5. Bevegelsesmengde. Fysikk for ingeniører. 5. Bevegelsesmengde og massesenter. Side 5-1

Transkript

1 5 eegelsesmengde Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Httl har forutsatt at åre legemer kan oppfattes som partkler Stort sett har behandlet dsse partklene som solerte legemer som pårkes a krefter Nå er det på tde å se nærmere på dsse forutsetnngene 5 eegelsesmengde og mpuls V starter med to ktge defnsjoner, og setter opp mpulsloen 5 Kollsjoner mellom to legemer Nå skal utlede en ktg bearngslo, og se ha den kan brukes tl 5 earng a beegelsesmengde 5 Fullstendg elastske støt V kombnerer bearng a beegelsesmengde med bearng a knetsk energ 53 ruk a bearngsloene Når bruker bearng a energ, og nå bruker bearng a beegelsesmengde? 53 Massesenter V ntroduserer et ktg begrep 53 Defnsjon 53 Egenskaper ed massesenteret V begrunner horfor dette er et så ktg begrep, og ser at beegelsesmengden er beart sel om mer enn bare to partkler nngår kollsjonen eller eksplosjonen V rettferdggjør også at tdlgere har betraktet store legemer som om de ar partkler 533 Energberegnnger Enda flere grunner tl å benytte massesenter *54Tllegg Her utledes et par setnnger som bare har gjengtt uten bes teksten foran 54 Fullstendg elastsk, rettlnjet støt 54 Massesenteret tl et sammensatt legeme 543 Knetsk energ tl et sammensatt legeme 55 Sammendrag 56 Oppgaer med løsnnger 56 Småoppgaer teksten 56 landede oppgaer 563 Løsnnger på småoppgaer 564 Sar på blandede oppgaer

2 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-5 eegelsesmengde og mpuls Httl har konsentrert oss om atferden tl ett legeme V har betraktet slke legemer som partkler Nå er det på tde å ta hensyn tl at legemer har en utstreknng V skal gå ut fra at rkelge legemer er bygd opp a partkler som henger sammen Men først må nnføre et par nye begreper, og se ha dsse kan brukes tl Det første nye begrepet er beegelsesmengde, som defneres slk: Et legeme som har masse m og hastghet har en beegelsesmengde p= m Legg merke tl at beegelsesmengde er en ektor defnsjonen ser du at et legeme med lten masse og stor fart kan ha samme beegelsesmengde som et legeme med stor masse og lten fart Erfarnger fra daglglet går ut på at det kan ære lke anskelg å kaste en lett ball med stor fart som å kaste en tung sten med lten fart Det er derfor naturlg å anta at det er sammenheng mellom endrng beegelsesmengde og den kraften som gr en slk endrng Det ar bla slke obserasjoner som sn td fkk Newton tl å utforme den loen som dag kaller Newtons lo Dersom dererer defnsjonen p= m med hensyn på tden t, og benytter at massen m er konstant, får dp d = m = m a= F dt dt der bruker Newtons lo den sste oergangen Da Newton sn td ntroduserte sn lo, benyttet han en formulerng som med dagens symboler faktsk er d F = p dt Denne formulerngen ser seg å gjelde også nnenfor relattetsteoren, mens F= m a kke gjør det Det er derfor grunn tl å s at Newtons lo egentlg burde ært d F = p dt Det neste begrepet skal defnere, er kraftstøt eller mpuls En foreløpg defnsjon er slk: Dersom en konstant kraft F rker en td t, er mpulsen J = F t Merk at mpuls er en ektor Dersom kraften kke er konstant, kan "berge" defnsjonen med å la F ære en gjennomsnttskraft V kan også lage en mer generell defnsjon ed å dele opp tden t mange tds-

3 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-3 nteraller som er så små at kan anta at kraften er konstant nnenfor et nterall Da kan fnne samlet mpuls ed å summere bdragene fra alle nterallene Som anlg erstatter en slk summasjon med en ntegrasjon, og får: Når en kraft F( t) rker fra et tdspunkt t tl et senere tdspunkt t, gr kraften oppha tl en mpuls J = F ( t) dt t t Nå skal sette opp en enkel sammenheng mellom kraftstøt og mpuls V tar utgangspunkt d defnsjonen a mpuls, og setter nn at F = p Da får dt t t dp t t J = F( t) dt = [ ] t dt = d = = t = m m t t dt p p p p Sammenhengen oenfor kalles gjerne mpulsloen: Den samlede mpuls som rker på et legeme et tdsnterall, er lk endrngen beegelsesmengde det samme tdsnterallet Eksempel 5: En person med masse m = 8kg stter en bl som kjører med fart = m/s len kollderer og stopper a) eregn endrngen personens beegelsesmengde b) Hor stor gjennomsnttskraft utsettes personen for når antar at det tar 4 sekunder å endre farten fra m/s tl full stans? Løsnng: Her er det åpenbart rettlnjet beegelse V legger en akse med post retnng den opprnnelge fartsretnngen, og får: a) Endrngen beegelsesmengde er p p = m m = 8 kg m/s 8 kg m/s = 6 kg m/s Mnustegnet kommer a at beegelsesmengden har retnng mot den opprnnelge fartsretnngen b) enytter at mpuls er gjennomsnttskraft ganger lengden a tdsnterallet Da gr mpulsloen: p p 6 kg m/s J = p p F t = p p F = = = 4 N t 4s Mnustegnet ser at kraften rker mot fartsretnngen Tl sammenlknng kan det nenes at en person med masse 8 kg har en tyngde på noe under 8 N Den gjennomsnttlge kollsjonskraften er mer enn 5 ganger så stor som tyngden, eller mer enn 5G Da er det kke rart at personen får store skader under en slk kollsjon Oppgaer: 5

