INF 1040 høsten 2009: Oppgavesett 10 Løsningsforslag - Digitale bilder (kapittel 12,13,14)
|
|
- Åge Davidsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INF 040 høsten 009: Oppgesett 0 Løsningsforsg - Digite ider (kpitte,3,4) Tenk se -oppger 0. Hor små detjer kn i se med øyet? ) Ant t i hr stt opp et hitmt stkitt med 5 cm rede sprosser med 5 cm meomrom. Hor ngt unn kn i stå og fortstt kunne se e sprossene mot en mørk kgrunn his synet er normt? Vi kn se 60 mørke injer på en ys kgrunn (eer omendt) pr grd (se side 77). Når åde sprossene og meomrommene er 5 cm rede så i 60 sprosser og 60 meomrom sre ti 6 meter stkitt. His i står i den stnden fr stkittet som i er på jkt etter, og ser rett mot stkittet sk i se 6 meter stkitt under en inke på grd. Spørsmået ir d hor ngt unn må i ære for t i sk se 6 meter stkitt under en inke på grd? En inke på grd er ik π / 80 rdiner. For en så iten inke er tngens ti inkeen ik inkeen gitt i rdiner. His stnden er A, kn i uttrykke dette som 6 π A A π 344 meter. Oppge : Hor stort ir idet? ) Ant t i ruker en inse med fokengde ( rennidde ) 50 mm, og t i ruker et godt gmmet kmer med 4 36 mm fim. Hor mnge stkittsprosser kn i ide når i står i en stnd A meter fr gjerdet (for eksempe A 5.05 m)? Størresen på et ide en sprosse og et meomrom (0 cm 00 mm) idet på en stnd A meter 000A mm med fokengde 50 mm finner i ed å sette inn i den siste igningen i snitt 3..: y' (000A50 ) His i r N ære nt sike sprosser som ides innenfor 36 mm i fokpnet, ser i t i må h N 36/ y Det i si t N 36 (000 A 50)/ 5000 Eer N (7. A 0.36) A 5.05 > N 36 sprosser.
2 . Hor stor er den minste detjen i kn ide? ) Ant t i ruker en inse med fokengde ( rennidde ) f 50 mm, og t perturen er endet ned sik t f / D 0. Ant t i står i en stnd A 5 meter fr stkittet. Ant t øgeengden i ider på er 500 nnometer. H er den minste stnden y meom to punkter på stkittet som kn dskies? Aperturen er D f/0 50/0.5 mm meter. Ryeigh-kriteriet sier t oppøsningen er gitt ed inkeen θ, der sin(θ). λ / D. Tngens ti denne inkeen må ære ik (y/5). Siden dette er en iten inke, er sin(θ)tg(θ) θ. Ergo: y 5. λ / D / ( ). 0-3 meter. mm. ) H er størresen på denne detjen i idepnet? y y f / (A-f) > y. 50 / ( ) 0.03 mm.3 μm. 3. Størresen på digite ider ) Ant t du hr et gmmet moikmer som gir ider med pikser med 56 gråtoner, og t det ikke gjøres noen kompresjon før gring. Hor mnge KiB trengs det per ide? (Byte/ide) / 04 (Byte/kiB) 300 (kib/ide) ) Hor mnge sike ider får du pss ti på en 5 MB minnerikke? (Byte/rikke) / (300 04) (Byte / ide) 666 ider c) Hor mnge pikses ider ir det pss ti på den smme rikken? (Byte/rikke) / (768 04) (Byte / ide) 65 ider 4. Redusert psseho ed redusert romig oppøsning ) Ant t i hr et kdrtisk 8-iters gråtoneide. Bidets sideknt er 5 pikser. Vi reduserer den romige oppøsningen som eskreet i snitt 4.4.4, sik t sideknten er 6 pikser. Hor mnge sike ider kn i gre på smme pss? 5 5 / (6 6) (5 / 6) 3 04 ) H med de ørige idene i figur 4-7? I figur 4-7 strter i med et 5 5 pikses ide med 8 iter per pikse. Ved første hering den romige oppøsningen får i et pikses ide, os. For her hering oppøsningen ir idestørresen ¼ den forrige. Ant ider i kunne gre på den smme pssen ir tså 4, 4 6, 8 64, 6 56, 3 04
