KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Introduksjon. Kvantekjemiske metoder. Kvantekjemiske metoder

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Introduksjon. Kvantekjemiske metoder. Kvantekjemiske metoder"

Transkript

1 KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon Høst 2004 KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/134 Introduksjon p.2/134 Kvantekjemiske metoder Kvantekjemiske metoder Forkunnskaper Bygger på grunnleggende kvantemekanikk fra KJ 133/ KJM 1060 Oppbygning 6 timer forelesning 14 timer praktiske øvelser For å få bestått Samtlige oppgaver må gjennomføres Muntlig fremføring siste dag Forelesninger med noe teori Kort innføring i noen sentrale metoder Hartree Fock DFT Korrelerte metoder Mer kvalitativt enn matematisk Styrker og svakheter Skissere anvendelsesområder Introduksjon p.3/134 Introduksjon p.4/134

2 Kvantekjemiske metoder Kvantekjemiske metoder Viktigste (og største) del av modulen er de praktiske oppgavene Skal kjøre beregninger på PC-laben (V180) PC ene kjører Linux (UNIX-klone) Skal benytte GAUSSVIEW til bygging av molekyler og visualisering GAUSSIAN til selve beregningene Introduksjon p.5/134 Introduksjon p.6/134 Kvantekjemiske metoder Timeplan Torsdag 26. august Forelesning , Aud. 3 Øvelser , V180 Fredag 27. august Forelesning , V114 (!) Øvelser , V180 Torsdag 2. september Forelesning , V172 (!) Øvelser , V180 Fredag 3. september Øvelser , V180 Molekylmodellering Introduksjon p.7/134 Molekylmodellering p.8/134

3 Molekylmodellering Molekylmodellering Molekylære systemer kan modelleres vha. datamaskin Den tredje vei Eksperimenter Teori Beregninger og simuleringer Moderne teoretisk kjemi utgjør en av flere disipliner innen computational science Nytt moteord: evitenskap The next 10 to 20 years will see computational science firmly embedded in the fabric of science the most profound development in the scientific method in over three centuries US Department of Energy 2003 Molekylmodellering Molekylmodellering p.9/134 Molekylmodellering Molekylmodellering p.10/134 Kjemi ligger langt fremme i denne utviklingen Teoretiske beregninger har hatt enormt oppsving de siste 15 årene Stadig flere ikke-teoretikere kjører beregninger Beregningene benyttes bl.a. til å Tolke eksperimentelle resultater Illustrere resultater Underbygge konklusjoner Mange ulike metoder Enkle metoder basert på klassisk fysikk Metoder som delvis bygger på eksperimentelle data Avanserte kvantekjemiske metoder Riktig metode må velges basert på Systemet som skal modelleres Ønsket nøyaktighet Tilgjengelig tid og ressurser Molekylmodellering p.11/134 Molekylmodellering p.12/134

4 Molekylmodellering Molekylmodellering Hva kan bestemmes/modelleres? Systemets energi Struktur (geometri) Vibrasjonsfrekvenser Reaktivitet NMR-parametre Effekten av elektromagnetisk stråling Egenskapene til en eksitert tilstand etc. etc. Molekylmodellering p.13/134 Molekylmodellering p.14/134 Molekylmodellering Å kjøre beregninger har et visst håndverkspreg Krever erfaring for å vite hva man faktisk kan beregne Hvordan man bør gjøre det rent praktisk Hva man (per dags dato) ikke kan beregne med fornuftig nøyaktighet Modulen skal gi en liten smakebit på dette... Litt kvantemekanikk Molekylmodellering p.15/134 Litt kvantemekanikk p.16/134

5 Kvantemekanikk Viser seg at begrepene bølge og partikkel smelter sammen på atomært nivå Ledet frem til ideen om at en partikkel kan beskrives av en bølgefunksjon Erstatter klassisk bilde der posisjon og fart beskriver partikkelen inneholder absolutt all informasjon om systemet er ikke-deterministisk, gir sannsynligheter Kvantemekanikk Schrödinger-ligningen viser hvordan kan bestemmes for et generelt (stabilt) system: Egenverdiligning Hamilton-operatoren og gir ut totalenergien virker på bølgefunksjonen vil typisk inneholde ulike ledd for kinetisk og potensiell energi (1) Litt kvantemekanikk p.17/134 Litt kvantemekanikk p.18/134 Kvantemekanikk Borns interpretasjon For en en-dimensjonal partikkel er sannsynligheten for å finne partikkelen mellom og proporsjonal med er en sannsynlighetsamplitude en sannsynlighetstetthet Kvantemekanikk Schrödinger-ligningen og Borns interpretasjon begrenser hva som er en akseptabel bølgefunksjon: Entydig Kontinuerlig og deriverbar Endelig (slik at den kan normeres) Kontinuerlig førstederivert Disse grensebetingelsene gir typisk opphav til kvantisering Litt kvantemekanikk p.19/134 Litt kvantemekanikk p.20/134

6 Kvantemekanikk Fysiske observable har korresponderende kvantemekaniske operatorer kan skrives som superposisjon av egentilstandene til Verdien av den fysiske observablen bestemmes som forventningsverdi (2) Kvantemekanikk Hydrogenaktige atomer, dvs. kjerne omgitt av ett elektron, kan løses eksakt Løsningene kalles atomorbitaler (AO) Karakteriseres av kvantetall Høy grad av degenerasjon, ulike tilstander har identisk energi Danner grunnlag for å løse fler-elektron atomer og molekyler Molekylorbitaler (MO) kan skrives som lineærkombinasjoner av AO er Litt kvantemekanikk p.21/134 Litt kvantemekanikk p.22/134 Molekylære systemer Hamilton-operatoren for et molekylært system (ikke-relativistisk og feltfritt): Molekylorbitalteori (3) og er elektroner, og er kjerner Molekylorbitalteori p.23/134 Molekylorbitalteori p.24/134

7 Molekylære systemer Hamilton-operatoren inneholder svært mange vekselvirkninger Komplisert mange-partikkelproblem Kan ikke løses eksakt Må innføre fornuftige approksimasjoner Ønsker praktisk anvendbare metoder som likevel er så nøyaktige som mulig Born Oppenheimer-approks. Kjernene er langt tyngre enn elektronene og beveger seg derfor langsommere I Born Oppenheimer-approksimasjonen antar man at elektronene umiddelbart tilpasser seg enhver kjerne-konfigurasjon Frikobler elektron- og kjernebevegelse Kjernekoordinatene blir faste parametre Setter opp elektronisk bølgefunksjon Born Oppenheimer-approks. BO-approksimasjonen er generelt meget god Gir en entydig energi som funksjon av Molekylorbitalteori p.25/134 Energien beregnet for ulike konfigurasjoner danner en hyperflate av dimensjon ( for lineære system) Dette er potensialenergiflaten til molekylet (potential energy surface, PES) Kjernene beveger seg i dette potensialet satt opp av elektronskyen Born Oppenheimer-approks. Grunnlaget for molekylstruktur Molekylorbitalteori p.26/134 Likevektsgeometrien er globalt minimum, lokaliseres ved geometrioptimering Molekylorbitalteori p.27/134 Molekylorbitalteori p.28/134

