B15 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KNEKKLENGDER, VRIDD AVSTIVNING

Transkript

1 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG 5. MODELLSØYLEMETODE BRUKT TIL Å BESTEMME KEKKLEGDER Mtodn går kort ut på å gi søn r søn i ksmpn n utbøning =. Dt kn mn gjør fordi knkning r krktrisrt bnt nnt vd t utbøningn r ubstmt. Dt vi si t tndnsn ti å bø sg ut på grunn v. ordns momntt r ik stor som tndnsn ti å rtt sg på grunn v søns stivht, og dtt r uvhngig v utbøningn (så ng dn r itn). Drsom mn hdd nvndt t nøktigr uttrkk for smmnhngn mom momnt, stivht og krumning nn M / EI = / R (n bdr mtmtisk mod), vi mn finn t dnn gnskpn ikk ngr vr ti std, og utbøningn vi ikk ngr vær ubstmt, mn «kssisk knkning» vi rprsntr t grnstif. Md dnn utbøning v sstmt brgns momntfordingn, som bir. ordns momntt M, og tså uttrkt vd normstn og utbøningn. Oft r dt bhov for t uttrkk for forøpt v utbøningn. Dt vnig r å bruk n sinuskurv r n. grds prb. Dt r ikk vgjørnd, mn prøvrgningr visr t mn vnigvis kommr nærmr dn «korrkt» øsning (som tifrdsstir diffrnsiigningn, som igjn btr t ikvkts- og formndringsbtingsr r oppft i punktr) vd å bruk n prb. Sinuskurvr hr n tndns ti å gi for stor knkkngd, og r tså på dn sikr sidn. Dt må nts n fornuftig smmnhng mom utbøningn og krumningn. Vnigvis bntts no som ignr på modsømtodns ntgs; = /, hvor vurdrs i dt nkt tif. EI = konst. ) Lddgrt sø b) Modsø / Modsøn hr sin igning (β ) M == Dtt gir n smmnhng som m bruks ti å å brgn β, og knkkngdn r bstmt. Dt vi nå bi vist n rkk ksmpr på hvordn knkkngdn kn brgns for rtivt nk sør. S også punktn 9..3 og Figur B 5.. Lstr og utbøning. Sø og modsø i ksmp B 5.. Eksmp B 5.. Knkkngd v sø ddgrt i bgg ndr, konstnt ksist og konstnt stivht For søn nts: M == For modsøn pr. pr. dfinisjon: dfinisjon: M == =(β ) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: =(β ) Oppgvn r svsgt unødvndig, svrt r trivit, mn ksmpt dmonstrrr mtodn. 7

2 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.. Knkkngd v sø ddgrt i bgg ndr, konstnt stivht og ksistn på vikårig nivå Figur B 5.. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B 5.. / α / M = sin π For = α = ( α) r = sin [π ( α)] og = Kommntr: Eksmpt gjdr br for stn pssrt ovr søns midtpunkt (α,5). Drsom stn står undr søns midtpunkt, vi dt vær n brukbr tinærms å nt β =,5 sin [π ( α)]. For For søn søn (midtsnittt): M =+ = + = + = =,5 sin π ( α) For modsøn: M = (β ) Antr = ; dt vi si: M =,5 sin π ( α) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik:,5 sin π ( α) =(β ) β =,5 sin π ( α) π π Md α =,5 bir β =,5 sin [π (,5)] =,5 sin π / =,5 sin 9 =,5 dt vi si β =,7 α =,75 bir β =,5 sin [π (,75)] =,5 sin π /4 =,5 sin 45 =,646 dt vi si β =,8 Momntt i midtsnittt r ikk dt størst ngs stvn, mn mksim utbøning vi ikk igg ngt fr midtsnittt. Dt vi si t modn r itt på dn usikr sidn, no som tisir n itn «vrunding oppovr». 7

3 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.3. Knkkngd v sø ddgrt i bgg ndr, konstnt stivht og ksistn øknd rttinjt fr vrdin i topp ti i bunn Figur B 5.3. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B 5.3. = sin π og = = sin π = + ( ) d = d = For søn (ntr t kritisk snitt r for = / ): M = + / d + d = + / d+ d Dt først ddt sir sg sv. Dt ndr ddt r momntt v småstn d md sin momntrm =. Dt trdj ddt skds horisontrsutntn vd søns topp- og bunnpunkt på grunn v diss småstns ksntrisitt i forhod ti dn rtt inj mom topp- og bunnpunktt. Lgg mrk ti intgrsjonsgrnsn. M = + / + M = + ( ) / sin π / + sin π M = + ( ) = ( + ) Antr = ; dt vi si: M = ( + ) For modsøn: (β M = ) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: ( + ) = (β ) dvs.: β = + Dtt gir β = for =, som r korrkt. 7