3 5. Redusert psseho ed redusert ordengde ) Ant t i hr et kdrtisk 8-iters gråtoneide. Bidets sideknt er 5 pikser. Vi reduserer ordengden sik som eskreet i snitt 4.4.5, fr 8 ti 3 iter per pikse. Er det noen disse idene som srer ti noen idene i snitt når det gjeder psseho? Nei. Ae idene med redusert nt gråtoner tr mer pss enn det første idet i snitt med redusert geometrisk oppøsning. ) Hiken ordengde kn i h og fortstt t ike mye pss som et pikses ide med 8 iter per pikse? > iter. Vi må tså gjøre en edig drstisk reduksjon i ordengden per pikse for å oppnå smme pssesprese som den i oppnår ed en hering den romige oppøsningen. 6. Vektorrepresentsjon et frgeide Ant t et gitt ide estår en ensfrget kgrunn og et egrenset nt sirkuære ojekter som hr her sin frge. Ojektene kn oerppe herndre, og deer ojektene kn fe utenfor idet, men sentrum ti hert ojekt fer innenfor idet, og rdien ti et ojekt er ikke større enn sideknten ti idet. Vi ønsker å ruke en ektorrepresentsjon idet der i ngir i. idestørresen i - og y-retning ii. frgen ti kgrunnen iii. senter-koordinter, rdius og frge ti hert ojekt. Hor mnge iter i en sik representsjon mksimt t his i ntr t det opprinneige rsteridet er pikser, t det er oppti 00 ojekter i idet, og t frge ngis som 3 8 iters RGB? Bidestørresen er pikser, som kreer Frgen ti kgrunnen kreer 0 iter 0 iter. 3 8 iter 4 iter. For hert ojekt: senter-koordinter og rdius:r 3 0 iter 30 iter frge:r 3 8 iter 4 iter Sum for hert ojekt: 54 iter 00 ojekter: iter 5400 iter Ti smmen ir dette 5444 iter. 3
4 7. Digit representsjon et kunsterk. Vi hr kontkt med en kunstner som sk utsmykke deer nyygget IFI. En fere ideer som urderes er å ge et ide som tr utgngspunkt i et utsnitt stjernehimmeen med et egrenset nt stjerner. Vi tenker oss å ruke et utsnitt stjerneidet Orion. Utsnittet er 6 grder redt og 7 grder høyt, og innehoder 4 synige stjerner. ) I det endeige rsteridet ønsker i en geometrisk oppøsning på /00 grd, og 04 gråtoneniåer. Hor stor pss, ngitt i Mit, kreer dette gråtoneidet? Bidet er 6 grder redt og 7 grder høyt, med en geometrisk oppøsning på /00 grd; tså pikser. Og i trenger 0 iter ti å representere 04 gråtoner. Og Mit iter. Atså trenger i / Mit. ) Posisjonen ti her stjerne i i ngi som en - og en y-koordint. X-koordinten ti her stjerne er opprinneig ngitt i timer, minutter og sekunder på formen [hh mm ss.d], der [hh] er et het meom 0 og 4, [mm] er et het meom 0 og 60, mens [ss.d] er et t meom 0 og 60, gitt med én desim. Y-koordinten er ngitt i grder, ueminutter og uesekunder på formen [±gg mm ss.d], der [±gg] er et het meom -90 og 90, [mm] er et het meom 0 og 60, og [ss.d] er et desimt meom 0 og 60, gitt med én desim. Her eger i å forenke representsjonen desimt ed t i ngir hetsdeen og desimdeen her for seg. Hor stor pss trenger i for å representere disse koordintene ti 4 stjerner? Vi trenger 5 iter ti et het meom 0 og 4 [hh] 6 iter ti et het meom 0 og 60 [mm], [ss], [mm], [ss] 8 iter ti et het meom 0 og 90, med fortegn [±gg] 4 iter ti et desimt meom 0 og 9 [.d], [.d] X-koordinten ti her stjerne er gitt på formen [hh mm ss.d],og kreer iter ite.r Y-koordinten ti her stjerne er gitt på formen [±gg mm ss.d],og kreer iter 4 iter. Med 4 sike ojekter ir dette ti smmen : 4 ( 4) iter 4 45 iter 890 iter. 4
5 c) Her stjerne hr også en oppgitt ysstyrke. Vi ngir ysstyrken som en såkt mgnitude, m, sik t yssterke stjerner hr mgnitude, mens ysske stjerner hr høyere mgnitude. Vi ønsker å pssere stjernene der de sk ære i idet, og isuisere her stjerne ed en oe der rdien R iser hor yssterk stjernen er, som ist i figuren nedenfor. Siden mgnituden er et større t dess ysskere stjernen er, eger i å ngi rdien i her oe som R 0 (8 m), der m er et positit t som er mindre enn 8, og m er gitt med to desimer. Igjen eger i å forenke representsjonen desimt ed t i ngir hetsdeen og desimdeen her for seg, som to het. Hor mnge iter trenger i ti å ngi posisjonen ti her stjerne i det endeige idet, smmen med rdien ti her oe? 700 Y X Bidet er 6 grder redt og 7 grder høyt, med en geometrisk oppøsning på /00 grd; tså pikser. X-koordinten