Diskret matematikk 4140 Discrete Mathematics and Its Applications (Rosen) Oppsummering. Vegard Aas 2004

Transkript

1 Diskret matematikk 4140 Discrete Mathematics ad Its Applicatios (Rose) Oppsummerig Vegard Aas 2004

2 1.1 Logikk Utsag Del 1 Logikk og bevis, megder og fuksjoer Utsag er e påstad (p) som ete er sa eller usa. Sahetsverdi 0 eller 1, T eller F. Ka være primitive eller sammesatte Sammesatte utsag Satt samme av flere utsag vha. logiske operatorer Kojuksjo: p og q. p q Disjuksjo: p eller q p q Eksklusiv eller: p q. Utsaget er sat bare år p eller q er sae, ikke år begge er sae Negasjo: ikke p. p Implikasjo p q. p medfører q. Utsaget er usat år hypotese p er sa og koklusjoe q usa, ellers er det sat. Bikodisjoal p q er utsaget som er sat år p og q har samme sahetsverdier, og ellers usat. p hvis og bare hvis q. Kovers: q p er koverse (det omvedte ) til p q Kotrapositiv q p er det kotrapositive til p q og har samme sahetsverdier det er usat bare år p er sa og q er usa. Ivers p q er iverse til p q Boolske variable/søk Bruker de logiske operatoree AND, OR og NOT til å søke Bitstreger Presedes for kvatorer: etter like utsag. Sekves av e eller flere bits(0110), ^, v,, 1.2 Proporsjoale ekvivaleser Tautologi Et sammesatt utsag som alltid er sat. Selvmotsigelse Et sammesatt utsag som aldri er sat. Tilfredsstillbare utsag: Utsag som verke er tautologi eller selvmotsigelse Logisk ekvivalete utsag: Utsag som alltid har samme sahetsverdi. p og q er logisk ekvivalete hvis og bare hvis p q er e tautologi ( p q) ( p q) ( q p) p q p q De Morgas lover: ( p q) p q og ( )

3 1.3 Kvatorer Uiversell kvatifiserig: P(x) er sat for alle x i uiverset (defiisjosområdet). xp( x) Eksistesiell kvatifiserig: P(x) er sat for mist e x i uiverset. xp( x) Uivers: defiisjosområdet område der fuksjoe er gyldig. (Uiverse of discourse, domai) Negasjo: Det eksisterer ikke Motbevis xp( x) x P( x) og xp( x) x P( x) For å motbevise et utsag som alltid skal være sat, treger vi altså bare å fie et moteksempel. 1.4 Nestede kvatorer Kvatorer som opererer iefor adre kvatorer, ka beskrives som sirkelreferaser.! er de uike kvatore, uttrykker at det fies e og bare e. 1.5 Bevismetoder Teorem: Bevis: Aksiomer og postulater: Logisk følgeriktighet: Lemma: Korollar: Kojuksjo: Påstad ma ka bevise er sa Serie med logisk følgeriktige påstader som til samme utgjør et argumet. Uderliggede matematiske atakelser Fremgagsmåte for å trekke logiske følger som utgjør stegee på vei mot et bevis. Ekelt teorem brukt til å bevise adre teoremer. Utsag som ka sluttes direkte fra et teorem som har blitt bevist. Påstad ma ikke ka vite om er sat eller usat

4 Regler for iferes Regler for begruelse av logiske resoemet.. Modus poes: Law of detachmet. Tautologie ( ( )) p p q q er grulaget. Sier at dersom både e implikasjo og des hypotese er sa så er koklusjoe at implikasjoe er sa. p p q q Addisjo: p p q ( p q) p Foreklig p q p ( p q) p Kojuksjo: p q p q (( p) ( q) ) ( p q) Modus tolles Hypotetisk syllogisme Disjuktiv syllogisme q p q p p q q r p r p q p q ( ) q p q p ( p q) ( q r) ( p r) ( ) p q p q Resulosjo p q p r q r ( p q) ( p r) ( q r)