4 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.4. Knkkngd v utkrgt sø, konstnt stivht og ksistn øknd rttinjt fr vrdin i topp ti i bunn Figur B 5.4. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B 5.4. = sin π og = = sin π = + ( ) d = d = For søn: M = + M = + For modsøn: (β M = ) d = + sin π D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: (,64 +,36 ) ( ) = (β ) β =4,64 +,36 =,55 +,45 + π cos π M = + ( )(+ π )= + π + π M = π + π = (,64 +,36 ) Antr = ( ) ; dt vi si: M = (,64 +,36 ) ( ) Dtt gir β = for =, som r korrkt. β =, for =. Ettr kssisk stisittstori bir β =,3, så fin r br 7 % vd t kstrmt tif som trkntst vd dnn nk brgningn. Formn kn også bruks vd tsjbggri (punktvis økning v ), s punkt.4. 73

5 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.5. Knkkngd v utkrgt sø md konstnt stivht, som modsøn, mn md n st i tigg Figur B 5.5. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B 5.5. α = + = sin π og = For = α = ( α) r = sin For søn: M = + = + sin For modsøn: M = (β ) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: π ( α) ( + sin ) =(β ) π ( α) + sin β =4 + π ( α) π ( α) Antr = ( ) ; dt vi si: M π ( α) = + sin = : β =,, korrkt = og α =,: β =,, korrkt = og α =,75: β =,57, sk vær,5 ttr kssisk stisittstori. = og α =,5: β =,8, sk vær, ttr kssisk stisittstori. = og α =,5: β =,55, sk vær,5 ttr kssisk stisittstori. og = sin ( ) Dtt visr igjn t dnn mgt nk modn gir gnsk brukbr rsuttr. π ( α) 74

6 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.6. Knkkngd v sø ddgrt i bgg ndr, konstnt stivht og md n ksist på vikårig nivå i tigg ti n ksist øknd rttinjt fr vrdin i topp ti i bunn (kombinsjon v sttifn i ksmpn B 5. og B 5.3) Figur B 5.6. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B α For søn: M = 3,5 sin π ( α) + ( + ) Antr = ; dt vi si: M = 3,5 sin π ( α) + + For modsøn: M = + 3 (β ) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: 3,5 sin π ( α) + + β =,5 +,5 +,5 sin π ( α) = ( + 3 ) (β ) 75

7 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.7. Knkkngd v utkrgt sø, konstnt stivht og md n ksist på vikårig nivå i tigg ti n ksist øknd rttinjt fr vrdin i topp ti i bunn (kombinsjon v sttifn i ksmpn B 5.4 og B 5.5) Figur B 5.7. Lstr og utbøning. Sø i ksmp B α 3 = + 3 For søn: M =,64 +, sin Antr = ( ) ; dt vi si: M =,64 +,36 + sin π ( α) π ( α) 3 ( ) For modsøn: M = ( + 3 ) (β ) D to uttrkkn for. ordns momntt r ik:,64 +, sin π ( α) ( ) = ( + 3 ) (β ),64 +,36 + sin β =4 + 3 π ( α) 3 76

8 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.8. Knkkngd v n nk rmm md n nk vrisjon v stivht og normst H H S EI S pei M = + H M = - H Figur B 5.8. Lstr og utbøning. Rmmn i ksmp B 5.8. Antr for sø : = Likds nts for sø : = ( ) = ( ) M E I = ( ) ( +H ) E I ( ) ( H ) pei Diss må vær ik: ( ) ( +H ) E I +H = p p H H = / p +p = ( ) ( H ) pe I Kommntr: Drsom p går mot nu, dt vi si t sø r vsntig stivr nn sø, går β mot nu, mn dt r vkjnt t for n sik sø (fsthodt i toppn) r β,7. Dtt visr t formn ikk r god når mn fjrnr sg for m fr dn opprinnig knkkfigurn. I dtt tift r knkkngdn for sø vhngig v båd vrtikstn og stivhtn i sø. Eksmp: p =,5 = gir βs =,35; βs =,63 = gir βs =,; βs =, For sø : M = +H = + / p +p (β modson: M = ) For modsøn: D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: ( ) + / (β = ) +p β =4 + / +p For sø : M = H = p/ +p (β modson: M = ) For modsøn: D to uttrkkn for. ordns momntt r ik: ( ) + / + /p = (β ) β =4 + / +/p ( = ) + / +p = ( ) + / + /p = 3 gir βs =,89; βs =,3 77

