Spesiell relativitetsteori

Transkript

1 Spesiell relativitetsteori FYS-MEK

2 Einsteins postlatene. Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystemer.. Lyshastigheten er den samme i alle inertialsystemer, og er avhengig av observatørens bevegelse. System S beveger seg relativ til system S med hastighet. Galileo transformasjon: t v v inkonsistent med Einsteins. postlat: FYS-MEK

3 Definisjon av hendelse En hendelse er en begivenhet (noe) som kan lokaliseres i rom og tid dvs. gis koordinater (,y,z,t). Definisjon av samtidighet To hendelser er samtidige dersom de inntreffer ved samme tid i ett og samme system S. S z y Hendelsene samtidig i system S, men ikke samtidig i system S FYS-MEK

4 Tidsdilatasjon Et tidsintervall som er målt mellom to hendelser i et referansesystem der posisjonen er identisk for begge hendelser, kalles egentid t 0. En annen observatør som beveger seg med konstant fart relativ til den første måler et tidsintervall: speil kilde t t 0 t 0 tidsdilatsjon: t t 0 FYS-MEK

5 aess nmber:78 En klingon kommandant er på vei til Jorden i sitt romskip med høy hastighet. Han ser på en fotballkamp på Ullevål stadion gjennom et sterk teleskop. Etter sin klokke faller et mål etter 0 mintter. Hvor lenge tar det før målet faller hvis d tar tiden fra tribnen? A. mer enn 0 mintter B. nøyaktig 0 mintter C. mindre enn 0 mintter Hendelse : kampen begynner Hendelse : målet faller Vi måler egentid Δt 0 i system «Jorden» hvor begge hendelser skjer på samme sted. Klingon kommandant måler Δt = γδt 0 > Δt 0 i system «romskip». FYS-MEK

6 Hvordan kan vi måle en lengde? Det er enkelt hvis objektet er i ro: Vi bestemmer posisjon til begge endene, og det spiller ingen rolle når vi gjøre det. Hva hvis vi vil måle lengden til en bil som kjører? Vi kan bestemme posisjonen til begge endene, men vi må gjøre de samtidig. Problem: to hendelser som er samtidig i ett referansesystem er ikke samtidig i et annet. FYS-MEK

7 Tankeeksperiment kilde speil En lyskilde er festet på venstre enden av en linjal og et speil på høyre enden. Linjalen er i ro i system S og har lengden l 0. Lyset går til speilet og tilbake i tidsintervall t 0 (egentid). l 0 t0 I system S beveger linjalen seg med fart og en observatør måler lengden l. l t Lyset går til speilet i tidsintervallet t og dekker avstanden d Lyset beveger seg med hastighet : d t t t l t l (det betyr ikke at lyset beveger seg med hastighet ) FYS-MEK

8 Lyset går tilbake i tidsintervallet t og dekker avstanden: d l t t t l tiden lyset brker for å gå frem og tilbake: t t t l l l( ) l( ) l l tidsdilatasjon: t t 0 l 0 l lengdekontraksjon: l l 0 En lengde som måles i et koordinatsystem hvor legemet er i ro kalles egenlengde. Lengden vi måler i et koordinatsystem som beveger seg relativ til legemet er kortere: lengdekontraksjon. FYS-MEK

9 det er ingen lengdekontraksjon vinkelrett på bevegelsesretningen FYS-MEK

10 aess nmber:78 Et romskip flyr forbi jorden med v = En person i romskipet måler at romskipet er 400 m lang. Hvilken lengde måler en observatør på jorden? A m B. 400 m C..84 km l 0 = 400 m er egenlengden til romskipet En observatør på jorden beveger seg med hastighet v = 0.99 relativ til romskipet. lengdekontraksjon: l 0 l 7. l 400 m m FYS-MEK

11 aess nmber:78 To observatører O og O sitter i avstand 56.4 m på jorden. Hvilken avstand vil mannskapet måle fra et romskip som beveger seg med v = 0.99 relativ til jorden? A m B m C. 400 m I system jorden er observatørene i ro. Avstand mellom de to målt på jorden er egenlengden: l m Romskipet beveger seg med hastighet v = 0.99 relativ til jorden: 7. lengdekontraksjon: l l 56.4 m m FYS-MEK