8 Molekylorbitaler BO-approksimasjonen reduserer kompleksiteten betraktelig Fortsatt vanskelig mange-partikkelproblem Den elektroniske bølgefunksjonen til et fler-elektronsystem antas å være uhyre komplisert Molekylorbitaler Orbitalapproksimasjonen sier at kan approksimeres med produkt av en-elektronfunksjoner En-elektronfunksjonene er egenfunksjoner til den elektronisk Schrödinger-ligningen Kalles molekylorbitaler (MO er) Korresponderende egenverdi er energien til ett elektron i denne orbitalen (4) Molekylorbitaler Molekylorbitalteori p.29/134 Basissett Molekylorbitalteori p.30/134 Trenger effektiv måte for MO-konstruksjon MO ene som lineærkombinasjoner av atomorbitaler (AO er) Kalles LCAO (linear combination of atomic orbitals) AO ene kan hentes fra hydrogenaktige atomer (5) Settet av funksjoner kalles et basissett Antall og form vil bestemme kvaliteten på MO ene Kan lokaliseres hvor som helst, men vanlig å sentrere dem på atomene Funksjonsformen kan i prinsippet også velges fritt I praksis velger vi basissett fra en lang rekke ferdigdefinerte sett Molekylorbitalteori p.31/134 Molekylorbitalteori p.32/134

9 Variasjonsprinsippet Energien til disse MO ene kan beregnes som forventningsverdi Variasjonsprinsippet sier at energien til en approksimativ bølgefunksjon alltid er større enn eller lik den eksakte bølgefunksjonen Kriterium for å optimere koeffisientene Jo lavere energi, jo bedre approksimasjon (6) SCF Hvordan kan vi egentlig dele opp i en-elektronfunksjoner (MO er)? Alle elektronene vekselvirker jo med hverandre! I SCF-metoden (self-consistent field) setter man opp en effektiv en-elektronoperator Hvert elektron vekselvirker med et midlere felt satt opp av de andre elektronene Molekylorbitalteori p.33/134 Molekylorbitalteori p.34/134 SCF Slater-determinant Oppskrift: Begynne med å gjette på MO ene Total bølgefunksjon kan skrives som Slater-determinant: Konstruer Løs en-elektronligningene og finn nye Gjenta til har konvergert (selvkonsistens) Dette gir SCF-orbitalene (7) er her en spinnorbital, produkt av romorbital og spinnfunksjon Oppfyller Pauli-prinsippet Molekylorbitalteori p.35/134 Molekylorbitalteori p.36/134

10 Hartree Fock I Hartree Fock metoden kombineres SCF-prosedyren med en bølgefunksjon skrevet som Slater-determinant Elektronene vekselvirker kun via statisk, midlere felt Inkluderer den kvantemekaniske exchange-effekten som korreksjon til elektron elektron-repulsjon HF-bølgefunksjonen er variasjonell Eksempel Bestemmelse av bølgefunksjonen (energien) til syklopropan 5 iterasjoner: Molekylorbitalteori p.37/134 Molekylorbitalteori p.38/134 Hartree Fock I HF må man regne ut overlappintegraler, en- og to-elektronintegraler over basisfunksjonene Alle integraler regnes ut eksakt, uten forenklinger som f.eks. i Hückel-teori Kalles ab initio metode Skalerer teoretisk som, der er antall basisfunksjoner Hartree Fock HF har flere positive sider Nokså rask metode, kan benyttes på ganske store molekyler Brukbare molekylstrukturer OK for en del egenskaper Største svakhet er mangel på momentane elektron elektron-vekselvirkninger Mest benyttede kvantekjemiske metode inntil for omlag ti år siden Molekylorbitalteori p.39/134 Molekylorbitalteori p.40/134

11 Geometrioptimering Geometrioptimering BO-approksimasjonen grunnlag for potensialflater (PES) Likevektsstrukturer er minima Overgangstilstander er sadelpunkter Geometrioptimering p.41/134 Geometrioptimering p.42/134 Geometrioptimering Geometrioptimering Stasjonære punkter viktige Likevektsgeometrier (molekylstruktur) Kan diskutere reaksjonsveier, energiforskjeller, barrierehøyder Viktig utgangspunkt for beregning av molekylære egenskaper Optimeringsmetoder Ulike metoder benytter energier, første- og andrederiverte av energien Effektiviteten bestemmes av Kvalitet på startgeometri Koordinatsystem Eksakte/approksimative Hess-matriser Stegkontroll Vanskelig å finne globalt minimum på kompliserte flater Overgangstilstander generelt vanskeligere å optimere enn minima Geometrioptimering p.43/134 Geometrioptimering p.44/134

12 Geometrioptimering To løkker: En indre optimerer bølgefunksjonen for gitt geometri, en ytre optimerer geometrien Atomære enheter Geometrioptimering p.45/134 Atomre enheter p.46/134 Atomære enheter Atomære enheter Vanlige å benytte atomære enheter i kvantemekanikken (a.u. - atomic units) Forenkler mange ligninger: Masse som multiplum av Ladning som multiplum av Avstand som multiplum av Arbeid som multiplum av (8) Pass spesielt på avstander: Bohr (a.u.) og Ångstrøm ( m) brukes parallelt, Å Enheten for energi er Hartree ( ) Ikke egentlig enheter, men fundamentale konstanter Korrekt skrivemåte inkluderer konstanten, f.eks. er grunntilstandsenergien til hydrogenatomet Atomre enheter p.47/134 Atomre enheter p.48/134

13 Basissett Basissett ab initio beregninger, som Hartree Fock, krever at man aktivt velger et basissett Et basissett definerer et sett av basisfunksjoner hvert grunnstoff MO ene uttrykkes ved disse: for (9) Velger vanligvis blant ferdigdefinerte basissett Basissett p.49/134 Basissett p.50/134 Basissett Gauss-funksjoner Ett av de viktigste valgene i beregningen! Det finnes i praksis ingen universelle sett... Flere basisfunksjoner mer fleksibel bølgefunksjon lavere energi (variasjonsprinsippet),... men lengre beregningstid! Et godt basissett dekker de viktige delene av rommet med et moderat antall funksjoner av fornuftig funksjonell form Av beregningstekniske grunner benyttes normalt GTOer (Gaussian-type orbitals) som basisfunksjoner GTO ene har gal oppførsel nær kjerner og langt fra kjerner Kompenserer ved å øke antallet funksjoner Basissett p.51/134 Basissett p.52/134

