Undergrupper og homomorfier

Transkript

1 Undrgruppr g hmmrfir Rtasjnn i symmtrigruppn til kvadratt dannr n naturlig avgrnst undrmngd av D 8 gitt sm H = {, r, r 1,r 2 }.Dtrnklsak,vdåbrukatr 4 =, å vrifisr at H r lukkt undr sammnstning. Intuitivt r dt klart, sammnstningn av t rtasjnr r slvfølglig n rtasjn. All symmtrin i H har gså sin invrs symmtri i H. Mn dt btyr at gruppaksimn r ppfyllt g H r n grupp i sg slv. Dt r typisk ksmpl på n undrgrupp. Undrgruppr r svært viktig i grupptrin. Vi støtr støtt på dm i d flst kntkstr dr gruppr r invlvrt, g d r gså n rik kild til ksmplr. Løslig sagt r n undrgrupp nttpp dt navnt sir, n gruppr sm r innhldt i n annn. Dn frmll dfinisjnn r sm følgr: Dfinisjn 1 La G vær n grupp. En undrmngd H G kalls n undrgrupp drsm dn r lukkt undr multiplikasjn, drsm nhtslmntt 2 H g drsm a 1 2 H hvr gang a 2 H. At H r lukkt undr multiplikasjn btyr at ab 2 H hvr gang a 2 H g b 2 H. Prduktt brgns naturligvis i G, mnvifrlangratrsultattskalliggih. På dnn måtn utstyrs H md n gruppstruktur. Dn sis å vær indusrt av llr ndarvt fra gruppstrukturn til G. Strngttattbørvisjkkataksimnfrn grupp r ppfyllt, mn vi har allrd nhtslmnt g invrsdannls, så dt nst sm gjnstår r asssiativittn. Mn dt r ingn big dal sidn prduktt i G r asssiativt hvis likhtn a(bc) =(ab)c gjldr i G, sågjldrdngsåih. Dt r klart at nhvr grupp G har dn trivill gruppn { G } sm n undrgrupp av G, gdnkallsmdrttdntrivill undrgruppn. Drsm H G r n undrgrupp g H 6= G, sirviath r n kt undrgrupp. Følgnd stning r nklt gangr praktisk å ty til når man skal avgjør m n undrmngd r n undrgrupp. Stning 1 La G vær n grupp, g la H vær n ikk-tm undrmngd. Da r H n undrgrupp hvis g bar hvis ab 1 2 H fr all lmntr a g b i H. Bvis: Dt r hvis-dln i utsagnt sm trngr t argumnt, så anta at ab 1 2 H hvr gang a, b 2 H. Vi sjkkr først at nhtslmntt r i H. Vlgna 2 H, smvikansidn H r ikk-tm. Ettr antaglsn r = aa 1 2 H. Omnåa 2 H r vilkårlig, r a 1 = a 1 2 H, gtilslutt,mdtlmntna g b liggr i H, såliggrgsåb 1 dr ttr hva vi nttpp så. Antaglsn i stningn gir da at ab = a(b 1 ) 1 2 H. Vi skal la S 1 btgn nhtssirkln i dt km- Eksmpl. Enhtssirkln. plks tallplan. Dt vil si at S 1 = { z 2 C z =1}.

