UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Bokmål Eksamen : ECON130 Statstkk 1 Exam: ECON130 Statstcs 1 Eksamensdag: Sensur kunngjøres: Date of exam: Grades wll be gven: Td for eksamen: kl. 09:00-1:00 Tme for exam: 09:00-1:00 Oppgavesettet er på 1 sder The problem set covers 1 pages Englsh verson on page 7 Tllatte hjelpemdler: Alle trykte og skrevne hjelpemddel samt lommekalkulator Resources allowed: All prnted and wrtten resources, as well as calculator Eksamen blr vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårlgste ståkarakter. F er kke bestått. The grades gven: A-F, wth A as the best and E as the weakest passng grade. F s fal.

2 ECON130: EKSAMEN 014V Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer Europa. Rulett-hjulet er nndelt 37 lke store felter nummerert fra 0 tl 36. Det er 18 røde felt, 18 svarte og et grønt felt med tallet 0. Et spll består å la en kule trlle nne hjulet nntl den havner et av de 37 feltene - slk at alle de 37 feltene har samme sannsynlghet. Utfallene fra forskjellge enkeltspll er uavhengge. En deltaker som satser penger et spll på en av flere mulge begvenheter, vnner et beløp hvs begvenheten nntreffer. Desto mndre sannsynlgheten er for at begvenheten skal nntreffe, desto større er gevnsten. Imdlertd, hvs kula havner det grønne 0-feltet, taper alle deltakere alt. Hele nnsatsen går tl huset. Sannsynlgheten for dette er 1/37. I denne oppgaven skal v kun se på den enkle strategen å satse på farge (rødt eller svart). Sannsynlgheten for rødt er (lk sannsynlgheten for svart), nemlg 18/37. For eksempel, hvs v satser 5 (euro) på rødt og kula havner et rødt felt, beholder v nnsatsen og får tllegg samme beløp (5 ) dvs. v ender opp med 5+5=10. Havner kula på svart eller 0-feltet, taper v nnsatsen og ender opp med 5 5 = 0. Trne er forsktg. Hun bestemmer seg på forhånd å splle for maksmum 0 alt og satse 5 på rødt hver gang løpet av 4 spll. I tabell 1 er alle 16 mulge utfall av 4 spll med tlhørende sannsynlgheter angtt. I tabellen angr R at et spll resulterer rødt felt, mens T angr kke-rødt (dvs. svart- eller 0-felt). For eksempel utfall 13 (TRTT) betyr at det ble R (rødt) spll mens T (kke-rødt) nntraff spll 1, 3 og 4. V angr Trnes sluttbeholdnng etter 4 spll og er en stokastsk varabel som varerer mellom 0 og 40.

3 Tabell 1. Mulge utfall av 4 spll. Startbeholdnng 0. Innsats pr. spll 5. Utfall Sannsynlghet Sluttbeholdnng V Utfall Sannsynlghet Sluttbeholdnng V 1 RRRR RTTR RRRT TRTR RRTR TTRR RTRR RTTT TRRR TRTT RRTT TTRT RTRT TTTR TRRT TTTT Spørsmål. A. Forklar () hvorfor sannsynlgheten for utfall 13 (TRTT) er (med 3 desmalers nøyaktghet) og () hvorfor Trnes sluttbeholdnng (V) blr 10 med dette utfallet (gtt at hun starter med 0 ). B. Defner begvenhetene, A = R første og fjerde spll, B = Mnst 3 R løpet av 4 spll. Fnn sannsynlghetene () PA ( ) () P( A B) () P ("R alle 4 spll" "mnst 3R") C. () La X være antall R som nntreffer 4 spll. Forklar hvorfor X er bnomsk fordelt. () Sett opp en tabell som vser sannsynlghetsfordelngen tl sluttbeholdnngen V og beregn PV ( 0). () Beregn E( V ) og var( V ). [Hnt. Merk at V 10X ] D. Trne synes 4-spll-strategen er kjedelg og bytter tl en 10-spll-strateg: Som før starter hun med 0 (som hun er vllg tl å rskere) og satser 5 på rødt hvert spll. Hun spller så lenge hun har penger å satse men kke mer enn 10 spll. Hvs hun ender opp med 0 før hun har splt 10 ganger, stopper hun å splle.

