkkene er gtt ved lgnng (2.48). Eventuelle dskontnuteter tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) og Olejnks entropbetngelse (2.120). Dette karakterserer løsnngen entydg. Eksstens og entydghet, som kke skal vses her, vses vanlgvs ved å omforme startverdproblemet (2.125) og (2.126). Man nnfører en testfunksjon φ C0 1 med kompakt støtte øvre halvplan av t-planet. Ved å multplsere lgnng (2.125) med testfunksjonen og ntegrere delvs, fås [u t + f(u) ] φ d dt = u 0 φ d [uφ t + f(u)φ ] d dt. (2.127) t>0 Følgelg må t>0 t=0 t=0 t>0 [uφ t + f(u)φ ] d dt + u 0 φ d = 0, φ C0. 1 (2.128)

40 40 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover En begrenset, målbar funksjon u(, t) som tlfredsstller (2.128), kalles en svak løsnng. På grunn av ntegralformulerngen vl svake løsnnger alltd tlfredsstlle Rankne-Hugonots sprangbetngelse. Eksstens og entydghet for svake løsnnger som tlfredsstller Olejnks entropbetngelse, kan vses dersom f C Remann-problemet Av alle startverdproblemer for hyperbolske lgnnger har Remann-problemet, gtt ved u t + f(u) = 0 for t > 0, (2.129) { u L for < 0, u(, 0) = (2.130) u R for > 0, særlg nteresse. Løsnngen av dette problemet gr betydelg forståelse for dfferensallgnngens egenskaper, og samtdg er kjennskap tl Remann-problemets løsnng nyttg når lgnngen skal løses numersk for et vlkårlg Cauchyproblem. Løsnngen av Remann-problemet er karaktersert ved bølger som løper ut fra orgo med hastghet /t. V kan følgelg benytte ansatsen u = u(/t). Med ζ = /t blr u t = u ζ /t 2 = ζu ζ /t, (2.131) u = u ζ /t. (2.132) Dermed blr u t +f(u) = ( ζ + f (u)) (u ζ /t), og oppgaven (2.129) og (2.130) reduserer seg tl den vanlge derensallgnngen med randkrav (f (u) ζ)u ζ = 0 (2.133) u( ) = u L, u( ) = u R. (2.134) I enkelte områder kan første faktor derensallgnngen (2.133) forsvnne, og andre områder kan annen faktor forsvnne. Dette ses å g en løsnng med ulke bølgetyper. I tllegg må dskontnuteter påregnes. Løsnngen av Remann-problemet må derfor være satt sammen av følgende bølgetyper: 1. Konstant tlstand. Dette er en løsnng hvor u ζ 0, dvs u(ζ) = u(/t) = konstant. 2. Fortynnngsbølge. Dette er en løsnng hvor f (u) = ζ = /t. Karakterstkkene sprker, slk at de danner en vfte.

41 2.6 Remann-problemet 41 f(u) f(u) u L u R u u R u L u Fgur 2.27: Fluksfunksjon med konvekst hylster. Fgur 2.28: Fluksfunksjon med konkavt hylster. 3. Støt (sjokk). Dette er en dskontnutetslnje = ζt som tlfredsstller Rankne-Hugonots sprangbetngelse og Olejnks entropbetngelse med ekte ulkhet ζ = t = f(u r) f(u l ) u r u l (2.135) f(u r ) f(u) u r u < f(u r) f(u l ) u r u l, u mellom u l og u r. (2.136) Her er u l og u r verdene tl u på henholdsvs venstre og høyre sde av støtet. 4. Kontaktdskontnutet. Dette er en bølge av samme type som en støtbølge, men med lkhet Olejnks entropbetngelse. Fortynnngsbølger, støt og kontaktdskontnuteter kalles elementærbølger. Både karakterstsk hastghet, støthastghet og kontaktdskontnutetshastghet er gtt ved ζ = /t. For økende ζ, dvs når man går fra venstre mot høyre t-planet, må derfor karakterstsk hastghet øke nnenfor en fortynnngsbølge, og påfølgende elementærbølger må ha økende hastghet. De forekommende elementærbølgene bestemmes enklest ved å betrakte uksfunksjonen mellom u L og u R. Karakterstsk hastghet er f (u), og støthastghet er stgnngen tl støtkorden. Støtkorden må lgge under uksfunksjonen hvs u L < u R, og over uksfunksjonen hvs u R < u L. Hvs u L < u R, må derfor elementærbølgene være bestemt ved det konvekse hylsteret for uksfunksjonen ntervallet [u L, u R ] (dvs den største konvekse funksjonen som lgger under f(u) for u [u L, u R ]), se gur Tlsvarende hvs u R < u L, så er elementærbølgene bestemt ved det konkave hylsteret for uksfunksjonen ntervallet [u R, u L ] (dvs den mnste konkave funksjonen som lgger over f(u) for u [u R, u L ]), se gur Der hvor hylsteret følger uksfunksjonen, og denne er kkelneær, har man en fortynnngsbølge. Der hvor hylsteret følger uksfunksjonen, og denne er lneær, har man en

42 42 2 Skalare hyperbolske bevarelseslover f(u) u u R u F 1 u F 2 u L Fgur 2.29: Fluksfunksjon med støtkorder. u L u t u F 2 σ 2 t σ 1 t u F 1 Fgur 2.30: Løsnng bestående av to støt og en fortynnngsbølge. Fgur 2.31: Tlhørende karakterstkker og støt. kontaktdskontnutet. Der hvor hylsteret utgjør en korde, er løsnngen et støt. Hvs en fortynnngsbølge og et støt er naboer, må støtkorden tangere uksfunksjonen, slk at støthastgheten blr lk karakterstsk hastghet tangerngspunktet. Ovenstående løsnngsteknkk belyses best ved et eksempel. Betrakt uksfunksjonen vst gur Denne er hentet fra Buckley-Leveretts lgnng for det tlfellet at vann fortrenger olje ovenfra. Fluksfunksjonen har to vendepunkt. La u L og u R lgge som vst guren. Sden u L > u R, blr løsnngen tl Remann-problemet (2.129) og (2.130) bestemt av det konkave hylsteret tl f(u) ntervallet [u R, u L ]. Løsnngen har to støtbølger, et hurtg støt postv retnng med hastghet σ 1 = f(u R) f(u F 1 ) u R u F 1 = f (u F 1 ), (2.137) og et langsomt støt negatv retnng med hastghet σ 2 = f(u F 2) f(u L ) u F 2 u L = f (u F 2 ). (2.138) Mellom støtbølgene er en fortynnngsbølge bestemt ved f (u) = /t. Løsnngen er vst gur 2.30, og tlhørende karakterstkker og støt er vst gur For < σ 2 t er løsnngen den konstante tlstanden u L, mens for > σ 1 t er løsnngen den konstante tlstanden u R.

