INF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
|
|
- Charlotte Rød
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 INF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
2 I dag Formell setningssemantikk: Systematisk oversettelse fra naturlig språk til logisk språk Utvidelser av det logiske språket To trinn 1. Enkelt fragment uten kvantifiserte NP-er 2. Med kvantifiserte NP-er. Reviderer (1) 2
3 Semantikk noen poeng fra sist Vi legger vekt på at språket er om noe det denotasjonelle aspektet ved mening Modeller av verden En setning er sann eller usann i en modell Det logiske forholdet mellom setninger: konsekvens Oversettelse fra naturlig språk til et logisk språk Rekursive systematiske regler 3
4 Fremgangsmåte trinnvis 1. Definere oversettelsesregler fra naturlige språk: En etter en Følger de syntaktiske reglene 2. Utvide det logiske språket, Når det trengs for Å få passende representasjoner Å få oversettelsesregler: «noe å oversette til» Gjøre 1 og 2 i parallell: Utvidelser av det logiske språket kan kreve revisjon av tidligere innførte regler 4
5 To trinn Trinn 1 Transitive og intransitive verb Preposisjoner Konjunksjon, negasjon NP-er: Navn: Kari, Ola, Ikke kvantifiserte NP-er: ethvert barn, et hus Redskaper: Lambda uttrykk λx. ϕ Logiske typer Trinn 2 I tillegg Generelle NP-ledd Adjektiv Redskaper: Begrensete logiske kvantorer Variable over predikat (høyere-ordens variable) Revidere (skifte noen av) reglene fra trinn (1) 5
6 Første ide NP:: don S::Sin(don) VP::Sin Vi kan da innføre en oversettelsesregel som for eksempel: S(Vsem(Nsem)) NP(Nsem) VP(Vsem) Donald sings 6
7 Hva da med?? S::Sin(don) & Dan(don) VP::?? NP:: don VP::Sin VP::Dan Donald sings and dances 7
8 Hva med?? S::Env(don, scr) VP::?? NP:: don V::Env NP::scr Donald envies Scrooge 8
9 Hva med?? S::Sin(don) & Dan(don) S::Env(don, scr) VP::?? VP::?? NP:: don VP::Sin VP::Dan NP:: don V::Env NP::scr Donald sings and dances Donald envies Scrooge 9
10 Typer hvorfor? Vi vil inndele uttrykkene i det logiske språket i typer Det vil gjøre det enklere å snakke om utvidelser I førsteordens predikatlogikk er det i utgangspunktet tre ulike slags uttrykk: Termer: navn og variabler Relasjonssymboler (med en gitt aritet) Formler 26. april
11 Typer for førsteordens logikk Så langt: Samme språk annen definisjon Vi vil si at: Alle formler er uttrykk av type t (for «truth value») Navn og variable er uttrykk av type e (De betegner «entiteter») Et unært predikat, e.g. Dan er av type (e t) Et binært relasjonssymbol, Env, er av type ((e,e) t) Et ternært relasjonssymbol, Giv, er av type ((e,e,e) t) etc. Sammensetningen Hvis R er av type ((e,e) t), og u og v av type e, så er R(u,v) av type t Hvis R er av type ((e,e,e) t), og u, w og v av type e, så er R(u,w,v) av type t osv. 26. april
12 Utvidelse: λ-uttrykk 1 Hvis ϕ er av type t og x en variabel (av type e), så er (λx. ϕ) av type (e t) Det følger at hvis v er et navn eller en variable (av type e), så er (λx. ϕ) (v) av type t (en formel) 12