4 3 Anta at Trne gjennomfører 10-spll-strategen. La V betegne sluttbeholdnngen Trne ender opp med, og K antall enkeltspll hun deltar. (Merk at K kan være forskjellg fra 10 ved at Trne ender opp med 0 før hun har splt 10 ganger. Det kan vses at 0 bare kan nntreffe spll nr. 4,6,8 eller 10, som du kke trenger å begrunne.) Det kan også vses (som du kke trenger å gjøre) at smultanfordelngen for V og K er gtt ved tabell. Tabell. Smultanfordelngen for V og K (dvs. P( K k V v) ), samt noe mellomregnng tl bruk nedenfor. ( f ( v) P( V v) ). k Sum Mellomregnng v 4 spll 6 spll 8 spll 10 spll f( v ) vf () v v f () v Sum () Fnn PV ( 0). () Hva er sannsynlgheten for at Trne får splle 10 spll under 10-spll-strategen? () Anta v vet at Trne endte opp med 0 etter å ha prøvd 10-spll-strategen en gang, men kke hvor mange enkeltspll hun splte. Hva er sannsynlgheten for at hun bare splte 4 ganger? Begrunn svaret dtt. (v) Fnn E( V ) og var( V ) (relevant mellomregnng er angtt tabell ). E. Trne beslutter å bruke 10-spll-strategen sn 30 dager (en gang hver dag). Hennes totale nnsats blr da Sluttbeholdnngen etter 30 dager kan skrves W V1 V V30, der V angr sluttbeholdnngen for dag. () Beregn et tlnærmet 90% sprednngsntervall for W. () Beregn tlnærmet PW ( 600) med heltallskorreksjon.

5 4 Oppgave Innlednng. Sølvnnholdet (målt % ) er bestemt 11 mynter funnet på Kypros. Myntene stammer fra den bysantnske peroden (under kong Manuel I. Comnenus ( )). 4 av myntene stammer fra en gtt perode (perode 1) under kong Manuels regjerngstd, mens de resterende 7 er laget noen år senere (perode også under kong Manuel). V ønsker å fnne ut om dataene gr evdens for at sølvnnholdet mynter av denne typen generelt øket fra perode 1 tl perode. La X betegne sølvnnholdet ( %) mynt nr. fra perode 1 ( 1,,4 ). La Y betegne sølvnnholdet ( %) mynt nr. fra perode ( 1,,7 ). V antar X1, X,, X 4 er uavhengge og dentsk normalfordelte, med X ~ N( 1, ). Y1, Y,, Y 7 er uavhengge og dentsk normalfordelte, med Y ~ N(, ). Parametrene, 1,, antas ukjente. (Merk at v mplstt antar at X-ene og Y-ene har samme varans, men at de kan ha forskjellg forventnng.) X-ene og Y-ene antas å være uavhengge av hverandre La X X, Y Y, S1 ( X X ), S ( Y Y ) Tlsvarende uttrykk med små bokstaver ndkerer observerte verder av dsse stokastske varablene. Data. Beskrvende størrelser. Perode 1 Perode Perode 1 Perode x y Antall observasjoner 4 7 y Gjennomsntt x Utvalgsvarans s s Spørsmål. A. V er nteressert en eventuell forskjell mellom 1 og. Sett 1. En naturlg estmator for er ˆ X Y. () Vs at ˆ er en forventnngsrett estmator for og beregn estmatet. () Fnn varansen tl ˆ uttrykt ved.

6 5 B. V ønsker et 95% konfdensntervall for. Ingen av reglene Løvås er tlstrekkelg for dette, men fra generell statstkk har v følgende regel (som du kke trenger å begrunne) Regel I. Under modellen formulert nnlednngen gjelder at ˆ 1 W, der ˆ 3S1 3S, er eksakt t-fordelt med 9 ˆ 11 8 frhetsgrader uansett hva de ukjente verdene av 1,, er. () Bruk regel I tl å utlede et 95% konfdensntervall for. () Beregn det observerte konfdensntervallet ut fra data. C. V ønsker å teste H0 : 1 mot H1 : 1, som er det samme som å teste H : 0 mot H : () Bruk regel I tl å konstruere en test med sgnfkansnvå 5% for H 0. () Gjennomfør testen og formuler en konklusjon. () Er p-verden for testen dn mndre enn 1%? Begrunn svaret. [Hnt. Bruk t-kvantl-tabellen bak Løvås.] D. Den ukjente varansen,, kan estmeres på mange måter. En klasse av forventnngsrette estmatorer er, for eksempel, gtt ved ˆ c cs1 (1 c) S, der c er en vlkårlg valgt konstant mellom 0 og 1. For å kunne velge blant alle dsse estmatorene kan v bruke følgende regel (som du kke trenger å begrunne) fra generell statstkk: Regel II Hvs U1, U,, U n er uavhengge og dentsk normalfordelte med n 1 U ~ N(, ), og hvs S ( U U), så gjelder generelt n 1 ( n1) S E n1 og 1 ( n1) S var ( n 1)