5 Iferesregler for kvatorer Uiversell istaserig: P er sa for e c iefor uiverset, gitt xp( x) Uiversell geeraliserig xp( x) er sa gitt at forutsetige P er sa for alle elemeter c i uiverset. Eksistesiell istaserig: Gitt at xp( x) er sa, vet vi at det fies et elemet c slik at P er sa. Eksistesiell geeraliserig: xp( x) er sa år vi kjeer et elemet c slik at P er sa. Metoder for å bevise teoremer Direkte bevis: p q vises direkte ved å vise at år p er sa må også q være sa. Idirekte bevis: q p. Viser at det kotrapositive er sat. Selvmotsigelser: p ( r r). Ka skrives om til et direkte bevis ved å ata p og q og vise q p. Dette fører da til p p Vaccous proof: Hvis p er usat, ka vi kokludere at implikasjoe p q er sa. Trivielt bevis: Hvis koklusjoe q er sa, vet vi at p er sa. Bevis ved p p p p q er sat ved å bevise tilfeller: Vi ka vise at ( ) ( p q) ( p q) ( p q) Bevis for ekvivales: Vi beviser hvis og bare hvis p q ved ( p q) ( q p) Bevis ved iduksjo i) Vis a P er sa for = k ii) Ata et P er sa for = k og vis at dette medfører at P er sa for = k+1. P vil da være sa for alle. Feil i bevis E argumetrekke er sa hvis og bare hvis alle ibefattede hypoteser er sae. Feilslutig (fallacie) Resultat av å trekke ugyldige slutiger Sirkelresoerig

6 1.6 Megder (sets) Megde: Like megder: E megde er e samlig uordede elemeter To megder er like dersom de ieholder de samme x x A x B. Skrives også A B B A elemetee. ( ) Delmegder: A er e delmegde av B hvis og bare hvis alle elemetee i A også er med i B. A B Kardialitet: Atall elemeter i megde S deoteres S. Potesmegder: Megde av alle delmegder, dvs. alle uordede par. P(S). Har kardialitet Kartesisk produkt: PS ( ) = 2 S PA ( ) = { BB A } {(, ) } Megde av alle ordede par (a,b). AxB = a b a A b B. Kardialitet AxB = A x B De tomme megde: 1.7 Megdeoperasjoer Uio: Megde som ieholder elemeter som er i A, B eller begge. { ( ) ( )} A B = x x A x B Sitt: Megde som ieholder elemeter som er både i A og B. A B = x x A x B { ( ) ( )} Iklusjo/eksklusjo A B C = A + B + C A B A C B C + A B C prisippet: Megdedifferase: A B = A/ B{ x x A x / B} Kalles også komplemetet til A med hesy på B. Komplemet: A = { x x A} Disjukt: To megder er disjukte hvis sittet er de tomme megde. De Morgas lov: A B = A B og A B = A B Medlemstabeller: Ka brukes til å vise idetiteter. Uioer/sitt av flere megder: A1 A2... A = Ai og A1 A2... A = Ai i = 1 i = 1

7 1.8 Fuksjoer Fuksjo: Tilordig av øyaktig ett elemet fra e megde til e ae, A B Domee/ kodomee: Hvis fa ( ) = b så er b bildet av a, og a er før-bildet av b. Verdimegde: Megde av alle bilder E-til-e/ijektiv: Alt i defiisjosmegde treffer oe uikt i verdimegde. ( f( x) = f( y) ) x = y, x y( x y f( x) f( y )) På/surjektiv: Alt i verdimegde treffes. b a( f( a) = b) der b B og a A Bijektiv: Fuksjoer som både er ijektive og surjektive. E fuksjo ka iverteres hvis og bare hvis de er bijektiv. 1 Ivers: E ivers fuksjo er slik at år fa ( ) = bså er f ( b) = a Komposisjo: Komposisjoe til to fuksjoer er ( f g) ( a) = f ( g( a) ). Forutsetter at verdimegde til g er e del av domeet til f. Gulvfuksjoe: Reelt tall som er det største heltallet midre eller lik x. x = hvis og bare hvis x < + 1 Takfuksjoe: Reelt tall som er det miste heltallet større eller lik x. x = hvis og bare hvis 1< x Graf: Grafe til e fuksjo f er megde ordede par ab,, a Af, ( a) = b {( ) }

