Python i MEK1100. Feltteori og vektoranalyse

Transkript

1 Python i MEK1100 En oversettelse fra Matlab til Python av deler av kompendiet Feltteori og vektoranalyse av Bjørn Gjevik og Morten Wang Fagerland 2014 oversettelse ved Karsten Trulsen med bistand fra Susanne Støle Hentschel og Hans Petter Langtangen Seksjon for Mekanikk Matematisk institutt Universitetet i Oslo 2015

2 Kapittel 3 Bruk av Python 3.1 Innledning I det følgende har vi oversatt kapittel 3 i kompendiet Gjevik & Fagerland (2014) fra Matlab til Python. Mens kompendiets kapittel 3 er skrevet uten å anta at man kan noeommatlabfrafør,vetviatdagenstypiskestudentimek1100harforkunnskaper i Python som går langt forbi den introduksjonen som gis her. Vi har oversatt kapittel 3 i kompendiet så ordrett som mulig for at man lettere kan få et inntrykk av likheter og forskjeller i de to språkene. Vi baserer oss her på Scitools, og Easyviz som er en del av Scitools. Easyviz kan benytte flere forskjellige backends for å lage grafikk, de forskjellige backends har forskjellig funksjonalitet og delvis forskjellige kommandoer i Python. Det antas her at Scitools i utgangspunktet bruker Matplotlib backend, men vi har i noen tilfeller vist bruk av Gnuplot backend som ser ut til å gi bedre funksjonalitet av Easyviz for noen av våre behov. For de som ønsker å fordype seg mer i bruk av Easyviz, for eksempel forslag til andre backends, anbefales dokumentasjonen (Langtangen & Ring, 2014). Alternativt til å bruke Easyviz kan man kalle opp Matplotlib direkte, men det diskuteres ikke her. For grunnleggende introduksjon til Python anbefaler vi lærebøkene i INF1100 (Langtangen, 2014) og MAT1110 (Lindstrøm & Hveberg, 2015). 3.2 Litt grunnleggende Python Oppstart, grensesnitt, kommentarer På Linux og Unix kan Python startes ved å skrive python i et terminal-vindu. I terminalvinduet kan du skrive inn Python-kommandoer som vil bli eksekvert med en gang du trykker på Enter. Tegnet >>> betyr at Python er klar til å ta imot en kommando. Resultatet av denne vil bli skrevet ut rett under (se eksempler i neste avsnitt). Når du skal skrive Python-kode er det veldig lurt(som i alle andre programmeringsspråk) å venne seg til å skrive kommentarer slik at det er lettere både for deg selv og for andre å lese koden ved en senere anledning. Linjekommentarer i Python starter med et (#) og alt fra dette tegnet og ut linjen vil oppfattes som kommentar. 1

3 Kommentarer over flere linjer er definert ved (3 tegn) før og etter kommentaren Scitools og Easyviz backends All etterfølgende Python kode forutsetter at man har importert Scitools: from scitools.std import * Dette medfører at blant annet numpy har blitt importert, så det er ikke nødvendig å skrive: from numpy import * Det antas at Easyviz i utgangspunktet benytter Matplotlib backend. Vi viser også bruk av Gnuplot backend som i visse tilfeller fungerer bedre for oss. For å bruke Scitools med Gnuplot backend kan vi skrive: from scitools.std import * from scitools.easyviz.gnuplot_ import * Utskrift av grafikk til fil kan gjøres med kommandoene savefig eller hardcopy, for eksempel savefig( figur.pdf ) Med Matplotlib backend kan man også bruke det grafiske grensesnittet i plottevinduet Matriser En matrise kan lages med kommandoen array. Elementene separeres med komma (,). Hver rad skal rammes inn med klammeparenteser ([ ]). Hele matrisen skal også rammes inn med klammeparenteser ([ ]). Resultatet kan vises med kommandoen print. >>> A = array([[1, 2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9]]) >>> print A [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] Det er flere måter å transponere matrisen, for eksempel ved å bruke kommandoen transpose. >>> print A.transpose() [[1 4 7] [2 5 8] [3 6 9]] >>> print transpose(a) [[1 4 7] 2