43 Kapttel 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover I dette kapttelet skal v se på lgnngssystemer av typen u t + f(u) = 0. (3.1) Generelt vl u og f være n-vektorer. V skal anta at Jacob-matrsen f (u) bare har reelle egenverder, og at egenvektorene utspenner rommet. I almnnelghet vl v også kreve at de karakterstske retnngene er forskjellge, slk at egenverdene må være forskjellge. Lgnngssystemet (3.1) er dermed hyperbolsk. 3.1 System av kvaslneære lgnnger V åpner dette kapttelet med å drøfte et lgnngssystem på en ltt mer generell form enn lgnng (3.1). I avsntt 2.1 denerte v karakterstkker for lgnngssystemet u t + A(u,, t)u = h(u,, t). (3.2) Karakterstkkene er lnjene gtt ved d dt = λ (u,, t), (3.3) hvor λ er en egenverd for matrsen A. Egenverdene λ er karakterstske hastgheter for lgnngen. Tlsvarende utlednngen avsntt kan v omforme de kvaslneære lgnngene (3.2) ved å transformere lgnngene med egenvektormatrsen. Med R = [r 1,..., r n ] og Λ = dag(λ 1,..., λ n ) er egenvektorene gtt ved lgnngene AR = RΛ. (3.4) 43

44 44 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover t Fgur 3.1: Karakterstkkgtter. Sden egenvektorene utspenner rommet, er R nverterbar, og v kan multplsere foran og bak med R 1. Dette gr R 1 A = ΛR 1, dvs man får det tlhørende egenproblemet LA = ΛL, (3.5) hvor L = R 1. Med L = l T 1. (3.6) l T n nneholder egenproblemet (3.5) n lgnngssystemer av formen l T A = λ l T. (3.7) For å sklle løsnngene av egenproblemene (3.4) og (3.5), kalles vektoren r en høyreegenvektor tlhørende egenverden λ, mens vektoren l kalles en venstreegenvektor tlhørende den samme egenverden. Sden L = R 1, er l j r = 0 for j. Hvs v nå, som avsntt 2.1.2, multplserer lgnngssystemet (3.2) foran med L(u,, t), fås Lu t + LAu = Lh, dvs Lu t + ΛLu = Lh. (3.8) Sden L avhenger av u, har det ngen henskt å nnføre varabelen Lu, slk som avsntt En enkel omformng vser lkevel en beslektet struktur med lgnng (2.42). Den -te lgnngen lgnngssystemet (3.8) lyder l T u t + λ l T u = l T h, dvs l T (u t + λ u ) = l T h. (3.9) Denne lgnngen uttrykker projeksjonen av den retnngsderverte ( ) t + λ u, (3.10) på vektoren l. V ser således at som det skalare tlfellet forplantes nformasjonen langs karakterstkkene. Men sden nformasjonen her forplantes langs n karakterstkker, blr løsnngen et punkt (, t) nå bestemt av startverdene på det

45 3.1 System av kvaslneære lgnnger 45 t C C + (, t) t C C + (, 0) Fgur 3.2: Avhengghetsområdet (tykk strek) på -aksen for et punkt (, t). Fgur 3.3: Innytelsesområdet (skravert) for et punkt (, 0). ntervallet av -aksen som er avgrenset av alle de n karakterstkker som går gjennom punktet (, t). Dette ntervallet utgjør således avhengghetsområdet på -aksen for punktet (, t). Løsnngen u(, t) er kun avhengg av startverdene dette ntervallet. Tlsvarende blr nnytelsesområdet for et punkt (, 0) det området t-planet som er avgrenset av alle de n karakterstkker som går gjennom punktet (, 0). Avhengghetsområdet og nnytelsesområdet belyses enklest ved å se på karakterstkkene for et system av to lgnnger. Betegn de to egenverdene λ og λ +. De tlhørende karakterstkker betegnes C : d dt = λ og C + : d dt = λ +. (3.11) Lgnngene (3.9) gr her to lgnnger tl bestemmelse av de retnngsderverte langs henholdsvs C og C +. Ved å erstatte dsse retnngsderverte med dfferenser, kan man bestemme en dskret løsnng et punkt (, t) ut fra kjente verder punkter på de to karakterstkkene gjennom (, t). Ved å lage et gtter av karakterstkkene, som gur 3.1, kan løsnngen dermed bestemmes ut fra startverdene karakterstkkgtteret. Ved å forne gtteret vl den dskrete løsnngen gå mot den kontnuerlge løsnngen, og løsnngen vl bare avhenge av startverdene det ntervallet på -aksen som er avgrenset av C + - og C -karakterstkkene gjennom punktet (, t), se gur 3.2. Åpenbart krever denne grenseovergangen et bevs, hvlket v kke skal komme nn på her. Tlsvarende sees at nnytelsesområdet for et punkt (, 0) på -aksen er det området t-planet som avgrenses av C - og C + -karakterstkkene gjennom (, 0), se gur Reduserbart system Lgnngssystemet (3.2) kalles reduserbart dersom det består av to lgnnger, A bare er en funksjon av u, og høyresden h forsvnner. I dette avsnttet skal v behandle slke par av hyperbolske lgnnger. V skal skrve systemet på en ltt mer generell form, det v vl tllate en matrse B(u) som faktor

46 46 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover også foran første ledd lgnngen. Vdere er det her hensktsmessg å oppfatte de uavhengge varable og t som første og annen komponent av vektoren = [ 1, 2 ] T. Vårt reduserbare lgnngssystem har altså formen B(u)u 2 + A(u)u 1 = 0, (3.12) hvor u har dmensjon 2. Et redusertbart system, som altså er kvaslneært, har den egenskap at det kan omformes tl et lneært lgnngssystem ved å bytte avhengge og uavhengge varable. Denne transformasjonen er bare mulg sden u har samme dmensjon som vektoren. Jacob-matrsen tl avbldnngen u() lyder u 1 u 1 J = du d = 1 2 u 2 u 2. (3.13) 1 2 Dersom Jacob-determnanten j = det J = u 1 1 u 2 2 u 2 1 u 1 2 0, (3.14) så er den nverse av (3.13) lk u 2 J 1 = 1 u j u 2 u 1. (3.15) 1 1 Under samme betngelse kan uttrykkes som funksjon av u med tlhørende Jacob-matrse 1 1 J 1 = d du = u 1 u (3.16) u 1 u 2 Det følger at u 2 u u 2 u 1 = j u 1 u (3.17) 1 1 u 1 u 2 Innsatt lgnngssystemet (3.12) fås j 1 B u 2 j + A 1 u 1 j 2 u 2 j 2 u 1 = 0. (3.18)

