Eksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger

Transkript

1 Istitutt for matematiske fag Eksamesoppgave i TMA432 Itroduksjo til viteskapelige beregiger Faglig kotakt uder eksame: Ato Evgrafov Tlf: Eksamesdato: 6. jui 216 Eksamestid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: B: Spesifiserte trykte og hådskreve hjelpemidler tillatt: K. Rottma: Matematisk formelsamlig Bestemt, ekel kalkulator tillatt. Målform/språk: bokmål Atall sider: 7 Atall sider vedlegg: Kotrollert av: Dato Sig Merk! Studeter fier sesur i Studetweb. Har du spørsmål om di sesur må du kotakte istituttet ditt. Eksameskotoret vil ikke kue svare på slike spørsmål.

2

3 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 Side 1 av 7 Oppgave 1 Vi ser på likige hvor y > er gitt, og x R er ukjet. e x y =, a) Formuler Newtos metode for å løse dee likige. Gjør to iterasjoer for håd for y = e. Start med x =. Solutio: direct computatio. The Newto s iteratio for the equatio f(x) = is x k+1 = x k f(x k )/f (x k ), which i our case simplifies to x k+1 = x k (e x k y)/e x k = x k 1 + ye x k. Thus x =, x , x Oppgave 2 a) Fi det polyomet p(x) av lavest mulig grad som iterpolerer fuksjoe f(x) = x i puktee x 1 =, x 2 = 4, x 3 = 9. Solutio: direct computatio. For example usig Lagrage s form of the iterpolatio polyomial we get (x 4)(x 9) L 1 (x) = ( 4)( 9) = x2 13x (x )(x 9) L 2 (x) = (4 )(4 9) = 9x x2 2 (x )(x 4) L 3 (x) = (9 )(9 4) = x2 4x 45 P (x) = L 1 (x) + 4L 2 (x) + 9L 3 (x) = x2 9x 1 = 3x2 + 27x + 2x 2 8x 3 = x2 + 19x 3 + x2 4x 15

4 Side 2 av 7 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui f(x) = x p(x) = ( x x)/3 y x Vi bruker samme otasjo for f(x) og p(x) som i a) i reste av oppgave. b) Fuksjoe F (x) = x er lik med (f(x)) 2 for x. Derfor iterpolerer P (x) = (p(x)) 2 fuksjoe F (x) i puktee x 1 =, x 2 = 4 og x 3 = 9. Forklar hvorfor formele for estimatet av iterpolasjosfeile, gitt av F (x) P (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) F (c), 3! med c [mi{x, x 1 }, max{x, x 3 }], ikke holder i dee situasjoe. Solutio: The short aswer here is that the error estimate is valid oly for the iterpolatio polyomials of miimal degree, whereas P (x) = (p(x)) 2 is ot a iterpolatio polyomial of miimal degree. (Ideed, it has degree 4, whereas for 3 iterpolatio odes we should have degree 2 or less. I fact i the preset situatio the iterpolatio polyomial is F (x) = x, ad thus has degree 1.) Oe could see that the error estimate predicts that the iterpolatio error should be zero (as F (x) = (x) = ) ad it is for the iterpolatio polyomial of miimal degree, that is x, but clearly ot for our iterpolatio polyomial P (x). Why is the error estimate F (x) P (x) = (x x 1)(x x 2 )... (x x ) F () (c),! oly valid for polyomials of miimal degree? Suppose we remove the miimal degree requiremet. The we have iterpolatio poits ad we look at