13 Bruk av dette S:: λx.(sin(x) & Dan(x)) (don) VP:: λx.(sin(x) & Dan(x)) NP:: don VP::Sin VP::Dan Donald sings and dances 13
14 Tolkningen av λ λx.(sin(x) & Dan(x))(don) er tolket til å bety det samme som (Sin(don) & Dan(don)) Generelt (λx. ϕ) (v) tolkes som det samme som ϕ [v/x] Forutsatt at v ikke forekommer i ϕ (ϕ [v/x] betyr: erstatt alle x-er i ϕ med v) Den syntaktiske operasjonen hvor (λx. ϕ)(v) erstattes med ϕ [v/x] kalles β-konversjon eller β-reduksjon 26. april
15 I bruk S:: λx.(sin(x) & Dan(x)) (don) (Sin(don) & Dan(don)) VP:: λx.(sin(x) & Dan(x)) NP:: don VP::Sin VP::Dan Donald sings and dances 15
16 Hva med?? S::Env(don, scr) VP:: λx.env(x, scr) Hva med regelen VP( ) V( ) NP( )? NP:: don V::Env NP::scr Donald envies Scrooge 16
17 Hva med?? S:: ((λy.λx.env(x,y))(scr)) (don) VP(Vsem(Nsem)) V(VSem) NP(NSem) VP:: (λy.λx.env(x,y))(scr) NP:: don V:: λy.λx.env(x, y) NP::scr Donald envies Scrooge 17
18 Utvidelse: λ-uttrykk 2 Hvis ϕ er et velformet uttrykk av en eller annen type τ and x en variabel av type e, så er λx. ϕ et velformet uttrykk av type (e τ) Hvis v er et navn eller en variabel (av type e), så er λx. ϕ (v) av type τ OBS: Her er e og t typer, Mens τ (og σ) er variable over typer. De kan skiftes ut med en vilkårlig type Eksempel: λx.env(x,y) : (e t) λy.λx.env(x,y) : (e (e t)) (λy.λx.env(x,y))(scr) :(e t) ((λy.λx.env(x,y))(scr))(don):t Hvor: (λy.λx.env(x,y))(scr) =>(λx.env(x,scr)) ((λy.λx.env(x,y))(scr))(don) => Env(don, scr) 18
19 Oppdatering Så langt, tilnærming 1 Innført typer ϕ av type τ og x variabel av type e: λx. ϕ et velformet uttrykk av type (e τ) Kan takle navn, transitive verb med mer. Videre, tilnærming 2 Mangler generelle NP-ledd, kvantorer Flere redskaper: Begrensete logiske kvantorer Variable over predikat (høyere-ordens variable) Revidere (skifte noen av) reglene fra trinn (1) 19
20 Begrensete kvantorer utvidelse av FOL Syntaksen til FOL (førsteordens logikk) speiler ikke strukturen: NP VP Innfør begrensete kvantorer: Hvis ϕ er en formel og x en variabel, da er ( x: ϕ), og ( x: ϕ), begrensete kvantorer Hvis Q er en begrenset kvantor og ϕ en formel, så er Qϕ en formel Every old duck smiles x (Old(x) & Duc(x) Smi(x)) ( x: Old(x) & Duc(x)) Smi(x)) Some old duck smiles x (Old(x) & Duc(x) & Smi(x)) ( x: Old(x) & Duc(x)) Smi(x)) 20
21 S:: ( x: Duc(x)) Qua(x) NP::? DET::? N::Duc VP::Qua Every duck quacks 21
22 Høyere-ordensvariable + λ-uttrykk 3 S:: (λp. ( x: Duc(x)) P(x))(Qua) ( x: Duc(x)) Qua(x) NP:: λp.( x: Duc(x)) P(x) DET::? N::Duc VP::Qua Innfør variable (for predikat) av type (e t) Hvis ϕ er av type τ og x en variabel av type σ: så er λx. ϕ av type (σ τ) og hvis v er av type σ, så er (λx. ϕ)(v) av type τ Every duck quacks 22
23 Tilnærming 2: Semantiske regler S:: (λp. ( x: Duc(x)) P(x))(Qua) ( x: Duc(x)) Qua(x) S(Nsem(Vsem)) NP(Nsem) VP(Vsem) NP:: λp.( x: Duc(x)) P(x) DET:: N::Duc λq.λp.( x: Q(x)) P(x) VP::Qua NP(Dsem(Nsem)) DET(Dsem) N(Nsem) Every duck quacks 23
24 Tilnærming 2: Egennavn NP::? S:: (?)(Sin) PN:: don VP::Sin Sin(don) S(Nsem(Vsem)) NP(Nsem) VP(Vsem) Hva skal NPsemantikken være med denne regelen? Donald sings 24