8 Del 2 Algoritmer, tall og matriser 2.1 Algoritmer E algoritme er et edelig atall istruksjoer for å løse et problem. Viktige begreper er iput, output, presisjo, korrekthet, edelighet, effektivitet, geeralitet. Søkealgoritmer Metoder som brukes for å fie elemeter i e megde. Lieært søk: Sammeliger x og a 1. Fortsetter så med a 2 osv. helt til de fier e a = x. Biært søk: Brukes på lister som er sortert i stigede rekkefølge. Algoritme begyer å sammelige med elemetet midt i liste, så splitter de igje de to dellistee i ye lister osv. Sorterigsalgoritmer Order elemetee i e liste i øsket rekkefølge. Bubble sort: Sorterer ved å sammelige to og to elemeter og edre rekkefølge på disse hvis de er feil. L 2 operasjoer Isettig: Begyer med det adre elemetet, sammeliger dette med det første og plasserer det fora dersom det er midre. 2.2 Fuksjosvekst Big-O: E fuksjo f(x) er O(g(x)) dersom det fies kostater C, k > 0, slik at f( x) C g( x) for alle x > k. Big-omega f( x) ( g( x) ) Dersom f ( x) er O g ( x) og f ( x)er O g ( x), så har vi f + f er O max g ( x), g ( x) ( ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 2) ( 1 2 ) og ( f f )( x) er O( ( g ( x) g ( x )) Ω dersom det fies kostater C, k > 0, slik at Cgx ( ) f( x) for alle x > k. Big-theta: E fuksjo er ( gx ( )) dersom de er O( gx ( )) og ( gx ( )) av orde g. 2.3 Kompleksitete til algoritmer Tidskompleksitet Beregigskompleksitet Plasskompleksitet Θ Ω. f er

9 2.4 Tall og divisjo Delig: a deler b hvis det fies et heltall c slik at b = ac. Når a deler b sier vi at a er e faktor i b og b er et multiplum av a. (1) Hvis abog ac gir a( b+ c ) (2) Hvis a b, da har vi a bc for alle heltall c (3) Hvis a b og b c da a c Bevis 1 Ata at a b og b c. Da fies det heltall s og t med b = as og c = at. Altså b + c = as + at = a(s+t). Dermed a (b+c) Primtall: Tall som ku er delelig med 1 og seg selv Aritmetikkes fudametalteorem Alle positive heltall over 1 har etydig primtallsfaktoriserig. Primtallsfaktor Dersom er et sammesatt heltall, vil det ha e primtallsfaktor For å fie primtallsfaktoriserige av et tall ka ma altså begye med rote av tallet. Bevis: Hvis er et sammesatt tall har det e faktor a med 1<a<. Altså = ab der både a og b er positive tall større e 1. Vi ser at a eller b ellers ville vi hatt ab< * =. Altså har e positiv divisor midre e, og ved aritmetikkes fudametalteorem er det ete ett primtall eller har e primtallsdivisor midre eller lik. Metode for primtallsfaktoriserig: Dersom 2 m 1 er et primtall så er m et primtall. Test opp til og fi p Test opp til p og fi q p Test opp til q til q er et primtall Divisjosalgoritme: Gitt to heltall ka ma skrive det ee tallet som det adre som går et atall gager opp i det første, pluss e rest. a = dq + r og 0 r < d Største felles divisor: Det største tallet d som er slik at d a og d b er de største felles divisore til a og b. Skrives gcd(a,b) sfd(a,b) eller bare (a,b)=(b,a). max( 1, 1 1) max( 2 2, 2) max( gcd(, )..., = a b a b a b ) der p er primtallee til a og b. ab p p p Relativt primiske: Heltallee a og b er relativt primske hvis gcd(a,b) = 1. a 1, a 2,, a er parvis relativt primiske hvis gcd(a i,a j ) = 1. Miste felles multiplum: Det miste heltallet som deles av a og b. lcm(a,b) = mfm(a,b) mi( 1, 1 1) mi( 2 2, 2) mi( (, )..., lcm a b = p a b p a b a b ) p der p er primtallee til a og b. gcd * lcm: ab= gcd( a, b) i lcm( a, b)

10 Modulær aritmetikk: Når a og b er heltall og m er et positivt heltall, da er a koguret med b modulo m hvis m deler a-b. Skrives a b(mod m). a b(mod m) amodm= bmodm Bevis: Heltallee a og b er kogurete modulo m hvis og bare hvis det fies et tall k slik at a= b+ km. Dvs. at de har samme rest. Bevis: Hvis a b (mod m) da m (a-b). Dette betyr at det fies et heltall k slik at a-b = km, og a = b + km. Tilsvarede hvis det fies et heltall k slik at a = b+km, da vil km = a-b. Altså deler m (a-b) slik at a b(mod m) Kogureser ka adderes og multipliseres, samt deles med et tall c dersom gcd(c,m) = 1. Megde av alle heltall koguret med et heltall a kalles koguresklasse til a modulo m. 2.5 Tall og algoritmer Eurklids algoritme: Metode til å fie gcd. La a= bq+ r, hvor a, b, q og r er heltall. Da er gcd( a, b) = gcd( b, r ) Bevis: Må vise at felles divisor for a og b er det samme som felles divisorer for b og r, side begge par da vil ha de samme største felles divisor. Ata at d deler både a og b. Da følger det at d også deler a bq = r. Det vil si at e felles divisor for a og b også er e felles divisor for b og r. Tilsvarede ata at d deler både b og r. Da deler d også bq + r = a. Altså bil e felles divisor for b og r også være felles divisor for a og b. De største felles divisor fies som de siste divisor som ikke er ull i Euklids algoritme. Eks. fi gcd(414,662): gcd( 662, 414) : 662 = 414 * =248* =166* =82*2+2 82=41*2+0 Dvs gcd(414,662) = 2