4 5 Kollsjoner mellom to legemer Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde earng a beegelsesmengde V skal nå utlede en ktg bearngslo I første omgang skal utlede den for to legemer som kollderer Men om kke lenge skal se at loen er atskllg mer generell Når to legemer (som skal kalle og ) kollderer, l det rke krefter mellom dem under kollsjonen La oss kalle den kraften som rker fra mot for Denne kraften gr et kraftstøt på Dersom ngen andre krefter rker på legeme under kollsjonen, eller dersom ektorsummen a andre krefter er lk null, l dette kraftstøtet g legeme en endrng beegelsesmengde På tlsarende måte rker det en kraft fra tl, som gr et kraftstøt på Dette kraftstøtet gr en endrng beegelsesmengde Men følge Newtons 3 lo er Da er også Men ha er det egentlg som står her? og er jo endrngene beegelsesmengde tl henholdss og Da er den samlede endrngen beegelsesmengde for de to legemene Lknngen ser altså at endrngen a legemenes samlede beegelsesmengde er lk null Eller annerledes formulert: Når to legemer kollderer, er legemenes samlede beegelsesmengde beart dersom kan se bort fra kraftstøt fra ytre krefter Denne formulerngen trenger et par kommentarer: Med ytre krefter menes alle krefter unntatt kreftene og V kan se bort fra kraftstøtet tl ytre krefter dersom ektorsummen a dem er lk null, eller dersom de rker oer så kort tdsrom at kraftstøtet fra dem kan neglsjeres Eksempel 5: To små ogner glr mot herandre på en horsontal, frksjonsløs luftputesknne Den ene ogna har masse og fart Den andre ogna har masse og fart motsatt retnng a den første ogna De to ognene kollderer, og hekter seg sammen a) Hor stor fart får ognene etter kollsjonen? b) Undersøk om den samlede knetske energen er beart

5 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-5 Løsnng: u u retnng slk at ogn har fart post retnng før sammenstøtet Sden det kke er frksjon, og Lager fguren tl enstre, der jeg elger post ognenes tyngde oppees a en motsatt lke stor kraft fra sknnen, er ognenes samlede beegelsesmengde beart under støtet a) Etter sammenstøtet opptrer de to ognene som ett legeme med masse m + m Kaller ognenes felles hastghet for Da er: m u + m u = m + m Sden all beegelse foregår langs e rett lnje, kan bruke fortegn tl å ta are på retnngene og sløyfer ektor-symbolene Da er u = m/s mens u = 5m/s V får: mu + mu = m + m mu m = = = + mu kg m/s + 5 kg 5 m/s + m + 5 kg 5m/s Mnustegnet angr at de sammenhektede ognene beeger seg negat retnng b) Før kollsjonen ar ognenes samlede knetske energ W = mu + mu før = kg m/s + 5 kg 5 m/s = 965J Etter kollsjonen ar ognene hektet samme tl ett legeme: W = m + m = kg + 5kg 5m/s = 875J etter V ser at den samlede knetske energen er kraftg redusert Eksemplet oer ser at den knetske energen kke er beart ed dette støtet Mye a den knetske energen går oer tl arme det de to ognene støter sammen Dette er en helt anlg stuasjon ed slke støt V merker oss altså at: Når to legemer støter sammen, er beegelsesmengden beart Den knetske energen er som regel kke beart V må ta et eksempel tl, der ser på et støt to dmensjoner Da må benytte ektorregnng Eksempel 5: l har masse m = kg, og kjører østoer l har masse m = 4 kg, og kjører nordoer De kollderer et ekryss på sglatt underlag Umddelbart før kollsjonen har fart med størrelse u = m/s, mens har fart med størrelse u = 5 m/s lene utgjør et sammenfltret rak etter kollsjonen a) Fnn hastgheten (størrelse og retnng) tl raket lke etter kollsjonen b) Undersøk om den knetske energen er beart

6 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-6 Løsnng: u y u θ x a) Legger et koordnatsystem med x-akse østoer og y-akse nordoer Kaller rakets hastghet etter kollsjonen for V antar at ebanen er så glatt at kan se bort fra frksjonskrefter under kollsjonen earng a beegelsesmengde gr m u + m u = m + m = u + u m + m På komponentform blr dette: = kg m/s + 4 kg m/s ( + 4) kg = m/s m/s 5 + = 84 Størrelsen a blr = 58 m/s + 84 m/s = 99 m/s Vnkelen θ med x-aksen er y 84 tanθ = = θ = x b) lenes samlede knetske energ før kollsjonen ar ( m m ) før W = mu + mu = kg m/s + 4kg 5m/s = 367J lenes samlede knetske energ etter kollsjonen er Wetter = m + m = + 4 kg 99 m/s = 3 J Det er altså forsunnet 367 J 3 J = 37 J Denne energen er gått med tl å forandle to fne bler tl ett sammenfltret rak Oppgaer: 5, 5 Sel om kjenner massene tl de to legemene og deres hastgheter før kollsjonen, er normalt kke stand tl å fnne deres hastgheter etter kollsjonen Det skyldes at bearng a beegelsesmengde kun gr oss en lknng, mens anlgs har to ukjente hastgheter etter kollsjonen V trenger da tlleggsopplysnnger Eksemplene oenfor ste et anlg spesaltlfelle, der begge legemene har samme hastghet etter støtet Slke støt kalles fullstendg uelastske Et annet spesaltlfelle er fullstendg elastske støt, der også den knetske energen er beart V skal snart se nærmere på dette spesaltlfellet Men først skal ta et eksempel tl, der har tlleggsopplysnnger som hjelper oss tl å løse problemet