9 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Eksmp B 5.9. Som ksmp B 5.8, mn md n ddgrt sø H H Figur B 5.9. Lstr og utbøning. Rmmn i ksmp B 5.9. S S For sø : M = +H H= M = + = ( + ) ( ) For modsøn: M = (β ) β =4(+ / ) For sø r tid β =, Knkkngdn på dn vstivnd sø r vhngig v stn på d øvrig sør, r sgt på n nnn måt, knkkngdn r vhngig v dn tot stn som sk vstivs. Mn får smm rsutt for β vd å stt p = i ksmp B 5.8. Ettr kssisk stisittstori vi mn komm frm ti føgnd igning: β π tg π β =+ Dnn kn øss vd å prøv sg frm. = ( + / ) ( ) Tb B 5.4. Smmnigning v vrdir for knkkngdfktor / 3 øktig mtod,,7 3,5 3,7 Modsømtod,,83 3,46 4, Rtiv fi % 5 % 7 % 8 % Modsømtodn iggr itt på dn sikr sidn, som r btrggnd i stbiittsbrgning. En svkht md modsømtodn r t probmt md vrib stivht ikk r sg øs md n nk brgning. Dt btr t mn d må gå ti n brgning v. ordns utbøningn som r mr kompisrt, mn ikk mr kompisrt nn ndr mtodr som tr hnsn ti vrib stivht. Eksmp B 5. r n «hvgrfisk» mtod som kn gi t ovrsgsmssig bgrp om vrdin v β i t nkt tif. 78

10 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG. grds prb c Sinuskurv c TP TP Figur B 5.. Vnig kurvr som nts for utbøning v trkkstvr. Eksmp B 5.. Mtod for å finn knkkngdfktor for sør md vrib stivht For. grds prbn: Ar = /3 =,6667 c = 5/8 =,65 For sinuskurvn: Ar = ( / π) =,6366 c = ( / π) =,6366 Utbøningn vi ikk føg non v diss kurvn mtmtisk, mn konstntn for r og biggnht v tngdpunktt kn md god tinærms bntts. Vgr å bntt føgnd: Ar =,65 c =,63 Utbøningn r ubstmt i t idisrt knkkingstif. Dt nts drfor n utbøning, som mn sidn kontrorr. år nttt utbøning og brgnt utbøning r ik hr mn dt idisrt knkkingstift. α =,7 p =,3 pei Figur B 5.. Krumning v søn bsrt på n nttt utbøning. EI α R = M EI M pei α M EI 79

11 B5 TILLEGG: RAMMEFORMLER, KEKKLEGDER, VRIDD AVSTIVIG Md n nttt utbøning kn mn brgn krumningn / R = M / EI, og kurvn føg no mom sinuskurvn og. grds prbn r n v dm. Drttr mår mn på digrmmt. Digrmmt i figur B 5. r mm, og mn får føgnd: Ar v dobbtskrvrt områd,5 3 3 = 45 (nttt tinærmt trknt.) Ar v nktskrvrt områd,65 3 = 95 Vidr bntts krumningsftmtodn for å brgn utbøningn. «Momntt» på grunn v «bstningn» M / EI = / R = brgns (for å tifrdssti grnsbtingsn tnkr mn sg «innspnning» i søtopp): Momnt v nktskrvrt områd om «innspnningn»: 95,63 = 85 Momnt v dobbtskrvrt områd om «innspnningn»: 45,63 3 = 8 55 Tott momnt om «innspnningn» = = Utbøningn md rdusrt stivht i toppn må vær størr nn om dt hdd vært smm stivht ht opp. Økningn v utbøningn kn utrkks vd t dn bir / 85 =,69 gngr størr nn om stivhtn hdd vært konstnt og ik dn i dn ndrst dn. For søn: M =,69 = ( ),69 For modsøn: M = (β ) ( ),69 = (β ) β =,69 =,7 P t t b X Dn smm mtodn kn bntts drs Z Dn smm mtodn kn bntts drsom mn ønskr å vurdr hvikn innfts vntu vkorting v rmring vi h på stivhtn. 5.3 VRIDIGSSETER FOR U-TVERRSITT Dt vi bi utdt vridningssntrts biggnht for t smmtrisk U-tvrrsnitt v stisk mtri, hvor bøstivhtn kn ngisjrs for børtning tvrs v skivn. Tkksn t r konstnt og m mindr nn og b. Mn tnkr sg n fst innspnt og utkrgt sø md sikt tvrrsnitt, og bstt md n horisontst i toppn. Horisontstn iggr i stgts midtinj. Lngdn z mås fr topp. Forbindsn mom stg og fns øsns i bgg sidr. Stgt bærr h stn og mn får tøningr, dformsjonr og spnningr som n nk, rktnguær bjk, som vist i figur B 5.. Drttr bsts fnsn md n konstnt skjærstrøm T (uvhngig v z), ngs fugn mot stgt, og stgt md n motstt rttt og ik stor skjærstrøm, som vist i figur B 5.3. Dt vgs rtning sik t fnsn på strkksidn får strkk og fnsn på trkksidn får trkk. Dtt førr ti t stgt bir vstt og fnsn bir påført n st. Strkk σ = τ = Figur B 5.. Kntvrrsnitt som vrtikskiv. τ σ Trkk σ = τ = 8