4 [2 5 8] [3 6 9]] >>> print A.T [[1 4 7] [2 5 8] [3 6 9]] For å finne den inverse til en matrise har vi funksjonen linalg.inv. >>> B = array([[1,3,0],[2,0,4],[1,3,1]]) >>> print B [[1 3 0] [2 0 4] [1 3 1]] >>> C = linalg.inv(b) >>> print C [[ ] [ ] [ ]] Vi sjekker deretter at produktet av matrisene B og C gir enhetsmatrisen >>> print dot(c,b) [[ ] [ ] [ ]] Funksjonen diag returnerer matrisens diagonal og sum summerer opp kolonnene. >>> print diag(a) [1 5 9] Funksjonen sum summerer opp kolonnene eller radene avhengig av verdien til axisparameteren (0=rad, 1=kolonne). >>> print sum(a, axis=0) [ ] >>> print sum(a, axis=1) [ ] Elementet i rad i og kolonne j av A er A[i,j] (husk at i Matlab starter indekseringen fra 1, i Python starter indekseringen fra 0). >>> print A[1,0] + A[2,1] 12 >>> A[0,2] = 0 >>> print A [[1 2 0] [4 5 6] [7 8 9]] 3

5 Kommandoen shape returnerer antall rader og kolonner til en matrise. >>> print shape(a) (3, 3) Kommandoen length har en tilsvarende funksjon. Les mer om hva som skiller disse kommandoene ved å skrive help(shape) og help(length). Det finnes flere Python-kommandoer som gjør det enkelt å generere matriser. Vi har sett at funksjonen diag(a) returnerer As diagonal, men den kan også brukes til å bygge opp en matrise: >>> A = diag([1,2,3]) >>> print A [[1 0 0] [0 2 0] [0 0 3]] Andre nyttige kommandoer som kan nevnes er ones, zeros og eye som lager matriser med henholdsvis enere, nuller, og identitetsmatrisen. Du kan lese mer om dem ved å bruke help (f.eks. help(zeros)) Kolon-operatoren, arange og linspace For å generere en vektor med heltallige verdier fra en aritmetisk tallfølge kan vi bruke arange. For eksempel, en vektor (tallrekke) fra -5 til 5 med intervall 1 >>> a = arange(-5,6) >>> print a [ ] Det genereres tall større eller lik første argument, og mindre enn andre argument. En vektor fra -15 til 15 med intervall 3 >>> a = arange(-15, 16, 3) >>> print a [ ] For ikke-heltallige verdier anbefales det å bruke linspace for å unngå avrundingsfeil, det genereres så mange tall som tredje argument jevnt fordelt mellom første og andre argument >>> a = linspace(-15, 15, 11) >>> print a [ ] I Python kan kolon-operatoren brukes til å indeksere matriser og vektorer, og inkluderer alt men ikke det siste tallet 4

6 >>> A = array([[1, 2, 3, 4],[ 5, 6, 7, 8],[ 9, 10, 11, 12],[ 13, 14, 15, 16]]) >>> print A [[ ] [ ] [ ] [ ]] >>> print A[0:3,1:4] [[ 2 3 4] [ 6 7 8] [ ]] Rad 2 og 3, alle kolonnene >>> print A[1:3,:] [[ ] [ ]] py-filer og funksjoner Isteden for å taste inn kommandoer i terminal-vinduet kan vi samle kommandoer i en fil ved hjelp av en teksteditor og så kjøre filen i Python. Her antar vi at filen slutter på.py og kalles derfor en py-fil. Her er en fil med kommandoer som definerer en matrise A og skriver ut noen egenskaper til matrisen: from numpy import * A = array([[1,3,0],[2,1,1]]) print A print A.size print A.shape print diag(a) print sum(a) print A.transpose() Dennefilenkandukallehvasomhelst,laosssiatdukallerdenMatriseEksempel.py, og den kan da kjøres ved å skrive python MatriseEksempel.py i et terminalvindu. Under følger et eksempel på hvordan vi kan definere en funksjon som ligger i en egen fil ved navn tridiag.py: from numpy import * def tridiag(n): Konstruerer en nxn matrise med -2 paa diagonalen og 1 paa de subdiagonalene A = -2*eye(n) + diag(ones(n-1),1) + diag(ones(n-1),-1) return A 5