7 Eksempel 53: u Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde o 45 o En puck lgger ro på en sflate En annen puck glr mot med fart u = 3 m/s egge puckene har samme masse m Etter at har truffet, får farten og får farten Sporene sen ser at puckene glr de retnngene som fguren tl enstre angr Fnn hor stor fart her puck fkk etter støtet Løsnng: I dette tlfellet kan gå ut fra at ektorsummen a de ytre kreftene er lk null, slk at puckenes samlede beegelsesmengde er beart På ektorform gr dette: m u+ m = m + m Sden m = m = m, kan dette forenkles tl u = + u 3 o 45 o Dette gr de to lknnger som kan fnne og a: u = cos3 + cos 45 u = 3 + V defnerer poste retnnger som st på fguren tl enstre Vektorene dekomponeres, og fortegnene tlpasses slk fguren ser V får u cos3 cos 45 = + sn 3 sn 45 = sn 3 sn 45 = V starter med å legge sammen lknngene, og får u 3 m/s u = 3 + = ( 3 + ) = = m/s den nederste lknngen får nå = = m/s 6 m/s 5 Fullstendg elastske støt V har allerede st at anlgs er kke den knetske energen beart ed en kollsjon Men det fns stuasjoner der kan anta at den knetske energen er beart Da ser at har et fullstendg elastsk støt earng a knetsk energ gr oss en ekstra lknng Dersom har et rettlnjet støt, ds et støt der begge legemene hele tden beeger seg langs samme rette lnje, er denne ekstra lknngen sammen med bearng a beegelsesmengde tlstrekkelg tl å fnne sluttfarten tl begge legemene Regnngene kan mdlertd bl nokså kronglete Heldgs kan de forenkles ed å benytte at: Dersom har et fullstendg elastsk rettlnjet støt mellom to legemer, l den relate farten mellom legemene beare sn størrelse, men l skfte retnng Ha er det egentlg som lgger denne setnngen? Se på fguren nedenfor:

8 Før: Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-8 u u Etter: To legemer og kollderer Før støtet hadde en fart u, og hadde fart u Sett fra stt synspunkt kommer mot med en relat fart u u Etter støtet har fått en fart, mens har fått farten Sett fra stt synspunkt beeger seg nå bort fra med en relat fart Setnngen ramma oenfor ser at etter kollsjonen beeger seg bort fra med lke stor fart som hadde mot før kollsjonen, og motsatt retnng Med symboler: = u u Jeg har flyttet beset for denne påstanden tl et tllegg, men jeg l sterkt anbefale at du går gjennom beset lkeel Eksempel 54: V ender tlbake tl de to små ognene som glr mot herandre på en horsontal, frksjonsløs luftputesknne Den ene ogna har masse m = kg og fart u = m/s Den andre ogna har masse m = 5 kg og fart u = 5 m/s, der mnustegnet angr at beeger seg negat retnng De to ognene kollderer, men en elastsk fjær sørger for at ognene spretter fra herandre en fullstendg elastsk kollsjon Hor stor fart får ognene etter kollsjonen? Lager fguren tl enstre, der jeg elger post Løsnng: retnng slk at ogn har fart post retnng før u u sammenstøtet Sden det kke er frksjon, og ognenes tyngde oppees a en motsatt lke stor kraft fra sknnen, er ognenes samlede beegelsesmengde beart under støtet earng a beegelsesmengde gr nå mu + mu = m + m Setter nn kjente opplysnnger, og får kg m/s + 5 kg 5 m/s = kg + 5 kg 35 m/s = + 5 Sden all beegelse foregår langs en rett lnje, kan benytte at relatfarten skfter fortegn: = ( u u) = ( 5 m/s m/s) = 35 m/s Den sste lknngen nnebærer at ognene går fra herandre med en fart på 35m/s etter kollsjonen Dette stemmer med at ognene kom mot herandre med en fart på 35m/s før kollsjonen V har nå to lknnger med to ukjente: + 5 = 35 m/s = 35 m/s = 35 m/s + V setter denne sammenhengen nn den første lknngen:

9 ( ) m/s + = 35 m/s Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-9 m/s 7 = 35 m/s 75 m/s = m/s = = 3 m/s 7 Da blr = 35 m/s + = 35 m/s + 3 m/s = 5 m/s V ser at den lette ogn spretter tlbake med forholdss stor (negat) fart, mens den tyngre ogn spretter tlbake med mye laere fart Dette rker rmelg Oppgaer: 53 Når to legemer kollderer med herandre slk som eksemplet oenfor, er det kke anlg at kan anta at kollsjonen er fullstendg elastsk Men har mange andre kollsjoner som er fullstendg elastske Når to elektrsk ladde partkler frastøter herandre, har et fullstendg elastsk støt Det samme er tlfelle når to hmmellegemer tltrekker herandre på grunn a gratasjon Sel om regnngene da blr mer komplserte enn ed et rettlnjet støt, kan de prnsppene har gått gjennom kan anendes mange forskjellge stuasjoner utenom det tl daglg tenker på som kollsjoner 53 ruk a bearngsloene V har nå sett på to ktge bearngsloer: earng a energ, og bearng a beegelsesmengde Men har også sett at den mekanske energen er kke alltd beart Dessuten må sse betngelser må ære oppfylt for at beegelsesmengden skal ære beart Det kan ære nyttg å rekaptulere når kan bruke her a dsse bearngsloene Dersom ngen andre ytre krefter enn tyngde og fjærkraft utfører arbed, er den mekanske energen beart Dersom kan beregne det arbedet som andre ytre krefter utfører (for eksempel frksjonsarbed), kan også sette opp en lknng for mekansk energ Når to eller flere legemer kollderer, eller når et legeme eksploderer to eller flere deler, er beegelsesmengden beart forutsatt at kan neglsjere kraftstøt fra ytre krefter under kollsjonen / eksplosjonen V skal llustrere dsse prnsppene med eksemplene nedenfor, der ønsker å bestemme farten tl e pstolkule det den skytes ut Eksempel 55: V monterer pstolen på e ogn som kan gl uten frksjon på en luftputebane Vogn med pstol har massen 5 kg, mens pstolkula har massen 8 gram V fyrer a pstolen uten å pårke den med ytre krefter Da glr ogn med pstol m bakoer med konstant fart på 8 sekunder Hor stor fart hadde pstolkula?

10 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Løsnng: Idet skuddet går a, kan se bort fra kraftstøt fra ytre krefter Da er beegelsesmengden beart V et massen tl ogn med pstol er m = 5kg, og massen tl kula er m k = 8kg Farten tl ogn med pstol er, og farten tl kula er k Da blr m + m k k= ford hele systemet ar ro før skuddet gkk a, slk at beegelsesmengden da ar lk null Sden ogn med pstol glr bakoer, blr m = = 5m/s 8s Nå kan fnne kulas fart: m 5 kg m + m k k= k= = ( 5m/s ) = 78 m/s m 8kg k Eksempel 56: V har fremdeles pstolen montert på ogna slk som eksemplet foran, men lar nå ogna gl på e horsontal bordplate der frksjonstallet mellom ogn og bordplate er µ = V fyrer a pstolen, og ser at ogn med pstol glr uten å dree seg 4 m bakoer før den stopper ruk dette ekspermentet tl å bestemme kulas fart det den forlater munnngen Løsnng: På samme måte som eksemplet foran er beegelsesmengden beart det skuddet går a Men må benytte energ for å fnne farten som ogn med pstol får bakoer Når ogna stopper, er all den knetske energen som ogna fkk det skuddet gkk a gått med tl å utføre frksjonsarbed, som er gtt ed Wf = Ff s= µ N s= µ ( mg ) s V får da at W = m µ mgs= m f = µ gs = 98m/s 4m = 5m/s Sden ogna beeger seg negat retnng, må korrgere fortegnet tl Deretter fnner farten tl kula på samme måte som eksemplet foran Eksempel 57: u k h I årt sste eksperment skyter pstolkula nn e pendelkule som har massen m p = kg Pstolkula blr sttende fast pendelkula, som snger ut nntl den er kommet en høyde h = 5m oer start-nået ruk dette tl å fnne farten u k tl pstolkula det den slo nn pendelkula Løsnng: Når pstolkula slår nn pendelkula er beegelsesmengden beart ford det kke er noe kraftstøt fra ytre krefter Den mekanske energen er kke beart under dette støtet

11 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Dermot er den mekanske energen beart mens pendelkula (med pstolkula ) snger ut V benytter denne energbearngen tl å fnne farten p + ktl pendelkula lke etter at pstolkula traff Deretter kan bruke bearngen a beegelsesmengde tl å fnne farten tl pstolkula før treffet Energbearng under utsnget: m p+ kp+ k = mp+ kgh p+ k= gh = ( 98m/s )( 5 m ) = 33m/s earng a beegelsesmengde det pstolkula treffer pendelkula som henger ro: mp+ k 8kg mu k k+ = mp+ kp+ k uk= p+ k= 33m/s = 786 m/s m 8kg k Du fnner oppgaer under blandede oppgaer 53 Massesenter 53 Defnsjon Httl har begrenset oss tl å se på kollsjoner mellom to legemer V har faktsk begrenset oss tl å se på partkler, som er legemer med masse men uten utstreknng Nå skal se på legemer og systemer som består a mange enkeltpartkler Da trenger et sært ktg begrep: massesenter Det defneres slk: V har et system som består a n partkler, der partkkel har masse =,,, n Systemets massesenter har da possjon ( ) n n m og possjon r, n r = m + m + + m = m = m m m m r r r r M r n n m = = I den sste skremåten har forenklet skremåten for summetegnet, og har også benyttet at systemets samlede masse er M n = m = Eksempel 53: Fnn possjonen tl massesenteret tl de tre partklene, og C når: har masse m = kg og befnner seg possjon (,3 ) har masse m = 5kg og befnner seg possjon (, ) C har masse m C = 3kg og befnner seg possjon ( 3, ) Løsnng: Stuasjonen er llustrert nedenfor Possjonen tl massesenteret blr