11 2.6 Avedelse av tallteori Lieær kombiasjo: Hvis a og b er positive heltall, fies det heltall s og t slik at gcd(a,b) = sa + tb. Brukes ved å utføre Euklids algoritme baklegs Delig: Hvis a, b og c er positive heltall slik at gcd(a,b) = 1 og a bc, da har vi a c. Geeraliserig mhp primtall: Hvis p er et primtall og p aa 12 a hvor alle ai er et heltall, da har vi p a i for i. Ivers: Det kiesiske restteoremet: Fermats lille setig: Hvis a og m er relativt primiske fies det et tall a slik at aa 1(mod m). Iverse fies ved lieære kombiasjoer og Euklids algoritme, og ka brukes til å løse ligiger på forme ax b(mod m), hvor e løsig er garatert dersom gcd(a,m) = 1. E ivers er garatert dersom a og m er relativt primske og m>1. Et system av kogureser: x a (mod m ) 1 1 x a2(mod m2) x a (mod m ) har e uik løsig modulo m hvis m 1, m 2,, m er parvis relativt primiske. Løsige er på forme x= a1m1y1+ a2m2y2+ + amy der y er iverser av M modulo m, samt at M = m/m Hvis p er et primtall og a er et heltall som ikke deles av p, har vi: p 1 a 1(mod p) p a a(mod p) 2.7 Matriser Matrise Summerig E m x matrise er e tabell med m rader og koloer. To matriser er like dersom de har samme atall rader og koloer, og tilsvarede ihold på hver posisjo. m11 m12 M = m 21 m 22 La A = a og B = b være m x matriser. Da er summe av A og B m x ij ij matrise som har a ij + b ij som sitt (i,j) elemet. Dvs. A + B = a ij + b ij

12 Multiplikasjo La A være e m x k matrise og B e k x matrise. Produktet av A og B (AB) er m x matrise med iholdet i (i,j) tilsvarede summe av produktee av de korrespoderede elemetee fra de i'te rade i A og de j'te koloe i B. Dvs. AB = c der c = a b + a b + + a b m11 m12 m' 11 m' 12 x = m21 m22 m' 21 m' 22 ij ij i1 1j i1 2j ik kj ( m11 * m' 11+ m12 * m' 21 ) ( m11 * m' 12 + m12 * m' 22 ) ( m * m' + m * m' ) ( m * m' + m * m' )

13 Del 3 Matematiske resoemeter, iduksjo og rekursjo 3.1 Bevisstrategi a. Skriv om det som skal bevises ved å erstatte med defiisjoee. b. Aalyser hva hypotese og koklusjoe iebærer c. Bruk e av bevismetodee i 1.5 til å bevise utsaget. Begy med direkte bevis. Forlegs eller baklegs resoerig 3.2 Sekveserig og summasjo Sekves: Diskret struktur som brukes for å represetere e ordet liste. E sekves er e fuksjo fra e delmegde av heltall til e megde S. a: S, + S Geometrisk progresjo: E sekves på forme aa, r, ar 2,, ar der a og r er reelle tall. Aritmetisk progresjo: E sekves på forme a,a + d,a + 2d,,a + d der a og r er reelle tall. Summasjo: Hvis a og r er reelle tall og r 0 da ar j j = 0 ( 1 r 1) a + = 1 r ( + 1) a for r 1 for r=1 Kardialitet: Tellbarhet: { } ikke tellbar: Megdee A og B har samme kardialitet hvis og bare hvis det er e e-til-e korrespodase fra A til B. E megde som ete er edelig eller som har kardialitet lik megde av positive heltall kalles tellbar. Kators bevis. Megde av reelle tall er ikke tellbar. Bevises med motbevis, atar at megde er tellbar og fier et tall som ikke er med i de oppsatte liste. 3.3 Matematisk iduksjo Iduksjo: Vis først P() for e spesifikk, vis deretter at dette medfører P(+1) for alle. Sterk iduksjo: Viser [ P() 1 P( 2) P( ) ] P( + 1) Kalles også det adre prisippet i matematisk iduksjo. Bevis for iduksjo: Velordigsprisippet: Ata at vi vet at P(1) er sa, og at utsaget Pk ( ) Pk ( 1) + er sat for alle positive heltall k. For å vise at P() er sa for alle heltall, ata at det er mist e som gjør P() usa. Da vil megde S av positive heltall hvor P() er usa, ikke være tom. Vi kaller elemetet i S som m. Vi vet at m ikke ka være 1, side P(1) er sa. Side m er positiv og større e e, så er (m-1) et positivt heltall. Og side (m-1) er midre e m, fies de ikke i S, så P(m-1) må være sa. Side implikasjoe Pm ( 1 ) Pm ( ) også er sa, da må P(m) være sa. Dette er e selvmotsigelse av m. Altså er P() sa for alle positive heltall. Alle ikke-tomme megder har et miste elemet 3.4 Rekursive defiisjoer og strukturell iduksjo Rekursjo: Et objekt ka defieres rekursivt ut fra seg selv