7 Linjen som starter med def forteller Python at dette er en funksjon som heter tridiag og tar en innparameter (n). De to neste linjene er en kort beskrivelse av funksjonen. Denne hjelpeteksten er alltid lurt å ta med ettersom det er denne teksten som help bruker for å beskrive funksjonen. Deretter beregnes matrisen A som returneres. Funksjonen kan nå importeres: from tridiag import * Brukerveiledning fås med: >>> help(tridiag) Help on function tridiag in module tridiag: tridiag(n) Konstruerer en nxn matrise med -2 paa diagonalen og 1 paa de subdiagonalene Funksjonen kalles opp slik: >>> print tridiag(5) [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]] Enkel plotting i 2D Kommandoen plot kan brukes til enkel plotting i to dimensjoner. La oss først plotte funksjonen y = x 3 der x er definert over et område fra 2π til 2π: x = linspace(-2*pi, 2*pi, 41) y = x**3 plot(x,y) Her har vi valgt å diskretisere x-intervallet med 41 punkt som gir steg på π/10. Velges dette steget for stort blir grafen hakkete. Prøv f.eks. med et steg på π/2. Vi kan også enkelt plotte en kurve som er gitt ved en parametrisering. En sirkel med radius r kan uttrykkes ved x(t) = rcost, y(t) = rsint der 0 t < 2π. La oss plotte en sirkel med radius 3: from scitools.std import * r = 3 t = linspace(0, 2*pi, 101) x = r*cos(t) y = r*sin(t) plot(x,y,daspectmode= equal ) 6

8 Alternativt kan vi benytte Gnuplot backend: from scitools.std import * from scitools.easyviz.gnuplot_ import * r = 3 t = linspace(0, 2*pi, 101) x = r*cos(t) y = r*sin(t) plot(x,y) axis( equal ) For denne figuren er det et poeng at en enhet langs x-aksen er like lang som en enhet langs y-aksen, slik at sirkelen ser ut som en sirkel og ikke som en ellipse. Med Matplotlib backend kan dette gjøres med daspectmode= equal i kallet til plot. Med Gnuplot backend kan man bruke kommandoen axis( equal ) Elementvise operasjoner Noen operasjoner (f.eks. multiplikasjon, divisjon og potens) kan man ønske å bruke på matriser på to forskjellige matematiske måter. Når variablene disse operasjonene virker på er skalarer, vil den vanlige betydningen (multiplikasjon, divisjon og potens) gjelde slik at f.eks. 3*2 vil gi det forventede svaret 6. Hvis derimot variablene er enten vektorer eller matriser, kan vi ønske at operasjonene enten er vanlige matriseoperasjoner eller elementvise operasjoner. I Matlab betyr *, /, ** og ^ matriseoperasjoner (de to siste er synonymer for potens), mens man ved å tilføye et. foran operatorene får elementvise operasjoner. I Python betyr *, / og ** elementvise operasjoner ( ** betyr potens, mens derimot ^ betyr noe helt annet). I eksempelet over der vi ønsker å regne ut y = x 3, og vi allerede har definert en vektor med x-verdier, vil vi at hvert element i x skal opphøyes i tredje; vi ønsker ikke å bruke matrisemultiplikasjonen av x med seg selv to ganger. Noen eksempler: >>> a = arange(1,5) >>> print a [ ] >>> print 3*a [ ] >>> print a*a [ ] Indreprodukt beregnes med dot >>> print dot(a,a) 30 Ytre eller dyadisk produkt beregnes med outer 1 Her ser det ut til at daspectmode= equal i kallet til plot ikke fungerer med Gnuplot backend og at axis( equal ) ikke fungerer med Matplotlib backend. 7

9 >>> print outer(a,a) [[ ] [ ] [ ] [ ]] 3.3 Plotting av flater Vi skal nå se på hvordan vi kan lage plottet av flaten i figur 3.1. Dette er den samme flaten som vi har studert på side 19 i kapittel 1 i kompendiet og er gitt matematisk ved formelen: h 0 h =. (3.1) 1+ x2 +y 2 R 2 Formelen modellerer en isolert fjelltopp der h er høyden over havflaten, h 0 er høyden på toppen av fjellet og R er et mål for radius i fjellet. Konstantene h 0 og R er her satt til 2277m og 4000m. h y x Figur 3.1: En modell av fjelltoppen Berenberg på Jan Mayen. Det anbefales at du først prøver ut de påfølgende kommandoene direkte i Python for senere å samle dem i en py-fil. Det første vi skal gjøre er å definere de to konstantene h 0 og R. Vi ser av figuren at x- og y-aksen er oppgitt i km og h-aksen i meter. Vi definerer derfor h 0 i meter og R i km: h0 = R = 4. 8

