Problem sets II for ECON 4150, Spring 09

Transkript

1 Problem ses II for ECON 45, Sprg 9 Problem se 6 Solve he exercses: 6.6, 6.9, 6., 7.4 Problem se 7 Solve exercse 6.5, revew he log-ormal dsrbuo combao wh appedx 7A, ad solve he followg exercse: Exercse 7. If we cosder he regresso equao () Y β + βx + ε,,..., wll ofe happe ha he dsurbaces { ε } are heeroskedasc. I order o deec heeroskedascy of he radom dsurbaces exbooks wll ofe recommed varous kds of resdual plos. The dea s ha he resduals mmc properes of he dsurbaces. Bu oe εˆ are defed by has o be a b careful. The resduals { } () ε Y Yˆ ( ˆ β β )( X X ) + ( ε ) where ˆ ε (3) Yˆ ˆ β ˆ + βx () Deduce he las equaly of (). Assume ha he dsurbaces are homoskedasc,.e. Var ( ε ) σ for all. Show ha he followg expressos hold: () E( ˆ ε ) ( X X ) () Var( ˆ ε ) ( ˆ E ε ) σ ( ) ( X X ) (v) Expla why he resduals { εˆ } mus be correlaed ad he show ha ( X )( ) X X X (v) Cov( ˆ ε, ˆ ε ) σ ( + ) ( X X ) Hece, eve f he dsurbaces are homoskedasc he varace of { } εˆ depeds o he sample values of he explaaory varable X. Ths ca make dffcul o erpre a graph

2 whch oe has ploed X agas εˆ. For hs reaso oe wll ofe ormalse he resduals so ha all resduals ge he same varace. For example oe could defe (4) ε ˆ* ˆ ε s ( v ) where s ˆ ε ( ) ad v ( X X ) + ( X X ) ad he plo Fally, show ha X agas * ˆ ε or (v) E( ˆ ε ) σ ( ) X agas ( ˆ* ε ). Problem se 8 Solve he exercses: 7.6, ad addo exercse 8.. Exercse 8. For å a hesy l kvalave forklargsvarable e regresoslgg beyer v gere dummyvarable. Spørsmål G eksempler på økoomerske avedelser av dummyvarable. På e uvalg av orske løsakere skal v esmere regresoe () X β + β K + β E + ε,,3,..., der X beeger meløe l løsaker (), K beeger dummyvarabele for kø, som er lk hvs perso er e kve og lk hvs perso er e ma, E beeger aall år udag l løsaker (). De er lke mage kver som me uvalge. Varabele ε beeger de sokasske resledd regresoe, som aaes å være uavhegge og desk fordele for alle, med forveg og varas σ. Bruk de vedlage daase (lø og kø des8) l å berege regresoe (). Spørsmål Kommeer de emprske resulaee. Hva vl du rekke frem som spesel eressa ved dsse resulaee. Effeke av udag på meløe syes å være uskker. Esmer løsrelasoe () år du har ekskluder udag, dvs.

3 () X β + βk + ε Msekvadraers esmaoree på regresoskoeffseee β og β regresoe () er g ved formlee (a) ˆ β ˆ β K (b) ˆ β X ( K ( K K ) X K ) der X beeger geomslg melø daasee og K beeger geomse av dummyvarabele K. Spørsmål 3 Vs a formlee for msekvadraers esmaee reduserer seg l ˆβ X og M ˆβ X K X M der X M beeger geomse av meløe for meee uvalge og X K beeger geomse av meløe for kvee. Mage som forsker på arbedsmarkedsrelaere problemer og løsdaelse, vl hevde a løsrelasoer er kke-leære, slk a de leære regresoee () og () passer dårlg for dee formåle. I sede for dsse blr følgede spesfkasoer foreslå (3) l X γ + γ K + γ E + ε (4) l X α + α l K + α l E + ε der l X, K l og l E beeger de aurlge logarme l de age varable. Spørsmål 4 Forklar hvorfor v kke ka beye regreso (4) med vår valg av forklargsvarable. Esmer regresoe (3) med bruk av de vedlage daase. Spørsmål 5 Kommeer resulaee av dee regresoe. Syes du de er gru l å forerekke regreso (3) fremfor regreso ()? Spørsmål 6 Hvorda vl du olke parameere γ regreso (3)? 3