25 Tilnærming 2: Egennavn S:: λp. (P(don))(Sin) Sin(don) NP:: λp. (P(don)) PN:: don VP::Sin S(Nsem(Vsem)) NP(Nsem) VP(Vsem) NP(λP. (P(PNSem))) PN(PNSem) Donald sings 25
26 Hva med TV (og DTV)? S:: (λp. ( x: Dog(x)) P(x)) (λz. ( y: Cat(y)) Cha(z,y)) ( x:dog(x)) ( y: Cat(y)) Cha(x,y) NP:: λp. ( x: Dog(x)) P(x) VP:: λz. ( y: Cat(y)) Cha(z,y) V:: λu.λz.cha(z,u) NP:: λp. ( y: Cat(y)) P(y) DET:: N::Dog λq.λp.( x: Q(x)) P(x) DET:: λq.λp.( y: Q(y)) P(y) N::Cat A dog chases every cat 26
27 TV + NP VP:: λz. ( y: Cat(y)) Cha(z,y) V:: λu.λz.cha(z,u) NP:: λp. ( y: Cat(y)) P(y) Hvordan oppnår vi dette? To alternativ: Alt A: Vi tilpasser semantikken i regelen VP TV NP Alt B: Vi gjør mest mulig i leksikonoppslaget for TV og får en noe enklere regel for VP TV NP 27
28 Alt A (no-sem.fcfg) VP[λx.Nsem(λy.TVsem(x,y))] TV[TVsem] NP[Nsem] TV[Cha] chased VP:: λx. ((λp. ( z: Cat(z)) P(z)) (λy.cha(x,y) )) => λx. ( z: Cat(z)) (λy.cha(x,y)) (z)=> λx. ( z: Cat(z)) (Cha(x,z)) V:: Cha NP:: λp. ( y: Cat(y)) P(y) 28
29 Alt B (a la NLTK) VP[TVsem(Nsem)] TV[TVsem] NP[Nsem] TV[λQ.λz. Q(λu.Cha(z,u)) ] chased VP:: λq.λz. Q(λu.Cha(z,u)) (λp. ( y: Cat(y)) P(y)) => λz. (λp. ( y: Cat(y)) P(y)) (λu.cha(z,u)) => λz. ( y: Cat(y)) (λu.cha(z,u)) (y)=> λz. ( y: Cat(y)) (Cha(z,y)) V:: λq.λz. Q(λu.Cha(z,u)) NP:: λp. ( y: Cat(y)) P(y) Q er en variabel av type ((e t) t) 29
30 Begrensete kvantorer Vi har innført begrensete kvantorer for å få et logisk språk med en form mer likt naturlig språk enn vanlig logikk Med lambda-uttrykk og variable over predikat er det også mulig å uttrykke dette uten begrensete kvantorer. Dvs. De begrensete kvantorene representeres med lambda-uttrykk 30
31 Uten begrensete kvantorer Every duck smiles and dances Semantikken til DET Begrensete (= så langt) ( x:duc(x)) (Smi(x) & Dan(x)) λq.λp.( x: Q(x)) P(x) Uten begrensete kvantorer (= NLTK) x (Duc(x) (Smi(x) & Dan(x))) λq.λp.( x(q(x) P(x))) Some duck smiles and dances Semantikken til DET ( x:duc(x)) (Smi(x)& Dan(x)) x (Duc(x) & Smi(x) & Dan(x)) λq.λp.( x: Q(x)) P(x) λq.λp.( x (Q(x)& P(x))) 26. april
32 Generaliserte kvantorer Med notasjonen for begrensete kvantorer, kan vi også innføre generaliserte kvantorer Most ducks fly Five happy ducks fly Several ducks quack and bite Few happy ducks bite (Most x: Duck(x)) Fly(x) (Five x: Duck(x) & Happy(x)) Fly(x) (Several x: Duck(x)) (Quack(x) & Bite(x)) (Few x: Duck(x) & Happy(x)) Bite(x) 26. april
33 Rekkeviddeflertydigheter Everybody did not sing x Sing(x) x Sing(x) All skaters have visited a small town in the middle of Norway x (Skater(x) y(small(y) & Town(y) & In(y,norw) & Visit(x,y))) y(small(y) & Town(y) & In(y,norw) & x (Skater(x) Visit(x,y))) Betraktet som en semantisk flertydighet men syntaktisk entydig Ulike forslag i litteraturen for å lage flere semantiske repr. til en syntaktisk repr. Også forslag til utvidete representasjonsspråk der flertydigheten beholdes 26. april
34 NLTK-grammatikk med semantikk S[SEM = <?subj(?vp)>] -> NP[NUM=?n,SEM=?subj] VP[NUM=?n,SEM=?vp] NP[NUM=?n,SEM=<?det(?nom)> ] -> Det[NUM=?n,SEM=?det] Nom[NUM=?n,SEM=?nom] <...> er en spesialnotasjon Tillater spesiell symboler, som \ (for λ) Utløser λ-reduksjoner 34