10 x- og y-aksen skal spenne over et område på km med sentrum i origo. For å lage et passende grid med x- og y-verdier kan vi bruke kommandoen ndgrid som tar to vektorer som parametere. Vektorene vi bruker som innparametere kan vi lage ved å bruke linspace: t = linspace(-10,10,41) x,y = ndgrid(t,t) Størrelsen på gridet må tilpasses hvert eksempel. Her har vi brukt 41 punkter per akse, noe som gir en passende maskestørrelse samtidig som flaten ser glatt ut. ndgrid(x, y) er ekvivalent til meshgrid(x, y, indexing= ij ). For mer informasjon om denne funksjonen prøv help(ndgrid) og help(meshgrid). Vi er nå klare til å regne ut h som angitt i (3.1): h = h0/(1 + (x**2+y**2)/(r**2)) To vanlige kommandoer for å plotte flater i Python er mesh og surf. Forskjellen på dem er at surf fyller maskene mens mesh tegner kun maskenettet. Kommandoene brukes likt: mesh(x,y,h) surf(x,y,h) For å endre fargene som vises i mesh og surf skriv colormap(map()) hvor MAP er jet, hot, bone, cool, etc., dette står forklart i fotnote til seksjon 3.4 om konturlinjer. For å se hvilke farger som representerer hvilke verdier kan man skrive colorbar(). Til slutt kan vi pynte litt på figuren. For å angi navn på aksene bruker vi xlabel( x ) ylabel( y ) zlabel( h ) Samlerviallekommandoeneienpy-filblirdenseendeslikutmedGnuplotbackend: 2 from scitools.std import * from scitools.easyviz.gnuplot_ import * h0 = # Hoyden av toppen av fjellet (m) R = 4. # Maal for radius av fjellet (km) t = linspace(-10,10,21) x,y = ndgrid(t,t) # Grid for x- og y-verdiene (km) h = h0/(1 + (x**2+y**2)/(r**2)) # Beregn hoyden h (m) surf(x,y,h) # Plott overflaten colorbar() xlabel( x ) # Sett aksenavn ylabel( y ) zlabel( h ) 2 Vi har valgt å bruke Gnuplot backend ettersom verken colorbar eller zlabel ser ut til å fungere med Matplotlib backend. 9

11 3.4 Plotting av konturlinjer Vi skal ta for oss et nytt eksempel fra side 19 i kapittel 1 i kompendiet; lufttrykket ved havflaten i tilknytning til et stormsenter. Formelen vi skal bruke er gitt ved p p = p 0 (3.2) 1+ x2 +y 2 R 2 der p 0 er lufttrykket langt borte fra sentrum, p er trykkfallet inn mot sentrum og R er et mål for utstrekningen av lavtrykket. Konturlinjene vi skal plotte er gjengitt i figur y x y x Figur 3.2: Konturlinjer for konstant trykk (isobarer) rundt et lavtrykkssentrum. Enhetene på aksene er kilometer. Til venstre med Gnuplot backend, til høyre med Matplotlib backend. Vi starter med konstantene som skal oppgis i km (R) og hpa (p 0 og p): R = 50 p0 = 1000 dp = 40 Til forskjell fra kompendiet skal vi her la x-aksen være definert over et område fra -150 til 0 km, mens vi lar y-aksen være definert over et område fra 0 til 150 km, deretter regnes p-verdiene ut: tx = linspace(-150, 0, 151) ty = linspace(0, 150, 151) x,y = ndgrid(tx,ty) p = p0 - dp/(1+(x**2+y**2)/r**2) Konturlinjene kan nå plottes med kommandoen contour: contour(x,y,p) colorbar() 10