ti et oesenter i idekoordinter igger meom 0 og 600. Y-koordinten ti et oesenter i idekoordinter igger meom 0 og iter dekker erdiområdet [0, 03]. Dermed trenger i 0 iter ti -koordinten og 0 iter ti y-koordinten for her stjerne. Boerdien er gitt som R 0 (8 m), der m er et positit t meom 0 og 8. D er også (8 m) et positit t meom 0 og 8. Mgnituden m er gitt med to desimer, men når i mutipiserer (8 m) med 0, så får i et t meom 0 og 80, med én desim. Dermed trenger i 7 iter ti hetsdeen og 4 iter ti desimen i oerdien Ti smmen ir dette: ( ) iter 3 iter. 5
6 6 Prø se -oppger. Sne s o his du irkeig iker geometri og derisjon! Det er Sne s o som rukes for å eskrie hordn ysstråene øyes en inse. Her sk du få nedning ti å eise Sne s o his du synes sikt er moro! Men det ære het krt t dette er ngt utenfor pensum i dette kurset! His i ser på en ysstråe som går på skrå fr uft inn i en pnpre gss-skie som ist i figur 3- i ok, så gir Sne s o en smmenheng meom innfsinkeen (θ ), utfsinkeen( θ,), og refrksjonsindeksen ti gsset (n ) og refrksjonsindeksen ti mediet omkring (n ): n sin θ n sin θ. Innfs- og utfsinkene er inkeen meom ysstråene og normen på ften der ysstråen treffer (se figur 3- i ok). Forsøk å eise Sne s o ed å ruke figuren ti høyre smmen med Fermt s prinsipp: "En ysstråe i føge den eg meom to punkter som tr kortest tid." Lyshstigheten i de to mediene er gitt i figuren. Hint: eg hstighet * tid. Vi ser på den tiden det tr å komme fr P ti P i figuren. Tiden det tr er gitt ed der og er øgehstigheten i de to mediene, og de ndre størresene er gitt i figuren. Vi i føge Fermt s prinsipp og finne den korteste eien, så i derierer med hensyn på hor ysstråen treffer gsset, og setter den derierte ik 0 for å finne den erdien som gir minimumserdien tiden t. Rydder itt, og ser t ( ) d d t ( ) ( ) [ ] ( )( ) 0 / / t ( ) ( )( ) [ ] / / ( )
7 Og så ser i figuren t tg θ /, mens tg θ (-)/, som gir oss cot g θ cot g θ Og siden sinθ cot g θ Så er dette ekient med sinθ sinθ Så ruker i t refrksjonsindeksen er definert som n i c/ i, der c er yshstigheten, og dermed får i Sne s o, oppkt etter nederenderen Wierord Sne: n sinθ n sin θ Sne ede fr 59 ti 66. Dette hr tså ært kjent i c 400 år! His du finner fei eer mnger i dette øsningsforsget er det fint om du gir eskjed om dette ed å sende en mi ti mrtingi@ifi.uio.no. 7
Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:
Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn
DetaljerKjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon
Kjegesnitt Hrd Hnche-Osen hnche@mth.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Definisjon og grunneggende egenskper Et kjegesnitt er en pn kurve gitt v en styreinje, et brennpunkt B og et positivt t ε som vi ker eksentrisiteten
DetaljerMEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse)
EK 50 tabiitet og knekning a konstruksjoner Høst 005 Prosjektoppgae: Forsag ti øsning (skisse). Hayman 0..005 - - Innedning Dette er kun en skisse ikke en fustendig rapport. Inndeingen i asnitt er bare
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014
Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerRelativitet og matematikk
Reatiitet og matematikk Eementær agebra og igninger Beregning dersom rommet er absoutt og dersom det er reatit Horfor måingen i 887 ga det resutat man fant. At yset bruker ike ang tid ti å gå i ae retninger
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
DetaljerMicrosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER
Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
DetaljerKraftens moment er: Om A: r Om B: r' som har vektorene r. ' fra B. Det samlede kraftmomentet om A er da