47 3.2 Reduserbart system 47 Sden lgnngssystemet er homogent, kan v forkorte med j = det J. Med A = {a j } og B = {b j } gr en omformng [ b11 a 11 b 21 a 21 ] u2 + [ b12 a 12 b 22 a 22 ] u1 = 0. (3.19) Ovenstående omformng av lgnngssystemet (3.12) tl systemet (3.19) kalles en hodograftransformasjon. Sden koesentene a j og b j er funksjoner av u alene, er lgnngssystemet (3.19) lneært. Lgnngene har derfor karakterstkker u-rommet Γ : du 1 du 2 = µ (u) (3.20) som er funksjoner av u alene. Følgelg nnes det funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene. Sden karakterstkkene Γ u-rommet avbldes på karakterstkkene C -rommet, er de samme funksjoner konstante på karakterstkkene -rommet. For reduserbare lgnngssystemer nnes det altså funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene. Slke funksjoner kalles Remannske nvaranter. 3.3 Remannske nvaranter I dette avsnttet skal v se på lgnngssystemet (3.1) for n = 2. Systemet er da reduserbart, slk at v, følge avsntt 3.2, kan nne funksjoner w (u) som er konstante langs karakterstkkene d/dt = λ (u). For den homogene lgnngen (3.1) lyder lgnng (3.9) l T u t + λ l T u = 0, (3.21) hvor λ (u) er en egenverd tl matrsen f (u), og l (u) er den tlhørende venstreegenvektoren. Hvs w (u) er en funksjon som tlfredsstller [ w (u) w =, w ] = µ l T, (3.22) u 1 u 2 hvor µ (u) er en parameter, så følger av lgnng (3.21) at w (u) tlfredsstller lgnngen w (u)u t + λ w (u)u = 0, (3.23) dvs ( ) t + λ w (u) = 0. (3.24) Funksjonen w (u) er altså da konstant langs karakterstkken d/dt = λ (u), og følgelg en Remannsk nvarant. Langs karakterstkken gjelder: dw = µ l T du = 0. (3.25)

48 48 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng I dette avsnttet ser v på lgnngene (1.21) som beskrver endmensjonal gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag uten frksjon: h t + (hu) = 0, (hu) t + ( hu gh2) = 0. (3.26) Når dsse lgnngene skrves på formen (3.1), blr vektorfunksjonen f(u) gtt ved (1.24): [ ] u 2 hu f(u) = hu = 2 gh2 u gu2, (3.27) 1 u 1 2 hvor u = [u 1, u 2 ] T = [h, hu] T. Den derverte av vektorfunksjonen f(u) er f 1 f [ ] f (u) = u 1 u 2 f 2 f 2 = gu 1 u2 2 u u 1 u 2 2 u = gh u 2. (3.28) 2u 1 u 1 2 Matrsen (3.28) har egenverdene λ 1 = u gh, λ 2 = u + gh. (3.29) De tlhørende høyreegenvektorene er [ ] [ ] 1 r 1 = u 1, r gh 2 = u +, (3.30) gh og tlsvarende fås for venstreegenvektorene l 1 = 1 [ ] u gh, l h 1 2 = 1 [ ] u + gh. (3.31) h 1 Bemerk at l r j = 0 for j. V har her valgt å normere venstreegenvektorene slk at de Remannske nvarantene w (u) som bestemmes av lgnng (3.22), tlfredsstller w (u) = l (u) T (dvs parameteren µ (u) kan sløyfes). De Remannske nvarantene blr w 1 = u 2 u 1 2 gu 1 = u 2 gh, w 2 = u 2 u gu 1 = u + 2 gh. (3.32) Dersom man hadde benyttet den avledede lgnngen (1.25) stedenfor annen lgnng (3.26), vlle man fått de samme egenverder og Remannske nvaranter. Det er åpenbart, sden karakterstsk hastghet og nvaranter langs karakterstkkene må forbl uberørt av denne omformngen. Egenvektorene vlle mdlertd bltt annerledes.

49 3.3 Remannske nvaranter 49 t u 2 gh = konstant d/dt = u gh u + 2 gh = konstant d/dt = u + gh Fgur 3.4: Karakterstkker og Remannske nvaranter for gruntvannsstrømnng Eksempel 2: Stasjonær gruntvannsstrømnng Lgnngene for stasjonær, hvrvelfr gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag er, følge (1.45), gtt ved Lgnng (3.33) gr Lgnng (3.34) forenkles tl dv(hq) = 0, (3.33) q dv(hq) + h grad ( 1 2 q2) + grad ( 1 2 gh2) = 0. (3.34) q grad h = h dv q. (3.35) grad ( 1 2 q2 + gh ) = 0, (3.36) Ved å multplsere lgnng (3.36) med q, og dernest sette nn uttrykk (3.35), fås q grad ( 1 2 q2) c 2 dv q = 0, (3.37) hvor c = gh kalles krtsk hastghet. V skal formulere lgnng (3.37) kartesske koordnater, hvor q = [u, v] T. Første ledd lgnng (3.37) lyder q grad ( 1 2 q2) = [ u v ] [ 1 ] 2 (u2 + v 2 ) = u (uu 1 2 (u2 + v 2 + vv ) + v (uu y + vv y ), ) y (3.38) og annet ledd er c 2 dv q = c 2 (u + v y ). Lgnng (3.37) lyder dermed kartesske koordnater ( u 2 c 2) u + uv (v + u y ) + ( v 2 c 2) v y = 0. (3.39) I tllegg har v antatt hvrvelfr bevegelse, rot q = 0, hvlket for kartesske koordnater betyr v u y = 0. (3.40)

50 50 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover V skal drøfte lgnngssystemet (3.39) og (3.40). Hvs dette skrves på formen Bq y + Aq = 0, (3.41) blr [ uv v B = 2 c ], A = [ u 2 c 2 ] uv. (3.42) 0 1 Egenverdene tl matrsen B 1 A bestemmer karakteren tl lgnngene (3.41). 0 1 B 1 A = 1 uv v 2 c 2 v 2 c 2 [ u 2 c 2 ] uv = 0 1 Egenverdene tl B 1 A er således bestemt av lgnngen 0 1 u 2 c 2 v 2 c 2 2uv. v 2 c 2 (3.43) ( v 2 c 2) λ 2 2uvλ + u 2 c 2 = 0, (3.44) med løsnng λ = d dy = uv ± c q 2 c 2 v 2 c 2, (3.45) hvor q = q 2. Froude-tallet er denert ved F = q/c, og radkanden uttrykket (3.45) vser at karakteren tl lgnngene (3.41) er bestemt av verden tl Froude-tallet: 1. Hvs F > 1, er egenverdene (3.45) reelle, og lgnngssystemet (3.41) er hyperbolsk. Strømnngen ses dette tlfellet å være overkrtsk. Ofte kalles dette skytende strømnng. 2. Hvs F < 1, er egenverdene (3.45) komplekse, slk at lgnngssystemet (3.41) blr ellptsk. Strømnngen ses dette tlfellet å være underkrtsk. Dette kalles av og tl rolg strømnng. V vl drøfte det hyperbolske tlfellet F > 1 nærmere. I de hyperbolske lgnngene v har studert tdlgere, har tden vært den ene koordnaten, og egenverdene har vært karakterstske hastgheter. Sden v nå bare har romlge koordnater, er dette kke tlfellet her. Egenverden (3.45) gr her den karakterstske retnng, og har ngen umddelbar geometrsk tolknng sden koordnatsystemet y bare er et tlfeldg valgt kartessk koordnatsystem. Det er derfor hensktsmessg å nnføre andre geometrske størrelser. Lgnng (3.44) kan med λ = d/dy skrves på formen ( u 2 c 2) dy 2 2uv dy d + ( v 2 c 2) d 2 = 0, (3.46) dvs (u dy v d) 2 = c 2 ( d 2 + dy 2). (3.47)

