LIMITI DI FUNZIONI. { + se a > 1. 0 se b < 0. 1 se a = 1 x + se 0 < a < 1

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1 LIMITI DI FUNZIONI Limiti notevoli di funzioni Dato b R si ha Dato a > 0 risulta e { + se b > 0 x + xb = 0 se b < 0 x + ax = { + se a > se a = 0 se 0 < a < { + se a > log a x = x + se 0 < a < Limiti coinvolgenti funzioni trigonometriche Si ha ed inoltre sin x = 0 e cos x = sin x x = e cos x = x 2 2 Limiti coinvolgenti funzioni esponenziali e logaritmiche Per ogni a > e x 0 R risulta x + ax = +, a x = a x 0, e x ax = 0. ed anche log a x = +, x + log a x = log a x 0 (x 0 > 0) e log + a x =. Per ogni a R si ha Inoltre e x x ( + a x ± x )x = e a = e log( + x) x =

2 dove log x = log e x. Da cui si deduce che per ogni a > 0, a, si ha a x x Inoltre, per ogni α R \ {0} risulta = log a e log a ( + x) x ( + x) α x = α = log a Infiniti di ordine crescente Osservato che per ogni b > 0 e a > risulta log x = x + x + xb = x + ax = x + xx = + valgono log x x b = x + x b x + a = a x x x + x = 0 x 2

3 La relazione di asintotico ed di o piccolo Due funzioni e g(x) sono dette asintotiche per x x 0 R {± }, e si scrive g(x) per x x 0, se x x 0 g(x) =. In particolare, se = l R \ {0} allora l per x x 0. Sono immediate le seguenti proprietà: a) Se g(x) per x x 0 e g(x) = l R {± } allora = l. b) Se g(x) e g(x) h(x) per x x 0 allora h(x) per x x 0. c) Se g(x) per x x 0 allora per ogni funzione h(x) si ha h(x) g(x)h(x), h(x) g(x) h(x), h(x) h(x) g(x) per x x 0. Dai iti notevoli visti risulta in particolare che per x 0 si ha sin x x, cos x x2 2, ex x, log( + x) x e ( + x) α αx Date due funzioni e g(x), si dice che è trascurabile R {± }, e si scrive = o(g(x)) per x x 0, se rispetto a g(x) per x x 0 x x 0 g(x) = 0. Osserviamo innazitutto che x x 0 g(x) = g(x) per x x 0 = g(x) + o(g(x)) per x x 0 ed anche che se = l R \ {0} allora = l + o() per x x 0 (dove o() sta ad indicare una funzione infinitesima per x x 0 ). Dalle precedenti implicazioni e dai iti notevoli visti, per x 0 risulta sin x = x + o(x), cos x = x2 2 + o(x2 ), e x = + x + o(x), log( + x) = x + o(x) e ( + x) α = + αx + o(x) 3

4 Valgono poi le seguenti proprietà: i) o(g(x)) ± o(g(x)) = o(g(x)) ; ii) k o(g(x)) = o(k g(x)) = o(g(x)), k R \ {0}; iii) h(x) o(g(x)) = o(h(x) g(x)) e o(h(x)) o(g(x)) = o(h(x) g(x)) ; iv) se = o(h(x)) e h(x) = o(g(x)) allora = o(g(x)), ovvero o(o(g(x))) = o(g(x)) ; v) o(g(x) + o(g(x))) = o(g(x)) ; vi) Principio di cancellazione dei termini trascurabili: + o() g(x) + o(g(x)) = x x 0 g(x). Qualche esempio () Calcolare e x cos x 3 + x. Dagli sviluppi notevoli per x 0, si ha e x cos x = ( + x + o(x)) ( x2 2 + o(x2 )) = x + o(x) essendo x 2 = o(x) e quindi o(x 2 ) = o(x), mentre 3 + x = 3 x + o(x) Allora e x cos x 3 + x = x + o(x) = x + o(x) 3 x 3 x = 3 e cos x + sin 2 x (2) Calcolare log( + x + x). Ponendo y = cos x, dallo sviluppo di ey per y 0 e dallo sviluppo di cos x per x 0, otteniamo mentre da cui e cos x = e y = y + o(y) = cos x + o( cos x) = x2 2 + o(x2 ) sin 2 x = (x + o(x)) 2 = x 2 + o(x 2 ) e cos x + sin 2 x = x2 2 + o(x2 ). Inoltre, posto y = x + x, otteniamo log( + x + x) = log( + y) = y + o(y) = x + x + o( x + x) = x + o( x) essendo x = o( x). Allora e cos x + sin 2 x log( + x + x) 2 = + o(x2 ) = 0 x + o( x) x2 4