7 6 () () () Bruk regel II tl å vse at ˆc er forventnngsrett uansett hvlken c som blr valgt. Bruk regel II tl å fnne et uttrykk for varansen tl ˆc uttrykt ved c og. Bestem en c slk at varansen tl ˆc blr mnst mulg.

8 Englsh verson Problem 1 Introducton. Roulette s played n a number of casnos n Europe. The Roulette wheel s dvded nto 37 equally large felds numbered from 0 to 36. There are18 red felds, 18 black and one green feld wth the number 0. One game conssts of lettng a small metal ball roll nsde the wheel untl t ends up n one of the 37 felds such that all the 37 felds have the same probablty. The outcomes from dfferent sngle games are ndependent. A partcpant who stakes money on one of several possble events, wns a certan amount f the event occurs. The smaller the probablty of the event s, the bgger the amount ganed s. However, f the ball ends up n the green 0-feld, all partcpants lose everythng. All the stakes go to the house. The probablty of ths happenng s 1/37. In ths problem we wll consder the smple strategy only of gamblng on color (red or black). The probablty of red s equal to the probablty of black, and equal to 18/37. For example, f we stake 5 (euro) on red and the ball ends up n a red feld, we keep the stake and obtan n addton the same amount (5 ).e., we end up 5+5=10. If the ball falls n a black or n the 0-feld, we lose the stake and end up wth 5 5 = 0. Trne s careful. She decdes n advance to play for a maxmum amount of 0, and to place a stake of 5 on red each tme durng 4 games. In table 1 all 16 possble outcomes of 4 games are gven wth correspondng probabltes. In the table the symbol R ndcates that a sngle game result n a red feld whle T ndcates not-red (.e., black- or 0-feld). For example, outcome 13 (TRTT) means that R (red) occurred n game whle T (not-red) occurred n game 1, 3, and 4. Let V be the total amount Trne ends up wth after 4 games. V s a random varable that vares between 0 and 40.

9 8 Table 1. Possble outcomes of 4 games. Start-amount 0. Stake per. game 5. Outcome Probablty Endbalance V Outcome Probablty Endbalance V 1 RRRR RTTR RRRT TRTR RRTR TTRR RTRR RTTT TRRR TRTT RRTT TTRT RTRT TTTR TRRT TTTT Queston. A. Explan () why the probablty of outcome 13 (TRTT) s (wth 3 decmal dgts precson), and () why Trne s end balance (V) becomes 10 for ths outcome (gven that she starts wth 0 ). B. Defne the events, A = R n the frst and the fourth game, B = At least 3 R s durng 4 games. Fnd the probabltes () PA ( ) () P( A B) () P ("R n all 4 games" "at least 3R") C. () Let X be the number of R s that occur n 4 games. Explan why X s bnomally dstrbuted. () Wrte a table that shows the probablty dstrbuton of the end balance V, and calculate PV ( 0). () Calculate E( V ) and var( V ). [Hnt. Note that V 10X ]