14 Kontraksjon Varieres samtlige MO-koeffisienter fritt, brukes mye krefter på de indre orbitalene Viktige for energien, men betyr lite for kjemiske egenskaper Core-orbitalene er tilnærmet uavhengige av valensbindingssituasjonen Hensiktsmessig å konstruere faste lineærkombinasjoner av primitive GTO er Prosessen kalles kontraksjon Basissett-familier De to viktigste familiene av kontraherte GTO-baserte basissett: Poples basissett Dunnings korrelasjons-konsistente basissett Begge familiene danner hierarkier av sett Enkle sett kan utvides i ulike retninger avhengig av behov STO-3G kalles single- Basissett (SZ) Én basisfunksjon for hver type okkupert orbital (core såvel som valens) Et basissett med to funksjoner for hver AO kalles dobbel- (DZ), videre har vi TZ, QZ... Split-valence basissett: Representerer core-orbitaler med én kontrahert funksjon Valens-orbitalene med flere funksjoner: valens-dobbel- VDZ, VTZ, VQZ... Basissett p.53/134 Poples basissett Pople-settene 3-21G, 4-31G, 6-31G og 6-311G eks. på split-valence sett Første tall angir antall primitive i core-orbitalene Tallene etter bindestreken angir antall primitive i hver valens-orbital To tall = valens-dobbel- ; Tre tall = valens-trippel- Eksponenter og kontraksjonskoeffisienter bestemt variasjonelt vha. testsett Basissett p.54/134 Basissett p.55/134 Basissett p.56/134

15 Poples basissett Dunnings basissett Eksempel: HF-beregning av energien til difenyl (C Basissett Prim. Kont. Energi ( ) CPU tid (s) STO-3G G G G G H ) Dunning har også utviklet en familie split-valence basissett Heter cc-pvdz, cc-pvtz osv. cc står for correlation-consistent p står for polarisasjon Basissett p.57/134 Basissett p.58/134 Dunnings basissett Eksempel (forts.): HF-beregning av energien til difenyl (C ) H Basissett Prim. Kont. Energi ( ) CPU tid (s) cc-pvdz cc-pvtz cc-pvqz Polarisasjonsfunksjoner MO ene skal beskrive kjemisk binding Krever mer fleksibilitet enn tilsvarende enkeltatomer Basisfunksjoner med et kvantetall høyere angulærmoment enn valensorbitalene Kalles polarisasjonsfunksjoner -funksjoner for hydrogen; -funksjoner for 2. periode Viktig for geometrier, spesielt vinkler Basissett p.59/134 Basissett p.60/134

16 En Polarisasjonsfunksjoner -funksjon på hydrogen vil polarisere -funksjonen Ladningssenteret kan skyves ut fra atomsenteret Antall basisfunksjoner øker raskt med polarisasjonsfunksjoner Polarisasjonsfunksjoner For Pople-settene: * betyr ett sett polarisasjonsfunksjoner på alle ikke-hydrogener (6-31G*) ** betyr ett sett polarisasjonsfunksjoner på samtlige atomer (6-31G**) Evt. eksplisitt: 6-311G(3d2fg,2pd) Dunnings basissett balansert: cc-pvdz inneholder (d,p) cc-pvtz inneholder (2df,2pd) cc-pvqz inneholder (3d2fg,3p2df) Diffuse funksjoner Anioner, eksiterte tilstander m.m. har mer diffuse elektronskyer Kan legge til diffuse funksjoner Bedre beskrivelse av ytre deler av elektronskyen For Pople-settene: + betyr én diffus og ett sett diffuse på alle ikke-hydrogener (6-31+G) ++ betyr i tillegg én diffus på hydrogen (6-31++G) Basissett p.61/134 Diffuse funksjoner Basissett p.62/134 Dunning-settene benytter prefiks aug-, daug- og taug- (aug-cc-pvtz) aug- legger til ett sett diffuse funksjoner for hvert angulærmoment som allerede er inkludert Diffuse, og for 2. periode i aug-cc-pvdz Diffuse,, og for 2. periode i aug-cc-pvtz Basissett p.63/134 Basissett p.64/134

17 Diffuse funksjoner Eksempel: IR intensiteter for H Basissett (km/mol) O CPU tid (s) cc-pvdz cc-pvtz cc-pvqz aug-cc-pvdz aug-cc-pvtz aug-cc-pvqz Tette funksjoner Dunnings basissett kan også utvides med tette funksjoner (tight/steep functions), cc-pcv Z ( Q, 5) GTO er med høye eksponenter Forbedrer beskrivelsen nær kjernen = D, T, Viktig for visse egenskaper som f.eks. Fermi-kontakt vekselvirkning (bidrag til spinn spinn koblingskonstanter i NMR) Basissett oppsummert Standard basissett kan bygges ut Tette funksjoner (core-region) Polarisasjonsfunksjoner (indre valensregion) Diffuse funksjoner (ytre valensregion) Basissett p.65/134 Polarisasjonsfunksjoner påkrevd for gode strukturer og energier Områder som bidrar lite til energien kan være helt avgjørende for andre egenskaper Valg av basissett Basissett p.66/134 Kvantekjemiske program inkluderer gjerne bibliotek av basissett Andre sett kan hentes fra EMSL ( forms/basisform.html) Standardsett kan modifiseres, f.eks. dekontraheres Konstruksjon av egne sett er siste utvei Basissett p.67/134 Basissett p.68/134

18 Hartree Fock-grensen Hartree Fock-grensen Hartree Fock-grensen nås med uendelig stort basissett Avviker fra eksakt resultat! cc-pv Z og cc-pcv Z er konstruert for å kunne ekstrapolere kalles kardinaltall Kan plottes som og ekstrapoleres til Alternativ: Approksimer med stort basissett Basissett p.69/134 Basissett p.70/134 Kvantekjemiske metoder HF representerer et veiskille Kvantekjemiske metoder Kvantekjemiske metoder p.71/134 Kvantekjemiske metoder p.72/134

19 Semi-empiriske metoder To-elektronintegralene i HF er det tidkrevende leddet Kan man unngå å beregne alle disse? Integraler kan parametriseres basert på eksperimentelle data (empiri) Enkelte integraler neglisjeres Andre beregnes fra enkle analytiske uttrykk Semi-empiriske metoder Eksempler på semi-empiriske modeller er CNDO, INDO, MNDO, AM1 og PM3 Konkurrerer først og fremst på beregningsmessig kostnad, ikke på kvalitet Skalerer som, kan behandle store systemer Problemer med bl.a. svake bindinger og barrierer Feil er tilfeldige, ikke systematiske, energidifferanser blir svært usikre Eksempel Kvantekjemiske metoder p.73/134 Taxol: Finnes i barken til en Stillehavsart av barlind, benyttes som kreftmedisin Hartree Fock HF beregner alle integraler eksakt Normalt mer nøyaktig enn de semi-empiriske metodene Spesielt med polarisert dobbel- Kvantekjemiske metoder p.74/134 basis gjør HF det bra Kansellering av like store feil med motsatt fortegn: Mangel på fleksibilitet i basissettet Mangel på momentane vekselvirkninger mellom elektronene Energiberegning AM1: 20 sekunder Energiberegning HF/STO-3G: 11 minutter Kvantekjemiske metoder p.75/134 Kvantekjemiske metoder p.76/134

