Elastisitetsteori. Spesiell relativitetsteori

Transkript

1 lastisitetsteori Spesiell relativitetsteori FYS-MK

2 man tir uke gruppe: elastisitet forelesning: spes. relativitet Pinsemandag forelesning: repetisjon gruppe: spes. relativitet ingen forelesning ingen gruppe orakel Ø394 ingen forelesning ons gruppe: elastisitet gruppe: spes. relativitet ingen gruppe KSMN tor fre forelesning: spes. relativitet gruppe: statikk + elastisitet Mai ingen forelesning gruppe: spes. relativitet ingen datalab ingen forelesning ingen gruppe orakel Ø394

3 lastisitetsteori Hookes lov lastisitetsmodul spenning F tøyning tverrkontraksjon y y y Poissons tall skjærspenning: y F y G y G: skjærmodul for isotrope materialer: G (1 ) FYS-MK

4 Bøying av en bjelke midtlinjen: den nøytrale linjen ovenfor komprimeres bjelken nedenfor forlenges bjelken forlengelsen l i posisjonen fra den nøytrale linjen: l ( ) l l l Hookes lov: ( ) l l spenning i bjelken FYS-MK

5 FYS-MK l l ) ( b en bjelke med øyde og bredde b er bøyet med radius : kraft i avstand fra den nøytrale linjen: d df ) ( ) ( totalkraft på tverrsnitt: / / ) ( ) ( d b d F 0 / / b d b nettokraft er null, men det virker et kraftmoment

6 en bjelke med øyde og bredde b er bøyet med radius : kraft i avstand fra den nøytrale linjen: df ( ) ( ) d ( ) l l b kraftmoment om O: i r F i i r df ( ) d d I I d flatetregetsmoment FYS-MK

7 kraftmoment om O: I kraftmomentet fra spenning i bjelken oppveies av ytre krefter (i lekevekt) bøyningen er gitt ved: 1 I bøyningen øker med kraftmoment, men avtar med elastisitetsmodul og flatetregetsmoment I jo større flatetregetsmoment, jo større motstand mot bøyning FYS-MK

8 ksempel: flatetregetsmoment for en 4 cm trevirke: F I y d b / y / dy b b 1 3 y to orienteringer: I cm cm b F I cm cm 4 I 1 mest stivet for et gitt mengde material: velg en form vor material er langt bort fra den nøytrale linjen b B H I ( BH 1 B H 10 cm b 9.4 cm 8 cm b ) I 43 cm 4.8 cm 4 full bjelke av samme størrelse I 833 cm 100 cm 4 FYS-MK

9 Spesiell relativitetsteori insteins mirakelår 1905 an var 6 år gammel og jobbet som patentbeandler ved det sveitsiske patentbyrået i Bern i 1905 publiserte an fire artikler: forklaring av Brownske bevegelser forklaring av den fotoelektriske effekten spesiell relativitetsteori forklarte forold mellom masse og energi lbert instein ( ) FYS-MK

10 Oppfatninger på denne tiden: bølger trenger et medium for å forplante seg verdensrommet må være fylt av eter slik at lysbølger kan forplante seg konsekvens: jorden beveger seg relativ til eteren lysets astiget på jorden er avengig av retning relativ til eteren Micelson Morley eksperiment i 1887: prøvde å påvise effekten av jorden bevegelse gjennom eteren men fant at lysastigeten er den samme uansett vilken retning den måles. nå kommer lbert instein: Newtons lover er de samme i alle inertialsystemer Hvorfor krever elektromagnetisme (lysbølger) et spesielt referansesystem tilknyttet ti eteren? FYS-MK

11 insteins postulatene 1. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer.. Lysastigeten er den samme i alle inertialsystemer, og er uavengig av observatørens bevegelse. Newtonske mekanikk er ikke lenger gyldig får å beskrive vordan lys oppfører seg. FYS-MK

12 Galileo transformasjon to koordinatsystemer: S (f.eks. jorden) S (f.eks. romskip) S beveger seg relativ til S med astiget u langs aksen, vor og aksene er parallelle O og O er på samme sted ved tid t=0 vi beskriver posisjonen til et partikkel P i system S: i system S : Galileo transformasjon: ut y y z z r (, y, z) r (, y, z) v v v v y v y z v z u va vis partikkelen er et foton som beveger seg med lysastiget? c c u insteins. postulat: c c vis insteins. postulat er riktig, så må vi modifisere Galileo transformasjonen er tiden den samme i S og S? FYS-MK