2 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 Da r S 1 n undrgrupp av dn multiplikativ gruppn C.Drsm z = w =1,så r zw 1 = v / w =1,gS 1 r n undrgrupp ttr kritrit i stning 1. Et punkt z på nhtssirkln kan bskrivs sm z = it dr t r t av argumntn til z. Argumnttrprsntrvinklnz dannr md dn psitiv rl aksn, g dt r ntydig kun pptil t hlt multiplum av 2. Prduktt av t tall z = it g w = iu r gitt vd addisjn av argumntn: zw = i(t+u).invrsdannlsnskjrvdt frtgnsskift: z 1 = it. Eksmpl. Enhtsrøttr. Fr hvrt psitiv hl tall n lar vi µ n btgn mngdn av d n-t nhtsrøttn i dt kmplks tallplan, llr, uttrykt vd symblr, vi lar µ n = { z 2 C z n =1}. Da r µ n n undrgrupp av C g gså av S 1,nsmfølgrsidn(zw 1 ) n = z n w n = 1 drsm z n = w n =1.Vikallrµ n fr gruppn av n-t nhtsrøttr. Dtrnndlig grupp av rdn n. Dtfinnsnmlignøyaktign løsningr av ligningn x n 1=0,g d r all på frmn 2k i/n dr k r t hlttall. Følgnd stning r viktig, mn rlativt ltt å tablr: Stning 2 La G vær n grupp g la H G g K G vær t undrgruppr. Da r snittt H \ K n undrgrupp. Bvis: La a g b vær t lmntr fra snittt H \ K, sidnh g K r undrgruppr liggr ab 1 ibgg,gdrfrisnitttdrs.dtfølgrfrastning1 vnfr at H \ K r n undrgrupp. Man trngr ikk å bgrns sg til snittt av t undrgruppr. Stningn r gyldig fr snittt av t vilkårlig antall undrgruppr, g bvist r grunnlggnd dt samm: Stning 3 La I vær n indksmngd g la {H i2 } I vær n famili av undrgruppr igruppng. Darsnittt T i2i H i n undrgrupp. Undrgruppn gnrrt av n mngd La X G vær n undrmngd av gruppn G. DnminstundrgruppnsminnhldrX sir vi r undrgruppn gnrrt av X, gvibtgnrdnmdhxi. DnrgittsmhXi = T X H H,altsåsnittt av all undrgruppr sm mfattr X. Eksmpl. La n vær r naturlig tall g la =xp2 i/n. Darundrgurppnav C gnrrt av gitt vd h i = µ n.dttfølgrsidnµ n bstår av all ptnsr av g drfr r innhldt i nhvr grupp sm har sm lmnt. Eksmpl. La ss s på d t undrgruppn µ 15 g µ 6 av C g finn snittt µ 15 \µ 6 av dm. På dn n sidn r µ 3 µ 15 \ µ 6 frdi drsm z 3 =1,sårz 15 =(z 3 ) 5 =1 g z 6 =(z 3 ) 2 =1. På dn annn sid m z 15 = z 6 =1,følgrdtat1=z 15 = z 12+3 = (z 6 ) 2 z 3 = z 3,gdrfrrµ 15 \ µ 6 µ 3. Oppgav 1. Finn snittt av undrgruppn µ 9 g µ 21 av S 1. 2

3 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 Ablsk gruppr Mang av d gruppn sm vi har stt på så lang, fr ksmpl R, C, R g C g µ n, har all dn gnskapn at ab = ba (llr a + b = b + a m vi r i n additiv kntkst). Dtt slvsagt frdi n tilsvarnd rgl gjldr fr multiplikasjn g addisjn av tall. Gnrlt fr all gruppr gjldr ikk n slik rgl, dt så vi ksmpl på da vi studrt symmtrin til t kvadrat, g dt r drfr naturlig md n gn btgnls fr gruppr dn gjldr fr. Dfinisjn 2 (Ablsk grupp) Drsm ab = ba, sirviatlmntna g b kmmutrr. En grupp kalls ablsk llr kmmutativ drsm all dns lmntr kmmutrr; dt vil si at ab = ba fr all a g b i G. Btgnlsn ablsk grupp r n tributt til Nils Hnrik Abl sm var n av d først sm innså btydningn av gruppr g drs gnskapr. Et lmnt a 2 G sm kmmutrr md all andr lmntr i gruppn sis å vær sntralt, g mngdn av sntral lmntr btgns md Z(G) g kalls sntrt til G. Vi har altså Z(G) ={ a 2 G ab = ba fr all b 2 G }. Lmma 1 Sntrt Z(G) til n grupp G r n undrgrupp av G. Bvis: La a g a 0 vær t mdlmmr av sntrt. Vi må vis at aa 0 gså liggr dr. Mn fr t vilkårlig lmnt b i G har vi at aa 0 b = aba 0 = baa 0 dr dn først likhtn hldr frdi a 0 2 Z(G), gdnandrfrdia 2 Z(G). Drsmab = ba, finnrvi vd å anvnd a 1 på bgg sidr av likhtstgnt at a 1 aba 1 = a 1 baa 1,smgir a 1 b = ba 1 sidn aa 1 = a 1 a =. Hmmrfir g ismrfir Vi har stt at ssntilt samm grupp kan dukk pp i tildls svært frskjllig kntkstr båd i krystallgrafi g ligningstri fr ksmpl. Drfr r dt viktig å ha t prsist språk når dt gjldr å sammnlign gruppr, g vit nøyaktig hva dt btyr at t gruppr ssntilt r idntisk. Vi skal snr gså s at å kunn sammnlign t gruppr ikk minst fr å kunn avgjør m d r ssntilt idntisk r grunnlggnd når dt gjldr å blttlgg strukturn til frskjllig gruppr. Hvdvrktøyt i dnn sammnhngn r hva vi kallr n hmmrfi mllm t gruppr md dts sattlittbgrp ismrfi 1. En hmmrfi r n avbildning : G! H drnåg g H r t gruppr sm rspktrr gruppstrukturn, dt r j trss alt dm vi skal sammnlign. Prsist btyr dtt følgnd: 1 Navnt hmmrfi r avldt av adjktivt hmmrf sm r sammnsatt av dt grsk hm sm btyr samm llr lik, mnsrtntildnandrdlnavrdtrdtgrskmrph sm btyr frm altsåbtyrhmmrf åværavsammfrm.ordtismrfi har dn samm tymlgin, iss r gså grsk g btyr liklds lik llr samm. 3

4 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 Dfinisjn 3 La G g H vær t gruppr. En hmmrfi mllm G g H r n avbildning : G! H slik at (ab) = (b) (b) (?) fr all grupp-lmntr a g b fra G Btgnlsn grupphmmrfi r synnym md btgnlsn hmmrfi i vår sammnhng, g vi vil stundm gså bruk frasn avbildning mllm gruppr istdnfr hmmrfi. Dt kan virk sm n unnlatlsssynd at hvrkn dn invrs llr nhtslmntt r nvnt i dfinisjnn av n grupphmmrfi, mn dt stikkr i at dt følgr fra (?) at båd nhtslmntt g invrsr blir rspktrt. Vi har : Stning 4 Drsm : G! H r n grupphmmrfi, så r ( G )= H g (a 1 )= (a) 1 fr all a 2 G. Bvis: Vi startr md å vis at rspktrr nhtslmntt. Fra (?) får vi ( G )= ( G G )= ( G ) ( G ), g vd å kansllr ( G ) finnr vi ( G )= H.Vidrharvi H = ( G )= (a 1 a)= (a 1 ) (a), g fra karaktrisringn av dn invrs, ligning (??)påsid??,følgrdtdaat (a 1 )= (a) 1. Så til bgrpt ismrfi. Hvis : G! H r n hmmrfi, g dt finns n annn hmmrfi dn andr vin dt vil si n hmmrfi : H! G slikat =id H g =id G,sirviat r n ismrfi. VisirgsåatgruppnG g H r ismrf. Dtt innbærr at d t gruppn rnt grupptrtisk r idntisk; alt vi kan utld m dn n vd bar å bruk grupptri, gjldr