51 3.3 Remannske nvaranter 51 y α φ s q +α-karakterstkk +α q strømlnje θ α α-karakterstkk Fgur 3.5: Vnkel tl strømlnjen (θ) og tl karakterstkken (φ). Fgur 3.6: Mach-vnkel og Machlnjer. La θ være vnkelen fra -aksen tl strømlnjen, og φ være vnkelen fra -aksen tl karakterstkken, se gur 3.5. Da er u = q cos θ, v = q sn θ (3.48) og d = cos φ ds, dy = sn φ ds, (3.49) hvor s er buelengden langs karakterstkken. Innsatt lgnng (3.47) fås (q cos θ sn φ ds q sn θ cos φ ds) 2 = c 2 ( cos 2 φ ds 2 + sn 2 φ ds 2). (3.50) Dette forenkles tl dvs q 2 sn 2 (φ θ) ds 2 = c 2 ds 2, (3.51) sn(φ θ) = c q = 1 F. (3.52) Vnkelen φ θ er vnkelen mellom karakterstsk retnng og hastghetsvektoren q, se gur 3.5. Ved å sette φ = θ α, fås sn α = 1 F. (3.53) Vnkelen α kalles Mach-vnkelen, og karakterstkkene på hver sde av strømlnjen kalles Mach-lnjer, se gur 3.6. Dsse begrepene stammer fra gassdynamkken, hvor lgnnger av samme slag opptrer for sentrop strømnng. Mach-lnjer kan lett sees renner med overkrtsk strømnng (q > gh). Hvs det et punkt rennen er en ujevnhet på bunnen, eller det lgger en sten der, så vl dette g en forstyrrelse strømnngsbldet. Forstyrrelsen vl mdlertd bare opptre nnytelsesområdet tl punktet, dvs den vl være begrenset av Mach-lnjene gjennom punktet. Utenfor nnytelsesområdet vl strømnngen være upåvrket av forstyrrelsen. Mach-lnjene kan lett sees som en V-formet stasjonær bølge. Strømnngen en rennesten vl almnnelghet være overkrtsk, og regnvær vl man vanlgvs kunne aktta slke V-er. Jo spssere V-en er, jo høyere er Froude-tallet.

52 52 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover For å bestemme de Remannske nvaranter som er konstante langs karakterstkkene, kan man enten benytte hodograftransformasjonen, lgnng (3.19), tl bestemmelse av karakterstkkene uv-rommet, eller man kan bestemme venstreegenvektorene tl matrsen (3.43) og nne funksjoner som tlfredsstller lgnng (3.25). Problemet er mdlertd at v egentlg kke ønsker å uttrykke de Remannske nvaranter som funksjoner av størrelsene u og v, sden dsse bare er komponenter av hastgheten q et tlfeldg valgt kartessk koordnatsystem. Vnkelen θ og Mach-vnkelen α er mer naturlge størrelser. Bestemmelse av de Remannske nvaranter er derfor kke helt lketl. V skal først benytte hodograftransformasjonen, og dernest fullføre utlednngen med bruk av venstreegenvektorene tl B 1 A. Hver metode har sne fortrnn. Når hodograftransformasjonen (3.19) anvendes på lgnng (3.41), fremkommer lgnngen [ uv u 2 c ] [ ] + y v [ v 2 c 2 uv 0 1 ] [ y ] u = 0. (3.54) Karakterstkkene fremkommer ved å beregne egenverdene tl matrsen [ uv u 2 c 2 ] 1 [ v 2 c 2 ] 0 1 uv = v 2 c 2 2uv. (3.55) u 2 c 2 u 2 c 2 Egenverdene µ = du/dv er gtt ved lgnngen µ 2 + 2uv u 2 c 2 µ + v2 c 2 u 2 = 0. (3.56) c2 Langs karakterstkken gjelder således ( u 2 c 2) du 2 + 2uv du dv + ( v 2 c 2) dv 2 = 0, (3.57) dvs (u du + v dv) 2 = c 2 ( du 2 + dv 2). (3.58) Her kan v transformere fra (u, v) tl (q, θ). Det gjelder: (u du + v dv) = q dq = q dq, (3.59) du 2 + dv 2 = dq dq = dq 2 + q 2 dθ 2. (3.60) Innsatt lgnng (3.58) fås q 2 dq 2 = c 2 ( dq 2 + q 2 dθ 2), (3.61) dvs ( ) q dθ 2 2 dq 2 = c 2 1 q 2 = ( F 2 1 ) dq 2 q 2. (3.62)

53 3.3 Remannske nvaranter 53 Dermed fremkommer relasjonen dθ = F 2 1 dq q (3.63) langs karakterstkken. For de Remannske nvarantene gjelder langs karakterstkken dw = w q dq + w θ dθ = 0. (3.64) Ettersom Froude-tallet er uavhengg av θ, gjelder derfor F w = θ ± 2 1 dq q. (3.65) Integralet kan omformes tl et ntegral med hensyn på α. Av lgnng (3.53) følger F 2 1 = 1 tan α. (3.66) Vdere følger av lgnng (3.36) at c q2 = k, hvor k er en konstant. Således er sn 2 α = 1 F 2 = c2 q 2 = k q 2 1 2, (3.67) og for derensalene følger 2 sn α cos α dα = 2 k ( dq q 2 q = 2 sn 2 α + 1 ) dq 2 q. (3.68) Innsatt (3.65) fås w = θ 1 sn α cos α tan α sn 2 α + 1 dα = θ 2 cos 2 α sn 2 α dα = θ P (α), (3.69) hvor P (α) er Prandtl-Meyer-funksjonen P (α) = ( ) 3 arctan 3 tan α α. (3.70) De Remannske nvarantene er således w = θ P (α). (3.71) Rktgnok vser kke ovenstående utlednng hvlken nvarant som er konstant langs hvlken karakterstkk. Dette kan mdlertd bestemmes ved å beregne venstreegenvektorene tl matrsen (3.43), og dernest benytte lgnng (3.25). Venstreegenvektoren tl matrsen (3.43) er [ 1 l T u 2 c 2 ] [ ] 2uv = λ v 2 c 2, 1 = v 2 c 2 λ, 1. (3.72)

54 54 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Når man setter nn for λ, er dsse uttrykkene lke. La oss benytte første uttrykk lgnng (3.72). Ifølge lgnng (3.25) gjelder da langs karakterstkken 1 λ u 2 c 2 v 2 du + dv = 0. (3.73) c2 Egenverden er gtt ved 1/λ = dy/d = tan φ = tan(θ α). Ved vdere å benytte uttrykkene (3.48) og (3.53), fås langs karakterstkken dv du = 1 u 2 c 2 λ v 2 c 2 = tan(θ α) q2 cos 2 θ c 2 q 2 sn 2 θ c 2 = tan(θ α) cos2 θ F 2 sn 2 θ F 2 = tan(θ α) cos2 θ sn 2 α sn 2 θ sn 2 α cos(θ + α) cos(θ α) = tan(θ α) sn(θ + α) sn(θ α) = tan(θ α) tan(θ + α) tan(θ α) 1 = tan(θ ± α). (3.74) Som utlednngen med hodograftransformasjonen må v transformere fra (u, v) tl (q, θ). Av lgnngene (3.48) følger [ ] [ ] [ ] du cos θ sn θ dq =. (3.75) dv sn θ cos θ q dθ Ved nverterng av (3.75) og nnsettng av (3.74) fremkommer følgende relasjon langs karakterstkken 1 q dq dθ = = cos θ du + sn θ dv sn θ du + cos θ dv cos θ + sn θ/ tan(θ ± α) sn θ + cos θ/ tan(θ ± α) = tan(θ (θ ± α)) = tan α. cos θ sn θ(dv/du) = sn θ cos θ(dv/du) tan θ tan(θ ± α) = 1 + tan θ tan(θ ± α) (3.76) Ifølge (3.66) er denne lgnngen samme lgnng som lgnng (3.63). Dette vser at rktg fortegn ble valgt under utlednngen med hodograftransformasjonen. Følgelg er θ P (α) konstant langs Mach-lnjen dy/d = tan(θ α). 3.4 Enkle bølger Teoren de foregående avsnttene hører tl den klassske teoren for systemer av hyperbolske derensallgnnger. Den peker på fellestrekk mellom skalare lgnnger og systemer av lgnnger, men vser samtdg at bølgeløsnngen for systemer av derensallgnnger er mye mer sammensatt enn løsnngen for skalare lgnnger.