4 Spørsmål 7 Esmer meløe for e malg arbeder med års udag år du: (a) beyer regreso (), og (b) beyer regreso (3). Problem se 9 Solve he exercses: 8., 8.6 ad addo exercse 9. below Exercse 9. E eressa hypoese som dskueres makroeor er a offelge ugfer bdrar l å forrege de samlede veserger e lads økoom. Idee er a sore offelge ugfer både dreke og dreke va e øk reevå, bdrar l å redusere de samlede veserger. V øsker å udersøke dee hypoese ved bruk av verrssdaa for e uvalg på 3 vkge dusrlad 999. Dessverre holder vår daase kke observasoer for reevåe ladee, me gr oss daa for varablee: offelge ugfer (G), samlede veserger (I), bruo asoalproduk (X ) og folkeall (P). Som bakgrusmodell for å udersøke dee hypoese spesfseres regresoe () I β + βg + β X + ε,,3,..., 3 der ε beeger de sokasske resleddee. Uskrf vser resulaee av dee regresosberegge. Spørsmål (a) Gør rede for holde dee uskrfe. (b) Syes du hypoese om a de offelge ugfer forreger de samlede veserger blr bekrefer eller avkrefe? Begru svare. Daasee holder både sore og små lad, for eksempel går både USA og Islad ε å være heeroskedasske. uvalge. V mseker derfor serk de sokasske resleddee { } Spørsmål (a) I Uskrf har v ploe resdualee fra regreso () mo bruo asoalproduk X. Syes du de ploede pukee (de røde kryssee) yder på a resleddee er heeroskedasske? For å udersøke mer press om heeroskedasse er l sed våre daa, har v også berege Whe s kossee esma på sadardavvkee l esmaoree ˆ β ˆ ˆ, β og β. Resulaee er rapporer Uskrf 3. Whe s esmere sadardavvk for esmaoree ˆ β ˆ ˆ, β og β fer du koloe beege HCSE. 4

5 (b) Tyder resulaee Uskrf 3 på a resleddee er hereroskedasske? Begru svare. Fyll allee koloe som er beege -HCSE. Som e lleggses for å avgøre om resleddee er heeroskedasske øsker v også å beye Goldfeld-Quad s es. Daaee er sorer eer sørrelse på bruoasoalproduke, dereer er de kør o regresoer. Uskrf 4 vser resulaee av regreso () for de 5 ladee med høyes bruoasoalproduk, mes uskrf 5 vser de lsvarede resulaer for de 5 ladee med laves bruoasoalproduk. Spørsmål 3 Forklar kor holde Goldfeld-Quad s ese. Bey resulaer du fer uskrfee 4 og 5 l å geomføre esprosedyre, og forklar hva de resulaer yder på om resleddees fordelger. Bruoasoalproduke (X ) ladee som går vår daase varerer serk. For å redusere effeke av serk varerede (X ) er de foreslå å spesfsere regresoe mellom de lsvarede pr. capa sørrelsee. Spørsmål 4 Regreso () edefor vser dee spesfkaso () I / P) β + β ( G / P) + β ( X / P) + u,,..., 3 ( Uskrf 6 vser resulaee av dee regresosberegge. Bruk av Goldfeld-Quad s es yder på a resleddee ( u ) () ka være homoskedasske. Syes du a du ka fe søe for e slk kokluso uskrf 6? Forskere som er vlede l hypoese om a offelge ugfer forreger de samlede veserger (vlere), påsår a ma bare ka avgøre dee spørsmåle ved å beye regresoe (3) ( I / P) γ + γ ( G / P) + γ ( X / P) + γ 3r + δ,,..., 3 der r beeger reevåe de forskellge ladee. La ˆ β ˆ, ˆ β, β og ˆ γ, ˆ γ ˆ ˆ, γ, γ 3 beege OLS esmaee regresoee () og (3). Spørsmål 5 Tvlere hevder a γ ka være lk ull selv om β er forskellg fra ull. Dskuer dee påsade. I dskusoe ka du aa a regresoe av r på ( G / P) og ( X / P) er leær eller r α + α( G / P) + α ( X / P) + u. Mo dee hevder lhegere av hypoese a på gru av lberalserge av de erasoale kapalmarkeder, vl reevåe være lærme lk de forskellge ladee slk a ˆβ vl være lærme lk ˆ γ 5