5 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 Side 3 av 7 iterpolatig polyomials P of degree at least. With polyomials of this degree we ca iterpolate through + 1 poits. Thus we ca chose + 1-st iterpolatio ode x +1 arbitrarily ad place the correspodig y = P (x +1 )- value as far from F (x +1 ) as we like. The the left had side of the estimate, F (x +1 ) P (x +1 ) ca be made arbitrarily large, whereas the right had side of the estimate is determied by the positio of the odes x 1,..., x, x +1 ad the -th derivative of F F (x) = x P (x) = ( x x) 2 /3 2 y x Oppgave 3 a) Approksimer itegralet 1 l(x) dx ved å bruke midtpuktskvadraturer med = 1 og = 2 delitervaller. 1 Solutio: Direct computatio. With 1 pael we have: 1 l(x) dx 1 l(.5) With 2 paels we have: 1 l(x) dx.5[l(.25) + l(.75)] b) Hvis vi atar at f er kotiuerlig på itervallet [a, b], er feilestimatet for midtpuktskvadraturet Q [a,b] f gitt av b 1 delitervaller = paels i boke a f(x) dx = Q [a,b] f + h3 24 f (c),

6 Side 4 av 7 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 der c er et pukt mellom a og b, og h = b a. Bruk å adaptive kvadraturer til å estimere forskjelle 1 l(x) dx Q [,1] l. (Igorer det at l på itervallet [, 1] ikke oppfyller deriverbarhetskravet i feilestimatet.) Du ka gjebruke de umeriske beregigee fra a). Solutio: We have: = Q [,1] l (Q [,.5] l +Q [.5,1] l) l (c 1 ) l (c 2 ) l (c 3 ). We assume that l (c 1 ) l (c 2 ) l (c 3 ) (this is the stadard assumptio i adaptive quadratures) ad thus get l (c 1 ) = (Q [,.5] l +Q [.5,1] l) Q [,1] l ( ) Thus the error estimate is 1 l(x) dx Q [,1] l = 1 24 l (c 1 ) 4/3 ( ) Oppgave Vi skal å se på et iitialverdiproblem: y (t) = (y(t)) 2, y() = 1. Løsige av differesiallikige er y(t) = (t + 1) 1. a) Reg ut to steg av y umerisk ved hjelp av de eksplisitte Eulermetode. Bruk steglegde h = 1. Solutio: Direct computatio. Explicit Eulers method for this IVP is w = y() = 1. Thus we get: 2 Note that the exact error is 1 w i+1 = w i hw 2 i = w i (1 hw i ), w 1 = w (1 hw ) = 1(1 1 1) =, w 2 = w 1 (1 hw 1 ) =. l(x) dx Q [,1] l 1 ( )

7 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 Side 5 av 7 b) Formuler de implisitte Eulermetode (med tilfeldig h i = t i+1 t i > ) for problemet. Vis at adregradslikige som framkommer i metode har to reelle røtter for approksimasjoe w i+1 y(t i+1 ) gitt av w i y(t i ) og h i, gitt at h i er lite ok. Fi de eksplisitte utrykkee for røttee og forklar hvilke av dem som bør velges i metode. Solutio: Implicit Eulers method for this IVP is w i+1 = w i h i w 2 i+1. w = y() = 1. Thus at every iteratio we eed to sovle the quadratic equatio h i wi w i+1 w i =. We solve this equatio: D = 1 + 4h i w i, w ± i+1 = 1 ± 1 + 4h i w i 2h i. I particular, if w i, or if w i < ad h i < 1/(4w i ) the D > ad the quadratic equatio has two real roots. Which root should we choose? There are several ways i which oe could argue here. For example, for small h we ca use a first order Taylor series expasio 1 + 4h i w i 1+2h i w i, ad therefore w i+1 ± 1/(2h i )±(1/(2h i )+w i ). Sice we expect that for small h we have w i+1 w i, we should select w i+1 w i+1 + based o this iformatio. Aother way of makig this decisio is to require that w i+1 behaves as much as the solutio y(t); for example, that it is positive. Ideed we kow that w >, ad if w i > the 1 + 4h i w i > 1 ad as a result w i+1 < < w + i+1. Therefore we should choose w + i+1. Oppgave 5 a) Bereg de diskrete Fouriertrasformasjoe av x = [1, 2, 3] T. Solutio: direct computatio. y = x j exp{ i2πj/3} = j=