12 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde C - rc r r 3 r= ( mr+ mr+ mcrc) m + m + m C 3 = kg + 5kg + 3kg ( ) kg ( 3) = = = ( ) + 3 ( ) Massesenterets possjon blr derfor (, ) Massesenteret () er tegnet nn som en rng på fguren Praktsk beregnng a massesenter for større legemer fører gjerne tl at summetegnene må erstattes a ntegraltegn Da får at r = dm M r der dm er massen tl et lte masse-element possjonen r, og M = dm er legemets samlede masse, og må ntegrere oer hele legemet Dette kreer matematkkkunnskaper som jeg kke forenter at dere har Men jeg skal nene et par enkle regler for hordan kan fnne massesenteret for noen homogene legemer: Dersom legemet har en symmetrakse eller et symmetrplan, l massesenteret lgge et sted på symmetraksen eller symmetrplanet Dette nnebærer for eksempel at e kule har massesenter kulas sentrum, og at en jamntykk sta har massesenter mdt på staen Dersom legemet kan deles opp mndre deler med kjente masser og kjente massesentre, kan legemets massesenter beregnes ut fra formelen r = mr m der m og r er masse og massesenter tl del nr Denne regelen er utledet kap 54 Eksempel 53: En tynn, homogen sta har lengde L = 8m og masse m s = 4kg E homogen kule med masse m k = kg er festet med stt sentrum staens ene ende Sta pluss kule oppfattes som ett legeme Hor er massesenteret tl dette legemet? Løsnng: V lager en fgur, der plasserer staen langs en x-akse med kula orgo: Kula har stt massesenter orgo, mens staen har stt L L x massesenter xs = L Legemets massesenter er da 4kg ( 8m) x = ( m L+ mk ) = = 3 m + 4kg + kg s ms mk Oppgaer: 53, 53, 533

13 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde Egenskaper ed massesenteret Dersom de partklene som nngår årt system beeger seg, må også massesenteret beege seg V tar utgangspunkt defnsjonen a massesenter: r = m r, M og dererer denne lknngen med hensyn på tden t Sden alle massene er konstante, får : dr d dr = mr = m = m dt dt M M dt M V oppfatter nå dr dt som hastgheten tl massesenteret Lknngen oer blr da = m M = m M Men m er jo den samlede beegelsesmengden tl alle partklene systemet Dermed har et ktg resultat: Den samlede beegelsesmengden tl et system er lk systemets masse multplsert med massesenterets hastghet Dette resultatet er mye ktgere enn skulle tro ed første øyekast Det er egentlg dette resultatet som rettferdggjør at kan snakke om beegelsesmengden tl et legeme, der legemet består a en mengde enkeltpartkler V erstatter da legemet med en partkkel som har samme masse som legemet, og som befnner seg legemets massesenter Når snakker om legemets hastghet, mener egentlg hastgheten tl legemets massesenter Men nøyer oss kke med dette V dererer uttrykket = m M med hensyn på tden t, og får d d d = m = m dt dt M M dt d d Men er jo akselerasjonen a tl partkkel nr Vdere er det naturlg å oppfatte dt dt som akselerasjonen a tl massesenteret Da blr lknngen oenfor a = m a M La oss feste oppmerksomheten på partkkel nr Denne partkkelen pårkes a krefter Dsse kreftene deles nn to grupper: ytre krefter som har motkraft utenfor systemet og ndre krefter som skyldes pårknng fra andre partkler systemet V kan sette

14 der F = F + F,ytre,ndre F,ytre og,ndre Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-4 F er ektorsummen a henholdss ytre og ndre krefter som rker på partkkel nr Men følge Newtons lo er F = ma F + F = ma,ytre,ndre Da blr a = m (,ytre,ndre ) a = F + F = F,ytre + F,ndre M M M M Men sden de ndre kreftene har sn motkraft andre partkler legemet, må alle de ndre kreftene opptre par som er lke store og motsatt rettet følge Newtons 3 lo Da blr F,ndre = Dermed har at a =,ytre,ytre = M M F F a Også dette er et uhyre ktg resultat Det ser jo at kan betrakte et system a partkler som om det ar en partkkel med masse M som pårkes a ytre krefter F,ytre V kan da bruke Newtons lo tl å fnne akselerasjonen tl massesenteret tl dette systemet som om det ar en partkkel med masse M Massesenterets bane er helt upårket a ha som skjer med de enkelte partklene som systemet består a Dersom F,ytre =, er også a = Da er massesenterets hastghet konstant Men har tdlgere st at M = m Når er konstant, og M er konstant, må også m ære konstant Dermed har st at: Dersom ektorsummen a de ytre kreftene som rker på et system a partkler er lk null, er systemets samlede beegelsesmengde beart Dette er en generalserng a den setnngen om bearng a beegelsesmengde som har fra før Dette kan llustrere med å gå tlbake tl de to blene som kollderte eksempel 5: Eksempel 533: l har masse m = kg, og kjører østoer l har masse m = 4 kg, og kjører nordoer Umddelbart før kollsjonen har fart med størrelse u = m/s, mens har fart med størrelse u = 5m/s etrakt de to blene som to deler a ett sammensatt legeme Vs at farten tl massesenteret tl dette legemet kke endres under kollsjonen