14 For eksempel ka et tall være defiert av de foregåede tallee i e tallfølge. Får f(0) og prosedyre for f(). Fiboacci-tallee: Lamés teorem: Trær med rot: Utvidet biært tre med rot: Fullt biært tre: f, f, f,, er defiert ved ligigee f = 0, f = og f = f + f for > Atall steg brukt av Euklids algoritme for å fie gcd(a,b) er midre eller lik fem gager desimallegde av b (a<b). Eks. b=10, steg: 5. Grusteg: rot, rekursive steg for greier Grusteg:, rekursivt steg: høyre og/eller vestre deltre Alle idre hjører har to greier. 3.5 Rekursive algoritmer Rekursiv algoritme: E algoritme som løser et problem ved å redusere det til e utgave med lavere iverdier. Iterasjo: Starter på - -1 og jobber seg oppover til.

15 Del 4 Tellig 4.1 Gruleggede tellig Produktregele: Hvis e oppgave ka brytes ed i to oppgaver, der det er 2 måter å gjøre de adre oppgave etter de første, som ka gjøres på 1 måter, er totalt atall måter å utføre hele oppgave på 1 2. Sumregele: Hvis to oppgaver ka utføres på hhv. 1 og 2 måter, og de ikke ka utføres samtidig, er måter å gjøre oppgave på Dette ka utvides til å gjelde flere oppgaver. Iklusjoeksklusjoprisippet: Ser på kardialitete til megder: A B= A+ B A B 4.2 Skuffeprisippet Skuffeprisippet: Hvis k+1 objekter plasseres i k skuffer vil e skuff mist ieholde to objekter. Det geeraliserte skuffeprisippet: Viktig skufferesultat: Hvis objekter plasseres i k skuffer vil det være e skuff som ieholder mist /k objekter. Hver følge av 2 +1 uike reelle tall vil ha e delfølge av legde +1 som ete er stregt voksede eller stregt avtakede. 4.3 Permutasjoer og kombiasjoer E permutasjo på e megde distikte objekter er et ordet utvalg av disse objektee. Et ordet utvalg av r elemeter av e megde kalles e r-permutasjo.! Ordede utvalg P,r=-1 ( ) ( )( -2L-r+1= ) ( ) ( -r )! Atall ordede utvalg P(,r)! Uordede utvalg = = =Cr= Atall måter å sortere P(r,r) r r!(-r)! Kombiatorisk bevis: Bruker telletekikker for å bevise et teorem, i motsetig til for eksempel algebraiske tekikker 4.4 Biomialkoeffisieter Biomialkoeffeiset: Atall r-kombiasjoer fra e megde med elemeter r dukker opp som koeffisieter i utvidelse av poteser i biomiale uttrykk som ( a+ b ) ( + ) = = j = 0 j j j x y x y x x y x y y Biomialt uttr.: Sum av to argumet, for eksempel (x+y)