35 Litt mer om typing Vi chase : ((e,e) t) chase(x, don) : t λx.chase(x, don) : (e t) λy.λx.chase(x, y) : (e (e t)) λy.λx.chase(x, y) (don): ((e t) NLTK chase(x, don) : t λx.chase(x, don) : (e t) λy.λx.chase(x, y) : (e (e t)) Men sier at chase : (e (e t)) og skriver (e (e t)) som e, e,t eller e 2,t 35
INF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2015 13. gang, 27.4.2015 Jan Tore Lønning Semantikk noen poeng fra sist Vi legger vekt på at språket er om noe det denotasjonelle aspektet ved mening Det logiske forholdet mellom
DetaljerFOL: syntaks og representasjon. 15. og 16. forelesning
FOL: syntaks og representasjon 15. og 16. forelesning Førsteordens logikk Førsteordens logikk: et formelt system som man bruker til å representere og studere argumenter. Som utsagnslogikk, men mer uttrykkskraftig,
DetaljerINF2820-V2014-Oppgavesett 15, gruppe 13.5
INF2820-V2014-Oppgavesett 15, gruppe 13.5 Vi møtes på FORTRESS denne uka. Semantikk i grammatikken Utgangspunktet er det lille grammatikkfragmentet med semantiske regler presentert I NLTK-boka som simple-sem.fcfg.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2820 Datalingvistikk Eksamensdag: 6. juni 2014 Tid for eksamen: 1430-1830 Oppgavesettet er på 5 side(r) Vedlegg: 0
DetaljerINF1800 Forelesning 18
INF1800 Forelesning 18 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse tråder Førsteordens språk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15 23:50) Repetisjon og noen løse
DetaljerRepetisjon og noen løse tråder
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 18: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Repetisjon og noen løse tråder Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 15. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-15
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2014 13. gang, 10.4.2014 Jan Tore Lønning I dag Introduksjon til semantikk Formell semantikk grunnideene Logikk i NLTK 2 Semantikk Semantikk= studiet av mening Lingvistisk semantikk
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 7
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 7 Unifisering I forelesning 10 så vi på en unifiseringsalgoritme som finner en mest generell unifikator for to termer. I automatisk bevissøk har vi imidlertid bruk
DetaljerSpørsmål 1.1 (10%) Lag en ikke-deterministisk endelig tilstandsautomat (NFA) som beskriver dette språket.
2 Du kan svare på norsk, dansk, svensk eller engelsk. Du skal besvare alle spørsmålene. Vekten på de ulike spørsmålene er oppgitt. Du bør lese gjennom hele settet slik at du kan stille spørsmål til faglærerne
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2016 13. gang, 20.4.2016 Jan Tore Lønning I dag Introduksjon til semantikk Formell semantikk grunnideene Logikk i NLTK 2 Semantikk Semantikk= studiet av mening Lingvistisk semantikk
DetaljerHvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170, og Ole følger ikke inf3170. Ole følger inf3170, eller Ole følger ikke inf3170.