55 3.4 Enkle bølger 55 Imdlertd nnes det løsnnger av systemer av hyperbolske bevarelseslover som reduserer seg tl løsnngen av skalare lgnnger, og som vser seg å være meget nyttge byggeklosser. V ser gjen på lgnngssystemet (3.1) u t + f(u) = 0. (3.77) En enkel bølge for lgnngen (3.77) er en bølge hvor vektoren u bare avhenger av én parameter. For en enkel bølge kan v derfor skrve u = u(θ), hvor θ(, t) er en skalar. For enkle bølger gjelder dermed u t + f(u) = u θ t + f (u)u θ = 0, (3.78) hvor u = du/dθ og f (u) er Jacob-matrsen tl f(u). Således må f (u)u = λu, (3.79) dvs λ = λ(u) må være en egenverd for matrsen f (u) med tlhørende høyreegenvektor u, og egenverden λ(u(θ)) må tlfredsstlle lgnngen θ t + λ(u(θ))θ = 0. (3.80) Dette er en skalar hyperbolsk derensallgnng med karakterstkk d/dt = λ(u(θ)). Løsnngen θ er konstant langs karakterstkkene, og karakterstkkene er rette lnjer, se avsntt 2.2. Med θ konstant blr også u(θ) konstant langs karakterstkkene. I en enkel bølge har således alle komponenter av u samme hastghet. Av denne grunn kalles en enkel bølge også en koherent bølge. La oss skrve lgnngene (3.79) på formen f (u)r(u) = λ(u)r(u). (3.81) Løsnngen {λ, r}, hvor λ(u) er en egenverd og r(u) er den tlhørende høyreegenvektoren for matrsen f (u), kalles et egenfelt. Et egenfelt kalles ekte kkelneært dersom λ r 0. Det kalles lneært degenerert dersom λ r 0. Her er λ gradenten tl λ(u) u-rommet, dvs λ = [ λ u 1,..., ] λ T. (3.82) u n V skal benytte ovenstående densjoner de påfølgende avsnttene dette kapttelet. La oss mdlertd, før v forlater dette avsnttet, belyse hvor enkle bølger ofte påtrees. Hvs lgnngssystemet (3.77) består av to lgnnger, er det reduserbart. Dersom for et slkt par av lgnnger u er konstant et område Ω 0 t-planet, vl karakterstkkene Ω 0 være rette lnjer. La området Ω 1 grense tl Ω 0, slk at ett sett av karakterstkker Ω 1 kommer fra Ω 0. Kall karakterstkkene karakterstkker og +karakterstkker. Langs dsse karakterstkkene er

56 56 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover (a) Enkel bølge langs en avrundng. (b) Sentrert enkel bølge ved et knekkpunkt. Fgur 3.7: Mach-lnjer for stasjonær strømnng langs en kant. Heltrukne Mach-lnjer løper ut fra kanten. Stplede Mach-lnjer løper nn mot kanten. henholdsvs w og w + konstant, hvor w er en Remannsk nvarant. Anta, uten tap av almengyldghet, at de karakterstkkene Ω 1 som kommer fra Ω 0, er karakterstkkene. Da er w konstant Ω 1. Langs hver +karakterstkk Ω 1 er w + konstant. Langs hver +karakterstkk Ω 1 er således u konstant. I området Ω 1 varerer derfor u kun med hvlken +karakterstkk et punkt lgger på, dvs v kan skrve u = u(θ). Dersom lgnngssystemet (3.77) er reduserbart, vl derfor et naboområde tl et område hvor u er konstant, ha en løsnng som er en enkel bølge. Ovenstående betraktnger gjelder selvfølgelg også for lgnngssystemet (3.41). Anta derfor at v har stasjonær strøm med et konstant hastghetsfelt q parallelt med en kant. I et område hvor kanten bøyer av rundt et hjørne, må løsnngen bl en enkel bølge med et sett av rettlnjede karakterstkker (Mach-lnjer) som løper ut fra kanten, se gur 3.7(a). I et reelt tlfelle vl den avrundede kanten ha små ujevnheter, og de forstyrrelser som dsse ujevnhetene forårsaker, vl forplantes langs Mach-lnjene som løper ut fra kanten. Sden strømnngen en rennesten vanlgvs er overkrtsk, vl man regnvær lett kunne aktta enkle bølger der hvor rennestenen har en avbøynng. Dersom avrundngen rundt hjørnet reduseres tl et knekkpunkt, vl den enkle bølgen bl sentrert, slk at samtlge Mach-lnjer stråler ut fra samme punkt, se gur 3.7(b). 3.5 Dskontnuteter I avsntt 2.3 utledet v Rankne-Hugonots sprangbetngelse for lgnngssystemet (3.77). For skalare lgnnger så v mdlertd kapttel 2 at sprangbetngelsen kke var tlstrekkelg tl å g entydghet. I avsntt 2.5 denerte v en entropfunksjon η som en konveks funksjon med hensyn på den avhengge varable u. Ved hjelp av entropfunksjoner var v stand tl å utlede en entropbetngelse som gav en entydg bestemmelse av løsnngen. For å benytte samme fremgangsmåte for systemer, ser v på lgnngssystemet u t + f(u) = ɛg(u), (3.83)