16 Del 6 Avaserte tellemetoder 6.1 Rekursjosrelasjoer Rekursjosrelasjoe for e følge { a } er e ligig som uttrykker a ved et eller flere av de foregåede leddee. La { a } være e følge. E rekuresrelasjo for =1 { a } er e ligig som uttrykker a som et uttrykk i a1, a2,..., a 1. E følge som tilfredsstillerrekursjosrelasjoe blir kalt e løsig. Tåret i Haoi Løses ved H= 2H 1+ 1 steg 6.2 Løsig av rekursjosrelasjoer E lieær homoge rekursjosrelasjo av grad k med kostate koeffisieter er e relasjo på forme: a= c1a 1+ c2a 2+ + cka k. Disse løses på følgede måte: 2 Karakteristisk ligig r cr 1 c2 = 0 har to distikte røtter r 1 og r 2. Da er sekvese { a } e løsig til rekuresrelasjoe a =c1a -1+c2a -2 hvis og bare hvis a= α1 1 r + α2 2 r for for α1 og α2 kostater 6.5 Prisippet for iklusjo/eksklusjo La A, A,, A være edelige megder. Da A A A = A A A + l i j k i i j l i l i j + 1 i j k + ( 1) 1 2 A A A A A A

17 Del 7 Relasjoer 7.1 Relasjoer og deres egeskaper Biær relasjo A og B er megder. E biær relasjo fra A til B er delmegde av A x B. Altså megde ordede par. Dee ka represeteres ved grafer eller matriser. Refleksiv E relasjo R på e megde A er refleksiv dersom det for alle a A aa, R. Ellers irrefleksibel så er ( ) Symmetrisk E relasjo R på e megde A er symmetrisk dersom ( ab, ) år ( ba, ) R. ( ab, ) ( ba, ) Atisymmetrisk E relasjo R på e megde A er atisymmetrisk dersom ( ab, ) A år ( ba, ) A, utatt hvis a= b ( ab, ) ( ba, ) a= bok Asymmetrisk E relasjo R på e megde A er asymmetrisk dersom ( ab, ) R medfører ( ba, ) R ( ab, ) ( ba, ) a b Trasitiv E relasjo R på e megde A er trasitiv dersom ( ab, )(, bc, ) R medfører ( ac, ) R ( ab, ) ( bc, ) ( ac, ) R R 12,,, R Kombiasjoer av relasjoer Ekspoerig av relasjoer To relasjoer R fra A til B og S fra B til C ka kombieres til e y relasjo S R fra A til C. For paret (2,3) i R og (3,1) i S gir dette (2,1) i SR. R 1 = R, og R + 1 = R R 7.2 -ære relasjoer megder R= M1 M2 M er e -ær relasjo. er grade og M1, M2er defiisjosområdet/domeet til relasjoe. Brukes mye i databaser. Projectio Plukker ut elemeter fra de opprielige megdee Joi Sammeligigsoperatore

18 7.3 Represetasjo av relasjoer Matriser MR = m i j. Ruteett med i rader og j koloer Måte å skrive iformasjo om e relasjo. R er refleksiv hvis diagoale i grafe ku har 1 ere. R er symmetrisk hvis og bare hvis M = ( M ) t - flip check R R Grafer E rettet graf består av e megde V hjører og E kater R e relasjo på A. A vises som hjører, R som kater. R er refleksiv hvis det er e løkke på hvert hjøre R er symmetrisk hvis det er e pil i begge retiger fra alle V. R er atisymmetrisk hvis det er pil ku e vei R er trasitiv hvis ma ka hoppe to steg med e pil fra et V. 7.4 Tillukiger av relasjoer Refleksiv tillukig R Δ der Δ= {( aa, ) a A} Legger til de par som magler Symmetrisk tillukig R 1 = ( ba, )( ab, ) R Sti i grafer Rekkefølge av kater. Det er e vei av legde fra a til b bare hvis ( ab, ) R Sammekobligs relasjo: Oppretter e sti fra a til b. * R = R = 1 Trasitiv tillukig: Uioe av alle mulige veier i relasjoe. Lik R * 7.5 Ekvivalesrelasjoer R som er refleksiv, symmetrisk og trasitiv. Delelighet gir alltid ekvivalesrelasjoer. Ekvivalesklasse Ekvivalete utsag: [ a] = [ b] Megde av alle elemeter som er relatert til et elemet a A a Skrives [ a] R eller [ ] arb [ a] [ b] 7.6 Delvise ordiger R er refleksiv, atisymmetrisk og trasitiv Delvis ordet megde E megde S samme med e delvis ordig R kalles e delvis ordet megde poset, og deoteres (S,R). Delvis ordet megde ( A, ) Kompatible Elemeter a og b i e delvis ordet megde er kompatible dersom a b eller b a Total ordig Alle megder er kompatible (, ) er totalt ordet side a b b a a,b + (, ) er ikke totalt ordet side det ieholder ikkekompatible elemeter som 5 og 7 Velordet Miimalt elemet: ( S, ) er velordet dersom det har delvis ordet megde slik at er de delvise ordige og at alle ikke-tomme megder av S har et miste elemet a A er et miimalt elemet dersom det ikke fies b A slik at