12 For å plotte et valgfritt antall konturlinjer bruk contour(x,y,p,n) der n er antall linjer. Hvis vi kun er interessert i noen utvalgte trykkverdier (f.eks. 960, 970, 980 og 990) så kan vi gi verdiene som en vektor til contour: v = [960, 970, 980, 990] contour(x,y,p,v) eller enda enklere: contour(x,y,p,[960, 970, 980, 990]). Vil du bruke en annen fargeskala prøv colormap(map()) 3. Med colormap og colorbar er det lett å se hvilke verdier linjene har, men på et svart/hvitt trykk har vi ikke den muligheten. Linjenes verdi må isteden skrives eksplisitt på hver linje og linjene bør ha en mørk farge. I Easyviz kan man benytte kommandoen av clabel som vist nedenfor til å skrive på verdiene i plottet (legg merke til variabelen C som brukes til å overføre informasjon fra contour til clabel). En py-fil for å generere figur 3.2 kan nå se slik ut: from scitools.std import * ##from scitools.easyviz.gnuplot_ import * R = 50 # Utstrekningen av lavtrykket (km) p0 = 1000 # Lufttrykket langt borte fra sentrum (hpa) dp = 40 # Trykkfallet inn mot sentrum (hpa) tx = linspace(-150,1,151) ty = linspace(0,150,151) x,y = ndgrid(tx,ty) # Grid for x- og y-verdiene (km) p = p0 - dp/(1+(x**2+y**2)/r**2) # Beregn trykket p (hpa) C=contour(x,y,p) clabel(c, on ) axis( equal ) colorbar() xlabel( x ) # Sett aksenavn ylabel( y ) 3.5 Plotting av vektorfelt og beregning av gradientvektor. Et vektorfelt i kartesiske koordinater v = v x (x,y)i+v y (x,y)j kan plottes med quiver(x,y,vx,vy,[faktor],[farge]) der faktor og farge er valgfrie opsjoner som endrer henholdsvis vektorenes lengde med en skaleringsfaktor og vektorenes farge. La oss ta et eksempel: v = (x 2 +2y 1 2 xy)i 3yj. 3 MAPkanvære autumn, bone, cool, copper, flag, gray, hot, hsv, jet (default), lines, pink, prism, spring, summer, white eller winter. Merk at i Python må det stå parenteser bak map mens i Matlab er dette ikke nødvendig. 11

13 Vi lar x og y variere mellom -5 og 5. Når vi skal definere et grid for x og y, må vi passe på å bruke et større intervallsteg enn vi vil bruke for overflateplott eller konturlinjer. Det blir fort veldig uryddig med for mange vektorer i en og samme figur. from scitools.std import * from scitools.easyviz.gnuplot_ import * t = linspace(-5,5,11) x,y = ndgrid(t,t) vx = x**2 + 2*y -.5*x*y vy = -3*y quiver(x,y,vx,vy,1.5, b ) # skalareringsfaktor 1.5, blaa farge axis( equal ) Her har vi skalert lengden til alle vektorene med en faktor 1.5, og vi har bedt om at vektorene skal tegnes i blå farge. 4 Hvis vi har definert et skalarfelt F(x,y) over et område utspent av vektorene x og y i Python kan vi regne ut gradientvektoren til feltet med gradient(f). Denne funksjonen returnerer de partielt deriverte ( F/ x og F/ y i 2D) til feltet. Med disse for hånden kan vi plotte vektorfeltet med quiver: dfx,dfy = gradient(f); quiver(x,y,dfx,dfy) Vi skal videre presentere koden som er brukt for å lage figur 3.3 som er et plott av noen konturlinjer for h gitt ved (3.1) og gradientvektoren h. Bortsett fra kommandoene hold( on ) og hold( off ), som sørger for at konturlinjene og vektorfeltet blir plottet sammen og med samme akseegenskaper, skulle resten av koden nå være kjent. 5 from scitools.std import * ##from scitools.easyviz.gnuplot_ import * h0 = 2277 # Hoyden av toppen av fjellet (m) R = 4 # Maal for radius av fjellet (km) tt = linspace(-10.,10.,11) xx,yy = ndgrid(tt, tt) # Definer et grovere grid til vektorfeltet hh = h0/(1+(xx**2+yy**2)/(r**2)) # Beregn hoyden med det nye griddet dhx,dhy = gradient(hh) # Beregn gradientvektoren (dh/dx,dh/dy) # Plott vektorfeltet (rod farge) og skaler vektorlengden med en faktor # En bedre skaleringsfaktor er.75, men fungerer kanskje ikke? quiver(xx,yy,dhx,dhy,0, r ) hold( on ) # Behold konturlinjene og akse-egenskapene t = linspace(-10.,10.,21) 4 Det ser ikke ut som skaleringsfaktoren virker med Matplotlib backend (prøv eventuelt å sette den til 0), derfor velger vi å benytte Gnuplot backend her. 5 Det ser ikke ut til at hold( on ) virker sammen med Gnuplotlib backend, derfor velger vi Matplotlib backend her. Imidlertid ser det heller ikke ut til at skaleringsfaktoren i quiver virker med Matplotlib backend (vi har satt den lik null som et kompromiss). 12