6 Spørsmål 6 Drøf dee påsade år v aar a r r + v der r beeger geomse av reevåee ladee og v beeger svær små posve og egave avvk. Uskrf EQ( ) Modellg (I) by OLS-CS (usg makrodaa.xls) The esmao sample s: o 3 Coeffce Sd.Error -value -prob Cosa G X sgma RSS R^ F(,7) 93 [.]** DW.38 o. of observaos 3 o. of parameers 3 mea (I) 6.47 var (I ) 5 Uskrf resduals X

7 Uskrf 3 Coeffces SE -SE HCSE -HCSE Cosa G X Uskrf 4 EQ( ) Modellg I by OLS-CS (usg makrodaa.xls) The esmao sample s: o 5 Coeffce Sd.Error -value -prob Cosa G X sgma RSS R^.9879 F(,) 46.5 [.]** DW. o. of observaos 5 o. of parameers 3 mea (I) var( I ) 739 Uskrf 5 EQ( ) Modellg I by OLS-CS (usg makrodaa.xls) The esmao sample s: o 5 Coeffce Sd.Error -value -prob Cosa G X sgma 6.3 RSS R^ F(,) 3.3 [.]** DW.8 o. of observaos 5 o. of parameers 3 mea( I ) 7.33 var( I ) Uskrf 6 7

8 EQ( 3) Modellg ( I / P ) by OLS-CS (usg makrodaa.xls) The esmao sample s: o 3 Coeffce Sd.Error -value -prob HCSE Cosa G / P X / P sgma RSS.7777 R^ F(,7) [.]** DW.79 o. of observaos 3 o. of parameers 3 mea( I / P ) var( I / P ) Problem se Solve he exercses: 9.4, 9., 9.3 ad addo he exercse. below. Exercse. V er eresser å sudere sammehege mellom verde på bedrfer uryk ved bedrfees aksekapal og sørrelse på ubye (dvdede) bedrfee deler u l se akseeere. Vår daase er aggregere all fase prser og dekker åree P beeger de samlede verd på bedrfees aksekapal år, D beeger de samlede verd på ubye og edelg beeger C de samlede kosum. Varabele C er kluder for å vse uvklge av realeke perode. For å aalysere dee sammehege er følgede spesfkaso foreslå: () P β + β D + β C + ε,, 3,..., 74 der ε beeger sokasske resledd. Spørsmål () Bruk de vedlage daase (aders.daa) l å berege regresoe (), og gør rede for om du syes resulaee er rmelge. () Gør rede for hvorda allee koloee beege -value og -prob er fremkomme. Suppler de beregede regreso ovefor med regresoee: () P β + β D + u,, 3,..., 74 (3) P β D + β C + ε,, 3,..., 74 8

9 Spørsmål Ved å sammelge regresosbereggee og ser v a esmae på β har forskellge egeskaper al eer som C er kluder eller ekskluder fra regresoe. Lkeså ser v ved å sammelge bereggee for og 3 a esmae på β har forskellge egeskaper al eer som e kosaledd er kluder eller ekskluder fra regresoe. Hvorda vl du forklare dsse forskellee? I de følgede skal v basere oss på regresoe () Ved bruk av dsrekkedaa regresosberegger vl auokorrelere resledd ofe være e problem ma møer. Sde v beyer årsdaa vår udersøkelse, er de rmelg å gå u fra a resleddee er auokorrelere av orde. V skal derfor aa a resleddee u regreso () lfredssller lgge (3) u ρu + e ρ < der e er sokassk uavhegge med forveg og varas σ. For å udersøke om auokorrelaso er l sede vl de flese programmee berege de så kale Durb-Waso observaore, beege DW uskrfee. Spørsmål 3 () I spesfkasoe (3) foruseer v a < ρ <. Forklar hvorfor dee er e vkg foruseg. () G e kor begruelse for Durb_Waso ese. () Bruk regresosberegge for regreso () l å es ull hypoese H : ρ mo de alerave hypoese H : ρ >. Velg sgfkasvå α.5 I modeller for å forklare akseverde P oppfaes P ofe som åverde av fremdge... akseubyer. Lar v D +, D +, D+ 3,..., D+ k,..., beege progosee v sller opp på dspuk for de fremdge ubyer, vl bakgrusmodelle være g ved (4) P β + γ D + der dskoergsfakore < γ <. De ka vses ved å a ugagspuk og å uvkle summe av predksosfelee γ ( D D ) /( ) a v ka avlede regresoe γ (5) P β + D + v γ der v beeger de sokasske resledd. + + γ 9

10 Spørsmål 4 () Bruk bereggsresulaee for regreso l å ulede e esma for dskoergsfakore γ.