5 Ordine di infinito e di infinitesimo Preso x 0 R {± }, siano e g(x) tali che = g(x) = ± x x 0 Si dice che ha ordine di infinito minore di g(x) per x x 0 e scriveremo Ord(f) < Ord(g) per x x 0, se = o(g(x)) per x x 0 ovvero se x x 0 g(x) = 0. Si dice che ha ordine di infinito uguale a g(x) per x x 0 e scriveremo Ord(f) = Ord(g) per x x 0, se esiste l R \ {0} tale che lg(x) per x x 0 ovvero se x x 0 g(x) = l R \ {0}. Possiamo dare un valore numerico all ordine di infinito di una funzione confrontandola con gli infiniti campione nel seguente modo se x 0 R, il campione è g b (x) = x x 0 con b > 0, e si pone Ord(g b b (x)) = b. Avremo allora che ha ordine di infinito pari a b > 0 per x x 0, Ord(f) = b, se x x 0 x x 0 b = l R \ {0}. se x 0 = ±, il campione è g b (x) = x b con b > 0, e si pone Ord(g b (x)) = b. Avremo allora che ha ordine di infinito pari a b > 0 per x ±, Ord(f) = b, se Si osservi che valgono le seguenti implicazioni = l R \ {0}. x x 0 x b Ord(f) = b lg b (x) per x x 0 = lg b (x) + o(g b (x)) per x x 0 Siano e g(x) tali che = g(x) = 0 x x 0 Si dice che ha ordine di infinitesimo minore di g(x) per x x 0 e scriveremo ord(f) < ord(g) per x x 0, se g(x) = o() per x x 0 ovvero se g(x) x x 0 = 0. 5

6 Si dice che ha ordine di infinitesimo uguale a g(x) per x x 0 e scriveremo ord(f) = ord(g) per x x 0, se esiste l R \ {0} tale che lg(x) per x x 0 ovvero se x x 0 g(x) = l R \ {0}. Possiamo dare un valore numerico all ordine di infinitesimo di una funzione confrontandola con gli infinitesimi campione nel seguente modo se x 0 R il campione è h b (x) = x x 0 b con b > 0, e si pone ord(h b (x)) = b. Avremo allora che ha ordine di infinitesimo pari a b > 0 per x x 0, ord(f) = b, se x x 0 x x 0 b = l R \ {0}. se x 0 = ±, il campione è h b (x) = x b con b > 0, e si pone ord(h b (x)) = b. Avremo allora che ha ordine di infinitesimo pari a b > 0 per x ±, ord(f) = b, se Valgono le seguenti implicazioni x x = l R \ {0}. 0 x b ord(f) = b lh b (x) per x x 0 = lh b (x) + o(h b (x)) per x x 0 Qualche esempio () Determinare il comportamento della funzione = log x cos(x 3 ) per x 0+. Poichè + log x = e cos(x 3 ) = 0, abbiamo che è un infinito per x 0 +. Vediamo di determinarne l ordine. Essendo cos y y2 per y 0, abbiamo che 2 per x 0 +. Allora = log x cos(x 3 ) log x 2 x6 + x b log x = + x 6 2x b log( = 2 ) x + x b 6 { log y 0 se b > 6 = 2 y + y = b 6 se b 6 da cui deduciamo che per x 0 + si ha Ord(f) < b per ogni b > 6 e quindi che Ord(f) < 6. 6