Forelesning 4: Repetisjon og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen - 12. februar 2007 1 Repetisjon Motivasjon Er utsagnene sanne? Hvis Ole følger inf3170, så liker Ole logikk. Ole følger inf3170,
Detaljer0. Innledning. Et grunnleggende spørsmål i semantikk er:
0. Innledning Et grunnleggende spørsmål i semantikk er: Hvordan bestemmes en setnings mening ut i fra meningen til dens deler? Hvordan bestemmes en setnings mening ut i fra meningen til ordene som inngår
DetaljerFørsteordens logikk - syntaks
INF3170 Logikk Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Førsteordens logikk - syntaks 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:42) INF3170
DetaljerDefinisjon 1.1 (Sunnhet). Sekventkalkylen LK er sunn hvis enhver LK-bevisbar sekvent er gyldig.
Forelesning 5: Kompletthet og første-ordens logikk Roger Antonsen - 20. februar 2006 1 Kompletthet 1.1 Repetisjon Gyldig P, P Q Q Hvis v = P og v = P Q, så v = Q. Bevisbar P P Q Q P, P Q Q Falsifiserbar
DetaljerRepetisjonsforelesning
Repetisjonsforelesning INF3170 Andreas Nakkerud Institutt for informatikk 24. november 2014 Institutt for informatikk Universitetet i Oslo Repetisjon 24. november 2014 1 / 39 Utsagnslogikk Utsagnslogikk
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Syntaks: Utsagnslogiske formler. Motivasjon
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 4: og førsteordens logikk Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 12. februar 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt
DetaljerINF1800 Forelesning 20
INF1800 Forelesning 20 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:51) Mer om førsteordens logikk Tillukninger Vi har definert semantikk kun for lukkede formler.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerMerk: kopieringen av hovedformelen i γ-reglene medfører at bevissøk i førsteordens logikk ikke nødvendigvis behøver å terminere!
Forelesning 8: Førsteordens logikk kompletthet Martin Giese - 10. mars 2008 1 Repetisjon: Kalkyle og Sunnhet av LK 1.1 Sekventkalkyleregler Definisjon 1.1 (γ-regler). γ-reglene i sekventkalkylen LK er:
DetaljerINF1800 Forelesning 17
INF1800 Forelesning 17 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon og kommentarer Vi skal nå kunne Utsagnslogikk: syntaks og semantikk
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22 10:50) Mer om førsteordens
DetaljerMer om førsteordens logikk
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 20: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Mer om førsteordens logikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 22. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-22
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF3170 Logikk Forelesning 7: Sekventkalkyle for førsteordens logikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Førsteordens sekventkalkyle 16. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06
DetaljerForelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen februar 2007
Forelesning 5: Førsteordens logikk syntaks og semantikk Christian Mahesh Hansen - 19. februar 2007 1 Førsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
DetaljerSemantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b},
DetaljerINF3170 Logikk. Ukeoppgaver oppgavesett 6
INF3170 Logikk Ukeoppgaver oppgavesett 6 Normalformer Negasjons normalform I dette oppgavesettet skal vi se nærmere på normalformer. Formelen (P Q) kan også skrives som P Q. Formlene er ekvivalente, dvs.
DetaljerKompletthet av LK. INF3170 Logikk. Overblikk. Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet. Roger Antonsen
INF370 Logikk Forelesning 9: Mer sekventkalkyle og kompletthet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kompletthet av LK 3. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-3 2:04) INF370 Logikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 17: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 14. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-14 16:29) Før vi begynner Repetisjon
DetaljerHvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.
Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,
DetaljerINF1800 Forelesning 4
INF1800 Forelesning 4 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger Kursets hjemmeside blir stadig oppdatert: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ifi/inf1800/
DetaljerDatabaser fra et logikkperspektiv del 2
Databaser fra et logikkperspektiv del 2 Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2015 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser og logikk del 2 Høst 2015 1 / 22 Outline 1 Konjunktive spørringer 2 QA for konj.