15 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-5 Løsnng: I eksempel 5 fant at massesenterets hastghet etter kollsjonen ar Før kollsjonen er massesenterets hastghet V setter nn de gtte opplysnngene, og får V ser at massesenterets hastghet er den samme før og etter kollsjonen Dette llustrerer at massesenteret fortsetter helt upårket a kollsjonen Hs du kaster en gjenstand, er det gjenstandens massesenter som følger en kastebane Dette gjelder sel om deler a gjenstanden faller a lufta Som et ekstremt eksempel kan se på en rakett som skytes ut en prosjektlbane og eksploderer lufta Dersom kan se bort fra luftmotstand, l massesenteret tl rakettbtene følge samme prosjektlbane etter eksplosjonen som før sel om btene fyker tl alle kanter etter eksplosjonen Dersom massesenteret tl et system er ro, og ektorsummen a de ytre kreftene som rker på et systemet er lk null, må massesenteret fortsatt lgge ro Det skal benytte eksemplet nedenfor Eksempel 534: E ogn med masse står på et horsontalt underlag, nn mot en lasterampe En person med masse står på ogna 5 m fra kanten a rampen Personen begynner å gå mot rampen Da beeger ogna seg fra rampen Hor langt fra rampen er personen når han er kommet tl enden a ogna? Se fguren nedenfor Gå ut fra at det kke er frksjon Løsnng: etrakter ogn pluss person som ett system Sden det kke er frksjon, og ogna står på et horsontalt underlag, er ektorsummen a de kreftene som rker på systemet lk null Da flytter heller kke systemets massesenter seg Legger nn en x-akse langs ogna, med orgo kanten a lasterampen I starten er personens massesenter possjon, og ognas massesenter possjon Da er systemets massesenter possjon

16 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-6 Etter at personen har flyttet seg, og står en streknng x fra orgo, l ognas massesenter stå en streknng x + x fra orgo Da er systemets massesenter gtt ed x p mp x+ m x + x = m + m Men massesenteret har kke flyttet seg Derfor må dsse to uttrykkene ære lke Da blr mp L+ m x mp x+ m ( x + x) = m + m m + m p p m L+ m x = m x+ m x + m x p p m L m m x x 8kg 5m m p p = p + = = = mp + m ( 8 + ) kg m L 533 Energberegnnger Når skal beregne energen tl et legeme eller et system som er satt sammen a flere deler, bør egentlg beregne energen tl her del for seg og deretter summere bdragene Heldgs kan forenkle dette arbedet ed å benytte massesenter V skal først se på den potenselle energen tyngdefeltet tl et sammensatt legeme der de enkelte delene har masser m, m,, m n og befnner seg høyder h, h,, h n oer et nullnå for potensell energ Den samlede potenselle energen for hele systemet er da Wpot = mgh = g mh Men massesenterets høyde oer nullnået er gtt ed h = mh mh = M h M Dermed blr pot W = g mh = g M h Med andre ord: Den potenselle energen tl et sammensatt system er lk den potenselle energen tl en partkkel med masse M systemets massesenter Så skal se på den knetske energen tl et legeme som er satt sammen a n deler med masser m, m,, m n og hastgheter,,, n forhold tl et nertalsystem Nå skal la her a dsse hastghetene ære ektorsummen a massesenterets hastghet og en hastghet ' forhold tl massesenteret: = + ' I tllegget nedenfor ser at den samlede knetske energen blr W M m kn = + '

17 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-7 Med andre ord: Den knetske energen tl et sammensatt legeme er summen a massesenterets knetske energ når antar at all masse er samlet massesenteret, og en knetsk energ som skyldes partklenes beegelse rundt massesenteret V får god bruk for begge dsse setnngene når kommer tl rotasjon Hs for eksempel ser på et hjul som ruller, blr hjulets knetske energ summen a den knetske energen som skyldes at hjulets massesenter har en fart og knetsk energ på grunn a hjulets rotasjon rundt massesenteret Men før går løs på slke problem, må ta rotasjon fra grunnen a *54 Tllegg 54 Fullstendg elastsk, rettlnjet støt V skal nå se at ed et fullstendg elastsk, rettlnjet støt mellom to partkler l den relate hastgheten endre retnng V benytter da at både beegelsesmengde og knetsk energ er beart earng a beegelsesmengde gr mu + mu = m + m m( u ) = m( u ) () earng a knetsk energ gr mu + mu = m + m m( u ) = m( u ) Ved å bruke 3 kadratsetnng kan den sste lknngen omformes tl m( u )( u + ) = m( u )( u + ) () Så deler () på (), og får: m( u ) ( u + ) m( u ) ( u + ) = m u m u Etter å ha utført de angtte forkortngene, får u + = u + = ( u u) Og det er jo nettopp den sammenhengen skulle fram tl 54 Massesenteret tl et sammensatt legeme Den generelle defnsjonen a massesenter er r = mr m der summerer oer hele legemet Men kan tenke oss at dsse partklene grupperes n dellegemer Da kan først summere oer de partklene som utgjør del-legeme, deretter oer de partklene som utgjør del-legeme, os tl de partklene som utgjør del-legeme n Da blr r = m m m m r r n n der ndeksene under summetegnene angr hlket del-legeme summerer oer Men massesenteret tl et lkårlg del-legeme nr k er jo gtt ed r, k= mr mr= m r, k= mkr, k m k k k k der mk = m er massen tl del-legeme nr k Dermed har at k