20 Hartree Fock Potensielt farlig å stole på slik flaks! HF får f.eks. problemer når bindingsforhold endres mye Populært slagord innen teoretisk kjemi for tiden: The right answer for the right reason Ønsker derfor metoder som er mer nøyaktige enn Hartree Fock (uten å basere seg på kansellering av feil) Korrelerte metoder En HF-beregning med uendelig stor basis gir Hartree Fock-grensen, denne avviker fra eksakt bølgefunksjon Differansen er korrelasjonsenergien av totalenergien): (typisk 1-2% Korrelerte metoder forsøker å plukke opp mest mulig av denne korrelasjonsenergien (10) Kvantekjemiske metoder p.77/134 Kvantekjemiske metoder p.78/134 Korrelerte metoder To typer korrelasjonsenergi, men ikke mulig å partisjonere: Statisk korrelasjon: Oppstår ved (nær) degenererte elektroniske tilstander Dynamisk korrelasjon: Momentane vekselvirkninger mellom elektronene, dvs. korrelerte elektronbevegelser Dynamisk korrelasjon er generelt viktigst Korrelerte metoder HF beskriver systemet vha. én determinant Lineærkombinasjon av flere determinanter vil gi mer nøyaktig bølgefunksjon: (11) HF-determinanten normalt det dominerende ledd, alle andre vil da være små Summen av mange små ledd kan likevel gi signifikante bidrag Kvantekjemiske metoder p.79/134 Kvantekjemiske metoder p.80/134

21 Korrelerte metoder Perturbasjonsteori Det finnes et antall ulike korrelerte kvantekjemiske metoder Single-referanse metoder som typisk tar utgangspunkt i Multi-referanse metoder som starter fra et (lite) sett ulike elektronkonfigurasjoner Viktig ved statisk korrelasjon Skal kort se på: Perturbasjonsteori Coupled-cluster liten del av totalenergien Perturbasjon til ukorrelert energi Styrken på perturbasjonen bestemt av Behandles med Møller Plesset perturbasjonsteori (MPPT) Perturbasjonene er eksitasjoner fra (12) Kvantekjemiske metoder p.81/134 Kvantekjemiske metoder p.82/134 Perturbasjonsteori Både bølgefunksjon og energi ekspanderes (13) (14) Summen av MP inkluderer de -første leddene Andreordens korreksjon første av interesse (MP2) og er Perturbasjonsteori MP2 klart mest brukt Skalerer grovt sett som Plukker opp signifikant del av korrelasjonsenergien Tendens til å overkorrigere molekylære egenskaper NB! Ingen garanti for konvergens av MP som øker! etter hvert Kvantekjemiske metoder p.83/134 Kvantekjemiske metoder p.84/134

22 Coupled-cluster Coupled-cluster Sentralt punkt i coupled-cluster-teori (CC) er den eksponentielle ansatz, der eksakt bølgefunksjon skrives Cluster-operatoren for -elektronsystem genererer samtlige determinanter med eksitasjoner fra referansetilstanden (15) (16) Trunkering av CCSD tar med gjør teorien interessant CCSDT inkluderer og, skalerer som, skalerer som Mer vanlig å behandle trippeleksitasjonene med perturbasjonsteori CCSD(T) har blitt referansemetode Merk: CC-metodene krever fleksible basissett Kvantekjemiske metoder Kvantekjemiske metoder p.85/134 Kvantekjemiske metoder Kvantekjemiske metoder p.86/134 Skalering Metode(r) HF MP2 MP3, CISD, CCSD, QCISD MP4, CCSD(T), QCISD(T) MP5, CISDT, CCSDT MP6 MP7, CISDTQ, CCSDTQ One-electron expansion Basis set limit for a given -electron model -electron models The exact solution Exact solution in a given one-electron basis Kvantekjemiske metoder p.87/134 Kvantekjemiske metoder p.88/134

23 Introduksjon Å løse den tilsynelatende enkle Schrödinger-ligningen (17) Tetthetsfunksjonalteori (DFT) er slett ikke trivielt er generelt en funksjon av tre rom- og en spinnkoordinat for hvert elektron Finnes det en enklere størrelse som energi og andre egenskaper kan beregnes fra? Introduksjon Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.89/134 Introduksjon Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.90/134 Hamilton-operatoren avhenger kun av posisjonen til kjernene og antallet elektroner Kan bestemmes fra elektrontettheten Kjerneposisjonene svarer til lokale maksima i elektrontettheten (cusps) Kjerneladning fra: (18) Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.91/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.92/134

24 Introduksjon Elektrontettheten avhenger kun av tre rom-koordinater Indikerer alternativ og potensielt enklere måte å løse Schrödinger-ligningen Basis for tetthetsfunksjonalteori (DFT), energi som funksjon av tetthetsfunksjonen (tetthetsfunksjonal) Overraskende nøyaktige resultater med moderat beregningskostnad Ikke opplagt hvordan Teori kan utnyttes Potensielle problemer: Gir en entydig bestemmelse av et systems egenskaper? Kan ulike gi opphav til samme? Kan vi bestemme uten å konstruere? Hvordan kan ulike egenskaper bestemmes direkte fra? Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.93/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.94/134 Teori Først forsøk på tetthetsfunksjonalteori baserte seg på egenskapene til uniform elektrongass (UEG) Thomas Fermi-modellen Thomas Fermi Dirac-modellen Unøyaktige, energier 10-30% for lave Ingen binding mellom atomer Alle molekyler dissosierer! Teori Teoretisk gjennombrudd med Hohenberg og Kohn i 1964 Praktisk gjennombrudd kom med Kohn og Sham i 1965 Antar fiktivt system av ikke-vekselvirkende elektroner gir samme som det reelle systemet Energifunksjonal skrives (19) Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.95/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.96/134

25 Teori I Kohn Sham (KS) teori uttrykkes en-elektronorbitaltettheter som sum av Tre første ledd blir da enkle en-elektronintegraler Alle problemer gjemmes bort i (20) Teori KS en-elektronoperatoren oppfyller I praksis uttrykkes gjerne KS-orbitalene ved et sett basisfunksjoner Orbitalkoeffisientene optimeres basert på sekulærligning akkurat som i HF-teori Iterativ SCF-metode (21) Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.97/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.98/134 Teori Store likheter mellom KS-teori og HF-teori Deler matematisk maskineri Fock-operatoren byttes ut med Kohn Sham-operatoren Har så langt ikke innført approksimasjoner i DFT, i prinsippet eksakt teori Krever dessverre at vi kjenner den eksakte... Teori Fundamental forskjell mellom HF og DFT HF er en approksimativ teori som løses eksakt DFT er en eksakt teori som løses approksimativt KS-teori basis for alle vanlige DFT-metoder i kvantekjemi Approksimasjoner til skiller metodene Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.99/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.100/134