10 9 D. Trne thnks that the 4-game strategy s borng and changes to a 10-game strategy nstead: As before she starts wth 0 (that she s wllng to rsk) stakes 5 on red n every sngle game. She plays as long as she has money to stake, but not more than 10 games. If she ends up wth 0 before she has played 10 tmes, she stops to play. Suppose Trne tres the 10-game strategy. Let V denote the end balance Trne ends up wth, and K the number of sngle games she partcpates n durng the strategy. (Note that K may be dfferent from 10, whch happens when Trne ends up wth a 0 balance before she has played 10 tmes. It can be shown that 0 balance can only occur n game no. 4,6,8, or 10, whch you do not need to justfy here.) It can also be shown (as you do not need to show) that the jont dstrbuton of V and K s gven by table. Table. Jont dstrbuton of V and K (.e., P( K k V v) ), n addton to some ntermedate results to be used below ( f ( v) P( V v) ). v 4 games 6 games k Sum Intermedate results 8 games 10 games f( v ) vf () v v f () v Sum () Fnd PV ( 0). () What s the probablty that Trne wll play 10 sngle games under the 10-game strategy? () Suppose that we know that Trne ended up wth the end balance of 0 after havng tred the 10-game strategy once, but not how many sngle games she actually played. What s the probablty that she only played 4 tmes? Gve a reason for your answer. (v) Fnd E( V ) and var( V ) (some relevant ntermedate results are gven n table ).

11 10 E. Trne decdes to use the 10-games strategy for 30 days (once every day). Her total stake s then The end balance after 30 days can be wrtten W V1 V V30, where V denotes the end balance for day. () Calculate an approxmate 90% varaton nterval ( sprednngsntervall ) for W. () Calculate approxmately PW ( 600) wth correcton for ntegers ( heltallskorreksjon ). Problem Introducton. The slver content (measured n %) of 11 old cons dscovered n Cyprus was determned. The cons are from the Byzantne perod (under Kng Manuel I. Comnenus ( )). 4 of the cons come from a gven perod (perod 1) under the regn of Kng Manuel, whle the remanng 7 are from a conage some years later (perod ) also under Kng Manuel. We wsh to fnd out f the data provde evdence that the slver content of cons of ths type n general ncreased from perod 1 to perod. Let X denote the slver content (n %) of con no. from perod 1 ( 1,,4 ). Let Y denote the slver content (n %) of con no. from perod ( 1,,7 ). We assume X, X,, X are ndependent and dentcally and normally dstrbuted, wth 1 4 X ~ N(, ). 1 Y1, Y,, 7 Y ~ N(, ). Y are ndependent and dentcally and normally dstrbuted, wth The parameters, 1,, are consdered unknown. (Note that we mplctly assume that the X s and the Y s have the same varance, whle they may have dfferent expectatons.) The X s and Y s are assumed to be ndependent of each other Let X X, Y Y, S1 ( X X ), S ( Y Y ) Correspondng formulae wth small letters ndcate observed values of these random varables.

12 11 Data. Descrptves. Perod 1 Perod Perode 1 Perode x y No. of observatons Mean x y Sample varance s s Queston. A. We are nterested n a possble dfference between 1 and. Put 1. A natural estmator for s ˆ X Y. () Show that ˆ s an unbased estmator for and calculate the estmate. () Fnd the varance of ˆ expressed by. B. We want a 95% confdence nterval for. None of the rules n Løvås are suffcent for ths, but, from general statstcal theory, we have the followng rule (that you do not need to justfy) Rule I. Under the model formulated n the ntroducton ˆ 1 W, where ˆ 3S1 3S, s exactly t-dstrbuted ˆ 11 8 wth 9 degrees of freedom no matter what the true values of,, are. 1 () Use rule I to derve a 95% confdence ntervall for. () Calculate the observed confdence nterval from the data. C. We wsh to test H0 : 1 aganst H1 : 1, whch s the same as testng H : 0 aganst H : () Use rule I to construct a test wth level of sgnfcance 5% for H 0. () Perform the test and formulate a concluson. () Is the p-value for your test less than 1%? Gve a reason for your answer. [Hnt. Use the t-quantle table at the end n Løvås.]

13 1 D. The unknown varance,, can be estmated n many ways. A class of unbased estmators are, for example, gven by ˆ c cs1 (1 c) S, where c s an arbtrarly chosen constant between 0 and 1. To be able to choose between all these estmators, we can use the followng rule (that you do not need to justfy) from general statstcal theory: Rule II If U1, U,, U n are ndependent and dentcally and normally n 1 dstrbuted wth U ~ N(, ), and f S ( U U), n 1 1 then, n general, t s true that ( n1) S ( n1) S E n1 and var ( n 1) () () () Use rule II to show that ˆc s unbased for any chosen c. Use rule II to fnd an expresson for the varance of ˆc expressed by c and. Determne a c such that the varance of ˆc becomes as small as possble.