Litt om Logikk og Litt om Vår Forskning

Transkript

1 og Litt om Vår Forskning February 2, 2009

2 Hva vi skal snakke om? 1 Hva er? 2 Hva er? 3 Hva driver to tilfeldig valget matematiske logikere (vi) med?

3 Noen definisjoner av er (det formelle) studiet av gyldige resonnementer. Logic is the art/science of non-contradictory identification. (Ayn Rand) Logic is the anatomy of thought (John Locke) Logic takes care of itself; all we have to do is to look and see how it does it. (Ludwig Wittgenstein)

4 Aristoteles Veldig kort Historie en som displin oppstod med Aritoteles, da nært knyttet til læren om retorikk. Aristoteles huskes særlig for sine studier av syllogismene: et argument der én konklusjon følger fra to premisser. Den mest berømte er kanskje modus ponens som har formen: A medfører B, og A, dermed B. Dette skriver vi med symboler som: (A B A) B Aristoteles forfatterskap regnes fremdeles som meget relevant faktisk er betydelige deler av logikk-delen i ExPhil nesten direkte oversatt fra de originale tekstene.

5 Etter Aristoteles Veldig kort Historie Aristoteles blir gjenoppdaget i den tidlige middelalderen i de Mauriske bibliotekene i Spania. Siden har filosofer bygget videre på Aristoteles verker. Filosofer som f.eks. Francis Bacon, John Locke, David Hume, Immanuel Kant, Friedrich Hegel og Ludwig Wittgenstein studerer mere eller mindre formellt grunnlaget for menneskelig viten og tenkning. Filosofer (og matematikere) som f.eks. Leibniz, Boole, Peirce utvikler en abstrakt, symbolsk beskrivelse av Aristotelsk (og nyere) logikk.

6 Hva er? Hva er? To definisjoner: er studiet av med matematiske metoder. er studiet av Matematikk med logiske metoder. På en side: regne med argumenter med en matematisk presisjon og formalisme, f.eks. symbolsk logikk. På en annen side: studere hvordan matematikere jobber fra et filosofisk perspektiv, f.eks. Hva er et matematisk bevis?.

7 Noen Viktige Navn Hva er? G. Frege og G. Cantor: Matematikere og filosofer på slutten av 1800-tallet, som inspirert av bl.a. Leibniz og Boole begynnte å beskrive matematikken ved hjelp av logiske formalismer. Principia Mathematica: Et trebindsverk om matematikkens grunnlag, skrevet av Alfred North Whitehead og Bertrand Russell, utgitt i årene Et forsøk på å utlede hele den moderne matematikken fra en veldefinert menge aksiomer og slutningsregler (tenk: syllogismer). Navn: Hilbert, Gödel, Kleene,... Blant norske logikere er Thoralf Skolem en bauta. Litt mer om ham siden.

8 idag Hva er? Modellteori Hvilke Strukturer/Universer oppfyller gitte Aksiomer? Bevisteori Slutningsregler og Teoremer, hvor vanskelige er der? Mengdelære Abstrakt modell for hele matematikken(?: Derom strides de lærde). Rekursjonsteori Grunnlaget for regneprosedyrer (algoritmer). Teoretisk Informatikk Anvendt rekursjonsteori++. Matematisk Filosofi det var f.eks. den striden da...

9 Hvem vi er Hva er? Philipp er ansatt som Post doktor. Mathias er anstatt som PhD student. En forsker-lærling.

10 Thoralf Skolem ( ) Hva er? Thoralf Skolem er en berømt logiker innen matematisk logikk er hans navn like kjent som Abel! Hans arbeider omfatter de fleste logiske underdisiplinene. Han virket ved UiO (som het Det Kongelige Fredriks Universitet frem til 1939). Vi skal se litt på en artikkel publisert i 1956, og et problem han antydet kunne være interessant å kikke på. Artikkelen heter An ordered set of arithmetic functions representing the least ɛ-number, og vi skal først raskt forklare tittelen.