yikk or igeiører. Litt tatikk. Side Litt tatikk. etigeer or ikeekt. Vi ka å ette opp etigeer or at et egeme ka ære i ro. Vi et aerede at ektorumme a de kretee om irker på egemet må ære ik u or at maeeteret
DetaljerOPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer
OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerNorsk Fysikklærerforening Norsk Fysisk Selskaps faggruppe for undervisning
Norsk ysikklærerforening Norsk ysisk Selskps fggruppe for underisning YSIKK-KONKURRANSE 00 003 Andre runde: 6/ 003 Skri øerst: Nn, fødselsdto, hjemmedresse og eentuell e-postdresse, skolens nn og dresse.
Detaljerlindab prisliste rektangulært Prisliste Rektangulære kanaler og detaljer
ind prisiste rektnguært Prisiste Rektnguære kner og detjer Gydig fr 15. ugust 2016 Sgs- og everingsetingeser ene i prisisten er produsert i henhod ti de spesifiksjoner som finnes i Linds Ventisjonsktog.
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerR2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012
R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer
DetaljerC13 SKIVER 263. Figur C 13.13. Eksempel på standard fotplate for vegger. «F orskalingsplater» T o kamstål B500 Ø16 til 32 mm Sveiset til sideplate
C13 SKIVER 263 13.2.1 Horisont skjøt, strekkoverføring Behovet for strekkoverføring er som rege forårsket v horisonte krefter som gir momentstrekk og skjærkrft i den horisonte fgen. I prinsippet er det
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS140 Kvantefysikk Eksamensdag: 10. juni Tid for eksamen: 09.00 (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedegg: Ingen
DetaljerLøsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)
Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg
DetaljerFAG: FYS Fysikk LÆRER: Fysikk : Per Henrik Hogstad
UNIVESITETET I AGDE Grimsd E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: FYS Fysikk LÆE: Fysikk : Per Henrik Hosd Klsse(r): Do:.. Eksmensid, fr-il: 9. 4. Eksmensoppen besår følende Anll sider: 4 (inkl. forside)
DetaljerVår 2004 Ordinær eksamen
år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
Detaljer1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
Detaljer! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før
Dgens temer Enkoder! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture! Dekoder: En v 2 n output linjer er høy, vhengig v verdien på n inputlinjer! Enkoder/demultiplekser (vslutte fr
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerIntegrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016
Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et
Detaljer2-komplements representasjon. Binær addisjon. 2-komplements representasjon (forts.) Dagens temaer
2 Dgens temer Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture Kort repetisjon 2-komplements form Binær ddisjon/sutrksjon Aritmetisk-logisk enhet (ALU) Sekvensiell logikk RS-ltch 2-komplements
DetaljerSlik bestiller du. Rektangulært. lindab rektangulært
Sik estier du Rektnguært ind rektnguært Generet om Rektnguært Rektnguært estår v rektnguære kner og detjer med må som psser ti SS-EN 1505 når ikke nnet er spesifisert. Knsystemet krer tetthetsksse C. Smtige
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS1120 Eektromagnetisme Eksamensdag: 4. desember 2017 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgaesettet er på 9 sider. Vedegg: Tiatte hjepemider:
Detaljer6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper
Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
Detaljerdy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerTFY4102 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 12.