18 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-8 r = m r + + m r = m r + + m r ( ) n n m + + m n m + + mn n Dette er nettopp den formelen benyttet kap 53, men med ltt andre symboler 543 Knetsk energ tl et sammensatt legeme V skal se på den knetske energen tl et legeme som er satt sammen a n deler med masser m, m,, m n og hastgheter,,, n forhold tl et nertalsystem Her a dsse hastghetene er ektorsummen a massesenterets hastghet og en hastghet ' forhold tl massesenteret: = + ' Den samlede knetske energen blr da W = m = m = m + ' + ' ( m m ' m' ' ) ( m) m' m( ' ) kn = + + = + + V et at massesenterets hastghet forhold tl orgo er gtt ed = m M Men sden ' er en partkkels hastghet forhold tl massesenteret, må m ' ære M massesenterets hastghet forhold tl massesenteret og denne hastgheten må selsagt ære lk null Dermed blr m ' = Da reduseres uttrykket for W kn tl: W M m kn = + ' 55 Sammendrag Symbol: Norsk betegnelse: Engelsk betegnelse: p beegelsesmengde momentum J kraftstøt, mpuls mpulse r massesenter Center of Mass eegelsesmengde p = m der m er massen tl et legeme mens er legemets hastghet t Kraftstøtet J = F ( t) dt som reduseres tl J = F t når en konstant kraft F rker en td t t Impulsloen: J = p p earng a beegelsesmengde: Dersom summen a de ytre kreftene er lk null, er beegelsesmengden beart Ved et fullstendg elastsk, rettlnjet støt mellom to legemer l den relate farten mellom legemene beare sn størrelse, men l skfte retnng Massesenter: r = ( m + m + + mn n) = m m + m + + m r r r M r n

19 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-9 Her er m massen tl partkkel eller del-legeme, mens r er possjonen tl partkkel eller possjonen tl massesenteret tl del-legeme Massesenterets hastghet = m M Massesenterets akselerasjon a er gtt ed F,ytre = M a Når massesenteret tl et legeme med masse M er en høyde h oer nullnået, har legemet en potensell energ tyngdefeltet Wpot = Mgh Den knetske energen tl et legeme kan uttrykkes som er massesenterets fart mens kn ' m ' er knetsk energ som følge a partkkelbeegelser forhold tl massesenteret W = M + m der 56 Oppgaer med løsnnger 56 Småoppgaer teksten Oppgae 5: En fotball med massen m = 45kg som lgger ro gs et spark, slk at den får fart = m/s Fnn den gjennomsnttlge kraften sparket når antar at fotballen ar kontakt med foten s Oppgae 5: To partkler og kan beege seg på samme rette lnje Partkkel har masse m og fart u Den kollderer et rettlnjet støt med partkkel som har masse m og lgger ro a) Fnn partklenes fart etter støtet uttrykt ed u b) Hor stor del a den opprnnelge knetske energen er gjen som knetsk energ etter støtet? Oppgae 5: De to partklene oppgae 5 kollderer på nytt, men nå er det en 9 nkel mellom hastghetene før støtet Nå har farten u mens har farten u Støtet er fullstendg uelastsk, slk at de to legemene fortsetter som ett legeme med hastghet Fnn størrelsen og retnngen tl, og fnn også hor stor del a den opprnnelge knetske energen som er gjen som knetsk energ etter støtet Oppgae 53: De to partklene oppgae 5 kollderer på nytt et rettlnjet støt Som før har farten u mens lgger ro Men nå er støtet fullstendg uelastsk Hor stor fart får hert a legemene etter støtet? Oppgae 53: Et legeme består a tre partkler, og C, der:

20 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Partkkel har masse m = 5kg og lgger punktet (,) Partkkel har masse m = 4kg og lgger punktet (,3 ) Plasser partkkel C som har masse m C = 3kg slk at legemets massesenter kommer orgo Oppgae 53: M C Et legeme har form som en T egge armene er laget a samme homogene materale, og har lengde l og masse m Punktet M lgger mdt på Hor lgger legemets massesenter? Oppgae 533: O Et legeme har form som en nkel egge "armene" er homogene slk at de har stt massesenter mdt på rmen O har lengde L og massen m = m, mens armen O har lengden L og 3 massen m = m Hor er legemets massesenter? 3 56 landede oppgaer Oppgae 5: 6 o 6 o En ball med masse gram kastes nn mot en egg med fart = m/s under en nkel på 6 med eggen, og spretter ut med fart = 9 m/s under en nkel på 6 med eggen slk fguren ser Fnn den gjennomsnttlge kraften som rker fra eggen mot ballen når antar at ballen er kontakt med eggen 4 sekunder Oppgae 5: To jernbaneogner befnner seg på en horsontal, rett sknnegang Vogn har masse m = 3m, og har fart u mot ogn som har masse m = m og som står ro En buffer (som fungerer som e elastsk fjær) er festet tl en a ognene, og sørger for at ognene støter sammen et fullstendg elastsk støt Se bort fra frksjon a) Hor stor fart har her a ognene etter støtet? Saret skal uttrykkes ed u b) Hor stor del a den opprnnelge knetske energen er bltt oerført tl potensell energ bufferen det øyeblkket da begge ognene har samme fart?