11 Ordninger Hva er? Intuitivt er en ordning av en mengde elementer en måte å sammenligne (to og to) elementer på. Man har f.eks. sin egen subjektive ordning av matretter. Det finnes mange ulike typer ordninger: Partielle ordninger: Matrettene: Ikke total, men antisymmetrisk og transitiv. Totale ordninger: Den vanlige ordningen av Q, eller av N. En partiell ordning der alle elementer kan sammenlignes. Vellordninger: En total ordning som opfyller følgende tilleggskriterium: Ingen uendelige nedadstigende kjeder! (N, ) er en vellordning, (Q) er det ikke:

12 Ordinaler Hva er? En ordinal er en kanonisk vellordning. Vi kan tenke på dem som en spesiell type tall (Tenk ordenstall etc.). Eksempler: Tallene 0,1,2,3,.... F.eks. representerer tallet 3. = ({0, 1, 2}, ) en vellordning av tre objekter, der kan representere tre objekter med en total ordning. Tallet ω. Dette tallet som er et uendelig tall representerer alle ordninger av typen (N, ). ω + 1 ω + 2 ω 2 ω 2 ω ω. ɛ 0. Tilfredsstiller ω α = α.

13 Majorisering Hva er? La f og g være to funksjoner N N. Vi sier at: Spørsmål f g hvis f (n) g(n) for alle n N. g majoriserer f hvis Vi skriver f g. M n M (f (n) g(n)). Gitt en mengde funksjoner A N N, er (A, ) en vellordning? Hvis den er det, hva er dens ordinal?

14 Eksempler Hva er? Alle funksjoner: Nei! Usammnelignbare funksjoner, samt uendelige nedadstigende kjeder av funksjoner. Heltalls-polynomer (N[x]): Ja! (Tenk asymptotisk vekst).

15 Genererte mengder Hva er? Se på funksjonene som kan genereres ved at vi starter med x og 1, og kan legge sammen funksjoner (f + g) eller multiplisere (f g). Da får vi nøyaktig N[x]! x 2 + 2x + 3 = (x x) + [(x + x) + ((1 + 1) + 1)] Mange ulike måter å gjøre dette på, f.eks.: 2x = x + x = x (1 + 1) = (x 1) + (x 1) =

16 Eksponentiering og Tetrering Hva er? Vi vet godt hva x y betyr: x y = x x }{{} y Tetrering er for eksponensiering det eksponensiering er for mulitiplikasjon. x y = x x} Eksempel: 4 3 = 4 (44) = = (som er mye større en antall elementærpartikler i universet!) Tetrering er altså en ekstremt raskt voksende funksjon. y

17 Skolems Resultat Hva er? Skolem definerte S som den mengden generert av 1, x og f + g, f g og x f. x x2 +2, x (xx ), men ikke f.eks. (x + 2) (x+3). (S, ) er en vellordning, og dens ordinal er ɛ 0. ɛ 0 kan illustreres ved ω ω. Merk at alle funksjoner i S har endelig tårnhøyde x c N. Funksjonen x x derimot... x} c for en

18 Skolems Problem Hva er? Skolem antydet også en mengde S som den mengden generert av 1, x og f + g, f g, x f og x f. Spørsmål Er (S, ) en vellordning? Spørsmål Hvis den er det: Hva er dens ordinal? Dette har vi arbeidet med det siste året, og svaret er JA! og større enn τ 0 (som er diger.)

19 What is it good for? Hva er? Vellordnede mengder finnes overalt i matematikken. Transfinitt induksjon baseres på vellordninger av vilkårlig type, og har mange viktige anvendelser. (Zorn s Lemma). Også nyttig i analyse av kompleksitet og terminering av algoritmer. Utallige anvendelser i. Det å forstå ordinalene når de begynner å bli store, kan være utfordrende. Spesiellt når man kun kjenner ordinalen som en abstrakt, og ikke som ordningstypen til en mer konkret struktur. Vår vellordning (S, ) representerer en ordinal som vi ikke så vidt vi vet har noe slik konkret eksempel på fra før.

20 Takk for Oss! Hva er? Takk for Oss! Spørsmål?