57 3.5 Dskontnuteter 57 hvor ɛ er en postv parameter som v skal la gå mot null. For at dette lgnngssystemet skal g en utbredelse av u for voksende t, må v kreve at egenverdene tl Jacob-matrsen g (u) tlfredsstller vsse postvtetsbetngelser. Dsse nngår mdlertd kke nedenstående drøftelse. For å få oppfylt de nødvendge egenskaper for entropfunksjonen skal v steden kreve at matrsen g (u) tlfredsstller vsse forlkelghetsbetngelser som v skal komme tlbake tl nedenfor. Som avsntt 2.5 multplserer v lgnngene (3.83) med den derverte av en funksjon η(u) som forlanges å være konveks. Her er den derverte η (u) lk gradenten u-rommet, og den annenderverte η (u) er Hesse-matrsen. Kravet om at η(u) skal være konveks, nnebærer at Hesse-matrsen η (u) må være symmetrsk og postvt semdentt. Ved å multplsere lgnngene (3.83) foran med lnjevektoren η (u), fremkommer lgnngen η (u) [u t + f(u) ] = ɛη (u)g(u). (3.84) V antar at det nnes en funksjon ψ(u) med egenskapen ψ (u) = η (u)f (u). Lgnngen for entropfunksjonen η(u) blr da η(u) t + ψ(u) = ɛη (u)g(u), (3.85) og ved ntegrasjon mellom punktene a og b fås b a [η(u) t + ψ(u) ] d = ɛ b a η (u)g(u) d = ɛ [ η ] b b (u)g(u) a ɛ u T η (u)g (u)u d. a (3.86) V skal anta at matrsene η (u) og g (u) er forlkelge, den forstand at matrsen η (u)g (u) er postvt semdentt. (En kvadratsk, reell matrse A, som kke behøver å være symmetrsk, kalles postvt dentt dersom T A > 0 for alle vektorer 0, og postvt semdentt dersom T A 0 for 0.) I almnnelghet vl altså funksjonene η(u) og g(u) kke kunne velges uavhengg av hverandre. Det er de energforødende prosessene som g(u) beskrver, som skaper endrngen entropfunksjonen η. For en konveks η(u) kan v mdlertd alltd velge g(u) = u, dvs g (u) = I. Når matrsen η (u)g (u) er postvt semdentt, vl ntegranden på høyresden lgnng (3.86) tlfredsstlle ulkheten u T η (u)g (u)u 0. (3.87) V har dermed samme stuasjon som avsntt 2.5. Ved å la ɛ 0, fremkommer, på samme måte som der, ulkheten d dt b a η(u) d + [ ψ(u) ] b a 0 (3.88)

58 58 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover for alle a og b som kke lgger på en dskontnutet for u. Dersom ngen dskontnuteter forekommer mellom a og b, reduserer ulkheten seg tl en lkhet Eksempel 1: Endmensjonal gruntvannsstrømnng V ser gjen på lgnngene (3.26) som beskrver masse- og mpulsbevarelse for endmensjonal gruntvannsstrømnng på horsontalt underlag uten frksjon. Dskontnuerlge løsnnger ved gruntvannsstrømnng kalles vannsprang. Ved å benytte Rankne-Hugonots sprangbetngelse (2.60) på gruntvannslgnngene (3.26), fås betngelsene (h R h L ) σ = h R u R h L u L, (h R u R h L u L ) σ = ( h R u 2 R + 1 ( 2 R) gh2 hl u 2 L + 1 ) (3.89) 2 gh2 L, hvor som tdlgere ndeksene L og R betegner tlstanden henholdsvs tl venstre og tl høyre for dskontnuteten. Vannspranget har derfor hastgheten Høyre lgnng gr σ = h Ru R h L u L h R h L = h Ru 2 R gh2 R h Lu 2 L 1 2 gh2 L h R u R h L u L. (3.90) dvs h 2 Ru 2 R 2h R h L u R u L + h 2 Lu 2 L = h 2 Ru 2 R h R h L ( u 2 R + u 2 L) + h 2 L u 2 L g (h R h L ) 2 (h R + h L ), (3.91) h R h L ( u 2 R 2u R u L + u 2 L) = 1 2 g (h R h L ) 2 (h R + h L ). (3.92) Således blr ( (u R u L ) 2 = 1 2 g (h R h L ) ), (3.93) h R h L slk at over vannspranget gjelder relasjonen ( g 1 u R u L = (h R h L ) + 1 ). (3.94) 2 h R h L Ved nnsettng venstre uttrykk lgnng (3.90) fås derfor for vannsprangets hastghet ( ) h R (u ) g L (h R h L ) 1 2 h R + 1 h L h L u L σ = h R h L (3.95) ( g 1 = u L h R + 1 ) ( g 1 = u R h L + 1 ). 2 h R h L 2 h R h L

59 3.5 Dskontnuteter 59 Ikke alle løsnnger av lgnng (3.94) kan ventes å være gyldge. V må derfor utlede en entropbetngelse som entydg avgjør hvlke dskontnuerlge løsnnger som kan benyttes. For gruntvannsstrømnng utledet v bevarelsen av mekansk energ (1.15) ( 1 2 hu gh2) t + ( 1 2 hu3 + gh 2 u ) = 0. (3.96) Energbevarelsen er, følge lgnng (1.16), avledet av masse- og mpulsbevarelsene: ( 1 2 hu gh2) t + ( 1 2 hu3 + gh 2 u ) = ( gh 1 2 u2) [h t + (hu) ] + u [ (hu) t + ( hu gh2) ]. (3.97) Hvs man forsøker å sette entropfunksjonen lk den mekanske energ η(u) = 1 2 hu gh2 = u2 2 2u 1 + gu2 1 2, (3.98) hvor u = [u 1, u 2 ] T = [h, hu] T, så følger for den derverte [ ] η (u) = gu 1 u2 2 u 2 2u 2, = [ gh 1 1 u 2 u2, 1 u ]. (3.99) Lgnng (3.97) kan derfor skrves η(u) t + ψ(u) = η (u)[u t + f(u) ], (3.100) hvor entropuksen ψ(u) = 1 2 hu3 + gh 2 u. Den annenderverte av η(u) blr η (u) = u 2 2 u g u 2 u = u u 1 h u 2 u 2 1 u 2 h + g u h 1. (3.101) h Hesse-matrsen (3.101) er symmetrsk og postvt dentt (den har postve dagonalelementer og postv determnant g/h). Den mekanske energ (3.98) er derfor en konveks funksjon av u. Følgelg kan den mekanske energ benyttes som entropfunksjon for gruntvannslgnngene. Over et vannsprang må derfor den mekanske energen avta. Dette skyldes at et vannsprang nneholder hvrvler som gr dsspasjon av den mekanske energ. Energbevarelsen (3.96) er bare oppfylt områder hvor løsnngen er glatt. For å beregne energtapet over et vannsprang, skal v først vse to nyttge relasjoner. Massestrømmen gjennom spranget er, følge den første av Rankne-Hugonot-lgnngene (3.89) og lgnng (3.95), ( g 1 m = h R (u R σ) = h L (u L σ) = ±h R h L + 1 ). (3.102) 2 h R h L