gså fr dn andr. D t gruppn kan slvsagt ha andr atributtr sm r frskjllig, mn d attributtn kan ikk vær av grupptrtisk natur. Idfinisjnnavatnhmmrfi r n ismrfi, liggr dt at r n invrtibl avbildningn. Imidlrtid kan dt s ut sm m vi frlangr vsntlig mr nn dt, igmd at dn invrs avbildningn skal rspktr gruppstrukturn. Mn dtt r bar øynsynlig, dt visr sg at n invrsavbildning autmatisk r n hmmrfi: Lmma 2 Drsm r n ismrfi. : G! H r n hmmrfi sm r invrtibl sm avbildning, så Bvis: La : H! G vær dn mngdtrtisk invrs avbildningn til.oppgavn vår r å vis at r n hmmrfi; altså at rspktrr prduktr. La a g b vær t lmntr fra H. Daharvi ( (ab)) = ab = ( (a) ( (b)) = ( (a) (b)) (?) 4

5 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 sidn r n hmmrfi g =id H. Mn nå r bijktiv g drfr spsilt injktiv. Dt btyr at vi fra (?) kansluttat (ab) = (a) (b). Eksmpl. Ekspnntialavbildningn. Et klassisk ksmpl på n hmmrfi r kspnntial avbildningn.viskalanvndssavskrivmåtnr + til å btgnr dn multiplikativ gruppn av psitiv, rll tall. Ekspnntialavbildningn r n avbildning xp: R! R + gitt vd xp t = t.dnvlkjntfrmln t+u = t u visr at xp r n grupphmmrfi. Faktisk r xp n ismrfi md lg: R +! R sm invrs. Dtt ksmplt illustrrr gså hva vi mnr md å si at dt r d grupptrtisk gnskapn sm bvars undr ismrfir. Dt r slvsagt mang g str frskjllr på multiplikasjn g addisjn, mn rnt rgntknisk kan t hvrt multiplikasjnsstykk via lgaritmr mdanns til t addisjnsstykk. Eksmpl. Dn kmplks kspnntialavbildning. Dt finns gså n kmplks kspntialavbildning xp: C! C mllm dn additiv gruppn C g dn multiplikativ C.Dnrgittxp z = z.dnrnaturligvisngrupphmmrfisidn dn vlkjnt rlasjnn z+w = z w gså gjldr fr kmplks tall, mn dn r ikk lngr n ismrfi. Dt finns ingn kmplks lgaritm dfinrt på hl C. Eksmpl. Dn kmplks kspnntialavbildning II. La : Z! C vær gitt vd (k) = xp(2 ik/n). Dar n grupphmmrfi sm tar vrdir i gruppn µ n av n-t nhtsrøttr. Eksmpl. Tirptnsr. Litt i samm li sm d t frrig ksmpln, lar vi G btgn undrgruppn av R bstånd av all ptnsr 10 n md hltallig kspnnt n; i.., G = { 10 n n 2 Z } = {...,10 2, 10 1, 0, 1, 10, 10 2,...}, gvidfinrr : Z! G vd (n) =10 n.dar n grupphmmrfi sidn 10 n+m =10 n 10 m.dn r gså n ismrfi md lg 10 x sm invrs. Eksmpl. Dtrminantn. En annn vlkjnt grupphmmrfi r dtrminantn. Dnrnavbildningdt: Gl(n, R)! R,gatdnrnhmmrfir kvivalnt md at dtrminantn til t prdukt av t matrisr r lik prduktt av dtrminantn: dt AB =dtadt B. Kjrnn til n hmmrfi Fra linæralgbran kjnnr vi bgrpt kjrnn til n linæravbildning. Dn bstår av all vktrr sm avbilds på null undr linæravbildningn. I grupptrin har vi tilsvarnd knstruksjn, mn i n multiplikativ kntkst r dt nøytral lmntt ikk 0 mn. Drfr Dfinisjn 4 La G g H vær t gruppr g la : G! H vær n grupphmmrfi. Vi lar kjrnn til,skrvtsmkr,værundrmngdnavg bstånd av d lmntn sm avbildr på H ;dtbtyrat Kr = { x 2 G (x) = H }. 5