19 Miste elemet b< a. a A er det miste elemetet hvis a b for alle b A. Øvre/edre skrake Et elemet som er større/midre e alle adre elemeter i e delmegde A av de delvise ordige ( S, ) Største/miste øvre/edre skrake Elemet som er større/midre e alle adre øvre/edre skraker for A. Hasse-diagram : Gitter/lattice Foreklig av de rettede grafe. (1) Fjer alle løkker. (2) Fjer alt som er med på gru av trasitivitet. (3). Fjer alle piler E delvis ordet megde hvor alle par har både e miste øvre skrake og e største edre skrake.

20 Del 8 Grafer 8.1 Grafer Ekel graf G= ( V, E) har ige rettede kater (piler), løkker eller parallelle kater. Mulitgraf: Som ekel graf, me parallelle kater tillates. Altså fuksjo f fra { uv, uv, V u v} E til { } Psudograf Som multigraf, me tillatter løkker. Altså f til E der kravet om u v bortfaller. Rettet graf: Alle kater har retig. Ige løkker eller paralleller ok. Rettet mulitgraf: Kater med retig, paralleller ok. 8.2 Graftermiologi Nabohjører: Hjøree u og v er aboer dersom det er e kat mellom dem Grad Grade til et hjøre v (deg v) er atall kater som berører v. Løkker teller dobbelt. Hådhilsigsteoremet: Urettet graf Rettet graf Komplette grafer: La G = (V,E) være e urettet graf med e kater. Da har vi: 2e= deg( v) v V E urettet graf har et partall atall hjører av odd grad. For rettede grafer har vi i-grad (deg - v) og ut-grad (deg + v). hjører, og alle par hjører er budet samme av e kat Sykler C 3 Hjul W Todelte grafer Fremkommer ved å legge til et hjøre (i midte) av e syklisk graf. (Bipartite graphs) E ekel graf G som ka partisjoeres i to disjukte megder V 1 og V 2 Slik at alle kater i grafe bider samme et hjøre i V 1 og et hjøre i V 2 (slik at ige kater i G bider samme hjører i V 1 eller V 2. ) 8.3 Represetasjo av grafer. Isomorfi Isomorfi To grafer er isomorfe hvis det fies e bijeksjo f fra V 1 til V 2 slik at a og b er aboer i G 1 hvis og bare hvis f(a) og f(b) er aboer i G 2. Sjekk: samme atall hjører og kater, samme grader. Nabomatriser: Krav: samme atall kater og hjører, samt tilsvarede grader. Agir hvilke hjører som er aboer med hveradre. For ekle grafer må dee være symmetrisk. For multigrafer får vi ikke 0-1-matriser. Berørigsmatriser: e matrise M= m ij der 1 år kate e j berører hjøret vi m ij = 0 ellers 8.4 Kobliger

21 Veier La G=(V,E,f) være e ikkerettet graf og la N. E vei av legde mellom u og v er e følge av kater e 1, e 2, slik at f(e )= u,v, f(e )= u, v, f(e )= u,v { } { } { } E liste av hjører i e graf. Veie er ekel hvis de ikke ieholder samme hjøret flere gager. Sammekoblet G Det fies e vei mellom alle hjører i G. Sterk sammekoblet Svakt sammekoblet Det fies veier i begge retiger mellom alle hjører. G er sammekoblet som e rettet graf. 8.5 Euler- og Hamilto veier Eulerkrets Ekel krets som ieholder alle kater i e graf E koblet multigraf har e Eulerkrets hvis og bare hvis alle hjører har partall grad. Eulervei Hamilto-krets Hamilto-vei Ekel vei som ieholder alle kater i e graf E koblet multigraf har e Eulervei hvis og bare hvis de har øyaktig to hjører av odd grad Krets som ieholder hvert hjøre ku e gag Vei som ieholder hvert hjøre ku e gag