TFY4102 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforsag ti øving 12. Oppgave 1. Termisk fysikk: Idee gass. Voumutvidese. a) Hvis du vet, eer finner ut, at uft har massetetthet ca 1.2-1.3 kg/m 3 (mindre
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 4,5 % 3,6 % 0,9 % Økningen hr vært på 0,9 prosentpoeng. 0,9 % 100 % 5 % 3, 6 % Økningen hr
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerOppgave 5.1 Dimensjonering av lager
MS0 Mskinkonstruksjon ØSNINGSORSAG TI ØVINGSOPPGAVER. 5 Ogve 5. 5. ØVING 5: DIMENSJONERING AV AGER OG JÆRER Ogve 5. Diensjonering v ger ) or å vege et ger for en åiteighet å 90%: Det dyniske bæretet (C)
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerSlik bestiller du. Rektangulært. lindab rektangulært
Sik estier u Rektnguært in rektnguært Generet om Rektnguært Rektnguært estår v rektnguære kner og etjer me må som psser ti SS-EN 1505 når ikke nnet er spesifisert. Knsystemet krer tettetsksse C. Smtige
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerLøsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.
Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.
DetaljerMAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06
MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 45,1 0, 451 45,1 % 100 5 4 5 0 0 % 5 4 5 100 Oppgve Vinkelsummen i en treknt er 180. Vi regner
DetaljerKapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving
Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 f( ) + f + ( ) 4 g ( ) ln( ) 1 g ( ) h ( ) ( 1) h ( ) ( 1) 4 1 ( 1) Oppgve er en fktor i P
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerØving 9. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektromgnetisme år 2009 Øving 9 eiledning: Mndg 09. og fredg 13. (evt 06.) mrs Innleveringsfrist: Fredg 13. mrs kl. 1200 (Svrtbell på siste side.) Opplysninger:
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2
Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s
DetaljerJEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier
FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT JEMISI(-TEKNISKE Anayser av fett og tørrstoff Sammenikning av anayseresutater ved 7 aboratorier ved Kåre Bakken og Gunnar Tertnes R.nr. 135/74 A. h. 44 BERGEN Anayser
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
NIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige akutet Eksamen i: FYS 13 - Svingninger og bøger Eksamensdag: 4. mars 6 Tid or eksamen: K. 9-1 Godkjente hjepemider: Øgrim og Lian (eer Ange og Lian):
DetaljerGet filmleie. Brukerveiledning
Get filmleie Brukerveiledning Innhold 4 Funksjoner for fjernkontroll 5 Hv er Get filmleie? 6 Hvilke filmer kn jeg leie? 6 Hv skl til for å få tjenesten? 7 Slik kontrollerer du tjenesten 7 Hv koster det
DetaljerFYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013
Norsk Fysikkærerforening Norsk Fysisk Seskaps faggruppe for underisning FYSIKK-OLYMPIADEN 0 0 Andre runde: 7/ 0 Skri øers: Nan, fødsesdao, e-posadresse og skoens nan Varighe: kokkeimer Hjepemider: Tabe
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
DetaljerNorsk Fysikklærerforening NORSK FYSISK SELSKAPS FAGGRUPPE FOR UNDERVISNING
rsk ysikklærerfrenin OSK YSSK SELSKAPS AGGUPPE O UDEVSG YSKK-KOKUASE 998-999 - ndre runde 0/-999 Skri øerst: nn, fødselsdt, jeedresse e. telefn nr., sklens nn dresse. Vriet: 5 klkketier Hjelpeidler: tell
Detaljer3.9 Symmetri GEOMETRI
rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S =
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekommuniksjon Side 1 v 5 Løsningsforslg TFE4120 Elektromgnetisme 24. mi 2011 Oppgve 1 ) Av symmetrigrunner må det elektriske
DetaljerTMA4210 Numerisk løsning av part. diff.lign. med differansemetoder Vår 2005
Norges teknisk naturvitenskapeige universitet Institutt for matematiske fag TMA420 Numerisk øsning av part diffign med differansemetoder Vår 2005 3 Crank Nicoson er en famiie metoder som fremkommer ved
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
DetaljerBASISÅR I IDRETTSVITENSKAP 2010/2011. Utsatt individuell skriftlig eksamen. 1BA 111- Bevegelseslære 2. Mandag 22. august 2011 kl. 10.00-12.