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
DetaljerForelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen februar 2006
Forelesning 6: Frste-ordens logikk: syntaks og semantikk Roger Antonsen - 27. februar 2006 1 Frsteordens logikk - syntaks 1.1 Repetisjon og presiseringer Et frsteordens sprak L bestar av: 1. Logiske symboler
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 3. mars 2007 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk Et førsteordens språk L består av: 1. Logiske symboler
DetaljerRepetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk. 2 Førsteordens sekventkalkyle. 3 Sunnhet av førsteordens sekventkalkyle. 1 Mengden T av termer i L:
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Repetisjon: Førsteordens syntaks og semantikk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 4: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 27. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:39) Før vi begynner Praktiske opplysninger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. mai 2010 (Sist oppdatert: 2010-05-04 14:11) Forelesning 27 MAT1030 Diskret Matematikk 4. mai 2010
DetaljerOppgave 1. La G1 være grammatikken med hovedsymbol S og følgende regler:
2 Du kan svare på norsk, dansk, svensk eller engelsk. Du skal besvare alle spørsmålene. Vekten på de ulike spørsmålene er indikert. Du bør lese gjennom hele settet slik at du kan stille spørsmål til faglærerne
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =
DetaljerDatabaser fra et logikkperspektiv
Databaser fra et logikkperspektiv Evgenij Thorstensen IFI, UiO Høst 2013 Evgenij Thorstensen (IFI, UiO) Databaser fra et logikkperspektiv Høst 2013 1 / 31 Outline 1 Logikk som verktøy 2 Relasjonsdatabaser
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28 16:50) Førsteordens sekventkalkyle
DetaljerFørsteordens sekventkalkyle
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 21: FØRSTEORDENS LOGIKK Roger Antonsen Førsteordens sekventkalkyle Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 28. oktober 2008 (Sist oppdatert: 2008-10-28
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerOppgave 1. Spørsmål 1.1 (10%) Gitt det regulære uttrykket: a((bcd)+(cd))*cd
2 Du kan svare på norsk, dansk, svensk eller engelsk. Du skal besvare alle spørsmålene. Vekten på de ulike spørsmålene er oppgitt. Du bør lese gjennom hele settet slik at du kan stille spørsmål til faglærerne
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet. Christian Mahesh Hansen. 5.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 5. mars 2007 Institutt for informatikk
DetaljerDagens plan. INF4170 Logikk. Fri-variabel sekventkalkyle. Forelesning 10: Automatisk bevissøk II fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet.
INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 10: fri-variabel sekventkalkyle og sunnhet Martin iese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. april 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF4170 Logikk
DetaljerINF3140 Modeller for parallellitet INF3140/4140: Programanalyse
INF3140/4140: Programanalyse Uke 4, side 1. Hvordan sjekke egenskaper ved programmer? Testing eller debugging øker tilliten til programmet ved prøving, men gir ingen garanti for korrekthet Operasjonell
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. november 2012 Tid for eksamen: 13:00 16:00 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerLitt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel
INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 25. november 2011 Tid for eksamen: 14:45 16:45 Oppgave 1 Mengdelære (15 poeng)
DetaljerForelesning 33. Repetisjon. Dag Normann mai Innledning. Kapittel 11
Forelesning 33 Repetisjon Dag Normann - 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske repetisjonen av MAT1030. Det som gjensto var kapitlene 11 om trær og
DetaljerINF3170 Forelesning 2
INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Innledning Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerInnledning. MAT1030 Diskret matematikk. Kapittel 11. Kapittel 11. Forelesning 33: Repetisjon
Innledning MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 33: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mai 2008 Onsdag 21/5 gjorde vi oss ferdige med det meste av den systematiske
DetaljerLogiske symboler. Ikke-logiske symboler. Konnektiver Kvantorer Har fast tolking
Inf 3170 Logiske symboler Konnektiver Kvantorer Har fast tolking Ikke-logiske symboler Relasjonssymboler Funksjonssymboler Ariteten er alltid gitt Tolkningen kan variere Vi får formelspråket Start med
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V Gang 19.3 del 1 Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2018 10. Gang 19.3 del 1 Jan Tore Lønning I dag: to deler A. Active chart-parsing Fortsatt fra sist B. Tekstklassifisering 2 CHART-PARSING 3 I dag chart-parsing Chart-parsing:
DetaljerPredikatlogikk Syntaks Semantikk INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Syntaks og semantikk. Andreas Nakkerud. 1. september 2015
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Syntaks og semantikk Andreas Nakkerud 1. september 2015 Predikatlogikk Utsagnslogikk: p 0, p 1, p 1 p 6, p 2 p 1 Predikatlogikk: (( x)p 1 (x)), (( x)(( y)p 4 (x, y)))
DetaljerINF3170 Forelesning 4
INF3170 Forelesning 4 Sunnhet og kompletthet - 16. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 17:43) Dagens plan Innhold Sunnhet 1 Introduksjon.......................................... 1 Bevaring av falsifiserbarhet..................................
DetaljerForelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007
Forelesning 7: Førsteordens logikk sekventkalkyle og sunnhet Christian Mahesh Hansen - 5. mars 2007 1 Førsteordens sekventkalkyle 1.1 Introduksjon Vi har til nå sett sekventkalkyle for utsagnslogikk. Vi
DetaljerINF 2820 V2016: Innleveringsoppgave 3 del 1
INF 2820 V2016: Innleveringsoppgave 3 del 1 Pga tekniske problemer er oppgaveteksten delt i to. Dette er første del. Andre del legges ut mandag 13.3! Besvarelsene skal leveres i devilry innen fredag 24.3
Detaljerv : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 27: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 30. april 2008 Oppsummering Mandag så vi på hvordan vi kan finne uttrykk og termer på infiks form,
DetaljerFortsettelse. INF3170 Logikk. Eksempel 1. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Fortsettelse 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:24) INF3170 Logikk 6.
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet. Roger Antonsen. 6. april Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 8: Mer sekventkalkyle og sunnhet Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 6. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-06 14:23) Fortsettelse INF3170 Logikk 6.
DetaljerForberedelse Kompletthet Kompakthet INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet. Andreas Nakkerud. 8.
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: kompletthet, kompakthet Andreas Nakkerud 8. september 2015 Forberedelse Theorem La x være en variabel som ikke forekommer i Γ eller i φ. (i) Γ φ Γ[x/c] Γ[x/c]. (ii) Hvis
DetaljerForelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007
Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å
DetaljerINF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreordens logikk. Andreas Nakkerud. 10. september 2015
INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Skolemfunksjoner; Andreas Nakkerud 10. september 2015 Henkin-vitner Theorem La T være en teori med språk L, slik at T xφ(x), hvor FV (φ) = {x}. La c være en konstant som
DetaljerObligatorisk oppgave 4, INF2820, 2014
Obligatorisk oppgave 4, INF2820, 2014 Besvarelsene skal leveres i devilry innen 7.5 kl 1800. Filene det vises til finner du etter hvert på /projects/nlp/inf2820/ Oppgavene kan løses alene og det skal leveres
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerLF - Eksamen i INF1820
LF - Eksamen i INF820 INF820 Eksamen vår 207 Hjelpemidler Ingen. Flervalgsoppgaver I oppgave og 6 får man 5 poeng for riktig svar og 0 poeng for galt svar. I oppgave 0 får du 2 poeng for hvert riktig svar
DetaljerForelesning 27. MAT1030 Diskret Matematikk. Bevistrær. Bevistrær. Forelesning 27: Trær. Roger Antonsen. 6. mai 2009 (Sist oppdatert: :28)
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 27: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 27 6. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:28) MAT1030 Diskret Matematikk 6.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11 01:52) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)
DetaljerINF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015
INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V2011. Jan Tore Lønning & Stephan Oepen
INF2820 Datalingvistikk V2011 Jan Tore Lønning & Stephan Oepen KONTEKSTFRIE GRAMMATIKKER OG PARSING 22. februar 2011 2 I dag Avledninger og normalformer Parsing: ovenifra og ned (top-down) Parsing: nedenifra
DetaljerEn repetisjon hrj høst 2009
En repetisjon hrj høst 2009 Data Maskin Data Syntaktiske objekter - endelige Mengde { } Multimengde [ ] Liste < > Symbol String = Liste av symboler Vi kan alltid finne ut om to syntaktiske objekter er
DetaljerINF3170 Logikk. Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle. Roger Antonsen. Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo
INF3170 Logikk Forelesning 3: Utsagnslogikk, semantikk, sekventkalkyle Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 15:10) Utsagnslogikk INF3170