60 60 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover h L h R h L h R Fgur 3.8: Vannsprang med h L <h R : u L > σ og u R > σ. Fgur 3.9: Vannsprang med h L >h R : u L < σ og u R < σ. Annen Rankne-Hugonot-lgnng kan skrves h R (u R σ) u R gh2 R = h L (u L σ) u L gh2 L, (3.103) og med bruk av massestrømmen m fås mu R gh2 R = mu L gh2 L. (3.104) Energtapet over et vannsprang er, følge lgnng (2.108), E = ψ(u R ) ψ(u L ) σ ( η(u R ) η(u L ) ) = [ 1 2 h Ru 3 R + gh 2 Ru R σ 1 2 h Ru 2 R σ 1 ] 2 gh2 R [ 1 2 h Lu 3 L + gh 2 Lu L σ 1 2 h Lu 2 L σ 1 ] 2 gh2 L = [( 1 2 u2 R gh ) R hr (u R σ) + 1 ] 2 gh2 Ru R [( 1 2 u2 L gh ) L hl (u L σ) + 1 ] 2 gh2 Lu L = [( 1 2 u2 R gh ) R m gh2 R (u R σ) mu R σ ] [( 1 2 u2 L gh ) L m gh2 L (u L σ) mu L σ ] = m [( 1 2 u2 R u R σ + 1 ) ( 2 σ2 + gh R 1 2 u2 L u L σ + 1 )] 2 σ2 + gh L ] = 1 2 [(u m R σ) 2 (u L σ) 2 + 2g (h R h L ) [ ( (h = 1 2 m 2 L h 2 ) g 1 R + 1 ) ] + 2g (h R h L ) 2 h R h L = mg 4 = mg 4 h R h [ ] L (h R + h L ) 2 4h R h L h R h L (h R h L ) 3 h R h L, (3.105) hvor v har gjort bruk av lgnngene (3.102) og (3.104). Entropbetngelsen E 0 krever derfor at ulkheten m (h R h L ) > 0 (3.106) er oppfylt. (Tlfellet h R = h L gr ntet sprang.) I tlfelle h L < h R, må derfor u L > σ og u R > σ, se gur 3.8. Tlsvarende gr tlfellet h L > h R at u L < σ

61 3.5 Dskontnuteter 61 Fgur 3.10: Flodbrennng Qantang-elven, Kna. Fgur 3.11: Flodbrennng fjorden Turnagan Arm, Alaska. og u R < σ, se gur 3.9. Relatvt tl vannspranget, strømmer altså vannet alltd fra sden med lten høyde tl sden med stor høyde. Ifølge lgnngene (3.94) og (3.102) gjelder u R u L = (h R h L ) ( g ) = h R h L m. (3.107) 2 h R h L h R h L Entropbetngelsen E 0 krever derfor at u R < u L. (3.108) Ulkhet (3.108) og relasjon (3.94) bestemmer entydg betngelsene over et vannsprang. Bevegelge vannsprang kalles gjerne sprangbølger. De antar naturen svært ulke former. Ved strømnng nedover et skråplan med lav ruhet dannes ofte sprangbølger hvor spranget har en høyde på noen få mllmeter. I regnvær kan slke bølger akttas på asfalterte gater. Rktgnok blr gruntvannsbølger på skråplan kke beskrevet med lgnngene (3.26), men med lgnngene (1.17). Betngelsene over vannspranget er mdlertd de samme, bortsett fra at g må erstattes med γ = g cos α, hvor α er skråplanets helnngsvnkel. Store sprangbølger arter seg som odbrennnger. Enkelte steder på jorden skaper tdevannet odbølger som vandrer oppover elvemunnnger eller nnover grunne fjorder. Den største av dsse gruntvannsbølgene er odbølgen Qantang-elven Kna, se gur Ved sprngo kan odbrennngen ha en høyde på 3 m og en hastghet på rundt 7 m/s. I fjorden Turnagan Arm Alaska kan tdevannet g odbølger som en sjelden gang har en 2 m høy odbrennng med en bølgehastghet på rundt 5 m/s, se gur Berømt var også tdevannsbølgen le mascaret Senen. Etter at Senen ble mudret 1963, er mdlertd denne odbølgen nesten bltt borte.

62 62 3 Systemer av hyperbolske bevarelseslover Eksempel 2: Vannsprang stasjonær strømnng Lgnngene for stasjonær gruntvannsstrømnng har naturlgvs også dskontnuerlge løsnnger. V skal her se på et eksempel med et såkalt vnkelrett vannsprang, dvs et sprang med en front som står vnkelrett på strømretnngen. Anta at v har en vannrett plate som blr truet av en loddrett vannstråle. På platen strømmer vannet utover radell retnng, og man får et stasjonært strømnngsblde. En slk strømnng ser man ofte på bunnen av en oppvaskkum, se gur Strømnngen på platen beskrves med gruntvannslgnngene. Strømnngen vl være overkrtsk (Froude-tall større enn 1) området rundt det punkt hvor strålen treer platen. Strømnngen forblr overkrtsk vdere utover, men ved en radus på noen centmeter dannes et vannsprang som endrer strømnngens karakter. V skal drøfte hva som skjer gjennom vannspranget. Lgnngene (1.48) og (1.49) beskrver stasjonær, radell gruntvannsstrømnng. Ved å ntegrere dsse lgnngene over et vannsprang, fås bare bdrag fra de leddene som nneholder den derverte med hensyn på raden. Over vannspranget må således lgnngene (3.89) med σ = 0 gjelde: h L u L = h R u R, h L u 2 L gh2 L = h R u 2 R gh2 R. (3.109) Her betegner ndeksene L og R tlstanden på nnsden og på utsden av vannspranget, henholdsvs. Av første lgnng følger u R = (h L /h R )u L, som nnsatt annen lgnng gr h L u 2 L gh2 L = h2 L h R u 2 L gh2 R, (3.110) dvs 2 u2 L gh L + 1 = 2 h L h R u 2 L gh L + ( hr h L ) 2. (3.111) Fgur 3.12: Vannsprang en oppvaskkum.

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250 FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag . jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

12 Løsningsmetoder i elastisitetsteori

12 Løsningsmetoder i elastisitetsteori 12 Løsnngsmetoder elaststetsteor Innhold: Eksakt løsnng lnærmede løsnnger Prnsppet om vrtuelt arbed 3D Prnsppet om stasjonær potensell energ 3D Raylegh-Rtz metode 2D og 3D kver kontra plater Eksakte skveløsnnger

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 4.3.5 Mdtveseksamen: 6.3. Pensum: Kap. boken flere lærer på data-lab YS-MEK 4.3.5 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018 Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)

Detaljer

Klassisk Mekanikk IVER H. BREVIK. KOMPENDIUM i faget TEP4145 Til L A TEXved Simen Ellingsen

Klassisk Mekanikk IVER H. BREVIK. KOMPENDIUM i faget TEP4145 Til L A TEXved Simen Ellingsen Klasssk Mekankk IVER H. BREVIK KOMPENDIUM faget TEP4145 Tl L A TEXved Smen Ellngsen Insttutt for Energ og Prosessteknkk, Norges Teknsk Naturvtenskapelge Unverstet Mars 2006 Klasssk Mekankk Iver H. Brevk

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

STK desember 2007

STK desember 2007 Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ.3.7 YS- MEK.3.7 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d energbevarng vertkal kast: mg d mg fjær: k k d atom krstall: b π cos π b b d π sn b YS- MEK.3.7 kraft

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

Stivt legemers dynamikk

Stivt legemers dynamikk Stvt legemers dynamkk 8.04.06 FYS-MEK 0 8.04.06 otasjon av et stvt legeme: defnsjon: z m treghetsmoment for legemet om aksen z (som går gjennom punktet O) kontnuerlg legeme med massetetthet (r) m ) dv

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse 4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære,

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 5.3.4 YS-MEK 5.3.4 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg d d mg fjær: k d k d atom krstall: b cos b b d d sn b YS-MEK 5.3.4