21 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - Oppgae 53: = To små ogner og med masser m = m og m = m kan gl uten frksjon på en horsontal sknnegang I starten er de festet sammen med e masseløs, sammenpresset fjær, og beeger seg med fart med forrest slk fguren oenfor tl enstre ser Plutselg utløses fjæra Da stanser Hor stor potensell energ ar lagret fjæra? Saret skal uttrykkes ed m og Oppgae 54: E katt med masse m k = 5kg stter på e huske som har masse m h = 5kg Se bort fra massen tl tauene som holder huska oppe Plutselg dukker en hund opp, og katta hopper ned fra huska for å gjemme seg Idet katta hopper a, snger huska bakoer h Gå ut fra at katta hopper ut horsontalt, og at både katta og huska er partkler Se bort fra alle former for frksjon s a) Fnn farten tl katta det den forlater huska når du et at høyden h = 545m, og at den horsontale streknngen s = 6m b) ruk resultatet oenfor tl å fnne hor høyt oer stt laeste punkt huska kan komme Oppgae 55: E kule (som skal betrakte som en partkkel) har masse m Den glr med fart på e horsontal bordplate, før den fortsetter oppoer en rampe som har massen m Rampen sto opprnnelg ro, men settes da beegelse samme retnng som kula hadde opprnnelg Det er ngen frksjon, erken mellom kule og bordplate, mellom rampe og bordplate, eller mellom kule og rampe a) Forklar at beegelsesmengden horsontal retnng er beart b) Vs at når kula er stt høyeste punkt på rampen, har rampen og kula farten = 3 Fnn (uttrykt ed og g) hor høyt oer bordplata kula da er kommet

22 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5 - c) Etter at kula har gldd ned rampen gjen, har rampen fått farten R, mens kula har farten K Fnn R og K uttrykt ed 563 Løsnnger på småoppgaer Oppgae 5: Sden fotballen lå ro før sparket, er m ( 45kg ) ( m/s ) F t = m F = = = 85 N t s Oppgae 5: a) V et at beegelsesmengden er beart For et rettlnjet støt blr mu + mu = m + m m u = m + m u = + I et fullstendg uelastsk støt henger partklene sammen etter støtet: = = u = + = 3 = = = u 3 b) Knetsk energ før støtet ar W = m u Knetsk energ etter støtet er ( ) W = m + m = m+ m u = m u = m u Da er W W mu = = = 6 W 3 W 3 mu Oppgae 5: earng a beegelsesmengde gr u m m ( m m) + = + u u u Størrelsen tl blr u u 3 m + 3m 4 4u = = + u = u + u = u Hastghetesektoren danner en nkel θ med beegelsesretnngen tl : 4 u 3 tanθ = θ = 76 u 3 Knetsk energ før støtet: W = mu + m u = mu + 4mu = mu 9 Knetsk energ etter støtet:

23 Da blr W W Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-3 ( ) 3 ( 7 ) W = m + m = m u = mu mu = = W 9 7 = W 7 mu Oppgae 53: Problemet løses enklest ed å benytte at relatfarten mellom partklene skfter fortegn uten å endre størrelse ed et slkt støt Da har at = ( u) = = + u Kombneres dette med bearng a beegelsesmengde får u = + = + + u = 3 + u 3 = u = u 3 V ser at spretter tlbake ed et slkt støt = + u = u + u = u 3 3 Oppgae 53: Plasserer punktet C ( xy, ) Da er massesenterets possjon er gtt ed r= ( mr+ mr+ mcrc) m + m + mc x = 5kg + 4 kg + kg ( ) kg 3 y x 3+ x = kg 95kg = = y y Dette gr at 3 + x = x = y = y = 75 Oppgae 53: M C Legger nn en x-akse og en y-akse som st på fguren Sden har massesenter orgo, mens MC har massesenter l fra orgo, blr legemets massesenter gtt ed l l l 4 r = m m m m m + = = + m Oppgae 533: y L 4 x O L Legger x- og y-akse som st på fguren Sden begge "armene" har massesenter mdt på, har nkelen massesenter L r = m + m 3 3 m+ m 3 3 L 4 ml = m = ml +

24 Fyskk for ngenører 5 eegelsesmengde og massesenter Sde 5-4 fguren ser du at massesenteret lgger utenfor legemet, på forbndelseslnjen mellom massesentrene tl de to "armene" 564 Sar på blandede oppgaer Oppgae 5: 4N F = 5 N Oppgae 5: = u, 5 = u; W = W 6 5 buffer 5 Oppgae 53: 3 W = m 4 Oppgae 54: k = 86 m/s, h = 96 m Oppgae 55: = 3, h = ; R = 3, K = 3 3g