12 Eksempel: myon I systemet hvor myonet er i ro er levetid t 0 =. s (egentid) I laboratoriesystemet er levetid lenger på grnn av tidsdilatasjon: for v = 0.99 har vi fnnet: t t μs Sett fra jorden beveger myonet seg en strekning: l0 t 4630 m Det er egenlengden siden jeg som observatør måle strekningen i ro. I myonets system beveger jorden seg, og myonet ser strekningen kontrahert: l l m Det tilsvarer lengden myonet beveger seg i sin egentid: l t 0 FYS-MEK

13 v 0 v 0. 8 v v FYS-MEK

14 Lorentz transformasjon relasjon mellom (,y,z,t) i system S og (,y,z,t ) i system S, som beveger seg med hastighet relativ til S. posisjon av O i system S ved tid t er t er egenlengde i S, men den er kontrahert i S: t / t transformasjon fra S til S er den samme som fra S til S bare med motsatt fortegn for relativhastigheten : t ( t) t = t + t = t = t ( ) ( t) = γ t FYS-MEK

15 FYS-MEK Lorentz transformasjon ( t) t t y y z z transformasjon tilbake: omvendt fortegn for og bytte S og S ) ( t t t y y z z

16 FYS-MEK lengdekontraksjon ) ( ) ( t t L ) ( ) ( t t et legeme i ro i system S har egenlengde: L legemet beveger seg i system S hvis vi vil finne lengden i system S må vi måle posisjonene og samtidig (t = t ) L ) ( L L tidsdilatasjon egentid: vi maler et tidsintervall t på samme sted: ) ( ) ( t t t t t ) ( ) ( t t t

17 Lorentz transformasjon for hastighet et partikkel beveger seg i system S med hastighet og i system S med hastighet v d dt d ( d dt) v Lorentz transformasjon: dt ( dt d ) d dt v = d dt = d dt dt d = d dt d dt = v v hvis << : v v Galileo transformasjon hvis: v v = = = Einsteins. postlat FYS-MEK

18 Minkowski diagrammer to romskip passerer hverandre system S hvor romskip er i ro stigning gir hastighet til romskip v s t system S hvor romskip er i ro stigning gir hastighet til romskip v s t FYS-MEK

19 Minkowski diagrammer lys verdenslinje vi tegner begge systemer i ett diagram: jo fortere S beveger seg relativ til S, jo mindre er vinkelen for S. Objekter beveger seg langs verdenslinjer gjennom tiden. to hendelser som er samtidig i romskip to hendelser som er samtidig i romskip FYS-MEK

20 Minkowski diagrammer warp drive? tan / t v hvis et romskip knne bevege seg med v > : hendelse før hendelse i system S hendelse før hendelse i system S FYS-MEK

21 aess nmber:78 Lke er astronat og tar en tr til planeten Dagobah og tilbake. Hans tvillingsøster Leia forblir hvor hn er. Pga. hans høy hastighet går tiden saktere for Lke (tidsdilatasjon) og han er yngre enn Leia når han kommer tilbake. Sett fra Lkes synspnkt i romskipet beveger Leia seg med høy hastighet, så tiden går saktere for Leia og Lke er eldre når han kommer tilbake. Når Lke kommer tilbake:. er Lke yngre enn Leia. er begge like gammelt 3. er Lke eldre enn Leia 4. dette er et paradoks og det finnes ingen svar FYS-MEK

22 Tvillingparadokset Leia forbli it et inertialsystem, men Lke trenger en akselerasjon for å sn retningen og retrnere til jorden. På veien tilbake befinner Lke seg i et annet inertialsystem. Horisontale linjer tilsvarer hendelser som Leia oppfatter som samtidig. På veien bort oppfatter Lke hendelser på de grønne linjene som samtidig, mens på veien tilbake oppfatter Lke hendelser på de blå linjene som samtidig. Det er en periode i Leias liv som Lke aldri oppfatter som samtidig. Lke oppfatter at Leia eldes meget rask mens han sn retningen. Leia ser at Lke beveger seg hele tiden, og tiden går alltid saktere for Lke. Lke er yngre enn Leia nor han kommer tilbake til jorden. FYS-MEK