Detaljer

EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling

EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Mandag 23. mai, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Martn Grønsleth, tlf 93772 EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Mandag 23. ma, 2005 09.00-13.00 Tllatte

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 1 Jon Vsle; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesnngsnotat #1 Generell lkevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 V betrakter en økonom med to sektorer; en skjermet sektor («-sektor») som produserer

Detaljer

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Oppsummering Mekanikk. Newtons 2. lov: masse akselerasjon = kraft (total ytre kraft) Posisjon x [m] dx dt. v x. a x () t dt. Hastighet v x [m/s]

Oppsummering Mekanikk. Newtons 2. lov: masse akselerasjon = kraft (total ytre kraft) Posisjon x [m] dx dt. v x. a x () t dt. Hastighet v x [m/s] Oppsummerng Mekankk Sde av 6 Newtons. lov: masse akselerasjon kraft (total ytre kraft) Possjon x [m] Hastghet v x [m/s] Akselerasjon a x [m/s ] v x dx ----- dx v x x() t x( 0) a x t 0 v x () t dv -------

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG Sde a 9 TU orges teknsk-natrtenskapelge nerstet Fakltet for fyskk nformatkk og matematkk Instttt for datateknkk og nformasjonstenskap EKSAME I FAG SIF85 VISUALISERIG OSDAG. DESEMER KL. 9. 4. LØSIGSFORSLAG

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling

EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Professor Asle Sudbø, tlf 93403 EKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Torsdag 11. august, 2005 09.00-13.00

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn )

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn ) SIF402 og MNFFY03 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Fnn 26.4-26.6) Magnetsme To effekter når et materale påvrkes av et ytre magnetfelt B:. nnrettng av permanente atomære (evt. molekylære) magnetske

Detaljer

Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytiske funksjoner

Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytiske funksjoner Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytske funksjoner Vtenskapelg bedømt (refereed) artkkel : The Gauss-Krüger projecton by analytc functons KART OG PLAN, Vol. 7, pp. 39 44, P.O.B. 53, NO-43 Ås, ISSN 47-378

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Spinntur 2018 ROTASJONSBEVEGLSE

Spinntur 2018 ROTASJONSBEVEGLSE Spnntur 2018 ROTASJONSBEVEGLSE August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:

Detaljer

5. Bevegelsesmengde. Fysikk for ingeniører. 5. Bevegelsesmengde og massesenter. Side 5-1

5. Bevegelsesmengde. Fysikk for ingeniører. 5. Bevegelsesmengde og massesenter. Side 5-1 5 eegelsesmengde Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Httl har forutsatt at åre legemer kan oppfattes som partkler Stort sett har behandlet dsse partklene som solerte legemer som

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985) alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Fredag 13. august, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling

KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Fredag 13. august, Tillatte hjelpemidler : K.Rottman, Matematisk formelsamling NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Martn Grønsleth, tlf 93772 KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Fredag 13. august, 2004

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Stivt legemers dynamikk

Stivt legemers dynamikk Stvt legeers dynakk 9.4. FYS-EK 9.4. Repetsjon Newtons andre lov for flerpartkkelsysteer: F ext hvor: r R d R (assesenter) dt separasjon: bevegelse tl assesenter bevegelse relatv tl assesenter K V N v

Detaljer

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov.

At energi ikke kan gå tapt, må bety at den er bevart. Derav betegnelsen bevaringslov. Sde av 7 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN 007 SMN69 VARMELÆRE DATO: 7. OKTOBER 007 TID: KL. 09.00 -.00 OPPGAVE (0%) a) Termodynamkkens. hovedsats. hovedsetnng: Energ kan verken oppstå eller forsvnne, bare omdannes

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING

system 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING 16 mm / 25 mm / 32 mm MONTERINGSVEILEDNING Sdoprofl Monterngsprofl Murprofl (tllval) (A) (B) 1000 mm 20 mm mn. 50 mm Klck! Før du starter monterngen av dtt nye tak, bør du kontrollere at du har motatt

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Omsettelige grønne sertifikater under autarki og handel: Noen analytiske resultater*

Omsettelige grønne sertifikater under autarki og handel: Noen analytiske resultater* Norsk Økonomsk Tdsskrft 119 (2005) s. 1-15 Omsettelge grønne sertfkater under autark og handel: Noen analytske resultater* Erk S. Amundsen A og Gjermund Nese B Sammendrag: En rekke land har planer om å

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Dimensjonerende flom for Mjøsa

Dimensjonerende flom for Mjøsa !!? N V E Dmensjonerende flom for Mjøsa Dynamsk rutng gjennom Mjøsa og Vorma Bjarne Krokl e* DMENSJONERENDE FLOM FOR MJØSA Dynamsk rutng gjennom Mjosa og Vorma Norges vassdrags- og energdrektorat 2000

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som

Veiledning til obligatorisk oppgave i ECON 3610/4610 høsten N. Vi skal bestemme den fordeling av denne gitte arbeidsstyrken som Jon sle; oktober 07 Ogave a. elednng tl oblgatorsk ogave ECO 60/60 høsten 07 har nå at samlet arbedskraftmengde er gtt lk, slk at ressurskravet er. skal bestemme den fordelng av denne gtte arbedsstyrken

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

TMA4300 Mod. stat. metoder

TMA4300 Mod. stat. metoder TMA4300 Mod stat metoder Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Løsnngsforslag - Eksamen jun 2007 Oppgave Pseudokode for å evaluere θ: Generer uavhengge realsasjoner x,,x

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,

Detaljer

\ ;' STIKKORD: FILTER~ VEIEFEIL YRKESHYGIENISK INSTITUTT REGISTRERI~G AV FEILKILDER AVDELING: TEKNISK AVDELING RØNNAUG BRUUN HD 839/80820

\ ;' STIKKORD: FILTER~ VEIEFEIL YRKESHYGIENISK INSTITUTT REGISTRERI~G AV FEILKILDER AVDELING: TEKNISK AVDELING RØNNAUG BRUUN HD 839/80820 "t j \ ;' REGISTRERIG AV FEILKILDER VED VEI ING AV Fl LTRE RØNNAUG BRUUN Lv flidthjell HD 839/80820 AVDELING: TEKNISK AVDELING ANSVARSHAVENDE: O. ING. BJARNE KARTH JOHNSEN STIKKORD: FILTER VEIEFEIL YRKESHYGIENISK

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 29..28 Kap. 2.4.4 og 2.6.5 DIP Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,)

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING MANDAG 21. MAI 2001 KL LØSNINGSFORSLAG

EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING MANDAG 21. MAI 2001 KL LØSNINGSFORSLAG Sde 1 av 5 NTNU Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Fakultet for fyskk, nformatkk og matematkk Insttutt for datateknkk og nformasjonsvtenskap EKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING MANDAG 21. MAI 2001

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Stivt legemers dynamikk

Stivt legemers dynamikk Stvt legeers dnakk 7.04.05 Resultater fra veseksaen på seestersden. Eneste krav for å ta slutteksaen: 7 av 0 oblger. Gruppete dag: Gruppe 5 (Ø394) slås saen ed gruppe 7 på Ø443 FYS-MEK 0 7.04.05 kraftoent:

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:

Detaljer

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.

Detaljer