26 Funksjonaler Funksjonaler inneholder først og fremst Differanse mellom klassisk og kvantemekanisk elektron elektron-repulsjon Exchange Korrelasjon Funksjonalen splittes vanligvis tilsvarende i to separate bidrag Skiller mellom tre kategorier av funksjonaler Local density approximation (LDA) Funksjonaler som kun avhenger av selve elektrontettheten, Generalized gradient approximation (GGA) Avhenger av og Hybridfunksjonaler Blander inn en viss andel Hartree Fock exchange-energi Funksjonaler Innen hver kategori er det utviklet en rekke ulike funksjonaler Kan kombineres på et utall måter Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.101/134 Navn på DFT-metode settes også sammen Eksempel: BLYP består av Beckes GGA-exchange (B) og GGA-korrelasjon fra Lee, Yang og Parr (LYP) Funksjonaler Den klart mest benyttede funksjonalen er B3LYP, definert ved: Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.102/134 (22) Benytter tre empiriske parametre, og Strengt tatt semi-empirisk metode Generelt veldig robust, overraskende gode resultater Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.103/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.104/134

27 Funksjonaler Kompliserte uttrykk for exchange og korrelasjon Integrasjon foregår numerisk Må generere sett med gridpunkter Ønsker så få punkter som mulig uten å ødelegge nøyaktighet Punkter må settes fornuftig, tett med punkter der elektrontettheten er høy NB: For grovt grid er potensiell feilkilde i DFT-beregninger! Generell ytelse Ulike DFT-metoder er nøye benchmarket Mest kostnadseffektive kvantekjemiske metode Har passert HF som mest benyttet metode Fungerer likevel middels/dårlig til enkelte formål, viktig å være klar over! Mangler metoder for systematisk forbedring Generell ytelse Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.105/134 DFT-metoder mettes raskt med hensyn på basissett Polarisert valens dobbel- tilstrekkelig for svært mange beregninger STO er kan effektivt benyttes sammen med numerisk integrasjon GTO er likevel mest vanlig For systemer med periodiske randbetingelser benyttes ofte plane bølger Generell ytelse Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.106/134 DFT, spesielt hybridfunksjonalene, er robuste og like nøyaktige som langt tyngre korrelerte metoder Gode energier Gode strukturer Gode dipolmomenter, ikke fullt så gode polarisabiliteter Spesiell styrke når det gjelder overgangsmetaller Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.107/134 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.108/134

28 Generell ytelse Gjennomsnittlig absolutt avvik (kcal/mol) Metode Atm.energier Ion.pot. Protonaff. LSDA BPW B3PW Molekylære egenskaper Tetthetsfunksjonalteori (DFT) p.109/134 Molekylre egenskaper p.110/134 Energideriverte Anta en energi er et sett eksterne parametre, f.eks. geometri er parametre for bølgefunksjonen Mange statiske molekylære egenskaper kan uttrykkes som deriverte av denne energien Numeriske deriverte Analytiske deriverte Energideriverte Førstederivert av energi mhp. kjernekoordinater gir molekylær gradient Negativ gradient er kreftene som virker på kjernene Andrederivert er molekylær Hess-matrise Symmetrisk Masseveiing og diagonalisering (harmonisk approksimasjon) Vibrasjonsfrekvenser Normalmoder Molekylre egenskaper p.111/134 Molekylre egenskaper p.112/134

29 Energideriverte Energideriverte Eksempel: H Hess-matrisen symmetrisk 9x9 matrise 6 egenverdier er null eller svært nær null Translasjon Rotasjon Tre vibrasjonsmoder O Egenskap Molekylær gradient (krefter) Elektrisk dipolmoment Magnetisk dipolmoment Molekylær Hess-matrise (vib.frekvenser) Polarisabilitet Magnetisabilitet Dipolmomentgradient (IR intensiteter) Sirkulær dikroisme Anharmonisk korreksjon Hyperpolarisabilitet Hypermagnetisabilitet Raman-intensiteter Molekylre egenskaper p.113/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Ladningsfordeling I prinsippet alle molekylære egenskaper fra ladningsfordelingen (jfr. DFT) Direkte knyttet til fordelingen: Elektriske multipolmoment Polarisabiliteter Andre spektroskopiske egenskaper Rotasjonelle/vibrasjonelle spektra Elektronspinn resonans (ESR) Kjernemagnetisk resonans (NMR) Molekylre egenskaper p.114/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Elektrontettheten kan enkelt bestemmes i HF og DFT Summen av alle okkuperte molekylorbitaler kvadrert Funksjon av, isotetthetsflate: Molekylre egenskaper p.115/134 Molekylre egenskaper p.116/134

30 Ladningsfordeling og spektroskopi Ladningsfordeling og spektroskopi Molekylært elektrostatisk potensial (MEP) Kan beregnes eksakt for alle punkter Potensialet positiv testladning føler Partielle atomladninger ikke fysiske observable Likevel nyttig konsept for å diskutere ladningsfordeling, reaktivitet m.m. Lang rekke beregningsmetoder, eksempler: Mulliken populasjonsanalyse Naturlig populasjonsanalyse Molekylre egenskaper p.117/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Molekylre egenskaper p.118/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Mulliken populasjonsanalyse Partisjonerer elektronene mellom atomene basert på AO bidrag til total Fungerer OK med små basissett Best for relative endringer Fungerer dårlig for store, spesielt diffuse, basissett Natural Population Analysis (NPA) Også orbitalbasert Mer komplisert ortogonalisering Konvergerer pent med store basissett Tendens til overestimering av ladningsseparasjon Mer beregningskrevende enn Mulliken Molekylre egenskaper p.119/134 Molekylre egenskaper p.120/134

31 Ladningsfordeling og spektroskopi Ladningsfordeling og spektroskopi Spektroskopiske egenskaper/målinger For eksempel effekten av at et elektrisk felt på molekylet virker Permanent dipolmoment Vektor (tre komponenter) (23) Polarisabilitet 3 3 matrise Første hyperpolarisabilitet tensor Molekylre egenskaper p.121/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Molekylre egenskaper p.122/134 Ladningsfordeling og spektroskopi Born Oppenheimer-approksimasjonen splitter bevegelsen til kjerner og elektroner Bestemmer PES fra elektronisk Schrödinger-ligning Schrödinger-ligning for kjernebevegelse blir er potensialet fra elektronene (PES) (24) Rotasjonsbevegelse Betrakter gjerne molekylet som stiv rotor Rotasjonsspektre avhenger da kun av treghetsmomentet Vibrasjonsbevegelse Approksimeres som harmonisk oscillator Må beregne Hess-matrisen Gir IR frekvenser (vibrasjonsfrekvensene) For IR intensiteter må også dipolmomentgradienten beregnes Molekylre egenskaper p.123/134 Molekylre egenskaper p.124/134