BASISÅR I IDRETTSVITENSKAP 1/11 Us indiiduell skiflig eksmen i 1BA 111- Beegelseslæe Mndg. ugus 11 kl. 1.-1. Hjelpemidle: klkulo og elle i fysikk Eksmensoppgen eså 3 side inklude fosiden Sensufis: 1. sepeme
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit Oppgveok Kpittel 2 Bokmål Kpittel 2 Treknteregning 2.1 75 c 50 e 50 70 d 80 f 53 2.2 B og D er rettvinklet A og C er likeeint 2.3 8,9 m 2.4 J Nei c J 2.5 10,4 cm 6,4 cm c 8,9 cm 2.6 ---- 2.7 115 m
DetaljerMer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerUndersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk
Undersøkese bant ungdom 15-24 år, apri 2011 Soingsvaner og soariumsbruk Innedning Kreftforeningen har som ett av tre hovedmå å bidra ti at færre får kreft. De feste hudkrefttifeer (føfekkreft og annen
DetaljerFag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen
Loklt gitt eksmen 2011 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: sommerskolen Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve
DetaljerKap 02 Posisjon / Hastighet / Akselerasjon 2D - Bevegelse langs en rett linje
Kp Poijon / Highe / kelerjon D - Beegele lng en re linje Løning Lufpuebenk Highe: oocellene kn flye Siden ognen hr konn highe ed beegele på lufpuebenken, il beregningen highe ære uhengig foocellene poijon
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerKalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen
Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerFormelsamling i matematikk
Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =
DetaljerDTL og universell utforming ikke godta diskriminering
DISKRIMINERINGS- OG TILGJENGELIGHETSLOVEN UNIVERSELL UTFORMING ikke godta diskriminering DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk
Eksmen FY045 30. mi 007 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 30. mi 007 FY045 Kvntefysikk. I grensen 0 er potensilet V x et enkelt okspotensil, V = V 0 for < x < 0 og uendelig ellers. Den
DetaljerR1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka
R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 18/10-22/10
Fasit til utalgte oppgaer MAT00, uka 8/0-/0 Øyind Ryan (oyindry@ifiuiono October 5, 00 Oppgae 645 a g er definert der neneren er 0, det il si der tan 0, og der tan er definert Førstnente utelukker bare
DetaljerSnarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver
Snrveien til MySQL og Dremwever CS5 Oppgver Kpittel 1 Innledning Oppgve 1 Forklr kort hv som menes med følgende egreper: disksert weområde serversert weområde Oppgve 2 Hv er viktig å tenke gjennom når
Detaljera) Bruk de Broglies relasjoner for energi og bevegelsesmengde til å vise at et relativistisk graviton har dispersjonsrelasjonen ω(k) = c λ g
Oppgave Gravitasjonsbøger Gravitasjonsbøger be nyig oppdaget av LIGO-eksperimentet. Vi ska her anta at gravitasjon skydes en partikke, gjerne kat gravitonet, som har en masse m g. Under vi du få bruk for
DetaljerLøsningsforslag kontinuasjonseksamen FYS1000 H11 = 43, 6. sin 90 sin 43, 6
Løsningsforslag kontinuasjonseksamen YS1 H11 Oppgae 1 Sar KORTpå disse oppgaene: a) Totalrefleksjon: Når lyset inn mot en flate kommer i en slik inkel at ingenting blir brutt og alt blir reflektert. Kriteriet
DetaljerHall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma).
FY1303 Eektrisitet og magnetisme nstitutt for fysikk, NTNU FY1303 Eektrisitet og magnetisme, høst 007 Laboratorieøvese 1 a effekt ensikt ensikten med øvesen er å gjøre seg kjent med a-effekten og måe denne
DetaljerØvingsforelesning 9: Minimale spenntrær. Daniel Solberg
Øvingsforelesning 9: Minimle spenntrær Dniel Solerg Pln for gen Gjennomgng v øving 8 Minimle spenntrær Kruskl Disjoint Set Forest Prim Noen utvlgte eksmensoppgver 3 Minimle spenntrær Hv er et minimlt spenntre?
DetaljerTom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,
Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
Detaljer