7 (2) Data la funzione = e cos x + x 2, provare che per x 0 si ha ord(f) > 2. Essendo + y = + 2 y + o(y) per y 0, ponendo y = x2 otteniamo che + x2 = + 2 x2 + o(x 2 ). Essendo y = cos x 0 per x 0, dallo sviluppo di e y per y 0 otteniamo e cos x = + ( cos x) + o( cos x) Ora abbiamo che cos x = 2 x2 + o(x 2 ) e quindi, utilizzando le proprietà di o piccolo si ottiene e cos x = + 2 x2 + o( 2 x2 + o(x 2 )) = + 2 x2 + o(x 2 ) Quindi = e cos x + x 2 = + 2 x2 + o(x 2 ) 2 x2 o(x 2 ) = o(x 2 ) e dunque, dalla definizione, ord(f) > 2. (3) Determinare il comportamento di = sin( πx ) per x. x + Osserviamo innanzitutto che per x si ha πx πx π e dunque che = sin( ) x+ x+ sin π = 0 (per la continuità di sin x), quindi la funzione è un infinitesimo per x. Posto y = π πx πx πx otteniamo che y 0 per x. Poichè sin y = sin(π ) = sin( ) e x+ x+ x+ sin y y per y 0, per x si ottiene che = sin( πx x + ) π πx x + = π x + π x Ne segue che ord(f) = ed anche che = π + o( ) per x. x x (4) Determinare il comportamento di = (x + sin(x 2 )) 2 x 2 per x 0. La funzione è infinitesima per x 0. Poichè sin y = y + o(y) per y 0, per x 0 otteniamo sin(x 2 ) = x 2 + o(x 2 ) per x 0. Dunque (x + sin(x 2 )) 2 = (x + x 2 + o(x 2 )) 2 = (x + x 2 ) 2 + 2(x + x 2 )o(x 2 ) + o(x 2 )o(x 2 ) essendo x 4 = o(x 3 ) e quindi o(x 4 ) = o(x 3 ). Allora = x 2 + 2x 3 + x 4 + o(x 3 ) + o(x 4 ) + o(x 4 ) = x 2 + 2x 3 + o(x 3 ) (x + sin(x 2 )) 2 x 2 = x 2 + 2x 3 + o(x 3 ) x 2 = 2x 3 + o(x 3 ). Ne segue che ord(f) = 3 e che 2x 3. 7

8 Esercizi Calcolare i seguenti iti:. cos(sin x) x 2 [ 2 ] 2. +(sin x)tan x [] cos( + 2 x ) 3. x + x 2 [0] 4. log 2 (x + log 2 x) x + log 2 x 5. x + x + sin x 6. x + x arctan x 3 x 5 + 2x + 7. cos(tan 2 x) + x 5 5 x 4 + [] [+ ] [0] [ 5 2 ] sin(3x) x + x 2 + 3x 3 [0] 9. x 3 +(x 3) cos(x 3) [] 3x 2 + e x 0. 2x 3 + log(x 2 ) (x + ) log( + x. ) x + x [0] [0] 2. e tan3 x cos x e x2 [0] log 3. 2 (e x + ) x + x + sin x 4. e x sin(e x sin x) x [log 2 e] [] 5. x + x sin( + x 2 x) [ 2 ] 6. sin(π cos x) x sin x [ π 2 ] 7. log(cos x) x 2 [ 2 ] x x 2 + x 3 [ ] x + Calcolare al variare di α R i seguenti iti: sin x tan x. + x α [0 se α < 3, 2 se α = 3 e + se α > 3] 2. x + cos( π 2 x) (x ) α [0 se α <, π 2 α > ] se α = e + se 3. + (x sin x 2 ) 3 x α [0 se α < 3, non esiste per α 3] 4. αx 2 + 2x 3 log(cos x) [ 2α per ogni α] 5. sin(αx 3 ) log( 3 + x 3 ) [3α per ogni α] 6. x x + x α, α 0 [α per ogni α] 7. x + x sin(( + x2 ) α x), [α per ogni α] e x e x 8. + x α [0 se α <, se α = e + se α > ] e αx x 9. arcsin x [α + 2 per ogni α] 0. (x + sin(x 2 )) α x α x 3, α 0 [2 se α = 2, 0 se α > 2 e sgn(α) se α < 2] 8