DetaljerINF1820: Oppsummering
Arne Skjærholt 8. mai Arne Skjærholt 8. mai Kurset gir en innføring i lingvistisk teori og relaterer denne til språkteknologiske problemområder, metoder og applikasjoner. Fokus er på å koble teori til
Detaljer2/22/2011. Høyre- og venstreavledninger. I dag. Chomsky-normalform (CNF) Chomsky-normalform (CNF) PARSING. Jan Tore Lønning & Stephan Oepen
INF2820 Datalingvistikk V2011 Jan Tore Lønning & Stephan Oepen KONTEKSTFRIE GRAMMATIKKER OG PARSING 22. februar 2011 2 Høyre- og venstreavledninger Til hvert tre svarer det mange avledninger. For kontekstfrie
DetaljerINF 2820 V2016: Obligatorisk innleverinsoppgave 1
INF 2820 V2016: Obligatorisk innleverinsoppgave 1 OBS Korrigert eksemplene oppgave 2, 8.2 Besvarelsene skal leveres i devilry innen torsdag 18.2 kl 18.00 Filene det vises til finner du på /projects/nlp/inf2820/fsa
DetaljerDefinisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2820 Datalingvistikk Eksamensdag: 14. juni 2016 Tid for eksamen: 1430-1830 Oppgavesettet er på 5 side(r) Vedlegg: 0
DetaljerForelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen mars 2006
Forelesning 9: Frsteordens logikk { kompletthet Roger Antonsen - 27. mars 2006 1 Kompletthet av LK 1.1 Overblikk Vi skal na bevise at LK er komplett. Ikke bare er LK sunn, den kan ogsa vise alle gyldige
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Introduksjon. Forelesning 6: Førsteordens logikk syntaks og semantikk. Martin Giese. 25. februar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 6: og semantikk Martin Giese Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 1 Innledning til førsteordens logikk 2 25. februar 2008 3 Institutt for informatikk (UiO)
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V Gang 23.3 Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2015 10. Gang 23.3 Jan Tore Lønning I dag Trekkbaserte grammatikker, delvis repetisjon Formelle egenskaper: Alternative format for slike grammatikker Tolkning av grammatikkreglene
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Kompletthet følger fra modelleksistens. Kompletthet. Definisjon (Kompletthet) Teorem (Modelleksistens)
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 2 4. juni 2007 3 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 04.06.2007
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Semantikk for sekventer. Definisjon (Motmodell/falsifiserbar sekvent) Definisjon (Gyldig sekvent) Eksempel.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 3: Utsagnslogikk sekventkalkyle, sunnhet og kompletthet 1 Sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen 2 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 3 5. februar 2007
DetaljerDagens plan INF3170 Logikk. Obliger og eksamen. Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk. Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen
Dagens plan INF3170 Logikk Forelesning 1: Introduksjon, mengdelære og utsagnslogikk Christian Mahesh Hansen og Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Praktisk informasjon 2 23.
DetaljerOppgave 2. Eksamen INF2820, 2015, oppgave 2. La gramatikk G være:
2 Eksamen INF2820, 2015, oppgave 2 Oppgave 2 La gramatikk G være: S > NP VP VP > VI VP > VTV NP VP > VS CP CP > C S NP > 'dyret' 'barnet' 'Kari' 'Ola' VI > 'sov' 'smilte' 'danset' VTV > 'kjente' 'likte'
DetaljerINF2820 Datalingvistikk V gang, Jan Tore Lønning
INF2820 Datalingvistikk V2014 11. gang, 27.3.2014 Jan Tore Lønning I dag Repetere en del begreper: Trekkstrukturer Unifikasjon og subsumpsjon Trekkbaserte grammatikker Form: to alternative format Tolkning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 29. november 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) Oppgave
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 7: Predikatlogikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. februar 2008 Oppsummering Vi har innført sannhetsverdiene T og F, begrepet utsagnsvariabel
Detaljer