32 Kalibrering Kalibrering av kvantekjemiske metoder Har presentert ulike metoder for molekylmodellering Ingen klar fasit for korrekt metode, avhenger av Gassfase, løsning eller fast stoff Egenskaper som skal beregnes Ønsket nøyaktighet Størrelsen på molekyl/system Tilgjengelig regnekraft Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.125/134 Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.126/134 Metoder For store systemer står valget hovedsaklig mellom molekylmekanikk eller semi-empiriske metoder For små til middels store systemer kan vi velge blant elektronstruktur-metodene Bølgefunksjonbaserte metoder, bl.a.: HF MP CC Tetthetsfunksjonalteori (DFT) One-electron expansion Metoder Basis set limit for a given -electron model -electron models The exact solution Exact solution in a given one-electron basis Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.127/134 Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.128/134

33 Metoder Kalibrering Hver metode har såkalt iboende feil (intrinsic error) Balansert behandling innebærer fornuftig basissett i forhold - elektronmetode Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.129/134 Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.130/134 Kalibrering Kalibrering Bindingslengder (pm) sammenlignet med eksperiment for 20 små molekyler Viser normaliserte feilfordelinger Noen observasjoner HF fungerer best med cc-pvdz MP3 og MP4 til dels dårligere enn MP2 CCSD(T) krever minst trippel- (TZ) basis Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.131/134 Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.132/134

34 Kalibrering Reaksjonsentalpier (kj/mol) for 17 reaksjoner cc-pcvxz gir bedre resultater enn cc-pvxz HF omlag 10% feil Igjen CCSD(T) som virkelig gir gode resultater Oppnår kjemisk nøyaktighet, dvs. feil under 1 kcal/mol Decisions, decisions Kalibrering av metoder og basissett Objektiv informasjon om hvilken nøyaktighet man kan forvente av gitt teorinivå Modellering av spesifikke systemer Erfaring og testberegninger med ulike basissett/bølgefunksjoner Subjektive vurderinger bak endelig metodevalg! Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.133/134 Kalibrering av kvantekjemiske metoder p.134/134

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Repetisjon. Geometrioptimering. Hartree Fock

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Repetisjon. Geometrioptimering. Hartree Fock KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Repetisjon 27. august 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/45 Repetisjon p.2/45 Hartree Fock Geometrioptimering

Detaljer

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Repetisjon. Kvantekjemiske metoder. Basissett oppsummert

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder. Repetisjon. Kvantekjemiske metoder. Basissett oppsummert KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Repetisjon 2. september 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/50 Repetisjon p.2/50 Kvantekjemiske metoder

Detaljer

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 27. august 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/45 Repetisjon Repetisjon p.2/45 Repetisjon p.3/45 Hartree

Detaljer

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 26. august 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/48 Introduksjon Introduksjon p.2/48 Introduksjon p.3/48

Detaljer

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 2. september 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/50 Repetisjon Repetisjon p.2/50 Repetisjon p.3/50

Detaljer

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder

KJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Høst 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/134 Introduksjon Introduksjon p.2/134 Introduksjon p.3/134

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Korrelerte metoder - repetisjon. Korrelerte metoder

KJM Molekylmodellering. Korrelerte metoder - repetisjon. Korrelerte metoder KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Korrelerte metoder - repetisjon 29. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/30 Korrelerte metoder - repetisjon p.2/30 Korrelerte metoder

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk - repetisjon. Statistisk mekanikk

KJM Molekylmodellering. Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk - repetisjon. Statistisk mekanikk KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Semi-empiriske metoder - repetisjon. Generell ytelse

KJM Molekylmodellering. Semi-empiriske metoder - repetisjon. Generell ytelse KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Semi-empiriske metoder - repetisjon 8. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/47 Semi-empiriske metoder - repetisjon p.2/47 Generell

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering KJM3600 - Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon KJM3600 - p.1/29 Introduksjon p.2/29 Flere navn på moderne teoretisk kjemi: Theoretical chemistry (teoretisk kjemi) Quantum chemistry (kvantekjemi)

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 23. februar 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Hartree Fock - repetisjon Hartree Fock - repetisjon p.2/49 Hartree Fock Hartree Fock

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 8. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/47 Semi-empiriske metoder - repetisjon Semi-empiriske metoder - repetisjon p.2/47 Generell

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Molekylorbitalteori - repetisjon. Variasjonsprinsippet. Kvantemekanikk. systemet

KJM Molekylmodellering. Molekylorbitalteori - repetisjon. Variasjonsprinsippet. Kvantemekanikk. systemet KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylorbitalteori - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p1/48 Molekylorbitalteori - repetisjon p2/48 Bølgefunksjonen systemet Kvantemekanikk

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 19. april 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/44 Molekylære egenskaper - repetisjon Molekylre egenskaper - repetisjon p.2/44 Molekylære

Detaljer

KJM3600 - Molekylmodellering. Hartree Fock - repetisjon. Hartree Fock. Hartree Fock

KJM3600 - Molekylmodellering. Hartree Fock - repetisjon. Hartree Fock. Hartree Fock KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Hartree Fock - repetisjon 23. februar 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Hartree Fock - repetisjon p.2/49 Hartree Fock Hartree Fock

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Molekyler i løsning. Introduksjon. Introduksjon

KJM Molekylmodellering. Molekyler i løsning. Introduksjon. Introduksjon KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekyler i løsning 24. mai 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/41 Molekyler i lsning p.2/41 Introduksjon Solvatisering Reaksjoner i

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/48 Molekylorbitalteori - repetisjon Molekylorbitalteori - repetisjon p.2/48 Kvantemekanikk Bølgefunksjonen

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 19. april 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/36 Tetthetsfunksjonalteori (DFT) - repetisjon Tetthetsfunksjonalteori (DFT) - repetisjon

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 3. mai 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/43 Eksiterte tilstander - repetisjon Eksiterte tilstander - repetisjon p.2/43 Eksiterte tilstander

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 24. mai 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/41 Molekyler i løsning Molekyler i lsning p.2/41 Introduksjon Solvatisering Reaksjoner i

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Basissett - repetisjon. Basissett oppsummert. Hartree Fock-grensen

KJM Molekylmodellering. Basissett - repetisjon. Basissett oppsummert. Hartree Fock-grensen KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Basissett - repetisjon 15. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/44 Basissett - repetisjon p.2/44 Basissett oppsummert Hartree Fock-grensen

Detaljer

TKJ4170 Midtsemesterrapport

TKJ4170 Midtsemesterrapport TKJ4170 Midtsemesterrapport Forord Denne rapporten er skrevet i forbindelse med et midtsemesterprosjekt i faget TKJ4170 Kvantekjemi på NTNU. Prosjektet går ut på å studere et selvvalgt molekyl ved å gjøre

Detaljer

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13.

Teoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13. 1 Teoretisk kjemi Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Onsdag 13. august 2008 2 Kjemi er komplisert! Kjemi er utrolig variert og utrolig

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk. Oversikt. Introduksjon

KJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk. Oversikt. Introduksjon KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylmekanikk KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Molekylmekanikk p.2/50 Oversikt Introduksjon Detaljert beskrivelse av kraftfeltmetoder

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon Våren 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/507 Introduksjon p.2/507 Molekylmodellering Molekylmodellering Flere navn på

Detaljer

Kvantekjemi kjemiens nye verktøy

Kvantekjemi kjemiens nye verktøy 1 Kvantekjemi kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Norsk Kjemisk Selskap Rådsmøte 13 april 2007 DNVA, Drammensveien

Detaljer

Eksiterte tilstander. KJM Molekylmodellering. Emisjonsmekanisme, tilstander. Fluorescens: Stopper raskt når eksiterende.

Eksiterte tilstander. KJM Molekylmodellering. Emisjonsmekanisme, tilstander. Fluorescens: Stopper raskt når eksiterende. KJM3600 - Molekylmodellerin Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 3 mai 2004 KJM3600 - Molekylmodellerin p1/43 Eksiterte tilstander Eksitert tilstand kan enereres på ulike måter (eksempler): Absorpsjon

Detaljer

VÅREN Oppgave II. b) Hamilton-operatoren for en partikkel med masse m på en ring med radius r er gitt ved

VÅREN Oppgave II. b) Hamilton-operatoren for en partikkel med masse m på en ring med radius r er gitt ved VÅREN 1998 Oppgave II a) Bølgefunksjonen for en partikkel på ring er gitt ved ml = 1 " ei ml # m l = 0, ±1, ±, Hvorfor må vi kreve at m l er et heltall? Bestem sannsynlighetstettheten for denne partikkelen.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Torsdag 9. juni, 016 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet

Detaljer

Det virtuelle kjemilaboratoriet. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo

Det virtuelle kjemilaboratoriet. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo 1 Det virtuelle kjemilaboratoriet Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Etterutdanningskurs for lærere i Oslo kommune Skolelaboratoriet,

Detaljer

Eten % 1.2%

Eten % 1.2% TFY4215 Innføring i kvantefysikk Molekylfysikk Løsningsforslag til Øving 11 Eten. 6. Med Hartree-Fock-metoden og basissettet 3-21G finner man en likevektsgeometri for eten med bindingslengdene C-H = 1.074

Detaljer

Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe.

Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe. FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Våren 2016 Molekylfysikk Løsningsforslag til Øving 13 S N 2-reaksjon. 2. a) Flate med konstant elektrontetthet for molekylet ClC3: Dette gir ingen informasjon om

Detaljer

KJM2600-Laboratorieoppgave 1

KJM2600-Laboratorieoppgave 1 KJM2600-Laboratorieoppgave 1 Sindre Rannem Bilden Gruppe 1 4. mars 2015 1 Hensikt Hensikten med oppgaven var å demonstrere anvendelsen av kvantekjemiske beregninger i kjemi. 2 Teori Oppgaven baserer seg

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Onsdag 7. juni, 017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet

Detaljer

Kvantekjemi fremtidens virtuelle laboratorium

Kvantekjemi fremtidens virtuelle laboratorium 1 Kvantekjemi fremtidens virtuelle laboratorium Gruppen for teoretisk kjemi: Knut Fægri, Trygve Helgaker Peter Macak Vebjørn Bakken, Alf Hennum, Torgeir Ruden Kjetil Jacobsen, Ola Lutnæs, Seema Singh Arbeidsfelt:

Detaljer

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Åpen dag, 10. mars 2011 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO) Kvantemekanikk på datamaskiner

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

Kvantekjemi. en fascinerende kjemi helt uten eksperimenter. Trygve Helgaker. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo

Kvantekjemi. en fascinerende kjemi helt uten eksperimenter. Trygve Helgaker. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Kvantekjemi en fascinerende kjemi helt uten eksperimenter Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Nydalen videregående skole Oslo, 21. mars 2013 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO)

Detaljer

BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI KJ1041 KJEMISK BINDING, SPEKTROSKOPI OG KINETIKK HØSTEN 2010

BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI KJ1041 KJEMISK BINDING, SPEKTROSKOPI OG KINETIKK HØSTEN 2010 BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI KJ1041 KJEMISK BINDING, SPEKTROSKOPI OG KINETIKK HØSTEN 2010 Onsdag 8. Desember 2010 Tid: 15.00 19.00 Faglig kontakt under eksamen:

Detaljer

LØSNING EKSTRAØVING 2

LØSNING EKSTRAØVING 2 TFY415 - løsning Ekstraøving 1 Oppgave 9 LØSNING EKSTRAØVING hydrogenlignende atom a. For Z = 55 finner vi de tre målene for radien til grunntilstanden ψ 100 vha formlene side 110 i Hemmer: 1/r 1 = a =

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM2600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Fredag 5. juni, 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet

Detaljer

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo CTCC-seminar, 4. februar 2011 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO) Kvantemekanikk på datamaskiner

Detaljer

S N 2-reaksjon. Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe.

S N 2-reaksjon. Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe. FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Våren 2012 Kjemisk fysikk Løsningsforslag til Øving 2 S N 2-reaksjon. 2. a) Flate med konstant elektrontetthet for molekylet ClCH 3 : Dette gir ingen informasjon

Detaljer

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Institutt for fysikk. Eksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng (med forbehold om streik) Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 30. mai 2018 ksamenstid

Detaljer

Oppgave 2 Molekylmekanikk

Oppgave 2 Molekylmekanikk Oppgave 2 Molekylmekanikk KJM3600 Molekylmodellering Vår 2004 Introduksjon I denne oppgaven skal vi benytte molekylmekanikk til å gjøre en kvalitativ undersøkelse av interaksjonsenergien i to basepar-komplekser,

Detaljer

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Kjemien stemmer fagkurs Thon Hotel Opera, Oslo, 24. mai 2012 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt,

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Molekylmekanikk Molekylmekanikk p.2/50 Oversikt Introduksjon Detaljert beskrivelse av kraftfeltmetoder

Detaljer

Eten. Innledning. TFY4215 Innføring i kvantefysikk Øving 11 Molekylfysikk

Eten. Innledning. TFY4215 Innføring i kvantefysikk Øving 11 Molekylfysikk TFY4215 Innføring i kvantefysikk Øving 11 Molekylfysikk Eten. Innledning Etylen, C2H4, eller eten, som det i følge IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry) egentlig skal kalles, er en

Detaljer

TFY4215_S2018_Forside

TFY4215_S2018_Forside Kandidat I Tilkoblet TFY4215_S2018_Forside Institutt for fysikk ksamensoppgave i TFY4215 Innføring i kvantefysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon ndreas Støvneng Tlf.: 45 45 55 33 ksamensdato: 6. august

Detaljer

KJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk - repetisjon. Kraftfeltenergien. Klassisk modell

KJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk - repetisjon. Kraftfeltenergien. Klassisk modell KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylmekanikk - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.2/49 Klassisk modell Kraftfeltenergien

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS14, Kvantefysikk Eksamensdag: 17. august 17 4 timer Lovlige hjelpemidler: Rottmann: Matematisk formelsamling, Øgrim og Lian:

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:

EKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid: Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