6 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 La nå a g b vær t lmntr i kjrnn til.davilgsåprdukttab ligg dr. Fr å vis dtt må vi finn (ab), gtildtbrukrviat r n hmmrfi: (ab) = (a) (b) = H H = H. Vi har at (a 1 )= (a) 1 = H m a 2 Kr,såKr r gså lukkt undr invrsdannls. Vi har vist først dl av følgnd stning Stning 5 La G g H vær t gruppr g la : G! H vær n hmmrfi. Da gjldr Kr r n undrgrupp av G. Avbildningn r injktiv hvis g bar hvis Kr = { G }. Bvis: Dt gjnstår å vis dn andr påstandn. Anta at r injktiv. Nå r ( G )= H så m (a) = H,følgrdtdaata = G.Omvndt,antaatKr = { G },glaa g b vær t lmntr md (a) = (b). Dtfølgrat (ab 1 )= (a) (b) 1 = H,g drfr r ab 1 2 Kr = { G } g a = b. Eksmpl. La ss s på kjrnn til dn kmplks kspntialavbildningn xp: C! C gitt vd xp z = z.at z =1,rkvivalntmdatz =2k i fr t t hlt tall k. Dt btyr at Kr xp = { 2k i k 2 Z }. DtrngruppsmrismrfmdZ, n ismrfi r gitt vd k 7! 2k i. Eksmpl. La n vær t naturligtall g la = 2 i/n.visrpågrupphmrfin : Z! µ n gitt vd (k) = k = 2k i/n.dabstårkjrnntil av d hl tall k slik at 2k i/n =1.Dbtyrat2k /n r t hlt multiplum av 2, llrmdandrrd,at n r n faktr i k. FølgligrKr = { k k = qn, fr n q 2 Z }. Vibtgnrdnn undrgruppn av Z md nz, i.., nz = { qn q 2 Z }. Oppgavr Oppgav 2. La D 8 sm vanlig btgn symmtrigruppn til t kvadrat. Sjkk at rtasjnn dannr n undrgrupp. Dannr spilingn n undrgrupp? Oppgav 3. La G vær n grupp g la H G vær n ndlig ikktm undrmngd sm r lukkt undr multiplikasjn; sm altså btyr at xy 2 H hvr gang x, y 2 H. Pngt i dnn ppgavn r å vis at da r H n undrgrupp. a) Fr hvr a 2 H vis at avbildningn x 7! ax r n bijksjn fra H til H. Hint: Etablr først at avbildningn r injktiv. Bruk at H r ndlig. b) Bruk punkt a) til å vis at 2 H g at H r lukkt undr invrsdannls. Knkludr md at H r n undrgrupp. 6

7 Undrgruppr g hmmrfir MAT2200 Vår 2013 Oppgav 4. Vis at µ n µ m hvis g bar hvis n m. Oppgav 5. Vis at sntrt Z(G) til n grupp G r ablsk Oppgav 6. La G vær n grupp g la g 2 G vær t lmnt. Dfinr n avbildning c g : G! G vd å la c g (x) =gxg 1.Vikallrc g knjugasjn md g. a) Vis at c g r n grupphmrfi. b) Vis at c gh = c g c h. c) Vis at c g r n ismrfi fra G til G. d) Vis at c g =id G (i.., gxg 1 = x fr all x) hvisgbarhvisg liggr i sntrt til G, i.., g 2 Z(G). Oppgav 7. La G vær n grupp, g la x g y vær t lmntr. Vi sir at x g y r knjugrt m dt finns n g 2 G slik at y = gxg 1.Visatdttdfinrrn kvivalnsrlasjn på G. Ekvivalnsklassn kallr vi fr knjugasjnsklassr. Oppgav 8. La G vær n grupp. Vis at avbildningn G! G gitt vd at a 7! a 2 r n grupphmmrfi hvis g bar hvis G r ablsk. Oppgav 9. Gitt n grupp G. Visatinvrsavbildningna 7! a 1 r n grupphmmrfi hvis g bar hvis G r ablsk. Vrsjn: Friday, January 18, :21:37 PM 7