14 x,y = ndgrid(t,t) # Grid for x- og y-verdiene (km) h = h0/(1+(x**2+y**2)/(r**2)) # Beregn hoyden h (m) contour(x,y,h,daspectmode= equal ) # Kontur og sett akseenhetene like xlabel( x ) # Sett aksenavn ylabel( y ) axis( equal ) # Sett akseenhetene like hold( off ) # Trenger ikke flere plott i denne figuren 10 5 y x Figur 3.3: Konturlinjer for h og gradientvektoren h. Enhetene på aksene er kilometer. 3.6 Plotting av strømlinjer I kapittel 4 møter vi strømfunksjonen ψ. Kjenner vi uttrykket for denne er det lett å plotte strømlinjene. Siden strømfunksjonen er konstant langs en strømlinje vil strømlinjene være konturlinjer for skalarfeltet ψ. Vi kan derfor definere et grid i x- og y-retning med ndgrid, regne ut diskrete verdier av strømfunksjonen, og til slutt bruke contour for å tegne opp strømlinjene, akkurat på samme måte som vi plottet isobarene til trykkfeltet i seksjon Oppgaver Oppgavene står i kompendiet og er de samme uansett om man bruker Matlab eller Python. 13

15 Bibliografi Gjevik, B. & Fagerland, M. W Feltteori og vektoranalyse. Matematisk institutt, UiO. Langtangen, H. P A Primer on Scientific Programming with Python, 4th edn. Springer. Langtangen, H. P. & Ring, J. H Easyviz documentation. Lindstrøm, T. L. & Hveberg, K Flervariabel analyse med lineær algebra, 2nd edn. Gyldendal Akademisk Forlag. 14

16 Register Berenberg, 8 felt trykkfelt, 13 gradientvektor figur med konturlinjer, 13 hvordan beregne med Python, isobarer, 10, 13 konturlinjer, 13 figur, 10 figur med gradientvektor, 13 hvordan plotte med Python, lavtrykk i en lufttrykksmodell, 10 lufttrykk en modell som skal plottes, 10 partiell derivasjon hvordan beregne med Python, 12 Python, (komma), 2 : (kolon-operator), 4 : (kolon-operatoren), 5 [] (klammeparenteser), 2 #, 1 arange, 4 axis, 7 beregning av gradientvektor, beregning av skalarfelt, 8 9 clabel, 11 colorbar, 9 11 colormap, 9, 11 contour, 10 11, 13 daspectmode, 7 def, 6 diag, 3 4 dot, 7 Easyviz, 1 elementvise operasjoner, 7 8 eye, 4 generering og manipulering av matriser, 2 4 Gnuplot, 1, 2, 7 gradient, grensesnitt, 1 2 grid, 9 hardcopy, 2 help, 4, 6 hold on/off, 12 hvordan invertere en matrise, 3 hvordan transponere en matrise, 2 3 innledning, 1 kolon-operatoren (:), 5 kommentarer, 1 2 konstanter/variable, 8 10 length, 4 linspace, 4 Matplotlib, 1, 2, 7 mesh, 9 meshgrid, 9, 10 ndgrid, 9, 13 numpy, 2 ones, 4 oppstart, 1 2 outer, 7 plot, 6 plotting av flater, 8 9 plotting av konturlinjer, plotting av strømlinjer, 13 plotting av vektorfelt, print, 2 py-filer, 5 6, 8, 9, 11 quiver, savefig, 2 15

17 Scitools, 1, 2 shape, 4 sum, 3 surf, 9 transpose, 2 xlabel,ylabel,zlabel, 9 zeros, 4 skalarfelt, 13 hvordan beregne med Python, 8 9 strømfunksjon, 13 strømlinjer hvordan plotte med Python, 13 trykk lavtrykk i en lufttrykksmodell, 10 lufttrykk en modell som skal plottes, 10 trykkfelt, 13 vektorfelt hvordan plotte med Python,