22 9.1 Trær Tre m-ært tre hjører Fullt m-ært tre Høyde og atall løv Del 9 Trær E sammekoblet urettet graf ute ekle kretser. E urettet graf er et tre hvis og bare hvis det er e uik vei mellom to hjører. Et tre har foreldre, bar, blader, forfedre, etterfølgere og itere hjører. Tre med rot der hvert itere hjøre mark har m bar. Et tre med hjører har -1 kater Dersom hvert hjøre har øyaktig m bar. i itere hjører og = mi +1 kater hjører gir i = (-1)/m itere hjører og l= [(m-1)+1]/m løv i itere hjører gir =mi+1 hjører og l=(m-1)i+1 løv l løv har = (ml-1)(m-1) hjører og i = (l-1)/(m-1) itere kater Et m-ært tre av høyde h har maksimalt m h løv. 9.3 Traverserig av trær Uiversell adresse: 1. Rote har adresse 0, hvert bar på ivå 1 adresseres 1, 2, 3,, k 2. For hvert hjøre v på ivå med adresse A, adresseres bara fra vestre til høyre med A.1, A.2,, A.k. Preorder traversal Besøker rote, så subtre T 1,så T 2 i preorder helt til T. Iorder traversal Postorder traversal Besøker subtre T 1 helt til vestre, så rot, så adre subtrær fra vestre mot høyre. Besøker subtrær fra vestre mot høyre, til slutt rote 9.4 Overspeede trær Overspeede trær La G være e ekel graf. Et overspeede tre til G er et tre som ieholder alle hjøree i G. Dvs. multiple kater fjeres fra ekle kretser.

23 10.1 Boolske fuksjoer Del 10 Boolsk algebra Boolsk algebra Gir operasjoer og regler for arbeidet med megde { 01} Komplemet Komplemetet til 0= 1 og 1=0 Boolsk sum 1+ 1= 1, 1+ 0= 1, 0+ 1= 1, 0+ 0= 0 Boolsk produkt 1* 1= 1, 1* 0= 0, 0* 1= 0, 0* 0= 0 Boolsk fuksjo E fuksjo fra B til B har grad, der B= { 01, } Atall boolske fuksjoer av grad er 2 2 Dualer Dualer F d av F ved å bytte + med * og 0 med 1 Boolske idetiteter: Love om det dobbelte komplemet x = x Idempotetlover x+x = x x*x = x Idetitetslover x + 0 = x x * 1 = x Domiasjoslover x + 1 = 1 x * 0 = 0 Kommutative lover x+y = x+y xy=yx Assosiative lover x+(y+z) = (x+y)+z x(yz) = (zy)x Distributive lover x+yz=(x+y)(x+z) x(y+z) = xy + xz De Morgas lover xy = x + y ( x+ y) = xy ( ) Absorbsjoslover x+xy = x x(x+y) = x Ehetsegeskap x+x = 1 Nullegeskap xx = 0, Represetasjo av boolske fuksjoer Literal Boolsk variabel eller des komplemet Miterm Boolsk produkt av literaler Logiske porter OG-port x,y xy ELLER-port x,y x+y Iverter x x 104. Miimaliserig av kretser Må fie frem til boolske uttrykk med færre operatorer, dvs. miimere de boolske fuksjoee.

24 Del 11 Fuksjosmaskier 11.1 Språk og grammatikker Grammatikk (G = V, T, S, P) og består av vokabular, termialer, startsymbol og produksjosregler Tom streg: λ Språk Megde ord daet av e grammatikk 11.2 Edelige tilstadsmaskier (med output) E edelig tilstadsmaski med output M= ( SIOf,,,, g, s0 ) består av tilstader S, starttilstad s 0, iputalfabet, outputalfabet O, iputfuksjo f, outputfuksjo g samt e startfase s 0. s 0 1,0 0,1 1,1 s 1 0,1 1,0 s 3 Tilstad f g Iput Output s0 s 1 s s1 s 3 s s2 s 1 s s3 s 2 s ,0 s Edelige tilstadsautomater (ute output) E edelig tilstadsmaski M = (S, I, f, s 0, F) består av tilstader S, iputalfabet I, iputfuksjo f, starttilstad s 0, og edelige tilstader F. Determiistisk Ikke-determiistisk Gir ut e edelig tilstad F Ka gi ut e megde tilstader (også de tomme megde) Språket L som gjekjees av e ikke-determiistisk edelig tilstadsmaski vil også bli gjekjet av e determiistisk tilstadsmaski Språkgjekjeig Regulære uttrykk Regulære uttrykk over et alfabet I er defiert som: er et regulært uttrykk λ er et regulært uttrykk x er et regulært uttrykk år x I (AB), (A U B) og A * er alle regulære uttrykk E megde er regulær hvis og bare hvis de ka gjekjees av e edelig tilstadsautomat.