8 Side 6 av 7 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 y 1 = x j exp{ i2πj1/3} = 1 [1 exp{} + 2 exp{ i2π/3} + 3 exp{ i4π/3}] 3 3 j= = 1 3 [1 + 2{ 1/2 i 3/2} + 3{ 1/2 + i 3/2}] = 1 3 [ 3/2 + i 3/2] = 3/2 + i/2. Because x R 3 we have y 3 = ȳ 2 = 3/2 i/2. b) La y = [y, y 1,..., y 1 ] T C være de diskrete Fouriertrasformasjoe av vektore x = [x, x 1,..., x 1 ] T C. Nå kostruerer vi vektore ˆx = [x, x 1, x 2,..., x 1 ] T. Vis at de har e diskret Fouriertrasformasjo gitt som ŷ = [y, y 1, y 2,..., y 1 ] T. Solutio: Per defiitio of DFT: ad ŷ k = 1 1 j= ˆx j exp{ i2πjk/} = 1 ] [ˆx + ˆx 1 exp{ i2π1k/} + + ˆx 1 exp{ i2π( 1)k/} = 1 ] [x + x 1 exp{ i2π1k/} + + x 1 exp{ i2π( 1)k/} = 1 ] [x + x 1 exp{ i2π( 1)k/} + + x 1 exp{ i2π1k/}, y k = 1 1 x j exp{ i2πj( k)/} j= = 1 ] [x + x 1 exp{ i2π1( k)/} + + x 1 exp{ i2π( 1)( k)/}. Direct compariso shows that ŷ = y (the all exp{ } = exp{} = 1). To coclude the proof we eed to show that the coefficiets i frot of x j i two formulas agree. Ideed, the coefficiet i frot of x j i the formula for ŷ k is exp{ i2π( j)k/} = exp{ i2πk} exp{i2πjk/} = exp{i2πjk/}, }{{} =1

9 TMA32 Itroduksjo til viteskapelige beregiger 6. jui 216 Side 7 av 7 ad similarly, the coefficiet i frot of x j i the formula for y k is: exp{ i2πj( k)/} = exp{ i2πj} exp{i2πjk/} = exp{i2πjk/}, }{{} =1 where we used the face that exp{ i2πj} = exp{ i2πk} = 1 for all itegers j, k. Thus the proof is cocluded. c) La = 2 p, p N, og t j = c + j(d c)/, j =,..., 1 være e samlig av uiformt distribuerte pukter på itervallet [c, d]. Vi vil fie e kurve som passerer gjeom(iterpolerer) puktee i datasettet (t, x ),..., (t 1, x 1 ). I dette kurset har vi sett på to mulige metoder for å gjøre dette: polyomiterpolasjo, (her vist i Newtos form) P (t) = f[t ] + f[t, t 1 ](t t ) + + f[t,..., t 1 ](t t ) (t t 2 ), og trigoometrisk iterpolasjo: Q(t j ) = 1 1 y k exp{i2πkj/} = k= 1 k= { } i2πk(tj c) y k exp /. d c Gi et overslag på atallet av elemetære operasjoer 3 som tregs til å berege: alle Newtos differaser 4 f[t ], f[t, t 1 ],..., f[t,..., t 1 ]; alle trigoometriske iterpolasjoskoeffisietee y,..., y 1 ved hjælp av FFT algoritme. Sammelig to vurderigee og bestem, hva er raskest for store. Solutio: The coefficiets y,..., y 1 are efficietly computed usig FFT, which requires O( log ) operatios. Computig each Newto s divided differece requires oe divisio ad two subtractios. There are 1 divided differeces f[t, t 1 ],..., f[t 2, t 1 ]; 2 divided differeces f[t, t 1, t 2 ],..., f[t 3, t 2, t 1 ],..., ad fially 1 differece f[t, t 1,..., t 1 ]. Therefore, computig all Newto s divided differeces requires ( 1) + ( 2) = O( 2 ) subtractios ad divisios. For large we have > log ad therefore computig the trigoometric expasio coefficiets is faster. 3 Elemetære operasjoer addisjo, subtraksjo, multiplikasjo, divisjo 4 Newto s divided differeces