MNF, UiO 24 mars Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo

MNF, UiO 24 mars Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo MNF, UiO 24 mars 2014 Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Kjemi: et mangepar.kkelproblem Molekyler er enkle: ladete partikler i bevegelse styrt av kvantemekanikkens lover HΨ=EΨ men

Detaljer

Trygve Helgaker. 31 januar 2018

Trygve Helgaker. 31 januar 2018 Trygve Helgaker Senter for grunnforskning Det Norske Videnskaps-Akademi Hylleraas Centre for Quantum Molecular Sciences Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo 31 januar 2018 Kjemi Kjemi er læren om stoffer

Detaljer

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy

Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Oslo katedralskole 2. februar 2011 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO) Kvantemekanikk på

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019 Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018

Løsningsforslag for FYS2140 Kvantemekanikk, Tirsdag 29. mai 2018 Løsningsforslag for FYS40 Kvantemekanikk, Tirsdag 9. mai 08 Oppgave : Fotoelektrisk effekt Millikan utførte følgende eksperiment: En metallplate ble bestrålt med monokromatisk lys. De utsendte fotoelektronene

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9

FY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9 FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen

Detaljer

Eten. Innledning. TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2006 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist, gruppe 1: gruppe 2:

Eten. Innledning. TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2006 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist, gruppe 1: gruppe 2: TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2006 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist, gruppe 1: 25.04. gruppe 2: 29.04. Innledning Eten. Etylen, C 2 H 4, eller eten, som det i følge IUPAC (International

Detaljer

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

Onsdag og fredag

Onsdag og fredag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 13 Onsdag 25.03.09 og fredag 27.03.09 Amperes lov [FGT 30.1, 30.3; YF 28.6, 28.7; AF 26.2; H 23.6; G 5.3] B dl = µ 0

Detaljer

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( )

Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 ( ) Kapittel 7 Atomstruktur og periodisitet Repetisjon 1 (04.11.01) 1. Generell bølgeteori - Bølgenatur (i) Bølgelengde korteste avstand mellom to topper, λ (ii) Frekvens antall bølger pr tidsenhet, ν (iii)

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 2 1. Ekstraøving 2. = 1 2 (3n2 l 2 l), = 1 n 2, 1 n 3 (l ), 1 n 3 l(l + 1.

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving 2 1. Ekstraøving 2. = 1 2 (3n2 l 2 l), = 1 n 2, 1 n 3 (l ), 1 n 3 l(l + 1. FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk, - Ekstraøving Frist for innlevering (Til I.Ø.): 7. mai kl 7 Oppgave 9 hydrogenlignende atom Ekstraøving I denne oppgaven ser vi på et hydrogenlignende atom, der et

Detaljer

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk FY1006/TFY4215 våren 2012 - pensum og kursopplegg 1 Pensum og kursopplegg for FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk våren 2012 Litt om de to emnene De to emnene FY1006 og TFY4215 er identiske både når

Detaljer

FY1006 Innføring i kvantefysikk og TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2009 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist: Mandag

FY1006 Innføring i kvantefysikk og TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2009 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist: Mandag FY1006 Innføring i kvantefysikk og TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Våren 2009 Kjemisk fysikk Øving 1 Innleveringsfrist: Mandag 04.05.09 Innledning Eten. Etylen, C 2 H 4, eller eten, som det i

Detaljer

Eksamen i KJ133 våren Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven

Eksamen i KJ133 våren Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven 1 Eksamen i KJ133 våren 1998 Løsningsforslag for kvantemekanikkoppgaven T. Helgaker Henvisningene er til Atkins' Physical Chemistry, 6th edition a) Kravet om heltallig m følger fra den sykliske grensebetingelsen

Detaljer

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9

FY1006/TFY Øving 9 1 ØVING 9 FY1006/TFY4215 - Øving 9 1 Frist for innlevering: 2. mars, kl 16 ØVING 9 Opgave 22 Om radialfunksjoner Figuren viser de effektive potensialene Veff(r) l for l = 0, 1, 2, for et hydrogenlignende atom, samt

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK onsdag 5. august 2009 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK onsdag 5. august 2009 kl BOKMÅL Side 1 av NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 6 1 ØVING 6. Fermi-impulser og -energier FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 6 1 ØVING 6 Oppgave 6 1 Fermi-impulser og -energier a. Anta at en ideell gass av N (ikke-vekselvirkende) spinn- 1 -fermioner befinner seg i grunntilstanden

Detaljer

Enkel introduksjon til kvantemekanikken

Enkel introduksjon til kvantemekanikken Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks

Detaljer

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett

A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett TFY4250/FY2045 Tillegg 2 1 Tillegg 2: A.3.e: Ortogonale egenfunksjonssett Ikke-degenererte egenverdier La oss først anta at en operator ˆF har et diskret og ikke-degeneret spektrum. Det siste betyr at

Detaljer

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons.

Figur 1: Skisse av Franck-Hertz eksperimentet. Hentet fra Wikimedia Commons. Oppgave 1 Franck-Hertz eksperimentet Med utgangspunkt i skissen i figuren under, gi en konsis beskrivelse av Franck-Hertz eksperimentet, dets resultater og betydning for kvantefysikken. [ poeng] Figur

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 1.juni 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY45. juni 004 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen.juni 004 TFY45 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i et éndimensjonalt potensial er ikke-degenererte

Detaljer

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 5. august 2009 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 5. august 29 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 5. august 29 TFY4215 Kjemisk fysikk kvantemekanikk a. Med ψ A (x) = C = konstant for x > har vi fra den tidsuavhengige

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte

Detaljer

Computing in Science Education

Computing in Science Education Computing in Science Education Beregninger i utdanning og forskning ved Kjemisk institutt Metoder i teoretisk kjemi og beregningsorientert kjemi Kvantekjemiske beregninger i moderne kjemisk forskning Trygve

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a. FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)

Detaljer

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers

Forelesningsnotat om molekyler, FYS2140. Susanne Viefers Forelesningsnotat om molekyler, FYS Susanne Viefers. mai De fleste grunnstoffer (unntatt edelgassene) deltar i formingen av molekyler. Molekyler er sammensatt av enkeltatomer som holdes sammen av kjemiske

Detaljer

KJM Molekylmodellering

KJM Molekylmodellering KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Molekylmekanikk - repetisjon Molekylmekanikk - repetisjon p.2/49 Klassisk modell Ren klassisk beskrivelse

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK 26. mai 2006 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK 26. mai 2006 kl NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97012355 EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK

Detaljer

Oppgave 1 (Deloppgavene a, b, c og d teller henholdsvis 6%, 6%, 9% og 9%) NORSK TEKST Side 1 av 7

Oppgave 1 (Deloppgavene a, b, c og d teller henholdsvis 6%, 6%, 9% og 9%) NORSK TEKST Side 1 av 7 NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97012355 Jon Andreas Støvneng, tel. 73

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen FY1006/TFY4215, 29. mai 2010 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. I punktene x = 0 og x

Detaljer