Statikk og likevekt. Elastisitetsteori

Transkript

1 Statikk og likevekt Elastisitetsteori YS-MEK

2 uke man forelesning: elastisitetsteori forelesning: spes. relativitet Eksamensverksted Pinse tir ons tor fre snulegruppe snulegruppe snulegruppe gruppe 9: likevekt+elastisitet forelesning: spes. relativitet gruppe 7, 8, 10: likevekt+elastisitet 17. mai forelesning: repetisjon gruppe 7, 8, 10: spes. relativitet gruppe 9: spes. relativitet gruppe 1-6: likevekt+elastisitet gruppe 1-6: spes. relativitet Himmelfart Eksamensverksted EKSMEN

3 Eksamen: Tirsdag, 6. Juni, 14:30 18:30 Tillatte jelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og eneter i fysikk og teknikk eller ngell, Lian, Øgrim: ysiske størrelser og eneter: Navn og symoler Rottmann: Matematisk formelsamling Elektronisk kalkulator av godkjent type. ormelark er del av oppgaveteksten. Tidligere eksamensoppgaver: ttp:// Gjør oppgavene selv uten å se på løsningsforslag! YS-MEK

4 ttp://pingo.up.de/ access numer: En kiste står på et skråplan. Massesenteret er markert med et punkt. I vilken av de fire tilfeller velter kisten (vis i det ele tatt)? 1.. B 3. C 4. D 5. og C 6. C og D 7. alle er stailt YS-MEK

5 Eksempel: kiste på skråplan En omogen kiste med masse m, redde og øyde står på et skråplan med vinkel α. Hva er etingelser for likevekt? krefter på kisten: gravitasjon G retning: f mg sin α = 0 y retning: N mg cos α = 0 normalkraft N friksjon f y G N O c f kraftmoment om O: Nc + mg sin α mg cos α = 0 c + tan α = 0 c = 1 etingelse ( tan α) kisten kan enten skli eller velte vis den velter er O den eneste kontaktpunkt og c = 0 for at kisten velter: tan α = YS-MEK

6 Eksempel: kiste på skråplan f mgsin kisten egynner å skli vis: kritisk vinkel: N mg cos f N c 1 ( tan) mgsin mg cos tan G N O c f samtidlig må være: c 0 tan ellers ar kisten allerede veltet kisten egynner å velte vis: c 0 kritisk vinkel: tan samtidlig må være: f N tan ellers ar kisten allerede sklidd eksempel: kisten sklir ved a crit arctan( ) kisten velter ved acrit arctan 6. 6 YS-MEK

7 Elastisitetsteori Hvordan lir faste stoffer deformert når de påvirkes av krefter? Vi ar så langt modellert deformasjoner med fjærkrefter: k YS-MEK

8 vekselvirkningspotensialet mellom atomer ser typisk ut som dette: r 0 U / U 0 Taylorutvikling om minimumspunktet r 0 : 1 U( r) U( r0 ) U( r0 )( r r0 ) U ( r0 )( r r0 )... for et minimumspunkt er: U( r 0 ) 0 vi definerer: k U r ) ( 0 r / r 0 Lennard-Jones potensial 1 r0 r0 U( r) U0 r r 6 1 U( r) U( r r 0 ) k( r 0) du d 1 ( r) U( r ) k( r r dr dr 0 0) k( r r0) fjærkraft YS-MEK

9 jelke i likevekt: 1 1 vi tenker oss en imaginær snittflate vi tenker oss en snittflate på en atomær skala 0 kraft mellom to atomer i retning: fjærkraft k( ) 0 ra tilnærming for små kuisk krystall YS-MEK

10 kraft på en snittflate med areal k( ) N N 0 y z N y l N z l spenning l tøyning k l l k l E k l Elastisitetsmodul Youngs modul materialegenskap enet: N m Pa E Hookes lov YS-MEK

11 Elastisitetsmodul eksempler: stål Pa = 00 GPa = 00 kn/mm ly 19 GPa silikon 0.05 GPa Eksempel Et lodd på 1 kg enger i en ståltråd med 1 mm diameter og lengden 1 m. Hva er forlengelsen av tråden? spenning: mg 1 kg 9.81 m/s r (510 ) m 7 Pa E L L E Pa 1m Pa m 6.5 m YS-MEK

12 Spennings-tøyningskurve plastisk deformasjon sammentrekning elastisk deformasjon rudd Hookes lov: E YS-MEK

13 tøyning i retning: E tøyning i y retning: y y y E tverrkontraksjonstall Poissons tall volumendring: V ( )( y y)( z z) yz V V y ( z) ( y) z ( ) yz y y z z ( 1 ) volum er konstant for de fleste materialer YS-MEK

14 noen materialer ar negativ Poissons tall YS-MEK

15 Skjærdeformasjon normalspenning: E skjærspenning: y y G y G: skjærmodul skjærmodulen G er relatert til elastisitetsmodulen E og tverrkontraksjonstallet for isotrope materialer: G E (1 ) YS-MEK

16 Vridning to motsatte kraftmomenter τ vrir en tråd om en vinkel φ torsjonsmodul: D r relatert til skjærdeformasjon D GR r l 4 G: skjærmodul YS-MEK

17 Bøying av en jelke midtlinjen: den nøytrale linjen ovenfor komprimeres jelken nedenfor forlenges jelken forlengelsen l i avstand fra den nøytrale linjen: l ( R ) R l R l l R Hookes lov: ( ) E l l E R spenning i jelken YS-MEK

18 en jelke med øyde og redde : nettokraft er null, men det virker et kraftmoment om O i r i i r d ( ) d E R d E R I I d øyningen er gitt ved: flatetregetsmoment 1 R I E τ: kraftmoment fra ytre krefter E: materialegenskap I : geometrisk jo større flatetregetsmoment, jo større motstand mot øyning ( ) l E l E R : avstand fra nøytral linje YS-MEK

19 YS-MEK Eksempel: flatetregetsmoment for en 4 cm trevirke: / / dy y d y I y to orienteringer: cm 3 8 cm 1 4 I cm 3 3 cm 1 4 I I

20 ttp://pingo.up.de/ access numer: En massiv jelke og en I-jelke av samme material og dimensjon er innspent i den ene enden og den andre enden er fri. Hvilen jelke øyes mest? tverrsnitt av jelkene 1. massiv jelke. I-jelke 3. det samme for egge YS-MEK

21 H H I B 1 BH 1 3 I B ( BH 1 ) B H 10 cm 9.4 cm 8 cm I 833 cm 100 cm 4 I 43 cm 4.8 cm 4 1 R I E YS-MEK