13 Definisjon av endelse n endelse er en begivenet (noe) som kan lokaliseres i rom og tid dvs. gis koordinater (,y,z,t). Definisjon av samtidiget To endelser er samtidige dersom de inntreffer ved samme tid i ett og samme system S. S z y FYS-MK

14 n snekker arbeider på nabogården. Du merker at det er en liten forsinkelse mellom når du ser at an slår på en spiker og når du ører lyden. Når inntreffer endelsen ammeren treffer spikeren? 1. Idet du ører ammeren treffe spikeren.. Idet du ser ammeren treffe spikeren. 3. Ørlite etter at du ser ammeren treffe spikeren. 4. Ørlite etter at du ører ammeren treffer spikeren. 5. Ørlite før du ser ammeren treffe spikeren. z S y lydbølger lysbølger FYS-MK

15 Samtidiget Matilde lyn treffer begge endene av en vogn og bakken ved siden leander Matilde beveger seg mot lysbølgen som kommer fra fremre enden av vognen og bort fra lysbølgen som kommer fra bakre enden. FYS-MK

16 Matilde ser lyset fra den fremre enden først; un konkluderer at lynet ar truffet den fremre enden først. leander ser lyset kommer samtidlig fra begge endene; an konkluderer at lynet ar truffet begge endene samtidlig. (Lyset fra den bakre enden ar ikke ennå kommet til Matilde.) to endelser: lyn treffer fremre enden lyn treffer bakre enden Hendelsene er samtidig i system S (leander), men ikke samtidig i system S (Matilde) FYS-MK

17 Tidsintervaller speil kilde Matilde befinner seg i toget (system S ) og maler tidsintervall mellom to endelser: 1. et lysglimt er sendt ut fra en kilde i O. lyset er påvist i en detektor på samme sted etter refleksjon av et speil i avstand d Hun måler: t d c leander står på plattformen. I system S inntreffer de to endelser på forskjellige steder. Lyset beveger seg med samme astiget, men distansen er lenger. l ut t d t c t t c u 1 c ut c vi definerer: t t 1 u 1 c FYS-MK

18 Tidsdilatasjon To endelser inntreffer på samme sted. n observatør som er i ro i samme system måler et tidsintervall t 0 mellom endelsene. n annen observatør som beveger seg med konstant fart u relativ til den første måler et tidsintervall: t t 0 u 1 c t tidsintervall som er målt mellom to endelser i et referansesystem der posisjonen er identisk for begge endelser, kalles en egentid. t t vi ser at: 0 det kreves at tidsdilatsjon u c vi bruker u 1 c t t 0 Tidsdilatasjonen er ikke relatert til tiden lyset trenger for å komme til observatøren. I systemet som beveger seg inntreffer de to endelser på forskjellige steder. FYS-MK

19 ksempel: myoner Myoner er elementærpartikler som kan oppstår når øyenergetisk kosmisk stråling treffer på jordens atmosfæren. enfall: e e med gjennomsnittlig levetid. μs endelse 1: myon oppstår i atmosfæren endelse : myon enfaller I systemet tilknyttet myonet inntreffer begge endelser på samme sted og tidsintervallet er t 0 =. s (egentid) Pga. den øyenergetisk kosmisk stråling ar myoner øy astiget: v 0. 99c Sett fra jorden er levetid til myonet t t 1. μs μs Uten tidsdilatasjon vil myonet komme så langt: c.10 6 s m/s 660 m Pga. den relativistiske astigeten beveger myonet seg gjennom atmosfæren og kan bli påvist på bakken. 4.7 km FYS-MK

20 Matilde flyr i et romskip med v = 0.6 c. I øyeblikket un flyr forbi leander på jorden starter begge to sin klokke. Litt senere flyr Matilde forbi en romstasjon. Hennes klokke viser t = 1.0 s. Hva viser klokken til leander? M s. 1.0 s s 1. endelse: Matilde flyr forbi leander. endelse: Matilde flyr forbi romstasjonen I system romskip inntreffer begge endelser på samme sted og Matilde måler egentiden t 0 = 1.0 s. M leander beveger seg med fart v = 0.6 c relativ til Matilde og an maler tidsintervallet: t t 1.0 s s FYS-MK

21 Når Matilde flyr forbi leander med v = 0.6 c vinker an til enne. Matilde måler at leander vinker i ett sekund. Hvor lenge ar an vinket? M s. 1.0 s s 1. endelse: leander begynner å vinke. endelse: leander slutter å vinke I system jorden inntreffer begge endelser på samme sted og leander måler egentiden t 0. Matilde beveger seg med fart v = 0.6 c relativ til leander og un maler tidsintervallet: leander måler tidsintervallet: t 1 t 0 t 0.8 s t s FYS-MK